边缘分布
3.2边缘分布
( y − µ2 )2 − 2ρ + , 2 σ 1σ 2 σ 2 −∞ < x < ∞, − ∞ < y < ∞,
• 其中µ1,µ2,σ1,σ2,ρ都是常数,且σ1>0,σ2>0, |ρ|<1.称(X,Y)为 服从参数µ1,µ2,σ1,σ2,ρ的二维正态分布, 记为 (X,Y)~N(µ1,µ2,σ12,σ22,ρ). 试求二维正态随机变量的边缘 概率密度.
x →+∞
= F ( ∞， y )
三、离散型随机变量的边缘分布律
对于二维离散型随机变量( X , Y )，已知其联合分布律为
Pij = P { X = xi ， Y = y j }
( i，j = 1， 2， ⋯)
现求随机变量 X 的边缘分布律为：
P{ X = xi } = ∑ pij ,
j =1
∞
+∞ −∞
f ( x, y ) d x
(2.4)
例2 设随机变量X和Y具有联合概率密度 6, x 2 ≤ y ≤ x, f ( x, y ) = 0, 其它. 求边缘概率密度f X ( x), fY ( y ).
y y=x y=x2 o 1
解:
f X ( x) = ∫
∞
y
−∞
f ( x, y ) d y
则分量 X 的边缘分布函数为 FX ( x ) = P { X ≤ x} = P { X ≤ x， Y < ∞}
= lim F ( x， y ) = F ( x， ∞ )
《边缘分布》课件
边缘计算在智能制造中的应用
1 2
智能制造系统
工业自动化、工业物联网、智能工厂等。
边缘计算在智能制造中的作用
实时监测和优化生产过程，提高生产效率和产品 质量。
3
边缘计算在智能制造中的优势
减少数据传输延迟，提高生产过程的实时性和可 控性，降低生产成本。
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW ERA
05
边缘计算的发展趋势与未来展望
边缘计算的发展趋势
边缘计算技术的普及
与云计算的协同发展
随着5G、物联网等技术的快速发展，越来 越多的设备将接入到边缘计算网络中，实 现更高效的数据处理和实时响应。
边缘计算将与云计算形成互补，共同构建 更加智能、高效的数据处理体系。
安全性和隐私保护的重视
垂直行业的深度融合
平台，就近提供最近端服务。
边缘计算发展历程
从云计算到边缘计算，随着物联网 、5G等技术的快速发展，数据处 理和分析的需求逐渐向设备端转移 。
边缘计算应用场景
智能制造、智慧城市、智能交通、 智能家居等众多领域，实现高效、 低延迟的数据处理和分析。
边缘计算的关键技术
01
02
03
04
分布式存储技术
实现数据的分布式存储和管理 ，确保数据的安全性和可靠性
通过传感器、控制器等设备实现车辆自主驾驶的技术。
02
边缘计算在自动驾驶中的作用
在自动驾驶过程中，边缘计算能够实时处理车辆传感器采集的数据，提
供快速响应和决策支持。
03
自动驾驶技术的应用场景
包括智能交通、物流运输、共享出行等领域。
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW ERA
第二节 边缘分布
y
dy
0 0
cxe
y
x
dx
c 2
0
y e
2
y
dy
c 2
xe y f x， y 0
0 x y 其它
2 c
所以，
⑵．当 x 0 时，
f X x
c 1
f x ， y dy
x>0,y>0 其它
求边缘分布函数 解： FX(x)= F(x, +∞)
1 e x 0,
x>0, 其它
FY(y)＝
1 e y F(+∞,y) 0,
y>0 其它
2、边缘概率密度
对连续型 r.v ( X,Y )， X和Y的联合概率密度为 f ( x, y ) 则( X,Y )关于X的边缘概率密度为
3 2 2y y
2
0
x
24 5
0 y 1
),
2
注意取值范围
即
12 2 x ( 2 x ), f X (x) 5 0,
0 y ), fY ( y ) 5 2 2 0,
0 y 1 其它
X
y1 p 11
p 21
p i1
y2 p 12
p 22
pi2
„ „ „
yj p1 j
p2 j
„
x)
i
x1
x2
xi
„ p „ p
1j
2 j
„
p ij
„p
ij
边缘分布律怎么求
边缘分布律怎么求在概率论与数理统计中，边缘分布律（marginal distribution）是指在多维随机变量中，将其中几个变量固定，得到的某一个变量的概率分布。
对于一个具有两个或多个随机变量的概率分布，我们通常关注某一个或几个变量的概率分布情况。
