工程数学试题B及参考答案

工程数学试题B
一、单项选择题（每小题3分，本题共21分）
1.设B A ,为n 阶矩阵，则下列等式成立的是（ ）． (A) BA AB = (B) T T T )(B A AB = (C) T T T )(B A B A +=+ (D) AB AB =T )(
2.设⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡=4321
43214321
4321A ，则=)(A r （ ）． (A) 0 (B) 1 (C) 3 (D) 4
3.设B A ,为n 阶矩阵，λ既是A 又是B 的特征值，x 既是A 又是B 的特征向量，则结论（ ）成立． <
(A) λ是B A +的特征值 (B) λ是B A -的特征值 (C) x 是B A +的特征向量 (D) λ是AB 的特征值 4.设A B ,为随机事件，下列等式成立的是（ ）． (A) )()()(B P A P B A P -=- (B) )()()(B P A P B A P +=+ (C) )()()(B P A P B A P +=+ (D) )()()(AB P A P B A P -=- 5.随机事件A B ,相互独立的充分必要条件是（ ）． (A) )()()(B P A P AB P = (B) )()(A P B A P =
(C) 0)(=AB P (D) )()()()(AB P B P A P B A P -+=+ 6.设)(x f 和)(x F 分别是随机变量X 的分布密度函数和分布函数，则对任意
b a <，有=≤<)(b X a P （ ）． (A)
⎰b a
x x F d )( (B) ⎰
b
a
x x f d )(
%
(C) )()(a f b f - (D) )()(b F a F -
7. 对来自正态总体X N ~(,)μσ2（μ未知）的一个样本X X X 123,,，
∑==3
1
31i i X X ，则下列各式中（ ）不是统计量．
(A) X (B)
∑=3
1
i i
X
(C) ∑=-312
)(31i i X μ (D) ∑=-31
2)(31i i X X
二、填空题（每小题3分，共15分）
1.设B A ,均为3阶矩阵，2=A ，3=B ，则=--1T 3B A ．
2.线性无关的向量组的部分组一定 ．
3.已知5.0)(,3.0)(=-=A B P A P ，则=+)(B A P ．
4.设连续型随机变量X 的密度函数是)(x f ，则=)(X E ．
）
5.若参数θ的估计量θˆ满足θθ=)ˆ(E ，则称θˆ为θ的 估计． 三、计算题（每小题10分，共60分）
1．设矩阵⎥
⎦⎤
⎢⎣⎡=3021A ，求A 的特征值与特征向量． 2.线性方程组的增广矩阵为
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡----163132111211 求此线性方程组的全部解．
3.用配方法将二次型322
322213216537),,(x x x x x x x x f +++=化为标准型，并求出
所作的满秩变换．
4.两台车床加工同样的零件，第一台废品率是1％，第二台废品率是2％，加工出来的零件放在一起。

已知第一台加工的零件是第二台加工的零件的3倍,求任意取出的零件是合格品的概率．
5. 袋中有10个球，其中三白七黑，有放回地依次抽取，每次取一个，共取4次求：⑴取到白球不少于3次的概率；⑵没有全部取到白球的概率．
6. 某厂生产一种型号的滚珠，其直径)09.0,(~μN X ，今从这批滚珠中随机
地抽取了16个，测得直径（单位：mm ）的样本平均值为，求滚珠直径μ的置信度为的置信区间)96.1(=λ双侧临界值．
?
四、证明题（本题4分）
设A 为正交矩阵，试证：A 等于1或1-．
参考答案
一、单项选择题（每小题3分，本题共21分）
二、填空题（每小题3分，共15分）
1.18-
2.线性无关
3.8.0
4.⎰∞
+∞-x x xf d )( 5.无偏．
三、计算题（每小题10分，共60分） 1. 解：解特征方程 ^
,0)3)(1(3
2
1
=--=---=
-λλλλλA E 得
特征值：3,121==λλ。

当1=λ时，解方程组0)(=-X A E λ，系数矩阵
⎥
⎦⎤
⎢⎣⎡→⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-00102020A E ， 解得对应的特征向量为：⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=011X 。

当3=λ时，解方程组0)(=-X A E λ，系数矩阵
⎥
⎦⎤
⎢⎣⎡-→⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-001100223A E ， 解得对应的特征向量为：⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=112X 。

因此，特征值3,121==λλ。

与1对应的全部特征值为0,011≠⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=k k kX ；
与3对应的全部特征值为0,112≠⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=k k kX 。

、
2.解：增广矩阵
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----011022011001221442221001163132111211，
方程组等价于：⎩⎨⎧=-=+-121
232
321x x x x x 。

取自由未知量13=x 得对应齐次方程的基础
解系：⎥⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1201η；令03=x ，得特解：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=012X 0。

[][]T
T
120012k X += （其中k 为任意常数）
3.解：配方如下：
.
2)(3753)(375)2(376537),,(232322
12
3
2
32322123
322221322
32221321x x x x x
x x x x x x x x x x x x x x x x x f +++=+-++=+++=+++=
令⎪⎩⎪⎨⎧=+==3332211x y x x y x y ，即所求满秩线性变换为⎪⎩⎪
⎨⎧=-==33
32211y
x y y x y x ，此时可将原二次型
化为标准型：2
32221237y y y ++。

2
32221321237),,(y y y x x x f ++=， ⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321*********y y y x x x 4.解：设A i ={取出的是第i 台机床生产的零件}，i=1，2； B={取出的合格品}。

·
则：
9875
.0.
4003954
1100984310099)
()|()()|()(2211==⨯+⨯=
+=A P A B P A P A B P B P
5.解：（1）所求概率为：0837.01071031071030
4
4413
3
4=⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫
⎝⎛⎪
⎭
⎫
⎝⎛C C ， （2）所求概率为：1-=⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪
⎭⎫
⎝⎛0
4
4
4107103C 9919.0.
6.解：选则统计量：
)1,0(~N n
X σ
μ
-.
由题设：95.096.1=⎪
⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛≤-n X p σμ, 置信区间为⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡+-n X n X σσ96.1,96.1，代入数值，得
]497.4,203.4[．
四、证明题（本题4分） 证明：由已知条件有 E AA T =
由矩阵行列式的性质得
12
=====E A A A A A AA T T
即12
=A ，故A 等于1或1-．证毕．。