三角形荷载分布荷载合力作用点
第三章 土中应力计算习题与答案
第三章土中应力计算一、填空题1.由土筑成的梯形断面路堤，因自重引起的基底压力分布图形是梯形，桥梁墩台等刚性基础在中心荷载作用下，基底的沉降是相同的。
2.地基中附加应力分布随深度增加呈曲线减小，同一深度处，在基底中心点下，附加应力最大。
3.单向偏心荷载作用下的矩形基础，当偏心距e > l/6时，基底与地基局部脱开，产生应力重分部。
4.在地基中，矩形荷载所引起的附加应力，其影响深度比相同宽度的条形基础浅，比相同宽度的方形基础深。
5.上层坚硬、下层软弱的双层地基，在荷载作用下，将发生应力扩散现象，反之，将发生应力集中现象。
6.土中应力按成因可分为自重应力和附加应力。
7.计算土的自重应力时，地下水位以下的重度应取有效重度（浮重度）。
8.长期抽取地下水位，导致地下水位大幅度下降，从而使原水位以下土的有效自重应力增加，而造成地基沉降的严重后果。
9.饱和土体所受到的总应力为有效应力与孔隙水压力之和。
二、名词解释1.基底附加应力：基底压应力与基底标高处原土层自重应力之差。
2.自重应力：由土层自身重力引起的土中应力。
3.基底压力：建筑物荷载通过基础传给地基，在基础底面与地基之间的接触应力。
三、选择题1.成层土中竖向自重应力沿深度的增大而发生的变化为：（B ）（A）折线减小（B）折线增大（C）斜线减小（D）斜线增大2.宽度均为b，基底附加应力均为P0的基础，同一深度处，附加应力数值最大的是：（C ）（A）方形基础（B）矩形基础（C）条形基础（D）圆形基础（b为直径）3.可按平面问题求解地基中附加应力的基础是：（B ）（A）柱下独立基础（B）墙下条形基础（C）片筏基础（D）箱形基础4.基底附加应力P0作用下，地基中附加应力随深度Z增大而减小，Z的起算点为：（A ）（A）基础底面（B）天然地面（C）室内设计地面（D）室外设计地面5.土中自重应力起算点位置为：（B ）（A）基础底面（B）天然地面（C）室内设计地面（D）室外设计地面6.地下水位下降，土中有效自重应力发生的变化是：（A ）（A）原水位以上不变，原水位以下增大（B）原水位以上不变，原水位以下减小（C）变动后水位以上不变，变动后水位以下减小（D）变动后水位以上不变，变动后水位以下增大7.深度相同时，随着离基础中心点距离的增大，地基中竖向附加应力：（D ）（A）斜线增大（B）斜线减小（C）曲线增大（D）曲线减小8.单向偏心的矩形基础，当偏心距e < l/6（l为偏心一侧基底边长）时，基底压应力分布图简化为：（B ）（A）矩形（B）梯形（C）三角形（D）抛物线形9.宽度为3m的条形基础，作用在基础底面的竖向荷载N＝1000kN/m ，偏心距e＝0.7m，基底最大压应力为：（C ）（A）800 kPa （B）417 kPa （C）833 kPa （D）400 kPa10.矩形面积上作用三角形分布荷载时，地基中竖向附加应力系数K t是l/b、z/b的函数，b指的是：（D ）（A）矩形的长边（B）矩形的短边（C）矩形的短边与长边的平均值（D）三角形分布荷载方向基础底面的边长11.某砂土地基，天然重度γ＝18 kN/m3，饱和重度γsat＝20 kN/m3，地下水位距地表2m，地表下深度为4m处的竖向自重应力为：（A ）（A）56kPa （B）76kPa （C）72kPa （D）80kPa12.均布矩形荷载角点下的竖向附加应力系数当l/b＝1、Z/b＝1时，K C＝0.1752；当l/b＝1、Z/b＝2时，K C＝0.084。
理论力学知识点总结
1. 平衡方程式中除主动、约束力外还出现了摩擦力，因而未知 数增多。
2. 除平衡方程外还可补充关于摩擦力的物理方程 Fs≤fsFN 。 3. 为避免解不等式，可以解临界情况，即补充方程Fmax = fsFN 。
常见的问题有
● 检验物体是否平衡； ● 临界平衡问题； ● 求平衡范围问题。
理论力学知识点总结 静力学
一、约束的类型
1、具有光滑接触面（线、点）的约束（光滑接触约束）
几种情况： （1）物体的尖端与光滑表面接触，其约束反力沿约束表面的法线 方向。
（2）物体的光滑表面与尖端约束接触，其约束反力沿物体表面的 法线方向。
2、由柔软的绳索、胶带或链条等构成的约束
柔索只能受拉力，又称张力.用 F表T示．
其中A、B、C三点不得在一条直线上
四、线分布荷载的合力
合力：
Fq
bqxdx
a
作用点：
bqxdx x
xc a Fq
b
a
xq
x
dx
b
a
q
x
dx
结论： 线分布载荷的合力的大小等于载荷图的
面积，合力作用线通过载荷图的形心（重心）。
上述求平行线分布荷载的合力的简便方法称为
荷载图面积法，在以后的章节和材料力学、以 及专业课中经常要用到。
2、二次投影法（间接投影法） 当力与各轴正向夹角不易
确定时，可先将 F 投影到xy 面上，然后再投影到x、y轴上， 即
FxyFcoθs XF xy co φ sF co θc so φs YF xysiφ n F co θssiφ n
ZFsiθ n
七、计算空间力对轴之矩的方法
• 当拿到一道计算力对轴之矩的题目时,首先观察一下力F 与Z 轴的空间位置,一般有三种情况:
工程力学期末考
工程力学（一）期末复习题一、填空题1. 在材料力学中，为了简化对问题的研究，特对变形固体作出三个假设，分别为 ， ， 。
答案：连续性，均匀性，各向同性2. 图中分布力的合力的大小为 ，对点A 之矩大小为 。
