冷储备-不可修复系统可靠性(陆中)

3 串联系统

若各单元失效时间服从指数分布
R s (t ) = ∏ e
i =1 n −λi ⋅t
=e
−
∑ λi ⋅t
i =1
n
λ s = ∑ λi
i =1
n
θs =
1
λs
4 并联系统
1 2 A B
3

特征：任一单元正常工作，子系统即正常工作，只有所有单 元均失效，系统才失效。 设：A － 系统正常工作状态 A － 系统故障状态 Ai － 单元 i 处于正常工作状态（i＝ 1，2，…，n） Ai － 单元 i 处于故障状态（i ＝ 1，2，…，n）
如果分析的是系统开路失效，当两个电容同时 失效，才会引起系统失效。其逻辑框图为：
A
B
C2
2 可靠性框图
1 2 B
例：

A
如果研究的是液体“流通”：1、2阀门正常功能“开启”，系统才 能实现液体“流通”。其逻辑框图为：
1 A 2 B

如果研究的是液体“被截流”：1、2阀门正常功能 “关闭”，系统 就可实现“被截流”。其逻辑框图为：
1 A B
2
2 可靠性框图

可靠性框图作用

若已知逻辑图和每个单元的工作概率或故障概率，则通过 适当的运算，可求得整个系统的工作概率（可靠度）、故 障概率（不可靠度）、MTTF等可靠性特征量（指标）。 主要研究几种常用的典型系统及其可靠性特征量的计算方 法。 ① 系统、单元均有两种状态：正常与失效； ② 各单元所处的状态是相互独立的。


习题：串-并-混联系统

例4：两单元组成的串联（或并联）系统，单元寿命分布函数分布为 :N(5000, 2500), N(4900,625)，求系统工作4850小时时的可靠度。（用标 准正态分布表示）

例5：某系统由A、B、C、D四个设备组成，失效率均为λ，系统RBD 如下图所示，求系统的可靠度、失效率、以及平均寿命。
+∞ 0 0
令y = 1 − e
1
− λ ⋅t
⇒ dy = λe
− λ ⋅t
1 dt = λ (1 − y )dt ⇒ dt = dy λ 1− y
1
1 1 n −1 1− yn 1 n −1 1 i dy = ∫ (∑ y )dy = ∑ θs = ∫ 0 λ (1 − y ) 0 λ λ i =0 i i =0

则
A = A1 Α 2 Α n = Αi
i =1
n
4 并联系统

系统可靠性一般表达式
n n P(A ) = Ρ Αi = ∏ Ρ(Ai ) i =1 i =1
Fs (t ) = ∏ Fi(t)
i =1
n
R s (t ) = 1 − ∏ [1 - R i (t)]

当各寿命服均从失效率为λ的指数分布时，系统 可靠度为
Rs (t ) = ∑ C e
i =k n i − iλ t n
(1 − e )
− λt n − i

此时，系统平均寿命为：
θ s = ∫ Rs (t )dt = ∑ Cni ∫ e −iλ ⋅t (1 − e
∞ n +∞ 0 i=k 0 − λ ⋅t n −i
n
6 k/n表决系统

组成系统的各单元相同，
RS (t ) = ∑ Cni R(t )i [1 − R(t )]n −i
n i =k
式中：
RS(t) —— 系统的可靠度； R(t) —— 系统组成单元（各单元相同）的可靠度；
n n! C = = i i!(n − i )!
i n
6 k/n表决系统
+ + (−1) n−1 e −( λ1 +λ2 +λn )t
1
θs = ∑
i =1
n
1
λi
−
1 1 + + (−1) n −1 ∑ ∑ 1≤i < j ≤ n λi + λ j 1≤i < j < k ≤ n λi + λ j + λ k
∑λ
i =1
n
i