而边缘分布律可以帮助我们实现这一点。
边缘分布律的求解方法取决于问题的具体情况。
下面我们将介绍两种常见的方法：离散型变量和连续型变量的求解方法。
1. 离散型变量的边缘分布律的求解方法：假设有两个离散型随机变量X和Y，它们的联合概率分布律为P(X=x, Y=y)。
要求X的边缘分布律，我们需要将Y变量固定，然后对所有可能取值求和，即：P(X=x) = Σ P(X=x, Y=y)其中Σ 表示对Y的所有可能取值求和。
2. 连续型变量的边缘分布律的求解方法：假设有两个连续型随机变量X和Y，它们的联合概率密度函数为f(x, y)。
要求X的边缘分布律，我们需要将Y变量固定，然后对X进行积分，即：fX(x) = ∫ f(x, y) dy其中∫ 表示对Y的所有取值进行积分。
需要注意的是，在求解边缘分布律时，我们需要考虑变量的范围。
如果X和Y的范围是有限的，那么在将变量固定时，需要限定积分或求和的范围。
此外，边缘分布律还可以通过累积分布函数（CDF）求得。
对于离散型变量，边缘分布律可以通过对联合分布函数求偏导得到。
对于连续型变量，边缘分布律可以通过对联合概率密度函数求偏导得到。
总之，边缘分布律是概率论与数理统计中的一个重要概念，可以帮助我们研究多维随机变量的概率分布。
根据变量的类型（离散型或连续型），我们可以选择不同的方法来求解边缘分布律。
无论是离散型还是连续型变量，求解边缘分布律都需要将其他变量固定，然后对概率分布进行求和或积分。
掌握求解边缘分布律的方法，对于我们研究随机变量的概率分布具有重要的意义。
第二节边缘分布
当-1<x<1时
1 x 2
f X ( x) f ( x, y)dy
1
1 x 2
dy
x 1 其他
2 1 x2
2 1 x2 f X ( x) 0
当 1 y 1时 同理 fY ( y )
1 y 2
2
1
1 y
即为 F(x，y)=Fx(x)FY(y) 反之，若X与Y满足F(x，y)=Fx(x)FY(y) ，则有 P{x1<X≤x2，y1<Y≤y2} =F(x2, y2)- F(x1, y2)-F(x2, y1)+ F(x1, y1)
= Fx(x2)FY(y2)- Fx(x1)FY(y2)- Fx(x2)FY(y1)+Fx(x1)FY(y1)
若x与y相互独立则在fxydfdx一负责人到达办公室的时间均匀分布在812时他的秘书到达办公室的时间均匀分布在79时设他们两人到达的时间相互独立求他们到达办公室的时间相差不超过5分钟112小时的概率
第二节 边缘分布
引言
边缘分布
随机变量独立性
一、边缘分布的定义
1．边缘分布 设(X,Y)为二维随机向量其分布函数为F(x,y)，X和Y的分 布函数分别记为Fx(x)和FY(y), 依次称Fx(x),FY(y)为(X,Y) 关于X和关于Y的边缘分布函数. 2.公式. 由于Fx(x)=P({X≤x}∩{Y<+∞})=P{X≤x,Y<+∞} =F(x,+∞) 同理有 FY(y)=F(+∞, y).
p
i xi x , y j y
p
p j
xi x
概率论-2-6边缘分布
PY
yj
PX
xi ,Y
yj
pij,
j 1,2,
i 1
i 1
即 离散型随机变量( X,Y )的边缘分布律 定义1 设(X,Y) 的联合分布律为
P{ X xi ,Y y j } pij , i, j 1, 2,
则(X,Y)关于X的边缘分布律为
P{ Xxຫໍສະໝຸດ }P{X xi ,
y }
pij pi i 1, 2,3,
§2.6 边缘分布
二维联合分布全面地反映了二维随机变量
(X,Y)的取值及其概率规律. 而单个随机变量X,Y 也具有自己的概率分布. 那么要问:二者之间有 什么关系呢?
这一节里,我们就来探求这个问题 .
一、离散型随机变量( X,Y )的边缘分布律
设(X,Y) 的分布律 及边缘分布律 为
XY x1 x2 … xi …
3 0
2 x
24 13
xdy,
1x3
2
2
0,
其他
即
24 13
x,
0 x1 2
fX (x)
24 13
x(3 2
x),
1x3
2
2
0,
其他
解
fY ( y) f ( x, y)dx
03
2
y
24 13
xdx
12 (3 13 2
y)2,
0 y1
0,
其他
正确答案：D
正确答案：C
注意 由（X,Y）的联合分布律就能确定（X,Y） 关于X，关于Y的边缘分布律；同样，由（X,Y）的 联合概率密度就能确定（X,Y）关于X，关于Y的边 缘密度。由此可见，边缘分布由联合分布唯一确定， 反之不成立。即一般来说，单由X，Y各自的分布 是不能确定（X,Y）的联合分布的.
