湖南科技大学数理方程历年真题
数理方程试卷及答案2
长沙理工大学考试试卷…………………………………………………………………………………………………………………试卷编号 拟题教研室（或教师）签名 教研室主任签名…………………………………………………………………………………………………………………课程名称（含档次） 数学物理方程与特殊函数 课程代号专 业 层次（本、专） 本 科 考试方式（开、闭卷） 闭卷一．判断题：（本题总分25分，每小题5分）1．二阶线性偏微分方程062242=+++-y x yy xy xx u u u u u 属于椭圆型； （ ）2．定解问题的适定性包括解的稳定性、解的唯一性和解的存在性； （ ）3．如果格林函数),(0M M G 已知，且它在Γ+Ω上具有一阶连续偏导数，又若狄利克雷问题⎩⎨⎧=Ω∈=∆Γ ).,,(|,),,(0z y x f u z y x u 在Γ+Ω上具有一阶连续偏导数的解存在，那么其解可表示为=)(0M u dS nG z y x f ⎰⎰Γ∂∂-),,(； （ ） 4．设)(x P n 为n 次Legendre 多项式，则0)()(111050358⎰-=dx x P x P ； （ ）5．设)(x J n 为n 阶Bessel 函数，则[])()(021ax xJ a ax xJ dxd =． （ ） 二．解答题：（本题总分65分） 1．（本小题15分）设有一根长为l 的均匀细杆，它的表面是绝热的，如果它的端点温度为1),0(u t u =，2),(u t l u =，而初始温度为0T ，写出此定解问题．2．（本小题20分）利用固有函数法求解下面的定解问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====><<+=.0),(,0),0(,0)0,(,0)0,(),0,0(cos sin 2t l u t u x u x u t l x l x t A u a u x x t xx tt πω 其中ω,A 是常数．3．（本小题15分）求出方程xy u u yy xx =+的一个特解．第 1 页（共 2 页）4．（本小题15分）用试探法求解拉普拉斯方程狄氏问题：⎩⎨⎧+=≤≤<=∆ .sin cos ),()20,(,0),(22θθθπθθB A R u R r r u 三．证明题：（本题总分10分） 证明：函数⎰+-+++-=atx at x ds s a at x at x t x u )(212)()(),(ψϕϕ是下面的齐次方程的初值问题 ⎪⎩⎪⎨⎧==>+∞<<-∞=).()0,(),()0,(),0,(2x x u x x u t x u a u txx tt ψϕ 的解．第 2 页（共 2 页）长沙理工大学试卷标准答案课程名称： 数学物理方程与特殊函数(B) 试卷编号：03一．判断题：（本题总分25分，每小题5分）1．×； 2．√； 3．√； 4．√； 5．×．二．解答题：（本题总分65分）1．（本小题15分）泛定方程：xx t u a u 2=，)0,0(><<t l x ； …………………5分 边界条件：1),0(u t u =，2),(u t l u =； …………………10分 初始条件：0)0,(T x u =． …………………15分2．（本小题20分） 泛定方程相应的齐次方程满足齐次边界条件的固有函数系为⎭⎬⎫⎩⎨⎧l x n πcos ，故可设方程的解为∑∞==0cos)(),(n n lx n t u t x u π， ……………5分 将它代入泛定方程，得l x t A l x n t u l a n t u n n n πωππcos sin cos )()(02=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+''∑∞=， ……………10分 于是),1(0)()(2≠=⎪⎭⎫ ⎝⎛+''n t u l a n t u n n π .s i n )()(121t A t u l a t u ωπ=⎪⎭⎫ ⎝⎛+'' ……………12分 由初始条件，得 ),2,1(0)0()0( =='=n u u n n …………14分显然，当1≠n 时，0)(=t u n ；当1=n 时，解上面的微分方程得ττπωτπd t l a A a l t u t)(sin sin )(01-=⎰第1页（共3页）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=t l a l at l a a Al ωππωπωπsin sin 122， ……………18分 故所求的解为 l x t l a l at l a a Al t x u πωππωπωπcos sin sin 1),(22⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=。
