离散数学.逻辑习题.复习
离散数学复习资料 试卷 习题与答案全案
离散数学总复习资料一、鸽笼原理与容斥原理1．求证边长为1的正方形中放9个点，由这些点构成的三角形中，必有一个三角形面积小于18。
证：把该正方形均分成四个相同的小正方形，则由鸽笼原理知，必有一个小正方形内存在三个点，且这三个点构成的三角形面积小于18。
# 2．对一列21n +个不同整数，任意排列，证明一定存在长为1n +的上升子序列或下降子序列。
证：设此序列为：2121,,,,,k n a a a a +，从k a 开始上升子序列最长的长度为k x ，下降子序列最长的长度为k y ，每一个k a 2(1,2,,1)k n =+都对应了(,)k k x y 。
若不存在长为1n +的上升子序列或下降子序列，那么,k k x n y n ≤≤，形如(,)k k x y 的不同点对至多有2n 个，而k a 有21n +个，则由鸽笼原理知，必有,i j a a 2(11)i j n ≤<≤+同时对应(,)i i x y =(,)j j x y ，由于i j a a ≠，若i j a a <，则i x 至少比j x 大1，若i j a a >，则i y 至少比j y 大1，这均与(,)i i x y =(,)j j x y 矛盾。
故原命题成立。
#3．求}100,,2,1{ 中不被3、4、5整除的个数。
解： 设A 表示}100,,2,1{ 中被3整除的数的集合，B 表示}100,,2,1{ 中被4整除的数的集合，C 表示}100,,2,1{ 中被5整除的数的集合，则20,25,33===C B A6,5,8=⋂=⋂=⋂A C C B B A ， 1=⋂⋂C B A ，进而有C B A A C C B B A C B A C B A ⋂⋂+⋂-⋂-⋂-++=⋃⋃601658202533=+---++= 故有4060100=-=⋃⋃-=⋃⋃C B A U C B A即}100,,2,1{ 中不被3、4、5整除的个数为40。
命题逻辑练习题
命题逻辑练习题《离散数学》命题逻辑部分练习题⼀、选择题1．下列句⼦中，（）是命题。
A ．2是常数。
B ．这朵花多好看呀！C ．请把门关上！D ．下午有会吗？2．令p : 今天下雪了，q :路滑，r :他迟到了。
则命题“下雪路滑，他迟到了” 可符号化为（）。
A. p q r ∧→ B. p q r ∨→ C. p q r ∧∧ D. p q r ∨?3．令:p 今天下雪了，:q 路滑，则命题“虽然今天下雪了，但是路不滑”可符号化为（）。
A. p q ∧? B. p q ∧ C. p q ∨?D. p q →?4．设()P x :x 是鸟，()Q x :x 会飞，命题“有的鸟不会飞”可符号化为（）。
A. ()(()())x P x Q x ??→B. ()(()x P x ??∧())Q xC. ()(()())x P x Q x ??→D. ()(()x P x ??∧())Q x 5.设()F x :x 是⼈，()G x :x 犯错误，命题“没有不犯错误的⼈”符号化为（）。
A ．(()())x F x G x ?∧B ． (()())x F x G x ??→?C ．(()())x F x G x ??∧D ． (()())x F x G x ??∧? 6.下列命题公式不是永真式的是（）。
A. ()p q p →→B. ()p q p →→C. ()p q p ?∨→D. ()p q p →∨ 7．下列式⼦为⽭盾式的是（）。
A ．()p p q ∨∧B ．p p ∨?C ．p p ∧?D ． ()p q p q ?∨??∧? 8．命题：“所有马都⽐某些⽜跑得快” 的符号化公式为( )。
假设：H(x )：x 是马；C(x )：x 是⽜；F(x,y )：x 跑得⽐y 快。
A. ()(()()(()(,)))x H x y C y F x y ?∧?∧B. ()(()()(()(,)))x H x y C y F x y ?→?→C. ()(()()(()(,)))x H x y C y F x y ?→?∧D. ()()(()(()(,)))y x H x C y F x y ??→→⼆、计算题（仅给出部分题⽬的解题思路，未给出答案⾃⼰完成）1. 已知命题公式()()p q p r ?→→∧（1）构造真值表（2）求出公式的主析取范式（2）()()p q p r ?→→∧0157()()()()p q r p q r p q r p q r m m m m ??∧?∧?∨∧∧?∨∧?∧∨∧∧?∨∨∨2.已知命题公式()()p q p r ∨→?∨（1）构造真值表；（2）⽤等值演算法求公式的主析取范式。
《离散数学》复习题及答案
页眉内容《离散数学》试题及答案一、选择或填空（数理逻辑部分）1、下列哪些公式为永真蕴含式？( )(1)⌝Q=>Q→P (2)⌝Q=>P→Q (3)P=>P→Q (4)⌝P∧(P∨Q)=>⌝P答：（1），（4）2、下列公式中哪些是永真式？( )(1)(┐P∧Q)→(Q→⌝R) (2)P→(Q→Q) (3)(P∧Q)→P (4)P→(P∨Q)答：（2），（3），（4）3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( )(1)P=>P∧Q (2) P∧Q=>P (3) P∧Q=>P∨Q(4)P∧(P→Q)=>Q (5) ⌝(P→Q)=>P (6) ⌝P∧(P∨Q)=>⌝P答：（2），（3），（4），（5），（6）4、公式∀x((A(x)→B(y，x))∧∃z C(y，z))→D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。
答：x,y, x,z5、判断下列语句是不是命题。
若是，给出命题的真值。
( )(1)北京是中华人民共和国的首都。
(2) 陕西师大是一座工厂。
(3) 你喜欢唱歌吗？ (4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。
(5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！答：（1）是，T （2）是，F （3）不是（4）是，T （5）不是（6）不是6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( )，而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。
答：所有人都不是大学生，有些人不会死7、设P：我生病，Q：我去学校，则下列命题可符号化为( )。
(1) 只有在生病时，我才不去学校 (2) 若我生病，则我不去学校(3) 当且仅当我生病时，我才不去学校(4) 若我不生病，则我一定去学校答：（1）PP⌝P→⌝↔（4）QQ→⌝（2）QP⌝→（3）Q8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是( )。
(1) ∀x∃y(x+y=0) (2) ∃y∀x(x+y=0)答：（1）对任一整数x存在整数 y满足x+y=0（2）存在整数y对任一整数x满足x+y=0 9、设全体域D是正整数集合，确定下列命题的真值：(1) ∀x∃y (xy=y) ( ) (2) ∃x∀y(x+y=y) ( )(3) ∃x∀y(x+y=x) ( ) (4) ∀x∃y(y=2x) ( )答：（1） F （2） F （3）F （4）T10、设谓词P(x)：x是奇数，Q(x)：x是偶数，谓词公式∃x(P(x)∨Q(x))在哪个个体域中为真?( )(1) 自然数(2) 实数 (3) 复数(4) (1)--(3)均成立答：（1）11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是（）。
离散数学命题逻辑练习题
离散数学命题逻辑练习题⼀、选择题1. 设命题公式)(R Q P ∧→?，记作G ，使G 的真值指派为1的P ，Q ，R 的真值是( ) 0,0,1)D (0,1,0)C (1,0,0)B (0,0,0)A (2. 与命题公式P ?（Q ?R ）等价的公式是( )A ()P Q R ∨→B ()P Q R ∧→C ()P Q R →→D ()P Q R →∨3. 下列各组公式中，哪组是互为对偶的 ( )A ,P PB ,P P ?C ,()A A **D ,A A(其中P 为单独的命题变元，A 为含有联结词的公式)4. 命题公式(P ∧(P →Q))→Q 是_____式。
