“小题狂做”之数学方法篇

2017年中考数学专题复习四
“小题狂做”之计算能力提升篇
班级：姓名：
一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）
1．一种面粉的质量标识为“25±0.25千克”，则下列面粉中合格的是（）
A．24.70千克B．25.30千克C．24.80千克D．25.51千克
2．2017的相反数是（）A．2017 B．﹣2017 C．D．﹣
3．下列各式中，是3x2y的同类项的是（）
A．3a2b B．﹣2xy2C．x2y D．3xy
4．下列运算正确的是（）
A．2a+3b=5ab B．a2•a3=a5C．（2a）3=6a3D．a6+a3=a9
5．下列二次根式中，最简二次根式的是（）
A．B．C．D．
6．一名老师带领x名学生到动物园参观，已知成人票每张30元，学生票每张10元．设门票的总费用为y元，则y与x的函数关系为（）
A．y=10x+30 B．y=40x C．y=10+30x D．y=20x
二．填空题（共12小题，满分36分，每小题3分）
7．的算术平方根是．8．请你写出一个无理数．
9．若a2﹣b2=，a﹣b=，则a+b的值为．
10．计算：3a2b3•2a2b=．11．因式分解：x2﹣3x=．
12．计算：﹣=．13．绝对值等于7的数是．
14．二次根式中字母x的取值范围是．
15．计算：（a+2b）（a﹣2b）=．
16．双曲线y=在每个象限内，函数值y随x的增大而增大，则m的取值范围是．
17．已知点M（1，a）和点N（2，b）是一次函数y=﹣2x+1图象上的两点，则a与b的大小关系是．
18．多项式x2+1添加一个单项式后可变为完全平方式，则添加的单项式可以是（任写一个符合条件的即可）．
三．解答题（共10小题，满分96分）
19．（8分）计算：．
20．（16分）计算：
（1）2a（a﹣b）﹣（a﹣b）2；（2）（1+）÷．
21．（8分）请你先化简，再从﹣2，2，中选择一个合适的数代入求值．
22．（8分）先化简，再求值：÷（1+），其中x=tan45°．
23．（8分）计算：（+）×．24．（8分）化简：（1+）÷．25．（8分）计算：×（﹣）+|﹣2|+（）﹣3．
26．（10分）已知：x=1﹣，y=1+，求x2+y2﹣xy﹣2x+2y的值．
27．（10分）解不等式组：．
28．（12分）关于x的一元二次方程x2+2x+2m=0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若x1，x2是一元二次方程x2+2x+2m=0的两个根，且x12+x22=8，求m的值．
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）
1．（3分）（2017•乐安县校级模拟）一种面粉的质量标识为“25±0.25千克”，则下列面粉中合格的是（）
A．24.70千克B．25.30千克C．24.80千克D．25.51千克
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
【解答】解：“25±0.25千克”表示合格范围在25上下0.25的范围内的是合格品，即24.75到25.25之间的合格，
故只有24.80千克合格．
故选：C．
【点评】此题考查正负数在实际生活中的应用，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．
2．（3分）（2017•冷水滩区二模）2017的相反数是（）
A．2017 B．﹣2017 C．D．﹣
【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，求解即可．
【解答】解：2017的相反数是﹣2017，
故选：B．
【点评】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
3．（3分）（2017•无锡一模）下列各式中，是3x2y的同类项的是（）
A．3a2b B．﹣2xy2C．x2y D．3xy
【分析】根据同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，可得答案．注意同类项与字母的顺序无关，与系数无关．
【解答】解：A、字母不同不是同类项，故A不符合题意；
B、相同字母的指数不同不是同类项，故B不符合题意；
C、3x2y的同类项的是x2y，
D、相同字母的指数不同不是同类项，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查同类项的定义，同类项定义中的两个“相同”：所含字母相同；相同字母的指数相同，是易混点，还有注意同类项定义中隐含的两个“无关”：①与字母的顺序无关；
②与系数无关．
4．（3分）（2017•宝应县一模）下列运算正确的是（）
A．2a+3b=5ab B．a2•a3=a5C．（2a）3=6a3D．a6+a3=a9
【分析】根据合并同类项、同底数幂相乘、积的乘方法则计算后判断即可．
【解答】解：A、2a 与5b不是同类项不能合并，故本项错误；
B、a2•a3=a5，正确；
C、（2a）3=8a3，故本项错误；
D、a6与a3不是同类项不能合并，故本项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了合并同类项、同底数幂相乘、积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．
5．（3分）（2014•南平）一名老师带领x名学生到动物园参观，已知成人票每张30元，学生票每张10元．设门票的总费用为y元，则y与x的函数关系为（）
A．y=10x+30 B．y=40x C．y=10+30x D．y=20x
【分析】根据师生的总费用，可得函数关系式．
【解答】解：一名老师带领x名学生到动物园参观，已知成人票每张30元，学生票每张10元．设门票的总费用为y元，则y与x的函数关系为y=10x+30，
故选：A．
【点评】本题考查了函数关系式，师生的总费用的等量关系是解题关键．
6．（3分）（2017•杭州一模）下列二次根式中，最简二次根式的是（）
A．B．C．D．
