反函数的求导法则辨析

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高等数学 2-3反函数的导数、复合函数求导法则

已能求导的函数:可分解成基本初等函数,或常数与基本初等函数的和、差、积、商.
思考题
若在不可导，在可导，且，则在处（）．
（1）必可导；（2）必不可导；（3）不一定可导；
思考题解答
正确地选择是（3）
例：在处不可导，
取在处可导，
在处不可导，所以1错
在处可导，
在处可导，所以2错
证：
于是有
例1
解：
同理可得
例2
解：
特别地
二、复合函数的求导法则
定理
即：因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)
证：
推广：
例3
解：
例4
解：例5解：Fra bibliotek例6解：
例7
解：
三、小结
反函数的求导法则（注意成立条件）;
复合函数的求导法则（注意函数的复合过程,合理分解正确使用链导法）;
章节题目
第三节反函数的导数、复合函数求导法则
内容提要
反函数的求导法则
复合函数的求导法则
重点分析
复合函数的求导法则
难点分析
利用复合函数的求导法则时注意函数的复合过程、合理分解、正确使用链导法
抽象函数求导
习题布置
：1（单）、2（单）、3（单）、5
备注
教学内容
一、反函数的导数
定理
即反函数的导数等于直接函数导数的倒数.

第二节反函数与复合函数的导数(本科)

e x tan(e x )
13
例8 解：
求函数 y ( x 2 1)10 的导数 .
10( x 2 1)9 ( x 2 1) y
10( x 1) 2 x
2 9
20 x( x 1) .
2 9
14
例9 求函数 y ln x 1 ( x 2) 的导数. 3 x2 1 1 2 解： y ln( x 1) ln( x 2), 2 3 1 1 1 x 1 2 y 2x 2 2 x 1 3( x 2) x 1 3( x 2)
1. 常数和基本初等函数的导数公式
(C ) 0 (sin x ) cos x (tan x ) sec 2 x (sec x ) sec x tan x
( x ) x 1 (cos x ) sin x (cot x ) csc2 x (csc x ) csc x cot x
18
2. 函数的线性组合、积、商的求导法则
设u u( x ), v v( x ) 都可导, 则
( 1 ) ( u v ) u v , , R. ( 2) (u . v ) u v uv .
u u v uv ( 3) (v 0). 2 v v
6
二、复合函数的求导法则
复合函数 y f [ ( x)] 在 x0 处可导，且
链导法则
如果 u (x) 在 x0 处可导，而y f (u ) 在u0 ( x0 )点可导，则
dy dx
x x0
dy dy du f (u 0 ) ( x0 ) ，简记为 dx du dx 。

反函数的求导法则

dx
dx du dx
例例1130．ylncos(e x) 求 dy dx
解解 dy [ln cos(ex)] 1 [cos(ex)]
dx
cos(ex)
1 [sin(ex)](ex)ex tan(ex) cos(ex)
例例141．1
y
esin
1 x
求 dy
dx
解解
dy
(esin
1 x
)
esin 1x
(sin
1
)
esin
1 x
c
os
1
(
1
)
dx
x
xx
1 x2
esin
1 x
cos 1 x
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四、基本求导法则与导数公式
•基本初等函数的导数公式
(1) (C)0
(2) (xm)m xm1
(3) (sin x)cos x (4) (cos x)sin x (5) (tan x)sec2x (6) (cot x)csc2x (7) (sec x)sec xtan x
复合而成的
因因此此
ddyyddyydduu ccoossuu22((11xx22))((22xx))22 22((11xx22))ccooss 22xx
ddxx dduu ddxx
((11xx22))22 ((11xx22))22 11xx22
下页
复合函数的求导法则: dy f (u)g(x) 或 dy dy du
(16)
(arccotx) 1 1 x2
下页
四、基本求导法则与导数公式
•函数的和、差、积、商的求导法则
(1) (u v)u v (2) (Cu)Cu (C是常数)