答案：/2()ql ↓，2/3ql (顺时针)知识点解析：本题考查分布力大小及合力作用点的计算，三角形分布力合理大小为三角形的面积，合力作用点为形心处。
3. 将圆截面压杆改为面积相等的圆环截面压杆，其他条件不变，则其柔度将 ，临界荷载将 。
答案：降低，增大知识点解析：本题考查压杆柔度和临界荷载与截面形状的关系，将圆截面压杆改为面积相等的圆环截面压杆，截面惯性矩增大，柔度降低而临界荷载增大。
4. 对于空间力偶系，独立的平衡方程个数为 。
答案：3个知识点解析：空间力偶系独立平衡方程的个数5. 解决超静定问题需要采用变形体模型，进行力、变形以及 关系的研究三方面的分析工作。
答案：力与变形6. 图示销钉受轴向拉力P 作用，尺寸如图所示，则销钉内的剪应力τ= ，支承面的挤压应力bs σ= 。
答案：P dh π，()224P D d π-知识点解析：本题考查连接件剪应力与挤压应力的计算。
7. 一受扭圆棒如图4所示，其m －m 截面上的扭矩等于 ，若该圆棒直径为d ，则其扭转时横截面上最大切应力max = 。
图4答案：M -，348M d π 知识点解析:本题考查圆轴扭转时扭矩和切应力的计算方法，首先取隔离体，根据扭矩平衡和右手螺旋法则计算出m －m 截面的扭矩为M -，根据切应力计算公式计算出截面的最大切应力max =348M d π。
8. 图5示阶梯杆AD 受三个集中力F 作用，设AB 、BC 、CD 段的横截面面积分别为A 、2A 、3A ，则三段杆的横截面上轴力 ，正应力 。
图5答案：不相等，相等知识点解析：本题考查受拉杆件内力和应力的计算，首先分段取隔离体计算出AB 、BC 、CD三段杆所受轴力分别为F 、2F 、3F ，正应力为轴力除以受力面积，三段杆正应力均为F/A 。
工程力学第六章答案 梁的变形
第五章 梁的变形测试练习1. 判断改错题5—1—1 梁上弯矩最大的截面,挠度也最大，弯矩为零的截面，转角亦为零。
（ ）5-1—2 两根几何尺寸、支承条件完全相同的静定梁，只要所受荷栽相同，则两梁所对应的截面的挠度及转角相同，而与梁的材料是否相同无关. ( ） 5—1-3 悬臂梁受力如图所示，若A 点上作用的集中力P 在A B 段上作等效平移，则A 截面的转角及挠度都不变。
( ）5-1-4 图示均质等直杆(总重量为W ）,放置在水平刚性平面上，若A 端有一集中力P 作用，使A C 部分被提起,C B 部分仍与刚性平面贴合，则在截面C 上剪力和弯矩均为零.( ）5—1-5 挠曲线近似微分方程不能用于求截面直梁的位移. （ ） 5—1—6 等截面直梁在弯曲变形时,挠度曲线的曲率最大值发生在转角等于零的截面处。
（ ） 5-1—7两简支梁的抗刚度E I 及跨长2a 均相同，受力如图所示，则两梁跨中截面的挠度不等而转角是相等的. （ ） 5-1—8 简支梁在图示任意荷载作用下，截面C 产生挠度和转角,若在跨中截面C 又加上一个集中力偶M 0作用，则梁的截面C 的挠度要改变，而转角不变. （ )5—1-9 一铸铁简支梁，在均布载荷作用下，当其横截面相同且分别按图示两种情况放置时，梁同一截面的应力及变形均相同。
（ ） 5—1-10 图示变截面梁,当用积分法求挠曲线方程时，因弯矩方程有三个，则通常有6个积分常量。
( ）题5-1-3图题5-1-4图题5-1-8图题5-1-7图题5-1-9图2．填空题5-2—1 挠曲线近似微分方程EIx M x y )()("-= 的近似性表现在和。
5—2-2 已知图示二梁的抗弯度E I 相同,若使二者自由端的挠度相等，则=21P P 。
5-2-3 应用叠加原理求梁的变形时应满足的条件是：。
5-2—4 在梁的变形中挠度和转角之间的关系是。
5—2-5 用积分法求图示的外伸梁(B D 为拉杆)的挠曲线方程时，求解积分常量所用到的边界条件是，连续条件是.5—2-6 用积分法求图示外伸梁的挠曲线方程时，求解积分常量所用到边界条件是，连续条件是。
三角形分布条形荷载作用下的土应力计算探讨
剑 ，男 ，高级工程师 。
结论由以上算例的结果可见同样的计算条件往往因计算精度差异用现有的应力系数表中的数值计算同用公式法计算的该点附加应力结果相差约5kpa从而造成在用分层总和法计算沉降时在一定的工后沉降条件下用查表法能满足要求而有时用公式法计算结果不能满足沉降的限制要求
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・
析评价某些采用物理手段 和少数 化学手 段进行 的地基 处理 （ 如强夯 法 、碾 压 法 、稳定 土换 填法 等 ） 的沉 降控制效果。
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王
剑 ：三角形分布条形荷载作用下 的土应力计算探讨
・ ５・ ３
应 力 值 。解 ：路堤 填 土 的质 量产 生 的重 力荷 载为 梯形分布 ，见 图 ２ （ ） ｂ 。其 最 大强 度 Ｐ＝Ｔ Ｈ＝２ ５ ０× １０ ｋ ａ ０ Ｐ 。将 梯 形荷 载 （ ｂｄ ａｃ ）分 解 为两 个 三角形
２ 应力计算公 式 在地基表 面作用 三角形分布 条形荷载 （ 图 １ ， 见 ）
式 ａ— 力 数 它 ＝ 及ｍ音 函 中 — 应 系 ， 是ｎ音 ＝ 的 数
ａ ＝ ｎ
（ｔ 一ｔ－一 寺 】 ａ ｃ １ ｒ ｃ ｓ） ｇ ｎ
三角形荷 载的最 大值。
式 中
图 １ 三 角 形 分布 条 形 荷 载 计 算 图
１９ 。 ９ ０
