定积分的计算与证明
高等数学 定积分
第五章 定积分第一节 定积分的概念第二节 定积分的性质和中值定理第三节 微积分基本公式第四节 定积分的换元法第五节 定积分的分部积分法第六节 定积分的近似计算第七节 广义积分问题的提出定积分的定义 几何意义定积分存在定理第一节 定积分的概念abxyo?=A 曲边梯形由连续曲线实例1 （求曲边梯形的面积）)(x f y =)0)((≥x f 、x 轴与两条直线a x =、b x =所围成.一、问题的提出)(x f y =ab xyoab x yo用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．（四个小矩形）（九个小矩形）观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．曲边梯形如图所示，,],[1210b x x x x x a b a n n =<<<<<=- 个分点，内插入若干在区间a bxyoi ξi x 1x 1-i x 1-n x ;],[],[11---=∆i i i i i x x x x x n b a 长度为，个小区间分成把区间形面积，曲边梯形面积用小矩上任取一点在每个小区间i i i x x ξ-],[1ii i x f A ∆ξ≈)(:))(],[(1近似为高为底，以i i i f x x ξ-（1）分割（2）近似ini i x f A ∆≈∑=)(1ξ曲边梯形面积的近似值为ini i x f A ∆=∑=→)(lim 10ξλ时，趋近于零即小区间的最大长度当分割无限加细)0(},,max{,21→∆∆∆=λλn x x x 曲边梯形面积为（3）求和（4）取极限实例2 （求变速直线运动的路程）设某物体作直线运动，已知速度)(t v v =是时间间隔],[21T T 上t 的一个连续函数，且0)(≥t v ，求物体在这段时间内所经过的路程.思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值．（1）分割212101T t t t t t T n n =<<<<<=- 1--=∆i i i t t t ii i t v s ∆≈∆)(τ部分路程值某时刻的速度（3）求和ii ni t v s ∆≈∑=)(1τ（4）取极限},,,max{21n t t t ∆∆∆= λini i t v s ∆=∑=→)(lim 10τλ路程的精确值（2）近似设函数)(x f 在],[b a 上有界，记},,,max{21n x x x ∆∆∆= λ，如果不论对],[b a 在],[b a 中任意插入若干个分点bx xx x x a nn =<<<<<=-121把区间],[b a 分成n 个小区间，各小区间的长度依次为1--=∆i i i x x x ，),2,1( =i ，在各小区间上任取一点i ξ（i i x ∆∈ξ），作乘积i i x f ∆)(ξ ),2,1( =i 并作和i i ni x f S∆=∑=)(1ξ，二、定积分的定义定义怎样的分法，⎰==ba I dx x f )(ii ni x f ∆∑=→)(lim 10ξλ被积函数被积表达式积分变量积分区间],[b a 也不论在小区间],[1i i x x -上点i ξ怎样的取法，只要当0→λ时，和S 总趋于确定的极限I ，我们称这个极限I 为函数)(x f 在区间],[b a 上的定积分，记为积分上限积分下限积分和几点说明：（1） 定积分是一个数值，它仅与被积函数及积分区间有关，⎰b a dx x f )(⎰=b a dt t f )(⎰=ba duu f )(而与积分变量的字母无关.)( ,)()( 2⎰⎰⎰=-=aaabbadx x f dx x f dx x f 规定：）（.],[)(],[)( 3的取法无关的分法及的和式的极限与所表示上可积，则在区间若）（i bab a dx x f b a x f ξ⎰,0)(≥x f ⎰=ba Adx x f )(曲边梯形的面积,0)(≤x f ⎰-=ba Adx x f )(曲边梯形的面积的负值a b xyo)(x f y =AxyoabA -)(x f y =三、定积分的几何意义1A 2A 3A 4A 4321)(A A A A dx x f ba ⎰=-+-,],[)(变号时在区间b a x f 三、定积分的几何意义.)(是面积的代数和⎰badx x f几何意义：积取负号．轴下方的面在轴上方的面积取正号；在数和．之间的各部分面积的代直线的图形及两条轴、函数它是介于x x b x a x x f x ==,)(++--当函数)(x f 在区间],[b a 上连续时，定理1定理2 设函数)(x f 在区间],[b a 上有界，且只有有限个间断点，则)(x f 在四、定积分的存在定理区间],[b a 上可积.例1 利用定义计算定积分.12dx x ⎰解将]1,0[n 等分，分点为nix i =，(n i ,,2,1 =)小区间],[1i i x x -的长度nx i 1=∆，(n i ,,2,1 =)取i i x =ξ，(n i ,,2,1 =)i i n i x f ∆∑=)(1ξi i ni x ∆=∑=21ξ,12i ni ix x ∆=∑=.,102的选取无关及法故和式极限与区间的分可积因为i dx x ξ⎰n n i ni 121⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑=∑==n i i n 12316)12)(1(13++⋅=n n n n ,121161⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n ∞→⇒→n 0λdx x ⎰102i i ni x ∆=∑=→210lim ξλ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∞→n n n 121161lim .31= 几何上是曲线y=x 2,直线x=1及x 轴围成的曲边三角形面积.