力学数学预备知识(微积分与矢量)
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微积分、矢量
O
若函数
f (x) 在点 x0
附近有连续的导函数
f ′(x)
、f ′′(x) ，且 f ′( x0 ) = 0, f ′′( x0 ) ≠ 0 ， 处取极大值； 则 f ′′( x0 ) < 0 时 f (x ) 在 x0 处取极大值； 处取极小值。 f ′′( x0 ) > 0 时 f (x) 在 x0 处取极小值。
7 3 2 3 2 2 2 2 = x −5· x +C = x
(2e) x 2x ex x x +C = + C． dx 例6 ∫ 2 e dx =∫ (2e )x dx = 1+ ln 2 ln(2e)
1 + (x + x 2 ) 1+ x + x2 dx 例7 ∫ dx =∫ 2 2 x(1+ x ) x(1+ x ) 1 1 1 1 dx +∫ dx =∫ ( + )dx=∫ x 1+ x2 x 1+ x2 = arctan x +ln | x | +C ．
∫ [f(x)+g(x)]dx=∫ f(x)dx+∫
g(x)dx．
性质2 求不定积分时， 性质2 求不定积分时，被积函数中不为零的常数因子 可以提到积分号外面来， 可以提到积分号外面来，即
∫ kf(x)dx=k∫ f(x)dx (k 是常数，k ≠0)．
例4
∫
=∫
x( x2 −5)dx = ∫ ( x −5x )dx
2(1 − x2 ) 2x = ⋅ cos 。 2 2 2 (1 + x ) 1+ x
函数的极值点和极值： 函数的极值点和极值：
《微积分预备知识》PPT课件
a a 或B=｛ a1 ， 2 ，…， n，… ｝
例 如：A=｛2，4，6，8，10 ｝ B=｛1,3,5，7，…,2n+1,…｝
（2）描述法： 将集合中元素所具有的特定性质描述出来的方
法。一般形式，A=｛x 元素x所具有的特定性质｝ 例如： A=｛x x为不超过10的正整数｝ B=｛x x为全体奇数｝
2、几何含义： a 表示点 a 到原点的距离。
a -1 0 1 3、性质
(1) a ≥0,且 a =0 a=0
(2) a = a2
（3） a a a
（4） a k k a k a k k a k
（5）设k>0,则 a k a k或a k
2、数轴：有方向，原点，单位长度的直线。
B
-1
0
A
1
2
数轴上点A的坐标是实数2，数轴上点B的坐标是实数-1。
二者关系：全体实数与数轴上的全体点之间有一一对 应关系。因此，在今后的学习中，“数a”与“点a” 就有相同的含义。
三、 实数的绝对值
1、定义：实数a的绝对值 a
a2
a a
a≥0 a＜0
a =3
三条边相等 全等
A是B的什么条件 A是B的充分条件 A是B的必要条件 A是B的充要条件
符号 AB AB AB
2、 几点说明
（1）根据命题中的条件与结论是相对的，而不是绝 对的，因此充分与必要条件也是相对的，而不 是绝对的。
如：A B 表示A为条件, B为结论, A是B的充分条件 B A 表示B为条件, A为结论, B是A的必要条件
（2）几何意义：
由于： x a x a a x a U(a, ) (a , a )
例 如：A=｛2，4，6，8，10 ｝ B=｛1,3,5，7，…,2n+1,…｝
（2）描述法： 将集合中元素所具有的特定性质描述出来的方
法。一般形式，A=｛x 元素x所具有的特定性质｝ 例如： A=｛x x为不超过10的正整数｝ B=｛x x为全体奇数｝
2、几何含义： a 表示点 a 到原点的距离。
a -1 0 1 3、性质
(1) a ≥0,且 a =0 a=0
(2) a = a2
（3） a a a
（4） a k k a k a k k a k
（5）设k>0,则 a k a k或a k
2、数轴：有方向，原点，单位长度的直线。
B
-1
0
A
1
2
数轴上点A的坐标是实数2，数轴上点B的坐标是实数-1。