大学高等数学 2-3反函数的导数复合函数求导法

d dy dx = y ( x( y )) = dx dx dy
例3 求函数 y = ln sin x 的导数 . 解
Q y = ln u, u = sin x .
dy dy du 1 cos x = cot x ∴ = ⋅ = ⋅ cos x = dx du dx u sin x
思考题不可导，可导，若 f (u ) 在 u0 不可导， u = g ( x ) 在 x 0 可导，且 u0 = g ( x 0 ) ，则 f [ g ( x )]在 x 0 处（）．
3
1 7、 8、 7、； 8、 . 2 2 (1 + x ) 2 x (1 − x ) 2 1 − x (arccos x ) 三、
π
f ( x ) f ′( x ) + g ( x ) g ′( x ) f ( x) + g ( x)
2 2
.
dy = 10( x 2 + 1) 9 ⋅ ( x 2 + 1)′ dx = 10( x 2 + 1) 9 ⋅ 2 x = 20 x ( x 2 + 1) 9 .
x 2 a2 x 2 a − x + arcsin 的导数 . 例5 求函数 y = 2 2 a ( a > 0) 2 x a x 解 y ′ = ( a 2 − x 2 )′ + ( arcsin )′
思考题不可导，可导，若 f (u ) 在 u0 不可导， u = g ( x ) 在 x 0 可导，且 u0 = g ( x 0 ) ，则 f [ g ( x )]在 x 0 处（）．
(1)必可导（ 2）必不可导；（ 3）不一定可导；必可导（必不可导；（不一定可导；

反函数的导数

练习题答案
2x 2、 3、一、1、8( 2 x + 5) ； 2、sin 2 x ； 3、； 4 1+ x x tan 2 x ln 10(tan 2 x + 2 x sec 2 2 x ) ； 4、 5、 4、− tan x ； 5、10 1 2 tan k x k −1 2 2 xf ′( x ) ； 7、e 6、 7、 6、 ⋅ k tan x ⋅ sec x , . 2 x 2 x cos 2 x − sin 2 x 2、二、1、 2 ； 2、； 2 2 x x x −1 1 4、； 4、csc x ； 3、 2 2 a +x x 2 arcsin e arctan x 2； 5、 6、 5、 6、； 2 2 x (1 + x ) 4− x
一、反函数的导数
定理如果函数x = ϕ( y)在某区间I y内单调、可导内单调、
且ϕ′( y) ≠ 0 , 那末它的反函数 y = f ( x)在对应区间 Ix内也可导, 且有 1 f ′( x) = . ϕ′( x)
反函数的导数等于直接函数导数的倒数. 即反函数的导数等于直接函数导数的倒数
思考题
不可导，可导，若 f (u ) 在 u0 不可导， u = g ( x ) 在 x 0 可导，且 u0 = g ( x0 ) ，则 f [ g ( x )]在 x0 处（）．（1）必可导；（2）必不可导；（3）不一定可导；）必可导；）必不可导；）不一定可导；
思考题解答
正确地选择是（）正确地选择是（3）例 f ( u) =| u | 在 u = 0 处不可导，处不可导，取 u = g ( x ) = sin x 在 x = 0 处可导，处可导，

反函数、复合函数的求导法则

类似地有：(arccos x) = 1 。
1 x2
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一、反函数的导数
如果函数x=j(y)在某区间Iy内单调、可导且j (y)0，
那么它的反函数y=f(x)在对应区间Ix内也可导，并且 f (x) = 1 。 j ( y)
例2．求(arctan x)及(arccot x)。
1 x2
1 x2
dy = dy du = cos u 2(1 x 2 ) (2x)2
dx du dx
(1 x 2 )2
2(1 x 2 )
=
cos
2x
。
(1 x 2 ) 2
1 x2
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复合函数的求导法则：
dy dx
=
dy du

du dx
2 反函数、复合函数的求导法则
一、反函数的导数基本初等函数的导数公式小结
二、复合函数的求导法则三、求导法则小结
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一、反函数的导数
如果函数x=j(y)在某区间Iy内单调、可导且j (y)0，
那么它的反函数y=f(x)在对应区间Ix内也可导，并且 f (x) = 1 。 j ( y)
dy dx
=
dy du

du dx
，或 y=yuux
。
例 7． y = 3 1 2x 2 ，求 dy 。 dx
解：
dy
= [(1
1
2x 2 ) 3 ]