其最 大值 为 Ｐ，计算 土 中 点 （ ） 的竖 向应 力 ， 按布辛涅斯克公式解答 如 （ ）式 。 １
理论力学三角形载荷的计算公式
理论力学三角形载荷的计算公式
1、均匀分布载荷f、dx dy上的力fdxdy是常数、其产生的力矩为xfdxdy (x轴方向类)、对xfdxdy沿受力面积用二重积分积一下就解决了、如果是园形r 径向类。
力矩为rrdrda,对rrdrda沿受力面积用二重积分积一下一样解决。
对三角形分布在载荷的力和力矩,要确定力矩方向和受力面边界方程。
2、可以将均布载荷看成一个集中力，这个集中力的大小就是均布载荷的面积（q·L），作用于分布区域的中点（L/2）处。
运用均布载荷计算弯矩的公式可以简单认为M=（q*x^2）/2，x是均布载荷的长度。
其来历是：q*x是作用在结构上的合力F，单位为N，合力的作用点位于载荷作用的中点，故F的力臂为x/2米，从而弯矩M=（q*x^2）/2。
力矩在物理学里是指作用力使物体绕着转动轴或支点转动的趋向。
力矩的单位是牛顿-米。
力矩希腊字母是tau。
力矩的概念，起源于阿基米德对杠杆的研究。
转动力矩又称为转矩或扭矩。
力矩能够使物体改变其旋转运动。
推挤或拖拉涉及到作用力，而扭转则涉及到力矩。
力矩等于径向矢量与作用力的叉积。
理正深基坑——单元计算编制原理
（2.2-2） 式中 Kem —— 嵌固稳定安全系数；安全等级为一、二、三级的锚拉式支挡结构和支撑 式支挡结构，其嵌固稳定性安全系数分别不应小于 1.25、1.2、1.15； za2、zp2 —— 基坑外侧主动土压力、基坑内侧被动土压力合力对支点的力臂；对多支 点结构，力臂以最下层支点为转动轴心取值，且不计各支点力的作用。
1.2 关于水作用的处理 1.2.1 水土合算
水土合算同 1.1。
1.2.2 水土分算
水土分算时
（1.2.2-1）
（1.2.2-2） 式中： ua、up —— 分别为支护结构外侧、内侧计算点的水压力(kPa)； 对静止地下水，基坑外侧的孔隙水压力 ua、基坑内侧的孔隙水压力 up 可分别按公式 (1.2.2-3)、公式(1.2.2-4)计算：
1.5 各种支护结构的土压力 1.5.1 单排桩、连续墙、水泥土墙、双排桩
《建筑基坑支护技术规程》（JGJ 120-2012）中计算土压力与支护结构的类型无关，均 采用 1.1~1.4 节公式计算。基坑外侧提供主动、静止两种土压力由用户选择。
1.5.2 土钉墙
土钉墙只进行主动土压力计算。
1.6 坑内加固土体的土压力
详细计算参见第 1～6 节相关内容，其中内力变形计算、截面配筋计算及整体稳定计算 与规范无关，其他计算按选择的规范采用相应计算方法。 ⑶ 土钉墙单元计算包括以下内容： ① 主动土压力计算； ② 土钉抗拉承载力计算； ③ 整体稳定验算； ④ 土钉选筋计算； ⑤ 稳定验算：抗隆起、抗管涌、承压水验算。 系统仅提供《建筑基坑支护技术规程》（JGJ 120-2012）计算方法。 ⑷ 放坡单元计算包括以下内容： 系统仅提供整体稳定验算。
图 2.2 锚拉式支挡结构和支撑式支挡结构嵌固稳定性验算
《土力学》1-6章作业参考答案
第一章 土的物理性质及其工程分类P 60[2-2] 解：V=21.7cm 3，m=72.49－32.54＝39.95g ，m S =61.28－32.54＝28.74g ，m W =72.49－61.28=11.21g7.2195.39==V m ρ＝1.84g/ cm 3，74.2821.11==sw m m w ＝39％ 07.1184.1)39.01(174.21)1(=-+⨯⨯=-+=ρωρW S d eP 60[2-3] 解：963.0185.1)34.01(171.21)1(=-+⨯⨯=-+=ρωρWS d e 963.01963.071.21++=++=e e d s sat ρ＝1.87 g/ cm 3，87.0187.1=-=-='W sat ρρρ g/ cm 3g ργ'='＝0.87×10＝8.7 kN/m 3P 60[2-4] 解：已知77.1=ρg/cm 3, w ＝9.8％，s d ＝2.67，461.0min =e ,943.0max =e∴656.0177.1)098.01(167.21)1(=-+⨯⨯=-+=ρωρW S d e ，∈=--=--=6.0461.0943.0656.0943.0min max max e e e e D r （0.33，0.67）∴该砂土处于中密状态。
P 60[2-5] 解：已知s d ＝2.73，w ＝30％，=L w 33％，=P w 17％土样完全饱和→1=r S ，sat ρρ=819.073.23.01=⨯=⇒==e e wd S S r ，819.01819.073.21++=++=e e d s sat ρ＝1.95 g/ cm 3 3.0195.11+=+=w d ρρ＝1.5 g/ cm 3，161733=-=-=P L p w w I 81.0161730=-=-=P P LI w w I 10＜16=p I ≤17→该土为粉质粘土0.75＜81.0=L I ≤1→该土处于软塑状态[附加1-1]证明下列换算公式：（1）w s d e d ρρ+=1；（2）γee S sw r ++=1γγ；（3）n n w S w s r γγ)1(-=（1）证明：设e V V V V V Ve V S V V SV S +=+===⇒=1,1w s s