湖南科技大学考试试题纸(A 卷)
湖南科技大学考试试题纸（A卷）(2008-2009学年第2学期)化学反应工程课程化学化工学院（系）07应化1~3 班级考试时量100分钟学生人数80 命题教师仇明华系主任交题时间：2008年 6 月12 日考试时间：2009年7 月1 日注：请打印或用炭素墨水书写、字迹要求工整、并抄写在方框线内共4页，第1 页，注：请打印或用炭素墨水书写、字迹要求工整、并抄写在方框线内共4页，第2 页，⎩⎨⎧≥-<=1)1exp(10)(t t t t E 试分别用轴向扩散模型和直接用RTD （停留时间分布）加权的方法计算该反应器的出口转化率，并对计算结果进行比较。
4．任选题（在下面两题中，任选一题作答。
作答时一定要有求解过程，多选或无过程作答均无效） 4-1．（10分）某气液反应器，高20米，截面积21m 。
内装填料的空隙率为0.5。
气液流量分别为s m /5.03和s m /1.03。
在气液入口脉冲注入示踪剂，测得出口流中的示踪剂浓度如图所示，试分析塔中有无死体积。
4-1图1 出口气体时间-浓度曲线 4-1图2 出口液体时间-浓度曲线4-2．（10分）某全混流反应器31m V R =，流量min /13m V =，脉冲注入0M 克示踪剂，出口示踪剂浓度随时间的变化为40/30)(t et c -= ，试判断反应器中有无死角存在。
注：请打印或用炭素墨水书写、字迹要求工整、并抄写在方框线内 共4页， 第4 页，湖南科技大学考试试题参考答案及评分细则（2008 -2009 学年第 2 学期）化学反应工程课程（A卷）化学化工院（系）05应化1~2 班级应试学生人数62 实际考试学生人数65 考试时量100分钟命题教师仇明华审核人：考试时间：2008年7 月3日注：请用炭素墨水书写、字迹要求工整、并抄写在方框线内共 3 页，第 1 页，。
湖南科技大学考试试题纸高等数学__B
湖南科技大学考试试题纸高等数学__B————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：湖南科技大学考试试题纸（ Ｂ 卷）(200７-200８ 学年第一学期)高等数学Ａ 课程 院（系） 班级考试时量 100分钟 学生人数 命题教师 邹鹏贤 系主任 汤四平 交题时间：２００７年 １２ 月２３日 考试时间： 年 月 日一、单项选择题（5×4分共计20分）1、 已知()()1ln 1f x xg x x =+=+则()()f g x =⎡⎤⎣⎦。
().1ln 1;.2ln ;.ln(1)1;.1ln A x B x C x D x ++++++2、当n →∞，为了使211sinn n λ与等价，λ应取为（ ）。
1.;.1;.2;.32A B C D 。
3、曲线22326y x x =+-上点M 处的切线斜率是15，则点M 的坐标是（ ）。
()()()().3,15;.3,1;.3,15;.3,1A B C D ---。
4、函数()21y x =-在(),-∞+∞上的极小值点为（ ）。
A.0;B.1;C.2;D.不存在 ５、()()()33xf x dx ec f x =+=⎰则。
xx xx3333A.3e ;B.9e ;C.e ;D.e c + 二、填空（5×4分共计20分）１、若()1sin 000x x f x x x λ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处连续，则λ满足（ ）。
２、设函数()3221f x x x x =-，则()()1f '=。
３、sin 2y x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭在区间[],ππ-上的极大值点()0x =。
４、()()13f x dx '-=⎰。
５、设()f x 连续，0x >且()()211xf t dt x x =+⎰则()()2f =。
0802线代(A)
湖南科技大学考试试题纸（A卷）
(2008 -2009 学年第一学期)
线性代数A课程院（系）班级考试时量100分钟学生人数命题教师系主任
交题时间：2008 年11 月28 日考试时间：2008 年12 月14 日
注：请打印或用炭素墨水书写、字迹要求工整、并抄写在方框线内共 2 页，第 1 页，
注：请打印或用炭素墨水书写、字迹要求工整、并抄写在方框线内共 2 页，第 2 页.