二、反函数的求导法则

1 = 1 = 1 = 12. (tan y)′ sec2 y 1+ tan2 y 1+ x (arccot x)′=− 1 2 . 类似地有: 1+ x (arctanx)′ =
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三、复合函数的求导法则
定理3 如果u=g(x)在点x可导, 函数y且其导数为
(1) (C)′=0, (2) (xµ)′=µ xµ−1, (3) (sin x)′=cos x, (4) (cos x)′=−sin x, (5) (tan x)′=sec2x, (6) (cot x)′=−csc2x, (7) (sec x)′=sec x⋅tan x, (8) (csc x)′=−csc x⋅cot x, (9) (a x)′=a x ln a, (10) (e x)′=ex,
(11) (loga x)′= 1 , xln a (12) (ln x)′= 1 , x (13) (arcsinx)′= 1 , (arcsinx 1−x2 (14) (arccosx)′=− 1 , 1−x2 (15) (arctanx)′= 1 2 , 1+x (16) (arccotx)′=− 1 2 . 1+x
详细证明下页
复合函数的求导法则: dy = f ′(u)⋅ g′(x) 或 dy = dy ⋅ du . dx dx du dx
dy 例7 y =sin 2x2 , 求 . 10 1+ x dx
解
函数 y =sin
2x 2x 是由 y=sin u , u = 复合而成的, 2 2 1+ x 1+ x
sin1 例11 y =e x ．
dy , 求 . dx
1 dy sin1 sin 1)′=esin1 ⋅cos 1 ⋅(1)′ x 解 =(e x )′ =e x ⋅(sin x x dx x 1 ⋅esin1 ⋅cos 1 x =− 2 . x x

高中数学三角函数的反函数求导法则及应用

高中数学三角函数的反函数求导法则及应用一、引言在高中数学中，三角函数是一个重要的概念，而其反函数则是求导法则中的一个关键内容。

本文将详细介绍三角函数的反函数求导法则，并结合具体题目进行分析和说明，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和应用这一知识点。

二、三角函数的反函数求导法则三角函数的反函数求导法则是指，对于一个三角函数f(x)的反函数f^(-1)(x)，其导数可以通过f'(x)的倒数来表示。

具体而言，我们可以利用以下公式来求解：1. 对于正弦函数sin(x)的反函数arcsin(x)，其导数为：(arcsin(x))' = 1 / (sin'(arcsin(x))) = 1 / cos(arcsin(x)) = 1 / √(1 - x^2)2. 对于余弦函数cos(x)的反函数arccos(x)，其导数为：(arccos(x))' = 1 / (cos'(arccos(x))) = -1 / sin(arccos(x)) = -1 / √(1 - x^2)3. 对于正切函数tan(x)的反函数arctan(x)，其导数为：(arctan(x))' = 1 / (tan'(arctan(x))) = 1 / (1 + tan^2(arctan(x))) = 1 / (1 + x^2)三、应用举例下面通过具体的题目来说明三角函数的反函数求导法则的应用。

例题1：求函数y = arcsin(2x)在x = 1处的导数。

解析：根据反函数求导法则，我们知道(arcsin(2x))' = 1 / √(1 - (2x)^2)。

将x = 1代入，得到：y' = (arcsin(2x))'|x=1 = 1 / √(1 - (2*1)^2) = 1 / √(1 - 4) = 1 / √(-3) = 1 / (i√3) = -i / √3例题2：求函数y = arccos(3x)在x = 0处的导数。