边缘分布分析
边缘分布分析边缘分布分析是一种统计学方法，用于研究两个或多个变量之间的关系。
通过分析变量的边缘分布，我们可以了解到各个变量的分布特征以及它们之间的关联程度。
本文将介绍边缘分布分析的基本概念、应用场景，以及常用的分析方法。
一、边缘分布分析的基本概念边缘分布是指在多个变量的联合分布中，某个或某些变量的分布。
在边缘分布分析中，我们通常关注某个变量在其他变量固定条件下的分布情况。
例如，我们可以研究在不同年龄段的人群中，BMI指数的分布情况，进而了解不同年龄段人群的身体健康状况。
边缘分布分析可以帮助我们发现变量之间的关系，判断是否存在相关性。
通过观察和比较不同边缘分布的差异，我们可以得出一些初步的结论，进而指导更深入的研究。
二、边缘分布分析的应用场景1.市场调研在市场调研中，我们常常需要分析不同群体的消费行为。
通过对各个群体的边缘分布进行比较，我们可以了解到不同群体的消费水平、消费偏好等信息，为企业制定精准的市场策略提供依据。
2.医学研究在医学研究中，边缘分布分析可以帮助我们了解不同人群的疾病患病率、生活习惯对健康的影响等。
通过比较不同边缘分布的差异，可以提供预防、干预疾病的建议和方向。
3.社会调查社会学研究中，边缘分布分析可以帮助我们了解不同人群在教育水平、职业选择、婚姻状况等方面的差异。
通过分析这些差异，我们可以更好地理解社会的结构和变化。
三、边缘分布分析的方法1.直方图直方图是一种常用的边缘分布展示方法。
通过将数据划分为不同的区间，并统计每个区间内的观测值数量，可以直观地展示变量的分布情况。
2.箱型图箱型图可以展示出边缘分布的中位数、四分位数、异常值等信息。
通过比较不同变量的箱型图，可以观察到它们的分布特征和差异。
3.密度图密度图可以更加平滑地展示边缘分布的概率密度，帮助我们了解变量的分布形态和峰值位置。
4.相关系数相关系数是衡量两个变量之间关联程度的指标。
常用的相关系数包括皮尔逊相关系数和斯皮尔曼相关系数等。
3.2边缘分布
二、二维离散型随机向量的边缘分布 Y
X
……………
y1
y2 p12 Leabharlann 22… … … …yj p1j … p2j …
P{X=xi}
x1 x2
p11 p21
p1. p2.
xi
pi1
…
pi2
pij …
…
p .
i
P{Y=yj}
p.1
p.j …
1
p.2
…
(i
= 1,2, …)
(j =1,2, …)
-1 0 1 pi ·
三
、二维连续型随机变量边缘概率密度函数
p(x,y)
[
x
设（X，Y）的联合概率密度
由于 所以
P{ X x, Y }
p( u, v )dv ]du
边缘密度函数的几何解释
例4
已知（X，Y）的联合概率密度
求（X，Y）边缘概率密度 解
例5 设（X，Y）服从区域D：抛物线y =x2和直线y= x所围成的 区域上的均匀分布，求X和Y的联合、边缘概率密度。 解 由于D的面积为 故X，Y联合概率密度为
设 (X,Y) 的联合分布列为
则 (X,Y) 的边缘分布列为
pij = P{X=xi ,Y=yj}
即
X
x1 x2 · · · xi · · ·…
的边缘分布函数为：
· · p i. · · · pi. p1.p2. ·
(X,Y)
FX(x) = F(x,+∞) =
例3、已知随机变量X和Y的分布列分别为 X -1 0 1/2 1 1/4
0
X，Y边缘概率密度：当0≤x≤1时
边缘分布律
边缘分布律摘要：边缘分布律是概率论和统计学中的一个重要概念，用于描述多维随机变量中各个维度的分布情况。
本文将介绍边缘分布律的定义、性质以及应用，并举例说明其在实际问题中的应用。
1. 引言在概率论和统计学中，边缘分布律是研究多维随机变量的重要工具。
多维随机变量是指具有两个或更多维度的随机变量。
通过研究各个维度上的分布情况，我们可以更好地理解随机变量之间的关系以及它们对整体随机过程的影响。
2. 边缘分布律的定义设有一个二维随机变量(X,Y)，其边缘分布函数分别为F(x)和G(y)。
那么X的边缘分布律可以定义为P(X=x)，表示随机变量X等于x的概率。
类似地，Y的边缘分布律可以定义为P(Y=y)。
边缘分布律可以通过边缘分布函数来推导得到。
3. 边缘分布律的性质边缘分布律具有以下性质：(1) 非负性：边缘分布律是非负的，即P(X=x)和P(Y=y)大于等于零。
(2) 归一性：边缘分布律的和等于1，即∑P(X=x)=1和∑P(Y=y)=1。
(3) 独立性：如果X和Y是相互独立的，那么X的边缘分布律和Y的边缘分布律也是相互独立的。
这些性质使得边缘分布律成为研究多维随机变量的重要工具，可以用于计算随机变量的期望、方差等统计量。
4. 边缘分布律的应用边缘分布律在实际问题中有广泛的应用。
在金融领域中，我们经常需要分析多个金融指标之间的关系，如股票价格与利率之间的关系。
通过计算这些指标的边缘分布律，可以更好地理解它们各自的走势以及它们之间的相关性。
另一个应用领域是医学研究。
我们经常需要研究多种因素对人体健康的影响，如饮食习惯、运动量和遗传因素等。
通过分析这些因素的边缘分布律，可以更好地理解它们对健康状况的影响程度，从而为制定健康政策和预防措施提供科学依据。
此外，边缘分布律还可以应用于气候模拟、经济预测等领域。
通过分析多个变量的边缘分布律，可以为决策者提供更准确的信息，从而做出更合理的决策。
5. 示例应用为了更好地理解边缘分布律的应用，我们举一个简单的例子。
§2、边缘分布
F (, y ) FY ( y ),
分别是随机变量(X,Y)中变量X 与Y 的边缘分布函数． 并且由分布函数性质可知， F ( , ) 0,
F ( , ) 0.
