解析函数的充要条件
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u(r, ), v在(r, ) 点可(r微,且)满足柯西-黎曼方程
11 ur r v , r u vr (r 0)
定理2 设函数 f (z) u(r, )在 i区v(r域,D) 内解析的充要条件
是:
在u(Dr可,微),且v(满r,足) 柯西-黎曼方程
ur
1 r
v
,
1 r
u
vr (r
0)
Note. 上两个定理在原点处无法判断.
即今天的" 和N" "说法,他" 与德国数学
家戴德金,康托一起创立了实数理论. 至此,人们才知道无穷小量只不过是在某 个变化过程中以零为极限的变量.
导数
NUDT
§1 解析函数的概念
可导与连续的关系
连续不一定意味着可导,而可导必然连续.
性质 若函数 f (在z) 处z0可导，则 在f (z处) 连z续0 .
奇点产生的原因有很多,比如函数在该点没定义,或者不 连续,或者连续却不可导,或者可导却不能保证在该点的 某个邻域内可导等等情况.
总之 f (在z) 点z具0 有奇异性.
NUDT
§1 解析函数的概念
连续,可导与解析三者之间的关系
(1)当函数在某一点上
解析
可导
连续
(2)当函数在某个区域内
解析
可导
连续
Example. f (z) z2, g(z) x 2yi, h(z) z 2
可导与可微的关系
f (z0 )
dw dz
z z0
dw
f (z0 )dz
NUDT
§1 解析函数的概念
定义 若函数 w 在f (z)的某z0 邻域内可导，则称
f (z)
在 z0处解析.若 f在(z区) 域 内每D 一点均解析，称 f (在z) 区域 内D解析.
可导
D
.z z0
解析
若 f (z在) 处z不0 解析,则称 为 z0的奇f 点(z).
判断三个函数的连续性,可导性和解析性.
Thinking. f (z) z
NUDT
§1 解析函数的概念
定理 （1）在区域 D内解析的两个函数 f和(z) 的g和(z)、差、 积、商（除分母等于零的点）在 内解析. D （2）设函数 h g在(z) 平面z 上的区域 内解D析，函数 在 w平 面f (的h) 区域h 内解析，若G ，则复合g(函D)数 G 在 内解析. w f [g(z)] D
NUDT
§1 解析函数的概念
定义 设函数 w f定(z义) 于区域 ， D ，z若0 极D限
lim f (z0 z) f (z0 )
z0
z
存在，则称 f (在z) 处z0可导，该极限值称为
数.记为
或f (z0 ) .
dw d z zz0
在f (z)处的z0导
若函数在区域内处处可导,就称该函数在区域内可导,又 若其导函数连续则称该函数是连续可导,若其导函数可 导则称该函数二阶可导,若函数的各阶导函数都存在则 称该函数无穷次可导或可微.
Example1.求函数 f (z)的 导z2 函数.
Example2. f (z) x是否2 y可i 导?
该函数在复平面内是处处连续但处处不可导.导数的性质
NUDT
神秘的无穷小量
牛顿的看法:在他的一些经典的推导中,他既用无穷
小量作分母进行除法,这意味着无穷小量不是零;然而 他又把被无穷小量所乘的项当做没有而去掉,这说明他 又认为无穷小量是零.奇怪的是,这样所推导的公式在 力学和几何学的应用中证明了它们都是正确的.他本人 也意识到了这种逻辑上的混乱,但无法摆脱.
u v , u v . x y y x
求导公式 f (z) u i v v i u u i u x x y y x y
可利用求导公式来求导:
Example1. 求 f (z) z 2 的导函数. Example2. 求 f (z) 2(x 1) y i( y2 x2 2x 1) 的导函数. f (z) ux ivx 2y 2(1 x)i 2i(x iy 1) 2i(z 1)
求导公式
f (z) ei (ur ivr )
NUDT
例题
再谈:判断函数 f (z) z 2, g(z) z 的可导性 和解析性
利用f (zg) (z)zzr,xux2yry,i2 u
相求由应 偏 柯由ux地 导 西uuxg-r(黎u0xvfx2y曼(1可xz,)u方得y2z2z)x程xz,,uu02可yg,0yv(,得0rxy)2:2x0x20yyy,,v2vyzzx2yu(0x0x;,,,y0yv)y0
证法1:由导数的定义
f
(
z0
)
lim
z0
f
( z0
z) z
f
(z0 )
等价于：
f
(z0
z)
f
( z0 )
f
(
z0
)z
(z)z,
lim
z0
(z)
0.
