力学数学预备知识(微积分与矢量)

deax2 d(ax2 )

d(ax2 ) dx

1 2
x e 1/ 2 ax2

x1/ 2eax2 (2ax)
eax2 (0.5x1/ 2 2ax3/ 2 )
9
导数的应用
质点沿x轴作直线运动的速度：vx

dx dt
质点沿x轴作直线运动的加速度：ax

dvx dt

d2x dt 2
a
a
c
19
牛顿—莱布尼茨公式
设F(x)为函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数,即 F'(x)=f(x), 则
b
f (x)dx f (x)dx |ba F (x) |ba F (b) F (a)
a
b
f (x)dx F (b) F (a) 称为牛顿—莱布尼茨公式
用黑体字母或带箭头的字母表示：A, 。A
•
矢量的大小又叫矢量的模，用
|
A|
或A
表示。
• 模等于1 的矢量叫单位矢量，用 eˆA或Aˆ 表示。在直角
坐标系中，沿 x、y、z轴的单位矢量，分别用 iˆ, ˆj, kˆ
表示。
• 矢量具有平移不变性：矢量的平动既不改变矢量的量 值，也不改变矢量的方向。
则∫udv = uv - ∫vdu
15
分部积分法…
• 例题 ⑴ ∫xexdx = ∫xdex
= xex - ∫exdx = xex – ex + c
⑵ ∫lnx dx = x lnx - ∫xdlnx = x lnx - ∫dx = x lnx - x + c
16
不定积分的应用
• 已知加速度求速度 • 已知速度求位矢（或运动学方程） （见教材P36—37）
n i1
f (xi )x
定积分的几何意义为曲边梯形的面积。
18
定积分的主要性质
b
a
⑴ f (x)dx f (x)dx
a
b
b
b
⑵ kf (x)dx k f (x)dx
a
a
b
b
b
⑶ (u v)dx udx vdx
a
a
a
b
c
b
⑷ f (x)dx f (x)dx f (x)dx

lim
x0
y x
lim x0
f ( xx) f ( x) x
Δx
x
• 若函数 y = f (x) 在某一区间内各点均可导，则其导数 f' (x) 也是自变量 x 的函数，称为导函数。导函数 f'(x) 对 x 的导数叫做 y 对 x 的二阶导数，定义为：
f
"(x)

lim
x0
arctg
x a
c

dx arcsin x c 1 x2
dx
1 x2

arctgx c
13
换元积分法与分部积分法
• 换元积分法
适当变换积分变量，把被积表达式化成基本积分公式 中的形式（又称凑积分）
⑴
e2xdx

1 2
e2xd(2x)

1 2
e2x

c
⑵
sin(ax
(arccos x) ' 1 1 x2
(arctgx)
'

1 1 x2
(arcctgx)
'


1 1 x2
7
导数的基本运算法则
⑴ (u±v)' = u' ±v'
⑵ (uv)' = u' v + v' u
⑶ (u/v)' = (u' v - v' u)/v2
⑷ 设 y = f(x) 的反函数为 x = φ(y) 则 φ'(y) = 1/ f '(x)

b)dx

1 a
sin(ax

b)d(ax

b)


1 a
cos(ax

b)

c
⑶
sin2 x cos xdx
sin2
xd(sin
x)

1 3
sin3
x

c
⑷
xdx x2 a2

1 2
(x2 a2 )1/2 d(x2 a2 )
x2 a2 c
⑸

tgxdx
23
矢量的几何描述
矢尾 Aˆ
矢端
A
r A

AAˆ
单位
24
矢量的加法与减法
⒈矢量加法 – 可用平行四边形法则、三角形法则 、多边形法则
⒉矢量减法 – 用三角形法则求矢量相减最方便，注意：差矢量方 向是由减矢量末端指向被减矢量末端


B
C
C
A
A

C A B

C
D
B

B
取决于m的正负。
⒉性质：
r
r
n(mA) m(nA)
rr r r
m(A B) mA mB
r rv
(m n)A mA nA
27
矢量的标积（点乘积）
⒈定义：A
B
ABcos(
A,B )

