小学奥数经典专题点拨余数问题+有关数的法则和方法

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小学奥数之余数周期问题

余数周期问题一、考点、热点回顾1、在除法中，当被除数除以除数（除数不等于0）出现了余数（余数要比除数小），就称为有余数的除法。

在有余数的除法中，我们要记得：（1）被除数=商×除数＋余数（2）除数=（被除数－余数）÷商2、有余数除法的侧重点往往不是商，而是余数。

要通过余数寻找对应的顺序位置求解，这点与以往的解题思路有所不同。

解题过程中要注意余数比除数小。

同时，要知道余数的最大值（除数-1）和最小值（1）3、余数应用：在一些题目中，我们可以根据余数来寻找事物的排列规律，从而培养概括推理能力。

4、应用周期性规律时，首先要确定变化的周期是几，其中有些是属于常识性知识，如每周有7天，生肖由12种动物组成等，而有些变化周期要进行观察、判断。

二、经典例题例1．写出所有除以5所得的商和余数相同的数？解析：余数要比除数小，所以余数只能比5小，只能为1，2，3，4，再根据被除数=商×除数＋余数来求出被除数。

例2．找出下列图形排列的规律，根据规律推算出第16个图形是什么？（1）□△△□△△□△△□△△。

（2）☆○○△☆○○△☆○○△。

解析：（1）每□△△为一组，显然16÷3=5……1，根据余数的规律，可以判断出第16个图形是□；（2）每☆○○△为为一组，显然16÷4=4，说明第16个图形恰好是△。

例3．国庆节挂彩灯，按“红、黄、蓝、白、绿、紫”的顺序，一共挂了50只彩灯。

问：第50只彩灯是什么颜色？红色彩灯共有多少只？解析：我们可以把6只彩灯看做一组，那么50÷6=8……2，余数的2只是第9组的前两只，所以第50只彩灯是黄色。

红色彩灯有8+1=9只。

例4．有一列数：2，3，5；2，3，5；2，3，5；…？（1）第26个数是几？（2）这26个数的和是多少？解析：从这列数可以看出来2，3，5是一组，因此26个数可以组成26÷3=8……2；要求出这26个数的和，可以先求出一组数的和10。

小学六年级奥数余数综合之余数问题解题技巧

【例6】 (★ ★) 今天是星期四，101000天之后将是星期几？
2
【例7】(★ ★ ★)
若2836，4582，5164，6522四个自然数都被同一个自然数相除，所得余数相同且为两位数，除数和余数的和为_______。
【例8】 (★ ★ ★)
甲、乙、丙三数分别为603，939，393。某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的2倍，A除乙数所得余数是A除丙数所得余数的2倍。求A等于多少？
二、本讲经典例题例2，例3，例4，例6 3
余数综合之余数问题解题技巧
余数的性质 1. 余数小于除数 2. 带余除法：被除数＝除数×商+余数 3. 余数的运算：
（1）和的余数等于余数的和（2）积的余数等于余数的积
4. 同余（1）若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b关于m同余，用式子表示为：a≡b (modm) （2）若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除用式子表示为：如果有a≡b(modm)，那么一定有a－b＝mk，k是整数，即m|a－b
有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与余数之和为2113，则被除数是多少？
1
【例3】（★ ★ ★ ）
一个三位数除以17和19都有余数，并且除以17后所得的商与余数的和等于它除以19后所得到的商与余数的和。那么这样的三位数中最大数是多少，最小数是多少？
【例4】 (★ ★ ★) 全国小学数学奥林匹克试题
5. ★）我爱数学少年数学夏令营试题
有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人。如果把书全部分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人5本，书不够。如果把书全分给第二组，那么每人3本，有剩余；每人4本，书不够。问：第二组有多少人?

小学奥数同余的解题规律知识

小学奥数同余的解题规律知识小学奥数同余的解题规律知识在作除法运算时，我们有这样的经验：（1）一些不同的数除以一个相同的数可能会得到相同的余数.如，除以5余3的数有5×1+3=8，5×2+3=13，5×3+3=18，5×4+3=23，…………（2）一个相同的数除以一些不同的数，可能会有相同的余数.如，389分别除以5、7和11会得到相同的余数4.389÷5=77 (4)389÷7=55 (4)389÷11=55 (4)由此，我们可以来讨论下面的两个问题.某数被5除余4，被7除也余4，被11除还余4.要求某数和某数最小是多少？读者一定会想到有：5×7×11+4=389，5×7×11×2+4=774，5×7×11×3+4=1159，…………答案有无数多个，但最小的.只能是389.现在，我们把这个问题上升到一般形式.问题一某数分别除以a、b、c、……，都得到相同的余数k.求某数最小是多少？聪明的读者，能得出答案吗？需要请读者注意的是，382、767、1152分别除以5、7和11所得的余数2、4、8，虽然都不相同，但是都与相应的除数相差同样多.即5-2=3，7-4=3，11-8=3.于是，我们也可以提这样的问题：某数被5除余2，被7除余4，被11除余8.问某数是多少和某数最小是多少？读者一定会想到是5×7×11×1-3=382，5×7×11×2-3=767，5×7×11×3-3=1152，…………答案有无数多个，但最小只能是382.这个问题的一般形式是：问题二某数分别除以a、b、c、……得数相应的余数分别是A、B、C、……，并且，这些余数跟相应的除数都相差同样多（也设为k），即a-A=b-B=c-C=……=k. 求某数最小是多少？聪明的读者，能得出答案吗？【规律】某数分别除以a、b、c、……，都得到相同的余数k.求某数最小是多少？答案是[a，b，c，……]+k.某数分别除以a、b、c、……，得到相应的余数A、B、C、……，并且这些余数跟相应的除数都相差同样多（设为k），即a-A=b-B=c-C=……=k.求某数最小是多少？答案是[a，b，c，……]-k.【练习】1.某数分别除以3、5和7，都有相同的余数2.求某数最小是多少？（2除外）2.某数被5、6、7除，都得到相同的余数1.问某数在1000以内有哪几个答案？3.某数用5除余3，用7除余5，用9除余7，用11除余9.求某数最小是多少？4.某数分别用5、7、9和11除，刚好都是差3才能整除.求某数最小是多少？5.某数被2000除，余1993；被1999除，余1992；被1998除，余1991.求某数最小是多少？。