【分析】最简二次根式满足：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
【解答】解：A、中被开方数是分数，故不是最简二次根式；
B、中被开方数是分数，故不是最简二次根式；
C、中被开方数不含分母，不含能开得尽方的因数，故是最简二次根式；
D、中含能开得尽方的因数，故不是最简二次根式；
故选：C
【点评】本题主要考查了最简二次根式的定义，判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查被开方数不含分母，也不含能开的尽方的因数或因式，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
二．填空题（共12小题，满分36分，每小题3分）
7．（3分）（2016•黄冈）的算术平方根是．
【分析】算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根，由此即可求出结果．
【解答】解：∵的平方为，
∴的算术平方根为．
故答案为．
【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误．
8．（2014•南平）请你写出一个无理数π．
【分析】①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，由此可写出答案．
【解答】解：由题意可得，π是无理数．
故答案可为：π．
【点评】此题考查了无理数的定义，关键是掌握无理数的三种形式，①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，比较简单．
9．（2013•枣庄）若a2﹣b2=，a﹣b=，则a+b的值为．
【分析】已知第一个等式左边利用平方差公式化简，将a﹣b的值代入即可求出a+b的值．【解答】解：∵a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）=，a﹣b=，
∴a+b=．
故答案为：．
【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
10．（3分）（2014•山西）计算：3a2b3•2a2b=6a4b4．
【分析】根据单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式，计算即可．
【解答】解：3a2b3•2a2b
=（3×2）×（a2•a2）（b3•b）
=6a4b4．
故答案为：6a4b4．
【点评】此题考查了单项式乘以单项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
11．（3分）（2016•大连）因式分解：x2﹣3x=x（x﹣3）．
【分析】确定公因式是x，然后提取公因式即可．
【解答】解：x2﹣3x=x（x﹣3）．
故答案为：x（x﹣3）
【点评】本题考查因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．一般来说，如果可以提取公因式的要先提取公因式，再看剩下的因式是否还能分解．
12．（3分）（2016•衡阳）计算：﹣=1．
【分析】由于两分式的分母相同，分子不同，故根据同分母的分式相加减的法则进行计算即可．
【解答】解：原式=
=1．
故答案为：1．
【点评】本题考查的是分式的加减法，即同分母的分式想加减，分母不变，把分子相加减．
13．（3分）（2015秋•周宁县期中）绝对值等于7的数是±7．
【分析】绝对值的几何意义：在数轴上，一个数到原点的距离叫做该数的绝对值．到原点的距离是7个单位长度的点有两个，这两个点表示的数是±7．
【解答】解：绝对值等于7的数是±7．
故本题的答案是±7．
【点评】本题主要考查的是绝对值的几何意义．是需要识记的内容．
14．（3分）（2016•舟山）二次根式中字母x的取值范围是x≥1．
【分析】二次根式有意义的条件就是被开方数是非负数，即可求解．
【解答】解：根据题意得：x﹣1≥0，
解得x≥1．
故答案为：x≥1．
【点评】主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
15．（3分）（2016•马山县二模）计算：（a+2b）（a﹣2b）=a2﹣4b2．
【分析】找出相同项和相反项，再用平方差公式计算即可．
【解答】解：（a+2b）（a﹣2b）
=a2﹣4b2．
故答案为：a2﹣4b2．
【点评】本题考查了平方差公式，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．
16．（3分）（2016•兰州）双曲线y=在每个象限内，函数值y随x的增大而增大，则
m的取值范围是m＜1．
【分析】根据反比例函数的单调性结合反比例函数的性质，可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．
【解答】解：∵双曲线y=在每个象限内，函数值y随x的增大而增大，
∴m﹣1＜0，
解得：m＜1．
故答案为：m＜1．
【点评】本题考查了反比例函数的性质以及解一元一次不等式，解题的关键是找出关于m 的一元一次不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据反比例函数的
单调性结合反比例函数的性质找出反比例系数k的取值范围是关键．
17．（3分）（2016•贵阳）已知点M（1，a）和点N（2，b）是一次函数y=﹣2x+1图象上的两点，则a与b的大小关系是a＞b．
【分析】根据一次函数的一次项系数结合一次函数的性质，即可得出该一次函数的单调性，由此即可得出结论．
【解答】解：∵一次函数y=﹣2x+1中k=﹣2，
∴该函数中y随着x的增大而减小，
∵1＜2，
∴a＞b．
故答案为：a＞b．
【点评】本题考查了一次函数的性质，解题的关键是找出该一次函数单调递减．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据一次函数的解析式结合一次函数的性质，找出该函数的单调性是关键．