ABcos

⒉性若质A：BA
B B A
微积分学概要
• 微积分学是微分学和积分学的总称。它 是一种数学思想，“无限细分”就是微 分，“无限求和”就是积分。
• 十七世纪后半叶，牛顿和莱布尼茨完成 了许多数学家都参加过准备的工作，分 别独立地建立了微积分学。他们建立微 积分的出发点是直观的无穷小量，但是 理论基础是不牢固的。因为“无限”的 概念是无法用已经拥有的代数公式进行 演算，所以，直到十九世纪，柯西和维 尔斯特拉斯建立了极限理论，康托尔等 建立了严格的实数理论，这门学科才得 以严密化。
28
矢量标积应用
f '( xx) f '( x) x
3
微分
• 若函数y = f(x)在点x处可导, 则导数f ’(x)与自变量 增量dx（称为：自变量的微分）的乘积，就叫做 函数 y = f(x) 在点 x 处的微分（称为：函数的微 分） ，记作：
dy = f '(x)dx
• 函数一阶导数对应的微分称为一阶微分；一阶微分 的微分称为二阶微分；二阶微分及以上的微分称为 高阶微分。
(
Ax iˆ

Ay
ˆj

Az kˆ
)

(
Bx iˆ

By
ˆj

Bz kˆ
)
( Ax Bx )iˆ ( Ay By )ˆj ( Az Bz )kˆ
Az z
r
A
γβ
Ax
α
x
Ay y
26
矢量乘法
• 矢量的数乘 ⒈小定是义：A 矢的量|m|A倍与，实方数向m与的A乘 的积方m 向A仍相然同是或矢者量相，反大，


sin cos
x x
dx


d cos x cos x


ln
cos
x

c
14
换元积分法与分部积分法…
• 分部积分法 其基本思路是将不易求得结果的积分形式，转化为等 价的但易于求出结果的积分形式。 d(uv) = (uv)' dx = u' vdx + v' udx = vdu + udv 两边同时积分，得： uv = ∫vdu + ∫udv
(xn ) ' nxn1
(sin x) ' cos x
(cos x) ' sin x (tgx) ' sec2 x
(ctgx) ' csc2 x
(ax ) ' ax ln a
(ex ) ' ex
(loga
x) '

1 x ln a
(ln
x) '

1 x
(arcsin x) ' 1 1 x2
0,且 A
0,
( A B )C AC
B
0，则
A
B

BC
⒊标积的分量表示
A
B
(
Ax iˆ

Ay
ˆj

Az kˆ )
( Bx iˆ

By
ˆj

Bz kˆ )
Ax Bx Ay By Az Bz
( iˆ iˆ ˆj ˆj kˆ kˆ 1,iˆ ˆj ˆj kˆ kˆ iˆ 0 )
牛顿
1
极限
• 极限——对 y = f (x) ，若 x 无限趋近某一数值x0 ，f (x) 则无限趋近某一确定数值a，则a就是函数f (x)在x趋近x0 时的极限，记作：
lim f (x) a
xx0
2
导数
• 函数y=f(x)对自变量x的导数， 就是y对x的变化率，定义为：
y
Q
Δy P
f
'(x)
⑸ 复合函数的导数
设y = f(u) , u = φ(x)，则
dy dy gdu （连锁律） dx du dx
8
例题
⑴（ax2 )' a( x2 )' 2ax
⑵ [ln(x / a)]' (ln x lna)' (ln x)'(lna)' 1/ x
⑶ ( x2e x )' ( x2 )' e x (e x )' x2 2 xe x e x x2
a
（可以证明）。
牛顿-莱布尼茨公式的意义就在于把不定积分与定积分联
系了起来，也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的
方法。
20
例题：
牛顿—莱布尼茨公式…
1/ 2
1/ 2
⑴
sin
2
xdx

