人教版初中数学图形的相似技巧及练习题附答案

详解：∵四边形 ABCD 为正方形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABF=∠GDF，∠BAF=∠DGF，
∴△ABF∽△GDF，
∴ AF AB =2， GF GD
∴AF=2GF=4，
∴AG=6．
∵CG∥AB，AB=2CG，
∴CG 为△EAB 的中位线，
∴AE=2AG=12．
故选 D．
点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角形的中位线，利用相
QF 、 OF ，进而确定点 Q 的坐标，确定 k 的值．
【详解】
解：过点 Q 作 QF OA ，垂足为 F ，
OABC 是正方形， OA AB BC OC 6， ABC OAB 90 DAE ，
D 是 AB 的中点，
BD 1 AB ， 2
BD / /OC ，
OCQ∽BDQ ，
5
5
55
【详解】
解：∵四边形 ABCO 是矩形，
∴∠A＝∠AOC＝90°，OC＝AB，
∵OA＝2，AB＝4，
∴过 C 作 CD⊥x 轴于 D，
∴∠CDO＝∠A＝90°，∠COD+∠COB＝∠COB+∠AOB＝90°，
∴∠COD＝∠AOB，
∴△AOB∽△DOC，
∴ OB AB OA ， OC CD OD
A．2
B．4
C．6
D．8
【答案】C
【解析】
【分析】
根据角平分线的定义得到∠CAD=∠BAD，根据圆周角定理得到∠DCB=∠BAD，证明△DCE∽
△DAC，根据相似三角形的性质求出 AD，结合图形计算，得到答案．
【详解】
解：∵AD 平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD，
由圆周角定理得，∠DCB=∠BAD，
在△ACD 中，利用余弦定理可得 CD2＝AC2+AD2﹣2AC•ADcos∠A＝4+x2﹣2x，
故可得 CD 4 2x x2 ,
又∵∠CDE＝∠CBD＝30°，∠ECD＝∠DCB（同一个角），
∴△CDE∽△CBD，即可得 CE CD , CD CB
即 2 3 y 4 2x x2 ,
5
5
∴A（ 8 ， 4 ）， 55
∴k= 32 ． 25
故选 B． 点睛：本题考查作图-复杂作图，反比例函数图象上的点的坐标特征，线段的垂直平分线的 性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
9．如图， AB 为 O 的直径， C 为 O 上一点，弦 AD 平分 BAC ，交弦 BC 于点 E ， CD 4， DE 2 ，则 AE 的长为（ ）
人教版初中数学图形的相似技巧及练习题附答案
一、选择题 1．如图，点 E 为 ABC 的内心，过点 E 作 MN BC 交 AB 于点 M ，交 AC 于点 N ，若 AB 7 ， AC 5 ， BC 6 ，则 MN 的长为（ ）
A．3．5
B．4
C．5
D．5．5
【答案】B
【解析】
【分析】
连接 EB、EC，如图，利用三角形内心的性质得到∠1=∠2，利用平行线的性质得∠2=∠3，
2．若△ABC∽△DEF，△ABC 与△DEF 的相似比为 2︰3，则 S△ABC︰S△DEF 为( )
A．2∶3
B．4∶9
C． 2 ∶ 3
D．3∶2
【答案】B 【解析】
【分析】
S
根据两相似三角形的面积比等于相似比的平方，所以
ABC
(2)2
4
．
S DEF 3
9
【详解】
因为△ABC∽△DEF，所以△ABC 与△DEF 的面积比等于相似比的平方，
所以∠1=∠3，则 BM=ME，同理可得 NC=NE，接着证明△AMN∽△ABC，所以
