边缘分布

11.边缘分布

【教学内容】：高等教育出版社浙江大学盛骤，谢式千，潘承毅编的《概率论与数理统计》 第三章第§2边缘分布

【教材分析】：前一节我们已经研究了二维随机变量的一些有关概念、性质和计算，二维联合分布函数（二维联合分布律，二维联合密度函数也一样）含有丰富的信息，如每个分量的分布，即边缘分布等。本节的目的是将这些信息从联合分布中挖掘出来，主要从离散型随机变量出发讨论边缘分布。 【学情分析】： 1、知识经验分析

学生已经学习了一维随机变量的分布函数、分布律、概率密度函数的概念、性质和相应的计算。已经有了一定的理论基础和计算技能。 2、学习能力分析

学生虽然具备一定的基础知识，但解决问题的能力不高，知识没有融会贯通。 【教学目标】： 1、知识与技能

理解并掌握边缘分布的概念，能熟练求解随机变量的边缘分布函数和边缘分布律。

2、过程与方法

根据本节课的知识特点和学生的认知水平，教学中采用类比的方法，讲、将一维随机变量的相关知识引入课题，层层设问，经过思考交流、概括归纳，得到边缘分布的概念，使学生对问题的理解从感性认识上升到理性认识。 3、情感态度与价值观

培养学生学习数学的良好思维习惯和兴趣，加深学生对从特殊到一般的思想认知规律的认识，树立学生善于创新发现的思维品质． 【教学重点、难点】：

重点：理解二维随机变量(,)X Y 关于X Y 和的边缘分布函数和边缘分布律的概念。并会求随机变量的边缘分布律。

难点：求离散型型随机变量的边缘分布律。 【教学方法】：讲授法 启发式教学法 【教学课时】：1个课时 【教学过程】：

一、 问题引入（复习）

第二章中我们已经学习了随机变量的分布（分布函数、分布律和概率密度）。 定义1 设X 是一个随机变量， x 是任意实数，函数

)()()(+∞<<-∞≤=x x X P x F 称为X 的分布函数。有时记作)(~x F X 或)(x F X 。

定义2 一般，设离散型随机变量X 的分布律为

(),1,2,.....k k P X x p k ===

定义3 如果对于随机变量X 的分布函数)(x F ，存在非负可积函数)(x f ，使得对于任意实数x 有

.)(}{)(⎰

∞

-=

≤=x

dt t f x X P x F

则称X 为连续型随机变量， 称)(x f 为X 的概率密度函数，简称为概率密度或密度函数。

【设计意图】：通过复习一维随机变量的分布，加深学生对一维随机变量和它的分布的理解，将二维随机变量的分布转化成一维的情形研究，进而得到边缘分布。

二、边缘分布函数

(,)(,),(,){,}.

,{}{,}(,)(,).

F x y X Y F x y P X x Y y y P X x P X x Y F x X Y X =≤≤→∞≤=≤<∞=∞定义 设为随机变量的分布函数则令称为随机变量关于的边缘分布函数

()(,).X F x F x =∞记为 ,x →∞同理令

()(,){,}{}Y F y F y P X Y y P Y y =∞=<∞≤=≤为随机变量 ( X ，Y )关于Y 的边缘分布函

数。

在三维随机变量(,,)X Y Z 的联合分布函数(,,)F x y z 中，用类似的方法可得到更多的边缘分布函数。

例1 设二维随机变量(,)X Y 的联合分布函数为

1,0,0,

(,)0,x y x y xy e e e x y F x y λ-----⎧--+>>=⎨⎩

其他

这个分布被称为二维指数分布，求其边缘分布。

解 ：由联合分布函数(,)F x y 容易X Y 与的边缘分布函数

1,0,()(,)0,x X e x F x F x -⎧->=∞=⎨⎩其他，1,0,

()(,)0,y Y e y F x F y -⎧->=∞=⎨⎩其他

注 X 与Y 的边缘分布都是一维指数分布，且与参数0λ>无关。不同的0λ>对应不

同的二维指数分布，但它们的两个边缘分布不变，这说明边缘分布不能唯一确定联合分布， 而由由联合分布可以确定边际分布。

【设计意图】：通过这个例子，让学生掌握边缘分布函数概念和解法，进一步理解边缘分布不能唯一确定联合分布，而由由联合分布可以确定边际分布。

因为1

()(,).i X ij

x x j F x F x p

+∞

≤==∞=

∑∑所以有

11

(,){,},,1,2,.{},1,2,

,

{},1,2,

,

(1,2,)(1,2,)(,).

i j ij i ij i j j ij j i i j X Y P X x Y y p i j p p P X x i p p P Y y j p i p j X Y X Y ∞

•=∞

•=••==============∑∑定义 设二维离散型随机变量的联合分布律为记分别称和为关于和关于的边缘分布律

【设计意图】：由离散型随机变量的分布函数和分布律的关系进一步加深对边缘分布律的概念的理解。

例2 已知下列分布律求其边缘分布律

解：

【设计意图】：通过这个例子，让学生加深对边缘分布律的理解，再一次强调由联合分

X

Y

1

12

4212421242

642

01

布可以确定边际分布；

但由边际分布一般不能确定联合分布。

三、连续型随机变量的边缘分布

(,),(,),()(,)[(,)d ]d ,

()(,)d ,

(,)x

X X X Y f x y F x F x f x y y x f x f x y y X Y X ∞-∞-∞

∞

-∞

=∞==⎰⎰

⎰

定义 对于连续型随机变量设它的概率密度为由于记称其为随机变量关于的边缘概率密度。

同理可得Y 的边缘分布函数()(,)(,)d d ,y

Y F y F y f x y x y +∞

-∞

-∞

=∞=

⎰⎰

（

）

Y 关于的边缘概率密度：

()(,)d .Y f y f x y x +∞

-∞

=⎰

【设计意图】：通由分布函数和概率密度函数的关系，给出连续型随机变量的边缘概率密度。

26,,

(,)0,.

(),().

X Y X Y x y x f x y f x f y ⎧≤≤=⎨

⎩例3 设随机变量和具有联合概率密度其他求边缘概率密度

解：

()(,)d X f x f x y y +∞

-∞

=⎰

，01,x ≤≤当时22()(,)d 6d 6().x

X x

f x f x y y y x x +∞

-∞

===-⎰

⎰

01,x x <>当或时()(,)d 0.X f x f x y y +∞-∞

==⎰

26(),01,

()0,.

X x x x f x ⎧-≤≤=⎨⎩因而得其他

01,y ≤≤当

时()(,)d ).Y y

f y f x y x x y +∞-∞

===⎰

01,y y <>当或时()(,)d 0.Y f y f x y x +∞-∞

==⎰

),01,

()0,.

Y y y f y ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩得其他

【设计意图】：通过这个例子，理解连续型随机变量的边缘概率密度的概念和计算方法。

.四、思考与提问：

边缘分布均为正态分布的随机变量，其联合分布一定是二维正态分布吗?

五、内容小结

()(,)(,)d d .x

X F x F x f x y y x +∞

-∞

-∞

=∞=⎰

⎰

()(,)d X f x f x y y ∞

-∞

=⎰