例2 利用定义计算定积分.121dx x⎰解在]2,1[中插入分点 12,,,-n q q q ,典型小区间为],[1ii q q -，（n i ,,2,1 =）小区间的长度)1(11-=-=∆--q qq q x i i i i ,取1-=i i qξ，（n i ,,2,1 =）i i ni x f ∆∑=)(1ξi ni ix ∆=∑=11ξ)1(1111-=-=-∑q q q i ni i ∑=-=ni q 1)1()1(-=q n 取2=nq即nq 12=),12(1-=n n )12(lim 1-+∞→xx x x xx 112lim1-=+∞→,2ln =)12(lim 1-∴∞→nn n ,2ln =dx x ⎰211i ni ix ∆=∑=→101lim ξλ)12(lim 1-=∞→n n n .2ln =i i ni x f ∆∑=)(1ξ原式⎥⎦⎤⎢⎣⎡π+π-++π+π=∞→n n n n n n n nsin )1(sin 2sin sin 1lim π=∑=∞→n i n n i n 1sin 1lim n n i ni n π⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ=∑=∞→1sin lim 1.sin 10⎰ππ=xdx ix ∆i ξ例3：将下列和式极限表示成定积分.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++∞→n n n n n n πππ)(sin sin sin lim121 ：五、小结１．定积分的实质：特殊和式的极限．２．定积分的思想和方法：分割化整为零求和积零为整取极限精确值——定积分求近似以直（不变）代曲（变）取极限Z .思考n n n n f n f n f ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→ 21lim 试证.1)(ln ⎰=dxx f e 2：将和式极限，表示成定积分.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-+-∞→2222241241141lim n n n n n 证明n n n n f n f n f ⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫⎝⎛∞→ 21lim ⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→=n n n n f n f n f e21lim ln n n n n f n f n f ⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→ 21lim 试证.1)(ln ⎰=dx x f e 利用对数的性质得⎪⎭⎫⎝⎛∑==∞→n i f n ni n e1ln 1lim n n i f ni n e1ln lim 1⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∑==∞→ 指数上可理解为：)(ln x f 在]1,0[区间上的一个积分和．分割是将]1,0[n 等分分点为nix i =，（n i ,,2,1 =）⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→=n n n n f n f n f e21ln lim 极限运算与对数运算换序得nn i f n i n 1ln lim 1⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=∞→⎰=10)(ln dx x f 故nn n n f n f n f ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→ 21lim.10)(ln ⎰=dxx f e 因为)(x f 在区间]1,0[上连续，且0)(>x f 所以)(ln x f 在]1,0[上有意义且可积 ,2：将和式极限，表示成定积分.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-+-∞→2222241241141lim n n n n n ⎰∑-=-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-++-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-+-=∞→∞→∞→1021222222222411)(41lim )(41)2(41)1(411lim 41241141lim dxx n ni n n n n n n n n n n i n n n 解第二节 定积分的性质、中值定理1.定积分性质2.中值定理对定积分的补充规定:（1）当b a =时，0)(=⎰ba dx x f ；（2）当b a >时，⎰⎰-=abb adx x f dx x f )()(.说明 在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小．一、定积分性质和中值定理证⎰±ba dxx g x f )]()([i i i ni x g f ∆±=∑=→)]()([lim 10ξξλi i ni x f ∆=∑=→)(lim 10ξλii ni x g ∆±∑=→)(lim 10ξλ⎰=ba dx x f )(.)(⎰±ba dx x g ⎰±b a dx x g x f )]()([⎰=b a dx x f )(⎰±ba dx x g )(.（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）性质1⎰⎰=ba b a dx x f k dx x kf )()( (k 为常数).证⎰ba dx x kf )(ii ni x kf ∆=∑=→)(lim 10ξλi i n i x f k ∆=∑=→)(lim 1ξλii ni x f k ∆=∑=→)(lim 10ξλ.)(⎰=ba dx x f k 性质2⎰ba dx x f )(⎰⎰+=bcca dx x f dx x f )()(.补充：不论 的相对位置如何, 上式总成立.c b a ,,例 若,c b a <<⎰c a dx x f )(⎰⎰+=cb b a dx x f dx x f )()(⎰b a dx x f )(⎰⎰-=cb c a dxx f dx x f )()(.)()(⎰⎰+=bc ca dx x f dx x f （定积分对于积分区间具有可加性）假设bc a <<性质3dx b a ⋅⎰1dx ba⎰=a b -=.则0)(≥⎰dx x f ba. )(b a <证,0)(≥x f ,0)(≥ξ∴i f ),,2,1(n i =,0≥∆i x ,0)(1≥∆ξ∴∑=i i ni x f },,,max{21n x x x ∆∆∆= λi i ni x f ∆∴∑=→)(lim 1ξλ.0)(⎰≥=ba dx x f 性质4性质5如果在区间],[b a 上0)(≥x f ，例1 比较积分值dx e x⎰-20和dx x ⎰-20的大小.