湖南科技大学潇湘学院考试试题纸（A卷）
(2008 -2009学年第一学期)
线性代数A课程专业班级考试时量100分钟学生人数命题教师系主任
交题时间：2008年11月28日考试时间：2008年12 月14 日
注：请用炭素墨水书写、字迹要求工整、并抄写在方框线内共 2 页，第 1 页，
注：请用炭素墨水书写、字迹要求工整、并抄写在方框线内共 2 页，第 2 页.。
湖南科技大学《高等数学》2023-2024学年第一学期期末试卷
湖南科技大学2023——2024学年第一学期《高等数学》期末考试试卷班级：姓名：学号：一、填空题(每小题3分，共15分分数：)1.=)(x f 21111x --的间断点是=x 2.若)0(,)(2n x n y e x y 则+==3.函数43)(3--=x x x f 的极大值点为4.dx e x ⎰+11=5.=-⎰dx x 2024二、填空题(每小题3分，共15分)1.当1→x 时，函数11211)(---=x e x x x f 的极限为（）)(A ∞)(B 不存在)(C 2)(D 02.设)(x f 是以3为周期的奇函数，且1)1(-=-f ，则)7(f =（）)(A 1)(B 1-)(C 2)(D 2-3.设||)(x x x f =，则)0(f '是（）)(A 0)(B 1)(C 1-)(D 不存在4.方程0133=+-x x 在区间(0,1)内（）)(A 无实根)(B 有唯一实根)(C 有两个实根)(D 有三个实根5.设)(x f 在[a -，a ]上连续（a ＞0），⎰=-dx x f a a )(（）)(A ⎰a 21.求极限(C )不存在 (D )⎰0a [f (x )+f (-x )]dx三、计算题(每小题8分，共40分0f (x )dx (B )0)x x x ln 1arctan 2lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→π。
2.设⎪⎩⎪⎨⎧≥<=0,0 ,sin )(x x x x x f ，求)(x f '。
3.()dx x 210arcsin ⎰yxt 1s 2s 1o 4．在区间]1,0[上给定函数2x y =，问t 为何值时，图中的阴影部分1S 与2S 的面积之和最小？何时最大？5．试确定正的常数a ,b 使等式1sin 1lim 2200=+-⎰→dt t a t bx x x x 成立。
四、综合应用题(每小题10分，满分20分)1.在曲线)0(2≥=x x y 上某点A 处作一切线，使此切线与曲线以及x 轴所围成图形的面积为121，试求由上述所围平面图形绕x 轴旋转所得的旋转体的体积。
湖南科技大学概率论与数理统计B历年真题
湖南科技大学考试试题纸（B卷）（2006- 2007学年度第一学期）课程名称概率论与数理统计B 开课学院数学学院命题教师上课学院所有学院年级班级考试时量100 分钟系主任考核方式（闭卷）交题时间：年月日警示：考试违纪处理：警告，严重警告；考试舞弊处理：记过，留校察看，开除学籍。
考试舞弊受湖南科技大学考试试题纸（B卷）（2007- 2008学年度第二学期）课程名称概率论与数理统计B 开课学院数学学院命题教师上课学院所有学院年级班级考试时量100 分钟系主任考核方式（闭卷）交题时间：年月日警示：考试违纪处理：警告，严重警告；考试舞弊处理：记过，留校察看，开除学籍。
考试舞弊受湖南科技大学考试试题（A卷）(2008 -2009 学年第二学期)概率论与数理统计B 课程班级考试时量100分钟学生人数_ 命题教师系主任交题时间：2009 年 5 月15 日考试时间：2009 年 6 月日警示：考试违纪处理：警告，严重警告；考试舞弊处理：记过，留校察看，开除学籍。
考试舞弊受湖南科技大学考试试题（B卷）(2008 -2009 学年第二学期)概率论与数理统计B 课程班级考试时量100分钟学生人数命题教师系主任湖南科技大学考试试题纸（ A 卷）(2010 -2011 学年第一学期) 概率论与数理统计（B）课程专业班级考试时量100分钟学生人数106 命题教师匡能晖系主任考核方式（闭卷）交题时间：年月日警示：考试违纪处理：警告，严重警告；考试舞弊处理：记过，留校察看，开除学籍。