下面分别讨论离散型与连续型二维随机变量(X,Y) 的边缘分布公式．
3
下面分别讨论离散型与连续型二维随机变量(X,Y) 的边缘分布公式． 1、设离散型二维随机变量(X,Y)的分布律为
公式
f X ( x) fY ( y)
f ( x, y)dy
— (X,Y)关于X的 边缘概率密度 — (X,Y)关于Y的 边缘概率密度
f ( x, y)dx
由联合概率密度可求得各个边缘概率密度：对某 一个变量在(-∞,+∞)上积分，另一个变量作为所对 应随机变量密度函数自变量取值于全体实数范围.
FX ( x ) F ( x,) f ( x , y )dy dx, 两边求导数，即得X的边缘概率密度为
x
f X ( x)
f ( x, y)dy;
同理，可得关于Y的边缘概率密度为
fY ( y )
6
f ( x, y)dx.
联合分布
边缘分布
下面就来讨论边缘分布的问题．
1
二、边缘分布的公式 设二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x, y)已知， 则随机变量X的边缘分布函数为
FX ( x ) P{ X x} P{ X x, Y } F ( x ,);
类似地，Y的边缘分布函数为
FY ( y) F (, y).
于是，有
f X ( x)
概率论第三章-边缘分布
P{ X xi } P{ X xi , (Y y j )}
P{ X xi , Y y j }
j 1
j 1
,i 1 , 2 ,
记做 pi
同理 P{Y y j }
p
i 1
ij
, j 1 , 2 , 记做 p j
o
1
x
注：联合分布 书69页：例5，6
维正态分布； ② 边缘分布与ρ无关，说明了由边缘分布不能确 定联合分布。
0 1/4 0 1/4 1/2
1 0 1/2 0 1/2
1/4
三、连续型随机变量的边缘概率密度
若 是二维连续型随机变量, 其概率密度为
f ( x , y ) , 则:
FX ( x) F ( x , ) f X (x)
同理
x
f (u , v) dv du
0 1/2
1 1/2
pi · 1/4
且P{XY=0}=1，求(X,Y)的分布律 解、 P{XY≠0}=0= P{X≠0, Y≠0} Y X =P{X=-1, Y=1}+ P{X=1, Y=1} 从而P{X=-1, Y=1}=P{X=1, Y=1}=0 -1 0 1 pi · p· j 1/4 1/2
y
解:
的概率密度为
0 1
y=x x
当0 x 1 当 x other
f X (x) f ( x , y )dy 0 2 dy 2 x
f X ( x) 0
x
f X ( x)
例2. 上服从均匀分布, 密度 和 的概率密度为
边缘分布
P{X xi , Y y j } P{X xi }P{Y y j }
即
pij pi. p. j .
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《概率统计》
例1．设随机变量X与Y相互独立，下表列出了二维随机变量 （X，Y）的分布表及关于X和Y的边缘分布表中的部分数据， 请补充下表：
Y X
y1
y2
1/8
解: (1) 由于
1 e , x0 FX ( x) F ( x,) 0, 其它
0.5 x
(2) P{X 0.1, Y 0.1}
P{0.1 X ,0.1 Y }
1 e 0.5 y , y 0 FY ( y ) F (, y ) 0, 其它
j 1
p j P{Y y j } pi j
i 1
(i =1,2, …)
(j = 1,2, …)
即
X
X,Y 的边缘分布函数分别为：
x1 · · ·xi · · · … pi. x p2 . 1 p2. · · ·pi. · · ·
Y
FX(x) = F(x,+∞) = FY(y) = F(+∞, y) =
即
P{X x, Y y} P{X x}P{Y y}
则称随机变量X与Y是相互独立的. 补充例1．一电子产品由两个部件构成，以X和Y分别表示两个 部件的寿命（单位：小时），已知X和Y的联合分布函数
1 e 0.5 x e 0.5 y e 0.5( x y ) , x 0, y 0, F ( x, y) 0, 其他 (1)问X和Y是否相互独立？(2)求两部件寿命都超过0.1小时的概率.