解令,)(x e x f x -=]0,2[-∈x ,0)(>x f ,0)(02>-∴⎰-dx x exdx ex⎰-∴2,02dx x ⎰->于是dx e x ⎰-2.20dx x ⎰-<性质5的推论：证),()(x g x f ≤ ,0)()(≥-∴x f x g ,0)]()([≥-∴⎰dx x f x g ba ,0)()(≥-⎰⎰ba ba dx x f dx x g 于是 dx x f ba ⎰)( dx x g ba ⎰≤)(.则dx x f ba ⎰)( dx x g ba ⎰≤)(. )(b a <如果在区间],[b a 上)()(x g x f ≤，（1）dx x f b a ⎰)(dx x f ba⎰≤)(.)(b a <证,)()()(x f x f x f ≤≤- ,)()()(dx x f dx x f dx x f ba ba ba ⎰⎰⎰≤≤-∴即dx x f ba ⎰)(dx x f ba⎰≤)(.说明： 可积性是显然的.|)(x f |在区间],[b a 上的性质5的推论：（2）设M 及m 分别是函数证,)(M x f m ≤≤ ,)(⎰⎰⎰≤≤∴ba ba b a Mdx dx x f dx m ).()()(a b M dx x f a b m ba -≤≤-⎰（此性质可用于估计积分值的大致范围）则 )()()(a b M dx x f a b m ba -≤≤-⎰.)(x f 在区间],[b a 上的最大值及最小值，性质6例2 估计积分dx x⎰π+03sin 31值的范围.解,sin 31)(3xx f +=],,0[π∈∀x ,1sin 03≤≤x ,31sin 31413≤+≤x ,31sin 31410030dx dx x dx ⎰⎰⎰πππ≤+≤.3sin 31403π≤+≤π∴⎰πdx x例3 估计积分dx xx⎰ππ24sin 值的范围.解,sin )(xx x f =2sin cos )(x x x x x f -='2)tan (cos x x x x -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,4ππx ,0<)(x f 在]2,4[ππ上单调下降,,22)4(π=π=f M ,2)2(π=π=f m ,442π=π-π=-a b ,422sin 4224π⋅π≤≤π⋅π∴⎰ππdx x x .22sin 2124≤≤∴⎰ππdx x x 如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，上的平均值在],[)()(1b a x f dxx f a b ba⎰-则在积分区间],[b a 上至少存在一个点 ξ，使dx x f b a ⎰)())((a b f -=ξ. )(b a ≤≤ξ性质7（定积分中值定理）积分中值公式证Mdx x f a b m ba≤-≤∴⎰)(1)()()(a b M dx x f a b m ba -≤≤-⎰ 由闭区间上连续函数的介值定理知在区间],[b a 上至少存在一个点 ξ,)(1)(⎰-=ξbadx x f a b f dx x f ba ⎰)())((ab f -=ξ.)(b a ≤≤ξ即在区间],[b a 上至少存在一个点ξ，1. 积分中值公式的几何解释：xyoa b ξ)(ξf 使得以区间],[b a 为以曲线)(x f y =底边，为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为)(ξf 的一个矩形的面积。
定积分基本计算定律-定积分的计算定律
2x
x
0
f
(t )dt
1在[0,1]上只有一个解.
证
令
F(x)
2x
x
0
f
(t )dt
1,
f ( x) 1, F ( x) 2 f ( x) 0,
F ( x)在[0,1]上为单调增加函数. F (0) 1 0,
F (1)
1
1
0
f
(t )dt
1
0 [1
f
(t )]dt
0,
所以F ( x) 0即原方程在[0,1]上只有一个解.
y x
x2 2 x 0
2
o 1 2x
x
0 x1 ,
x
2
1 x2
原式
0 x2dx
1
xdx
2 x2dx 11.
2
0
1
2
例7 求 1 1dx.
2 x
解 当 x 0时， 1 的一个原函数是ln | x |,
x
1
2
1dx x
ln |
x
| 1 2
ln1
ln 2
ln 2.
例 8 计算曲线 y sin x在[0, ]上与 x轴所围
x a t , x 0 t 0,
2
原式 2
a cos t
dt
0 a sin t a2 (1 sin2 t)
2 0
cos t dt sin t cos t
1 2
2 0
1
cos t sin t
sin cos
t t
dt
1 2
2
1 2
ln
sin
t
cos
t
第9讲定积分的计算
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例 设f ′′( x)在[ a, b]上连续, 且f (a ) = f (b) = 0,
证明∫ f ′′( x)( x − a )( x − b) dx = 2 ∫ f ( x) dx .
a a
b
b
证 : ∫ f ′′( x)( x − a )( x − b)dx = ∫ ( x − a )( x − b)df ′( x)
e2
e
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9
例 计算定积分
∫
2
−2
x ln(1 + e ) dx
x
解法一 : 令f ( x) = x ln(1 + e x ) 则f (− x) = − x ln(1 + e − x ) = − x[ln e − x + ln(e x + 1)] = x − x ln(e + 1) 确定g ( x), 使f ( x) + g ( x)为奇函数. 要求f (− x) + g (− x) = − f ( x) − g ( x)
a b b a
b
= ( x − a)( x − b) f ′( x) a − ∫ f ′( x)(2x − a − b)dx = −∫ f ′( x)(2x − a − b)dx = −∫ (2x − a − b)df ( x)
a a b b
= − (2x − a − b) f ( x) a − 2∫ f ( x)dx
解 : 原式 ===== ∫ f (u )du
1 1 1 =∫ du + ∫ du u −1 1 + e 0 1+ u 0
= ( u − ln(1 + e )) −1 + ln(1 + u) |1 0
定积分的计算
a
a
0
联合二式即得.