并联系统由两个寿命为指数分布的单元组成，系统 失效率不为常数
n 1 = ⋅ 1 − e −λ ⋅t λ n

(
=
λ
令i=k （1≤k＜n）时等式成立

则
A = A1 Α 2 Α n = Α i
i =1
n
3 串联系统

系统可靠性一般表达式
n
n n P(A) = Ρ Αi = ∏ Ρ(Αi ) i =1 i =1
i =1
Rs (t ) = ∏ Ri(t)


在串联系统中，系统的可靠度是元件（单元）可靠度 的乘积； 串联子系统的可靠度比任一单元要小 R s (t ) < R i (t ) ； 提高最低可靠度单元（薄弱环节）的可靠度效果会更 好。
第二章 不可修复系统可靠性
南京航空航天大学 民航学院 陆中
本章内容

1 引言 2 可靠性框图（RBD） 3 串联系统 4 并联系统 5 混联系统 6 k/n表决系统 7旁联系统 8 网络系统 9 可靠性建模实例
1 引言

系统概念（System）
一个系统是由一组零件 （元件）、部件、子系统或 装配件（统称为单元）构成 的、完成期望的功能、并具 有可接受的性能和可靠性水 平的一种特定设计。
( p + q)

n
n n −1 n k n−k n n = p + p q + + p q + + q n − 1 k 0
n
系统可靠度
n n −1 n k n−k Rs (t ) = p + p q ++ p q n − 1 k
5 混联系统
1）一般混联系统（由串联、并联混合组成的系统）
子系统 1 2 3 6 8 4 5 7
等效单元 S1 6 8 S2 7
S3
S4
8
5 混联系统
2）串－并联系统
11 12 21 22 i=1,2,…,mj j=1,2,…,n 1n
2n
ij m11 m22 mnn
第j列
mj R s (t ) = ∏ 1 − ∏ 1 − R ij (t ) j =1 i =1 n
−λ ⋅t n
)
)
n −1
1 1 1 θ s = 1 + + + λ 2 n
4 并联系统
各单元失效时间服从指数分布且失效率相等时，寿命 公式的推导
1 1 1 θ s = 1 + + + λ 2 n
+∞ n
θ = ∫ R(t )dt = ∫ [1 − (1 − e −λ ⋅t ) ]dt
[
]百度文库
5 混联系统
3）并－串联系统
11 12 1n1
i=1,2,…,m j=1,2,…,n
21 22 2n2
ij
第i行
m1
m2
mnm
ni R s (t ) = 1 − ∏ 1 − ∏ R ij (t ) i =1 j =1 m
习题：串-并-混联系统

例1：某串联系统由4个子系统组成，子系统寿命服从指数 分布，四个子系统MTTF分别为5000、3000、15000、15000 （单位，小时），求系统在工作500时的可靠度及系统失效 率。 例2：并联系统由两个寿命服从指数分布的子系统组成， MTTF分别为5000、10000小时，求系统工作10000小时时刻 的失效概率、失效率以及系统平均寿命。 例3：某串联系统由两个寿命服从指数分布的单元组成，单 元1失效率为0.001，从0时刻开始工作；单元2，失效率为 0.002，从1000小时后开始工作，求系统可靠度与失效率函 数。
i =1
n
在并联系统中，系统的可靠度大于单元可靠度的 最大值，即 R s (t ) > R i (t )
4 并联系统
对于并联系统，并联单元数越多，系统可靠度越 大；但并联单元多，结构尺寸大，重量、造价高，且 随着单元数的增多，可靠度增加越来越缓慢。
缓慢
n
一般取单元数：n=2-3
4 并联系统

并联系统可靠性—用随机向量函数分布描述

研究对象


假设：
2 可靠性框图

串联系统 并联系统 串并联混合系统 k/n表决系统 旁联系统 复杂系统
3 串联系统
A B
1
2
n

特征：n个单元全部正常工作时，系统正常工作， 只要有一个单元失效，系统即失效。
设：A － 系统正常工作状态 A－ 系统故障状态 Ai－ 单元 i 处于正常工作状态（i＝ 1，2，…，n） Ai － 单元 i 处于故障状态（i ＝ 1，2，…，n）
1 引言