F , F ,0.1
概率统计3.2 边缘分布
1 1 arctan x , x .
2
2
FY ( y) F (, y)
1 1 arctan y , y .
2
2
(3) P(X 2) 1 P(X 2) 1 FX (2)
1
1 2
1
arctan
2 2
1/ 4.
二维离散型随机变量的边缘分布
记作
P(X xi ) pij pi•, i 1,2,
x
FX (x) f (u,v)dvdu
y
FY ( y) f (u,v)dudv
fX (x)
f (x, y)dy
fY ( y) f (x, y)dx
已知联合密度可以求得边缘密度
例 设随机变量X， Y 服从区域D 上的均匀分布．
其中D {(x, y) | x 0, y 0, x y 1}， 2
j1
记作
P(Y y j ) pij p•j , j 1,2,
i1
由联合分布律可确定边缘分布律
联合分布律 及边缘分布律
Y X x1 xi p• j
y1
p11 pi1
p•1
yj
p1 j pij
p•
j
pi•
p1•
pi
1
•
例(P55.1) 设随机变量 X 在 1,2,3三个数中等可能地取 值，另一个随机变量 Y 在1~X 中等可能地取一整数 值，试求 X, Y 的边缘分布律。
二维随机变量的边缘分布函数
由联合分布函数 边缘分布函数, 逆不真.
FX (x) PX x
y
PX x,Y
F(x,)
xx
FY (y) PY y
y y
PX ,Y y
边缘分布
y
二、离散型随机变量的边缘分布律
对离散型 r.v ( X,Y )， X和Y 的联合分布律为
P( X xi , Y y j ) pij , i, j 1,2,
则 (X,Y ) 关于X 的边缘分布律为:
P( X xi ) P( X xi , Y y j ) pij pi , i 1,2,
i 1 i 1 j 1 j 1
j 1,2,
例2 已知下列分布律求其边缘分布律.
Y
X
0
16 49
1
12 49 9 49
0 1
1
0
16 49
12 49
1
12 49 9 49
p j
4 7 3 7 1
pi
4 7
3 7
三、连续型随机变量的边缘分布
定义 对于连续型随机变量(X,Y ), 设它的概率密度为 f (x, y), 记
第二节
边缘分布
一、边缘分布函数 二、离散型随机变量的边缘分布律 三、连续型随机变量的边缘概率密度
二维联合分布F(x, y)全面地反映了二维随机变量 (X,Y)的取值及其概率规律. 而单个随机变量X,Y 也具有自己的概率分布FX ( x), FY ( y). FX ( x)和FY ( y) 与F(x, y)有什么关系呢?
Y
X
x1
x2
xi
p .j p .1 p .2 p .j
. . . 1 . . .
二 维 离 散 型 r.v
y1 y2 yj
p 11 p 12 p1 j
p 21 p 22 p2 j
第二节边缘分布
为(X, Y)关于Y的边缘密度函数.
易知, N(1, 2, 12, 22, )的边缘密度函数fX(x)是N(1, 12)的密
度函数，而fY(y)是N(2, 22)的密度函数，
故二维正态分布的边缘分布也是正态分布.
例3
设随机变量（
X , Y ）的概率密度为：
0 x 1 ,0 y 2 其他
fX (x)
1 y，
1. 边缘分布函数：
随机变量 X , Y 的分布函数分别称为二 X 和 Y 的边缘分布函数， 维随机变量 ( X , Y ) 关于
分别记为 F X ( x ), F Y ( y ).
注：边缘分布函数由(X, Y)的分布函数唯一确定， 事实上，
F X ( x ) P { X x } P { X x ，Y } lim F ( x , y ).
0 .4
X
0 0 .6
1
0 .4
Y
0 0 .6
1
0 .4
P
P
3. 边缘概率密度 设(X, Y)～f (x, y), (x, y)R2, 则称
f X ( x)
f ( x , y )dy
为(X, Y)关于X的边缘密度函数.
同理 fY ( y )
f ( x , y ) dx
同理有，F Y ( y ) lim F ( x , y ).
x
y
2. 边缘分布律 若随机变量X与Y的联合分布律为 P{X＝xi, Y＝ yj,}＝ pij ， i, j＝1, 2, …
则有
P { X x i } P { X x i，Y }
边缘分布
的值; 边缘密度。 求 (1). c的值 (2). 边缘密度。 的值 解: (1).