考试舞弊受湖南科技大学考试试题纸（A卷）（2010- 2011学年度第二学期）课程名称概率论与数理统计B 开课学院数学学院命题教师上课学院所有学院年级班级考试时量100 分钟系主任考核方式（闭卷）交题时间：年月日警示：考试违纪处理：警告，严重警告；考试舞弊处理：记过，留校察看，开除学籍。
考试舞弊受湖南科技大学考试试题纸（A卷）（2011- 2012学年度第二学期）课程名称概率论与数理统计B 开课学院数学学院命题教师上课学院所有学院年级班级考试时量100 分钟系主任考核方式（闭卷）交题时间：年月日警示：考试违纪处理：警告，严重警告；考试舞弊处理：记过，留校察看，开除学籍。
数理方程题库.doc
第一部分分离变量法一、(1) 求解特征值问题(2) 验证函数系关于内积正交，并求范数二、用分离变量法求解定解问题的解的表达式，写出具体的分离变量过程. 进一步，当时，求和时的值.三、（方程非齐次的情形）求定解问题四、（边界非齐次的情形）求定解问题五、（Possion方程）求定解问题六、求定解问题：注意：1、考试只考四种边界条件，即还有以下三种：2)3)4)2、以上均为抛物型方程，还可以考双曲型方程（相应的初值条件变为两个）和椭圆型方程（无初值条件）；3、考试中除特别要求（如以上的第二题）外，不要求必须用分离变量法、特征函数法等方法求解，你可以自己选择方法（如上面的第三题）可以用Laplace 变换求解。
第二部分 积分变换法一、请用下面三种方法求解无穷限波动问题()()2222200,, 0,,t t u u a x t t x u x x u x x t ϕψ==⎧∂∂=-∞<<∞>⎪∂∂⎪⎪=-∞<<∞⎨⎪∂⎪=-∞<<∞∂⎪⎩ (1) 用积分变换法推导达朗贝尔公式(2) 用特征线法推导达朗贝尔公式 (3) 用降维法推导达朗贝尔公式二、用积分变换法求解定解问题22301,1, 0,1cos ,0y x u x y x y x y u x x u y y ==⎧∂=>>⎪∂∂⎪⎪=≥⎨⎪=>⎪⎪⎩注意：只考应用Fourier 变换和Laplace 变换求解方程的问题第三部分 特征线问题一、判断方程的类型.二、从达朗贝尔公式出发，证明在无界弦问题中(1) 若初始位移()x ϕ和初始速度()x ψ为奇函数，则(),00u t = (2) 若初始位移()x ϕ和初始速度()x ψ为偶函数，则(),00x u t = 三、请用下列方法求解定解问题(1) 用特征线法求解 (2) 用积分变换法求解第四部分 Legendre 多项式一、将()2f x x =在区间()1,1-内展成勒让德多项式的级数二、在半径为1的球内求调和函数，使1321cos r u θ==+（提示：边界条件仅与θ有关，解也同样）第五部分 Green 函数20、证明：()()0lim x x εεδρ→=（弱），其中 ()1,20,x x x εερεε⎧<⎪=⎨⎪≥⎩21、证明：()sin limN Nxx Nxδ→+∞=（弱） 22、证明：当时，弱收敛于23、求()()0x δξξπ-<<在()0,π上的余弦级数，并证明该级数若收敛于()x δξ- 24、求()()0x δξξπ-<<在()0,π上的正弦级数，并证明该级数若收敛于()x δξ-赠送相关资料考试答题的技巧拿到试卷之后，可以总体上浏览一下，根据以前积累的考试经验，大致估计一下试卷中每部分应该分配的时间。
湖南科技大学1401线性代数B(A卷)
湖南科技大学考试试题纸（A卷）
（2013- 2014学年度第二学期）
课程名称线性代数B开课学院数学学院命题教师唐运梅
上课学院13级各上课学院年级13级班级13级适用
考试时量100分钟系主任
考核方式（闭卷）交题时间：2014年4月14日
警示：考试违纪处理：警告，严重警告；考试舞弊处理：记过，留校察看，开
湖南科技大学考试试题参考答案及评分细则
（ 2013 - 2014 学年度第 2 学期）
课程（A 卷）线性代数B 学院班级 13级适用
应试学生人数实际考试学生人数考试时量 100 分钟