五年级奥数小学数学培优--第6讲-巧解余数和同余问题

五年级奥数小学数学培优--第6讲-巧解余数和同余问题第___讲巧解余数与同余问题第一节余数方法和技巧：（1）被除数=商×除数+余数。

（2）借助约数和倍数的知识。

上面两个性质是解题的关键。

例1：一个两位数除310的余数是37，求这样的两位数。

做一做1：237除以一个两位数所得的余数是6，问：这样的两位数是多少？例2:一个两位数除以一个一位数，商仍是两位数，余数是8。

那么，被除数、除数、商及余数之和是多少？做一做2：两数相除，商是498，余数是3。

那么，被除数、除数、商及余数之和最小是多少？例3:两个数相除，商是22，余数是8，被除数、除数、商、余数之和是866。

求这两个数。

做一做3：两数相除，商4余8，被除数、除数、商、余数之和等于415。

问：被除数是多少？例4:伸出你的左手，从大拇指开始按右图所示的那样数数字：1，2,,3，…问：数到2003时，你数在哪个手指上？做一做4：将全体非零自然数按下列方式排列，问：数1000排在哪个字母的下面？A B C D E F G___________________________________1 2 3 4 5 6 78 9 10 11 12 13 1415 16 17 18 19 20 2122 23 24 25 26 27 2829 30 31 32 33 34 3536 37 38 39 …例5:把化为循环小数，问：小数点后1999个数字是几？这1999个数字的总和是几？做一做5：问：化成小数后，小数点的右边第1991位上的数字是多少？这1991个数字的和是多少？例6:某数除以11余8，除以13余10，除以17余12，那么这个数的最小值能是多少？做一做6：一个自然数除以3余2，除以5余4，除以7余5。

求这个自然数能取得的最小值。

例7:有一个自然数,用它分别去除63,90,130都有余数,三个余数的和为25,那么这三个余数中最小的数是多少?巩固练习：1、填空：（1）顺次写出除以4余2，除以5余3的三个数__________________。

小学奥数五年级经典讲义之第五讲余数问题

第五讲余数问题内容概述从此讲开始，我们来进一步研究数论的有关知识。

小学奥数中的数论问题，涉及到整数的整除性、余数问题、奇数与偶数、质数与合数、约数与倍数、整数的分解与分拆。

在整数的除法中，只有能整除和不能整除两种情况。

当不能整除时，就产生余数，余数问题在小学数学中非常重要。

一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r（也就是a=b×q+r）, 0≤r＜b；当r=0时，我们称a能被b整除；当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的商余数问题和整除性问题是有密切关系的，因为只要我们去掉余数那么就能和整除性问题联系在一起了。

余数有如下一些重要性质，我们将通过例题给大家讲解。

例题讲析【例1】（清华附中小升初分班考试）甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数。

分析：法1：因为甲=乙×11+32，所以甲+乙=乙×11+32+乙=乙×12+32=1088；则乙=（1088-32）÷12=88，甲=1088-乙=1000。

法2：将余数先去掉变成整除性问题，利用倍数关系来做：从1088中减掉32以后，1056就应当是乙数的（11+1）倍，所以得到：乙数=1056÷12=88 ，甲数=1088-88=1000 。

【例2】（第十三届迎春杯决赛）已知一个两位数除1477，余数是49.那么，满足那样条件的所有两位数是 .分析：1477-49=1428是这两位数的倍数，又1428=2×2×3×7×17=51×28=68×21=84×17，因此所求的两位数51或68或84.【例3】（第十届迎春杯决赛）一个自然数除以8得到的商加上这个数除以9的余数，其和是13.求所有满足条件的自然数.分析：设这个数为n，除以9所得余数r≤8，所以除以8得到的商q≥13—8=5，又显然q≤13.q=5时，r=8，n=5×8+4=44；q=6时，r=7，n=6×8+4=52；q=7时，r=6，n=7×8+4=60；q=8时，r=5，n=8×8+4=68；q=9时，r=4，n=9×8+4=76；q=10时，r=3，n=10×8+4=84；q=11时，r=2，n=11×8+4=92；q=12时，r=1，n=12×8+4=100；q=13时，r=0，n=13×8+4=108.满足条件的自然数共有9个：108，100，92，84，76，68，60，52，44.【例4】（北京八中小升初入学测试题）有一个整数，用它去除70，110，160得到的三个余数之和是50。