w s s s s d ed V V d V V V m ρρρρ+====1 （2）证明：设e V V V V V Ve V S V V SV S +=+===⇒=1,1V g V V V g m m V mg V G s s w w s w )()(ρργ+=+===ee S V V V S sw r s s w v r ++=+=1γγγγ （3）证明：设n V n V n VVV s v v -==⇒==1,,1∴nn w gV gV w V V w V V m m V m V V S w s v w s s v w s s ss v w s wv w w v w r γγρρρρρρρ)1(-====== [附加1-2]解：V=72cm 3，m=129.5g ，m S =121.5g ，m W =129.5－121.5=8g%6.65.1218===⇒S W m m ω 6.0172/5.129)066.01(17.21)1(=-+⨯⨯=-+=ρωρW S d e %7.296.07.2066.0=⨯==e d S S r ω 0.1872105.129=⨯===V mg V G γkN/m 36.20106.16.07.21=⨯+=++=W S sat e e d γγkN/m 36.10106.20=-=-='W sat γγγkN/m 39.16106.17.21=⨯=+=W S d e d γγkN/m 3∴γγγγ'>>>d sat[附加1-3]解：已知s d ＝2.68，w ＝32％，土样完全饱和→1=r S86.068.232.01=⨯=⇒==e ed S Sr ω02.1986.1)32.01(1068.286.01)1(=+⨯⨯=⇒=-+=γγωγW S d e kN/m 3[附加1-4]解：已知66.1=ρg/cm 3,s d ＝2.69，（1）干砂→w ＝0 ∴62.0166.1)01(169.21)1(=-+⨯⨯=-+=ρρw d e W S（2）置于雨中体积不变→e 不变∴%2.969.262.04.04.0=⨯=⇒==w e wd S S r [附加1-5]解：已知m=180g ，1w ＝18％，2w ＝25％，sss s s w m m m m m m m w -=-==18011＝18％→s m ＝152.54g∴)(12w w m m s w -=∆＝152.54×（0.25－0.18）＝10.68g[附加1-6]实验室内对某土样实测的指标如下表所示，计算表土中空白部分指标。
弹性力学第三章习题
1.设有矩形截面的竖柱，其密度为ρ，在一边侧面上受均布剪力q ，如图1，试求应力分量。
解：采用半逆解法，设=x σ 。
导出ϕ使其满足双调和方程：0)()(,00,0)()()()()(,0414444224444144444122=+=∇=∂∂∂=∂∂+=∂∂+==∂∂=-∂∂=dxx f d dx x f d yy x y dx x f d dx x f d y x x f x yf x f y Xx y x ϕϕϕϕϕϕϕσ（1）含待定常数的应力分量为：⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫++-=∂∂∂-=-+++=-∂∂==-∂∂=)23(26)26(0222222C Bx Ax y x Py F Ex B Ax y Yy x Xx yxy y x ϕτϕσϕσ （2）（3）x1取任意值时，上式都应成立，因而有：y 23232312341444)()(,)(0)(,0)(Fx Ex Cx Bx Ax y Fx Ex x f Cx Bx Ax x f dx x f d dx x f d ++++=+=++===ϕ式中， 中略去了常数项， 中略去了 的一次项及常数项，因为它们对应力无影响。
)(x f )(1x f x利用边界条件确定常数，并求出应力解答：,0)(0==x x σ 能自然满足： 0,0)(0===C x yx τ,0)(==h x x σ能自然满足：,026,0)(23,)(02===+==--===F E F Ex q Bh Ah q y y h x yx στCyBx y x gy By Ax Yy xDy Cx Xx y xyy x 22266222222--=∂∂∂-=-+=-∂∂=+=-∂∂=ϕτρϕσϕσ0)(,0)(00====y xy y y τσ（4）（5）2．如图2（a ），三角形悬臂梁只受重力作用，梁的密度为，试用纯三次式应力函数求解该梁的应力分量。
2.用边界条件确定常数，进而求出应力解答：上边界：,0)(0==y yx τ不能精确满足，只能近似满足： ⎰⎰=+-===h hy y xy dx Bx Ax dy 000200)23(,0)(τ023=--Bh Ah 由式（3）、（4）解出常数 和 ，进而可求得应力分量： A B hqB h q A =-=,2（)32(,)31(2,0h x h qx Py h x h qy xy y x --=--==τσσxx x 图（a ） （b ）解： 1.设应力函数为： 3223Dy Cxy y Bx Ax +++=ϕ 不难验证其满足 。
建筑力学与结构 第一章建筑力学-静力学基本知识
第三节 约束与约束反力
32
链杆可以受拉或者是受 压，但不能限制物体沿 其他方向的运动和转动， 所以，链杆的约束反力 总是沿着链杆的轴线方 向，指向不定，常用符