A 重⾔B ⽭盾C 可满⾜D ⾮永真的可满⾜5. 下⾯命题联结词集合中，哪个是最⼩联结词 ( )A {,}?B {,,}?∧∨C {}↑D {,}∧→6. 命题公式()P Q R ?∧→的主析取范式种含⼩项的个数为 ( )A 8B 3C 5D 07. 如果A B ?成⽴，则以下各种蕴含关系哪⼀个成⽴ ( )A B A ? B A B C B A D A B ??8. 命题公式()()P Q P R →∧→的主析取范式中包含⼩项 ( )A P Q R ∧∧B P Q R ∧∧?C P Q R ∧?∧D P Q R ∧?∧?9. ,,A B C 为任意命题公式，当（）成⽴时，有A B ?。
A AB B AC B C ∨?∨ C A C B C ∧?∧D C A C B →?→10. 下⾯4个推理定律中，不正确的是 ( )A ()A AB ?∧ B ()A B A B ∨∧??C ()A B A B →∧?D ()A B B A →∧11. 下列命题公式是等价公式的为（）．A ．?P??Q ?P?QB ．A?(?B?A) ??A?(A?B)C ．Q ?(P?Q )??Q ?(P?Q )D ．?A?(A?B) ?B12. 命题公式)(Q P →?的主析取范式是（）．A ．Q P ?∧B ．Q P ∧?C ．Q P ∨?D ．Q P ?∨13．下列表述成⽴的为（）．A ．?P ??Q ?P ?QB ．?B ?A ? A ?BC ．P ? Q ?QD ．?A ? (A ?B ) ?B14. ⼀个公式在等价意义下，下⾯哪个写法是唯⼀的（）。
数理逻辑复习题
离散数学期末复习题2012-6-161.“太阳系以外的星球上有生命。
”是命题。
（ T ）2．ρ（A⋃B）=ρ（A）⋃ρ（B）（ F ）ρ（A∩B）=ρ（A）∩ρ（B）（ T ）3．一个命题的合取范式不是唯一的。
（ T ）4．等价式⌝（∃x）A（x）⇔（∀x）⌝A（x）成立。
( T )5．（∀x）（P（x）∨Q（x））∧ R（x）是命题。
（ F ）8．对于一个谓词公式，指定不同的个体域，则其真值不一定相同.T9. 若命题公式A的主析取范式包含全部的极小项，则A为永真式T10．命题“他在教室看书或在宿舍看书。
”可以符号化为P∨ S。
F11．当个体域S=｛a,b,c｝消去公式(∀x) P(x)∨(∃x)Q(x)中量词为(P(a)∨Q(a)) ∧ (P(b)) ∨Q(b)) ∧ (P(c)∨Q(c)) F12. 设P、Q是两个命题，当且仅当P、Q的真值均相同时，P↔Q的值为T. T13. 命题公式(P∧(P→ Q)) → Q是永真式. T14．命题联结词集｛∨、∧｝是极小功能完备的联结词集. F15．(A ≠Φ) ∧ (B ≠Φ) ⇒ (A ⋂ B ≠Φ ) F16. （P ↔ Q）→┐（ P ∨Q）是矛盾式。
F17. ∃xA(x) ∨∃x B(x) ⇒∃x ( A(x) ∨ B(x)) T19. 若关系R不具有对称性则R一定具有反对称性 F22. 设A、B、C是任意集合，且C-B = C-A，则A=B 。
F23. 设A、B和C为任意集合，且A∪B=A∪C，则B=C. F24．若R和S是X上具有对称性的关系，则R º S也具有对称性。
F25．若R和S是X上的具有对称性的关系，则R ∩S具有对称性。
T26．∃xA(x)∨∃x B(x)⇒∃x ( A(x) ∨ B(x)) （F ）27．（P ↔ Q）→┐（ P ∨Q）是可满足式。
（ F）28．｛｝=｛φ｝（ F ）二、填空题1．已知B={ {a，b}，c}，则B的幂集ρ（B）= { B ,Φ,{{a，b}}，{c} }2．已知A={1，2，3，4，5，6，7}，B={2，4，6，8，10}，则A-B= {1,3,5,7,} ,A + B= {1,3,5,7, 8,10} 。
[试题]离散数学复习题（请参考课件）
![[试题]离散数学复习题（请参考课件）](https://img.taocdn.com/s3/m/f28571b7294ac850ad02de80d4d8d15abe230009.png)
离散数学Part1_数理逻辑部分1．将下列命题符号化。
P48（1）豆沙包是由面粉和红小豆做成的.（2）苹果树和梨树都是落叶乔木.（3）王小红或李大明是物理组成员.（4）王小红或李大明中的一人是物理组成员.（5）由于交通阻塞，他迟到了.（6）如果交通不阻塞，他就不会迟到.（7）他没迟到，所以交通没阻塞.（8）除非交通阻塞，否则他不会迟到.（9）他迟到当且仅当交通阻塞.分清复合命题与简单命题分清相容或与排斥或分清必要与充分条件及必要充分条件答案：（1）是简单命题（2）是合取式（3）是析取式（相容或）（4）是析取式（排斥或）请分别写出（1）—（4）的符号化形式设p: 交通阻塞，q: 他迟到（5）p→q, （6）⌝p→⌝q或q→p（7）⌝q→⌝p或p→q, （8）q→p或⌝p→⌝q（9）p↔q或⌝p↔⌝q可见（5）与（7），（6）与（8）相同（等值）3．用真值表判断下面公式的类型P51（1）p r (q p)（2）((p q) ( q p)) r（3）(p q) (p r)按层次写真值表，由最后一列判类型答案：（1）为矛盾式，（2）为重言式，（3）为可满足式例用等值演算法判断下列公式的类型P59（1）q (p q)（2）(p q) ( q p)（3）((p q) (p q)) r)解（1）q (p q)q ( p q) （蕴涵等值式）q (p q) （德摩根律）p (q q) （交换律，结合律）p 0 （矛盾律）0 （零律）由最后一步可知，（1）为矛盾式.（2）(p q) ( q p)( p q) (q p) （蕴涵等值式）( p q) ( p q) （交换律）1由最后一步可知，（2）为重言式.问：最后一步为什么等值于1？说明：（2）的演算步骤可长可短，以上演算最省.（3）((p q) (p q)) r)(p (q q)) r（分配律）p 1 r（排中律）p r（同一律）由最后一步可知，（3）不是矛盾式，也不是重言式，它是可满足式，其实101, 111是成真赋值，000, 010等是成假赋值.总结：从此例可看出A为矛盾式当且仅当A 0A为重言式当且仅当A 1例求公式A=(p q) r的主析取范式与主合取范式. P71（1）求主析取范式(p q) r(p q) r（析取范式）①(p q)(p q) ( r r)(p q r) (p q r)m6 m7②r( p p) ( q q) r( p q r) ( p q r) (p q r) (p q r)m1 m3 m5 m7 ③②, ③代入①并排序，得(p q) r m1 m3 m5 m6 m7 （主析取范式）（2）求A的主合取范式(p q) r(p r) (q r) （合取范式）①p rp (q q) r(p q r) (p q r)M0 M2 ②q r(p p) q r(p q r) ( p q r)M0 M4 ③②, ③代入①并排序，得(p q) r M0 M2 M4 （主合取范式1．设A与B均为含n个命题变项的公式，判断下列命题是否为真？P85（1）A B当且仅当A与B有相同的主析取范式（2）若A为重言式，则A的主合取范式为0（3）若A为矛盾式，则A的主析取范式为1（4）任何公式都能等值地化成{ , }中的公式（5）任何公式都能等值地化成{ , , }中的公式（1）为真，这是显然的（2）为假. 注意, 任何公式与它的主范式是等值的，显然重言式不能与0等值。
《离散数学》复习题及答案
《离散数学》复习题及答案《离散数学》试题及答案⼀、选择或填空（数理逻辑部分）1、下列哪些公式为永真蕴含式？( )(1)?Q=>Q→P (2)?Q=>P→Q (3)P=>P→Q (4)?P∧(P∨Q)=>?P答：（1），（4）2、下列公式中哪些是永真式？( )(1)(┐P∧Q)→(Q→?R) (2)P→(Q→Q) (3)(P∧Q)→P (4)P→(P∨Q)答：（2），（3），（4）3、设有下列公式，请问哪⼏个是永真蕴涵式?( )(1)P=>P∧Q (2) P∧Q=>P (3) P∧Q=>P∨Q(4)P∧(P→Q)=>Q (5) ?(P→Q)=>P (6) ?P∧(P∨Q)=>?P答：（2），（3），（4），（5），（6）4、公式?x((A(x)→B(y，x))∧?z C(y，z))→D(x)中，⾃由变元是( )，约束变元是( )。