MN 7 BM ，则 BM=7- 7 MN①，同理可得 CN=5- 5 MN②，把两式相加得到 MN 的
6
7
6
6
方程，然后解方程即可．
【详解】
连接 EB、EC，如图，
∵点 E 为△ABC 的内心，
∴EB 平分∠ABC，EC 平分∠ACB，
下列结论中错误的是（ ）
A． BC 3AE 【答案】D 【解析】
B． AC 4AF
C． BF 3EF
D． BC 2DE
【分析】
由平行四边形的性质和相似三角形的性质分别判断即可．
【详解】
解：∵在 ABCD 中， AD / /BC ， AD BC ，
∴ AEF CBF ,
∴ AE AF EF , CB CF BF
∴2 5 4 2 ， 4 CD OD
∴CD 8 5 ，OD 4 5 ，
5
5
∴C( 4 5 ， 8 5 )， 55
∴k 32 ， 5
故选：C．
【点睛】 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，矩形的性质，相似三角 形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
11．平面直角坐标系 xOy 中，点 P（a，b）经过某种变换后得到的对应点为 P′（ 1 a+1， 2
此题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质，能熟练利用相似三角形
对应边成比例是解题关键．
7．如图，正方形 OABC 的边长为 6，D 为 AB 中点，OB 交 CD 于点 Q，Q 是 y＝ k 上一点， x
k 的值是（ ）
A．4
B．8
C．16
D．24
【答案】C
【解析】
【分析】
延长根据相似三角形得到 BQ : OQ 1: 2 ，再过点 Q 作垂线，利用相似三角形的性质求出
解：连接 BD ，如图，
AB 为直径，
ADB ACB 90 ， AD CD，
DAC DCA，
而 DCA ABD ，
DAC ABD ， ∵DE⊥ AB ， ABD BDE 90 ，
而 ADE BDE 90 ， ABD ADE ， ADE DAC ，
FD FA 5 ， 在 RtAEF 中， sin CAB EF 3 ，
5
A．10
B．12
C．16
D．20
【答案】D
【解析】
【分析】
连接 BD ，如图，先利用圆周角定理证明 ADE DAC 得到 FD FA 5 ，再根据正
弦的定义计算出 EF 3，则 AE 4 ， DE 8 ，接着证明 ADE∽DBE ，利用相似比得
到 BE 16 ，所以 AB 20 ．
【详解】
所以 S△ABC：S△DEF=（ 2 ）2= 4 ，故选 B． 39
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握：两个相似三角形面积比等于相似比的
平方．
3．如图，四边形 ABCD 内接于 O ， AB 为直径， AD CD ，过点 D 作 DE AB于点 E ，连接 AC 交 DE 于点 F .若 sin CAB 3 ， DF 5 ，则 AB 的长为( )
∵ DE 2AE
∴ BC 3 DE 3AE ，选项 A 正确，选项 D 错误， 2
∴ AF AE AE CF CB 3AE
∴ AC 4AF ， ∴选项 B 正确，
1 ，即： CF 3AF ，
3
∴ EF AE AE BF CB 3AE
∴选项 C 正确， 故选：D． 【点睛】
1 ，即： BF 3EF ， 3
4 2x x2
23
故可得： y 3 x2 3 x 4 3 . 即呈二次函数关系，且开口朝下．
6
3
3
故选 C．
【点睛】
考查解直角三角形，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理与性质定理是
解题的关键.