号F表示。
(a) (b)
(c)
链杆约束
第三节 约束与约束反力 6.单链杆支座
33
单链杆支座的约束力： 沿连杆中心线，指
向待定。
两端用光滑圆柱铰链（即铰）与物体相连且中间不受力 的直杆，称为链杆。
10
主动力：使物体产生运动或使物体有运动趋势的力。
荷载：作用上结构上的主动力。 一、荷载的分类
１.按作用在结构上的时间长短分类
（1）永久荷载（恒载） 在结构使用期间，其值不随时间变化，或变化与平均值相
比可以忽略不计的荷载。 （2）可变荷载（活荷载）
在结构使用期间，其值随时间变化且变化值与平均值相比 不可以忽略的荷载。 （3）偶然荷载
B F1
B F1
F
A
F
A
F2
A
F1 F2 F
作用在刚体上的力是滑动矢量，力的三要素为大小、 方向和作用线。
第一节 静力学基本定理
8
推理2 三力平衡汇交定理
当刚体受到同平面内不平行的三力作用而平衡时，三力
的作用线必汇交于一点。
F3
C
F1 A
B
F2
证明：
F1
F1
A F12
O
F3
C
F2 B
F2
三力平衡汇交定理常常用来确定物体在共面不平行 的三个力作用下平衡时其中未知力的方向。
第一节 静力学基本定理
9
四、 作用与反作用定律
两物体间的相互作用力，大小相等，方向相反，作 用线沿同一直线，分别作用在两个相互作用的物体上。
矩形基础受三角形分布荷载作用下中心位置附加应力简易算法
矩形基础受三角形分布荷载作用下中心位置附加应力简易算法作者：胡红亮王玉丽来源：《科技风》2018年第23期摘要：矩形基础受三角形分布荷载作用下，地基土中心位置下某点附加应力可以用常规方法“角点法”来计算，但是计算步骤较多，略显复杂，本文介绍了一种简易算法，并通过原理分析和实例计算对比，验证了此方法的正确性，并且计算结果较“角点法”精度更高。
关键词：矩形基础；三角形分布荷载；角点法；附加应力1 概述法国数学家布辛奈斯克（J.Boussinesq，1985）提出，如果有一个竖向集中力作用在弹性半空间表面上时，半空间内任意点处所引起的应力和位移可以应用弹性力学进行解答。
在附加应力计算时，通过叠加原理或者积分的方法可以求得各种分布荷载作用时的土中应力计算公式。
例如，当有竖直三角形分布荷载作用在矩形基底时，取坐标原点为荷载强度为零的角点o，利用公式沿着整个面积进行积分即可求得，如图1所示。
以上公式（1-2）、（1-3）仅适用于角点下附加应力计算，其它位置需要根据《建筑地基基础设计规范》给出的附加应力系数表，采用“角点法”，并根据叠加原理进行计算。
2 “角点法”计算实例如图2所示，矩形基础尺寸为4m×6m，作用在上面的三角形荷载最大值，求基础中心o 点下z=2m深度处的附加应力。
根据“角点法”，以矩形中心o为新角点，原矩形被分割为4个相等的矩形，分别为aboi、khio、bcjo、jgko，其中前两个矩形面积上作用的为三角形荷载abf，但最大值为原的一半，即100，而后两个矩形面积上作用的荷载为梯形荷载bcef，该梯形荷载可分解为三角形荷载def 和均布荷载bcdf，计算结果如下表：3 简易算法实例为简化矩形面积上三角形分布荷载作用下地基中心下某点的附加应力计算，针对图2中作用的三角形分布荷载ace，我们假设该矩形面积上同时承受一个对称的三角形分布荷载acd，根据上述“角点法”计算实例，同样通过其中心点可拆分为四个面积相等的小矩形，由对称性可知，此三角形分布荷载acd对矩形中心下某點的附加应力与三角形分布荷载ace产生的附加应力是相同的，即三角形分布荷载ace产生的附加应力是叠加后总附加应力值的一半。
弹性力学第三章习题
①在主要边界上（上下边界）上， ，应精确满足应力边界条件式（2-15），应力
因此，在主要边界 上，无任何面力，即
②在x=0，x=l的次要边界上，面力分别为：
因此，各边界上的面力分布如下图：
③在x=0，x=l的次要边界上，面力可写成主矢、主矩形式：
x=0上x=l上
（c）
在区域应力函数必须满足相容方程，（c）式为y的一次方程，相容方程要求它有无数多个根（全竖柱的y值都应满足它），可见其系数与自由项都必须为零，即
两个方程要求
（d）
中的常数项， 中的常数项和一次项已被略去，因为这三项在 的表达式中成为y的一次项与常数项，不影响应力分量。将（d）式代入（b）式，得应力函数
因此，可以画出主要边界上的面力，和次要边界上面力的主矢与主矩，如图：
(a)(b)
因此，该应力函数可解决悬臂梁在自由端受集中力F作用的问题。
8.设有矩形截面的长竖柱，密度为ρ，在一边侧面上受均布剪力q（图3-10），试求应力分量。
[解答]采用半逆法求解。
由材料力学解答假设应力分量的函数形式。
(1)假定应力分量的函数形式。
，
将上式代入式（a），得应力函数为
。（b）
(2)应力表达式为
(c)
(3)应力边界条件
，得2（A+D）=－q ;(d)
,得Acos2 +B sin2 +C +D=0,(e)
,得－2B－C=0,(f)
,2Asin2 －2Bcos2 －Ｃ=0。(g)
联立求解式(d)－(g)，得各系数
， ，
， 。
将系数代入(c)，得应力分量
20.如下图矩形截面简支梁，长度为 ，高度为 （ ， ），在上边界受三角形分布荷载作用，试取应力函数为： ，求简支梁的应力分量（体力不计）。
平面力系例题
B
例4-7 试求题图所示各梁支座的约束反力。设 力的单位为(KN)，力偶矩的单位为(KN.m)， 长度单位为(m)，分布载荷集度为(KN/m)。