证法2: 由连续的定义
lim ( f
zz0
(z)
f
(z0 ))
lim [
zz0
f
(z) z
f( z0
z0
)
(
z
z0
)]
f (z0 ) 0 0
Example: f (z) x 2yi 在z 处0 连续否?
lim f (z) lim (x 2yi) 0 f (0)
z0
( x, y)(0,0)
例如:多项式, 有理分式函数
Note.连续函数在有界闭集上有界且一致连续。 Ch2 解析函数
NUDT
关于连续
Cauchy认为连续即隐含着可微. Karl Weierstrass在1861年就弄清楚了连续并不隐含
没有黎曼几何也不可能产生广义相对论
NUDT
关于柯西-黎曼方程
1774年，欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函 数的积分导出的两个方程。而比他更早时，法国数 学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中，就已 经得到了它们。因此，后来人们提到这两个方程， 把它们叫做“达朗贝尔-欧拉方程”。 到了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎曼研究流 体力学时，作了更详细的研究，所以这两个方程也 被叫做“柯西-黎曼条件”。
(4) ( f (z)g(z)) f (z)g(z) f (z)g(z)
(5)
( f (z)) g(z)
f
(
z)
g
(
z) g2(
f( z)
z)
g
(
z)
(
g
(
z
)
0)
NUDT
§1 解析函数的概念
(6)( f (g(z))) f (w)g(z)(w g(z))
(7) f (z) 1 (w) （其中w f (z)与z (w)互为反函数的单值函数且(w) 0）
柯西-黎曼方程的复形式: f i f x y
定理1
NUDT
§2 解析函数的充要条件
定理1 设函数 f (z) u(x, y)定义iv(在x, y区) 域 内，则 D f (z在) 内D 一点 z 可x导 i的y 充要条件是： 与u(x,在y) 点v(x,可y) 微，并(x,且y)满足柯西—黎曼方程
u v , u v , (x, y) D. x y y x
定理1,2的另一个版本
利用复数的三角表示形式 z r(cos i sin )
NUDT
§2 解析函数的充要条件
定理1 设函数 f (z) u(r, ) 定iv义(r在,区) 域D内,
则 f (z在) D内一点 z r(cos可导i s的in充)要条件:
则该函数在原点处( ) C
NUDT
第二章 解析函数
✓§1 解析函数的概念 ✓§2 解析函数的充要条件
§3 初等函数 — 指数函数 — 对数函数 — 幂函数 — 三角函数
NUDT
上次课主要内容回顾
什么是区域?
区域
D
区域的分类问题?
有界的单 连通区域
有界区域和无界区域, 单连通区域和多连通区域
复变函数的极限定义与连续性
NUDT
§6 复变函数的极限与连续性
定义
如果
lim
zz0
f (z) ，f则(z称0 )
在 处f 连(z)续.z若0
f (z)
在区域 D内每一点连续，则称 f在(z) 内D连续.
定理2 函数 f (z) u(x, y)在 iv(x, y)处连z0续 的x0 iy0
充要条件是：u(x, y和) v(在x, y) 处(x连0, y续0 ). 连续函数也可做有理运算
可微。1872年他向柏林科学院提出了一个处处连续 却无处可导的函数的例子。 但所幸的是 Weierstrass的例子没有早出现,这是微积 分发展史上的幸事,正如 Emile Picard 在1905年所 说:如果牛顿,莱布尼茨知道了连续函数不一定可导, 微积分将无产生.严谨的思想也可阻碍创造。
连续的性质
莱布尼茨的看法:莱布尼茨也无法解释为什么两个
无穷小量之比可能是一个有限数.因此他对无穷小量产 生了疑问: “无穷小量是否真的存在?它们有没有严格 的依据?”