二者关系：全体实数与数轴上的全体点之间有一一对 应关系。因此，在今后的学习中，“数a”与“点a” 就有相同的含义。
三、 实数的绝对值
1、定义：实数a的绝对值 a
a2
a a
a≥0 a＜0
a =3
三条边相等 全等
A是B的什么条件 A是B的充分条件 A是B的必要条件 A是B的充要条件
符号 AB AB AB
2、 几点说明
（1）根据命题中的条件与结论是相对的，而不是绝 对的，因此充分与必要条件也是相对的，而不 是绝对的。
如：A B 表示A为条件, B为结论, A是B的充分条件 B A 表示B为条件, A为结论, B是A的必要条件
（2）几何意义：
由于： x a x a a x a U(a, ) (a , a )
学习大学物理必备数学知识
r
r
r
自矢矢 量量的BAr 的 末端末画端出画矢出量矢量 ，CBr，则再从就Cr矢是量 和A的Ar 始端的Br到合
矢量。
4
利用矢量平移不变性： r
d
A r
c
r
C
r
B a
r
B b
A
图4 两矢量相加的平行四边形法则
2、利用计算方法计算合矢量的大小和方向：
r
C A2 B2 2AB cos arctan B sin
r B
•
r dA
dt
dt
dt
(4)
d
rr A B
r A
r dB
r dA
r B
dt
dt dt
26
2、矢量的积分：
设
r A
和
r B
均在同一平面直角坐标系内，且
r dB
Ar，
则有：dBr
r Adt
dt
r B
r Adt
r Axi
Ay
r j
dt
r
r
Axdt i Aydt j
r
的模，用符号 A 表示。
A
图1 矢量的图像表示
2
2、矢量平移的不变性：
r
r
把矢量 A在空间平移，则矢量 A的大小和方向都不
会因平移而改变。
r
r
A
A
r A
图2 矢量平移
3
二 矢量合成的几何方法
1、利用质点在平面上的位移说明矢量相加法则：
r
c
理论力学(矢量运算基本知识)
ai = i aix+ jaiy + kaiz 则有: Rx= aix
4.矢量的矢积 (1)定义: c = a × b
R = ai Rz= aiz
Ry= aiy
c
c a b sin a b
b a
6
(2)直角坐标中的解析表示
i a b ax bx
j ay by
k az bz
y
xE+2xA= c1
xB+(xB - xA) = c2
xC+(xC - xB) = c3
C
E
xD - xC =c4
D
x
18
对上述各式微分得:
2 dxB - dxA = 0 dxD - dxC = 0
dxE + 2 dxA = 0
2 dxC - dxB = 0
8dxD = -d xE
8vD= - vE 8aD= - aE aE = 2 vE =10 aE = 2
18 5
14
二.绪论
1.理论力学的研究对象
(1)机械运动
(2)质点,质点系,刚体和多刚体系统
(3)静力学,运动学,动力学和分析力学概论
2.理论力学的学习目的 3.理论力学的研究方法 4.理论力学的学习方法
15
例题2.如图所示,滑轮和绳子的质量均不计,物块A和B
的质量分别为m1和m2 且m1< m2 ,试求物块A的加速度. 解:
理 论 力一.矢量运算的基本知识 1.单位矢量 2.矢量的加法 3.矢量的标积 4.矢量的矢积 5.矢量的导数
2
二.绪论
1. 理论力学的研究对象 2. 理论力学的学习目的 3. 理论力学的研究方法 4. 理论力学的学习方法
预备知识——高等数学
n x 0 i 1
n
lim f ( x i )x .我们把这类形式的运算统一用符号
n
i 1
a
b
f ( x )dx
来表示，称为定积分。
为求和之意；f(x)称为被积函数；x为积分变量；a、b为积分限。
2. 定积分的几何意义：
定积分的几何意义为：积分区间范围内函数曲线下的面积。
上页 下页
3. 定积分的计算： 原函数：如果某函数的导数等于被积函数
F ( x) f ( x)
'
则F(x)称为f(x)的原函数。 牛顿—莱布尼兹公式：
a f ( x )dx F ( x )
例题：计算下列定积分
b
b a
F (b) F (a )
1.