解：取梁AB为研究对象、受力与坐标选取 如图所示，列平衡方程。
1 0.1 A 0.1 B 0.1
30°
C
0.8
X A 0.96( KN ) YA 0.3 KN
（3）取坐标系，列平衡方程： ∑Xi =0，FBx +F =0 ∑Yi=0，FBy +FC-Fq -FA=0 ∑MB（F）=0， -M +FA· a +FC · a -Fq（a +2a/3）=0
（4）求解，得 FBx =-F=-500 N FBy =-666.7 N FC =1666.7 N 注:FBX、 FBy求出为“负值”，说明实际 指向与假设相反。
Y
XA YA 0.1 A 1 0.1 B RB
F m F
X B
0 X A 0.8 cos30 0
0
YA 0.2 1 0.1 0.8 sin30 0.1 0
Y
0 RB YA 1 0.8 sin30 0
RB 1.1KN
0.1
30°
q2
(梯形面积)
关于线性荷载的合力及作用点的一般结论: ⑵线性荷载的合力作用在荷载图的几何中心上 q
L Q
L L/3 Q
例4-10、单个物体的平衡 已知：梁AD的支承及受力如图3-9所示。 F=500 N，FA=1000 N，q =1000 N/m， M =2 000 N · m，a =2 m 求： 支座B、C 的约束反力。
mc(p2) C
20°
理论力学第二章
F F3 F4
M Fd ( F3 F4 )d F3d F4 d M1 M 2
在同平面内的任意个力偶可以合成为一个合力偶， 合力偶矩等于各个力偶矩的代数和。
M Mi
i 1
n
2.2.4 平面力偶系的平衡条件
所谓力偶系的平衡，就是合力偶的矩等于零。因此， 平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各力偶矩 的代数和等于零，即
F R F 1 F 2 F n F
如果一力与某一力系等效，则此力称为该 力系的合力。
2.1.2 平面汇交力系平衡的几何条件
平面汇交力系平衡的必要与充分条件是： 该力系的合力等于零。用矢量式表示为：
Fi 0
平面力偶系的合成结果为
M O M 1 M 2 M n M O ( F1 ) M O ( F2 ) M O ( Fn ) M O ( Fi )
平面汇交力系力，FR′ 平面力 偶 系力偶，MO
(主矢，作用在简化中心) (主矩，作用在该平面上)
理论 力 学
河南科技大学建筑工程学院工程力学系
第二章 平面力系
平面力系：各力作用线位于同一平面的力系。 本章主要介绍平面力系的简化与平衡。 各力作用线位于同一平面且相交于一点的力系称为平面 汇交力系。
F1 A F2
F3
F4
2.1 平面汇交力系
2.1.1 平面汇交力系合成的几何法
c F1 A F3 F12 FR a d F4 e
RB
2、研究对象： 整体 m N AD RB l 思考：CB杆受力情况如何？
RC
m
RB
[例6]图示杆系，已知m，l。求A、B处约束力。
角点法计算公式
在实际工程中荷载很少是以集中力的形式作用在地基上，而往往是通过基础分布在一定面积上。
若基础底面的形状或基底下的荷载分布不均匀时，可用等代荷载法求解地基中附加应力；若基础底面的形状及基底下的荷载分布都均匀时，可用积分的方法求解地基中附加应力。
下面介绍常见的基础底面形状及其在分布荷载（有规律）作用下，地基中附加应力σz的计算。
一、矩形面积均布荷载作用时土中竖向附加应力计算1、计算公式如图所示，当均布竖向荷载作用于矩形基础时，矩形基础角点下任一深度z处的附加应力可由布辛奈斯克公式进行积分求得。
在离坐标原点O为x、y处取一微分面积d A=d x d y，该面上集中力为d p，角点下M(0，0，z)的附加应力为：代入及则：式中：A——基础底面面积，A=l·b；l为基础长边，b为基础短边；p0——矩形基础上均布荷载。
通过积分得：(3.23)式中：αc——均布矩形荷载角点下附加应力系数，可按下式计算或查教材中表 3.4求得。
(3.24)式中=l/b,n=z/b2、角点法当所求点不位于基础角点下时，可用角点法求解。
通常M点的位置分下列四种情况。
计算时，通过M点将荷载面积划分为若干个小矩形，然后按式(3.23)计算每个小矩形角点下同深度z处的附加应力，并求其代数和。
这种方法即为角点法。
注意：若干个小矩形面积之代数和应等于基础原有的受荷面积。
(1)M点在荷载面边缘处(图(a))(2)M点在荷载面之内(图(b))(3)M点在荷载面边缘外侧(图(c))(4)M点在荷载面角点外侧(图(d))3、举例【例题 3.4】已知均布受荷基底面积如例图所示，求基底下8m 处M点的附加应力。
p0=100k P a。
基底面积为3×2m2。
【解】二、矩形面积上作用三角形分布荷载时土中竖向附加应力计算1、计算公式如图所示，设沿矩形基础一边b分布的三角形荷载最大值为p t，在三角形荷载范围内取一微分面积d A=d x d y，该面上集中力为：通过积分，得荷载为零值边的角点1下任意深度z处竖向附加应力为：(3.25)式中：同理，还可求得三角形最大值边的角点2下任意深度z处的附加应力：(3.26)αt1和αt2均为附加应力系数，且是m=l/b和n=z/b的函数，可按下式计算或查教材中表 3.6求得。
三角形荷载分布荷载合力作用点
三角形荷载分布荷载合力作用点首先我们来介绍一下三角形荷载。
三角形荷载是指在一根横跨在两个支点上的梁上，荷载的大小和位置呈三角形分布的情况。