NUDT
神秘的无穷小量
英国主教贝克莱曾嘲笑无穷小量是“逝 去的量的灵魂”. 德国数学家魏尔斯特拉斯总结了前人的 工作,于1855年给出了极限的严格定义,
NUDT
§1 解析函数的概念
求导法则:
(1) (c) 0(c为复常数)
(2) (zn ) n zn1(n为正整数 )
(zn ) lim (z z)n zn
z 0
z
lim zn c1n zn1z cn2 zn2 (z)2 L (z)n zn nzn1
z 0
z
(3) ( f (z) g(z)) f (z) g(z)
0 i,
0
0
它结结点论由论不:u该y:可该函导函数vx但数可仅处在得在处x复原不平点0,解面y可析内导0.处而处在不平可面导其,
处处不解析
NUDT
练习题
Exercise1. 若一个函数的导函数在区域内处处为 零,则该函数在该区域内为常数. Exercise2. 设 f (z) z R, e(z2 )
u v , u v . x y y x
f (z z) f (z) u iv, Q u, v在(x, y)可微，
u
u x
x
u y
y
1x
2 y,
v
v x
x
v y
y
3x
4y.
f
(z
z)
f
(z)
( u x
i
v )x x
(u y
i
v )y y
(1
i3)x
பைடு நூலகம்
( 2
i 4 )y
f
(z
z) z
u, v在(x, y)可微，且满足方程 a u v ,b u v .
x y
y x
NUDT
§2 解析函数的充要条件
定理1 设函数 f (z) u(x, y)定义iv(在x, y区) 域 内，则 D f (z在) 内D 一点 z 可x导 i的y 充要条件是： 与u(x,在y) 点v(x,可y) 微，并(x,且y)满足柯西—黎曼方程
举例:多项式, 有理分式函数 解析函数的特性
➢ 解析函数可无限可导 ➢ 非常值解析函数的零点孤立 ➢ 在局部上解析函数是幂级数的和函数
NUDT
§2 解析函数的充要条件
定理1 设函数 f (z) u(x, y)定义iv(在x, y区) 域 内，则 D f (z在) 内D 一点 z 可x导 i的y 充要条件是： 与u(x,在y) 点v(x,可y) 微，并(x,且y)满足柯西—黎曼方程
f
(z)
u x
i
v x
(1
i3)
x z
( 2
i4 )
y z
NUDT
人物简介
Georg Bernhard Riemann
(1826.9.17~1866.7.20) 德国数学家
其父是乡村贫困的牧师,19岁按父亲的意愿进入哥 廷根大学攻读神学,以便当一位牧师.但由于从小酷 爱数学,在学习之余旁听数学课程.当时哥廷根大学 是世界数学中心之一,有高斯,韦伯等人在校执教,遂 决定弃神学专攻数学.1847年去了柏林大学师从雅 可比,狄立克莱.1849年重回哥廷根大学攻读博士学 位,是高斯晚年的弟子.1851年毕业后于1854年被 聘为编外讲师.由于长年贫困与劳累,1866年婚后一 个月终因肺结核,胸膜炎去世.享年不到40岁.
u v , u v . x y y x
f (z z) f (z) f (z)z (z)z, lim (z) 0. z0
f (z z) f (z) u iv, f (z) a ib, (z) 1 i2
u ax by 1x 2y, v bx ay 2x 1y.
NUDT
§2 解析函数的充要条件
定理1 设函数 f (z) u(x, y)定义iv(在x, y区) 域 内，则 D f (z在) 内D 一点 z 可x导 i的y 充要条件是： 与u(x,在y) 点v(x,可y) 微，并(x,且y)满足柯西—黎曼方程
u v , u v . x y y x
定理2 函数 f (z) u(x, y)在 i区v(域x, y)内解析的D充要条件是： 与 在 u内(x,可y)微，v(x并, y且) 满D足柯西—黎曼方程
11 ur r v , r u vr (r 0)
定理2 设函数 f (z) u(r, )在 i区v(r域,D) 内解析的充要条件
是:
在u(Dr可,微),且v(满r,足) 柯西-黎曼方程
ur
1 r
v
,
1 r
u
vr (r
0)
Note. 上两个定理在原点处无法判断.
