高中数学 第2章 平面解析几何初步 直线与圆综合学案 苏教版必修2 学案

直线与圆综合（定点、定值、最值问题）一、解答题1．已知圆()222:2(0)M x y r r +-=>与曲线()():23430C y x y --+=有三个不同的交点. （1）求圆M 的方程；（2）已知点Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切圆M 于A ，B 两点.①若42AB =，求MQ 及直线MQ 的方程； ②求证：直线AB 恒过定点.2．在平面直角坐标系中，已知圆过坐标原点且圆心在曲线上．(1)若圆分别与x 轴、y 轴交于点A 、B(不同于原点O)，求证：的面积为定值； (2)设直线与圆交于不同的两点，且，求圆M 的方程；(3)设直线与(2)中所求圆交于点E 、F ， P 为直线x=5上的动点，直线PE ，PF 与圆的另一个交点分别为G ，H ，且G ，H 在直线异侧，求证：直线GH 过定点，并求出定点坐标.3．已知圆22:2O x y +=，直线:2l y kx =-. （1）若直线l 与圆O 交于不同的两点,A B ,当2AOB π∠=时，求k 的值.（2）若1,2k P =是直线l 上的动点，过P 作圆O 的两条切线,PC PD ，切点为,C D ，探究：直线CD 是否过定点；（3）若,EF GH 为圆22:2O x y +=的两条相互垂直的弦，垂足为1,2M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，求四边形FGFH 的面积的最大值.4．已知平面直角坐标系xoy 内两个定点()1,0A 、()4,0B ,满足2PB PA =的点(),P x y 形成的曲线记为Γ.(1)求曲线Γ的方程;(2)过点B 的直线l 与曲线Γ相交于C 、D 两点,当⊿COD 的面积最大时,求直线l 的方程(O 为坐标原点); (3)设曲线Γ分别交x 、y 轴的正半轴于M 、N 两点,点Q 是曲线Γ位于第三象限内一段上的任意一点,连结QN 交x 轴于点E 、连结QM 交y 轴于F .求证四边形MNEF 的面积为定值.5．已知圆22:9O x y +=，直线1l :x =6，圆O 与x 轴相交于点A B 、（如图），点P (-1,2)是圆O 内一点，点Q 为圆O 上任一点（异于点A B 、），直线A Q 、与1l 相交于点C ．（1）若过点P 的直线2l 与圆O 相交所得弦长等于，求直线2l 的方程； （2）设直线BQ BC 、的斜率分别为BQ BC k k 、，求证：BQ BC k k ⋅为定值.6．已知圆C 经过点()()0,2,2,0A B ，圆C 的圆心在圆222x y +=的内部，且直线3450x y ++=被圆C 所截得的弦长为3点P 为圆C 上异于,A B 的任意一点，直线PA 与x 轴交于点M ，直线PB 与y 轴交于点N . （1）求圆C 的方程；（2）求证:AN BM 为定值；（3）当PA PB 取得最大值时，求MN ．7．如图，已知定圆22:(3)4C x y +-=，定直线:360m x y ++=，过(1,0)A -的一条动直线l 与直线相交于N ，与圆C 相交于P ，Q 两点，M 是PQ 中点. （Ⅰ）当l 与m 垂直时，求证：l 过圆心C ； （Ⅱ）当||23PQ =时，求直线l 的方程；（Ⅲ）设t AM AN =，试问t 是否为定值，若为定值，请求出t 的值；若不为定值，请说明理由. 8．已知圆，相互垂直的两条直线都过点，（1）当时，若圆心为的圆和圆外切且与直线都相切，求圆的方程；（2）当时，记被圆所截得的弦长分别为，求：①的值；②的最大值.9．已知圆C ：()2244x y +-=，直线l ：()()31140m x m y ++--= （Ⅰ）求直线l 所过定点A 的坐标；（Ⅱ）求直线l 被圆C 所截得的弦长最短时m 的值及最短弦长；（Ⅲ）已知点()3,4M -，在直线MC 上（C 为圆心），存在定点N （异于点M ），满足：对于圆C 上任一点P ，都有PM PN为一常数，试求所有满足条件的点N 的坐标及该常数。