春季五年制小学奥数四年级数论问题——余数

一、带余除法的定义及性质一般地，如果a 是整数，b 是整数(b ≠0)，若有a ÷b ＝q ……r ，也就是a ＝b ×q ＋r 。

0≤r ＜b ；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。

这里：⑴当r ＝0时：我们称a 可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或完全商。

⑵当r ≠0时：我们称a 不可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或不完全商。

二、余数定理：1．余数一定要比除数小。

2．余数的加法定理例如：23÷5＝4 (3)16÷5＝3 (1)所以23＋16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3＋1。

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。

例如：23÷5＝4 (3)19÷5＝3 (4)所以：23＋19＝4242÷5的余数等于3＋4＝7除以5的余数，即2。

和的余数＝余数的和(的余数)。

3．余数的乘法定理a 与b 的乘积除以c 的余数，等于a ，b 分别除以c 的余数的积，或者这个积除以c 所得的余数。

例如：23÷5＝4 (3)16÷5＝3 (1)所以23×16除以5的余数等于3×1＝3。

例如：23÷5＝4 (3)19÷5＝3 (4)所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2。

积的余数＝余数的积(的余数)。

有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与余数之和为2113，则被除数是多少？一个自然数，除以11时所得到的商和余数是相等的，除以9时所得到的商是余数的3倍，这个自然数是_________。

22003与20032的和除以7的余数是________。

12＋22＋32＋…＋20012＋20022除以7的余数是多少？在1995，1998，2000，2001，2003中，若其中几个数的和被9除余7，则将这几个数归为一组。

小学奥数论：整除和余数知识点总结及经典例题

1.数论——数的整除和余数2.1基本概念和基本性质2.1.1定义整数a除以整数b（b≠0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。

2.2数的整除的判别法2.2.1末位判别法2.2.2数字和判别法（用以判别能否被3或9整除）各数位上数字的和是3或9的倍数，则能被3或9整除。

173652÷9:1+7+3+6+5+2的和除以3或9；简便算法，利用整除的加减性，可以去掉1个或多个9，剩下数字的和x再除以3或9；如果x﹥9,则余数为x-9;如果x﹤9,则余数为x。

2.2.3奇偶数位判别法（用以判别能否被11整除）从右往左编号，编号为奇数的为奇数位，编号为偶数的为偶数位，看奇数位上的数字的和与偶数位上的数字的和的两者之差是否能被11整除；81729033÷11:奇数位和为6，偶数位和为27；如果奇数位和比偶数位和小，则奇数位和加1个或多个11，直到够减。

余数的判断法与整数位的判断法一致。

2.2.4三位一截判别法（用以判别能否被7/11/13整除）2.2.4.1基本用法从右往左三位一截并编号，编号为奇数的为奇数段，编号为偶数的为偶数段，看奇数段的数字的和与偶数段的数字的和的两者之差是否能被7、11、13整除；如，86372548，奇数段的和为（548+86），偶数段的和为372，求两者差看能否被7整除，同样，不够减前面加1个或多个7，直到够减，余数位的判断法与整数位的判断法一致。

小学奥数余数问题完整版教案带解析和答案

数论问题之余数问题教学目标余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。

余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。

三大余数定理：1、余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.2、余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.3.同余定理若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a ≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。

同余式读作：a同余于b，模m。

由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a－b)三、弃九法原理而我们在求一个自然数除以9所得的余数时，常常不用去列除法竖式进行计算，只要计算这个自然数的各个位数字之和除以9的余数就可以了，在算的时候往往就是一个9一个9的找并且划去，所以这种方法被称作“弃九法”。

小学数学奥数知识点《有余数的除法》例题讲解

小学奥数《有余数的除法》例题讲解在有余数除法中，要记住：（1）余数＜除数；（2）被除数＝商×除数＋余数例1（1）（）÷7=8……（），根据余数写出被除数最大是几？最小是几？（2）（）÷（）＝（）……6，除数最小是几？【思路点拨】（1）根据余数一定要比除数小的原理，余数可以取1,2,3,4,5,6。

最大的余数确定最大的被除数，最小的余数确定最小的被除数。

（2）根据余数一定要比除数小的原理，除数要大于6，而大于6的数有很多，其中最小的是。

【模仿练习】1．算式（）÷（）＝8……（）中，被除数最小是几？2．下题中被除数最大可填几，最小可填几？（）÷8＝3……（）3．你能写出下面题中最大的被除数和最小的被除数吗？（）÷4＝7……（）例2算式28÷（）=（）……4中，除数和商各是多少？【思路点拨】根据“被除数＝商×除数＋余数”，商×除数＝被除数－余数，即，商×除数＝28－4＝24。

而24＝×＝×＝×＝×，再根据除数＞余数就可以确定对应的除数和商。

【模仿练习】下列算式中，除数和商各是几？（1）22÷（）=（） (4)（2）65÷（）=（） (2)（3）37÷（）=（） (7)（4）48÷（）=（） (6)例3算式（）÷7=（）……（）中，商和余数相等，被除数可以是哪些数？【思路点拨】要求出被除数，必须确定商和余数，而商等于余数，所以可以先根据除数是7来确定余数的值，根据余数小于除数，所以得到余数可以取，，，，，，从而得到对应的商，然后再求出被除数。