答：x,y, x,z5、判断下列语句是不是命题。
若是，给出命题的真值。
( )(1)北京是中华⼈民共和国的⾸都。
(2) 陕西师⼤是⼀座⼯⼚。
(3) 你喜欢唱歌吗？ (4) 若7+8＞18，则三⾓形有4条边。
(5) 前进！ (6) 给我⼀杯⽔吧！答：（1）是，T （2）是，F （3）不是（4）是，T （5）不是（6）不是6、命题“存在⼀些⼈是⼤学⽣”的否定是( )，⽽命题“所有的⼈都是要死的”的否定是( )。
答：所有⼈都不是⼤学⽣，有些⼈不会死7、设P：我⽣病，Q：我去学校，则下列命题可符号化为( )。
(1) 只有在⽣病时，我才不去学校 (2) 若我⽣病，则我不去学校(3) 当且仅当我⽣病时，我才不去学校(4) 若我不⽣病，则我⼀定去学校答：（1）PP?P→（4）QQ→→（3）Q8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是( )。
(1) ?x?y(x+y=0) (2) ?y?x(x+y=0)答：（1）对任⼀整数x存在整数 y满⾜x+y=0（2）存在整数y对任⼀整数x满⾜x+y=0 9、设全体域D是正整数集合，确定下列命题的真值：(1) ?x?y (xy=y) ( ) (2) ?x?y(x+y=y) ( )(3) ?x?y(x+y=x) ( ) (4) ?x?y(y=2x) ( )答：（1） F （2） F （3）F （4）T10、设谓词P(x)：x是奇数，Q(x)：x是偶数，谓词公式?x(P(x)∨Q(x))在哪个个体域中为真?( )(1) ⾃然数(2) 实数 (3) 复数(4) (1)--(3)均成⽴答：（1）11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是（）。
离散复习题
离散数学1.将下面程序语言进行化简If A then if B then X else Y else if B then X else Y2.在自然推理系统P中构造下面推理的证明：前提：,,p q r q rs ⌝∨∨⌝→ 结论：p s →.3设一阶逻辑公式((,)(()()))G x yP x y zQ z R x =∃⌝∃→∃→试将G 化成与其等价的前束范式。
4.判断下面推理是否正确，并证明你的结论。
如果小王今天家里有事，则他不会来开会。
如果小张今天看到小王，则小王今天来开会了。
小张今天看到小王。
所以小王今天家里没事。
5、构造下面推理的证明前提： ))()(()),()()((x R x F x x H x G x F x ∧∃∧→∀结论: ))()()((x G x R x F x ∧∧∃6用等值演算法和真值表法判断公式)())()((Q P P Q Q P A ↔↔→∧→=的类型。
7分别用真值表法和公式法求(P →(Q ∨R ))∧(⌝P ∨(Q ↔R ))的主析取范式，并写出其相应的成真赋值和成假赋值。
8用逻辑推理证明：所有的舞蹈者都很有风度，王华是个学生且是个舞蹈者。
因此有些学生很有风度。
9、设A ＝{∅，1，{1}}，B ＝{0，{0}}，求P (A )、P (B )－{0}、P (B )⊕B 。
10、设X ＝{1，2，3，4}，R 是X 上的二元关系，R ＝{<1，1>，<3，1>，<1，3>，<3，3>，<3，2>，<4，3>，<4，1>，<4，2>，<1，2>}(1)画出R 的关系图。
(2)写出R 的关系矩阵。
(3)说明R 是否是自反、反自反、对称、传递的。
11、集合X={<1,2>, <3,4>, <5,6>,… }，R={<<x 1,y 1>,<x 2,y 2>>|x 1+y 2 = x 2+y 1} 。
离散数学命题逻辑练习题及答案
离散数学命题逻辑练习题及答案本文档包含了一些离散数学中的命题逻辑练习题及其详细答案。
在离散数学中，命题逻辑是一种符号逻辑系统，它研究命题的形式和逻辑推理的规则。
这些练习题旨在帮助读者巩固对命题逻辑基本概念的理解，并锻炼逻辑推理能力。
练习题1.写出下列命题的否定形式：a)如果今天下雨，我就不出门。
b)数学和计算机科学是紧密相关的学科。
c)所有猫都有尾巴。
d)如果一个数是偶数，它肯定可以被2整除。
2.判断以下陈述是否为命题，并给出理由：a)蓝色是我最喜欢的颜色。
b)2加2等于4。
c)这是一个错误的陈述。
d)如果明天下雨，我就会带伞。
3.使用真值表判断以下复合命题的真值：a)P ∧ (¬Q ∨ R)b)(P ∧ Q) ∨ (¬R ∧ S)c)(P → Q) ∧ (R → S)d)(P ∨ Q) ∧ (¬P ∨ Q)4.使用推理规则化简以下逻辑表达式：a)~((P ∧ Q) ∨ R)b)~(P ∨ (Q ∧ R))c)(~P ∧ Q) ∨ ((~P ∨ Q) ∧ R)d)(P → Q) ∨ (¬Q → ¬P)答案a)今天下雨而且我不出门。
b)数学和计算机科学不是紧密相关的学科。
c)存在不具备尾巴的猫。
d)存在一个偶数，它不能被2整除。
a)不是命题。
因为它表达了个人偏好，无法判断真假。
b)是命题。
因为它可以明确地判断为真。
c)不是命题。
因为它没有明确的真值。
d)是命题。
因为它可以根据明天的天气情况来判断真假。
P Q R¬Q ∨ R P ∧ (¬Q ∨ R)T T T T TT T F F FT F T T TT F F T TF T T T FF T F T FF F T T FF F F T FP Q R P ∧ Q¬R ∧ S(P ∧ Q) ∨ (¬R ∧ S) T T T T F TT T F T F TT F T F T TT F F F T TF T T F F FF T F F F FF F T F F FF F F F F FP Q R P → Q R → S(P → Q) ∧ (R → S) T T T T T TT T F T F FT F T F T FT F F F T FF T T T T TF T F T F TF F T T T TF F F T T TP Q(P ∨ Q)¬P ∨ Q(P ∨ Q) ∧ (¬P ∨ Q) T T T T TT F T F FF T T T TF F F F F~((P ∧ Q) ∨ R)= ~(P ∧ Q) ∧ ~R~(P ∨ (Q ∧ R))= ~P ∧ ~(Q ∧ R)= ~P ∧ (~Q ∨ ~R)(~P ∧ Q) ∨ ((~P ∨ Q) ∧ R)= (~P ∨ ~P) ∧ (Q ∨ Q) ∧ (Q ∨ R) ∧ (~P ∨ R) = ~P ∧ Q ∨ R(P → Q) ∨ (¬Q → ¬P)= (~P ∨ Q) ∨ (Q ∨ ¬P)= (~P ∨ Q) ∨ (¬P ∨ Q)= T以上是一些离散数学命题逻辑的练习题及答案。
离散数学 数理逻辑练习题
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6、下列陈述句中不属于排斥或的是_______。 A、李小川生于1990年或1991年 B、4是奇数或是偶数 C、章海燕去过美国或去过加拿大 D、赵远远只能选学英语或只能选学法语
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7、证明下列公式的等价关系： ( p r ) ( q r ) ( p q) r
8、在自然推理系统中，构造下面推理的证明。 前提： ， x( F ( x) (G(a) R( x))) xF (x) 结论：
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4. 如果王小红努力学习，她一定取得好成绩。 若王小红贪玩或不按时完成作业，她就不能 取得好成绩。所以，如果王小红努力学习， 她就能按时完成作业。 (1) 将命题中的4个简单命题依次符号化为 p,q,r,s； (2) 将命题符号化，即将命题的前提和结论符 号化； (3) 在自然推理系统P中构造命题的推理证明。
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8、下列集合不是连接词极小全功能集的为_____。 A、{¬,∧,∨} B、{¬,→}
C、{↓}
D、{↑}
