二次函数的概念和意义

二次函数1

一、二次函数的概念

1.二次函数的一般形式是：__________________ ，其中a 、b 、c 是____数，___ ≠0.

2.二次函数还有三个特殊形式，分别是______________，________________，_______________.

3.一般情况下，二次函数自变量的取值范围是__________________

例1 已知关于x 的函数x m x m y m

m )1()

1(2-++=-.

（1） 当m 为何值时，此函数是二次函数？（2）当m 为何值时，此函数是一次函数？

练11.下列函数中，哪些是二次函数? ________________________________ (1)y=5x ＋1 (2)y=4x 2－1 (3)y=2x(x 2－3x) (4)c bx ax y ++=2（5）y=2x －

21

x

＋1 2.若222)1()32(m x m x m m y +-+--=是关于x 的二次函数，则m 应满足条件______________. 3.若x x m m y m m 2)(2

2-+=-是关于x 的二次函数，求关于x 的不等式（m-4）x ＞m+2的最大整数值.

二、根据实际问题列二次函数的解析式

例2如图，学校要修建草坪，形状是直角梯形，其中有两条边的夹角是135°的两面墙，另外两条边是总长为30米的栅栏。求梯形面积y 与高x 的函数关系式，并写出x 的取值范围。

一个长为4cm,宽为3cm 的矩形，如果长和宽都增加xcm ，那么它的面积就会增加y 2cm . y 与x 的函数关系式是__________________，自变量x 的取值范围是_______________。

2.用长为8m 的铝合金条做成如图形状的一个矩形窗框，设宽为xm,窗户的透光面积为y 2m ,那么这个窗户的透光面积与宽的关系式是____________，自变量x 的取值范围是_______________。

3.如图，四边形ABCD 中，∠BAD=∠BCA=90°,AB=AD,AC=4BC,设CD 的长为x ，四边形ABCD 的面积为y,求y 与x 的函数关系式。

三、二次函数2ax y =的图像和性质

1．抛物线y ＝ax 2的性质

2．抛物线y ＝x 2与y ＝－x 2关于________对称，因此，抛物线y ＝ax 2与y ＝－ax 2关于_______ 对称， 开口大小_______________．

3．当a ＞0时，a 越大，抛物线的开口越_____； 当a ＜0时，｜a ｜ 越大，抛物线的开口越___； 因此，｜a ｜ 越大，抛物线的开口越________，反之，｜a ｜ 越小，抛物线的开口越______． 例3函数2ax y =（a ≠0）的图象与直线y=x-2交于点（1,b ）.(1)若A(-3,y 1)、B(-2,y 2)在2ax y =的图象上，请判断y 1与y 2的大小；（2）求抛物线与直线y=-3的两交点及顶点所构成的三角形面积。

练31.若a=－1，点（a －1，y 1），（a ，y 2），（a+5，y3）都在2ax y =的图象上，则( ) A ．y 1

3.函数y=ax 2 （a ≠0）与y=-ax+b 在同一坐标系的图象可能是图中的（ ）

4.已知抛物线y=ax 2 经过点A(2,1)。（1）写出抛物线上点A 关于y 轴的对称点B 点的坐标。

（2）抛物线上是否存在点C ，使△ABC 的面积等于△AOB 面积的一半，若存在，求出C 点的坐标；若不存在，请说明理由。

图象 （草图） 开口方向 顶点 对称轴 有最高 （低）点

最值 增减性

a ＞0 当x ＝____时，y 有最_______值，是______．

a ＜0 当x ＝____时，y 有最_______值，是______．

o

y

x

o

y

o

y

o

y

x

x

x

x