高等数学第2章第三节反函数的导数复合函数的求导法则

记y1 f (sin2 x)
y2 g(cos 2 x)
以抽象形式给出的函数求导数
y1' f (sin2 x) sin2 x f '(sin2 x) 2sin x cos x
f (sin2 x) sin2x
y2 ' g(cos 2 x)( sin2x)
y ' f (sin2 x) sin2x g'(cos 2 x)( sin2x)
第三节反函数的导数
复合函数的求导法则
一、反函数求导法则
设：x ( y)单调连续并在点y可导，且'( y) 0 x ( y)的反函数y f ( x)在对应点x处可导，则
f '(x) 1
'( y)
或者记为dy 1 dx dx
dy
注意：1、这里反函数的记法，并不把自变量按习惯记作x.
2、反函数关系是相互的。
2
.
例6 ：y (2 x tan x)2 , 求y '
解： y ' 2(2x tan x) (2x tan x)' 2(2x tan x) (2 sec2 x)
例7 f ( x) sinnx cos n x (n R) 求f '( x).
解： f '( x) sinnx'cosn x sinnx (cosn x)'
du
dv v
dv
dw
1
cos w,
dw
dx
x2
dy dx
eu
1 v
cos w
1 x2
ln sin 1
ex
1 1
sin
cos
1 x
1
x2

反函数和复合函数的求导法则

二、反函数的导数法则定理1：设)(x f y =为)(y x ϕ=的反函数，若)(y ϕ在0y 的某邻域内连续，严格单调，且0)(0≠'y ϕ，则)(x f 在0x （即)(0y f 点有导数），且)(1)(00y x f ϕ'='。

证明：00000)()(1lim)()(lim )()(lim000y y y y y y y y x x x f x f y y y y x x --=--=--→→→ϕϕ )(1)()(l i m 10000y y y y y y y ϕϕϕ'=--=→所以 )(1)(00y x f ϕ'='。

注1：00y y x x →⇔→，因为)(y ϕ在0y 点附近连续，严格单调；2：若视0x 为任意，并用x 代替，使得)(1)(y x f ϕ'='或)(1dydx dx dy =，其中dydx dx dy ,均为整体记号，各代表不同的意义；3：)(x f '和)(y ϕ'的“′”均表示求导，但意义不同； 4：定理1即说：反函数的导数等于直接函数导数的倒数； 5：注意区别反函数的导数与商的导数公式。

【例1】求x y arcsin =的导数，解：由于]1,1[,arcsin -∈=x x y ，是]2,2[,sin ππ-∈=y y x 的反函数，由定理1得：2211sin 11cos 1)(sin 1)(arcsin xy y y x -=-=='='。

注1：同理可证：22211)tan (,11)(arctan ,11)(arccos xx arcc x x x x +-='+='--='；2：2tan arctan arccos arcsin π=+=+x arcc x x x 。

【例2】求x y a log =的导数)1,0(≠>a a 。

反函数、复合函数求导法则和基本求导公式

2. ( x ) x 1
3. (a x ) a xln a
4. (loga
x)
1 x lna
5. (sin x) cos x
(tan x) sec2x
(secx) secx tan x 6. (arcsin x) 1
1 x2
(arctan x )
1
1 x2
(e x ) e x
(ln x) 1 x
.
2、设 y sin2 x,则 y=
sin 2x
.
2x
3、设 y arctan(x 2 ),则 y= 1 x 4
.
4、设 y ln cos x ,则 y= tan x
.
10xtan2x ln 10
5、设 y 10x tan 2x ，则 y= (tan 2x 2x sec2 2x) .
课内练习
求下列函数的导数：
(1) y ln x ,
(3) y sin2( x cos x) (5) y ln(x x2 1)
(2)
y
x2 tan 2
x
x2 (4) y ( x2 2)3
x
(6) y 2 ln x .
(1) y ln x ,
ln x
ln x ln( x)
x 0, x 0.
dy
利用arcsin x arccos x 以及arctan x arc cot x ,
2
2
得
(arccos x) 1 1 x2
(arc cot
x)
1 1 x2
.
例：求函数 y a x (a 0,a 1)的导数.
解：y a x 的反函数是 x log a y (0 y ).

