§4.3 费米能级与载流子浓度的计算
§4.3 费米能级与载流子浓度的计算解析
同理可写出，p型半导体中当ni<<(NA- ND)时，载流子 浓度p和n为：
ni2 n N A ND
pN A N D
由于n型半导体与p型半导体电子的浓度分别为
n ni e
p ni e
( EF EFi ) / k BT
( EFi EF ) / k BT
因此费米能级为
3
(2)．掺杂半导体 为明确起见，考虑n型半导体，施主浓度为ND。在室 温，我们可以认为杂质全部电离， ND+≈ND 。由电中 性条件得 n = p + ND+≈p + ND 结合（2）式消去n得 p(p + ND)=ni2 解得
1 2 p ( N D N D 4ni2 ) 2
（3）
p>0，上式中应取正号。代入（3）式得
故 即
(2)
( EC EV ) k BT
n N C NV e
2 i
ni ( N C NV ) e
1/ 2
E g 2 k BT
式中Eg=EC-EV 为禁带宽度。上式中ni对温 度的依赖关系主要取决于指数因子，从而 得到随着温度上升，本征载流子浓度将急 剧增加的结论。这里顺便指出，(2)式不仅 适用于本征半导体，事实上，只要是非简 并化的情形，即使存在杂质，(2)式仍然成 立，这是标志热平衡条件的一个重要的关 系式。
例题
• 设n型硅，掺施主浓 度 ， 试分别计算温度在300K和500K时 电子和空穴的浓度和费米能级的位 置。设温度在300K和500K时的本 征载流子浓度分别为 n 1.5 10 cm 14 3 n 2 . 6 10 cm 和 i 。
N D 1.5 1014 cm 3
§4.3 费米能级与载流子浓度的计算解析
n E F E Fi k B T ln ni p E F E Fi k B T ln ni
（4）
式中常用禁带中央能级来近似。所以杂质半导体的费 米能级可近似为 ND N A EF Ei k BT ln N型半导体 ni P型半导体
N A ND EF Ei k BT ln ni
同理可写出，p型半导体中当ni<<(NA- ND)时，载流子 浓度p和n为：
ni2 n N A ND
pN A N D
由于n型半导体与p型半导体电子的浓度分别为
n ni e
p ni e
( EF EFi ) / k BT
( EFi EF ) / k BT
因此费米能级为
故 即
(2)
( EC EV ) k BT
n N C NV e
2 i
ni ( N C NV ) e
1/ 2
E g 2 k BT
式中Eg=EC-EV 为禁带宽度。上式中ni对温 度的依赖关系主要取决于指数因子，从而 得到随着温度上升，本征载流子浓度将急 剧增加的结论。这里顺便指出，(2)式不仅 适用于本征半导体，事实上，只要是非简 并化的情形，即使存在杂质，(2)式仍然成 立，这是标志热平衡条件的一个重要的关 系式。
(2)．掺杂半导体 为明确起见，考虑n型半导体，施主浓度为ND。在室 温，我们可以认为杂质全部电离， ND+≈ND 。由电中 性条件得 n = p + ND+≈p + ND 结合（2）式消去n得 p(p + ND)=ni2 解得
1 2 p ( N D N D 4ni2 ) 2
（3）
p>0，上式中应取正号。代入（3）式得
费米能与有效质量载流子浓度
费米能与有效质量载流子浓度费米能和有效质量是固体物理学中重要的概念，与材料的电子性质密切相关。
费米能是在零温下，当电子填满所有能级直至费米能级时的能量，而有效质量则描述了载流子在固体中运动的性质。
下面将详细介绍费米能和有效质量的定义、性质以及它们之间的关系。
一、费米能的定义和性质：1.费米能的定义：费米能（Fermi Energy）是指在零温下，当一定数量的电子填满所有能级直至费米能级时的能量。
费米能级是指在固体中，所有具有最高能量的未被占据的能级，其上方的能级都是被占据的，其下方的能级都是未被占据的。
费米能通常用符号Ef表示。
2.费米能的性质：-费米能是由材料的电子结构决定的，与材料的晶体结构、原子组成和价带结构等有关。
-费米能是一个能量，通常用电子伏特（eV）来表示。
不同材料的费米能可以不同，因此费米能是描述材料电子分布特性的一个重要参数。
-在费米能以下（E < Ef）的能级上的电子几乎被占据，而在费米能以上（E > Ef）的能级上的电子几乎没有被占据。
-零温下，费米能是一个特殊的能级，它分割了占据态电子和非占据态电子的能级，费米能以下的电子为低能态电子，可以参与导电；费米能以上的电子为高能态电子，不参与导电。
-费米能的大小与材料的导电性质有关。
