定积分的计算方法

定积分的计算方法之马矢奏春创作

摘要

定积分是积分学中的一个基本问题，计算方法有很多，经

常使用的计算方法有四种：（1）定义法、（2）牛顿—莱布尼

茨公式、（3）定积分的分部积分法、（4）定积分的换元积分法。以及其他特殊方法和技巧。本论文通过经典例题分析探讨

定积分计算方法，并在系统总结中简化计算方法！并注重在解

题中用的方法和技巧。

关键字：定积分，定义法，莱布尼茨公式，换元法

Calculation method of definite integral

Abstract

the integral is the integral calculus is a fundamental problem, its calculation method is a lot of,

(1)definition method, (2)Newton - Leibniz formula,

(3)integral subsection integral method, (4) substitute method.This paper, by classic examples definite integral analysis method, and in the system of simplified, summarized the approximate calculation method! And pay attention to problem in using the methods and skills.

Key words:definite integral ,definition method, Newton - Leibniz, substitute method

目录

目录 (3)

1绪论 (4)

(4)

(5)

2 经常使用计算方法 (6)

(6)

(7)

(8)

(9)

3 简化计算方法 .............................. 错误!未定义书签。

......................................... 错误!未定义书签。

......................................... 错误!未定义书签。4总结. (10)

致谢 (11)

参考文献 (11)

1绪论

定积分的定义

定积分就是求函数f(X)在区间[a,b]中图线下包抄的面积，如图。即由 y=0,x=a,x=b,y=f(X)所围成图形的面积[1]。这个图形称为曲边梯形，特例是曲边三角形。

设函数f(x) 在区间[a,b]上连续，将区间[a,b]分成n个子区间[x0,x1], (x1,x2], (x2,x3], …, (x n-1,x n]，其中x0=a，x n=b。可知各区间的长度依次是：△x1=x1-x0, △x2=x2-x1, …, △x n=x n-x n-1。在每个子区间(x i-1,x i]中任取一点ξi（1,2,...,n），作和式设λ=max{△x1, △x2, …, △x n}（即λ是最大的区间长度），则当λ→0时，该和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x) 在区间[a,b]的定积分[2]，记为

其中：a叫做积分下限，b叫做积分上限，区间[a, b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积表达式，∫ 叫做积分号。

之所以称其为定积分，是因为它积分后得出的值是确定的，是一个数，而不是一个函数。

根据上述定义，若函数f(x)在区间[a,b]上可积分，则有n等分的特殊分法：

特别注意，根据上述表达式有，当[a,b]区间恰好为[0,1]区间时，则[0,1]区间积分表达式为：

性质1 dx x g a b dx x f a b dx x g x f a b

)()()]()([⎰⎰⎰±=±

性质2 )k (,)()(为常数dx x f a

b k dx x kf a b ⎰⎰= 性质3 假设a

c dx x f c b dx x f a c dx x f a b

)()()(⎰⎰⎰+=

性质4 如果在区间[,]a b 上，恒有)()(x g x f ≤,则dx x g a b dx x f a b )()(⎰⎰≤ 性质5 如果在区间[,]a b 上，0)(≥x f ,则.0)(≥⎰dx x f a b (a

则 )()()(a b M dx x f a

b a b m -≤≤-⎰ ,()a b 此性质可用于估计积分值的大致范围[3]。

性质7 若f(x)在[a,b]上可积，则∣f(x)∣在[a,b]上也可积， 且dx x f a b dx x f a b )()(⎰⎰≤ 性质8（积分第一中值定理） 设函数f(x)在[a,b]上连续，g(x)在[a,b]上可积，且在[a,b]上不变号，则在[a,b]上至少存在一点ξ，使得：

2 经常使用计算方法

定积分的定义法计算是运用极限的思想,简单的来说就是分割求和取极限。以()b

a I f x dx =⎰为例：任意分割,任意选取k ξ作积分和再取极限。任意分割任意取k ξ所计算出的I 值如果全部相同的

话，则定积分存在。如果在某种分法或者某种k ξ的取法下极限值

不存在或者与其他的分法或者k ξ的取法下计算出来的值不相同，

那么则说定积分不存在。如果在不知道定积分是否存在的情况下用定义法计算定积分是相当困难的，涉及到怎样才是任意分割任意取k ξ。但是如果根据上述三类可积函数判断出被积函数可积，

那么就可以根据积分和的极限唯一性可作[],a b 的特殊分法，选取特殊的k ξ，计算出定积分[4]。

第一步：分割.

将区间[],a b 分成n 个小区间，一般情况下采纳等分的形式。b a h n -=，那么分割点的坐标为(),0a ，(),0a h +，()2,0a h +......()(1),0a n h +-，(),0b ，k ξ在[]1,k k x x -任意选取，但是

我们在做题过程中会选取特殊的k ξ，即左端点，右端点或者中

点。经过分割将曲边梯形分成n 个小曲边梯形。我们近似的看作是n 个小长方形。

第二步：求和.