第七章 定积分
然后证(2).
a
0
a
f (x)dx f (x)dx f (x)dx
a
a
0
0
a
a f (t)dt 0 f (x)dx
a
a
0 f (t)dt 0 f (x)dx 0.
最后证(3) al f (x)dx
1. 6
/2 cos5 xsin xdx /2 cos5 xd(cosx)
0
0
cos6 6
x /2 0
1. 6
第七章 定积分
例 7.13 求证 (1)设f (x)是[a, a]上连续的偶函数，
则
a
f (x)dx 2
a
f (x)dx
；
a
(1)n1 2n 1
.
第七章 定积分
分部积分法
设函数u(x，) v(x)在[a, b]上有连续导数，则
b
u(x)v(x)dx
u(x)v(x)b
b
v(x)u(x)dx
a
aa
也可简记为
b a
uvdx
[uv]ba
b
vudx
a
或
b
udv
0
0
1 2n 1
I n1 ,
即
In
1 2n 1
I n1
第七章 定积分
由于
I0
4
dx
0
定积分的计算
则 有 a f ( x )dx f [ ( t )] ( t )dt .
b
证
设F ( x ) 是 f ( x ) 的一个原函数，
a f ( x )dx F (b) F (a ),
b
( t ) F [( t )],
dF dx f ( x ) ( t ) f [( t )]( t ), ( t ) dx dt
第四节 定积分的计算
一、直接利用牛顿-莱布尼兹公式 二、换元积分法 定理 假设 （1）f ( x ) 在[a , b] 上连续；
（2）函数 x (t ) 在[ , ] 上是单值的且有连续 导数； （3）当t 在区间[ , ] 上变化时， x (t ) 的值
在[a , b]上变化，且 ( ) a 、 ( ) b ，
1 1 4 4 x tan x 0 tan xdx 2 0 2 1 ln 2 4 ln sec x 0 . 8 2 8 4 4
例3 解
计算
1
0
ln(1 x ) dx . 2 (2 x )
0
1
1 ln(1 x ) 1 dx 0 ln(1 x )d 2 (2 x ) 2 x
1 2
xdx 1 x2
练习：
xdx 0 1 cos 2 x .
4
1
0
ln(1 x ) dx . 2 (2 x )
xdx . 例2 计算 0 1 cos 2 x
解
4
1 cos 2 x 2 cos x ,
2
xdx xdx 4 4 x d tan x 2 0 1 cos 2 x 0 2 cos x 0 2
3.4定积分的计算(二)、应用
简证： F ( x )是 f ( x )的一个原函数，则 设
b
a
f ( x )dx F (b) F (a )
又 F ( ( t )) f ( (t )) (t )
( t )dt F ( ( t )) F ( ( )) F ( ( )) f ( ( t ))
3,
1
令 若作如下运算： x t , 2xdx dt , dx
2
1 2 t
dt ,
于是
2
1
x dx 1
2
4
1 tdt 1 4 tdt t 3 2 t 2 1
2
3 4 2 1
7 . 3
这显然是错误的，原因在于 x t不是单值的.
3.4.3 定积分的分部积分法
a a
0 f ( x )dx a 2 0 f ( x )dx
当 f ( x ) 为奇函数 当 f ( x ) 为偶函数
例4 解
计算
I
2 x 2
2
4 x 2 dx.
x 2 2
2 2 2
4 x 2 dx
2 2
x 4 x dx 2
a
udv vdu
b b a a
b
a
udv uv vdu 分部积分公式
a a
b
b
例5 解
计算
2
1
x ln xdx .