例4算式（）÷（）=（）……6，除数和商相等，被除数最小是几？【思路点拨】通过余数等于6可以确定除数应该大于6，大于6的数有无数个，但是要想使被除数最小，则除数应该尽量小，这样一来除数就只能取，再根据商和除数相等确定商，最后根据“被除数＝商×除数＋余数”求出最小的被除数。

小升初数学-数论-奥数篇- 余数专题解析必考知识点

a1. 2.例2. 20080808除以9的余数是多少？除以8和25的余数是多少？除以11的余数是多少？例2. 有一个整数，用它去除160 ，110 ，70 得到的三个余数之和是50，则这个整数是多少？1.用自然数n去除63 ，91 ，129，得到的三个余数之和是25，那么n 是多少？2.一个自然数用它分别去除63 ，90 ，130都有余数，三个余数的和是25.这三个余数中最小的一个是多少？3. 把63个苹果，90个橘子，130个梨平均分给一些同学，最后一共剩下25个水果，没有分出去，请问：剩下个数最多的水果剩下多少个？二余数定理1. 余数加法定理a与b的和除以c的余数，等于①23和16除以5②23和19除以5例1. 两个数被13除分别余7和10，那么这两个数的和被13除余（）1. 4个运动员进行乒乓球比赛，他们的号码分别是101,126,173,193，规定每两人间比赛的盘数是他们号码的和除以3所得的余数。

请问：他们各比赛了多少盘？2. 余数乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于①23和16除以5②23和19除以5例1. 418×814×1616除以13所得的余数是多少？1. 15×38×412×541除以13所得的余数是多少？2. 31453×68765×987657的积，除以4的余数是多少？例2.某工厂有128名工人生产零件，他们每个月工作23天，在工作期间每人每天可以生产300个零件，月底将这些零件按17个一包的规格打包，发现最后一包不够17个，请问：最后一包有多少个零件？1. 一年有365天，轮船制造厂每天可以生产零件1234个，年终将这些零件按19个一包的规格打包，最后一包不够19个。

问？最后一包有多少个零件？3.同余定理若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同则a，b的差例1. 100和84除以同一个数，得到的余数相同，但是余数不为0，这个除数可能是多少？例1.用一个大于0的自然数，分别去除35 ，59和123，所得的余数相同，则这个数是多少？1.三个数23 ，51 ，72分别除以同一个大于1的数，得到同一个余数，这个余数是多少？2.一个大于1的自然数去除300 ，243 ，205 时，得到相同的余数，则这个自然数是（）3.有一个大于1的整数，除45，59，101所得的余数相同，求这个数。

五年级奥数知识讲义-余数问题（一）

在整数的除法中，只有能整除与不能整除两种情况，当不能整除时，就产生余数，所以余数问题在小学数学中非常重要。

余数基本关系式：被除数÷除数＝商……余数（0≤余数＜除数）余数基本恒等式：被除数＝除数×商＋余数知识梳理1. 一般地，如果是整数，是整数（不为0），若有，也就是，，我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。

2.与的和除以c的余数，等于a、b分别除以c的余数之和，当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。

3. a与b的乘积除以c的余数，等于a、b分别除以c的余数的积，当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。

例1一串数1、2、4、7、11、16、22、29、……这串数的组成规律为第2个数比第1个数多1；第3个数比第2个数多2；第4个数比第3个数多3；依此类推，那么这串数左起第1992个数除以5的余数是_____。

分析与解：设这串数为a1、a2、a3、…、a1992、…，依题意知a＝11a＝1＋12a＝1＋1＋23a＝1＋1＋2＋34a＝1＋1＋2＋3＋45……a＝1＋1＋2＋3＋…＋1991＝1＋996×19911992因为996÷5＝199……1，1991÷5＝398……1，所以996×1991的积除以5余数为1，1＋996×1991除以5的余数是2。

因此，这串数左起第1992个数除以5的余数是2。

例2除以13所得的余数是_____。

分析与解：因为222222＝2×111111＝2×111×1001＝2×111×7×11×13 所以222222能被13整除。

又因为2000＝6×333＋2，＝，22÷13＝1……9，所以要求的余数是9。

例3有一个自然数，用它分别去除63、90、130都有余数，三个余数的和是25。

小学奥数余数性质(一) 精选练习例题含答案解析(附知识点拨及考点)

1. 学习余数的三大定理及综合运用2. 理解弃9法，并运用其解题一、三大余数定理：1.余数的加法定理 a 与b 的和除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为22.余数的加法定理a 与b 的差除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之差。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝2. 当余数的差不够减时时，补上除数再减。

例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝43.余数的乘法定理a 与b 的乘积除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数的积，或者这个积除以c 所得的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1＝3。

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c 的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2. 乘方：如果a 与b 除以m 的余数相同，那么n a 与n b 除以m 的余数也相同．二、弃九法原理在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的：例如：检验算式1234189818922678967178902889923++++=1234除以9的余数为11898除以9的余数为818922除以9的余数为4678967除以9的余数为7知识点拨教学目标5-5-3.余数性质（三）178902除以9的余数为0这些余数的和除以9的余数为2而等式右边和除以9的余数为3，那么上面这个算式一定是错的。