命题教师唐运梅审核人考试时间：年月日 一、选择题（每小题4分，共计20分） B A D C C
二、填空题（每小题4分，共计20分）
1. 8 ，偶排列
2. 16
27
- 3.10-=或a 4. n r n ,-
5. 4π
三、将第2,3，…，n 列都加到第一列，得
()()()()a
b b b n a b a b b
n a b b a b n a b b b b n a D 1111-+-+-+-+=[]a
b b b a
b b
b a b
b b b n a
11
11)1(-+= 6分
[]b
a b a b
a b
b b b n a r r r r n ----+--000
000
1
)1(1
12
00
0 9分
[]1)()1(---+=n b a b n a 12分。
数理方程课后习题(带答案)
第2章习题选讲
nn2
n2,n1,2,3,
l
n
Xn
Bn
sin l
x
Ta2T0
Tn
a2n22
l2
Tn
0
a2n22 t
Tn Ane l2
un XnTn
A nB nea2n l2 22tsinn l xC nea2n l2 22tsinn l x
数学物理方程与特殊函数
第2章习题选讲
a2n22
t
u un Cne l2
0 x l,t 0
t 0 0 x l
对于（II）用分离变量法可得
W
Ce
na22l22
n
n1
t
sinn l
x
代入初始条件可得
T
Cn
n1
sin
n
l
x
由此可得
C n2 l 0 lTsinn lxd xn 2 T[1 ( 1 )n]
数学物理方程与特殊函数
第2章习题选讲
对于（I）可用固有函数法
令Ae-x
v(x,t)
vea2nl222t n
n1
sinnx
l
其 中 v n2 l 0 l[g (x) w (x)]sinn lxd x
原 问 题 得 解 为 u ( x ,t) v ( x ,t) w ( x )
数学物理方程与特殊函数
第2章习题选讲
习题2第12题： 求下列定解问题：
u(x20u2,y)y2u2u(l10,,y)0,
数学物理方程与特殊函数
第2章习题选讲
习题2 第1题
设弦的两端固定于x=0及x=l，弦的初始位移如图所示，初速度为 零，又没有外力作用，求弦作横向振动时的位移函数u(x,t)。
湖南科技大学2012-2013年线性代数试卷及答案
湖南科技大学考试试题纸（ A 卷）(2012 -2013学年第1学期)线性代数A课程11级信息、计算机、机电、土木等院（系）班级考试时量100分钟学生人数命题教师唐运梅系主任签字考试方式：闭卷交题时间：2012 年12 月10 日考试时间：年月日湖南科技大学考试试题纸（ B 卷）(2012 -2013学年第1学期)线性代数A课程11级信息、计算机、机电、土木等院（系）班级考试时量100分钟学生人数命题教师唐运梅系主任签字考试方式：闭卷交题时间：2012 年12 月10 日考试时间：年月日湖南科技大学考试试题参考答案及评分细则（A卷）（2012---2013 学年第 1 学期）线性代数A 课程2011 年级专业班级应试学生人数实际考试学生人数考试时量100分钟考试方式：闭卷命题教师唐运梅审核人：考试时间：年月日注：《线性代数A 》A卷答案共 3 页第 1 页注：《线性代数A 》A卷答案共 3 页第 2 页注：《线性代数A 》A卷答案共 3 页第 3 页湖南科技大学考试试题参考答案及评分细则（B卷）（2012---2013 学年第 1 学期）线性代数A 课程2011 年级专业班级应试学生人数实际考试学生人数考试时量100分钟考试方式：闭卷命题教师唐运梅审核人：考试时间：年月日注：《》B卷答案共 3 页第 1 页注：《线性代数A 》B卷答案共 3 页第 2 页注：《线性代数A 》B卷答案共 3 页第 3 页湖南科技大学考试试题纸（ A 卷）（2012 - 2013 学年度第二学期）课程名称线性代数A 开课学院数学学院命题教师唐运梅考核对象：上课学院土木、机械、信息等学院班级12级考试时量100 分钟学生人数系主任考核方式（闭卷）交题时间：2013 年 6 月 4 日注：《线性代数A 》课程（A 卷）湖南科技大学考试试题参考答案及评分细则（2012 - 2013 学年度第二学期）课程（A卷）线性代数A 学院土木、信息、机械等学院班级12级应试学生人数实际考试学生人数考试时量100 分钟命题教师唐运梅审核人考试时间：年月日注：《线性代数A 》课程（A）卷湖南科技大学考试试题纸（ B 卷）（2012 - 2013 学年度第二学期）课程名称线性代数A 开课学院数学学院命题教师唐运梅考核对象：上课学院土木、机械、信息等学院班级12级考试时量100 分钟学生人数系主任考方式（闭卷）交题时间：2013 年 6 月 4 日注：《线性代数A 》课程（B 卷）。