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9、下列谓词公式不是命题公式P→Q的代换 实例的是______ A、F ( x) G( y) B、xF ( x, y) yG( x, y)
C、 x( F ( x) G( x)) D、xF ( x) G( x)
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5、公安人员审查一件盗窃案，已知的事实如下： ① 甲或乙盗窃了录音机； ② 若甲盗窃了录音机，则作案时间不能发生在午夜前； ③ 若乙的证词正确，则午夜时屋里灯光未灭； ④ 若乙的证词不正确，则作案时间发生在午夜之前； ⑤ 午夜时屋里灯光灭了。 试问谁盗窃了录音机？将命题符号化，即将命题的前 提符号化；然后在自然推理系统中构造命题的推理 证明过程。
离散考试复习题题
第一部分：数理逻辑1 下列语句是命题的是( ）：A.15能被3整除，3是偶数吗？B.明年5月1日是晴天C.2X+3>0D.我在说谎.2下列叙述中有( ）个命题(1)离散数学是计算机科学系的一门必修课 (2) 地球外的星球上也有人(3) 我正在说谎. (4)请不要吸烟A.1个B.2个C. 3个D. 4个3 下列语句中不是．．命题的只有（）A．这个语句是假的。
B．1+1=1.0C．飞碟来自地球外的星球。
D．凡石头都可练成金。
4 设p：我很累，q：我去学习，命题：“除非我很累，否则我就去学习”的符号化正确的是A．┐p∧q B．┐p→qC．┐p→┐q D．p→┐q5 令p：今天下雪了，q：路滑，则命题“虽然今天下雪了，但是路不滑”可符号化为（）A. p∧┐q B．p∨┐qC. p∧q D．p→┐q6使用逻辑连接词将下列复合命题符合化：（1）如果天不下雪且我有时间，我就进城；（2）我进城的必要条件是我有时间；（3）天不下雪或我不进城；（4）我进城当且仅当我有时间且天不下雪。
7判断下面一段论述是否为真：“ 是无理数。
并且，如果3是无理数，则2也是无理数。
另外6能被2整除，6才能被4整除。
”11. 将下列命题符号化(1)2或3是素数.(2)4或6是素数.(3)小元元只能拿一个苹果或一个梨.(4)王晓红生于1975年或1976年.8命题公式q ∧(p ∨┐q)的成真赋值是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿9命题公式p ∨(┐p →(q ∨(┐q →r)))的成假赋值是＿＿＿＿＿＿＿＿10 命题公式(p →(q ∧r))∧(┐p →(┐q ∧┐r))的成真赋值是＿＿＿11 命题公式p →(p ∧(q →r))的成假赋值是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿12..下列命题公式中是重言式的为（ ）A.q q)p (∧→⌝B. r q p ∧∧)(C.)()(q p q p ⌝∧∨∧D.p p q p ↔→→))((13 命题公式“q p q p →⌝∧∨)(”，是__________。
离散数学导论复习题答案
离散数学导论复习题答案一、逻辑基础1. 命题逻辑的基本概念：- 命题：可以判断真假的陈述句。
- 真值表：列出命题变量的所有可能值及其对应的真值。
2. 逻辑运算符：- 与（∧）：两个命题都为真时结果才为真。
- 或（∨）：两个命题中至少有一个为真时结果为真。
- 非（¬）：命题的否定。
- 蕴含（→）：如果A为真，则B为真。
- 等价（↔）：A为真当且仅当B为真。
3. 命题逻辑的推理规则：- 合取引入规则：如果A和B都为真，则A∧B为真。
- 合取消规则：如果A∧B为真，则A和B都为真。
- 析取引入规则：如果A或B至少一个为真，则A∨B为真。
- 析取消规则：如果A∨B为真，不能确定A或B的真值。
二、集合论1. 集合的基本概念：- 元素：集合中的成员。
- 子集：一个集合的所有元素都是另一个集合的元素。
2. 集合运算：- 并集（∪）：两个集合中所有元素的集合。
- 交集（∩）：两个集合共有的元素的集合。
- 差集（-）：一个集合中但不在另一个集合中的元素的集合。
- 补集（'）：一个集合所在空间中但不在该集合中的所有元素的集合。
3. 集合恒等式：- A ∪ A = A- A ∩ A = A- A ∪ ∅ = A- A ∩ U = A三、关系和函数1. 关系的定义：- 二元关系：定义在两个集合上的有序对集合。
2. 关系的性质：- 自反性：每个元素至少与自己相关。
- 对称性：如果(a, b)在关系中，则(b, a)也在关系中。
- 传递性：如果(a, b)和(b, c)在关系中，则(a, c)也在关系中。
3. 函数的定义：- 函数：将一个集合的每个元素唯一映射到另一个集合的元素。
4. 函数的性质：- 单射（Injective）：不同元素映射到不同的元素。
- 满射（Surjective）：目标集合的每个元素至少有一个原像。
- 双射（Bijective）：既是单射又是满射。
四、图论1. 图的定义：- 顶点：图中的节点。
离散数学复习资料
《离散数学》习题与解答第一篇数理逻辑第一章命题逻辑1-1（1）指出下列语句哪些是命题，哪些不是命题，如果是命题指出他的真值a)离散数学是计算机科学系的一门必修棵b)∏> 2 吗？c)明天我去看电影d)请勿随地吐痰e)不存在最大质数f)如果我掌握了英语，法语，那么学习其他欧洲的语言就容易多了g)9+5<12h)x<3i)月球上有水j)我正在说假话[解]a)不是命题b)是命题,真值视具体情况而定c)不是命题d)是命题,真值为te)是命题,真值为tf)是命题,真值为fg)不是命题h)是命题, 真值视具体情况而定i)不是命题1-2(1)用P表示命题“天下雪”,(又表示命题“我将去镇上”,R表示命题“我有时间”.以符号形式写出下列命题:(a)如果天不下雪和我有时间,那么我将去镇上.(b)我将去镇上，仅当我有时间.(c)天不下雪(d)天下雪,那么我不去镇上[解]a)(┐P∧R)→Qb)Q→Rc)┐Pd)P→┐Q1-2(2)将下面这段陈述中所出现的原子命题符号化,并指出他们的真值,然后将这段陈述中的每一命题符号化 2 是有理数是不对的.2是偶素数.2或4是素数.如果2是素数则3也是素数.2是素数当且仅当3也是素数.[解]:陈述中出现5个原子命题，将他们符号化为:P: 2 是有理数其真值为FQ:2是素数其真值为TR:2是偶数其真值为TS:3是素数其真值为TU:4是素数其真值为F陈述中各命题符号化为:┐P;Q∧R;Q∨U;Q→S;Q＜＝＞S1-2(3)将下列命题符号化a)如果3+3=6,则雪是白色的.b)如果3+3≠6,则雪是白色的c)如果3+3=6,则雪不是白色的.d)如果3+3≠6,则雪不是白色的e)王强身体很好，成绩也很好.f)四边形ABCD是平行四边形,仅当其对边平行[解]:设P:3+3=6 Q:雪是白色的R:王强成绩很好S:王强身体很好U: 四边形ABCD是平行四边形V: 四边形ABCD的对边是平行的于是:a)可表示为:P→Qb)可表示为: ┐P→Qc)可表示为: P→┐Qd)可表示为：┐P→┐Qe)可表示为：S∧Rf)可表示为:U＜＝＞V1-3(1)判别下列公式中哪些是合式公式,那些不是合式公式a) (Q→R∧S)b) (P＜＝＞(R→S))c) ((┐P→Q)→(Q→P)))d) (RS→T)e)((P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R)))[解]:a)不是合式公式(若规定运算符优先级后也可以作为合式公式)b)是合式公式c)不是合式公式(括号不配对)d)不是合式公式e)是合式公式1-3(2)对下列各式用指定的公式进行代换:a) (((A→B)→B)→A),用（A→C）代换A，用（（B∧C）→A代换B。
离散数学期末考试最新复习题 最新资料
离散复习一一、数理逻辑要点1：命题公式和真值表小项和大项、主析取范式和主合取范式永真式和推理证明1. n 个命题变元，共可组成 个命题公式（wff ）；可组成 个真值结果不同的命题公式；可组成 个主析取范式、 个主合取范式、 个主异或范式、 个主等值范式。
2. 因子项P Q R ∧⌝∧是简单 取式，若原公式中仅此三个变元，则将其称为 项；其角标表示为 ；对应角标的大项用公式表示出来是 。
3.对任一指派，为什么mi 和mj 不能同时为真？为什么Mi 和Mj 不能同时为假？这里i ≠j 。
4.P Q P Q ⌝∨⌝→↔⌝求公式（）（）的主析取和主合取范式。