小学奥数余数问题口诀及解题方法

【导语】马克思曾经说过：“⼀门学科只有成功的应⽤了数学，才能真正达到了完善的地步。

”这句话充分显⽰了数学知识的⼴泛应⽤及学习数学的必要性和重要性。

因此，数学作为认识世界的基础性学科，它可以在思想上⽀持不同学科的深⼊发展。

以下是整理的相关资料，希望对您有所帮助。

【篇⼀】【⼝诀】：余数有(N-1)个，最⼩的是1，的是(N-1)。

周期性变化时，不要看商，只要看余。

例：如果时钟现在表⽰的时间是18点整，那么分针旋转1990圈后是⼏点钟? 分针旋转⼀圈是1⼩时，旋转24圈就是时针转1圈，也就是时针回到原位。

1980/24的余数是22，所以相当于分针向前旋转22个圈，分针向前旋转22个圈相当于时针向前⾛22个⼩时，时针向前⾛22⼩时，也相当于向后24-22=2个⼩时，即相当于时针向后拔了2⼩时。

即时针相当于是18-2=16(点)。

【篇⼆】除法运算中，被除数和除数之间的关系有两种：⼀种是整除，即被除数÷除数=商，这个商就叫做完全商;另⼀种是有余数的除法，即被除数÷除数=商……余数(余数同余，是指a，b两个⾃然数，除以⾃然数n所得的余数如果相同，我们就称a、b对于除数n同余，在同余问题中常⽤的结论有： (1)如果a，b除以n的余数相同，那么a与b的差能被n整除; (2)如果a与b除以m的余数相同，那么a+b与a×b除以m的余数也相同。

求⼀个算式的结果除以⼀个数的余数有以下⽅法： (1)a与b的乘积除以c的余数，等于a、b分别除以c的余数之积(或这个积除以c的余数); (2)a与b的和除以c的余数，等于a、b分别除以c的余数之和(或这个和除以c的余数); (3)a与b的差除以c的余数，等于a、b分别除以c的余数之差(或这个差除以c的余数); 不同余，⼜称为“中国剩余定理”，也叫“孙⼦定理”，解题时常⽤列举法。

【篇三】余数问题⼏个数相乘求余数时，把每个因数分别除以除数，然后将所得的余数相乘的积再除以余数，所得的余数就是原来的余数;当求⼏个乘积的和或差除以某⼀个数的余数时，先分别求出每个乘积除以某⼀个数，再将所得的余数相加减，然后除以某⼀个数，所得余数就是原来的余数。

小学奥数“同余法”解题技巧附加减法计算诀窍

小学奥数“同余法”解题技巧附加减法计算诀窍同余这个概念最初是由伟大的德国数学家高斯发现的，同余即余数相同。

它的定义是这样的：两个整数a、b，如果他们同时除以一个自然数m，所得的余数相同，则称a、b对于模m同余，记作a≡b（mod.m），读作：a同余于b模m。

同余的性质比较多，家长指导孩子学习“同余法”，首先要熟悉“同余”的这几个基本性质：1.对于同一个除数，两个数的乘积与它们余数的乘积同余。

例如：201×95的乘积对于除数7，与201÷7的余数5和95÷7的余数4的乘积20对于7同余。

2.对于同一个除数，如果有两个整数同余，那么它们的差就一定能被这个除数整除。

例如：519和399对于一个除数同余，那么这个除数一定是519与399的差的因数，即519与399的差一定能被这个除数整除。

3.对于同一个除数，如果两个数同余，那么他们的乘方仍然同余。

例如：20和29对于一个除数同余，那么20的任何次方都和29的相同次方对于这个除数同余，当然余数大小随次方变化。

4.对于同一个除数，若三个数a≡b（mod m），b≡c（mod m），那么a,b,c三个数对于除数m都同余（传递性）例如：60和76同余于模8，76和204同余于模8，那么60,76,204都同余于模8。

5.对于同一个除数，若四个数a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么a±c≡c±d（mod m），（可加减性）6.对于同一个除数，若四个数a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么ac≡cd（mod m），（可乘性）应用同余性质解题的关键是，在正确理解题意的基础上灵活运用同余性质。

家长应让孩子把握住一个策略，把求一个较大的数除以某数的余数问题转化为一个较小的数除以这个数的余数，使复杂的问题变简单，使困难的题变容易。

▊例题1：用412、133和257除以一个相同的自然数，所得的余数相同，这个自然数最大是几？【解析】假设这个自然数是a，因为412、133和257除以a所得的余数相同，所以a｜(412－133),a｜(412－257),a｜(257－133),说明a是以上三个数中任意两数差的约数，要求最大是几，就是求这三个差的最大公约数。

小学奥数快乐思维余数知识点

余数一、余数的性质与计算1.余数：40÷16=2……8（余数）[余数小于除数]A÷B=Q……R A=B×Q＋R（方法1）2.余数的性质：①和的余数等于余数的和[给例子让小孩算，让小孩总结]②差的余数等于余数的差③积的余数等于余数的积[理论上除法也是可以的，但是小孩算容易算错，直接告诉他们不可以]替换求余法（针对算式）（方法2）[算完之后还要根据余数小于除数，多次使用替换求余，验证结果]3.余数的计算：①直接计算②替换求余法③特性求余法：（1）一个数除以2或5的余数，等于这个数的各位数字除以2或5的余数；（方法3）一个数除以4或25的余数，等于这个数的末两位数字除以4或25的余数；一个数处于8或125的余数，等于这个数的末三位除以8或125的余数；（2）一个数除以3或9的余数，等于这个数的各位数字和除以3或9的余数（3）一个数除以11的余数，等于它的奇位数字和减去偶位数字和的差除以11的余数，如果奇位数字和比偶位数字和小，则加上若干个11再减即可。