对于导电材料来说，费米能较高；对于绝缘材料来说，费米能较低。
二、有效质量的定义和性质：1.有效质量的定义：有效质量（Effective Mass）是用来描述载流子在固体中运动时所表现出的质量。
有效质量与自由电子的真实质量不同，它是一种有关于能带结构的概念，描述了载流子在能带中的运动性质。
有效质量一般用符号m*表示。
2.有效质量的性质：-有效质量是相对于自由电子质量的一种参量。
自由电子的质量是电子在真空中的运动情况，而有效质量是电子在晶体中受到晶格作用后的运动情况。
-有效质量通常是能带结构的导数，即与能量的二阶导数相关。
它可以通过对能带图进行微分得到。
半导体物理学
E
= EF
则 则 则
1 f(E) = 2
1 f (E) > 2 1 f (E) < 2
EF
A B C D 0 1/ 2 1 f (E )
E < EF
E > EF
随着温度升高，E>EF的量子态被占据的几率 增大；而E<EF的量子态为空的几率也增大。
A, B,C,D 对 应 0 ，3 0 0 ，1 0 0 0 ，1 5 0 0 k
EF是描述热平衡状态下电子系统性质的一个参考量，称为 费米能级
一、费米分布函数和费米能级
如果将半导体中大量电子的集体看成是一个热力学系统，由统计 就是这个热力学系统的化学势，即 理论可以证明，费米能级 理论可以证明，费米能级就是这个热力学系统的化学势，即
∂F EF = µ = ( )T ∂N
� 处于热平衡状态的电子系统具有统一的EF � 只要知道了EF，在一定温度下，电子在各量子态上的统计分布 也就完全确定了。
GaAs 4.35x1017 7.57x1018
注意有效状态密度与温度相关：
T 32 N C (T ) = N C (300 K )( ) 300
一、能带中的载流子浓度
�有效状态密度与温度有关：
NC ∝ T
3
2
Nv ∝ T
3
2
]假设费米能级 EF位于高于价带顶 0.27eV 处， Si 在T=300K 时， [例题 例题] 假设费米能级E 位于高于价带顶0.27eV 0.27eV处， 处，Si Si在 T=300K时，
价带顶在k=0，而且重空穴带 (mp)h和轻空穴带 (mp)l在布里渊区 近似为球面 。 的中心处重合。它们的等能面可以 的中心处重合。它们的等能面可以近似为球面 近似为球面。 价带顶附近的状态密度:
3.2 费米能级和载流子的浓度统计分布(雨课堂课件)
EF 的位置比较直观地标志了电子占据量子态的情况，标志了
电子填充能级的水平。费米能级位置较高，说明有较多的能量较
高的量子态上有电子。
热平衡，孤立系
统，近独立粒子
2、波耳兹曼(Boltzmann)分布函数
(1) 电子服从的Boltzmann分布
1
1.8%
当E-EF=4 k0T 时，f E
4
1 e
fB (E) e
E EF
k0T
f B E e4 1.83%
1
5
f
E
4.53978
10
当E-EF=10 k0T时，
1 e10
f B E e10 4.53999 105
§ 3.2 费米能级和载流子的统计分布
Fermi level and statistical distribution of carriers
知识回顾与问题提出：
第一节给出导带底和价带顶附近的状态密度，即单位能量间隔中的量子态数。
2m
dz
gc ( E )
4 V
dE
h3
* 3/ 2
n
k0T
(2) 空穴服从的Boltzmann分布
1 f (E)
EF E k0T
1
E E
1 exp F
k
T
0
1 f ( E) e
E EF
k0T
空穴服从的
Boltzmann分布
➢上式表明，当E << EF 时，空穴占据能量为E的量子态几率很
半导体物理_第四章
其中NC称为导带的有效态密度函数，若取mn*=m0， 则当T=300K时， NC=2.5E19cm-3，对于大多数半导 体材料来说，室温下NC确实是在1019cm-3的数量级。
其中NV称为价带的有效态密度函数，若取mp*=m0，则 当T=300K时， NV=2.5E19cm-3，对于大多数半导体 材料来说，室温下NV确实是在1019cm-3的数量级。 热平衡状态下电子和空穴的浓度直接取决于导带和 价带的有效态密度以及费米能级的位置。
为了求解热平衡状态下的载流子浓度，首先必须确 定费米能级EF的位置。对于本征半导体材料（即纯净 的半导体材料，既没有掺杂，也没有晶格缺陷）来说， 在绝对零度条件下，所有价带中的能态都已填充电子， 所有导带中的能态都是空的，费米能级EF一定位于导 带底EC和价带顶EV之间的某个位置。 当温度高于绝对零度时，价带中的部分电子将获得 足够的热运动能量，进而跃迁到导带中，产生一个导 带电子，同时也产生一个价带空穴。也就是说电子－ 空穴成对出现，因而费米能级的位置几乎不变。