横跨在两个支点上的梁，其上有一均匀分布的荷载，这个荷载就可以看作是三角形形状的。
荷载的合力是指荷载作用于梁上所带来的总力，合力可以是一个向量，也可以是一个标量。
对于三角形荷载，由于其形状的特殊性，荷载的合力通常会具有一个特定的作用点。
在计算三角形荷载的合力作用点时，有三种常见的方法可以使用。
第一种方法是利用几何图形的性质，通过直观的方法来计算合力作用点。
对于一个均匀分布的三角形荷载，可以将其分成若干个小的矩形区域，然后计算每个矩形区域的合力作用点，最后将所有矩形区域的合力作用点相加即可得到总的合力作用点。
第二种方法是利用静力学的原理进行计算。
在静力学中，合力的作用点可以通过求解力矩平衡的方程来计算。
对于三角形荷载，可以通过将荷载划分为若干个小的矩形区域，然后计算每个矩形区域的合力产生的力矩，最后将所有矩形区域的力矩相加并除以总合力即可得到合力的作用点。
第三种方法是利用数学模型进行计算。
可以将三角形荷载表示为一个数学函数的形式，然后通过对该函数进行积分来计算合力作用点。
数学模型的选择通常取决于三角形荷载的具体形状和分布情况。
无论使用哪种方法进行计算，我们都需要首先确定三角形荷载的大小和分布情况。
然后通过合适的数学方法进行计算，最后得到合力作用点的位置。
需要注意的是，合力的作用点通常位于荷载的重心位置附近。
对于均匀分布的三角形荷载，合力的作用点通常位于三角形的重心位置。
对于其他类型的三角形荷载，可以根据具体情况和计算方法来确定合力的作用点的位置。
综上所述，三角形荷载的分布荷载合力作用点可以通过几何图形法、静力学法和数学模型法等方法进行计算，而合力的作用点通常位于荷载的重心位置附近。
三角形荷载分布荷载合力作用点
三角形荷载分布荷载合力作用点荷载合力作用点是指所有荷载合力的作用点的位置。
在三角形荷载分布中，荷载合力作用点的位置可以通过计算得到。
首先，我们需要确定三角形荷载分布的位置和大小。
在三角形荷载分布中，荷载大小是变化的，通常是从一个端点开始逐渐增大，直到另一个端点。
这种荷载分布可以是均匀的，也可以是不均匀的。
在设计和分析中，我们需要考虑荷载的大小和位置。
为了确定荷载合力作用点的位置，我们可以将三角形荷载分布分解成一系列小的矩形荷载。
然后，我们可以计算每个小矩形荷载的合力作用点的位置，再通过求和得到整个荷载分布的合力作用点。
具体计算的步骤如下：1.将三角形荷载分布分解成一系列小的矩形荷载。
可以将三角形分成若干个小的矩形，每个矩形的宽度相同，即平行于荷载分布的两个端点的直线。
2.计算每个小矩形荷载的合力作用点的位置。
对于每个小矩形荷载，可以将其看作是单一的集中力作用在矩形的中心线上。
因此，可以根据每个小矩形的位置和大小，计算出其合力作用点的位置，这个位置一般位于矩形的中心线上。
3.求和计算整个荷载分布的合力作用点。
将所有小矩形荷载的合力作用点的位置加权求和，即考虑每个小矩形的大小和位置，可以得到整个荷载分布的合力作用点的位置。
需要注意的是，在实际设计和分析中，荷载分布可能是连续的，而不是离散的。
对于连续的荷载分布，可以使用积分的方法来计算荷载合力作用点的位置。
总结起来，三角形荷载分布的荷载合力作用点的位置可以通过将其分解为小矩形荷载，计算每个小矩形的合力作用点的位置，再求和得到整个荷载分布的合力作用点的位置。
这个位置对于工程结构的设计和分析来说是非常重要的，可以影响结构的受力状况和稳定性。
三角形荷载分布荷载合力作用点
三角形荷载分布荷载合力作用点摘要：1.三角形荷载分布概述2.计算三角形荷载合力的方法3.确定合力作用点的方法4.应用实例正文：1.三角形荷载分布概述三角形荷载分布是指在三角形结构上分布有不同大小的荷载，这种荷载分布在实际工程中非常常见，如桥梁结构、塔架结构等。
在分析三角形荷载结构时，需要考虑荷载的合力和作用点，以便确保结构的稳定性和安全性。
2.计算三角形荷载合力的方法计算三角形荷载合力通常采用定积分法和合力矩定理。
定积分法适用于均匀分布的荷载，合力矩定理适用于任意分布的荷载。
以下分别介绍这两种方法：（1）定积分法：假设三角形荷载分布为均匀分布，可以用以下公式计算合力：F = ∫[0,l] P(x)dx其中，F 表示合力，P(x) 表示荷载分布函数，l 表示三角形的底边长。
（2）合力矩定理：对于任意分布的荷载，可以利用合力矩定理计算合力。
假设三角形顶点A、B、C 的荷载分别为P1、P2、P3，作用点分别为A、B、C，合力为F，那么有以下方程：F × AB = Σ(P1 × AC + P2 × AB + P3 × BC)其中，×表示向量叉乘，Σ表示求和。
3.确定合力作用点的方法确定合力作用点的方法通常是通过作图法。
首先，作出三角形荷载分布的图形，然后通过作图法找出合力的作用点。
具体步骤如下：（1）作出三角形荷载分布的图形；（2）从荷载作用点作一条平行于底边的线段；（3）延长这条线段至与底边相交，相交点即为合力作用点。
4.应用实例假设一个三角形结构，底边长为4m，两侧边长分别为3m 和5m。
在三角形顶点分别施加荷载P1=2kN、P2=3kN、P3=4kN。
现要求计算三角形荷载的合力和作用点。
（1）计算合力：利用定积分法，首先求出荷载分布函数P(x)：P(x) = (2kN * x + 3kN * (4 - x) + 4kN * (3 - x))/ 12然后计算定积分：F = ∫[0,4] P(x)dx = (2x^2 - 5x + 6)kN因此，三角形荷载的合力为(2x^2 - 5x + 6)kN。