（4）一个数除以7、11、13的余数，等于将它三位截断之后，奇数段之和减去偶数段之和除以7、11和13的余数，如果奇数段之和比偶数段之和小，则加上若干个7、11或13再减即可。

④周期求余法：（针对a b）（方法4）[例：2100÷3余几，找出2122232425……的规律][例：100100÷7余几，则先把底数100替换成2，指数不变，找规律]⑤分解求余法：A÷B余C，A÷D余E，求A÷（B×D）余几（1）C=D，则A÷（B×D）余C/D（2）C D，用物不知数来做。

先反求出最小的被除数，再用被除数÷（B×D）二、物不知数（知除数和余数，求被除数）1.有规律的①余数相同：A÷B余K，A÷D余K被除数最小为K（当K不等于0时），第二小是K＋[B,C]，每次加[B,C]A—K=[B,C]×n②缺数相同（除数和余数的差相同）：A÷B余M，A÷C余N，B—M=C—N被除数最小为[B,C]—差，每次加[B,C]A=[B,C]×n—（B—M）③和数相同（除数和余数的和相同）：A÷B余M，A÷C余N，B＋M=C＋N被除数最小为[B,C]＋差，每次加[B,C]A=[B,C]×n＋（B＋M）2.无规律（逐步满足）一般先从除数大的开始找，找到第一个满足条件的被除数之后，以后每个加除数的最小公倍数。

小学奥数数论问题：余数问题

小学奥数数论问题：余数问题小学奥数数论问题：余数问题余数有（N-1）个，最小的是1，最大的是（N-1）。

周期性变化时，不要看商，只要看余。

小编整理了相关的内容，欢迎欣赏与借鉴。

一、数论1.奇偶性问题奇+奇=偶奇×奇=奇奇+偶=奇奇×偶=偶偶+偶=偶偶×偶=偶2.位值原则形如：abc=100a+10b+c3.数的整除特征：整除数特征2末尾是0、2、4、6、83各数位上数字的和是3的倍数5末尾是0或59各数位上数字的和是9的倍数11奇数位上数字的和与偶数位上数字的和，两者之差是11的倍数4和25末两位数是4(或25)的倍数8和125末三位数是8(或125)的倍数7、11、13末三位数与前几位数的差是7(或11或13)的倍数4.整除性质①如果c|a、c|b，那么c|(ab)。

②如果bc|a，那么b|a，c|a。

③如果b|a，c|a，且(b,c)=1,那么bc|a。

④如果c|b,b|a,那么c|a.⑤a个连续自然数中必恰有一个数能被a整除。

5.带余除法一般地，如果a是整数，b是整数(b≠0),那么一定有另外两个整数q和r，0≤r当r=0时，我们称a能被b整除。

当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的.余数，q为a除以b的不完全商(亦简称为商)。

用带余数除式又可以表示为a÷b=q……r,0≤r6.唯一分解定理任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即n=p1×p2×...×pk7.约数个数与约数和定理设自然数n的质因子分解式如n=p1×p2×...×pk那么：n的约数个数：d(n)=(a1+1)(a2+1)....(ak+1)n的所有约数和：(1+P1+P1+…p1)(1+P2+P2+…p2)…(1+Pk+Pk+…pk)8.同余定理①同余定义：若两个整数a，b被自然数m除有相同的余数，那么称a，b对于模m同余，用式子表示为a≡b(modm)②若两个数a，b除以同一个数c得到的余数相同，则a，b的差一定能被c整除。

小学生奥数余数问题五篇

小学生奥数余数问题五篇1.小学生奥数余数问题余数相关知识点：1、除法的一般表达式子是被除数÷除数=商，这个商称为完全商。

2、有余数的除法表达式是被除数÷除数=商……余数（余数3、考虑不完全商的问题，即t≠0时，m=nq+t，则m-t=nq，故m-t是n的倍数，因此不能整除的问题可以转化为能整除的问题。

2.小学生奥数余数问题1、数111（2007个1），被13除余多少分析：根据整除性质知：13能整除111111，而20076后余3，所以答案为7。

2、1013除以一个两位数，余数是12。

求出符合条件的所有的两位数。

分析：3、1013-12=1001，1001=71113，那么符合条件的所有的两位数有13，77，91有的同学可能会粗心的认为11也是。

11小于12，所以不行。

大家做题时要仔细认真。

某个自然数被247除余63，被248除也余63。

那么这个自然数被26除余数是多少？解答：由余数的性质，这个数减去63得到的新数既能被247整除，也能被248整除，而相邻的两个整数互质，所以新数能被247×248整除，显然能被26整除。

于是这个数除以26的余数等于63除以26的余数，为11。

解余数问题时，掌握余数的性质很重要：若a÷b…n，则b|a-n。

若a|b，c|b，且a，c互质，则a×c|b。

3.小学生奥数余数问题1、学校新买来118个乒乓球，67个乒乓球拍和33个乒乓球网，如果将这三种物品平分给每个班级，那么这三种物品剩下的数量相同。

请问学校共有多少个班分析：所求班级数是除以118，67，33余数相同的数。

那么可知该数应该为118-67=51和67-33=34的公约数，所求答案为17。

2、有一个大于1的整数，除45，59，101所得的余数相同，求这个数。

分析：这个题没有告诉我们，这三个数除以这个数的余数分别是多少，但是由于所得的余数相同，根据性质2，我们可以得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数。

