2020届高三数学(文)一轮复习课时跟踪训练：第八章 立体几何 课时跟踪训练43 Word版含解析.doc

课时跟踪训练(四十三)

[基础巩固]

一、选择题

1．若平面α∥平面β，直线a∥平面α，点B∈β，则在平面β内且过B点的所有直线中()

A．不一定存在与a平行的直线

B．只有两条与a平行的直线

C．存在无数条与a平行的直线

D．存在唯一与a平行的直线

[解析]当直线a在平面β内且经过B点时，可使a∥平面α，但这时在平面β内过B点的所有直线中，不存在与a平行的直线，而在其他情况下，都可以存在与a平行的直线，故选A.

[答案] A

2．(2017·湖南长郡中学质检)如图所示的三棱柱ABC－A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于DE，则DE与AB的位置关系是()

A．异面B．平行

C．相交D．以上均有可能

[解析]在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB∥A1B1，∵AB⊂平面ABC，A1B1⊄平面ABC，∴A1B1∥平面ABC，∵过A1B1的平面与平面ABC

交于DE.∴DE∥A1B1，∴DE∥AB.

[答案] B

3．(2016·吉林长春二中模拟)在空间中，设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，且m⊂α，n⊂β，则下列命题正确的是() A．若m∥n，则α∥β

B．若m，n异面，则α∥β

C．若m，n相交，则α，β相交

D．若m⊥n，则α⊥β

[解析]若m∥n，则α与β平行或相交，故A错误；若m，n 异面，则α，β平行或相交，故B错误；若m，n相交，则α，β一定有公共点，即相交，故C正确；若m⊥n，则α与β可以平行、相交，故D错误．

[答案] C

4．设a，b是两条直线，α，β是两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是()

A．存在一条直线a，a∥α，a∥β

B．存在一条直线a，a⊂α，a∥β

C．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α

D．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α

[解析]对于A，两个平面还可以相交，若α∥β，则存在一条直线a，a∥α，a∥β，所以A是α∥β的一个必要条件；同理，B也是α∥β的一个必要条件；易知C不是α∥β的一个充分条件，而是一个必要条件；对于D，可以通过平移把两条异面直线平移到一个平面中，成为相交直线，则有α∥β，所以D是α∥β的一个充分条件．[答案] D

5．(2017·全国卷Ⅰ)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是()

[解析]解法一：对于选项B，如图所示，连接CD，因为AB∥CD，M，Q分别是所在棱的中点，所以MQ∥CD，所以AB∥MQ，又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，所以AB∥平面MNQ.同理可证选项C，D中均有AB∥平面MNQ.故选A.

解法二：对于选项A，设正方体的底面对角线的交点为O(如图所示)，连接OQ，则OQ∥AB，因为OQ与平面MNQ有交点，所以

AB 与平面MNQ 有交点，即AB 与平面MNQ 不平行，故选A.

[答案] A

6．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别

为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝2a 3，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置

关系是( )

A ．相交

B ．平行

C ．垂直

D ．不能确定

[解析] 连接CD 1、AD 1，在CD 1上取点P ，使D 1P ＝2a 3，连接

MP 、NP ，∴MP ∥BC ，PN ∥AD 1∥BC 1，∴MP ∥平面BB 1C 1C ，PN ∥平面BB 1C 1C ，∴平面MNP ∥平面BB 1C 1C ，∴MN ∥平面BB 1C 1C .

[答案] B

二、填空题

7．(2017·广东顺德质检)如图所示，四棱锥P －ABCD 的底面是一直角梯形，AB ∥CD ，BA ⊥AD ，CD ＝2AB ，P A ⊥底面ABCD ，E 为PC 的中点，则BE 与平面P AD 的位置关系为________．

[解析] 取PD 的中点F ，连接EF 、AF ，

在△PCD 中，EF 綊12CD .

又∵AB ∥CD 且CD ＝2AB ，∴EF 綊AB ，

∴四边形ABEF 是平行四边形，∴EB ∥AF .

又∵EB ⊄平面P AD ，AF ⊂平面P AD ，∴BE ∥平面P AD .

[答案] 平行

8．棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是棱AA 1的中点，过C ，M ，D 1作正方体的截面，则截面的面积是________．

[解析] 由面面平行的性质知截面与面AB 1的交线MN 是△AA 1B

的中位线，所以截面是梯形CD 1MN ，易求其面积为92.

[答案] 92

9．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点P 是面AA 1D 1D 的中心，点Q 是B 1D 1上一点，且PQ ∥面AB 1，则线段PQ 长为__________．

[解析] 连接AB 1、AD 1，

∵点P 是平面AA 1D 1D 的中心，

∴点P 是AD 1的中点，

∵PQ ∥平面AB 1，

PQ ⊂平面D 1AB 1，

平面D 1AB 1∩平面AB 1＝AB 1，

∴PQ ∥AB 1，

∴PQ ＝12AB 1＝22.

[答案] 22

三、解答题

10．(2017·浙江卷改编)如图，已知四棱锥P －ABCD ，△P AD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，BC ∥AD ，AD ＝2CB ，E 为PD 的中点．证明：CE ∥平面P AB .

[证明] 如图，设P A 中点为F ，连接EF ，FB .因为E ，F 分别为

PD ，P A 中点，所以EF ∥AD 且EF ＝12AD ，

又因为BC ∥AD ，BC ＝12AD ，所以EF ∥BC 且EF ＝BC ，

即四边形BCEF 为平行四边形，所以CE ∥BF ，因为CE ⊄平面P AB ，BF ⊂平面P AB ，因此CE ∥平面P AB .

[能力提升]