2 0
cos xdx sin x 0
( 2)
n
( k为常数）
1 n1 x dx n 1x C
1 （3 dx ln x C ） x
1 1 x
2
1 ( 4) dx arctan x C 2 1 x
( 5)
dx arcsin x C
上页 下页
( 6)
(7)
cos xdx sin x C sin xdx cos x C
(13) (arcsin x) (14) (arccos x)
1 1 x2 1
， ，
(6) (cot x) csc2x， (7) (sec x)sec x tan x，
(8) (csc x) csc x cot x，
(9) (ax)ax ln a ， (10) (ex)ex，
上页 下页
n
lim f ( x i )x .我们把这类形式的运算统一用符号
n
i 1
a
b
f ( x )dx
来表示，称为定积分。
为求和之意；f(x)称为被积函数；x为积分变量；a、b为积分限。
2. 定积分的几何意义：
定积分的几何意义为：积分区间范围内函数曲线下的面积。
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3. 定积分的计算： 原函数：如果某函数的导数等于被积函数
F ( x) f ( x)
'
则F(x)称为f(x)的原函数。 牛顿—莱布尼兹公式：
a f ( x )dx F ( x )
例题：计算下列定积分
b
b a
F (b) F (a )
1.
2 0
cos xdx sin x 0
( 2)
n
( k为常数）
1 n1 x dx n 1x C
1 （3 dx ln x C ） x
1 1 x
2
1 ( 4) dx arctan x C 2 1 x
( 5)
dx arcsin x C
上页 下页
( 6)
(7)
cos xdx sin x C sin xdx cos x C
(13) (arcsin x) (14) (arccos x)
1 1 x2 1
， ，
(6) (cot x) csc2x， (7) (sec x)sec x tan x，
(8) (csc x) csc x cot x，
(9) (ax)ax ln a ， (10) (ex)ex，
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矢量运算及微积分初步
h) h
f (x0 ) .
f ( x0 )
lim
x x0
f (x) f (x0 ) . x x0
应当指出，函数 f(x) 的导数 f ´(x) 本身也是x的一 个函数，因此我们可以再取它对x的导数，这叫函 数 y = f(x) 的二阶导数。
y f (x) d 2 y d ( dy ) d f (x) dx2 dx dx dx
19
2) 矢量积（叉积、外积） A B C 是一个轴矢量
大小：平行四边形面积
C A B ABsin (0 )
C
B A
精品课件
绪论
方向：右手螺旋
20
绪论
矢积的性质：
A B B A
A ( B C) A B AC
A A 0
A(BC) B( A•C) C( A• B)
精品课件
18
直角坐标系下的表示
因为Ｘ、Ｙ、Ｚ轴相互垂直，所以
i i 1; i j 0;
j j 1; i k 0;
k k 1 jk 0
A B (Axi Ay j Azk ) (Bxi By j Bzk )
Ax Bx Ay By Az Bz
精品课件
R
D
C AB
R ABCD
精品课件
14
绪论
2) 矢量的数乘
大小
A
C
方向
C A 0 C平行于 A
0 C平行于－A
结合律： ( A) ( ) A 分配律： ( A B) A B
精品课件
15
绪论
3) 矢量的分解 在一个平面内，若存在两个不共线的矢量 e1和e2 则 平面内的任一矢量可以分解为：
矢量的混合积 结果为平行六面体的体积 （A B) • C (C A) • B (B C) • A
大学力学数学知识补充
如图， 函数y=f(x)
y
yo+Δy
yo
y=f(x) Δy Δx
xo
xo+Δx
函数 y = f(x) 在 x0 到 x0+Δx
之间的平均变化率：y x
在x x0 处的导数值:
f
(x0 )
lim
x x0
y x
x0
x
导函数： 函数 y f (x) 在任意位置 x 处的导数值,简称“导数”
例如:
求不定积分
(1)
1
1
dx x
1
1
dx x
1
1
d x
(1
x)
1du u
ln u
C
ln1 x
C
令u 1 x
～不定积分～
8
§3 定积分
（一）定积分的概念
y
f(ξi)
1 0a
i x=ξi
n
x b
b
n
a
f (x)dx lim n
i 1
f (i )x
记作：f (x)，yx，ddyx
f (x) lim y x0 x
～函数、导数和微分～ 3
导数的基本公式
导数的基本运算法则
1. (c) 0 2. (xn ) nxn1 3. (sin x) cos x 4. (cos x) sin x
1. (u v) u v
方向：用方向余弦表示
o Ax
x
Ay
y
o
cos Ax ，cos Ay ，cos Az
A
A
A
附录 矢量与微积分初步
2、矢量平移的不变性：
