2019-2020学年南通市启东中学创新班高一下学期期中数学试卷(含答案解析)

2019-2020学年南通市启东中学创新班高一下学期期中数学试卷

一、单选题（本大题共10小题，共30.0分）

1. 设z 为复数z =12−i 的共轭复数，则(z −z)2016( ) A. 22016 B. −22016 C. 22016i D. −i

2. (a +2b −3c)4的展开式中abc 2的系数为( )

A. 208

B. 216

C. 217

D. 218 3. 椭圆a 2x 2−a 2y 2=1的一个焦点是(−2,0)，则a 等于( )

A. 1−

√34 B. 1−

√54 C. −1±√34 D. −1±

√54

4. 为了进一步提升驾驶人交通安全文明意识，驾考新规要求驾校学员必须到街道路口执勤站岗，协助交警劝导交通．现有甲、乙等5名驾校学员按要求分配到三个不同的路口站岗，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有( )

A. 12种

B. 24种

C. 36种

D. 48种

5. 用1，2，3，4四个数字组成无重复数字的四位数，其中比2000大的偶数共有( )

A. 16个

B. 12个

C. 9个

D. 8个

6. 有4张分别标有数字1，2，3，4的红色卡片和4张分别标有数字1，2，3，4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标数字之和等于10，则不同的排法共有( )种．

A. 432

B. 384

C. 308

D. 288

7. 同室四人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中任意抽取一张，则四人所抽取的都不是自己所写的贺卡的概率是( )

A. 14

B. 38

C. 124

D. 9256 8. 以正方体的顶点为顶点的四面体共有( ).

A. 70个

B. 64个

C. 58个

D. 52个 9. 若二项式(2x +a x )7的展开式中1x 3的系数是84，则实数a =( )

A. 2

B. √45

C. 1

D. √24

10.把一个n位数从左到右的每个数字依次记为a1，a2，a3，…，a k，…，a n，如果k+a k(k=1,2，

3，…，n)都是完全平方数，则称这个数为“方数”.现将1，2，3按照任意顺序排成一个没有重复数字的三位数，这个数是“方数”的概率为()

A. 0

B. 1

6C. 1

3

D. 1

2

二、单空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.将“你能HOLD住吗”8个汉字及英文字母填入5×4的方格内，其中“你”字填入左上角，“吗”

字填入右下角，将其余6个汉字及英文字母依次填入方格，要求只能横读或竖读成一句原话，如图所示为一种填法，则共有______ 种不同的填法．(用数字作答)

你能

H O

L D住

吗

12.(x−y)2(x+y)7的展开式中x3y6的系数为______(用数字作答)．

13.

14.5人排成一排．其中甲乙相邻，且甲己均不与丙相邻的排法共有______种．

15.A，B，C，D四名学生按任意次序站成一横排，则A在边上，B不在边上的概率是______ ．

16.将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲学生不能分到

其中的A班，则不同分法的种数为______ ．

三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）

17.求证：z

1±z2

−

=z1−±z2−．

18. 已知x ，y ∈R ，若x 2+2x +(2y +x)i 和3x −(y +1)i 互为共轭复数，求复数z =x +yi 和z −

．

19. (1)有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从这20个零件中任意取3个，那么至少有

1个一等品的不同取法有多少种？(用两种不同的方法求解)

(2)用1、2、3、4这4个数字组成无重复数字的四位数，其中恰有1个偶数字夹在两个奇数字之间的四位数的个数有多少个？

20. 已知二项式(√x +2x 4)n 的展开式中，前三项的系数成等差数列． (1)求n ；

(2)求展开式中的一次项；

(3)求展开式中所有项的二项式系数之和．

21. 甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为12与25．

(1)若甲、乙两人在罚球线各投球一次，求恰好命中一次的概率；

(2)若甲、乙两人在罚球线各投球两次，求这四次投球中至少一次命中的概率．

22. 已知f(x)=(2x −3)n 展开式的二项式系数和为512，且(2x −3)n =a 0+a 1(x −1)+a 2(x −

1)2+⋯+a n (x −1)n

(1)求a 2的值；

(2)求a 1+a 2+a 3+⋯+a n 的值；

(3)求f(20)−20除以6的余数．

【答案与解析】1.答案：A

解析：解：∵z=1

2

−i，

∴共轭复数z=1

2

+i，

则(z−z)2016=(1

2−i−1

2

−i)=(−2i)2016=22016，

故选：A．

先求出z，从而求出(z−z)2016的值即可．

本题考查了复数的运算性质，是一道基础题．

2.答案：B

解析：解：(a+2b−3c)4表示4个因式(a+2b−3c)的乘积，

故其中一个因式取a，一个因式取2b，余下的2个因式都取−3c，可得展开式中abc2的系数，故展开式中abc2的系数为C41⋅C31⋅2⋅C22⋅(−3)2=216，

故选：B．

根据其中一个因式取a，一个因式取2b，余下的2个因式都取−3c，可得展开式中abc2的系数．本题主要考查二项式定理的应用，幂的意义，属于基础题．

3.答案：B

解析：解：椭圆a2x2−a

2y2=1可化为x21

a2

+y2

−2

a

=1．

∵椭圆a2x2−a

2

y2=1的一个焦点是(−2,0)，

∴1

a2−2

−a

=4，

∴a=1−√5

4

．

故选：B．

先把椭圆方程化为标准方程，然后根据题意列一方程组，解出即可．本题考查椭圆的标准方程及简单性质，属基础题．