10．已知12F F 、为椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左右焦点，点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭为其上一点，且有124PF PF +=.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）圆O 是以1F ，2F 为直径的圆，直线:l y kx m =+与圆O 相切，并与椭圆C 交于不同的两点B A 、，若32OA OB ⋅=-，求k 的值.11．已知圆C 的圆心在坐标原点，且与直线1:0l x y --=相切． （1）求直线2:4350l x y -+=被圆C 所截得的弦AB 的长；（2）过点()1,3G 作两条与圆C 相切的直线，切点分别为,,M N 求直线MN 的方程；（3）若与直线1l 垂直的直线l 与圆C 交于不同的两点,P Q ，若POQ ∠为钝角，求直线l 在y 轴上的截距的取值X 围．12．已知圆222:(0)M x y r r +=>与直线1:60l x +=相切，设点A 为圆上一动点，AB x ⊥轴于B ，且动点N 满足3AB NB =，设动点N 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；（2）直线l 与直线1l 垂直且与曲线C 交于,B D 两点，求OBD ∆面积的最大值．参考答案1．（1）()2221x y +-=；（2）①20x -=或20x +=；②过定点30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【解析】试题分析：（1）由()()23430y x y --+=得20y -=或3430x y -+=。

直线20y -=与圆()222:2M x y r +-=相交，故直线3430x y -+=与圆M 相切，所以可用圆心到直线的距离等于r ，可求得；（2）①设直线MQ ，AB 交于点P ，由弦长、勾股定理可求|MP|，在直角三角形AMQ ，由三角形相似得2AMMP MQ =，求得3MQ =，设点()0,0Q x ，由距离公式求点Q 的坐标，再结合点M 的坐标求直线MQ 的方程；②设点(),0Q q ，求过点Q 、M 的圆的方程，弦AB 为两圆的公共弦，求直线AB 的方程，由方程求定点的坐标。

试题解析：（1）因为直线3430x y -+=与圆M 相切， 故圆心()0,2到直线的距离为r ，即：835r -+=，1r =.所以圆的方程为()2221x y +-=.（2）①设直线MQ ，AB 交于点P ，则3AP =，又1AM =，所以13MP ==， 而2AMMP MQ =，所以3MQ =，设()0,0Q x ，而点()0,2M 3=，0x =则)Q或()Q ，从而直线MQ 的方程为：20x +-=或20x -+=.②证明：设点(),0Q q ，由几何性质可以知道，A ，B 在以MQ 为直径的圆上， 此圆的方程为2220x y qx y +--=，AB 为两圆的公共弦， 两圆方程相减得230qx y -+=， 即3:22q AB y x =+， 所以过定点30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.【点睛】（1）曲线()():23430C y x y --+=表示两直线20y -=或3430x y -+=。

两直线与圆一相交、一相切，由相切求半径；（2）①分析图形，在三角形OMQ 中，由三角形相似求|MQ|，再由距离公式求点Q 的坐标，有两点式求直线方程；②弦AB 为过点Q 、M 的圆与圆M 的公共弦，两圆方程相减求直线AB 方程，由方程求定点坐标。

2．(1)证明过程见解析；(2)；（3）直线过定点.【解析】(1)由题意可设圆M 的方程为，即．令，得；令，得．(定值)．(2)由，知．所以，解得．当时，圆心M 到直线的距离小于半径，符合题意；当时，圆心M 到直线的距离大于半径，不符合题意．所以，所求圆M 的方程为．(3)设，，，又知，，所以，．显然，设，则.从而直线PE方程为：，与圆M的方程联立，消去y，可得：，所以，，即；同理直线PF方程为：，与圆M的方程联立，消去y，可得：，所以，，即.所以；.消去参数m整理得．①设直线的方程为，代入，整理得．所以，．代入①式，并整理得，即，解得或．当时，直线的方程为，过定点；当时，直线的方程为，过定点第二种情况不合题意(因为在直径的异侧)，舍去.所以，直线过定点.点睛：本题的设置旨在考查直线的方程、圆的方程及直线与圆的位置关系等知识的综合运用，同时检测学生运用所学知识去分析问题和解决问题的能力.求解第一问时，直接借助圆在坐标轴上的截距，结合三角形的面积公式进行分析推证；第二问则运用分类整合思想分别求圆的标准方程；第三问则是借助直线与圆的位置关系建立方程组，通过对方程根的分析推证进行探求，进而使得问题获解.3．（1）k =；（2）1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）52. 