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有关数的法则或方法【数的读写方法】（整数中多位数的读写方法，以及小数、分数、百分数的读、写方法，见小学数学课本，此处略。

）“成数”、“折数”即“十分数”，它们常用中国数字和文字“七成”、“二成五”、“八折”、“九五折”等表示，并根据其文字去读。

它们也常用分母为十的分数，或者用百分数去表示，这时便可按分数、百分数的方法去读。

“千分数”是表示一个数是另一个数的千分之几的分数，它常用“千分号”--“‰”来写千分数，如某地人口出生率为千分之七，写作“7‰”，读作“千分之七”。

【科学记数法】用带一位整数的小数，去乘以10的整数次幂来表示一个数的方法，叫做“科学记数法”。

利用小数点移动的规律，很容易把一个数用“科学记数法”表达为“a ×10n（1≤a≤10，n是整数）”的形式。

例如：25700，把小数点向左移动四位，得1＜2.57＜10，但2.57比25700小了10000倍，所以25700=2.57×104。

0.00867，把小数点向右移动三位，得1＜8.67＜10，但8.67比0.00867大了1000倍，所以【近似数截取方法】截取近似数的方法，一般有四舍五入法、去尾法和进一法三种。

四舍五入法──省略一个数的一部分尾数，取它的近似数的时候，如果要舍去的尾数的最高位上的数是4，或者是比4小的数，就把尾数舍去；如果要舍去的尾数的最高位上的数是5，或者是比5大的数，把尾数舍去以后，要向它的前一位进一。

这种求近似数的方法叫做“四舍五入法”。

例如，把8，654，000四舍五入到万位，约等于865万；把7.6239四舍五入保留两位小数约等于7.62；把2，873，000，000四舍五入到亿位，约等于29亿；把32.99506四舍五入精确到百分位约等于33.00。

去尾法──要省略的尾数不论是多少，一律舍去不要，这种求近似数的方法叫做“去尾法”。

进一法──省略某一个数某一位后面的尾数时，不管这些尾数的大小，都向它的前一位进一。

这种求近似数的方法，叫做“进一法”。

显然，用“进一法”和“五入”方法截取的近似值，叫做“过剩近似值”，而用“去尾法”和“四舍”方法截取的近似值，叫做“不足近似值”。

值得注意的是：在近似数的取舍结果中，小数点后最右一位上的零必须写上。

例如，把1.5972四舍五入，保留两位小数得1.60，即1.5972≈1.60，最后的“0”不可去掉，否则，它只精确到十分位了。

【质数判定方法】判定一个较大的数是不是质数，一般有两种方法。

（1）查表法。

用查质数表的方法，可以较快地判断一个数是否为质数：质数表上有的是质数，同一范围内的质数表上没有这个数，那它便是个合数。

（2）试除法。

如果没有质数表，也来不及制作一个质数表，可以用试除来判断。

例如，要判定161和197是不是质数，可以把这两个数依次用2、3、5、7、11、13、17、19……等质数去试除。

这是因为一个合数总能表示成几个质因数的乘积，若161或197不能被这个合数的质因数整除，那么也一定不能被这个合数整除。

所以，我们只要用质数去试除就可以了。

由161÷7=23，可知161的约数除了1和它本身外，至少还有7和23。

所以，161是合数，而不是质数。

由197依次不能被2、3、5、7、11、13整除，而197÷17=11……10，这时的除数17已大于不完全商11，于是可以肯定：197是质数，而不是合数。

因为197除了它本身以外，不可能有比17大的约数。

假定有，商也一定比11小。

这就是说，197同时还要有比11小的约数。

但经过试除，比11小的质数都不能整除197，这说明比11小的约数是不存在的，所以197是质数，不是合数。

【最大公约数求法】最大公约数的求法，一般可用下面四种方法。

（1）分解质因数法。

先把各数分解质因数，再把各数公有的一切质因数连乘起来，就是所求的最大公约数。

例如，求2940、756和168的最大公约数：∵ 2940=22×3×5×72，756=22×33×7，168=23×3×7；∴（2940，756，168）=22×3×7=84。

注：“（2940，756，168）=84”的意思，就是“2940、756和168的最大公约数是84”。

（2）检验公约数法。

“检验公约数法”即“试除法”，也是小学数学课本介绍的那一种一般的求法，此处略。

（3）辗转相减法。

较大的两个数求最大公约数，可以用“辗转相减法”：用大数减小数，如果减得的差与较小的数不相等，便再以大减小求差，直到出现两数相等为止。

这时，相等的数就是这两个数的最大公约数。

例如，求792和594的最大公约数。

∵（792，594）=（792-594，594）=（198，594）=（594-198，198）=（198，396）=（198，396-198）=（198，198）=198，∴（792，594）=198。

用辗转相减法求两个数的最大公约数，可以推广到求n个数的最大公约数，具体做法是：可以不拘次序地挑选最方便的，从较大的数里减去较小的数。

这样逐次做下去，直到所得的差全部相等为止。

这个相等的差，就是这些数的最大公约数。

例如，求1260、1134、882和1008的最大公约数。

∵（1260，1134，882，1008）=（1260-1134，882，1008-882，1134-882）=（126，126，882，252）=（126，126，882-126×6，252-126）=（126，126，126，126）=126，∴（1260，1134，882，1008）=126。

