铅垂面内弹道设计、解算与分析

铅垂面内弹道设计、解算与分析檀望春，李禹志，李坤猷，陈国勇北京理工大学飞行器设计与工程专业摘要：基于MATLAB的对铅垂面内弹道设计的数值模拟仿真。

在给定的参数条件下设计合理的飞行方案并研究导弹在不同飞行状态下（爬升段、平飞段、俯冲段）攻角、速度等的变化及其飞行轨迹。

关键词：数值模拟、飞行轨迹、铅垂面。

The Design, Analysis and Solver of Vertical Plane TrajectoryTAN Wang-chun, LI Yu-zhi, LI Kun-you, CHEN Guo-yongAbstract: Design the vertical plane trajectory which based on MATLAB simulation. Under the conditions of the given parameters design the missile flight plan and study with the angle of attack, speed of change and its flight path at different flight conditions (climb segment, level flight segment, dive segment) .Keywords: Numerical simulation, Flight path, Vertical plane.导弹作为现代战争中最重要的武器之一一直备受重视。

导弹以它的精确制导打击目标和强大的破坏性能改变整个战场的格局给现代战争带来了深刻的影响。

导弹的运动以及控制是十分复杂的。

研究导弹的空间飞行状况首先应当研究导弹的弹道学方面的问题。

将导弹的运动看成质点的运动并且假定导弹的制导系统是完全理想的。

在导弹飞行的各个状态下导弹所受外力的和力矩为零。

因此，在质点上作用重力、推力、空气动力等，研究这些力和导弹的运动之间的关系，加上制导系统理想工作的约束关系式，就可以求出导弹质心的运动轨迹——弹道、飞行速度和过载等的参数。

通过这种方法我们可以简洁明了的了解导弹是如何运动的。

即使这样导弹的运动依旧是很复杂的，导弹在空间的运动有20个独立的方程来进行描述，由于知识和能力所限本文以掠海导弹为对象在上述假定条件下根据一些假定的空气动力学参数通过MATLAB进行数值模拟仿真描绘铅垂面内弹道的设计、解算与分析。

1.设计目标导弹在纵向平面内有明显的爬升段、平飞段、俯冲段和拉起改平段。

平飞段高度H=300m，俯冲拉起改平后，平飞高度为H=50m。

导弹的攻角在正负十度范围以内。

设计合理的纵向稳定与控制规律，使导弹按预先设计的方案飞行并使各段弹道平稳连接。

其中高平飞段的高度误差应小于±10m，低平飞段的高度误差应小于±5m。

导弹在低平飞段的某处，所有燃料耗尽，导弹仍需要按上述精度要求继续平飞，直到飞行速度低于200m/s。

在爬升段到高平飞段之间引入风场。

风场速度时刻与导弹速度方向相反，风力大小随机变化。

2.导弹数学模型的建立导弹无控时的运动方程如下：cos sin sin cos cos sin z z z z z z z cdV m P X mg dt d mV p Y mg dt d J M M dt d dt dx V dtdy V dtdmm dt ωααθθαθωαωϑωθθαϑθ⎧=--⎪⎪⎪=+-⎪⎪⎪=+⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎪=⎪⎪⎪=-⎪⎪=-⎩ (1) 上式中，v 、θ、x 、y 、m 、ϑ、ωz 、α、δz 分别为导弹的飞行速度，弹道倾角、射程和高度导弹的质量，导弹飞行时的俯仰角、俯仰角速度、攻角和升降舵的舵偏角。

上述方程刚好封闭可以求解。

在爬升段和平飞段按给定的弹道倾角飞行，为了使控制的高度更精确在俯冲段和拉起改平段按给定的高度飞行。

由此引入控制方程：θ∗={ θ0 t 0≤t ≤t 1θ0e −t−t 1K 1 t 1≤t ≤t 20 t 2≤t ≤t 31− e K 2(t−t 3) t 3≤t ≤t 4(2) y ∗={56y p e −K 3(t−t 4)+16y p t 4≤t ≤t 516y p t 5≤t (3) 启控时间t 0之前导弹无控飞行，启控一段时间以后导弹按给定弹道倾角方案飞行，t 4 时刻导弹按给定高度控制方案来进行俯冲阶段的飞行。

为了使目标各阶段平滑过渡给定高度导数和角速度反馈控制关系方程：δz ={ 0 0≤t ≤t 0K 4(θ−θ∗)+K 5dy dt +K 6ωz +δz0 t 0≤t ≤t 4K 4(y −y ∗)+K 5dy dt +K 6ωz +δz0 t 4≤t (4)在（1）中加入以上的控制关系方程增加了一个未知量的同时增加了一个方程所以方程组依旧封闭可以进行求解运算。

K 1~K 6是各个控制方程的系数，它通过对程序的不断调试，控制其余系数不变，改变某一系数进行编程的模拟仿真来观察此系数对攻角以及各阶段参数的影响进而调整该系数到合适的值。

各阶段参数：t 0=2.3s t 1=3s t 2=6s t 3=20s t 4=26s t 5=30.48s直线爬升段：（t 0~t 1）θ0=21.4°K 4=5 K 5=0 K 6=4爬升转平段：（t 1~t 2）K 1=1.3 K 4=3 K 5=0 K 6=1平转俯冲段：（t2~t3）K4=6K5=0K6=1 δz0=2°俯冲段：（t3~t4）K2=0.2 K4=0.2K5=0K6=0.2 δz0=2°俯冲转平段：（t4~t5）y p=300 K3=0.5 K4=0.1K5=0.15 K6=4平飞段：（t5以后）K4=0.6∗e0.001∗(y−50)K5=0.5K6=13.风场的引入导弹的飞行环境中风是时时刻刻都存在的，而且风对导弹的过载尤其是法向过载和侧向过载有很大的影响。