湖南科技大学信号与系统30题
f (t )
f ( t + 5)
解:
1
时移
1 t −6 −5 −4
1
O
−1
O
t
标度 变换
f ( 3t )
1
1 − O 3
标度 变换
f ( 3t + 5)
时移
1 3
1
−2
4 − 3
t
t
X
例3‐1
周期信号
⎛ f (t ) = 3 cos t + sin ⎜ 5t + ⎝ π⎞ 2π⎞ ⎛ ⎟ − 2 cos⎜ 8t − ⎟ 6⎠ 3 ⎠ ⎝
aδ (t ) + bΔu(t ) + 3aΔu(t ) + 2r (t ) = 2δ (t ) + 6 u(t )
于是
rzs (0 + ) = rzs (0 − ) + a = 2 ′ ′ rzs (0 + ) = rzs (0− ) = 0
t>0时，方程为
d r (t ) d 2 r (t ) +3 + 2r (t ) = 6u(t ) 2 dt dt
方法一：利用傅里叶变换的微分性质
要注意直流，设fA(t)为交流分量， fD(t)为直流分量，则
f (t ) = fA (t ) + fD (t ) F (ω ) = FA (ω) + FD (ω)
f (t )
2
1
O
12
f A (t )
1
t
其中
1 3 fD (t ) = [ f (− ∞ ) + f (∞ )] = 2 2
线性代数试题(湖南科技重点大学)
湖南科技大学考试试题纸（A卷）
(2008 -2009 学年第一学期)
线性代数A课程院（系）班级考试时量100分钟学生人数命题教师系主任
交题时间：2008 年11 月28 日考试时间：2008 年12 月14 日
湖南科技大学潇湘学院考试试题纸（A卷）
(2008 -2009学年第一学期)
线性代数A课程专业班级考试时量100分钟学生人数命题教师系主任
交题时间：2008年11月28日考试时间：2008年12 月14 日
湖南科技大学考试试题参考答案及评分细则
（2008 -2009 学年第1 学期）
线性代数A 课程（A卷）院（系）班级应试学生人数实际考试学生人数考试时量100分钟
命题教师唐运梅审核人：考试时间：年月日
湖南科技大学潇湘学院考试试题参考答案及评分细则
（2008 -2009 学年第 1 学期）
线性代数A 课程（A卷）专业班级应试学生人数实际考试学生人数考试时量100 分钟
命题教师唐运梅审核人：考试时间：年月日。
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湖南科技大学考试试题纸（A 卷）（2006- 2007学年度第二学期）课程名称 数学物理方程与特殊函数 开课学院 数学学院 命题教师 上课学院 物理、土木学院 年级 05级 班级 05级适用 考试时量 100 分钟 系主任考核方式（闭卷） 交题时间： 年 月 日警示：考试违纪处理：警告，严重警告；考试舞弊处理：记过，留校察看，开除学籍。
考试舞弊受到留校察看处分，将不会授予学位证！一、填空（请写在答题纸上，每题6分，共计48分）1. 三维泊松方程是______________________________。
2. 边界为Γ的区域Ω上函数u 的第二类边界条件为___________________。
3. 极坐标下的二维拉普拉斯方程为__________________________。
4. 定解问题202||0tt xx t t t u u x u x u ===-∞<<+∞⎧⎪⎨==⎪⎩， ，的解__________________________。