反函数,复合函数求导法则

解
y e
1 g x
1 g e x

1 g x
1 1 g x x

e
1 g x

g x
1 1 g 2 x x 1 g 1 x x e . 2
)]
9
例设f ( x )f ( x )] , f (4), [ f (4)] . 解
f ( x ) [log 2 x ]
[ f ( x )] [log 2 x ]
1 x ln 2
1 x ln 2
f (4) [ f ( x )] x 4

2 ,

2
)内单调、可导
,
且 (sin y ) cos y 0 , 在 I x ( 1 ,1 )内有
(arcsin x ) (arcsin x ) 1 (sin y ) 1 cos y

1 1 sin
1 1 x
2
2
y

1 1 x
2
.
同理可得 (arccos x )
( x 0 ), 又知 ( y ) 0
y x
lim 1 x y
lim f ( x ) x 0
1 dx dy
y 0

1
( y )

dy dx

1 dx dy
.
3
例求函数 y arcsin x 的导数 .
解 x sin y 在 I y (
(arctan x ) 1 1 x
2
;

《反函数的求导法则》课件

求导过程中的符号问题
符号确定
在求反函数的导数时，需要注意符号的使用，特别是在复合函数中，内外函数的符号可能会有所不同，需要根据具体情况进行判断。
符号转换
在求导过程中，需要注意符号的转换，特别是对于负号和正号的使用，需要根据导数的定义和性质进行转换。
求导过程中的变量替换问题
变量替换
在求反函数的导数时，需要进行变量替换，将自变量和因变量进行互换，并注意替换后的符号变化。
稳定性。
THANK YOU
反函数的求导公式
反函数的导数公式
如果函数$y = f(x)$在区间$I$上可导，则其反函数$x = f^{-1}(y)$在相应区间$J$上也可导，且$f^{-1}(y)' = frac{1}{f'(x)}$。
公式推导
根据链式法则和反函数的定义，我们可以推导出反函数的求导公式。设$(x, y)$是函数 $f(x)$上的点，则$(y, x)$是反函数$f^{-1}(y)$上的点，且$f'(x) = frac{Delta y}{Delta
隐函数的反函数求导
总结词
介绍隐函数反函数求导的方法和注意事项。
详细描述
选取一些常见的隐函数，如 $y^2 = x$ 或 $xy = e^x$ ，演示如何求这些隐函数的反函数的导数。强调在求导过程中需要注意的细节和技巧，如消去中间变量、处理等式两边同时对x求导等。
04
反函数求导法则的注意事项
反函数求导法则在实践中的应用
数学建模
在数学建模中，反函数求导法则可用于解决各种实际问题，如最优控制、供应链优化等。通过建立数学模型并运用反函数求导法则，可以找到最优解或近似最优解，为实际问
题的解决提供指导。

反函数求导有什么法则？

反函数求导有什么法则？
反函数求导过程中应该遵循什么法则呢？想知道的考生看过来，下面由小编为你精心准备了“反函数求导有什么法则？”，持续关注本站将可以持续获取更多的考试资讯!
反函数求导有什么法则？
反三角函数的求导过程:利用dy/dx=1/(dx/dy)，然后进行相应的换元。

一、反函数求导方法
若F(X),G(X)互为反函数，
则:F'(X)*G'(X)=1
E.G.:y=arcsinx x=siny
y'*x'=1 (arcsinx)'*(siny)'=1
y'=1/(siny)'=1/(cosy)=1/根号(1-sin^2y)=1/根号(1-x^2)
其余依此类推。

二、反三角函数
反三角函数是一种基本初等函数。

它是反正弦arcsinx，反余弦arccosx，反正切arctanx，反余切arccotx，反正割arcsecx，反余割arccscx这些函数的统称，各自表示其反正弦、反余弦、反正切、反余切，反正割，反余割为x的角。

三角函数的反函数是个多值函数，因为它并不满足一个自变量对应一个函数值的要求，其图像与其原函数关于函数y=x对称。

欧拉提出反三角函数的概念，并且首先使用了“arc+函数名”的形式表示反三角函数。

反三角函数的图像与性质。

二反函数的求导法则

二反函数的求导法则
反函数的求导法则是指，如果f（x）是可导函数，y=f（x）的反函数f^−1（x）也是可导函数，那么f^−1（x）的导数可以表示为：$$\frac{d}{dx}f^-1(x)=\frac{1}{\frac{dy}{dx}}$$
即，当f（x）的斜率可以求得时，可以得出反函数的斜率，也就是取得反函数的导数。