系统实例
1 引言

系统可靠性认识到误区

1.在特定的时间内，已知系统所有单元的可靠度为90%, 则系统可靠度为90%。

2. Mechanical engineers know everything. 3. Reliability is a project. 4. The craftsman is only involved in repair, not in reliability. 5. The key to high reliability is speedy repair.
)
1 n 1 dt = ∑ λ i =k i
6 k/n表决系统
θs =

1 ∑ λ i =k i
C
1 n
1
n
当i＝1时
∫
+∞
0
e
− λ ⋅t
(1 − e ) )
n +∞ 0
− λ ⋅t n −1
dt = 1
( 1 − e ) d (1 − e ) ∫ λ
n
+∞ − λ ⋅t n −1 − λ ⋅t 0
4 并联系统

各单元失效时间服从指数分布
R s (t ) = 1 − ∏ 1 − e −λi ⋅t
i =1 n
(
)
R s (t ) = ∑ e −λit −
i =1
n
1≤i < j ≤ n
∑e
−( λi + λ j ) t
+
1≤i < j < k ≤ n
∑e
−( λi + λ j + λk ) t

第i个单元的寿命为Ti ,系统寿命为T, 则
T = max{T1 , T2 , Tn }
Rs (t ) = P(Ts > t ) = P(max{T1 , T2 , Tn } > t ) = 1 − P(max{T1 , T2 , Tn } < t ) = 1 − P(T1 < t , T2 < t , Tn < t ) = 1 − P{T1 < t ) × P(T2 < t ) P(Tn < t ) = 1 − F1 (t ) × F2 (t ) Fn (t ) = 1 − (1 − R1 (t )) × (1 − R2 (t )) (1 − Rn (t ))
2 可靠性框图

又称可靠性功能逻辑框图

系统与单元功能间的逻辑关系图，建立可靠性功能逻 辑框图，不能从结构上而应从功能上研究系统类型。

从功能研究系统可靠性
2 可靠性框图
C1 B

例：
A
C2
C1
C2 B

如果分析的是系统短路失效，只要一个短路， A 系统即短路。其系统可靠性功能逻辑框图为：
C1

λ λs（t） λ1 λ2 t λ λ1=λ2 λ λs（t） t λ2 λ1 t λs（t）
并联模型故障率曲线
4 并联系统

各单元失效时间服从指数分布且失效率相等
R s (t ) = 1 − 1 − e
λs (t ) =
(
−λ ⋅t n
)
nλe −λ⋅t 1 − e −λ⋅t 1− 1− e
(
(
Rs (t ) = R1 (t ) R2 (t ) + R1 (t ) R3 (t ) + R2 (t ) R3 (t ) − 2 R1 (t ) R2 (t ) R3 (t )
6 k/n表决系统

组成系统的各单元相同

每个单元失效概率为q，正常工作概率为p， 则k/n(G)表决模型 服从二项分布
A
C B D
6 k/n表决系统

特征：n个单元中只要有k个单元正常工作系统就 能正常工作

k=n时，为串联系统 k=1时，为并联系统
6 k/n表决系统

以2/3系统为例

设：Ai－单元i处于正常工作状态（i＝1，2，3） A－系统处于正常工作状态
A = (A 1 A 2 ) (A 1 A 3 ) (A 2 A 3 )
3 串联系统

串联系统可靠性—用随机向量函数分布描述

第i个单元的寿命为Ti ,系统寿命为T, 则
T = min{T1 , T2 , Tn }
Rs (t ) = P(Ts > t ) = P(min{T1 , T2 , Tn } > t ) = P(T1 > t , T2 > t , Tn > t ) = P{T1 > t ) × P(T2 > t ) P(Tn > t ) = R1 (t ) × R2 (t ) Rn (t )