5. 三维拉普拉斯方程的牛曼内问题为______________________________；其解存在的必要条件为____________。
6. 写出4阶贝塞尔方程的标准形式_____________________________。
7. 设2()J x 为2阶贝塞尔函数，则22()d x J kx dx⎡⎤⎣⎦=__________________。
8. 设弦一端在0x =处固定，另一端在x l =处做自由运动。
则弦振动问题的边界条件为：________________________________。
二、（10分）求解定解问题：200(0)()00()0.t xx x x u a u x l t u t u l t t u x x x l ⎧=<<>⎪==≥⎨⎪=≤≤⎩， ，，，，， ，，0，三、（10分）设,0x y -∞<<+∞>，求解定解问题：540()0()2xx xy yy yu u u u x u x x ++=⎧⎪=⎨⎪=⎩，0，0四、（10分）设()u u x y =，，用积分变换法求解下面问题：210(1)1()xy u y x y u y u x x =>>⎧⎪=⎨⎪=⎩，，，，0五、（12分）求拉普拉斯方程在半空间2x >内的格林函数；并求解定解问题：02(2)()xx yy zz u u u x u y z y z y z ϕ++=>⎧⎨=-∞<<∞⎩，，，，， ，六、（10分）求满足下面定解问题的解：sin 200(0)()0()()0tt xx t u u x x t u t u t u x u x ππ=+<<>⎧⎪==⎨⎪==⎩， ，，，，0，0湖南科技大学考试试题纸（B卷）（2006- 2007学年度第二学期）课程名称数学物理方程与特殊函数开课学院数学学院命题教师上课学院物理、土木学院年级05级班级05级适用考试时量100 分钟系主任考核方式（闭卷）交题时间：年月日警示：考试违纪处理：警告，严重警告；考试舞弊处理：记过，留校察看，开除学籍。
考试舞弊受到留校察看处分，将不会授予学位证！一、填空（请写在答题纸上，每题6分，共计48分）1.设弦一端在0x =处固定，另一端在x l =处做自由运动。
则弦振动问题的边界条件为：____________________________________.2.边界为Γ的区域Ω上函数u 的第二类边界条件为__________________________________.3.三维泊松方程是______________________________________________________________.4.极坐标下的二维拉普拉斯方程为__________________________.5.定解问题2002||0tt xx t t t u u x u x u ===-∞<<+∞⎧⎪⎨==⎪⎩， ，的解__________________________.7.三维拉普拉斯方程的牛曼内问题为______________________________；其解存在的必要条件为__________________________.8.设2()J x 为2阶贝塞尔函数，则22()d x J kx dx ⎡⎤⎣⎦=__________________.9.写出4阶贝塞尔方程的标准形式_____________________________.二、（10分）求解定解问题：200(0)()00()0.t xx x x u a u x l t u t u l t t u x x x l ⎧=<<>⎪==≥⎨⎪=≤≤⎩， ，，，，， ，，0，三、（10分）设,0x y -∞<<+∞>，求解定解问题：540,()0,()2.xx xy yy yu u u u x u x x ++=⎧⎪=⎨⎪=⎩，0，0四、（10分）设()u u x y =，，用积分变换法求解下面问题：210(1)10() 1.xy u y x y u y y u x x x =>>⎧⎪=>⎨⎪=>⎩， ，，，， ，，0，五、（12分）求拉普拉斯方程在半空间0x >内的格林函数；并求解定解问题：00(0)()xx yy zz