把矢量 A 在空间平移，则矢量 A 的大小和方向都 不会因平移而改变。
A
A
A
图2 矢量平移
2019/9/13
2
附录：矢量与微积分
二 矢量合成的几何方法
1、利用质点在平面上的位移说明矢量相加法则：
c
C
B
ABC
a
b
A
图3 两矢量相加的三角形法则
自矢量 A 的末端画出矢量 B ，再从矢量 A 的始端 到矢量 B 的末端画出矢量 C ，则 C 就是 A 和 B
2019/9/13
14
附录：矢量与微积分
若函数在某一区间内各点均可导，则在该区间内每一点都有函 数的导数与之对应，则导数也成为自变量的函数，称为导函数。
f'xlim ylim fx xfx
x x 0 x 0
x
tan y
f x
x
f'xlimylimtan
附录：矢量与微积分
A B A x i A y j A z k B x i B y j B z k
利用 i j k ,i k j,i i 0 ，
AxBykAxBzj AyBziAyBxk AzBxjAzByi
AyBzAzBy i AzBxAxBz j AxByAyBx k
uv'
u'vuv' v2
v0
y f u，u x ，y为x的复合函数 y f x
dy dy du dx du dx
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附录：矢量与微积分
若 y f x 的导数 f ' x 对 x 可导，
把矢量 A 在空间平移，则矢量 A 的大小和方向都 不会因平移而改变。
A
A
A
图2 矢量平移
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2
附录：矢量与微积分
二 矢量合成的几何方法
1、利用质点在平面上的位移说明矢量相加法则：
c
C
B
ABC
a
b
A
图3 两矢量相加的三角形法则
自矢量 A 的末端画出矢量 B ，再从矢量 A 的始端 到矢量 B 的末端画出矢量 C ，则 C 就是 A 和 B
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附录：矢量与微积分
若函数在某一区间内各点均可导，则在该区间内每一点都有函 数的导数与之对应，则导数也成为自变量的函数，称为导函数。
f'xlim ylim fx xfx
x x 0 x 0
x
tan y
f x
x
f'xlimylimtan
附录：矢量与微积分
A B A x i A y j A z k B x i B y j B z k
利用 i j k ,i k j,i i 0 ，
AxBykAxBzj AyBziAyBxk AzBxjAzByi
AyBzAzBy i AzBxAxBz j AxByAyBx k
uv'
u'vuv' v2
v0
y f u，u x ，y为x的复合函数 y f x
dy dy du dx du dx
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附录：矢量与微积分
若 y f x 的导数 f ' x 对 x 可导，
chapter00数学基本知识(微积分及其运算矢量及其运算)
数值最大，叉积结果为零； （2）当两矢量反向时,点积结果数值最小，
叉积结果为零； （3）当两矢量垂直时,点积结果为0，叉积
结果最大。
22
解析法
一、矢 量的导数
若 A(t) = Ax (t)i + Ay (t) j + Az (t)k
则
dA(t)
=
j
+
dAz (t)
(3)
u u'v - uv'
( )'= v
v2
(4) y = f (u),u = g(x),
即y = f [g(x)],
则y'x = y'u •u'x
7
例 计算下列函数的导数
(1) y = 3x2 - 4x + 10
1 (2) y = + 7sin x + 8 cosx - 100
x (3) y = x2 cos x
微积分及其运算 矢量及其运算
1
§1：导数和微分
一、极限：
1、定义：当自变量x无限趋近于某一个数 值x0时，函数f(x)的值无限趋近于某一个 确定的数值a，则 a 称为x→x0时f(x)的极 限值，记作
lim f (x) a x x0
2
2、极限的运算法则：
lim f (x) g(x) lim f (x) lim g(x) lim f (x) • g(x) lim f (x) • lim g(x)
lim 记作
b
n
a f (x)dx xi 0 i1 f ( i )xi
15
2、定积分的性质
b
a
(1) a f (x)dx b f (x)dx
叉积结果为零； （3）当两矢量垂直时,点积结果为0，叉积
结果最大。
22
解析法
一、矢 量的导数
若 A(t) = Ax (t)i + Ay (t) j + Az (t)k
则
dA(t)
=
j
+
dAz (t)
(3)
u u'v - uv'
( )'= v
v2
(4) y = f (u),u = g(x),
即y = f [g(x)],
则y'x = y'u •u'x
7
例 计算下列函数的导数
(1) y = 3x2 - 4x + 10
1 (2) y = + 7sin x + 8 cosx - 100
x (3) y = x2 cos x
微积分及其运算 矢量及其运算