5.,A B A C B C,A B A B A B A C B C ∨⇔∨⇔∧⇔∧⇔⌝⇔⌝⇔如果是否有？若是否有？如果，是否有？6.张三说李四在说谎，李四说王五在说谎，王五说张三、李四都在说谎，问张三、李四、王五3个人到底谁在说真话，谁说假话。
7.用推理规则论证下述问题：我或者去北京，或者去广州。
如果去北京，就去长城。
去了长城，就不能参加运动会。
所以，如果我参加了运动会，那么我去了广州。
要点2：量化断言和命题的关系量词辖域、自由变元和约束变元谓词永真式、推理规则及推理证明1. 设D={0,1}，P(0,0)=0，P(0,1)=1，P(1,0)=0；P(1,1)=1，则公式 (∀x)(∃y)P(x, y)可量化为 ，且可得该公式的真值结果为 ；(∃x) (∀y) P(x, y)可量化为 ，可得该公式的真值结果为 。
2.∀∧∃⌝证明公式xP(x)y P(y)是永假式。
3. xQ ∧∀⇒∃∧证明P(x)(x)x(P(x)Q(x))。
4. 符号化下列命题，并推证其结论：任何人如果他喜欢步行，他就不喜欢乘汽车，每一个人或者喜欢汽车，或者喜欢骑自行车。
有的人不爱骑自行车，因而有的人不爱步行。
二、集合论（集合、二元关系、函数）要点：集合与其子集、空集合和全集、集合运算集合与关系、关系运算二元关系图、哈斯图、偏序关系等价关系、等价类、划分如何定义一个函数特殊函数类、置换函数1. 运算{φ, {φ}}-{φ}的值为 。
离散数学命题逻辑练习题及答案
离散数学命题逻辑练习题及答案1. 命题逻辑基础1.1 命题逻辑概念1.什么是命题？答案：命题是可以判断真假的陈述句。
2.命题的两个基本操作是什么？答案：命题的两个基本操作是合取和析取。
1.2 命题逻辑表达式3.将以下中缀表达式转换为后缀表达式：((P ∧ Q) → (R ∨ S)) ∨ T答案：后缀表达式为P Q ∧ R S ∨ → T ∨4.使用真值表验证以下命题逻辑公式是否为重言式（永远为真）：(P ∨ Q) ∧ (¬P ∨ Q) ⟺ Q答案：P Q(P ∨ Q) ∧ (¬P ∨ Q)QT T T TT F T FF T T TF F F F结论：命题逻辑公式(P ∨ Q) ∧ (¬P ∨ Q)是重言式。
1.3 命题逻辑推理5.使用命题逻辑进行推理，判断以下论断是否成立（推理过程可用真值表验证）：P → Q, Q → R ∈ L, ∴ P → R答案：P Q R P → Q Q → R P → R T T T T T TT T F T F FT F T F T TT F F F T FF T T T T TF T F T F TF F T T T TF F F T T T结论：论断P → R成立。
2. 命题逻辑的应用2.1 命题逻辑在计算机科学中的应用6.命题逻辑在计算机科学中有哪些应用？答案：命题逻辑在计算机科学中的应用包括逻辑电路设计、计算机程序的正确性验证、控制流分析等。
7.请简要说明命题逻辑在逻辑电路设计中的应用。
答案：命题逻辑在逻辑电路设计中用于描述逻辑电路的功能和工作原理。
通过使用命题逻辑符号和逻辑运算，可以建立逻辑电路的逻辑模型，进而进行电路的设计、优化和验证。
2.2 命题逻辑推理的应用8.请举一个命题逻辑推理在实际生活中的应用例子。
答案：命题逻辑推理在实际生活中的一个应用例子是法庭判案。
法庭根据掌握的事实和证据，通过进行命题逻辑推理来确定被告是否犯罪或无罪，从而作出最终的判决。
离散数学复习题参考带答案
离散数学复习题参考带答案⼀、选择题：（每题2’）1、下列语句中不是命题的有（）。
A ．离散数学是计算机专业的⼀门必修课。
B ．鸡有三只脚。
C ．太阳系以外的星球上有⽣物。
D ．你打算考硕⼠研究⽣吗? 2、命题公式A 与B 是等价的，是指（）。
A ． A 与B 有相同的原⼦变元 B ． A 与B 都是可满⾜的C ．当A 的真值为真时，B 的真值也为真D ． A 与B 有相同的真值3、所有使命题公式P∨(Q∧?R)为真的赋值为（）。
A ． 010，100，101，110，111B ． 010，100，101，111C ．全体赋值D ．不存在 4、合式公式(P∧Q)R 的主析取范式中含极⼩项的个数为（）。
A ．2 B ．3 C ．5 D ．05、⼀个公式在等价意义下，下⾯哪个写法是唯⼀的（）。
A ．析取范式B ．合取范式C ．主析取范式D ．以上答案都不对6、下述公式中是重⾔式的有（）。
A ．(P ∧Q) (P ∨Q)B ．(P Q) (( P Q)∧(Q P))C ．(P Q)∧QD ．P (P ∧Q) 7、命题公式 (P Q) (Q ∨P) 中极⼩项的个数为（），成真赋值的个数为（）。
A ．0 B ．1 C ．2 D ．38、若公式 (P∧Q)∨(P∧R) 的主析取范式为 m 001∨m 011∨m 110∨m 111 则它的主合取范式为（）。
A ．m 001∧m 011∧m 110∧m 111B ．M 000∧M 010∧M 100∧M 101C ．M 001∧M 011∧M 110∧M 111D ．m 000∧m 010∧m 100∧m 1019、下列公式中正确的等价式是（）。
A ．(x)A(x) (x)A(x) B ．(x) (y)A(x, y) (y) (x) A(x, y) C ．(x)A(x) (x)A(x) D ．(x) (A(x) ∧B(x)) (x) A(x) ∨(x) B(x) 10、下列等价关系正确的是（）。
离散数学复习题
一、选择题1．若P ：他聪明；Q ：他用功；则“他虽聪明，但不用功”可符号化为（ ）A. Q P ∨B. Q P ～∨C. Q P ～∧D. Q P ～→2．P 、Q 为命题变元，则Q P →的对偶式为（ ）A . Q P →B . P Q →C . Q P ～∧D . P Q ～∧3．谓词公式),(y x yP x ∃∀的否定式为（ ）A .),(y x P y x ～∀∀B .),(y x P y x ～∀∃C .),(y x P y x ～∃∀D .),(y x P y x ～∃∃4．A = {1, 2, 3}，R = {<x , y >| y x A y x =∧∈,}为A 上的一个二元关系，则下列命题中（ ）为真。
A . R 不是自反的B . R 不是对称的C . R 不是传递的D . R 不是反自反的5．若A 为集合，则I A 是A 上的（ ）。
A . 全序关系B . 偏序关系C . 半序关系D . 拟序关系6．A = {1, 2, 3}，在下列A 上的二元关系中，（ ）不是可传递的。
A . {<1, 2>}B .{<1, 2>, <2, 1>, <1, 1>}C .A A ⨯D . I A7．二部图K 2, 3是（ ）A. 欧拉图B. 哈密顿图C. 非平面图D. 平面图8．5阶无向完全图的边数为（ ）A. 5B. 10C. 15D. 209．下列命题中不正确的是（ ）。
A. ∅∈∅B. ∅⊆∅C. {}∅∈∅D. {}∅⊆∅10．在A = {a , b , c }上可以定义（ ）个不同的二元关系。
A . 9 B. 18 C . 81 D . 51212．设G 是简单连通平面图，G 有11个顶点，5个面，则G 有（ ）条边。
A . 10 B. 12 C . 14 D . 1613．一个连通无向图，如果它的所有顶点的度数是偶数，则它具有（ ）。
华南师范大学 离散数学数理逻辑-复习题
100：p∧﹁q∧﹁r， 101：p∧﹁q∧r， 110：p∧q∧﹁r
数理逻辑——复习题
﹁ A的主析取范式：（其所有极小项之和）
p→(q→r)
⇔ p →(¬q∨r) （蕴涵等值式）
⇔ ¬p∨(¬q∨r) （蕴涵等值式）
⇔ (¬p∨¬q)∨r ⇔ ¬(p∧q)∨r ⇔ (p∧q)→r
（结合律） （德摩根律） （蕴涵等值式）
证毕。
数理逻辑——复习题
证明2：真值表法
第5、7列相同，证毕。
p→(q→r) ⇔ (p∧q)→r
p q r q → r p → (q → r)
或： ∃x (M(x) ∧ (﹁F(x))),
M(x)：x是人类。 F(x)：x爱吃面包。 量词的否定等值式： ¬(∀xF ( x)) ⇔ ∃x(¬F ( x))
¬(∃xF ( x)) ⇔ ∀x(¬F ( x))
数理逻辑——复习题
重点（6）：逻辑推理
¾ 命题逻辑的推理规则、谓词逻辑的推理规则
¾ 考察方式：命题的推理证明。 命题逻辑的推理规则（一）
（2）除非小王穿羽绒服，否则天不冷.