参见右图所示，当 半导体材料中掺入 施主杂质后，导带 中的电子浓度将大 于价带中的空穴浓 度，半导体材料成 为N型材料，其费 米能级的位置也将 由禁带中心附近向 导带底部上移。
而当半导体材料 中掺入受主杂质 后，价带中的空 穴浓度将大于导 带中的电子浓度， 半导体材料则变 成P型材料，其费 米能级的位置也 将由禁带中心附 近向价带顶部下 移，如右图所示。
右图给出了几种常见半导体材 料的本征载流子浓度与温度之间的 变化关系。 根据上式计算出的室温下硅材 料本征载流子浓度为 ni=6.95E9cm-3，这与实测的本征 载流子浓度为ni=1.5E10cm-3有很 大偏离，原因在于：电子和空穴的 有效质量通常是在低温下利用回旋 共振实验方法测得的，室温下会有 一定的偏差；态密度函数是利用三 维无限深势阱模型得到的，这也与 实际情况有一定偏离。
半导体载流子浓度计算公式(二)
半导体载流子浓度计算公式(二)半导体载流子浓度计算公式前言半导体载流子浓度是指在半导体材料中的电子（n型半导体）或空穴（p型半导体）的浓度。
准确计算半导体载流子浓度对于电子学领域的研究和应用至关重要。
本文将介绍几个常用的半导体载流子浓度计算公式，并给出相关的例子说明。
1. 等效载流子浓度（Intrinsic Carrier Concentration）等效载流子浓度是指在杂质和外加电场都不影响半导体材料时的载流子浓度。
根据经验公式，等效载流子浓度的计算公式如下：[](其中，[](例子：假设某半导体材料的禁带宽度为，在室温下（300K），计算等效载流子浓度。
根据上述公式，代入相应的数值计算可得： []( 2. n型半导体载流子浓度（Electron Concentration in n-type Semiconductor）n型半导体载流子浓度是指在n型半导体中电子的浓度。
根据斯文特方程，n型半导体载流子浓度的计算公式如下：[](其中，[](例子：假设某n型半导体的等效载流子浓度为1e10/cm^3，在室温下（300K），费米能级与内禀能级的差为，计算n型半导体载流子浓度。
根据上述公式，代入相应的数值计算可得： [](3. p型半导体载流子浓度（Hole Concentration in p-type Semiconductor）p型半导体载流子浓度是指在p型半导体中空穴的浓度。
根据斯文特方程，p型半导体载流子浓度的计算公式如下：[](其中，[](例子：假设某p型半导体的等效载流子浓度为5e12/cm^3，在室温下（300K），费米能级与内禀能级的差为，计算p型半导体载流子浓度。
根据上述公式，代入相应的数值计算可得： [](总结本文介绍了常用的半导体载流子浓度计算公式，并通过例子进行了解释说明。
这些公式在半导体材料的研究和应用中具有重要的意义，帮助我们准确计算半导体中电子和空穴的浓度，为电子学领域的发展做出贡献。
3.2 半导体中的载流子浓度与费米能级—3.杂质补偿半导体
3.2 半导体的载流子浓度与费米能级+-+=+DAnp p n 00电中性方程应为：(1)低温区杂质补偿的n 型半导体： N D >N A E A 完全被电子占据，即p A = 03. 杂质补偿半导体0=p 受主杂质对空穴没有贡献忽略本征激发AA A AN P N p =-=-DD Dn N n -=+同时，即：0+D A DN n N n =+DD A n N N n -=+00+D A DN n N n =+()()'122''c0c c 1422A A D A N N n N N N N N +⎡⎤=-+++-⎢⎥⎣⎦'c cc 01exp 2D E E N N k T ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭可得到：① 温度极低，且N A 较大时0ln 2D A F D A N N E E k T N ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭T=0K 时， ；T>0K 时： a).若 ， ；b).若，E F 升高到E D 之上； c).若，E F 降低到在E D之下。