u u u x u y z y z y z ϕ++=>⎧⎨=-∞<<∞⎩， ，，，，， ，六、（10分）求满足下面定解问题的解：sin 00(0)()00()()00.tt xx t u u x x t u t u t t u x u x x πππ=+<<>⎧⎪==≥⎨⎪==≤≤⎩， ，，，，， ，0，0，湖南科技大学考试试题纸（A 卷）（2013- 2014学年度第二学期）课程名称 数学物理方程与特殊函数 开课学院 数学学院 命题教师上课学院 物理、土木学院 年级 班级 考试时量 100 分钟 系主任考核方式（闭卷） 交题时间： 年 月 日警示：考试违纪处理：警告，严重警告；考试舞弊处理：记过，留校察看，开除学籍。
考试舞弊受到留校察看处分，将不会授予学位证！ 一、回答下面的问题：1.写出一维弦振动方程，指出函数及其对时间的二阶偏导数的物理意义.（5分）2.三维空间中的波动方程的一般形式为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=∂∂222222222z u y u x u a t u ，说明常数a 的物理意义；另外，由Maxwell 方程可知，电磁场满足三维的波动方程，在自由空间（即真空）中，相应地，01εμ=a ，其中70104-⨯=πμ是真空的磁导率，1201085.8-⨯≈ε是真空的介电常数（都是国际单位制下的值）.请估算一下a 的值，这个数值能让你想到什么？（5分）3.本小题与Laplace 算子和Laplace 方程有关.（1）Laplace 算子出现在现在很多重要的偏微分方程（例如，Schrodinger 方程）中，写出二维和三维空间中的Laplace 算子的定义.（5分）（2）什么是Laplace 方程（也称调和方程）？它可以反映什么样的物理现象？（5分）二、写定解问题，把下面的两个定解问题用数学表达式写出.（不用具体求解；每小题5分，共10分）.1.长为L 的细弦作微小的横振动，弦的左端自由，右端固定，弦上没有外力作用，初始时刻没有位移x L -，初始时刻弦上每一点的速度为零.2.长为L 的细杆上的热量传导，杆的左右两端温度保持为0摄氏度，初始时刻杆上的温度分布函数为x x +2.三、分析并用分离变量法求解下面的定解问题：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤=>==∂∂><<∂∂=∂∂===.0,,0,0,0,0,0,00222L x x u t u xut L x x u a tu t L x x 1.用文字说明该定解问题描述的物理问题（5分）.2.用分离变量法求解，注意：必须写出完整的解题过程（20分）.四、考虑定解问题⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤+=∂∂=>==><<+∂∂=∂∂====.10,1,sin ,0,1,0,0,10,00102222x x t u x u t u u t x x x ut u t t x x 1.用文字说明该定解问题描述的物理问题（5分）.2.求解这个定解问题.注意：必须写出完整的解题过程（20分）.五、求解定解问题（10分）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥+=≥=>>=∂∂∂==.0,1,0,1,0,0,12002x x u t u t x x t ut x （可能用到的结论：当k 为非负整数时，k t 的Laplace 变换为1!+k sk ）六、n 阶Bessel 方程的形式为0)()()(')("222=-++x y n x x xy x y x ，它有两个线性无关解，∑∞=++++Γ-=022)1(!2)1()(m mn mn mn m n m x x J 是其中一个，解答下面的问题： 1.写出阶的Bessel 方程.（2分）2.算出)(2x J 的级数公式中的前三项.提示：若k 为正整数，则有!)1(k k =+Γ.（3分）3.我们什么时候会遇到Bessel 函数？你怎么理解他的地位和作用？（5分）。