【解析】试题分析：（1）利用点到直线的距离公式，结合点O 到直线l的距离2d r =，即可求解k 的值；（2）由题意得可知,,,O P C D 四点共圆且以OP 为直径的圆上，,C D 在圆22:2O x y +=上可得直线,C D 的方程，即可得到直线CD 是否过定点；（3）设圆心O 到直线,EF GH 的距离分别为 12,d d ，则2221232d d OM +==，表示出四边形EGFH 的面积，利用基本不等式，可求求四边形EGFH 的面积. 试题解析：（1）,2AOB π∠=∴点O 到l的距离d =, 22k =⇒=.（2）由题意可知：,,,O P C D 四点共圆且在以OP 为直径的圆上，设1,22P t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭, 其方程为：()1202x x t y y t ⎛⎫-+-+= ⎪⎝⎭,即：221202x tx y t y ⎛⎫-+--= ⎪⎝⎭，又,C D 在圆22:2O x y +=上，1:2202CD l tx t y ⎛⎫∴+--= ⎪⎝⎭即2202y x t y ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，由02220y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩得121x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴直线CD 过定点1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭.（3） 设圆心O 到直线,EF GH 的距离分别为 12,d d , 则222123,2d d OM EF GH +==∴====2212135224222S EF GH d d ∴==≤-+-=-=.当且仅当221222d d -=-即12d d ==时，取“=”. ∴四边形EGFH 的面积的最大值为52.考点：直线与圆的位置关系；两点间的距离公式.【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置及其应用问题，其中解答中涉及到点到直线的距离公式，基本不等式的应用、三角形的面积公式、直线过定点问题等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，解答中灵活应用直线与圆的位置关系、点到直线的距离、以及合理转化是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题.4．(1)224x y +=;(2))4y x =-;(3)见解析． 【解析】试题分析：(1) 由题设知=两边平方化简可得结论；(2)设直线l 的方程，求出原点到直线的距离d ，再利用垂径定义求出弦长CD ,再化简求解Δ12COD S CD d =⋅，可得结论；(3) 设()()()00,,e,0,0,Q x y E F f (其中2200000,0,4x y x y <<+=)，分别求出直线QM 、QN 的方程，即可得点E 、F 的坐标，由12MNEF S ME NF =⋅化简求解，即可得出结论. 试题解析：(1)由题设知=两边平方化简得224x y +=∴点P 的轨迹Γ的方程为224x y +=(2)由题意知OS ==的斜率一定存在, 设():4l y k x =-即40kx y k --=,∵原点到直线l 的距离224,241k d CD d k ==-+,∴()()22222Δ414222CODd d S CD d d d ⎛⎫+- ⎪=⋅=⋅-≤= ⎪⎝⎭, 当且仅当22d =时,取得“=”2224d r =<=∴当22d =时,此时,2221617217k k k k =⇒=⇒=±+ ∴直线l 的方程为()74y x =±- (3)设ΔΔ12MNEF MNE MEF S S S ME NF =+=⋅ 设()()()00,,e,0,0,Q x y E F f (其中2200000,0,4x y x y <<+=)则()00:22y QM y x x =--,令0x =得0022y f x -=- ∴()00000242222x y y NF x x +--=-=-- 002:2y QN y x x -=+,令0y =得02e 2x y =- ∴()00000422222x y x ME y y -+=-=-- ()()()()()20000000000002842122422242MNEFx y x y x y S ME NF x y x y x y +--++=⋅=⋅=⋅=---++ (定值) 5．