2
1
1 2 x ln xdx ln xd ( x 2 ) 2 1
1 2 1 2 2 1 x ln x x dx 2 2 1 x 1
定积分证明题方法总结六
定积分证明题方法总结六篇定积分是历年数学的考查重点，其中定积分的证明是考查难点，同学们经常会感觉无从下手，小编特意为大家总结了定积分的计算方法，希望对同学们有帮助。
篇一：定积分计算方法总结一、不定积分计算方法1. 凑微分法2. 裂项法3. 变量代换法1) 三角代换2) 根幂代换3) 倒代换4. 配方后积分5. 有理化6. 和差化积法7. 分部积分法（反、对、幂、指、三）8. 降幂法二、定积分的计算方法1. 利用函数奇偶性2. 利用函数周期性3. 参考不定积分计算方法三、定积分与极限1. 积和式极限2. 利用积分中值定理或微分中值定理求极限3. 洛必达法则4. 等价无穷小四、定积分的估值及其不等式的应用1. 不计算积分，比较积分值的大小1) 比较定理：若在同一区间[a,b]上，总有f(x)>=g(x),则 >= ()dx2) 利用被积函数所满足的不等式比较之 a)b) 当0 2. 估计具体函数定积分的值积分估值定理：设f(x)在[a,b]上连续，且其最大值为M，最小值为m则M(b-a) 3. 具体函数的定积分不等式证法1) 积分估值定理2) 放缩法3) 柯西积分不等式≤ %4. 抽象函数的定积分不等式的证法1) 拉格朗日中值定理和导数的有界性2) 积分中值定理3) 常数变易法4) 利用泰勒公式展开法五、变限积分的导数方法篇二：定积分知识点总结 1、经验总结(1) 定积分的定义：分割—近似代替—求和—取极限(2)定积分几何意义：①f(x)dx(f(x)0)表示y=f(x)与x轴，x=a,x=b所围成曲边梯形的面积 ab②f(x)dx(f(x)0)表示y=f(x)与x轴，x=a,x=b所围成曲边梯形的面积的相a反数(3)定积分的基本性质：①kf(x)dx=kf(x)dx aabb②[f1(x)f2(x)]dx=f1(x)dxf2(x)dx aaa③f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx aac(4)求定积分的方法：baf(x)dx=limf(i)xi ni=1nbbbbbcb①定义法：分割—近似代替—求和—取极限②利用定积分几何意义’③微积分基本公式f(x)F(b)-F(a),其中F（x）=f(x) ba篇三：定积分计算方法总结 1、原函数存在定理●定理如果函数f(x)在区间I上连续，那么在区间I上存在可导函数F(x)，使对任一x∈I都有F’(x)=f(x);简单的说连续函数一定有原函数。
定积分基本计算公式-定积分的计算公式
x
1
2
1dx x
ln |
x
| 1 l1 n l2 n l2 . n 2
例 8 计算曲线 y sin x在[0, ]上与 x轴所围
成的平面图形的面积.
解
面积
A
sinxdx
0
y
cos x 2. o 0
x
.
二 定积分的换元公式 定理 假设
（1） f ( x)在[a, b]上连续；
（2）函数 x (t)在[ , ]上是单值的且有连续
.
定理１ 如果 f ( x)在[a, b]上连续，则积分上限的函
数( x)
x
a
f
(t)dt 在[a, b]上具有导数，且它的导
数是
(
x)
d dx
x
a
f (t)dt
f (x)
(a x b)
证 (x x)a x xf(t)dyt
( x x ) ( x )
(x)
x x
x
a
f(t)d t f(t)dt a
.
牛顿—莱布尼茨公式
a bf(x)d x F (b )F (a)
F
x
b a
基本公式表明
一个连续函数在区间[a, b]上的定积分等于它
的任意一个原函数在区间[a, b]上的增量.
求定积分问题转化为求原函数的问题.
牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之 间的关系．
注意
当a
b
时，
b
a
f
(
x)dx
F
(b)
导数；
（3）当t 在区间[ , ]上变化时，x (t)的值在 [a,b]上变化，且 ( ) a、 ( ) b，
有关定积分计算和证明的方法
证明: 令
x
b
x
b
F(x) a g(x) d xa f (x) d x a f (x)dxa g(x) d x
在 上连续,
在
故由罗尔定理知 , 至少
存在一点
使
即
b
b
g( )a f (x)dx f ( )a g(x)dx 0
因在 上 连续且不为0 , 从而不变号, 因此
故所证等式成立 .
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思考: 本题能否用柯西中值定理证明 ? 如果能, 怎样设辅助函数?
要证:
设辅助函数
x
F(x) a f (t)dt
G(
x)
x
a
g
(t
)dt
例15 目录 上页 下页 返回 结束
例6. 设函数 f (x) 在[a, b] 上连续,在(a, b) 内可导, 且
二、有关定积分计算和证明的方法
1. 熟练运用定积分计算的常用公式和方法 2. 注意特殊形式定积分的计算 3. 利用各种积分技巧计算定积分 4. 有关定积分命题的证明方法
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例1. 求
y cos x
解: I 2 (sin x cos x)2 dx 0
sin x
x
a
f
(t)
f
(t)
2
d
t
x [ f (x) f (t)]2 d t a f (x) f (t)
故 F(x) 单调不减 ,
即 ①成立.
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d
5.5-5.6 定积分计算 广义积分
0πsin xdx π2π sin xdx
cos
x
π 0
cos
x
2π π
4
当被积函数是分段函数时，若分段区间的端点在积分区 间内，则应利用区间可加性把积分区间分为多部分计算。
11
2021年5月10日星期一
例4 03f (x)dx,其中
f
(x)
x1 x2 1
,0 x 1 ,1 x 3
练习
1. 已知f (x) xaxsin t2dt，求f (a)。
2. 求导：1 f (x) 0sinx arcsin tdt
2
f (x)
x3
x2
et
2
dt
。
3.