1 2
sin
2
xd(2
x)


1 2
cos
2
x
|1/ 2
0
0
0

1 2
cos 2
x
|10/ 2
电流强度： i dq dt
10
不定积分
1、不定积分的定义 若 F ’ (x) = f(x)，则 [F(x) + c]’ = f(x)，F(x) + c 就
叫做 f(x) 的原函数，有无穷多个；函数 f(x) 的所有原 函数，就叫 f(x) 的不定积分，记为：∫f(x)dx = F(x) + c 。
5
导数的运算
• 导数定义给出了求导方法 • 例如，求 y = x2 的导数：
(
x2
)
'

lim
x0
y x
lim f ( xx) f ( x)
x0
x
lim ( xx)2 x2
x0
x
lim (2x x) x0
2x
6
(c) ' 0
基本函数的求导公式
其中∫叫做积分号，f(x)叫做被积函数，x叫做积分 变量，f(x)dx叫做被积式，c叫做积分常数，求已知函 数的不定积分的过程叫做对这个函数进行积分。
（积分是微分的逆运算，即知道了导函数，求原函数）
例如：Q (sinx) ' cos xsin x c 是 cosx 的原函数
写成不定积分的形式： cos xdx sin x c
A

D A BC


B
B
CA
C
C AB
25
矢量的正交分解
A

Ax iˆ

Ay
ˆj

Azkˆ ,
A
Ax 2 Ay 2 Az 2
cos Ax ,
A
cos Ay ,
A
cos Az
A
矢量的加减在直角坐标系中表示为：
A
B

1 2
(cos 0

cos )

1
1
⑵
x2dx

1 3
x3
|10


1 3
0
21
定积分的应用
• 计算平面几何图形的面积 • 计算立体的体积 • 计算曲线的弧长 • 变力的冲量 • 质心计算 • 变力做功 • 转动惯量
22
矢量的概念
矢量的初步概念
•
既有大小又有方向，且加法遵从几何法则的量叫矢量 ，
11
不定积分...
2、性质 ⑴ (∫f(x)dx )' = f(x) (先积后导等于自身) ⑵ ∫f '(x)dx = f(x) + c (先导后积等于自身加上任意常
数)
12
基本积分公式
⒈∫adx = ax + c
∫af(x)dx = a∫f(x) dx
⒉∫(u±v)dx =∫udx±∫vdx
⒊∫xndx = xn+1/(n+1) + c (n≠-1) ∫x-1dx=lnx+c
f '(x) dy dx
（一阶微分）
f
"(x)

d dx
(
dy dx
)

d2 y dx2
（二阶微分） 4
函数的极值点和极值
y
x1
x2 x
• 极值点的充要条件是在该点的一阶导数为零，且 在该点两侧的导数值异号。因此，令 f'(x) = 0 即 可求出极值点x0
• 若 f"(x0) ＜ 0，则为极大值点 • 若 f"(x0) ＞ 0，则为极小值点
⑷ d cos(ax b) d cos(ax b) d(ax b) a sin(ax b)
dx
d(ax b)
dx
⑸ d ( xeax2 ) dx1/ 2 eax2 deax2 x1/ 2
dx
dx
dx

1 2
x e 1/ 2 ax2

x1/ 2
17
定积分
y
y=f (x)
⒈定积分概念
x a xi xi+Δx b
设函数 y = f(x) 在区间 [a,b]上连续，把 [a,b]分
n
成宽为Δx的 n个小区间，当 n→∞ 时， f ( xi )x
i 1
的极限叫函数 y = f(x)在区间 [a,b] 上的定积分，
记作：
b a
f (x)dx lim n
⒋∫axdx = ax/lna + c
∫exdx = ex+ c
⒌∫sinxdx = - cosx + c ⒍∫cosxdx = sinx + c
⒎∫sec2xdx = tgx + c ⒏∫csc2xdx = - ctgx + c
⒐
dx a2 x2

arcsin
x a

c
⒑