《勾股定理》专题总结及应用

《勾股定理》专题总结及应用

本章概述

本章主要学习勾股定理、勾股定理的逆定理及它们的应用.通过从特殊到一般的探索过程过程验证了直角三角形三边之间的数量关系——勾股定理，又由生活实例及三角形全等方法验证由三边关系得到直角三角形——勾股定理的逆定理.学习时应注意区分并把它们运用到实际问题中，同时了解定理、互逆命题、互逆定理的相关内容．

本章学习重难点

【本章重点】会灵活运用勾股定理进行计算及解决一些实际问题；掌握勾股定理的逆定理的内容及其证明过程，并会应用其解决一些实际问题.

【本章难点】掌握勾股定理探索过程，并掌握其适用范围；理解勾股定理及其逆定量．

【学习本章注意的问题】

在学习本章内容的过程中，主要注意勾股定理及其逆定理的应用.在解决实际问题的过程中常用下列方法：（1）直接法；（2）转化法；（3）构造图形法（即构造直角三角形以达到解题的目的）；

（4）图形结合法；（5）数形结合法；（6）方程的思想方法.

中考透视

本节知识在中考中以考查已知直角三角形的两边求第三边，运用勾股定理解决实际问题为主.其中定理在实际生活中的应用是热点，一般以选择题、填空题或解答题的形式出现，有时也与其他知识一起综合命题． 知识网络结构图

一、知识性专题

专题1 勾股定理及其逆定理的应用

【专题解读】要证明以三条线段（或线段所在的直线）为边的三角形是直角三角形，应设法求出三边的长或关系式，利用勾股定理的逆定理证明.

例1 如图18-69所示，在等腰直角三角形ABC 的斜边上取两点M ，N ，

使∠MCN =45°，设AM=a ,MN=x,BN=b ,判断以x,a,b 为边长的三角形的形状.

分析 要判断三角形的形状，就应设法将x,a,b 放到一个三角形中，由于

∠MCN =45°，因此可过点C 作CD ⊥MC ，截取CD=CM ，这样就可以得到

全等的三角形，并把x,a,b 放到一个三角形中，进而利用勾股定理的逆定理

判断三角形的形状.

解：作CD ⊥CM ，且CD=CM ，连接ND ，BD ，

∵AC ⊥BC ，CD ⊥CM ，∴∠ACB =∠MCD =90°.∴∠ACM =∠BCD .

又∵AC=BC ，CM=CD ，∴△CAM ≌△CBD .

∴∠CBD=∠A =45°,AM=BD=a .

∴CM=CD ,∠MCN =∠DCN =45°,CN=CN ,

∴△MCN ≌△DCN . ∴ND=MN=x .

直角三角形

勾股定理

拼图法验证

应用 勾股定理的逆定理 判断直角三角形

勾股数

应用

∴∠CBA=∠CBD=45°, ∴∠NBD=∠CBA+∠CBD=90°.

∴NB2+BD2=ND2,即b2+a2=x2,

∴△NBD为直角三角形,即以x,a,b为边长的三角形是直角三角形.

【解题策略】巧用已知条件构造全等三角形,将线段x,a,b放到一个三角形中,为应用勾股定理的逆定理创造了条件.

例2 李老师让同学们讨论这样一个问题:如图18-70所示,有一个长方体盒

子,底面正方形的边长为2 cm,高为3 cm.在长方体盒子下底面的A点有一只蚂

蚁,它想吃到上底面的F点处的食物,则怎样爬行路程最短?最短路程是多少?

过了一会儿,李老师问同学们答案,甲生说:先由A点到B点,再走对角线BF.

乙生说:我认为应由A先走对角线AC,再由C点到F点.丙生说:将长方形ABCD

与长方形BEFC展开成方长形ABFG,利用勾股定理求AF的长.哪位同学的说

法正确?还有其他方法吗?若有,请叙述出来,并说明理由.(参考数据:29≈5.392)

分析要使蚂蚁爬行的路程最短,可直接连接AF,再求出AF,但AF在盒子里

面,不符合题目要求,甲生和乙生的方法类似,只是顺序不同;丙生和丁生的方法

类似,只是长方形的长、宽不同，若在丙、丁的长方形中分别画出甲、乙的路

线，则发现丙生和丁生的办法都符合要求，但究竟哪个路程最短，就需要计

算了.

解：按丙生的办法：将长方形ABCD与长方形BEFC展开成长方形AEFD，

如图18-71所示，

则AE=AB+BE=4 cm,EF=3 cm,连接AF，

在Rt△AEF中，AF2=AE2+EF2=42+32=25，

∵AF=5 cm.连接BF,

∵AF＜AB+BF,∴丙的方法比甲的好.

按丁生的办法:将长方形ABCD与正方法CFGD展开成长方形ABFG,如图

18-72所示,

则BF=BC+CF=3+2=5(cm),AB=2 cm,连接AF.

在Rt△ABF中,AF2=BF2+AB2=52+22=29≈5.392,

∴AF≈5.39(cm).连接AC,

∵AF＜AC+CF,∴丁的方法比乙的好.

比较丙生与丁生的计算结果,丙生的说法正确.

二、规律方法专题

专题2 利用勾股定理解决折叠问题

【专题解读】折叠问题与轴对称和图形全等是密不可分的.做题时一定

要抓住这一点,以免有无从下手之感.

例3 如图18-73所示,将长方形ABCD沿直线BD折叠,使点C落在点C′

处,BC′交AC于E,AD=8,AB=4,求△BED的面积.

分析由于

1

2

ABC

S DE AB

,所以只要求出DE的长即可,而

DE=BE,AE=AD-DE=8-BE,在Rt△ABE中,利用勾股定理列方程求解.

解:∵AD∥BC,∴∠2=∠3.

∵△BC′D与△BCD关于直线BD对称,

∴∠1=∠2,∴∠1=∠3,∴EB=ED.

设EB=x,则ED=x,AE=AD-ED=8-x.

在Rt△ABE中,AB2+AE2=BE2.