∫ ∫
1
∞
∞
−∞ −∞
f ( x, y)dxdy
= ∫ ∫ cy (2 − x)dy dx 0 0 1 = c∫ [x2 (2 − x) / 2] dx
x
0
= 5c/24=1, ⇒ = 24/5; c
Y X 1 2 3 4 P (X=i) 1 1/4 0 0 0 1/4 2 1/8 1/8 0 0 1/4 3 1/12 1/12 1/12 0 1/4 4 1/16 1/16 1/16 1/16 1/4 P(Y=j) 25/48 13/48 7/48 3/48 1
边际分布列可由联合分布列表所决定： 【注】边际分布列可由联合分布列表所决定： X Y x1 x2 … xi … p.j y1 p11 p21 … pi1 … p.1 y2 … yj … pi. p1. p2. … pi. … 1
− 1 x2 − ∞
0 dy 1
+∫ − = 2
1 x2 − 1 x2 −
π
dy + ∫ 1−x 0dy
2
∞
π 熟练时，被积函数为零的部分可以不写。 熟练时，被积函数为零的部分可以不写。
1− x2 .
2 π 故 f X (x) = 0,
1− x2 ,
x ∈[−11 , ], x ∉[−11 , ];
在问题中地位的对称性, 由X 和Y 在问题中地位的对称性 将上式中 的 x 改为 y，得到 Y 的边缘概率密度 ，
2 1− y2 , π fY ( y) = 0, y ∈[−11 , ], y ∉[−11 , ].
例5：设(X, Y)的概率密度为 ： 的概率密度为
边缘分布
我们常将边缘分布律写在联合分布律表格的边 缘上，由此得出边缘分布这个名词.
练习 袋中有2只白球和3只黑球，从中摸球，记
Xi
1, 第i次 摸 出 白 球 0, 第i次 摸 出 黑 球i
1,2,
试求 ( X1 , X 2 )的联合概率分布和边缘概率分
X 的边缘分布函数
x
FX (x) F(x,)
f (x, y)d y d x,
F x x f t dt
fX (x)
f (x, y)d y.
X 的边缘概率密度.
同理可得Y的概率密度为：fY ( y) f ( x, y)dx
我们称
参量积分
f X ( x) f ( x, y)dy —(X,Y)关于X的边缘概率密度
关于 X 和关于Y 的边缘分布律.
X Y
x1 x2 xi
y1
p11 p21 pi1
y2
p12 p22 pi 2
yj
p1 j
pi 1,2,;
j 1
P{Y y j } pij , j 1,2,.
i 1
【补充例 】已知下列分布律求其边缘分布律.
y)dy
e
y
dy
x
0
x 0 ex
x 0 0
x0 ,
x0
Y 的密度函数 fY ( y) 为
y
fY
( y)
f
(x,
y)dx
0
e ydx
0
y 0 ye y
y 0 0
y0 .
y0
☺课堂练习
一 整 数N 等 可 能 地 在1, 2, 3,,10 十 个 值 中 取
3.3边缘分布
例1
设 ( X , Y )的联合分布律为 X Y 1 1 2
0
1 12 1 6 0 1 12 1 4 1 12
1
2
1 4 1 12
0
求关于 X 及 Y 的边缘分布律。
解
由边缘分布律的定义，
从而关于 X 及 Y 的边缘分布律为：
X pi
0
1 3
1
1 3
2
1 3
Y 1
1
1 6
2
1 3
p j
1 2
fX x
1 2 1
2 x 1
e
2 2 1
x
y
fY y
1 2 2
2 y2
e
2 2 2
说明：边缘分布可由联合分布唯一确定，反之不然， 即：不能由边缘分布确定联合分布。
四、小结
1. 在这一讲中，我们与一维情形相对照，介 绍了二维随机变量的边缘分布. 2. 请注意联合分布和边缘分布的关系: 由联合分布可以确定边缘分布; 但由边缘分布一般不能确定联合分布.
y y cxe dxdy 0 0
x
f ( x, y )dxdy 1
所以, c=1.
边缘分布
(2) 当x>0 时，
f X x f x， y dy
x
xe y f x, y 0
y
0 x y , 其它.