1
§1：导数和微分
一、极限：
1、定义：当自变量x无限趋近于某一个数 值x0时，函数f(x)的值无限趋近于某一个 确定的数值a，则 a 称为x→x0时f(x)的极 限值，记作
lim f (x) a x x0
2
2、极限的运算法则：
lim f (x) g(x) lim f (x) lim g(x) lim f (x) • g(x) lim f (x) • lim g(x)
lim 记作
b
n
a f (x)dx xi 0 i1 f ( i )xi
15
2、定积分的性质
b
a
(1) a f (x)dx b f (x)dx
矢量运算基础与微积分初步
A B AB cos ( 为A与B的夹角) 若B为单位矢量， A B为A在B方向的投影。 B 0 90 , A B 0 0 90 , A B 0 A 0 B cos 90 , A B 0
特别注意： 若
(三) 常用不定积分公式
(1) 0dx C (2) adx ax C 1 n 1 (3) x dx x C n 1
n
(4) e x dx e x C 1 (5) dx ln x C x (6) sin xdx cos x C (7) cos xdx sin x C
i 1 i
n
n
i
若记λ为这些小区间中的最长者。当λ → 0时，若此和式的极限
lim f i xi
0
i 1
则称这个和式是函数f(x) 在区间(a, b)上的定积分。
（二）、定积分与不定积分的关系
F x f x dx C
f x dx F b F a
k Az Bz
矢量运算基础
注意：严格区分矢量的叉乘与点乘！ “×”、“ · ”不能随便乱用。 (6)矢量的非法运算包括
1 A
,
ln B,
C,
eD
即：矢量不能作除数、取对数；
不能开方、作指数。
矢量与标量不能相等。 ！！！
矢量运算基础
（7）矢量的导数还是个矢量
dr0 dA dA 若A Ar0 则 r0 A dt dt dt 若在直角坐标系，坐标轴方向不变，各分量互不 相干，分别求导。如：
不遵守交换律
A ( B C ) A B A C
特别注意： 若
(三) 常用不定积分公式
(1) 0dx C (2) adx ax C 1 n 1 (3) x dx x C n 1
n
(4) e x dx e x C 1 (5) dx ln x C x (6) sin xdx cos x C (7) cos xdx sin x C
i 1 i
n
n
i
若记λ为这些小区间中的最长者。当λ → 0时，若此和式的极限
lim f i xi
0
i 1
则称这个和式是函数f(x) 在区间(a, b)上的定积分。
（二）、定积分与不定积分的关系
F x f x dx C
f x dx F b F a
k Az Bz
矢量运算基础
注意：严格区分矢量的叉乘与点乘！ “×”、“ · ”不能随便乱用。 (6)矢量的非法运算包括
1 A
,
ln B,
C,
eD
即：矢量不能作除数、取对数；
不能开方、作指数。
矢量与标量不能相等。 ！！！
矢量运算基础
（7）矢量的导数还是个矢量
dr0 dA dA 若A Ar0 则 r0 A dt dt dt 若在直角坐标系，坐标轴方向不变，各分量互不 相干，分别求导。如：
不遵守交换律
A ( B C ) A B A C
pre calculus 知识点
pre calculus 知识点
Pre-Calculus（预备微积分）是高中数学中的一门重要课程，主要包括以下知识点：
1.函数：包括函数的定义、图像、性质、反函数、复合函数等。
2.三角函数：包括正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数等，以及它们的图像、周期、幅值等。
3.向量：包括向量的定义、向量的加法、数量积、向量积等。
4.数列与级数：包括等差数列、等比数列、调和数列等，以及级数的收敛与发散。
5.极限与连续性：包括函数的极限、无穷小与无穷大、连续性、间断点等。
6.微积分初步：包括导数的定义、导数的计算、导数的应用、微分的定义等。
7.三角函数的导数：包括正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的导数，以及它们的应用。
8.指数与对数函数：包括指数函数、对数函数、对数运算的性质等。
9.三角函数的积分：包括正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的积分，以及它们的应用。
10.微积分的应用：包括最值问题、曲线的切线与法线、微分方程等。
以上是 Pre-Calculus 的主要知识点，掌握这些知识点对于学习
高等数学和物理都具有重要的意义。
矢量的代数运算和微积分
Ay Ax Az cos cos cos A A A 用方向余 A A(cos i cos j cos k ) 弦表示
直角坐标系中矢量的模为 y 2 2 2 A Ax Ay Az
y
j A
i
z
o
例：写出以下物理量在直角坐标系中的表达式 vy v v 5m / s 速度
(2) 遵守分配率： C ( A B ) C A C B
(3) 平行或反平行的两矢量的矢积为0。
A B B A
注意坐 标轴的 右手螺 旋定则
五
1.