解： p：小王穿羽绒服。q：天不冷。 ﹁p→q
数理逻辑——复习题
重点（2）：命题的分类
¾ 永真式、永假式、可满足式
¾ 考察方式：判断命题的类型 ¾ 方法：真值表、等值演算
演算过程中， 括号不能随意丢弃
例2 （1）判断下列公式的类型：p∧r∧¬(q→p)
解1：等值演算法
A∨ B ⇔ B∨ A
数理逻辑——复习题
离散数学数理逻辑部分期末复习题
离散数学数理逻辑部分综合练习辅导一、单项选择题1．设P ：我将去打球，Q ：我有时间．命题“我将去打球，仅当我有时间时”符号化为( )．A ．P Q →B ．Q P →C ．Q P ↔D ．Q P ⌝∨⌝因为语句“仅当我有时间时”是“我将去打球”的必要条件，所以选项B 是正确的．正确答案：B一般地，当语句是由“……，仅当……”组成，它的符号化用条件联结词→． 问：如果把“我将去打球”改成“我将去学习”、“我将去旅游”等，会符号化吗？2．设命题公式G ：)(R Q P ∧→⌝，则使公式G 取真值为1的P ，Q ，R 赋值分别是 ( )．A ．0, 0, 0B ．0, 0, 1C ．0, 1, 0D ．1, 0, 0 个人收集整理 勿做商业用途当P 为真值为1时，P ⌝的真值为0，无论()Q R ∧的真值是1还是0，命题公式G 的真值为1．所以选项D 是正确的．正确答案：D3．命题公式P ∨Q 的合取范式是 ( )．A ．P ∧QB ．（P ∧Q ）∨（P ∨Q ）C ．P ∨QD ．⌝（⌝P ∧⌝Q ）复习合取范式的定义：定义6.6.2 一个命题公式称为合取范式，当且仅当它具有形式：A 1∧A 2∧…∧A n ， （n ≥1）其中A 1，A 2，…，A n 均是由命题变元或其否定所组成的析取式．由此可知，选项B 和D 是错的．又因为P ∧Q 与P ∨Q 不是等价的，选项A 是错的．所以，选项C 是正确的．正确答案：C4．命题公式)(Q P →⌝的析取范式是( )．A ．Q P ⌝∧B Q P ∧⌝C ．Q P ∨⌝D ．Q P ⌝∨复习析取范式的定义：定义6.6.3 一个命题公式称为析取范式，当且仅当它具有形式：A 1∨A 2∨…∨A n ， （n ≥1）其中A 1，A 2，…，A n 均是有命题变元或其否定所组成的合取式．公式)(Q P →⌝与Q P ⌝∧是等价的，Q P ⌝∧满足析取范式的定义，所以，选项A是正确的．正确答案：A5．下列公式成立的为( )．A．⌝P∧⌝Q ⇔P∨Q B．P→⌝Q⇔⌝P→QC．Q→P⇒ P D．⌝P∧(P∨Q)⇒Q因为：⌝P∧(P∨Q)⇒Q所以，选项D是正确的．正确答案：D6．下列公式( )为重言式．A．⌝P∧⌝Q↔P∨Q B．(Q→(P∨Q)) ↔(⌝Q∧(P∨Q))C．(P→(⌝Q→P))↔(⌝P→(P→Q)) D．(⌝P∨(P∧Q)) ↔Q(P→(⌝Q→P)) ⇔⌝P∨(Q∨ P)，(⌝P→(P→Q)) ⇔ P∨(⌝P∨Q) 所以，C是重言式，也就是永真式．正确答案：C说明：如果题目改为“下列公式( )为永真式”，应该是一样的．7．设A（x）：x是人，B（x）：x是学生，则命题“不是所有人都是学生”可符号化为（）．A．(∀x)(A(x)∧B(x)) B．⌝(∃x)(A(x)∧B(x))C．⌝(∀x)(A(x)→B(x))D．⌝(∃x)(A(x)∧⌝B(x))由题设知道，A(x)→B(x)表示只要是人，就是学生，而“不是所有”应该用全称量词的否定，即⌝∀x，得到公式C．个人收集整理勿做商业用途正确答案：C8．设C(x)：x是国家级运动员，G(x)：x是健壮的，则命题“没有一个国家级运动员不是健壮的”可符号化为( )．个人收集整理勿做商业用途A．))G(xx)(⌝∀(→x⌝C((x()Gx∧x⌝C⌝∀B．)) C．))G(x()(x∧x⌝C⌝∃x⌝∃D．)))((x(Gx⌝→C由题设知道，C(x)∧⌝ G(x)表示国家级运动员不是健壮的，而“没有一个”就是“不存在一个”，因此用存在量词的否定，即⌝∃x，得到公式D．个人收集整理勿做商业用途正确答案：D9．表达式))RyQzyxP∧∨∃→x∀∀中x(x(,)())(zQ((zy,)∀的辖域是( )．A．P(x, y) B．P(x, y)∨Q(z) C．R(x, y) D．P(x, y)∧R(x, y)个人收集整理勿做商业用途所谓辖域是指“紧接于量词之后最小的子公式称为量词的辖域”．那么看题中紧接于量词∀x之后最小的子公式是什么呢？显然是P(x, y)∨Q(z)，因此，选项B是正确的．个人收集整理勿做商业用途正确答案：B10．在谓词公式(∀x )(A (x )→B (x )∨C (x ，y ))中，（ ）．A ．x ，y 都是约束变元B ．x ，y 都是自由变元C ．x 是约束变元，y 都是自由变元D ．x 是自由变元，y 都是约束变元约束变元就是受相应的量词约束的变元．而自由变元就是不受任何量词约束的变元．所以选项C 是正确的．正确答案：C注：如果该题改为填写约束变元或自由变元的填空题，大家也应该掌握．二、填空题1．命题公式()P Q P →∨的真值是．因为()P Q P →∨⇔⌝P ∨(Q ∨P )⇔1，所以应该填写：1．应该填写：1问：命题公式Q Q →、Q Q ⌝∨的真值是什么？2．设P ：他生病了，Q ：他出差了．R ：我同意他不参加学习. 则命题“如果他生病或出差了，我就同意他不参加学习”符号化的结果为．个人收集整理 勿做商业用途一般地，当语句是由“如果……，那么……”，或“若……，则……”组成，它的符号化用条件联结词→．应该填写：(P ∨Q )→R3．含有三个命题变项P ，Q ，R 的命题公式P ∧Q 的主析取范式是 ．复习主析取范式的定义：定义6.6.5 对于给定的命题变元，如果有一个等价公式，它仅仅有小项的析取组成，则该等价式称为原式的主析取范式．个人收集整理 勿做商业用途而小项的定义是：定义6.6.4 n 个命题变元的合取式，称为布尔合取或小项，其中每个变元与它的否定不能同时存在，但两者必须出现且仅出现一次．个人收集整理 勿做商业用途由小项的定义知道，命题公式P ∧Q 中缺少命题变项R 与它的否定，因此，应该补上，即P ∧Q ⇔P ∧Q ∧ (R ∨⌝R ) ⇔(P ∧Q ∧ R ) ∨(P ∧Q ∧⌝R )得到命题公式P ∧Q 的主析取范式．应该填写：(P ∧Q ∧R )∨ (P ∧Q ∧⌝R )4．设个体域D ＝{a , b },那么谓词公式)()(y yB x xA ∀∨∃消去量词后的等值式为． 因为在有限个体域下，消除量词的规则为：设D ＝{a 1, a 2, …, a n }，则 所以，应该填写：(A (a )∨ A (b ))∨ (B (a )∧ B (b ))应该填写：(A (a )∨ A (b ))∨ (B (a )∧ B (b ))如果个体域是D ＝{1, 2}，D ={a , b , c }, 或谓词公式变为(()())x A x B x ∃∨，怎么做?5．设个体域D＝{1, 2, 3}，A(x)为“x小于3”，则谓词公式(∃x)A(x) 的真值为．