第二节
边缘分布
边缘分布函数 离散型随机变量的边缘分布律
连续型随机变量的边缘概率密度
小结
二维联合分布全面地反映了二维随机变量
(X,Y)的取值及其概率规律. 而单个随机变量X,Y
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11.边缘分布【教学内容】：高等教育出版社浙江大学盛骤，谢式千，潘承毅编的《概率论与数理统计》 第三章第§2边缘分布【教材分析】：前一节我们已经研究了二维随机变量的一些有关概念、性质和计算，二维联合分布函数（二维联合分布律，二维联合密度函数也一样）含有丰富的信息，如每个分量的分布，即边缘分布等。
本节的目的是将这些信息从联合分布中挖掘出来，主要从离散型随机变量出发讨论边缘分布。
【学情分析】： 1、知识经验分析学生已经学习了一维随机变量的分布函数、分布律、概率密度函数的概念、性质和相应的计算。
已经有了一定的理论基础和计算技能。
2、学习能力分析学生虽然具备一定的基础知识，但解决问题的能力不高，知识没有融会贯通。
【教学目标】： 1、知识与技能理解并掌握边缘分布的概念，能熟练求解随机变量的边缘分布函数和边缘分布律。
2、过程与方法根据本节课的知识特点和学生的认知水平，教学中采用类比的方法，讲、将一维随机变量的相关知识引入课题，层层设问，经过思考交流、概括归纳，得到边缘分布的概念，使学生对问题的理解从感性认识上升到理性认识。
3、情感态度与价值观培养学生学习数学的良好思维习惯和兴趣，加深学生对从特殊到一般的思想认知规律的认识，树立学生善于创新发现的思维品质． 【教学重点、难点】：重点：理解二维随机变量(,)X Y 关于X Y 和的边缘分布函数和边缘分布律的概念。
并会求随机变量的边缘分布律。
难点：求离散型型随机变量的边缘分布律。
【教学方法】：讲授法 启发式教学法 【教学课时】：1个课时 【教学过程】：一、 问题引入（复习）第二章中我们已经学习了随机变量的分布（分布函数、分布律和概率密度）。
定义1 设X 是一个随机变量， x 是任意实数，函数)()()(+∞<<-∞≤=x x X P x F 称为X 的分布函数。
有时记作)(~x F X 或)(x F X 。
定义2 一般，设离散型随机变量X 的分布律为(),1,2,.....k k P X x p k ===定义3 如果对于随机变量X 的分布函数)(x F ，存在非负可积函数)(x f ，使得对于任意实数x 有.)(}{)(⎰∞-=≤=xdt t f x X P x F则称X 为连续型随机变量， 称)(x f 为X 的概率密度函数，简称为概率密度或密度函数。
【设计意图】：通过复习一维随机变量的分布，加深学生对一维随机变量和它的分布的理解，将二维随机变量的分布转化成一维的情形研究，进而得到边缘分布。
二、边缘分布函数(,)(,),(,){,}.,{}{,}(,)(,).F x y X Y F x y P X x Y y y P X x P X x Y F x X Y X =≤≤→∞≤=≤<∞=∞定义 设为随机变量的分布函数则令称为随机变量关于的边缘分布函数()(,).X F x F x =∞记为 ,x →∞同理令()(,){,}{}Y F y F y P X Y y P Y y =∞=<∞≤=≤为随机变量 ( X ，Y )关于Y 的边缘分布函数。
在三维随机变量(,,)X Y Z 的联合分布函数(,,)F x y z 中，用类似的方法可得到更多的边缘分布函数。
例1 设二维随机变量(,)X Y 的联合分布函数为1,0,0,(,)0,x y x y xy e e e x y F x y λ-----⎧--+>>=⎨⎩其他这个分布被称为二维指数分布，求其边缘分布。
解 ：由联合分布函数(,)F x y 容易X Y 与的边缘分布函数1,0,()(,)0,x X e x F x F x -⎧->=∞=⎨⎩其他，1,0,()(,)0,y Y e y F x F y -⎧->=∞=⎨⎩其他注 X 与Y 的边缘分布都是一维指数分布，且与参数0λ>无关。
不同的0λ>对应不同的二维指数分布，但它们的两个边缘分布不变，这说明边缘分布不能唯一确定联合分布， 而由由联合分布可以确定边际分布。
【设计意图】：通过这个例子，让学生掌握边缘分布函数概念和解法，进一步理解边缘分布不能唯一确定联合分布，而由由联合分布可以确定边际分布。
因为1()(,).i X ijx x j F x F x p+∞≤==∞=∑∑所以有11(,){,},,1,2,.{},1,2,,{},1,2,,(1,2,)(1,2,)(,).i j ij i ij i j j ij j i i j X Y P X x Y y p i j p p P X x i p p P Y y j p i p j X Y X Y ∞•=∞•=••==============∑∑定义 设二维离散型随机变量的联合分布律为记分别称和为关于和关于的边缘分布律【设计意图】：由离散型随机变量的分布函数和分布律的关系进一步加深对边缘分布律的概念的理解。
例2 已知下列分布律求其边缘分布律解：【设计意图】：通过这个例子，让学生加深对边缘分布律的理解，再一次强调由联合分XY112421242124264201布可以确定边际分布；但由边际分布一般不能确定联合分布。