即今天的" 和N" "说法,他" 与德国数学
家戴德金,康托一起创立了实数理论. 至此,人们才知道无穷小量只不过是在某 个变化过程中以零为极限的变量.
导数
NUDT
§1 解析函数的概念
可导与连续的关系
连续不一定意味着可导,而可导必然连续.
性质 若函数 f (在z) 处z0可导，则 在f (z处) 连z续0 .
奇点产生的原因有很多,比如函数在该点没定义,或者不 连续,或者连续却不可导,或者可导却不能保证在该点的 某个邻域内可导等等情况.
总之 f (在z) 点z具0 有奇异性.
NUDT
§1 解析函数的概念
连续,可导与解析三者之间的关系
(1)当函数在某一点上
解析
可导
连续
(2)当函数在某个区域内
解析
可导
连续
Example. f (z) z2, g(z) x 2yi, h(z) z 2
可导与可微的关系
f (z0 )
dw dz
z z0
dw
f (z0 )dz
NUDT
§1 解析函数的概念
定义 若函数 w 在f (z)的某z0 邻域内可导，则称
f (z)
在 z0处解析.若 f在(z区) 域 内每D 一点均解析，称 f (在z) 区域 内D解析.
可导
D
.z z0
解析
若 f (z在) 处z不0 解析,则称 为 z0的奇f 点(z).
判断三个函数的连续性,可导性和解析性.
Thinking. f (z) z
NUDT
§1 解析函数的概念
定理 （1）在区域 D内解析的两个函数 f和(z) 的g和(z)、差、 积、商（除分母等于零的点）在 内解析. D （2）设函数 h g在(z) 平面z 上的区域 内解D析，函数 在 w平 面f (的h) 区域h 内解析，若G ，则复合g(函D)数 G 在 内解析. w f [g(z)] D
NUDT
§1 解析函数的概念
定义 设函数 w f定(z义) 于区域 ， D ，z若0 极D限
lim f (z0 z) f (z0 )
z0
z
存在，则称 f (在z) 处z0可导，该极限值称为
数.记为
或f (z0 ) .
dw d z zz0
在f (z)处的z0导
若函数在区域内处处可导,就称该函数在区域内可导,又 若其导函数连续则称该函数是连续可导,若其导函数可 导则称该函数二阶可导,若函数的各阶导函数都存在则 称该函数无穷次可导或可微.
Example1.求函数 f (z)的 导z2 函数.
Example2. f (z) x是否2 y可i 导?
该函数在复平面内是处处连续但处处不可导.导数的性质
NUDT
神秘的无穷小量
牛顿的看法:在他的一些经典的推导中,他既用无穷
小量作分母进行除法,这意味着无穷小量不是零;然而 他又把被无穷小量所乘的项当做没有而去掉,这说明他 又认为无穷小量是零.奇怪的是,这样所推导的公式在 力学和几何学的应用中证明了它们都是正确的.他本人 也意识到了这种逻辑上的混乱,但无法摆脱.
u v , u v . x y y x
求导公式 f (z) u i v v i u u i u x x y y x y
可利用求导公式来求导:
Example1. 求 f (z) z 2 的导函数. Example2. 求 f (z) 2(x 1) y i( y2 x2 2x 1) 的导函数. f (z) ux ivx 2y 2(1 x)i 2i(x iy 1) 2i(z 1)
求导公式
f (z) ei (ur ivr )
NUDT
例题
再谈:判断函数 f (z) z 2, g(z) z 的可导性 和解析性
利用f (zg) (z)zzr,xux2yry,i2 u
相求由应 偏 柯由ux地 导 西uuxg-r(黎u0xvfx2y曼(1可xz,)u方得y2z2z)x程xz,,uu02可yg,0yv(,得0rxy)2:2x0x20yyy,,v2vyzzx2yu(0x0x;,,,y0yv)y0
证法1:由导数的定义
f
(
z0
)
lim
z0
f
( z0
z) z
f
(z0 )
等价于：
f
(z0
z)
f
( z0 )
f
(
z0
)z
(z)z,
lim
z0
(z)
0.