（4）辗转相除法（欧几里得算法）。

用辗转相除法求两个数的最大公约数，步骤如下：光用较小数去除较大的数，得到第一个余数；再用第一个余数去除较小的数，得到第二个余数；又用第二个余数去除第一个余数，得到第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止。

这时，余数“0”前面的那个余数，便是这两个数的最大公约数。

求两个较大的数的最大公约数，用上面的第一、二种方法计算，是相当麻烦的，而采用“辗转相除法”去求，就简便、快速得多了。

例如，求437和551的最大公约数。

具体做法是：先将437和551并排写好，再用三条竖线把它们分开。

然后依下述步骤去做：（1）用较小数去除较大数把商数“1”写在较大数的线外，并求得余数为114。

（2）用余数114去除437，把商数“3”写在比114大的数（437）的线外，并求得余数为95。

（3）用余数95去除114，把商数“1”写在114右边的直线外，并求得余数为19。

（4）用余数19去除95，把商数“5”写在95左边的直线外面，并求得余数为0。

（5）当余数为0时，就可断定余数0前面的那一个余数19，就是437和551的最大公约数。

又如，求67和54的最大公约数，求法可以是由余数可知，67和54的最大公约数是1。

也就是说，67和54是互质数。

辗转相除法，虽又称作“欧几里得算法”，实际上它是我国最先创造出来的。

早在我国古代的《九章算术》上，就有“以少减多，更相减损”的方法求最大公约数的记载。

一般认为，“辗转相除法”即源于此。

这比西方人欧几里得等人的发现要早600年以上。

辗转相除法是求两个数的最大公约数的方法。

如果要求三个或三个以上数的最大公约数，可以用它先求出其中两个数的最大公约数，再求这个最大公约数与第三个数的最大公约数。

这样依次下去，直到最后一个数为止。

最后的一个最大公约数，就是这几个数所要求的最大公约数。

【分数最大公约数求法】自然数的最大公约数的定义，可以扩展到分数。

一组分数的最大公约数一定是分数，而这组分数分别除以它们的最大公约数，应得整数。

求一组分数的最大公约数的方法是：（1）先将各个分数中的带分数化成假分数；（2）再求出各个分数分母的最小公倍数a；（3）然后求出各个分数分子的最大公约数b；再求出三个分母的最小公倍数，得72；然后求出三个分子35、21和56的最大公约数，得7；【最小公倍数求法】求最小公倍数可采用下面三种方法。

（1）分解质因数法。

先把各数分解质因数，在所有相同的质因数中，每一个取出指数最大的，跟所有不同的质因数连乘起来，就是所求的最小公倍数。

例如，求120、330和525的最小公倍数。

∵120=23×3×5，330=2×3×5×11，525=3×52×7；∴[120，330，525]=23×3×52×7×11=46200注：“[120，330，525]=46200”表示“120、330和525三个数的最小公倍数是46200”。

（2）检验公约数法。

“检验公约数法”即“试除法”或“用短除法的求法”，也就是小学数学课本上介绍的一般方法，此处略。

（3）先求最大公约数法。

由于“两个数的乘积等于这两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积”，即a·b=（a，b）·[a，b]所以，两个数的最小公倍数，可由这两个数的乘积除以这两个数的最大公约数来求得。

即例如，求[42，105]。

若要求三个或三个以上的数的最小公倍数，可以先求其中两个数的最小公倍数，再求这个最小公倍数与第三个数的最小公倍数，再求这个最小公倍数与第四个数的最小公倍数，……，如此依次做下去，直到最后一个数为止。

最后求得的那个最小公倍数，就是所要求的这几个数的最小公倍数。

例如，求[300，540，160，720]∴[300，540，160，720]=21600【分数最小公倍数求法】自然数的最小公倍数的定义，可以推广到分数。

一组分数的最小公倍数，可能是分数，也可能是整数，但它一定是这组分数中各个分数的整数倍数。

求一组分数的最小公倍数，方法是：（1）先将各个分数中的带分数化成假分数；（2）再求出各个分数分子的最小公倍数a；（3）然后求出各个分数分母的最大公约数b；再求各分数分子的最小公倍数，得[35，21，56]=840；然后求各分数分母的最大公约数，得（6，8，9）=1【数的互化方法】整数、小数和分数，整数、假分数和带分数，整数、小数、分数和百分数，成数（或折数）、分数和百分数，它们之间可以互化，互化的方法见小学数学课本，此处略。

化循环小数为分数，还可以用移动循环节的方法。

例如由这些实例，可以得循环小数化分数的法则如下：（1）纯循环小数化分数的法则。

纯循环小数可以化成这样的分数：分子是一个循环节的数字所组成的数；分母的各位数字都是9，“9”的个数同循环节的位数相同。

（2）混循环小数化分数的法则。

混循环小数可以化成这样的分数：分子是小数点后面第一个数字到第一个循环节的末位数字所组成的数，减去不循环数字所组成的数所得的差；分母的头几个数字是9，末几位数字是0，“9”字的个数同循环节的位数相同，“0”字的个数和不循环部分的位数相同。