三、连续型随机变量的边缘分布(,),(,),()(,)[(,)d ]d ,()(,)d ,(,)xX X X Y f x y F x F x f x y y x f x f x y y X Y X ∞-∞-∞∞-∞=∞==⎰⎰⎰定义 对于连续型随机变量设它的概率密度为由于记称其为随机变量关于的边缘概率密度。
同理可得Y 的边缘分布函数()(,)(,)d d ,yY F y F y f x y x y +∞-∞-∞=∞=⎰⎰（）Y 关于的边缘概率密度：()(,)d .Y f y f x y x +∞-∞=⎰【设计意图】：通由分布函数和概率密度函数的关系，给出连续型随机变量的边缘概率密度。
26,,(,)0,.(),().X Y X Y x y x f x y f x f y ⎧≤≤=⎨⎩例3 设随机变量和具有联合概率密度其他求边缘概率密度解：()(,)d X f x f x y y +∞-∞=⎰，01,x ≤≤当时22()(,)d 6d 6().xX xf x f x y y y x x +∞-∞===-⎰⎰01,x x <>当或时()(,)d 0.X f x f x y y +∞-∞==⎰26(),01,()0,.X x x x f x ⎧-≤≤=⎨⎩因而得其他01,y ≤≤当时()(,)d ).Y yf y f x y x x y +∞-∞===⎰01,y y <>当或时()(,)d 0.Y f y f x y x +∞-∞==⎰),01,()0,.Y y y f y ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩得其他【设计意图】：通过这个例子，理解连续型随机变量的边缘概率密度的概念和计算方法。
.四、思考与提问：边缘分布均为正态分布的随机变量，其联合分布一定是二维正态分布吗?五、内容小结()(,)(,)d d .xX F x F x f x y y x +∞-∞-∞=∞=⎰⎰()(,)d X f x f x y y ∞-∞=⎰()(,)(,)d d yY F x F y f x y x y +∞-∞-∞=∞=⎰⎰，()(,)d Y f y f x y x +∞-∞=⎰由联合分布可以确定边际分布；但由边际分布一般不能确定联合分布。
六、课外作业：P85： 7 ， 8 ， 9， 10七、板书设计边缘分布一、问题引入（复习）定义1 设X 是一个随机变量， x 是任意实数，函数 )()()(+∞<<-∞≤=x x X P x F 称为X 的分布函数。
有时记作)(~x F X 或)(x F X 。
定义 2 一般，设离散型随机变量X 的分布律为(),1,2,.....k k P X x p k ===定义 3 如果对于随机变量X 的分布函数)(x F ，存在非负可积函数)(x f ，使得对于任意实数x 有 .)(}{)(⎰∞-=≤=xdt t f x X P x F则称X 为连续型随机变量， 称)(x f 为X 的概率密度函数，简称为概率密度或密度函数。
二、边缘分布函数(,)(,),(,){,}.,{}{,}(,)(,).F x y X Y F x y P X x Y y y P X x P X x Y F x X Y X =≤≤→∞≤=≤<∞=∞定义 设为随机变量的分布函数则令称为随机变量关于的边缘分布函数()(,).X F x F x =∞记为,x →∞同理令()(,){,}{}Y F y F y P X Y y P Y y =∞=<∞≤=≤为随机变量 ( X ，Y )关于Y 的边缘分布函数。
例1 设二维随机变量(,)X Y 的联合分布函数为1,0,0,(,)0,x y x y xy e e e x y F x y λ-----⎧--+>>=⎨⎩其他这个分布被称为二维指数分布，求其边缘分布。
11(,){,},,1,2,.{},1,2,,{},1,2,,(1,2,)(1,2,)(,).i j ij i ij i j j ij j i i j X Y P X x Y y p i j p p P X x i p p P Y y j p i p j X Y X Y ∞•=∞•=••==============∑∑定义 设二维离散型随机变量的联合分布律为记分别称和为关于和关于的边缘分布律例2 已知下列分布律求其边缘分布律三、连续型随机变量的边缘分布X Y112421242124264201(,),(,),()(,)[(,)d ]d ,()(,)d ,(,)xX X X Y f x y F x F x f x y y x f x f x y y X Y X ∞-∞-∞∞-∞=∞==⎰⎰⎰定义 对于连续型随机变量设它的概率密度为由于记称其为随机变量关于的边缘概率密度。
同理可得Y 的边缘分布函数()(,)(,)d d ,yY F y F y f x y x y +∞-∞-∞=∞=⎰⎰（）Y 关于的边缘概率密度：()(,)d .Y f y f x y x +∞-∞=⎰26,,(,)0,.(),().X Y X Y x y x f x y f x f y ⎧≤≤=⎨⎩例4 设随机变量和具有联合概率密度其他求边缘概率密度。