18．（3分）（2016•湘潭）多项式x2+1添加一个单项式后可变为完全平方式，则添加的单项式可以是2x（任写一个符合条件的即可）．
【分析】根据a2±2ab+b2=（a±b）2，判断出添加的单项式可以是哪个即可．
【解答】解：∵x2+1+2x=（x+1）2，
∴添加的单项式可以是2x．
故答案为：2x．
【点评】此题主要考查了完全平方式的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：a2±2ab+b2=（a±b）2．
三．解答题（共10小题，满分96分）
19．（8分）（2016•厦门）计算：．
【分析】原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可得到结果．
【解答】解：原式=10+8×﹣2×5=10+2﹣10=2．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．（16分）（2017•沙坪坝区一模）计算：
（1）2a（a﹣b）﹣（a﹣b）2；
（2）（1+）÷．
【分析】（1）根据整式的运算法则即可求出答案．
（2）根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：（1）原式=2a2﹣2ab﹣（a2﹣2ab+b2）
=a2﹣b2
（2）原式=×
=a+2
【点评】本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．21．（8分）（2017•张家港市一模）请你先化简，再从﹣2，2，中
选择一个合适的数代入求值．
【分析】此题只需先进行分式运算得到最简结果，再挑选出一个使分式有意义的值代入求得结果即可．
【解答】解：
=
=
=；
为使分式有意义，a不能取±2；
当a=时，原式==．
【点评】本题考查了分式的化简求值．注意：取喜爱的数代入求值时，要特注意原式及化简过程中的每一步都有意义．
22．（8分）（2016•黑龙江）先化简，再求值：÷（1+），其中x=tan45°．
【分析】先将原式和x进行化简，然后将x的值代入即可求出答案．
【解答】解：当x=tan45°=1时，
∴原式=÷
=×
=
=1
【点评】本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
23．（8分）（2015•淄博）计算：（+）×．
【分析】首先应用乘法分配律，可得（+）×=×+×；然后根据二次根式的混合运算顺序，先计算乘法，再计算加法，求出算式（+）×的值是多少即可．
【解答】解：（+）×
=×+×
=1+9
=10
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式”．
24．（8分）（2015•陕西）计算：×（﹣）+|﹣2|+（）﹣3．
【分析】根据二次根式的乘法法则和负整数整数幂的意义得到原式=﹣+2+8，然后化简后合并即可．
【解答】解：原式=﹣+2+8
=﹣3+2+8
=8﹣．
【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了负整数整数幂、
25．（8分）（2016•资阳）化简：（1+）÷．
【分析】首先把括号内的式子通分相加，把除法转化为乘法，然后进行乘法运算即可．【解答】解：原式=÷
=•
=a﹣1．
【点评】本题主要考查分式的混合运算，通分、因式分解和约分是解答的关键．
26．（10分）（2014•襄阳）已知：x=1﹣，y=1+，求x2+y2﹣xy﹣2x+2y的值．
【分析】根据x、y的值，先求出x﹣y和xy，再化简原式，代入求值即可．
【解答】解：∵x=1﹣，y=1+，
∴x﹣y=（1﹣）﹣（1+）=﹣2，
xy=（1﹣）（1+）=﹣1，
∴x2+y2﹣xy﹣2x+2y=（x﹣y）2﹣2（x﹣y）+xy
=（﹣2）2﹣2×（﹣2）+（﹣1）
=7+4．
【点评】本题考查了二次根式的化简以及因式分解的应用，要熟练掌握平方差公式和完全平方公式．
27．（10分）（2016•莆田）解不等式组：．
【分析】先解不等式组中的每一个不等式，再求出它们的公共解即可．
【解答】解：．
由①得x≤1；
由②得x＜4；
所以原不等式组的解集为：x≤1．
【点评】考查了一元一次不等式解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
28．（12分）（2016•绥化）关于x的一元二次方程x2+2x+2m=0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；
（2）若x1，x2是一元二次方程x2+2x+2m=0的两个根，且x12+x22=8，求m的值．
【分析】（1）根据方程根的个数结合根的判别式，可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论；
（2）根据方程的解析式结合根与系数的关系找出x1+x2=﹣2，x1•x2=2m，再结合完全平方公式可得出x12+x22=﹣2x1•x2，代入数据即可得出关于关于m的一元一次方程，
解方程即可求出m的值，经验值m=﹣1符合题意，此题得解．
【解答】解：（1）∵一元二次方程x2+2x+2m=0有两个不相等的实数根，
∴△=22﹣4×1×2m=4﹣8m＞0，
解得：m＜．
∴m的取值范围为m ＜．
（2）∵x1，x2是一元二次方程x2+2x+2m=0的两个根，
∴x1+x2=﹣2，x1•x2=2m，
∴x12+x22=﹣2x1•x2=4﹣4m=8，
解得：m=﹣1．
当m=﹣1时，△=4﹣8m=12＞0．
∴m的值为﹣1．
【点评】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、解一元一次不等式以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）结合题意得出4﹣8m＞0；（2）结合题意得出4﹣4m=8．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据方程根的个数结合根的判别式得出不等式是关键．
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