因为(∃x)A(x)⇔A(1)∨A(2)∨A(3)⇔1∨1∨0⇔1应该填写：16．谓词命题公式(∀x)((A(x)∧B(x)) ∨C(y))中的自由变元为．因为自由变元就是不受任何量词约束的变元，在公式(∀x)((A(x)∧B(x)) ∨C(y))中，y是不受全称量词∀约束的变元．所以应该填写：y．个人收集整理勿做商业用途应该填写：y问: 公式中的约束变元是什么?三、公式翻译题1．请将语句“今天是天晴”翻译成命题公式．解：设P：今天是天晴；则命题公式为：P．问：“今天不是天晴”的命题公式是什么？2．请将语句“小王去旅游，小李也去旅游．”翻译成命题公式．解：设P：小王去旅游，Q：小李去旅游，则命题公式为：P∧Q．注：语句中包含“也”、“且”、“但”等连接词，命题公式要用合取“∧”．3．请将语句“他去旅游，仅当他有时间．”翻译成命题公式．解：设P：他去旅游，Q：他有时间，则命题公式为：P→Q．4．请将语句“所有人都努力工作．”翻译成谓词公式．解：设P(x)：x是人，Q(x)：x努力工作．谓词公式为：(∀x)(P(x)→ Q(x))．四、判断说明题（判断下列各题，并说明理由．）1．命题公式P P⌝∧的真值是1．解错误．因为P P⌝∧是永假式（教材167页的否定律）．2．命题公式⌝P∧(P→⌝Q)∨P为永真式．解：正确因为，由真值表P Q ⌝P ⌝Q P→⌝Q⌝P∧(P→⌝Q)∨P0 0 1 1 1 10 1 1 0 1 110 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1可知，该命题公式为永真式．注：如果题目改为该命题公式为永假式，如何判断并说明理由？3．下面的推理是否正确，请给予说明．(1) (∀x )A (x ) ∧ B (x ) 前提引入(2) A (y ) ∧B (y ) US (1)解：错第2步应为：A (y )∧B (x )因为A (x )中的x 是约束变元，而B (x )中的x 是自由变元，换名时，约束变元与自由变元不能混淆．五．计算题1． 求P →Q ∨R 的析取范式，合取范式、主析取范式，主合取范式．解 P →Q ∨R ⇔⌝P ∨Q ∨R （析取范式、合取范式、主合取范式）⇔(⌝P ∧(Q ∨⌝Q )∧(R ∨⌝R ))∨((P ∨⌝P )∧Q ∧(R ∨⌝R ))∨((P ∨⌝P )∧(Q ∨⌝Q )∧R )个人收集整理 勿做商业用途 （补齐命题变项）⇔(⌝P ∧Q ∧R )∨(⌝P ∧Q ∧⌝R )∨(⌝P ∧⌝Q ∧R )∨(⌝P ∧⌝Q ∧⌝R )∨(P ∧Q ∧R )∨(P ∧Q ∧⌝R )∨(⌝P ∧Q ∧R )∨(⌝P ∧Q ∧⌝R )∨(P ∧Q ∧R )∨(P ∧⌝Q ∧R )∨(⌝P ∧Q ∧R )∨(⌝P ∧⌝Q ∧R ) （∧对∨的分配律）个人收集整理 勿做商业用途⇔(⌝P ∧⌝Q ∧⌝R )∨(⌝P ∧⌝Q ∧R )∨(⌝P ∧Q ∧⌝R )∨(⌝P ∧Q ∧R )∨(P ∧⌝Q ∧R )∨(P ∧Q ∧⌝R )∨(P ∧Q ∧R ) （主析取范式）个人收集整理 勿做商业用途注：如果题目只是求“析取范式”或“合取范式”，大家一定不要再进一步求“主析取范式”或“主合取范式”．2．设谓词公式()((,)()(,,))()(,)x P x y z Q y x z y R y z ∃→∀∧∀．（1）试写出量词的辖域；（2）指出该公式的自由变元和约束变元．解 （1）量词x ∃的辖域为(,)(,,)P x y zQ y x z →∀，z ∀的辖域为(,,)Q y x z ，y ∀的辖域为(,)R y z ．（2）自由变元为(,)(,,)P x y zQ y x z →∀中的y ，(,)R y z 中的z ．约束变元为(,)(,,)P x y zQ y x z →∀中的x ，(,,)Q y x z 中的z ，(,)R y z 中的y ．3．设个体域为D ={a 1, a 2}，求谓词公式∀y ∃xP (x ,y )消去量词后的等值式．解：∀y ∃xP (x , y )⇔(∃xP (x , a 1))∧(∃xP (x , a 2))⇔(P (a 1, a 1)∨P (a 2, a 1))∧(P (a 1, a 2)∨P (a 2, a 2))六、证明题1．试证明命题公式(P→(Q∨⌝R))∧⌝P∧Q与⌝（P∨⌝Q）等价．证：(P→(Q∨⌝R))∧⌝P∧Q⇔(⌝P∨(Q∨⌝R))∧⌝P∧Q⇔((⌝P∨Q∨⌝R)∧⌝P)∧Q⇔⌝P∧Q（吸收律）⇔⌝(P∨⌝Q) （摩根律）2．试证明(∃x)(P(x)∧R(x))⇒(∃x)P(x)∧(∃x)R(x)．分析：前提：(∃x)(P(x)∧R(x))，结论：(∃x)P(x)∧(∃x)R(x) ．证明(1) (∃x)(P(x)∧R(x)) P(2) P(a)∧R(a) ES(1) (存在指定规则)(3) P(a) T(2) （化简）(4) (∃x)P(x) EG(3) (存在推广规则)(5)R(a) T(2) （化简）(6) (∃x)R(x) EG(5) (存在推广规则)(7) (∃x)P(x)∧(∃x)R(x) T(4)(6) （合取引入）。
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八、假设下列陈述都是正确的：
(1)学生会的每个成员都是学生并且是班干部； (2)有些成员是女生。问是否有成员是女班干部？请将上述陈述和你的结 论符号化，并给出你的结论的形式证明。
解：有成员是女班干部。
将命题符号化，个体域为全总个体域。
M (x)：x是学生会的成员。 S (x)：x是学生 G(x)：x是班干部 W (x )：x是女
七 1. 设一阶逻辑公式： G = (∀ xP(x)∨ ∃ yQ(y))→∀ xR(x)， 把 G 化成前束范式 .
解答：G = (∀xP(x)∨∃yQ(y))→∀xR(x) = ¬(∀xP(x)∨∃yQ(y))∨∀xR(x) = (¬∀xP(x)∧¬∃yQ(y))∨∀xR(x) = (∃x¬P(x)∧∀y¬Q(y))∨∀zR(z) = ∃x∀y∀z((¬P(x)∧¬Q(y))∨R(z))
推理
有一天，张三、李四、王五在一起，互相指责别人说谎话。张三指责李四说谎话，李四指责 王五说谎话，王五指责张三和李四都说谎话(当然都是指他们现在所说的话)。请问：从他们 的指责中推论，谁说真话 A: 张三说真话, B: 李四说真话, C: 王五说真话
¬B，¬C，¬A∧¬B (A∧¬B ∧C∧¬(A∧B))⇒ (A∧¬B∧(¬A∨¬B)) ⇒ (A∧¬B∧¬A∧C)∨(A∧¬B∧¬B∧C)) ⇒ (A∧¬B∧¬B∧C))
D(附加) P Q(1)(2)
(4) ¬C→¬B (5) B→C (6) C (7) C→D (8) D (9) A→D 所以 {¬A∨B,
P Q(4) Q(3)(5) P Q(6)(7) D(1)(8) ¬C→¬B, C→D}蕴涵 A→D.