()()'c c 00exp 2D A D A D AAN N N N N N E n N N k T --⎛⎫∆==-⎪⎝⎭A A D N N N 2=-A A D N N N 2>-A A D N N N 2<-D F E E =D F E E =12'c 0c0exp 22D D D N N E n N N k T ⎛⎫∆⎛⎫==-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭c 0c ln 222D D F E E k T N E N ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭② 温度很低，且N A 较小时此时的情况和只有施主杂质时相似。
（2）强电离区0D An N N =-Ø此时导带电子浓度取决于两种杂质浓度之差，与温度无关。
0+D A DN n N n =+0Dn =施主杂质全部电离c 0c ln D A F N N E E k T N ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭0ln D A F i i N N E E k T n ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭（3）过渡区()()22042D A D A iN N N N n n -+-+=电中性方程：DA N p N n +=+00200inp n =同时：00exp F ii E E n n k T⎛⎫-=⎪⎝⎭将代入()122204ln 22D A i D A F i i iN N n N N E E k T n n ⎧⎫⎡⎤-+-⎪⎪⎣⎦=++⎨⎬⎪⎪⎩⎭4. 关系对比()c 00exp 2D A D AN N N E n N k T -⎛⎫∆=-⎪⎝⎭12c 00exp 22D D N N E n k T ⎛⎫∆⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0D An N N =-0Dn N =只有施主的n 型半导体杂质补偿的n 型半导体低温区()()22042D A D A iN N N N nn -+-+=强电离区过渡区12c 00exp 22D D N N E n k T ⎛⎫∆⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22042D D iN N n n ++=Ø受主杂质减少了施主浓度，起补偿作用；c 0c ln 222D D F E E k T N E N ⎛⎫+⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0lnDF i iN E E k T n =+0ln D A F i i N NE E k T n ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭只有施主的n 型半导体杂质补偿的n 型半导体低温区强电离区c 0c ln 222D D F E E k T N E N ⎛⎫+⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0ln 2D A F D A N N E E k T N ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭过渡区0arsh 2D F i i N E E k T n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭0arsh 2D A F i i N N E E k T n ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭Ø无杂质补偿半导体的费米能级从 开始；杂质补偿半导体的费米能级从E D开始。
3费米能级与载流子浓度的计算
费米能级与载流子浓 度的关系是相互影响 的，费米能级的高低 会影响载流子浓度的 分布
在一定温度下，费 米能级的位置和载 流子浓度可以通过 计算得出
费米能级是描述电子在半导体材料 中分布的物理量
半导体材料的导电性能与费米能级 的位置密切相关
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费米能级的位置受温度、掺杂等因 素影响
载流子浓度可以 通过掺杂等方式 进行控制
载流子浓度对半 导体器件的性能 有重要影响
定义：单位体积内某种载 流子的数目
计算公式：n=N/V
影响因素：费米能级、温 度、杂质浓度等
作用：决定半导体的导电 能力