证法2: 由连续的定义
lim ( f
zz0
(z)
f
(z0 ))
lim [
zz0
f
(z) z
f( z0
z0
)
(
z
z0
)]
f (z0 ) 0 0
Example: f (z) x 2yi 在z 处0 连续否?
lim f (z) lim (x 2yi) 0 f (0)
z0
( x, y)(0,0)
例如:多项式, 有理分式函数
Note.连续函数在有界闭集上有界且一致连续。 Ch2 解析函数
NUDT
关于连续
Cauchy认为连续即隐含着可微. Karl Weierstrass在1861年就弄清楚了连续并不隐含
没有黎曼几何也不可能产生广义相对论
NUDT
关于柯西-黎曼方程
1774年，欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函 数的积分导出的两个方程。而比他更早时，法国数 学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中，就已 经得到了它们。因此，后来人们提到这两个方程， 把它们叫做“达朗贝尔-欧拉方程”。 到了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎曼研究流 体力学时，作了更详细的研究，所以这两个方程也 被叫做“柯西-黎曼条件”。
(4) ( f (z)g(z)) f (z)g(z) f (z)g(z)
(5)
( f (z)) g(z)
f
(
z)
g
(
z) g2(
f( z)
z)
g
(
z)
(
g
(
z
)
0)
NUDT
§1 解析函数的概念
(6)( f (g(z))) f (w)g(z)(w g(z))
(7) f (z) 1 (w) （其中w f (z)与z (w)互为反函数的单值函数且(w) 0）
柯西-黎曼方程的复形式: f i f x y
定理1
NUDT
§2 解析函数的充要条件
定理1 设函数 f (z) u(x, y)定义iv(在x, y区) 域 内，则 D f (z在) 内D 一点 z 可x导 i的y 充要条件是： 与u(x,在y) 点v(x,可y) 微，并(x,且y)满足柯西—黎曼方程
u v , u v , (x, y) D. x y y x
定理1,2的另一个版本
利用复数的三角表示形式 z r(cos i sin )
NUDT
§2 解析函数的充要条件
定理1 设函数 f (z) u(r, ) 定iv义(r在,区) 域D内,
则 f (z在) D内一点 z r(cos可导i s的in充)要条件:
则该函数在原点处( ) C
NUDT
第二章 解析函数
✓§1 解析函数的概念 ✓§2 解析函数的充要条件
§3 初等函数 — 指数函数 — 对数函数 — 幂函数 — 三角函数
NUDT
上次课主要内容回顾
什么是区域?
区域
D
区域的分类问题?
有界的单 连通区域
有界区域和无界区域, 单连通区域和多连通区域
复变函数的极限定义与连续性
NUDT
§6 复变函数的极限与连续性
定义
如果
lim
zz0
f (z) ，f则(z称0 )
在 处f 连(z)续.z若0
f (z)
在区域 D内每一点连续，则称 f在(z) 内D连续.
定理2 函数 f (z) u(x, y)在 iv(x, y)处连z0续 的x0 iy0
充要条件是：u(x, y和) v(在x, y) 处(x连0, y续0 ). 连续函数也可做有理运算
可微。1872年他向柏林科学院提出了一个处处连续 却无处可导的函数的例子。 但所幸的是 Weierstrass的例子没有早出现,这是微积 分发展史上的幸事,正如 Emile Picard 在1905年所 说:如果牛顿,莱布尼茨知道了连续函数不一定可导, 微积分将无产生.严谨的思想也可阻碍创造。
连续的性质
莱布尼茨的看法:莱布尼茨也无法解释为什么两个
无穷小量之比可能是一个有限数.因此他对无穷小量产 生了疑问: “无穷小量是否真的存在?它们有没有严格 的依据?”