矢量的微积分
矢量的微分(differential) 只要把矢量的性质应用于标量的导数公式即可：
大学物理补充知识
一 矢量和标量
矢 量
二 矢量的描述 三 矢量的加减
四 矢量的乘除
一
矢量(vector)和标量(scalar quantity)
标量：只具有大小而没有方向的物理量，我们 把它称之为标量。 如：温度 T、功A 等
例：功 A 5J
矢量：既具有大小又具有方向的物理量， 我们把它称之为矢量。
A A B B
A B B
矢量合成的解析法
1. 矢量相加(addition)
A B ( Axi Ay j Az k ) ( Bxi By j Bz k ) ( Ax Bx )i ( Ay By ) j ( Az Bz )k
z
k x
x
3 A Ax i Ay j Az k vx v vx i v y j vz k 4 v 4i 3 j 0k 4i 3 j m / s
力学(ClassicalMechanics)
微积分初步 （Brief introduction to calculus)
• 导数的几何意义： – 曲线y=f(x)在点x处的斜率 y=f(x) Q
Q
• 如图所示：PQ为曲线在P点的切线， 平均变化率y/x 为割线PQ 的斜率， 当x0时,Q 点沿曲线无限接近P点, 割线PQ 也无限接近切线PQ,因而,平 均变化率趋近于切线的斜率,而根据定 义,平均变化率的极限为函数f(x)在x点 的导数
– – – – x:自变量 y:因变量 f(x)的定义域：自变量x的取值范围 例：路程与时间 s=s(t)
• 复合函数：若y是z的函数，y=f(z)，而z又是x的函数，z=g(x)，则 称y是x的复合函数，记为：y=(x)=f[g(x)]
– z=g(x):中间变量 – 例：x=Acost, x是t的复合函数，中间变量为t
力学(Classical Mechanics)
数学预备知识 微积分初步（calculus)
微积分初步 （Brief introduction to calculus)
• 微积分是物理学研究中所使用的重要数学工具之一， 是由牛顿和莱布尼兹各自独立发现的。在力学中，利 用微积分可非常方便地描述物理的运动； 在力学课的教学中将自始至终用微积分和矢量来描述 物体的运动规律； 微积分是高等数学课的重要内容，但由于高等数学课 的滞后，需要在力学课的学习之前补充微积分和矢量 的概念 本章内容：介绍微积分的基本概念
f ( x0 ) y x x
0
f ( x0 x) f ( x0 ) dy y lim lim dx x x0 x0 x x0 x
如果在某一区间内f(x)处处可导，则对于区间内x的任一值，都有导数与之 对应，导数是x的函数导函数
补充知识 微积分和矢量
u ( x) v( x) u ( x) v( x) u ( x)v( x) u ( x)v( x) u ( x) v( x) u ( x)v( x) u ( x)v( x) 2 v ( x)
2 积分基本知识 引入 常力作功
C
H
D
五.矢量的三重积 (1)三重标积 A ( B C) 解析表达式如下：
Ax A ( B C ) Bx Cx
(2)三重矢积
Ay By Cy
Az Bz Cz
A ( B C)
有下面恒等式：
A (B C) ( A C)B ( A B)C
六.矢量的导数和积分
A dA 1. 矢量的导数 lim t 0 t dt
y
o A1 A1x i A1y j A1z k A2 A2 x i A2 y j A2 z k z A ( A2 x A1x )i ( A2 y A1y ) j ( A2 z A1z )k A Ax i Ay j Az k
2. 矢量的积分（举例）
⑴ B Adt ( Ax i Ay j ) dt ( Ax dt )i ( Ay dt ) j B x Ax dt
⑵
A ds ( Ax i Ay j Az k ) (dxi dyj dzk ) Ax dx Ay dy Az dz
A Ax Ay Az
Ax cos A cos
2 2
i , j , k 分别为x ,y ,z 轴的单位矢量。
y
矢量 A 的方向：
力学中的数学