费米能级是半导体 的能级，决定了载 流子的分布情况
载流子浓度是半导 体中自由电子和空 穴的数量，影响半 导体的导电性能
描述电子在固体材料中的行为 决定半导体的导电性能 与载流子浓度和温度有关 是计算电子分布和迁移的关键参数
定义：费米能级是指 电子占据的最高能级， 通常用于描述半导体 的电子状态。
计算方法：费米能级可 以通过能带计算或实验 测量得到，是半导体物 理中的一个重要参数。
应用：费米能级在半导 体器件性能分析和优化 中具有重要意义，如太 阳能电池、LED等。
通过调控费米能级，可以实现半导 体材料的导电性能调控
费米能级随温度升高而升高 载流子浓度随温度升高而增加 费米能级与载流子浓度的关系密切 温度对费米能级和载流子浓度的影响是相互关联的
确定费米能级 计算载流子浓度 实例分析 结果展示与讨论
计算结果与实验数据的对比 结果误差分析 结果对实际应用的指导意义 结果的推广与展望
XX,a click to unlimited possibilities
半导体物理课件费米能级和载流子的统计分布
比杂质浓度低一个数量级。当本征载流子浓度（随温度呈指
数上升）与杂质浓度相当时器件失效，即在一个数量级范围
内时失效，由此限制的本征载流子浓度值所对应的温度即为
器件工作温度上限。
本征载流子浓度依赖于禁带宽度，
ni
(NC NV
)1/ 2
exp(
Eg 2k0T
)
即在相同温度下禁带宽度越宽，本征载流子浓度越小，对于 硅 、 锗 、 砷 化 镓 器 件 ， 若 杂 质 浓 度 相 同 ， 由 于 EgGe<EgSi <EgGaAs, 若 使 本 征 载 流 子 浓 度 与 之 相 当 ， 则 需 要 的 温 度 TGe<TSi<TGaAs，所以砷化镓具有更高的工作温度上限。
载流子浓度的计算方法：状态密度与分布函数 在导带（价带）能量范围内积分
玻尔兹曼近似与合理化假设（与费米分布的关 系）
本征载流子浓度取决于温度、材料本身性质 （有效质量、禁带宽度）
器件工作温度上限 波矢密度、状态密度、有效状态密度的概念
3.3本征半导体的载流子浓度
本征半导体
没有缺陷和杂质的半导体
特点：n0=p0（电中性条件或方程）
NC
exp(
EC EF k0T
)
NV
exp(
EF EV k0T
)
求解EF、 n0和p0
n0
NC
exp(
EC EF k0T
)
p0
NV
exp(
EF EV k0T
)
Ei
EF
Ec
Ev 2
gv (E)
=
4πV
(2m*p )32 h3
( Ev
-
1
E) 2
半导体器件原理简明教程习题答案傅兴华
半导体器件原理简明教程习题答案傅兴华1.1简述单晶、多晶、非晶体材料结构的基本特点.解整块固体材料中原子或分子的排列呈现严格一致周期性的称为单晶材料; 原子或分子的排列只在小范围呈现周期性而在大范围不具备周期性的是多晶材料; 原子或分子没有任何周期性的是非晶体材料.1.6什么是有效质量，根据E(k)平面上的的能带图定性判断硅锗和砷化镓导带电子的迁移率的相对大小.解有效质量指的是对加速度的阻力.kE h m k ∂∂=21*1 由能带图可知,Ge 与Si 为间接带隙半导体,Si 的Eg 比Ge 的Rg 大，所以Ge μ>Si μ.GaAs 为直接带隙半导体,它的跃迁不与晶格交换能量,所以相对来说GaAs μ>Ge μ>Si μ.1.10假定两种半导体除禁带宽度以外的其他性质相同,材料1的禁带宽度为1.1eV,材料2的禁带宽度为3.0eV,计算两种半导体材料的本征载流子浓度比值,哪一种半导体材料更适合制作高温环境下工作的器件?解本征载流子浓度:)exp()(1082.4215Tdp dn ik Eg m m m n ⨯= 两种半导体除禁带以外的其他性质相同∴)9.1exp()exp()exp(0.31.121Tk k k n n T T ==-- T k 9.1>0∴21n n >∴在高温环境下2n 更合适 1.11在300K 下硅中电子浓度330102-⨯=cm n ,计算硅中空穴浓度0p ,画出半导体能带图,判断该半导体是n 型还是p 型半导体.解317321002020010125.1102)105.1(p -⨯=⨯⨯==→=cm n n n p n i i ∴>00n p 是p 型半导体 1.16硅中受主杂质浓度为31710-cm ,计算在300K 下的载流子浓度0n 和0p ,计算费米能级相对于本征费米能级的位置,画出能带图. 解317010-==cmN p A 200i n p n =T=300K →310105.1-⨯=cm n i330201025.2-⨯==∴cm p nn i 00n p > ∴该半导体是p 型半导体1.27砷化镓中施主杂质浓度为31610-cm ，分别计算T=300K 、400K 的电阻率和电导率。