NUDT
神秘的无穷小量
英国主教贝克莱曾嘲笑无穷小量是“逝 去的量的灵魂”. 德国数学家魏尔斯特拉斯总结了前人的 工作,于1855年给出了极限的严格定义,
NUDT
§1 解析函数的概念
求导法则:
(1) (c) 0(c为复常数)
(2) (zn ) n zn1(n为正整数 )
(zn ) lim (z z)n zn
z 0
z
lim zn c1n zn1z cn2 zn2 (z)2 L (z)n zn nzn1
z 0
z
(3) ( f (z) g(z)) f (z) g(z)
0 i,
0
0
它结结点论由论不:u该y:可该函导函数vx但数可仅处在得在处x复原不平点0,解面y可析内导0.处而处在不平可面导其,
处处不解析
NUDT
练习题
Exercise1. 若一个函数的导函数在区域内处处为 零,则该函数在该区域内为常数. Exercise2. 设 f (z) z R, e(z2 )
u v , u v . x y y x
f (z z) f (z) u iv, Q u, v在(x, y)可微，
u
u x
x
u y
y
1x
2 y,
v
v x
x
v y
y
3x
4y.
f
(z
z)
f
(z)
( u x
i
v )x x
(u y
i
v )y y
(1
i3)x
பைடு நூலகம்
( 2
i 4 )y
f
(z
z) z
u, v在(x, y)可微，且满足方程 a u v ,b u v .
x y
y x
NUDT
§2 解析函数的充要条件
定理1 设函数 f (z) u(x, y)定义iv(在x, y区) 域 内，则 D f (z在) 内D 一点 z 可x导 i的y 充要条件是： 与u(x,在y) 点v(x,可y) 微，并(x,且y)满足柯西—黎曼方程
举例:多项式, 有理分式函数 解析函数的特性
➢ 解析函数可无限可导 ➢ 非常值解析函数的零点孤立 ➢ 在局部上解析函数是幂级数的和函数
NUDT
§2 解析函数的充要条件
定理1 设函数 f (z) u(x, y)定义iv(在x, y区) 域 内，则 D f (z在) 内D 一点 z 可x导 i的y 充要条件是： 与u(x,在y) 点v(x,可y) 微，并(x,且y)满足柯西—黎曼方程
f
(z)
u x
i
v x
(1
i3)
x z
( 2
i4 )
y z
NUDT
人物简介
Georg Bernhard Riemann
(1826.9.17~1866.7.20) 德国数学家
其父是乡村贫困的牧师,19岁按父亲的意愿进入哥 廷根大学攻读神学,以便当一位牧师.但由于从小酷 爱数学,在学习之余旁听数学课程.当时哥廷根大学 是世界数学中心之一,有高斯,韦伯等人在校执教,遂 决定弃神学专攻数学.1847年去了柏林大学师从雅 可比,狄立克莱.1849年重回哥廷根大学攻读博士学 位,是高斯晚年的弟子.1851年毕业后于1854年被 聘为编外讲师.由于长年贫困与劳累,1866年婚后一 个月终因肺结核,胸膜炎去世.享年不到40岁.
u v , u v . x y y x
f (z z) f (z) f (z)z (z)z, lim (z) 0. z0
f (z z) f (z) u iv, f (z) a ib, (z) 1 i2
u ax by 1x 2y, v bx ay 2x 1y.
NUDT
§2 解析函数的充要条件
定理1 设函数 f (z) u(x, y)定义iv(在x, y区) 域 内，则 D f (z在) 内D 一点 z 可x导 i的y 充要条件是： 与u(x,在y) 点v(x,可y) 微，并(x,且y)满足柯西—黎曼方程
u v , u v . x y y x
定理2 函数 f (z) u(x, y)在 i区v(域x, y)内解析的D充要条件是： 与 在 u内(x,可y)微，v(x并, y且) 满D足柯西—黎曼方程