《函数(第二课时)》教案

2.1.1 函数（第二课时）

映射与函数

知识与技能：

（1）了解映射的概念及表示方法；

（2）结合简单的对应图表，理解一一映射的概念．

过程与方法：

（1）函数推广为映射，只是把函数中的两个数集推广为两个任意的集合；

（2）通过实例进一步理解映射的概念；

（3）会利用映射的概念来判断“对应关系”是否是映射，一一映射．

情态与价值：

映射在近代数学中是一个极其重要的概念，是进一步学习各类映射的基础．教学目标

（1）了解映射的概念及表示方法

（2）了解象与原象的概念，会判断一些简单的对应是否是映射，会求象或原象.

（3）会结合简单的图示，了解一一映射的概念

(4) 会用集合与对应的语言刻画函数；会求一些简单函数的定义域和值域，初步掌握换元法的简单运用.

(5) 能正确认识和使用函数的三种表示法：解析法，列表法和图像法．了解每种方法的优点．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；

(6) 求简单分段函数的解析式；了解分段函数及其简单应用．

教学重难点

（1）对映射、函数概念的理解、函数概念的理解。

（2）函数关系的三种表示方法．分段函数解析式的求法．

教学过程

一、创设情景，揭示课题

问题情境：每个学生都有一个学号，这样管理比较方便；同学们在中考中，每一个人都有唯一的考号，也就是说在现实生活中，不仅是数集之间存在着某种对应关系，很多集合之间也存在着某种对应关系，为了研究集合之间的对应关系，

我们引入映射的概念（板书课题）．

二、复习提问、研探新知

提问：函数的概念

教师：我们已经知道，函数是建立在两个非空数集间的一种特殊的对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，这种对应就叫映射．学生：分组讨论、归纳映射的概念。

（一）映射的定义：

映射定义：设A,B是两个非空

．．的集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中

的任何一个

．．．．元素，在集合B中都有唯一

．．元素与之对应，这样的对应叫做从集合A 到．集合B的映射，记作：B

:(注：A中元素必须取完，B中元素可以取完，

f→

A

也可以不取完，这种对应可以是一对一，也可以是多对一，但不能是一对多;注意关键词)在映射B

:中，集合A叫做映射的定义域，与A中元素x对应

f→

A

的B中元素y叫x的象，记作：)

f

y=，x叫做y的原象。

(x

补充：映射有“三性”：

①“有序性”：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射；

②“存在性”：对于集合A中的任何一个元素，集合B中都存在元素和它对应；

③“唯一性”：对于集合A中的任何一个元素，在集合B中和它对应的元素是唯一的.

（二）函数的概念：

1．函数的定义

设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B 为从集合A到集合B的一个函数.记作：y=f(x)，x A．

其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x A}叫做函数的值域.

2. 映射与函数的关系

函数是映射，但映射不一定是函数。由映射的概念可知，函数本质上是定义

在两个非空数集上的一类特殊的映射：当A 、B 是两个非空数集，那么A 到B 的映射f ：A →B 就叫做A 到B 的函数，并记作y =f (x )，其中x ∈A ，y ∈B ．原象的集合A 叫做函数的定义域，象的集合C 叫做函数的值域，显然C ⊆B ． 三、质疑答辩，排难解惑，发展思维 独立完成课本P34，例4、5、6三题。

例1．下列哪些对应是从集合A 到集合B 的映射？

（1）A={|P P 是数轴上的点}，B=R ，对应关系f ：数轴上的点与它所代表的实数对应；

（2）A={|P P 是平面直角坐标中的点}，}{(,)|,,B x y x R y R =∈∈对应关系

f ：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；

（3）A={三角形}，B={|},x x 是圆对应关系f ：每一个三角形都对应它的内切圆；

（4）A={|x x 是良乡附中的班级}， B={|x x 是良乡附中的学生}，对应关系

f ：每一个班级都对应班里的学生．

思考：将（3）中的对应关系f 改为：每一个圆都对应它的内接三角形；（4）中的对应关系f 改为：每一个学生都对应他的班级，那么对应f ：B→A 是从集合B 到集合A 的映射吗？

例2．在下图中，图（1），（2），（3），（4）用箭头所标明的A 中元素与B 中元素的对应法则，是不是映射？是不是函数关系？

（1） （2） A 求平方 B A 乘以2 B

（3）

四、巩固深化，反馈矫正

1．画图表示集合A 到集合B 的对应（集合A ，B 各取4个元素） 已知：（1）}}{{

1,2,3,4,2,4,6,8A B ==，对应法则是“乘以2”； （2）A={|x x ＞}0，B=R ，对应法则是“求算术平方根”； （3）{}|0,A x x B R =≠=，对应法则是“求倒数”；

（4）{0|0A α=∠＜}}{090,|1,B x x α∠≤=≤对应法则是“求余弦”． 2．在下图中的映射中，A 中元素600的象是什么？B 中元素2

的原象是什么？

A 求正弦 B

五、归纳小结