若f
(x)连续，求极限lim xa
x2 xa
axf
(t)dt
。
a2f (a)
5
2021年5月10日星期一
解 1. 由f (x) axsin t2dt x sin x2得
2(ex
e
x
)
ln 2 0
=3
21
2021年5月10日星期一
练习 计算定积分 2 (x3 4 x2 )2dx 2
解 2 (x3 4 x2 )2dx 2 (x6 2x3 4 x2 4 x2 )dx
2
2
2 x6dx 2 2 x3 4 x2 dx 2 (4 x2 )dx
15
2021年5月10日星期一
例1
38
x dx x1
解 设 x 1 t, x t2 1, dx 2tdt
x=3时，t=2；x=8时，t=3
原式 223
t(t2 1)dt t
223(t2 1)dt
2(
定积分计算方法
例题与讲解
例：利用对称性，计算
sin xdx.
解：由于sinx在[-, ]上为 奇函数,故
y
sin xdx
0
O
x
12
例题与讲解
例：计算
x sin x x 1 3 1 2 x 2 x 4 dx
3 5 2 2
5 2
x sin x 解： 因为 f ( x) 2 4 为奇函数， 1 2x x 1 f ( x) 2 为偶函数， 1 x 5 2 2 3 x sin x x 1 因此：
a
y = f ( x)
A -a A O a x
10
偶函数在对称区间上的积分
若f(x)是对称区间[-a , a]上的偶函数(如右图) 由于偶函数关于y 轴对称,结合 y 定积分的几何意义，可以得出 y = f ( x)
a f ( x)dx 20 f ( x)dx
a
a
-a A
O A
ax
11
f [ ( t )] ( t )dt .
换元法注意点
1：定理中要求函数在闭区间上连续，是保证 相应的定积分存在，而初等函数在其定义域是 连续的； 2：变换函数在变换后的区间内是单调的； 3：变换后，积分上限、下限要发生变化。
4
例题与讲解
例：计算 解：
2
0
5
2
口诀：“换元”同时要“换限”！(不换元就不要 换限)
2
换元法证明
证：设F ( x ) 是 f ( x ) 的一个原函数，
定积分的计算方法及其性质证明
定积分的计算方法及其性质证明定积分是微积分中重要的概念之一，它在数学和物理等领域中都有广泛的应用。
本文将介绍定积分的计算方法，并证明一些与定积分相关的性质。
一、定积分的计算方法1. 首先，我们介绍定积分的定义。
对于函数f(x)在[a, b]上的定积分可以用下面的极限形式表示：∫[a, b] f(x) dx = lim(n→∞) ∑[i=1 to n] f(xi)Δx其中，xi是[a, b]上的一系列划分点，Δx是每个子区间的长度。
2. 一种常用的计算定积分的方法是使用定积分的几何意义。
对于非负函数f(x)，它在[a, b]上的定积分表示f(x)与x轴之间的面积。
当f(x)是负函数时，定积分可以表示为x轴与f(x)之间的绝对值的面积。
例如，计算函数y = x^2在[1, 2]上的定积分可以通过计算由y = x^2, x = 1, x = 2和x轴所围成的区域的面积来完成。
3. 常用的定积分计算方法之一是基于牛顿-莱布尼兹公式，也称为微积分的基本定理。
该定理表明，如果函数F(x)是f(x)的一个原函数，则有：∫[a, b] f(x) d x = F(b) - F(a)这意味着我们可以通过求解函数f(x)的原函数，并使用原函数在区间的端点处的值来计算定积分。
4. 对于一些特定的函数，我们可以使用一些基本的公式和性质来计算定积分。
例如，对于多项式函数和三角函数，我们可以利用它们的导数和基本积分表来计算定积分。
5. 对于一些复杂的函数，我们可以将其进行分解成更简单的函数，然后分别计算它们的定积分，最后将结果进行合并。
这种方法常用于计算不可积函数的定积分。
二、定积分的性质证明1. 定积分的线性性质对于函数f(x)和g(x)，以及常数a和b，有以下等式成立：∫[a, b] (af(x) + bg(x)) dx = a∫[a, b] f(x) dx + b∫[a, b] g(x) dx这个性质可以通过定积分的定义和极限运算的性质进行证明。
15第五章定积分(定积分的计算)
[u(x)v(x)] |ba
b
u(x) v(x) dx
a
即
称为定积分分部积分公式.
例1 计算 1 xexdx. 0
解: 设 u(x) x, v(x) ex ,
则 u(x) 1, v(x) ex
原式
xe x
|10
1 exdx
0
e ex |10 1.
例2 计算 解: 原式
3. 广义积分
(3) 当t在区间 [ , ] 上由 变到 时， (t)
单调地从a变到b
b
则 a f (x)dx f [(t)](t)dt.
b
定积分换元法: a f (x)dx f [(t)](t)dt
说明:(1) 当 时，换元公式仍成立 .
(2) 注意换元必换限，且 a ,b ,
同时被积表达式
解
exdx lim
be x dx
lim (ex
b
)
0
b 0
b
0
lim (eb 1) 1. b
dx
例 2 讨论 2 x ln x 的敛散性.
解
dx 2 x ln x
d(ln x) 2 ln x
ln
ln x
,所以
2
dx 2 x ln x
发散.
