高数题目及答案解析

高数题目及答案解析

1. 求函数$f(x)=2x-3\sin{x}$ 关于 x 的导函数

答案：$f'(x)=2+3\cos{x}$

解析：首先利用微积分的基本法则：对于单变量函数 $y=f(x)$ ，其关

于 x 的导函数为$f'(x)=\frac{d}{dx}f(x)=\frac{dy}{dx}$ ，即求导函数就相当于计算 $\frac{d}{dx}f(x)$ ，所以，把函数 $f(x)=2x-3\sin{x}$ 交给求导机，计算其对 x 的导数：

首先计算第一项 $2x$ 的导数：$\frac{d}{dx}2x=2$

接着计算第二项 $-3\sin{x}$ 的导数：$\frac{d}{dx}-3\sin{x}=-3\cos{x}$

根据微积分的基本法则，将两个分量的导数相加，得到函数 $f(x)=2x-

3\sin{x}$ 关于 x 的导函数：$f'(x)=2+3\cos{x}$

2. 求复变函数$z=x^2+y^2$ 的极坐标表达式

答案：$z=r^2$

解析：首先利用极坐标对直角坐标系中的点坐标进行改写的定义：

$x=r\cos\theta$ 、$y=r\sin\theta$ ，把函数 $z=x^2+y^2$ 带入上式，即可得到：$z=r^2 \cdot (\cos^2 \theta +\sin^2 \theta)= r^2$ 。所以，复变函数$z=x^2+y^2$ 的极坐标表达式为：$z=r^2$ 。