二维材料 载流子浓度计算
二维材料载流子浓度计算二维材料指平面上仅有两个原子层的材料，如石墨烯和二硫化钼。
由于其特殊的结构与性质，其在电子学、能源、光学、传感等领域拥有广泛的应用。
在研究二维材料性质时，载流子浓度是一个重要的参数。
本文将介绍如何计算二维材料的载流子浓度。
第一步：求解费米能级费米能级是指能量为Ef的电子在物质中占据概率等于1/2的能级。
在确定载流子浓度之前，首先需要求解费米能级。
方法有多种，其中一种常用的是通过电子浓度计算。
n=k^2/π式中n为电子浓度，k为矢量波数，π为圆周率。
由于二维材料上的电子是在平面内运动的，因此只需考虑kx和ky两个方向上的波数。
得到电子浓度后，我们可以通过给定的色散关系计算能量E(k)，然后使用二分法或牛顿法等数值方法来求解费米能级Ef。
在实际计算中，可以使用如下公式：E(k) = ħ²k²/2m*式中m*为有效质量，ħ为普朗克常数除以2π。
第二步：计算载流子浓度在确定了费米能级Ef后，我们可以使用下面的公式计算载流子浓度：n=C*(T^3/2)*exp(-Ef/kT)式中C为常数，T为温度，k为玻尔兹曼常数，exp为指数函数。
需要注意的是，上述公式计算的是所有载流子（包括电子和空穴）的浓度。
由于二维材料是一个绝缘体或半导体材料，因此在低温下载流子仅来自掺杂或缺陷，而在高温下还会出现电子-空穴对。
第三步：考虑缺陷由于二维材料中存在缺陷，如氧化、掺杂等，因此实际载流子浓度可能与预测值有所偏差。
为了准确计算真实的载流子浓度，需要考虑所有可能引起偏差的缺陷。
一般来说，缺陷可以分为两类：杂质缺陷和位错缺陷。
杂质缺陷是指在原子晶格中出现了错误的原子，如掺杂杂质或边界缺陷。
位错缺陷则是指晶体内部的错位，从而导致晶格缺陷和应力集中等问题。
综上所述，计算二维材料的载流子浓度需要首先求解费米能级，然后根据公式计算载流子浓度，并考虑缺陷对浓度的影响。
该方法可以帮助研究人员更好地了解二维材料的性质和应用前景。
载流子浓度费米能级热电材料
载流子浓度费米能级热电材料载流子浓度、费米能级和热电材料之间存在一定的关系。
首先，载流子浓度通常用于间接反映费米能级的变化。
具体来说，本征载流子浓度取决于材料的有效质量和温度。
同时，当半导体的温度大于绝对零度时，就有电子从价带激发到导带中，同时，价带中产生空穴，这就是本征激发，电子、空穴成对出现。
当半导体中的杂质数量远小于由热激发产生的电子和空穴时，这种半导体称为本征半导体。
本征半导体中的电子浓度（即单位体积中的电子数），首先计算能量内的电子浓度。
浓度n(E)由单位体积内允许的能态密度N（E）乘以电子占据此能量范围的几率F（E）的乘积得出。
而热电材料则是指能够将热能直接转换为电能的一种特殊材料，其工作原理基于塞贝克效应或皮尔兹效应。
热电材料的性能与其载流子浓度和费米能级密切相关。
在一定温度下，费米能级决定热电材料的载流子浓度，进而影响材料的热电转换效率。
因此，研究如何通过调控费米能级来优化热电材料的性能，是当前热电研究领域的重要课题之一。
总之，载流子浓度、费米能级和热电材料之间存在密切的关系。
如需了解更多信息，建议查阅相关文献或咨询材料学专家。
3.2 半导体中的载流子浓度与费米能级—2.杂质半导体
Ei
k0T
ln
ND 2ni
1
N
2 D
4ni2
过渡区的表达式：
n0 ND
ND2 4ni2 2
ND 2
1
1
4ni2
N
2 D
EF
Ei
k0T
ln
ND 2ni
1
N
2 D
4ni2
4ni2
N
2 D
1
n0 N D
EF
Ei
k0T
ln
ND ni
4ni2
N
2 D
1
n0 p0 ni
（5）少数载流子的浓度
nn0表示n型半导体中的多数载流子电子浓度
pn0表示n型半导体中的少数载流子空穴浓度
pn0
ni2 nn0
在强电离区 nn0 ND
ni2
T
3
exp
Eg k0T
依靠少子工作的半导体器件的性能就会受到温度影响。
一定温度下，EF随ND的增大而趋向ED； 掺杂一定时，EF随温度的升高而趋向Ei；
电离程度
规定：nD
9 10
ND
用
D
nD ND
时为强电离 表示电离的程度
D
2ND Nc
exp
ED k0T
① 温度升高时，电离程度增强；
② 在相同温度下，杂质浓度小的材料，电离程度强；
③ 电离能小时，电离程度强。
1
2
exp
ND
ED EF k0T