六、设命题公式 G = ¬ (P→Q)∨ (Q∧ (¬ P→R)), 求 G 的主 析取范式。
(5)P(a) (6)¬Q(a) (7)∀x(P(x)→(A(x)∨B(x)) (8)P(a)→(A(a)∨B(a)) (9)A(a)∨B(a) (10)∀x(A(x)→Q(x)) (11)A(a)→Q(a) (12)¬A(a) (13)B(a) (14)P(a)∧B(a) (15)∃x(P(x)∧B(x)) P
Y
( x ) ∃ x ( S ( x )∧ Y ( x ))
下面给出证明： (1) ∃ x Y ( x ) P
(2) Y (c) (3) ∀ x ( S ( x )∧ W ( x )) (4) S ( c)∧ W ( c) (5) S ( c) (6) S ( c)∧ Y (c) (7) ∃ x ( S ( x )∧ Y ( x )) P
T(1)，ES
T(3)，US T(4)，I T(2)(5)，I T(6) ，EG
三、证明 (P∨ Q)∧ (P→ R)∧ (Q→ S) S∨ R
证明 (1)¬R (2)P→R (3)¬P (4)P∨Q (5)Q (6)Q→S (7)S (8)¬R→S (9)S∨R 因为 S∨R⇔¬R→S，所以，即要证(P∨Q)∧(P→R)∧(Q→S) ¬R→S。 附加前提 P T(1)(2)，I P T(3)(4)，I P T(5)(6)，I CP T(8)，E
T(4)，I T(4)，I
T(7)，US T(8)(5)，I P T(10)，US T(11)(6)，I T(12)(9)，I T(5)(13)，I T(14)，EG
五．利用形式演绎法证明：
1．{P→Q, R→S, P∨R}蕴涵 Q∨S。 2. {¬A∨B, ¬C→¬B, C→D}蕴涵∨R}蕴涵 Q∨S (1) P∨R (2) ¬R→P (3) P→Q (4) ¬R→Q (5) ¬Q→R (6) R→S (7) ¬Q→S (8) Q∨S 2.{¬A∨B, (1) A (2) ¬A∨B (3) B P Q(1) P Q(2)(3) Q(4) P Q(5)(6) Q(7) ¬C→¬B, C→D}蕴涵 A→D
二、在谓词逻辑中构造下面推理的证明：某学术会议的 每个成员都是专家并且是工人，有些成员是青年人，所 以，有些成员是青年专家。
解：论域：所有人的集合。 S ( x )： x 是专家； W ( x )： x 是工人； Y ( x )：
x 是青年人；则推理化形式为：
∀ x ( S ( x )∧ W ( x ))， ∃ x
(
)
P T③ T② T② T④⑤⑥ T② T⑤⑦⑧ EG⑨
构造下面推理的证明。
• 试构造下面推理的证明。 如果小张和小王去看电影，则小李也去看电影； 小赵不去看电影或小张去看电影； 小王去看电影。 所以，当小赵去看电影时，小李也去看电影。 解： （ １ .将 简 单 命 题 符 号 化 ) 设 P:小 张 去 看 电 影 。 Q:小 王 去 看 电 影 。 R:小 李 去 看 电 影 。 S:小 赵 去 看 电 影 。 (2.找 出 前 题 与 结 论 。 ) 前 提 ： (P∧ Q)→ R,┐ S∨ P,Q ， 结 论 ： S→ R 故本题即要证明： (P∧ Q)→ R,┐ S∨ P,Q 推 出 S→ R 证明： (1) S (2) ┐S∨ P (3) P (4) (P∧ Q)→R (5)Q (6)P∧ Q (7)R P P T(3)(5) I (合取引入规则） T(4)(6) I (假言推理 ) P T(1)(2) I (析取三段论 ) (３ .用 CP 规 则 证 明 ) P(附 加 前 提 引 入 ) ）
③ (∀x ) M (x ) ⎯ ⎯→(S (x ) ∧ G(x )) ④ M (e) ⎯ ⎯→(S (e) ∧ G(e)) ⑤ M (e) ⑥ S (e) ⑦ G(e) ⑧ W (e) ⑨ M (e) ∧ W (e) ∧ G(e) ⑩ (∃x)(M (x) ∧ W (x) ∧ G(x))
2 化下列公式为前束范式
1）∀x F(x) → ∃x G(x) 2）∃x F(x) →∀x G(x) 解： （1）∀x F(x) → ∃x G(x) ⇔ ¬∀x F(x) ∨ ∃x G(x) ⇔ ∃x ¬F(x) ∨ ∃x G(x) ⇔ ∃x (¬F(x) ∨ G(x)) （2）∃x F(x) →∀x G(x) ⇔ ¬∃x F(x) ∨ ∀x G(x) ⇔ ∀x ¬F(x) ∨ ∀x G(x) ⇔ ∀x ¬F(x) ∨ ∀y G(y) ⇔ ∀x (¬F(x) ∨ ∀y G(y)) ⇔ ∀x ∀y (¬F(x) ∨ G(y))
一、某项工作需要派 A、B、C 和 D 4 个人中的 2 个人去 完成，按下面 3 个条件，有几种派法？如何派？
(1)若 A 去，则 C 和 D 中要去 1 个人； (2)B 和 C 不能都去； (3)若 C 去，则 D 留下。 解 设 A：A 去工作；B：B 去工作；C：C 去工作；D：D 去工作。则根
解答：G = ¬(P→Q)∨(Q∧(¬P→R)) = ¬(¬P∨Q)∨(Q∧(P∨R)) = (P∧¬Q)∨(Q∧(P∨R)) = (P∧¬Q)∨(Q∧P)∨(Q∧R) = (P∧¬Q∧R)∨(P∧¬Q∧¬R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧¬R)∨(P∧Q∧R)∨(¬P∧Q∧R) = (P∧¬Q∧R)∨(P∧¬Q∧¬R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧¬R)∨(¬P∧Q∧R) = m3∨m4∨m5∨m6∨m7 = Σ(3, 4, 5, 6, 7).
性 前提： (∀
→ ( ( ) ∧ ( ))) ， (∃x)(M (x) ∧ W (x) ∧ S (x)) ) ( ( ) """"
结论： (∃x)(M (x) ∧ W (x) ∧ G(x)) 证明： ① (∃x)(M (x) ∧ W (x) ∧ S (x)) ② M (e) ∧ W (e) ∧ S (e) P ES①，e为额外变元
四、根据推理理论证明：每个考生或者勤奋或者聪明， 所有勤奋的人都将有所作为，但并非所有考生都将有所 作为，所以，一定有些考生是聪明的。
设 P(e)：e 是考生，Q(e)：e 将有所作为，A(e)：e 是勤奋的，B(e)：e 是聪明的， 个体域：人的集合，则命题可符号化为：∀x(P(x)→(A(x)∨B(x)))，∀x(A(x)→Q(x))， ¬∀x(P(x)→Q(x)) ∃x(P(x)∧B(x))。 (1)¬∀x(P(x)→Q(x)) (2)¬∀x(¬P(x)∨Q(x)) (3)∃x(P(x)∧¬Q(x)) (4)P(a)∧¬Q(a) P T(1)，E T(2)，E T(3)，ES
据题意应有：A→C⊕D，¬(B∧C)，C→¬D 必须同时成立。因此 (A → C ⊕ D )∧ ¬ (B ∧ C )∧ (C → ¬ D ) ⇔(¬A∨(C∧¬ D)∨(¬C∧D))∧(¬B∨¬C)∧(¬C∨¬D) ⇔(¬A∨(C∧¬ D)∨(¬C∧D))∧((¬B∧¬C)∨(¬B∧¬D)∨¬C∨(¬C∧¬D)) ⇔ (¬ A ∧ ¬ B ∧ ¬ C )∨ (¬ A ∧ ¬ B ∧ ¬ D )∨ (¬ A ∧ ¬ C )∨ (¬ A ∧ ¬ C ∧ ¬ D )∨ (C ∧ ¬ D ∧ ¬ B ∧ ¬ C )∨ (C ∧ ¬ D ∧ ¬ B ∧ ¬ D )∨ (C ∧ ¬ D ∧ ¬ C )∨ (C ∧ ¬ D ∧ ¬ C ∧ ¬ D ) ∨ (¬ C ∧ D ∧ ¬ B ∧ ¬ C )∨ (¬ C ∧ D ∧ ¬ B ∧ ¬ D )∨ (¬ C ∧ D ∧ ¬ C )∨ (¬ C ∧ D ∧ ¬ C ∧ ¬ D ) ⇔ F ∨ F ∨ (¬ A ∧ ¬ C )∨ F ∨ F ∨ (C ∧ ¬ D ∧ ¬ B )∨ F ∨ F ∨ (¬ C ∧ D ∧ ¬ B )∨ F ∨ (¬ C ∧ D )∨ F ⇔ (¬ A ∧ ¬ C )∨ (¬ B ∧ C ∧ ¬ D )∨ (¬ C ∧ D ∧ ¬ B )∨ (¬ C ∧ D ) ⇔ (¬ A ∧ ¬ C )∨ (¬ B ∧ C ∧ ¬ D )∨ (¬ C ∧ D ) ⇔T 故有三种派法：B∧D，A∧C，A∧D。
(A→¬B) ，(B→¬C) ，(C→¬A∧ ¬B),
1． A∧ (A→¬B)
⇒ ¬B，¬B∨ ¬C，¬C∨ (¬A∧ ¬B)