因此，在真实的飞行状况下风的影响在设计时是必须加以考虑的。

当导弹突然遇到与速度方向平行的风时，可以认为此时的迎角不变，而是导弹相对于大气的飞行速度增加了。

设水平风速为∆v，此时导弹的升力值为：Y=C y0Sρ2(v0+∆v)2(5)式中：C y为相应于初始迎角α0时导弹的升力系数：ρ为空气密度；S为弹翼面积；v0为导弹的飞行速度。

对于高速飞行的导弹，一般∆v<0.1v0，所以对导弹的法向过载影响不大，但是在导弹起飞时，因为导弹的飞行速度过低，风的影响就很大。

鉴于此我们设计的风场时刻与导弹的速度方向相反，其大小的变化量随机产生。

所以导弹的飞行可以近似认为是导弹的速度大小相对变化了一定的值。

由此我们将（5）式引入原来的控制模型中建立了导弹的有风场时运动的数学模型。

4.编程实现采用MATLAB进行编程实现。

由于龙格库塔方法计算精度比较高，自启动且易于进行编程实现。

我们采用它来进行积分计算。

取步长为0、02.初始控制条件如下：发射速度v0=20m/s,导弹初始俯仰角 ϑ0=30°，初始起飞质量m0=55kg，发射推力P=P(t)，初始攻角α0=0，初始弹道倾角θ0=0。

5.图像分析通过MATLAB的编程数值模拟仿真我们分别绘制了无风情况和有风情况下导弹的飞行高度与时间关系的变化曲线，攻角与时间关系的变化曲线以及飞行速度与时间关系的变化曲线。

另外我们还分别绘制了无风场情况下的导弹整体运动的高度、攻角和速度与时间变化关系曲线以及导弹飞行轨迹曲线。

5.1无风场情况与有风场情况下各参数变化与时间关系直线爬升段:图(1)无风场时高度图(2)有风场时高度上图中明显可以看出两者的曲线形状类似比较光滑。

在有风场的情况下没有明显的震荡出现。

引入风场情况下的曲线上升明显比较快，在2.5s时引入风场下的导弹高度大约为143m而无风场情况下的导弹飞行高度为130m。

这是由于风场的引入使导弹飞行时的攻角增大，导弹上升速度有明显的加快。

图(3)无风场时攻角曲线图(4) 有风场时攻角曲线上图中明显可以看出2.3s前导弹在有风场和未引入风场的情况下飞行攻角曲线变化规律基本一致，攻角出现最大和最小值的时间基本一致。

但是在有风场干扰的情况下导弹的攻角明显增大。

无风场情况下导弹攻角最大值为2.7°。

有风场情况下导弹的攻角最大值为2.1°。

在2.3s以后导弹进入控制阶段，无风场情况下导弹攻角迅速增大使弹道倾角迅速达到要求值。

有风情况下攻角上升比较缓慢。

图(5)无风场时速度曲线图(6) 有风场时速度曲线上图中明显可以看出有风场和无风场情况下速度曲线变化基本一致。

说明沿速度方向的风值与导弹飞行速度相比比较小。

对导弹的飞行速度影响不大。

爬升转平段:图(7)无风场时高度曲线图(8) 有风场时高度曲线上图中明显可以看出两者整体高度变化情况基本一致没有明显的震荡。

引入风场情况下导弹的飞行高度在此阶段明显比未引入风场情况下高度大，无风场情况下导弹的最大飞行高度294.2m，有风场情况下导弹的最大飞行高度为297m。

图(9)无风场时攻角曲线图(10) 有风场时攻角曲线上图中明显可以看出两者整体攻角变化情况一致。

但是在引入风场以后导弹的攻角明显变化比较大。

未引入风场的情况下最大攻角为11°，引入攻角情况下最大攻角为17°。

图(11)无风场时速度曲线图(12) 有风场时速度曲线上图中明显可以看出两者整体速度变化情况一致。

但是在引入风场以后速度比未引入风场速度变化大一些。

未引入风场的情况下最小速度为238.8m/s，引入攻角情况下最小速度为234.2m/s。

平飞段：图(13)无风场时高度曲线图(14) 有风场时高度曲线上图中明显可以看出两者整体曲线变化情况一致。

引入风场后最大飞行高度有所增大。

图(15)无风场时攻角曲线图(16)有风场时攻角曲线上图中明显可以看出两者攻角改变频率非常大。

无风稳定情况下攻角变化在−3°~6°间，有风稳定情况下攻角明显比较收敛幅度变化在−2°~5°间。

图(17)无风场时速度曲线图(18) 有风场时速度曲线上图中明显可以看出有风场情况下导弹的速率变化比较大，有风情况下导弹的速度最大为249m/s，无风情况下导弹的最大速度为246m/s。

5.2无风情况下导弹的整体运动曲线图(19) 无风场时弹道曲线图(20)无风场时高度曲线图(21)无风场时速度曲线图(22)无风场时攻角曲线导弹在6.2s时达到最大高度h=295m，高平飞时最低高度为292m，高度误差满足要求。

地平飞段稳定飞行在高度h=47m，最低高度45.2m高度误差满足要求。

由图(20)中明显可以看见导弹的稳定飞行高度并不在300m，有一定的偏差，收敛没有低平飞段的结果好。