反函数的求导法则又称“反函数公式”，它是利用求反函数的导数，而证明：如果f(x)是可导函数，其反函数（y=f^-1(x)）的导数可以表示为$$\frac{d}{dx}f^-1(x)=\frac{1}{\frac{dy}{dx}}$$
反函数的求导法则是在微积分教学中极为重要的定理，它可以用来计算反函数的导数，在微积分中有着重要的应用。

它的应用，可用来求解函数导数的倒数。

举例子来说，若求函数
y=sin x的反函数的导数，则可以用反函数公式完成：
由此，可以得出如下结论：y=sin x的反函数的导数为：
$$\frac{d}{dx}sin^{-1} x= \frac{1}{cos x}$$
反函数的求导法则也可以在确定函数图像时使用，而函数图像的绘制有助于理解函数的性质。

反函数的求导法则也可以用来求解闭合形式的几何函数，从而求解曲线问题。

在几何中，可以使用反函数的求导法则来求解曲线的参数方程。

比如，若求圆的参数方程，可以用反函数的求导法则解决：
$$y=sin x+cos x 的反函数$$
$$ y=sin^{-1}x - cos^{-1}x $$。

高考数学中的微积分知识点之反函数求导法

高考数学中的微积分知识点之反函数求导法微积分是数学的重要分支之一，不仅是大学数学的重要组成部分，还是高中数学中不可或缺的一部分。

在高考数学中，微积分的考察内容占据了很大的比重，掌握微积分知识对于学生来说至关重要。

其中，反函数求导法是微积分中的一个重要概念，本文将对其进行详细的介绍。

一、反函数概念反函数是指一个函数的输入和输出互换的函数。

具体来说，如果函数$f$的定义域为$X$，值域为$Y$，那么我们可以定义一个新函数$g$，它的定义域为$Y$，值域为$X$，并且对于任意的$x\inX$和$y\in Y$，有以下关系式成立：$y=f(x)\Leftrightarrow x=g(y)$。

这样的$g(y)$称为$f(x)$的反函数。

二、反函数求导法在微积分中，反函数求导法是一种通过已知函数的导数来求其反函数的导数的方法。

假设已知函数$f(x)$在$x_0$处连续可导，并且$y_0=f(x_0)$，则$f(x)$在$x_0$处有切线，其斜率为：$$k=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$由于$y_0$是$f(x)$在$x_0$处的函数值，因此$$y_0=f(x_0)\Leftrightarrow x_0=g(y_0)$$同时，$g(y)$是$f(x)$的反函数，因此$$g'(y_0)=\frac{1}{f'(x_0)}$$因此，$f(x)$的反函数$g(y)$在$y_0=f(x_0)$处的导数为$\displaystyle{g'(y_0)=\frac{1}{f'(x_0)}}$。

这就是反函数求导法的基本原理。

三、应用举例下面我们通过例题来说明反函数求导法的具体应用。

已知函数$f(x)=\sin x+\cos x$，求其反函数$f^{-1}(x)$在$x=\sqrt{2}$处的导数。

反函数导数公式推导

反函数导数公式推导
我们要推导反函数的导数公式。

首先，我们需要理解什么是反函数。

假设函数 y = f(x) 的反函数是 x = g(y)。

这意味着，对于每一个 x 值，我们可以通过函数 f 找到一个对应的 y 值，反之亦然。

为了找到反函数的导数，我们可以使用链式法则。

链式法则告诉我们：(uv)' = u'v + uv'
在这里，u 是 x 关于 y 的函数，u' 是它的导数。

v 是 y 关于 x 的函数，v' 是它的导数。

因为反函数是 x = g(y)，所以 u = g(y) 和 v = y。

所以，u' = g'(y) 和 v' = 1（因为 y 是自变量）。

将这些值代入链式法则中，我们得到：
(g(y))' = g'(y) × 1 = g'(y)
这意味着反函数的导数是 g'(y)。

所以，反函数的导数公式是：g'(y)。