第五章线性参数的最小二乘处理

第五章线性参数的最小二乘处理

习题

5-1研究铂-铱米尺基准器的膨胀系数时得出，在不同温度下该米尺基准器的长度的修正值可用下述公式表示：

x+ty+t2z=L

式中x表示在0℃时米尺基标准器的修正值（微米）；y和z为温度系数；t为温度（℃）；L 为t℃基准器的长度的修正值（微米）。经研究得在不同温度下米尺基准器长度的修正值如下表：

求未知参量x，y，z的最可依赖值。

5-2对未知量x，y，z，组合测量的结果如下：

x=0

y=0

z=0

x-y=0.92,

-y+x=1.35

-x+z=1.00

试求x，y，z的最可依赖值及其标准误差。

5-3由等精度测定方程为：

x+37y+1369z=36.3

x+32y+1024z=41.4

x+27y+729z=47.5

x+2y+484z=54.7

x+17y+289z=63.2

x+12y+144z=72.9

x+7y+49z=83.7

试用矩阵最小二乘法求x ，y ，z 的最可依赖值及其精度。

5-4交流电路的电抗x =ωL C

ω1

-

， 在角频率ω1=3时，测得x 为x 1=0.8

ω2=2时，测得x 为x 2=0.2 ω3=1时，测得x 为x 3=-0.3

试求：(i) L ，C 及其方差；(ii) ω=3时（ωσ=0.1）电抗值及其方差。

5-5试求下列方程给出的x ，y 的最大或然值及其标准误差。

2x +y =5.1

x -y =1.1

4x -y =7.4

x +4y =5.9

5-6测得一直线上四段长度AB 、BC 、CD 、DE 分别为24.1，35.8，30.3和33.8厘米，但已知AD 准确长90厘米和BE 准确长100厘米。试求AB ，BC ，CD ，DE 的最大或然值。

5-7由方程组

3x +y =2.9

x -2y =0.9

2x -3y =1.9

试求x ，y 的最大或然值及其标准误差。

5-8由下面的不等精度的测定方程组，求x 1，x 2的最可信赖值及其标准误差。

x 1=0 权： P 1=8 x 2=0

P 2=10 x 1+2x 2=0.25 P 3=1 x 1-3x 2=0.92

P 4=5

5-9由下面的不等精度的测定方程组，试用矩阵最小二乘法求x ，y 的最大或然值及其标准误差。

x -3y =-5.6

权： P 1=1 4x +y =8.1 P 2=2 2x -y =0.5

P 3=3

5-10由下面的测定方程组，试求x ，y 的最可依赖值及其标准误差。

2x +y =5.1

权：P 1=1 x -y =1.1

P 2=3 4x -y =7.2

P 3=2

5-11试求满足下列方程的x ，y ，z 及其标准误差（假设它们是等权的）。

x +y +z =4.01

2x-y+z=1.04

x+3y-2z=5.02

3x+y=4.97

5-12由座标点(1，0) (3，1) 和 (-1，2)到某点的距离分别为3.1，2.2和3.2。试求该点座标位置的最大或然值及其标准误差。

5-13对某一角度值，分两个测回进行测定，其权等于测定次数，测定值如下。试求该角度的最可信赖及其标准误差。

5-14某平面三角形三个角被测出为A=48º5′10″，B=60º25′24″，C=70º42′7″，令假设这种测量（i）各次权相等；（ii）各次权分别为1、2、3；试求A、B、C的最大或然值。

5-15数N系时间t的函数

N=x1+ x2t+ x3t2

测定后的N的值如下。测定是在异权情况下进行的，试求x1，x2，x3的最可信赖值。

5-16硝酸钠在100份水的溶解度与温度的关系，测定为

上述关系可用直线67.5+0.87t表示(式中t为温度)。试用最小二乘法来检证。

5-17由下列测定的方程组，求X、Y最可信赖及其或然误差。

X+Y=37.0 权：P1=5

2X+Y=61.9 P2=4

3X+Y=86.7 P3=4

X+2Y=49.2 P4=4

X+3Y=60.6 P5=3

2X+3Y=86.7 P6=2

3X+2Y=98.4 P7=3

5-18由下列测定方程组，求X、Y最可信赖及其标准误差。

2X+4Y+8Z=0.1612

2.200X+4.840Y+10.648Z=0.1986

3.200X+10.240Y+32.768Z=0.5098

2.600X+6.760Y+17.576Z=0.2896

3X+9Y+27Z=0.4181

5-19假设有三个某种量规，其值分别为Y1、、Y2、Y3。现在将它们直接地或间接地与数值已知为N的标准量规比较，比较的方案为下述三种（三种组合）：

（i）每一个量规各与标准量规比较二次；

（ii）第一个量规（Y1）与标准量规比较二次，第二个量规（Y2）与第一个量规比较二次，第三个量规（Y3）与第二量规比较二次；

（iii）每一个量规各与标准量比较一次，然后它们相互按不同的组合比较一次；

上述三种测量方案得到的条件方程式如下表所示：

试研究采用那一种测量方案能够获得最好的结果。（提示：可以比较不同测量方案下未知数的权）。