二次函数与三角形最大面积3种求法

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二次函数与三角形最大面积的3种求法

一．解答题（共7小题）

21．（2012?广西）已知抛物线y=ax+2x+c的图象与x轴交于点A（3，0）和点C，与y轴交于点B（0，3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上找一点D，使得点D到点B、C的距离之和最小，并求出点D的坐标；（3）在第一象限的抛物线上，是否存在一点P，使得△ABP的面积最大？若存在，求出点P的

坐标；若不存在，请说明理由．

茂名）如图，抛物线与x轴交于点A和点B，与y2．（2013?轴交于点C，已知点B的坐标为（3，0）．

（1）求a的值和抛物线的顶点坐标；

（2）分别连接AC、BC．在x轴下方的抛物线上求一点M，使△AMC与△ABC的面积相等；（3）设N是抛物线对称轴上的一个动点，d=|AN﹣CN|．探究：是否存在一点N，使d的值最大？若存在，请直接写出点N的坐标和d的最大值；若不存在，请简单说明理

由．

3．（2011?茂名）如图，在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C （5，0），抛物线对称轴l与x轴相交于点M．

（1）求抛物线的解析式和对称轴；

（2）点P在抛物线上，且以A、O、M、P为顶点的四边形四条边的长度为四个连续的正整数，请你直接写出点P的坐标；

（3）连接AC．探索：在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请你求出点N的坐标；若不存在，请你说明理由．）．

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，）5，0，0），C（（黔西南州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过点A0，4），B （1．4（2012?．x轴相交于点M抛物线的对称轴l与）求抛物线对应的函数解析式和对称轴；（1为顶点的四边形的四条边的长度为四个连续的PM、）上的一点，若以A、O、（2）设点P为抛物线（x＞5 的坐标；正整数，请你直接写出点P的面积最大？若存在，请你求NAC，使△，探索：在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N（3）连接AC N的坐标；若不存在，请说明

理由．出点

2，C的直线l与抛物线交于点x与轴交于A、B两点，过点A．5（2013?新疆）如图，已知抛物线y=ax+bx+3 3）．），C点坐标是（4，，其中A点的坐标是（10 （1）求抛物线的解析式；的坐标，若不的周长最小？若存在，求出点D）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD（2）在（1 存在，请说明理由；点的坐标．ACE的最大面积及E且位于直线1）中抛物线上的一个

动点，AC的下方，试求△（）（3若点E是

2 0）两点．，，1（，0）B（﹣3Ax+bx+c﹣江津区）如图，抛物线2009．6（?y=x与轴交于）求该抛物线的解析式；（）．

）））））））））

（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由．

27．如图，已知二次函数y=ax+bx+c经过点A（1，0），C（0，3），且对称轴为直线x=﹣1．（1）求二次函数的表达式；

（2）在抛物线上是否存在点P，使△PAB得面积为10，请写出所有点P的坐

标．

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二次函数与三角形最大面积的3种求法

参考答案与试题解析

一．解答题（共7小题）

21．（2012?广解：（1）∵抛物线y=ax+2x+c的图象经过点A（3，0）和点B（0，3），

西）解答：∴，解得a=﹣1，c=3，

2．x+2x+3∴抛物线的解析式为：y=﹣

=1，x= （2）对称轴为2令y=﹣x+2x+3=0，解得x=3，x=﹣1，∴C（﹣1，0）．21如图1所示，连接AB，与对称轴x=1的交点即为所求之D点，由于A、C两点关于对称轴对称，则此时DB+DC=DB+DA=AB最小．

设直线AB的解析式为y=kx+b，由A（3，0）、B（0，3）可得：

，解得k=﹣1，b=3，

∴直线AB解析式为y=﹣x+3．

当x=1时，y=2，∴D点坐标为（1，2）．

（3）结论：存在．

如图2所示，设P（x，y）是第一象限的抛物线上一点，

过点P作PN⊥x轴于点N，则ON=x，PN=y，AN=OA﹣ON=3﹣x．

S=S+S﹣S AOB△△PNA△ABPPNOB梯形=（OB+PN）?ON+PN?AN﹣OA?OB

=（3+y）?x+y?（3﹣x）﹣×3×3

=（x+y）﹣，

2，代入上式得：x+2x+3﹣x，y）在抛物线上，∴y=∵P（22，﹣）+ ﹣（x3x）=﹣（x==S（x+y）﹣﹣ABP△取得最大值．∴当x=时，S ABP△2，∴P（，+2x+3=

时，当x=y=﹣x）．

）．所以，在第一象限的抛物线上，存在一点P，使得△ABP的面积最大；P点的坐标为（，））））））））））．）））））））））

2．（2013?茂名）

解答：2﹣x+2经过点B（3，0），解：（1）∵抛物线y=ax∴9a﹣×3+2=0，

解得a=﹣，

2﹣x+2，∴y=﹣x222+，）+2=﹣（﹣x+2=﹣（xx++3x）﹣∵y=x）；∴

顶点坐标为（﹣，

2﹣，x+2的对称轴为直线x=（2）∵抛物线y=﹣x﹣0），，和点B，点B的坐标为（3轴交于点与xA 0）．∴点A的坐标为（﹣6，y=2，时，又∵当x=0 ）．C点坐标为（0，2∴，y=kx+b 设直线AC的解析式为，则，解得．的解析式为y=x+2AC∴直=ABAM A

的距离相等∴与到的下方，与点M都在ACB又∵点∥AC，BM∴，y=设直线BM的解析式为x+n））））））））））．

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，×3+n=03B（，0）代入，得将点，﹣1解得n=．﹣1∴直线BM的解析式为y=x

，，解得，由；4）M点的坐标是（﹣9，﹣∴

的值最大．理由如下：﹣CN|）在抛物线对称轴上存在一点N，能够使d=|AN（32，和点

x轴交于点AB∵抛物线y=﹣x﹣x+2与关于抛物线的对称轴对称．∴点A和点B最大．﹣CN|=|BN﹣CN|=BC于点N，连接AN，则AN=BN，此时d=|AN连接BC并延长，交直线x=﹣）

两点的坐标代入，0，23，0），C（y=mx+t设直线BC的解析式为，将B（，得，x+2，的解析式为y=﹣∴直线BC，（﹣）+2=3x=当﹣时，y=﹣×

BC==的最大值为．的坐标为（﹣，3），d∴点N

?茂名）3．（2011 ，（x﹣5）解：（1）根据已知条件可设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）解答：