4.定积分的导数公式
1（ x a
定义１（1） 设函数 f (x) 在[a, ) 上连续.极限
lim b f (x)dx称为 f (x)在[a, )上的广义积分，
b a
记为
b
f (x)dx，即 f (x)dx lim f (x)dx，
a
a
b a
若极限存在，称广义积分收敛；若极限不存在，则
定积分的求解方法及其应用
定积分的求解方法及其应用摘要：在数学分析这门课程里,定积分是最普遍而又重要的内容之一,同时也是数学研究中的重要工具,随着数学在生活中的广泛应用,定积分的相关解法和应用所蕴藏的巨大潜力越来越引起人们的关注.本论文从定积分的基本理论出发,系统阐述了牛顿莱布尼茨公式、换元法、分部积分法、凑微分法等几种常见的求解方法,并列举了相关的例子,更直观的了解求解定积分的方法的精髓.另外本文又介绍了定积分在数学、物理学和经济学当中的应用,实现了定积分在实际生活中的应用.通过这一系列的总结,可以进一步提升对定积分的认识,为以后的学习奠定了基础.关键词：定积分；求解方法；应用一、定积分的求解方法1.1 定积分概念定义1 不妨设在闭区间[m ,n ]中，不包含两个端点，共有1-k 个点,按照大小分别为m =0x <1x <2x <…<1-k x <k x =n ,这些点将闭区间[m ,n ]分割为大小不一的子区间，共有k 个，用i ∆表示这些子区间，即i ∆=[1-i x ,i x ],i =1,2, …,k 。
可以将k x x x ......,10点或[]n i xi x i i ......12,,1==∆-子区间视为分割了闭区间[m ,n ]，令集合=A {0x ,1x ,…,k x }或{1∆,2∆,…,k ∆}.定义2 假设函数g 的定义域为 [m ,n ]。
将区间[m ,n ]分割为k 个，得分割区间的集合=A {1∆,2∆,…,k ∆}，在区间i ∆上随意取点i ψ，即i ψ∈i ∆,i =1,2, …,k ，将该点函数值与自变量之差做乘积，累次相加得()iki ix g ∆∑=1ψ，该式是函数g 在定义域[m ,n ]上的积分和.定义3 假设函数g 的定义域为 [m ,n ]，S 是给定的实数。
假如总能找到某个的正数θ，以及任何正数σ，在定义域 [m ,n ]进行任意大小的分割A ，并且在分割出来的区间中随意选择一个点组成集合{i φ}，当A <θ时，存在σφ<-∆∑=S xg ni ii1)(，则函数g在定义域[m ,n ]上可积，即⎰=nmdx x g S )(。
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π
(
)
解: 原式 = ∫ π x cos x dx + 4∫ π cos x dx
− 2 −
= 0 + 8∫ cos x dx 7 5 3 1 π 35 = 8⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = π 8 6 4 2 2 32
2 0 8
π
2
例14
2
计算定积分−2 x ln(1 + e x ) dx ∫
令x=−t −2
2 解法二: ∫−2 x ln(1 + e x ) dx x x −x 2 = ∫−2 x ln e 2 + ln e 2 + e 2 dx
x = ∫ x ⋅ dx + ∫ x ln e + e −2 −2 2
2 2 − x 2
x 2
π 2 0
π dx = , 2
π
I −J = ∫
π 2 0
sin x − cos x d(cos x + sin x) 2 dx = −∫ = 0. 0 sin x + cos x sin x + cos x
π 故得 2I = , 2
π 即I = . 4
例17 证明
1
arctan x 1 2 t ∫0 x dx = 2 ∫0 sin t dt
π
4
四、含参量的变限积分
x 例9 设f ( x)连续, F( x) = ∫0 f ( x + t ) dt, 计算F′( x).
解: F(x) = ∫ f (x + t) dt ====∫ f (u) du
0 x
x
令u=x+t
2x
F′(x) = 2 f (2x) − f (x)
当被积函数中出现求导变量时, 或利用代数方法将求导变量提出积分号 ; 或利用换元积分法将求导变量放到积分的上,下限 .
1 令u=arctan x
π
arctan x u 2 4 证: ∫ dx ======∫ ⋅ sec udu 0 0 tan u x 1 t π 令t =2u π u 2 ⋅ 1 dt 2 4 =∫ du ====∫0 0 sin u cos u 1 sin t 2 2 π 1 2 t = ∫ dt 2 0 sin t
dx
= ∫ x dx + 0
2 0
2
8 = 3
六、积分等式的证明 例15
x 设f ( x) = ∫1
ln t 1 1 2 dt, 证明 ( x) + f ( ) = ln x. f 1+ t x 2
1 x 1
1 令u= t
x − ln u −1 1 ln t 证法一: f ( ) = ∫ dt ====∫ ⋅ 2 du 1 1 u x 1+ t 1+ u x ln u =∫ du 1 u(u +1 )
1
x2
−t 2
例8
π 设In = 4 sec2n x dx , 证明降阶递推公式 0 n−1
∫
2 2n − 2 π I n= In−1, I0 = . + 2n −1 2n −1 4
π
4 0 2n−2
证: In = ∫ sec
x d (tan x)
π π
π
0
4 = sec2n−2 x tan x |0 −(2n − 2)∫ 4 sec2n−2 x tan2 x dx
1 2 2
例2
求∫
π 2 0
1 − sin 2xdx.