① 低温区（低温弱电离区+中间电离区）
n0 nD p0
只有少量施主杂质被电离 本征激发可忽略：p0=0
n0 nD
L3-半导体中的载流子(2)
§3 半导体中的载流子(2)
3.3 电导率和迁移率 霍尔效应
载流子的漂移运动是电场加速和散射的结果，两 者的共同作用使载流子在恒定外场下有稳定的漂 移速度。 迁移率一方面取决于有效质量，另一方面取决于 散射几率。 半导体的主要散射机构 3 _ ①电离杂质的散射 Pi N i T 32 ②晶格振动的散射 Ps T 2 在较高温度下，以晶格散射为主，在较低温 度下，以杂质散射主。 影响电导率的主要因素有载流子浓度，温度，散射 22
III
强电离区(饱和区)
ND ND ， 这时大部分杂质都已经电离，这时
于是有ED-EF>>kBT，因而费米能级EF位于ED之 下，由：
NC e ( EC EF ) / kBT N D
得到：
ND EF Ec k BT ln NC
6
§3 半导体中的载流子(2)
3.1 费米能级与载流子浓度的计算
3.3 电导率和迁移率 霍尔效应
电导率和迁移率 霍尔效应
(1) 电导率和迁移率 以空穴在半导体内的运动为例 dt内空穴通过ds的电荷量
dQ qpdsvp dt
单位时间流过垂直于电流方向的单位面积的 电荷即电流密度
dQ Jp qpv p dsdt
18
§3 半导体中的载流子(2)
3.3 电导率和迁移率 霍尔效应
外加电场时，空穴在电场力作用下沿电场方 向作定向运动。 载流子在电场作用下的定向运动称为漂移运 动，定向运动的速度称为漂移速度Vd 。
一般情况下，漂移运动速度正比于外电场
即 dp p E
其中p为空穴迁移率， 所以
J p qpu p E
19
§3 半导体中的载流子(2)
半导体物理与器件第四章3
n0 Na pa p0 Nd nd
在非简并条件下， 且杂质完全电离 （常温低掺杂）：
n0 p0 ni 2
nd pa 0
n0 p0 ni 2
n0 Na p0 Nd
n02 Nd Na n ni
n0
Nd Na 2
Nd Na 2 n i 2
2
对n型半导体 一般 掺杂 所以 ：
Nd ni
n0 Nd
则：
Nc Ec EF kT ln Nd
可用另外一种方式来推导费米能级位置：
由
EF EFi n0 ni exp kT
当
Na Nd ni
n0 p0 ni
当有效掺杂浓度远小于ni时，对于非简并完全电离的补偿 半导体，多子浓度近似等于本征载流子浓度，此时半导体 具有本征半导体的特性 特别的当
Na Nd 0 ni 半导体为完全补偿半导体
n0 p0 ni
杂质半导体的载流子浓度与杂质浓度的关系： 一定温度下，当杂质浓度小于ni时，n0，p0都等于ni， 材料视为本征的。 一定温度下，当杂质浓度大于ni时，多数载流子由杂质浓 度决定，随杂质浓度增加而增加，少数载流子随之减少。
4.6 费米能级的位置
从热平衡电子浓度的表达式：
Ec EF n0 N c exp kT Nc Ec EF kT ln n0
在常温下，杂质完全电离的 非简并半导体 ，载流子浓度由此前的与掺杂 浓度有关的方程给出。 即n0 为 ：
同样，对于掺入受主杂质的p型非本征半导体材料，在室 温下，对于1016cm-3左右的典型受主杂质掺杂浓度来说， 其掺杂原子也已经处于完全电离状态。
半导体载流子浓度
3/ 2
e Ev ( EF E ) / kBT
EV EdE
p 2
2m* p
k
BT
h3
3/ 2
e( EF Ev ) / kBT
(2
定义价带顶有效状态密度Gv： Gv 2
mpkBT )3/ 2 h3
则价带空穴浓度：
p G e(EF Ev )/ kBT v
•能量越高，空穴占据几率越大。反之，占据几率小。
空穴和电子的费米分布函数相对与费米能级成镜像。高电
子能量对应低空穴能量。
1
与金属不同，半导体费米能级通常在禁带之中，因此对于本 征半导体或低掺杂半导体，载流子的能量通常满足：
E EF kBT , 对于导带电子 EF E kBT , 对于价带空穴
系统费米能级愈低，温度愈高，则价带中的空穴浓度就愈高。 *例GSv意i，义30：0K如下果，将G所v=有2.6空6穴10集19中cm在-3。价带顶，其状态密度应为G6v。
讨论I
n G e(Ec EF )/ kBT c
p G e(EF Ev )/ kBT v
Gc
2
2m* n
( EF Ev ) / kBT v
本征半导体费米能级（称为本征费米能级，Ei）：
EF
Ei
Ec Ev 2
kBT 2
ln (
Gv Gc
)
Ec
Ev 2
3kBT 4