6．如图，点 E 是 ABCD 的边 AD 上一点， DE 2AE ，连接 BE ，交 AC 边于点 F ，
A．6
B．8
C．10
D．12
【答案】D
【解析】
分析：根据正方形的性质可得出 AB∥CD，进而可得出△ABF∽△GDF，根据相似三角形的性
质可得出 AF AB =2，结合 FG=2 可求出 AF、AG 的长度，由 CG∥AB、AB=2CG 可得出 GF GD
CG 为△EAB 的中位线，再利用三角形中位线的性质可求出 AE 的长度，此题得解．
A．
B．
C．
D．
【答案】C 【解析】 【分析】
根据题意可得出 AB 4, BC 2 3, BD 4 x,CE 2 3 y, 然后判断△CDE∽△CBD，
继而利用相似三角形的性质可得出 y 与 x 的关系式，结合选项即可得出答案． 【详解】 解：∵∠A＝60°，AC＝2，
∴ AB 4, BC 2 3, BD 4 x,CE 2 3 y,
似三角形的性质求出 AF 的长度是解题的关键．
5．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝2，D 是 AB 边上一个动点（不与点 A、B 重合），EΒιβλιοθήκη Baidu是 BC 边上一点，且∠CDE＝30°．设 AD＝x，BE＝y，则下列图象中，能表 示 y 与 x 的函数关系的图象大致是（ ）
点 C，交 y 轴于点 F（0，2），连接 AC．若 AC=1，则 k 的值为（ ）
A．2
B． 32
C． 4 3
D． 2 5 2
25
5
5
【答案】B
【解析】
分析：如图，设 OA 交 CF 于 K．利用面积法求出 OA 的长，再利用相似三角形的性质求出
AB、OB 即可解决问题；
详解：如图，设 OA 交 CF 于 K．
＝4，则 k 的值为（ ）
A．4
B．6
C． 32
5
【答案】C
【解析】
【分析】
根据矩形的性质得到∠A=∠AOC=90°，OC=AB，根据勾股定理得到
D． 42 5
OB OA2 AB2 2 5 ，过 C 作 CD⊥x 轴于 D，根据相似三角形的性质得到
CD 8 5 ，OD 4 5 ， 求得 C ( 8 5 ，4 5 )于是得到结论．
∴∠1=∠2，
∵MN∥BC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴BM=ME，
同理可得 NC=NE，
∵MN∥BC，
∴△AMN∽△ABC，
∴ MN AM ，即 MN 7 BM ，则 BM=7- 7 MN①，
BC AB
6
7
6
同理可得 CN=5- 5 MN②， 6
①+②得 MN=12-2MN， ∴MN=4． 故选：B． 【点睛】 此题考查三角形的内切圆与内心，相似三角形的判定与性质，解题关键在于掌握与三角形 各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角 形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．
所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角， 90 的圆周角所对的
弦是直径．也考查了解直角三角形．
4．如图所示，在正方形 ABCD 中，G 为 CD 边中点，连接 AG 并延长交 BC 边的延长线于 E 点，对角线 BD 交 AG 于 F 点．已知 FG=2，则线段 AE 的长度为（ ）
由作图可知，CF 垂直平分线段 OA， ∴OC=CA=1，OK=AK，
在 Rt△OFC 中，CF= OF 2 OC2 = 5 ，
∴AK=OK= 1 2 = 2 5 ， 55
∴OA= 4 5 ， 5
由△FOC∽△OBA，可得
OF OC CF ， OB AB OA
∴
2 OB
1 AB
4
5 5
，
5
∴OB= 8 ，AB= 4 ，
BQ BD 1 ， OQ OC 2
又 QF / / AB ， OFQ∽OAB ，
QF OF OQ 2 2 ，
AB OA OB 2 1 3
AB 6 ，
QF 6 2 4 ， OF 6 2 4 ，
3
3
Q(4, 4) ，
点 Q 在反比例函数的图象上，
k 4 4 16 ，
故选： C ．
∴∠CAD=∠DCB，又∠D=∠D，
∴△DCE∽△DAC，
∴ DE DC ，即 2 4 ， DC DA 4 AD
解得，AD=8， ∴AE=AD - DE=8 - 2=6，
故选：C．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的判定和性质、圆周角定理，掌握相似三角形的判定定理和性质
定理是解题的关键．
10．矩形 ABCO 如图摆放，点 B 在 y 轴上，点 C 在反比例函数 y k (x＞0)上，OA＝2，AB x
AF 5 EF 3 ，
AE 52 32 4 ， DE 5 3 8， ADE DBE ， AED BED ，
ADE∽DBE ， DE : BE AE : DE ，即 8: BE 4 :8 ， BE 16 ， AB 4 16 20． 故选：D． 【点睛】 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧
【点睛】
本题考查了待定系数法求反比例函数、相似三角形的性质和判定，利用相似三角形性质求
出点 Q 的坐标是解决问题的关键．
8．如图，点 A 在双曲线 y═ k （x＞0）上，过点 A 作 AB⊥x 轴，垂足为点 B，分别以点 O x
和点 A 为圆心，大于 1 OA 的长为半径作弧，两弧相交于 D，E 两点，作直线 DE 交 x 轴于 2