π 2 0
解
原式 = ∫ sin x − cos x dx
= ∫ (cos x − sin x)dx + ∫ (sin x − cos x)dx
π 4 0 π 2 π 4
= 2 2 − 2.
二、定积分换元
例3
∫
1 3 2
1 (2x +1) x +1
x ln t x ln t 1 2 1 ln t f (x) + f ( ) = ∫ + dt = ∫ t dt = 2 ln x 1 1 1+ t x t(t +1)
1 1 2 证法二: 令g(x) = f (x) + f ( ) − ln x x 2 1 ln ln x x ⋅ −1 − ln x ⋅ 1 = 0 则g′(x) = + 1+ x 1+ 1 x2 x x
= ∫ f (t) dt = ∫ f (x) dx
0 0
a
a
π − 2x π π 1− sin 1− sin 2x 2 dx 4 4 解: ∫ dx = ∫ 0 1+ sin 2x 0 π 1+ sin − 2x 2
令x=tant
π
1 , x≥0 1+ x 2 计算∫ f ( x −1)dx. 例4 设f ( x) = 1 0 , x<0 x 1+ e
解: 原式===== ∫ f (u)du
−1
1 1 1 =∫ du + ∫ du u −1 1+ e 0 1+ u 0
令u= x−1 1
于是g(x)为一常数, 又g(1) = 0,
故g(x) ≡ 0.
例16 求 ∫
π 2 0
sin x dx. sin x + cos x
π 2 0
解 由I = ∫
π sin x cos x dx, 设 J = ∫ 2 dx, 0 sin x + cos x sin x + cos x
则I +J = ∫
2 x = ϕ(t ), ）
x : a → b, t : α → β, 下限对应下限 .
3) 换元公式双向使用 ：
令 x = φ(t )
配元不换限
φ(t ) φ′(t )
或配元
b = ∫ a f ( x)d x
φ(t ) φ′(t )
φ(t ) d φ(t )
定积分的分部积分法
定理2 上导数连续， 定理 设u( x) , v( x)在 a, b]上导数连续，则 [
2
0
dx
sec2 t =====∫ 6 dt 2 0 (2 tan t +1 sec t ) π π cost 1 6 6 =∫ dt = ∫ d (sin t) 2 2 2 0 2sin t + cos t 0 1+ sin t π 1 6 = arctan = arctan(sin t) |0 2
第一节 定积分的计算和证明
定积分的换元法Biblioteka 定理1 定理 设 1) φ(α) = a , φ( β) = b; 2) 在 [α , β] 或 [ β , α] 上 ϕ(t ) ∈C1[α , β ], 则 单值函数 满足: 满足
φ(t ) φ′(t )
换元公式
φ(t ) φ′(t )
注1 1) 换元要换限 , 变量不代回 .
1 = 2
例11 设 f ( x) = ∫0 e
x
− y2 +2 y
dy,求 ∫ ( x − 1)2 f ( x)dx.
0
1
1 1 解 原式= ∫0 f ( x)d( x − 1)3 3
x 11 1 3 1 − y +2 y = [ ( x − 1) ∫ e dy]0 − ∫ ( x − 1)3 e− x +2 xdx 0 03 3
2
解法一: ∫−2 x ln(1 + e x ) dx ====∫2 − t ln(1 + e−t )(−dt)
= ∫ [t − t ln( e +1)] dt
2 t
2
= ∫ t dt − ∫ t ln( e +1) dt
2 t −2 −2
−2 2
2
1 2 2 8 原式= ∫−2 t dt = 2 3
π
例18
设f (x)在 0, a](a > 0)上连续, [ 证明∫ f (x) dx = ∫ f (a − x) dx ,
0 0 a a
并利用此式计算 ∫
a 0
π
4 0
证: ∫ f (a − x) dx ====∫ f (t)(−dt)
a
令t =a−x 0
1− sin 2x dx . 1+ sin 2x
2 2
1 1 = − ∫ ( x − 1)2 e−( x−1) +1d[( x − 1)2 ] 6 0
2
令 ( x − 1)2 = u
e 0 −u 1 − ∫ ue du = (e − 2). 6 61
f (x) =A 例12 设f (x)连续,ϕ(x) = ∫0 f (xt) dt,且lim x→0 x ( A为常数), 讨论ϕ′(x)在点x = 0处的连续性.
例10 设 f (x) = ∫ arctan x2 − t ⋅ ln 1+ x2 − t dt, 0
f (x) 其中x > 0, 计算极限 lim+ 4 . x→0 sin x
x2
(
) (
)
解: 令 x − t = u,
2
f (x) = −∫ arctan u ⋅ ln(1+ u) ⋅ 2udu
x
= − ln( e +1) | + ln(1+ u) |
0 −1
−u
1 0
= − ln 2 + ln( e +1) + ln 2 = ln( e +1)
三、定积分分部积分
ln x 1 dx = ∫ ln x d 例5 ∫e 2 e (1− x) 1− x e2 2 1 1 e = ln x |e −∫ dx e x( − x) 1− x 1 2 1 x e2 = − − ln |e 2 1 − e 1− e 1− x