力学中的数学
力学是研究物体运动和变形的一门学科，它是物理学的基础之一。
而数学是力学中不可或缺的一部分。
力学中的数学主要涉及三个方面：向量、微积分和常微分方程。
向量是力学中最基本的数学概念之一。
在力学中，向量被用来描述物体的运动和受力情况。
向量的加减、点积和叉积等运算可以帮助我们求解物体的速度、加速度和力的大小和方向等问题。
微积分是力学中最重要的数学工具之一。
通过微积分，我们可以求解物体的加速度、速度和位移等问题。
例如，当我们知道物体的加速度随时间的函数关系时，可以通过微积分求出物体在任意时间的速度和位移。
常微分方程是力学中另一个重要的数学工具。
在力学中，许多物理量的变化都可以用常微分方程来描述。
例如，弹簧振子的运动可以用二阶常微分方程来描述，而简谐振动的运动可以用一阶常微分方程来描述。
在力学的研究中，数学的应用是必不可少的。
掌握好向量、微积分和常微分方程等数学知识，可以帮助我们更好地理解和解决力学问题。
- 1 -。
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deax2 d(ax2 )
d(ax2 ) dx
1 2
x e 1/ 2 ax2
x1/ 2eax2 (2ax)
eax2 (0.5x1/ 2 2ax3/ 2 )
9
导数的应用
质点沿x轴作直线运动的速度：vx
dx dt
质点沿x轴作直线运动的加速度：ax
dvx dt
d2x dt 2
a
a
c
19
牛顿—莱布尼茨公式
设F(x)为函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数,即 F'(x)=f(x), 则
b
f (x)dx f (x)dx |ba F (x) |ba F (b) F (a)
a
b
f (x)dx F (b) F (a) 称为牛顿—莱布尼茨公式
用黑体字母或带箭头的字母表示：A, 。A
•
矢量的大小又叫矢量的模，用
|
A|
或A
表示。
• 模等于1 的矢量叫单位矢量，用 eˆA或Aˆ 表示。在直角
坐标系中，沿 x、y、z轴的单位矢量，分别用 iˆ, ˆj, kˆ
表示。
• 矢量具有平移不变性：矢量的平动既不改变矢量的量 值，也不改变矢量的方向。
则∫udv = uv - ∫vdu
15
分部积分法…
• 例题 ⑴ ∫xexdx = ∫xdex
= xex - ∫exdx = xex – ex + c
⑵ ∫lnx dx = x lnx - ∫xdlnx = x lnx - ∫dx = x lnx - x + c
16
不定积分的应用
• 已知加速度求速度 • 已知速度求位矢（或运动学方程） （见教材P36—37）
n i1
f (xi )x
定积分的几何意义为曲边梯形的面积。
18
定积分的主要性质
b
a
⑴ f (x)dx f (x)dx
a
b
b
b
⑵ kf (x)dx k f (x)dx
a
a
b
b
b
⑶ (u v)dx udx vdx
a
a
a
b
c
b
⑷ f (x)dx f (x)dx f (x)dx
lim
x0
y x
lim x0
f ( xx) f ( x) x
Δx
x
• 若函数 y = f (x) 在某一区间内各点均可导，则其导数 f' (x) 也是自变量 x 的函数，称为导函数。导函数 f'(x) 对 x 的导数叫做 y 对 x 的二阶导数，定义为：
f
"(x)
lim
x0
arctg
x a
c
dx arcsin x c 1 x2
dx
1 x2
arctgx c
13
换元积分法与分部积分法
• 换元积分法
适当变换积分变量，把被积表达式化成基本积分公式 中的形式（又称凑积分）
⑴
e2xdx
1 2
e2xd(2x)
1 2
e2x
c
⑵
sin(ax
(arccos x) ' 1 1 x2
(arctgx)
'
1 1 x2
(arcctgx)
'
1 1 x2
7
导数的基本运算法则
⑴ (u±v)' = u' ±v'
⑵ (uv)' = u' v + v' u
⑶ (u/v)' = (u' v - v' u)/v2