三角形分布荷载ACG
p0 max pmax d 188.3 16.69 2.3 149.9 kN / m 2 p0 min pmin d 103.7 16.69 2.3 65.3kN / m 2
基底压力p------基底附加压力p0
p0
p0max
p0min
p0max
P
O x y θ R r
3 Pz 3 sz 5 2 2R
x y
1
r 2 1 z
5 2
P z2
m
z M(x,y,z)
z
3 Pz 3 sz 5 2 2R
3
1 r 2 1 z
p0 max pmax d 130.67 16 2 98.67 kN / m 2 p0 min pmin d 32.67 16 2 0.67 kN / m 2
例题2―4 某柱基础，作用在设计地面处的柱 荷载、基础尺寸、埋深及地基条件如图示， 计算基底压力和基底附加压力。
W ZF Z F F
s cz 1 h1 2 h2 3 h3 i hi
s cz i hi w h w
例题 2-1
某土层及其物理性质指标如图所示，地下水位 在地表下1.0 m，计算土中自重应力并绘出分布
a 点： s cz h 0 b 点：
h 0
s cz 1 h1
18 2 36kpa
h2 s cz 1 h1 2 45m顶：
45m不透水层面：
36 ( 18.5 10 ) 3 61.5 kpa
h2 w hw s cz 1 h1 2
3.3 合力矩定理及其应用
3.3 合力矩定理及其应用θsin )(FOA Fd F M A ==11111sin )(θOA F d F F M A ==xyFF 2 F 1d 1 d 2d OA2211sin sin sin θθθF F F +=2211d F d F Fd +=)()(i A A F M F M ∑=22222sin )(θOA F d F F M A ==2θ1θθ平面力系合力投影定理： 合力在坐标轴上的投影等于 分力在同一轴上的投影之和。
平面力系合力矩定理：合力对某一点O 之矩等于各分力对该点之矩的代数和。
()()O O i M F M F =∑应用（一）：计算力对点的矩()()()400sin 300.2400cos300.498.56kN mO O x O y M F M F M F =+=⨯-⨯=-⋅xF yFxF yF ()()()O O x O y M F M F M F =+应用（一）：计算力对点的矩F 1F 2F 1F 2F Fabc 21F F F +=21F F F -=应用（二）：求解平行力系合力的大小及作用位置12F a F b c =F+12F a F b c =F-OO三角形分布荷载，合力的大小及作用线位置？h F合力矩定理有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）xdxq 'Fhqlx q ⋅='ql dx q l x F l 210=⋅⋅=⎰dx q lx x dx q h F ll⋅=⋅⋅=⋅⎰⎰2'lh 32=[解]合力矩定理合力矩定理计算：作用在钢梁上的分布荷载对点A 的矩。
3kN/m6kN/m4m F 2F 113412kNF =⨯=21346kN2F =⨯⨯=4122632kN3A M =⨯+⨯=1218kNF F F =+=32 1.8m18A M l F ===l⎰⎰===⨯=F w x x x l 4d 2.5d 2.5160kN 40344xd x⎰⎰=⨯==⋅=M x w x x xlA 52.5512kN4d 2.5d 544===F l M ACA 1603.2m 512F 合力矩定理有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）如果作用在钢梁上的分布荷载是x 的函数，则合力的大小及作用位置？小结：合力矩定理合力对某一点O之矩等于各分力对该点之矩的代数和。
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三角形荷载分布荷载合力作用点
（原创版）
目录
1.三角形荷载分布的概念
2.计算三角形荷载分布的合力
3.确定合力的作用点
4.应用实例
正文
1.三角形荷载分布的概念
三角形荷载分布是指在三角形结构上分布有不同大小的荷载，需要计算这些荷载的合力以及合力的作用点。
在实际工程中，例如桥梁、塔架等结构，三角形荷载分布是非常常见的。
为了确保结构的安全性和稳定性，必须准确计算三角形荷载分布的合力和作用点。
2.计算三角形荷载分布的合力
计算三角形荷载分布的合力，可以采用定积分法和合力矩定理。
定积分法是根据三角形荷载分布的密度函数，对荷载进行积分，得到合力的大小。
合力矩定理是根据三角形荷载分布的几何特征，计算合力矩，从而得到合力的大小和方向。
3.确定合力的作用点
确定三角形荷载分布的合力作用点，需要应用合力矩定理。
在三角形结构上，合力的作用点必须在三角形的重心上。
重心是三角形三个顶点的平均位置，可以通过计算得到。
将合力作用点设置在重心上，可以保证三角形结构的稳定性。
4.应用实例
例如，一座桥梁结构上分布有不同大小的车辆荷载，需要计算这些荷载的合力以及合力的作用点。
采用定积分法和合力矩定理，可以准确计算出合力的大小和方向，以及作用点。
根据这些信息，可以优化桥梁结构设计，确保桥梁在荷载作用下的安全性和稳定性。
总之，计算三角形荷载分布的合力和作用点是结构分析中的重要问题。