ln (
m*p mn*
)
Ec Ev 2
•本征费米能级Ei非常靠近禁带中央。随温度改变。
•本征费米能级Ei为材料基本参数。
V
2
2
2m* n 2
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费米能级与掺杂能级的关系
f (ED )
1
ED EF
1 e kBT
1
2
电子占据施主能级 上的概率
1
f (EA)
EA EF
1 e kBT
1
2
空穴占据受主 能级上的概率
结论
（1）n型半导体的费米能级在本征费米能级 之上；
（2）而p型半导体的费米能级在本征费米能 级之下。
（3）费米能级与温度有关，当温度很高时， 载流子主要来源于本征激发，此时费米能 级与本征费米能级很接近，都在能带中央 附近。
p ni e (EFi EF ) / kBT
因此费米能级为
EF
EFi
k BT ln
n ni
p EF EFi k BT ln ni
（4）
式中常用禁带中央能级来近似。所以杂质半导体的费 米能级可近似为
N型半导体
EF
Ei
kBT ln
ND NA ni
P型半导体
EF
Ei
kBT ln
NA ND ni
§4.3 费米能级与载流子浓度的计算
只要知道了费密能级EF ，原则上就可知道给定半导体 的载流子浓度。下面我们讨论如何决定半导体的费密能
级。为此我们假定半导体中同时存在浓度ND的施主杂质 和浓度为NA的受主杂质。根据一块均匀半导体在空间任 何地方均应保持电中性的原理，应有
n +NAf(EA)=p+ND[1-f(ED)]
为明确起见，考虑n型半导体，施主浓度为ND。在室 温，我们可以认为杂质全部电离，ND+≈ND。由电中 性条件得
n = p + ND+≈p + ND 结合（2）式消去n得
解得
p(p + ND)=ni2
p
1 2
(N D
N
2 D
4ni2
)
（3）
p>0，上式中应取正号。代入（3）式得
n
1 2
(ND
N
2 D
例题
• 设n型硅，掺施主浓 ， 度 ND 1.51014cm3
试分别计算温度在300K和500K时
电子和空穴的浓度和费米能级的位
置。设温度在300K和500K时的本
征载流子浓度分别为 和 。 ni 2.61014 cm3
ni 1.51010 cm3
4ni2
)
通常本征载流子浓度数值较小，满足，此时n≈ND。
若n型半导体中同时掺有受主杂质，并设ND >>NA。如 前所述，一部分数量为NA的施主能级上的电子，从ED 跃迁至能量较低的受主能级EA，使施主及受主同时电 离，剩下浓度为ND-NA的电子则由热激发跃迁至导带， 成为载流子。上式改写成
n
1 2 {(ND
(1)．本征半导体
此时(1)式成为 n =p ，即
N e N e (EC EF ) kBT C
( EF EV ) k BT V
由此可解得本征费米能级EF(改记为EFi)
E Fi
EC
EV 2
1 2 k BT ln
NV NC
令
Ei
1 2
(
EC
EV )
代表禁带中央能量，得
EFi
Ei
1 2
kBT
ln( mh me
式中Eg=EC-EV 为禁带宽度。上式中ni对温 度的依赖关系主要取决于指数因子，从而 得到随着温度上升，本征载流子浓度将急 剧增加的结论。这里顺便指出，(2)式不仅 适用于本征半导体，事实上，只要是非简 并化的情形，即使存在杂质，(2)式仍然成 立，这是标志热平衡条件的一个重要的关 系式。
(2)．掺杂半导体
(1)
式中n为导带电子浓度，NAf(EA)为受主能级EA 上的电子 浓度，由于受主能级为电子占据时受主是荷负电的，上
式左边即为单位体积的半导体中的负电荷。至于上式右
边，p为价带空穴浓度；NDf(ED)为施主能级上的电子浓 度，故ND[1-f(ED)] 为电离施主浓度，因而方程右边为正 电荷浓度。
下面我们就几种具体情形作近似讨论。
)3/ 2
一般mk和me具有相同的数量级，故常可将上式右边第 二项略去。即对本征半导体有
EFi≈Ei
上式表明，本征半导体的费密能级接近禁带中央。此时 我们可直接由n = p = ni, 得
ni2 = np
C EV ) kBT
i
CV
即
ni (NC NV )1/ 2 eEg 2kBT
NA)
[(ND
NA)2
4ni2 ]1/ 2}
当 ND NA ni 时，上式近似为 n ND NA
同理可写出，p型半导体中当ni<<(NA- ND)时，载流子 浓度p和n为：
pN A N D n ni2
N A N D
由于n型半导体与p型半导体电子的浓度分别为
n ni e (EF EFi ) / kBT