最优控制问题

最优控制问题

最优控制问题综述报告

一、最优控制简介

最优控制是现代控制理论的重要组成部分，它研究的主要问题是：在满足一定约束条件下，寻求最优控制策略，使得性能指标取极大值或极小值。最优控制是使控制系统的性能指标实现最优化的基本条件和综合方法。可概括为：对一个受控的动力学系统或运动过程，从一类允许的控制方案中找出一个最优的控制方案，使系统的运动在由某个初始状态转移到指定的目标状态的同时，其性能指标值为最优。最优控制是最优化方法的一个应用。从数学意义上说，最优化方法是一种求极值的方法，即在一组约束为等式或不等式的条件下，使系统的目标函数达到极值，即最大值或最小值。

所谓最优控制问题，就是指在给定条件下，对给定系统确定一种控制规律，使该系统能在规定的性能指标下具有最优值。也就是说最优控制就是要寻找容许的控制作用（规律）使动态系统（受控系统）从初始状态转移到某种要求的终端状态，且保证所规定的性能指标（目标函数）达到最大（小）值。其本质是变分学问题。

二、产生背景及发展

最优控制理论是研究和解决从一切可能的控制方案中寻找最优解的一门学科，基本内容和常用方法包括动态规划、最大值原理和变分法。这方面的开创性工作主要是由贝尔曼（R.E.Bellman）提出的“动态规划”和庞特里亚金等人提出的“极大值原理”，到了60年代，卡尔曼等人又提出了可控制性及可观测性概念，建立了最优估计理论。

它以20世纪60年代空间飞行器的制导为背景。它最初的研究对象是由导弹、航天、航海中的制导、导航等自动控制技术、自动控制理论、数字计算技术等领域所总结出来的一类按某个性能指标达到最大或最小的控制问题。

1948年维纳发表了题为《控制论—关于动物和机器中控制与通讯的科学》的论文，第一次科学的提出了信息、反馈和控制的概念，为

最优控制理论的诞生和发展奠定了基础。

钱学森1954年所着的《工程控制论》，直接促进了最优控制理论的发展和形

成。

1960年，最大值原理、动态规划方法和最优线性调节器的理论被公认为最优控制理论的三大里程碑，标志着最优控制理论的诞生。

时至今日，最优控制理论的研究无论在深度上和广度上都有了很大的发展，例如发展了对分布参数系统、随机系统、大系统的最优控制理论的研究等等；在生物领域、市场销售和现代医学成像与高维图像分析等实际生活中广泛应用。

最优控制理论的实现离不开最优化技术。控制系统最优化问题，包括性能指标的合理选择以及最优化控制系统的设计，而性能指标在很大程度上决定了最优控制性能和最优控制形式。最优化技术就是研究和解决最优化问题，主要包括两个需要研究和解决的方面：一个是如何将最优化问题表示为数学模型；另一个是如何根据数学模型尽快求出其最优解。

三、解决最优控制问题的方法

1.古典变分法

研究对泛函求极值的一种数学方法。古典变分法只能用在控制变量的取值范围不受限制的情况。在许多实际控制问题中，控制函数的取值常常受到封闭性的边界限制，如方向舵只能在两个极限值范围内转动，电动机的力矩只能在正负的最大值范围内产生等。因此，古典变分法对于解决许多重要的实际最优控制问题，是无能为力的。

2. 极大值原理

极大值原理，是分析力学中哈密顿方法的推广。极大值原理的突出优点是可用于控制变量受限制的情况，能给出问题中最优控制所必须满足的条件。

3.动态规划

动态规划是数学规划的一种，同样可用于控制变量受限制的情况，是一种很适合于在计算机上进行计算的比较有效的方法。

四、最优控制应用举例

例1 生产计划问题。设 x(t) 表示商品存货量, r(t)>0表示对商品的需求率，是已知函数, u(t) 表示生产率，它将由计划人员来选取，故是控制变量。 x(t)满足下面的微分方程:

是初始时刻的商品存货量，且 >0 。从 x(t)的实际意义来看，显然必须选取生产率使得

其次，生产能力应该有限制，即容许控制为

这里 A>0表示最大生产率，另外为了保证满足需求，必须有

假定每单位时间的生产成本是生产率 u(t)的函数，即 h[u(t)] 。设b>0是单位时间储存单位商品的费用，于是，单位时间的总成本为：

由 t=0 到 t= 的总成本为

状态方程为

0)0(x x =)()()(t u t r t x

+-= ],0[f t t ∈ A t u ≤≤)(0],0[f t t ∈)(t r A >],0[f t t ∈

[][](),(),()()f x t u t t h u t bx t =+ ?=f t dt t t u t x f u J 0]),(),([)( t f 00

()((),(),)()|t t x t f x t u t t x t x ===0

)(≥t x ],0[f t t ∈ )),(),((t t u t x f

满足一定条件时，方程有唯一解。

性能指标：

再利用边界条件求解例2

为t 时刻库存量， u(t)为t 时刻生产率，

为t 时刻销售率，求

使[0,2]时间内有最小生产量

T (,,)(,,)H L x u t f x u t λ=+令哈密顿函数 0(,,)d T

t J L x u t t =?(,,,)()H x u t t x

λλ?=-?(())()()x T T x T ?λ?=?令 12()()x t x t =2()()x t u t = 边界条件

1(0)1x =2(0)1x =1(2)0x =2(2)0x =2201d 2J u t =?指标泛函函哈密顿函数

212212H u x u λλ+=+ 伴随方程

11()0H t x λ?=-=?212()()H t t x λλ?=-=-?11()t a λ=212()t a t a λ=-+ 其解为

20H u u λ?=+=?212u a t a λ=-=-12x x =212

x u a t a ==-0=??u H

五、总结

最优控制四个关键点分别为受控对象为动态系统、初始与终端条件（时间和状态）、性能指标、容许控制，最优控制问题的实质就是要找出容许的控制作用或控制规律，使动态系统从初始状态转移到某种要求的终端状态，并且保证某种要求的性能指标达到最小值或最大值。

32112341162x a t a t a t a =-++2212312x a t a t a =-+32117()124x t t t t =-++2237()122x t t t =-+273)(-=*t t u 13a =272a =31a =41

a =利用边界条件，可得：