⑷ 设 y = f(x) 的反函数为 x = φ(y) 则 φ'(y) = 1/ f '(x)
b)dx
1 a
sin(ax
b)d(ax
b)
1 a
cos(ax
b)
c
⑶
sin2 x cos xdx
sin2
xd(sin
x)
1 3
sin3
x
c
⑷
xdx x2 a2
1 2
(x2 a2 )1/2 d(x2 a2 )
x2 a2 c
⑸
tgxdx
23
矢量的几何描述
矢尾 Aˆ
矢端
A
r A
AAˆ
单位
24
矢量的加法与减法
⒈矢量加法 – 可用平行四边形法则、三角形法则 、多边形法则
⒉矢量减法 – 用三角形法则求矢量相减最方便，注意：差矢量方 向是由减矢量末端指向被减矢量末端
B
C
C
A
A
C A B
C
D
B
B
取决于m的正负。
⒉性质：
r
r
n(mA) m(nA)
rr r r
m(A B) mA mB
r rv
(m n)A mA nA
27
矢量的标积（点乘积）
⒈定义：A
B
ABcos(
A,B )
ABcos
⒉性若质A：BA
B B A
微积分学概要
• 微积分学是微分学和积分学的总称。它 是一种数学思想，“无限细分”就是微 分，“无限求和”就是积分。
• 十七世纪后半叶，牛顿和莱布尼茨完成 了许多数学家都参加过准备的工作，分 别独立地建立了微积分学。他们建立微 积分的出发点是直观的无穷小量，但是 理论基础是不牢固的。因为“无限”的 概念是无法用已经拥有的代数公式进行 演算，所以，直到十九世纪，柯西和维 尔斯特拉斯建立了极限理论，康托尔等 建立了严格的实数理论，这门学科才得 以严密化。
28
矢量标积应用
f '( xx) f '( x) x
3
微分
• 若函数y = f(x)在点x处可导, 则导数f ’(x)与自变量 增量dx（称为：自变量的微分）的乘积，就叫做 函数 y = f(x) 在点 x 处的微分（称为：函数的微 分） ，记作：
dy = f '(x)dx
• 函数一阶导数对应的微分称为一阶微分；一阶微分 的微分称为二阶微分；二阶微分及以上的微分称为 高阶微分。
(
Ax iˆ
Ay
ˆj
Az kˆ
)
(
Bx iˆ
By
ˆj
Bz kˆ
)
( Ax Bx )iˆ ( Ay By )ˆj ( Az Bz )kˆ
Az z
r
A
γβ
Ax
α
x
Ay y
26
矢量乘法
• 矢量的数乘 ⒈小定是义：A 矢的量|m|A倍与，实方数向m与的A乘 的积方m 向A仍相然同是或矢者量相，反大，
sin cos
x x
dx
d cos x cos x
ln
cos
x
c
14
换元积分法与分部积分法…
• 分部积分法 其基本思路是将不易求得结果的积分形式，转化为等 价的但易于求出结果的积分形式。 d(uv) = (uv)' dx = u' vdx + v' udx = vdu + udv 两边同时积分，得： uv = ∫vdu + ∫udv
(xn ) ' nxn1
(sin x) ' cos x
(cos x) ' sin x (tgx) ' sec2 x
(ctgx) ' csc2 x
(ax ) ' ax ln a
(ex ) ' ex
(loga
x) '
1 x ln a
(ln
x) '
1 x
(arcsin x) ' 1 1 x2
0,且 A
0,
( A B )C AC
B
0，则
A
B
BC
⒊标积的分量表示
A
B
(
Ax iˆ
Ay
ˆj
Az kˆ )
( Bx iˆ
By
ˆj
Bz kˆ )
Ax Bx Ay By Az Bz
( iˆ iˆ ˆj ˆj kˆ kˆ 1,iˆ ˆj ˆj kˆ kˆ iˆ 0 )
牛顿
1
极限
• 极限——对 y = f (x) ，若 x 无限趋近某一数值x0 ，f (x) 则无限趋近某一确定数值a，则a就是函数f (x)在x趋近x0 时的极限，记作：
lim f (x) a
xx0
2
导数
• 函数y=f(x)对自变量x的导数， 就是y对x的变化率，定义为：
y
Q
Δy P
f
'(x)
⑸ 复合函数的导数
设y = f(u) , u = φ(x)，则
dy dy gdu （连锁律） dx du dx
8
例题
⑴（ax2 )' a( x2 )' 2ax