（1）或3450x y +-=（2）-3【解析】试题分析：（1）由点到直线距离公式可得圆心()0,0O 到直线的距离1d =，设直线2l 的方程为()21y k x -=+， 由2211k d k +==+ 解得34k =-，又过点P 且与x 轴垂直的直线1x =-显然符合要求，故满足题意的直线2l 应为两条；（2）方法1：联立()2222238154{099hy x h y y h hx y =++⇒-=+= 得点222243354,8181h h Q h h ⎛⎫- ⎪++⎝⎭9,3BQBC h k k h =-=，问题得证； 方法2：设点的坐标为，分 0h，0h ，两组情况讨论得证；方法3：设点Q 的坐标为()11,x y , 则22119x y +=，则由三点A 、Q 、C 三点共线及直线l 的方程得点1196,3y C x ⎛⎫⎪+⎝⎭，表示出,BC BQ k k ，可证BQ BC k k ⋅为定值 试题解析：（1）因直线与圆O 相交所得弦长等于，所以圆心()0,0O 到直线的距离()29221d =-=设直线的方程为()21y k x -=+，即20kx y k -++=由2211k d k +==+ 解得34k =-又过点P 且与x 轴垂直的直线1x =-显然符合要求 所以直线的方程是或3450x y +-=（2）方法1：设点C 的坐标为()6,h ，则直线AC 的方程为()39hy x =+ 由()2222238154{099hy x h y y h h x y =++⇒-=+= 解得122540,81hy y h==+ 从而得点222243354,8181h h Q h h ⎛⎫- ⎪++⎝⎭9,3BQBC hk k h =-= 所以3BQ BC k k ⋅=- 方法2：设点的坐标为，若 0h，则3BC h k =9AC hk =BQ AC ⊥9BQ k h∴=-所以3BQ BC k k ⋅=- 当0h时，同理可得3BQ BC k k ⋅=-所以BQ BC k k ⋅为定值方法3：设点Q 的坐标为()11,x y , 则22119x y +=则三点A 、Q 、C 三点共线及直线l 的方程得点1196,3y C x ⎛⎫⎪+⎝⎭113,3BC y k x =+113BQ y k x =-221122113339BQ BCy y k k x y ⋅===--- 点睛：本题考查直线方程的求法，考查直线与圆的位置关系，注意等价的条件，同时考查联立方程，消去变量的运算能力，属于中档题． 6．（1）224x y +=；（2）见解析；（3）4- 【解析】试题分析：（1）首先根据条件设出圆心及半径，然后利用弦长公式求得半径，再利用点到直线的距离公式求得圆心，从而求得圆C 的方程；（2）直线PA 的斜率不存在可直接求出定值，直线PA 与直线PB 的斜率存在时，设点()00,P x y ，由此得到直线PA 的方程与PB 的方程，从而求得点,M N 的坐标，进而利用向量数量积公式求出定值；（3）首先求得PA PB ⋅关于00,x y 的表达式，然后根据直线00z x y =+与圆位置关系求得MN 的值．试题解析：（1） 易知点C 在线段AB 的中垂线y x =上，故可设(),C a a ,圆C 的半径为.r ∵直线3450x y ++=被圆C所截得的弦长为r =∴(),C a a 到直线3450x y ++=的距离7505a d a +====,或170a =.又圆C 的圆心在圆222x y +=的内部，0a ∴=,圆C 的方程224x y +=.（2）证明: 当直线PA 的斜率不存在时,8AN BM =.当直线PA 与直线PB 的斜率存在时，设()00,P x y ,直线PA 的方程为0022y y x x -=+． 令0y =得002,02x M y ⎛⎫⎪-⎝⎭.直线PB 的方程为()0022y y x x =--．令0x =得0020,2y N x ⎛⎫⎪-⎝⎭. ()()000000000000222244222222y x y x x y AN BM x y x y x y ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴=--=+++⎢⎥ ⎪⎪------⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()()()22000000000000000000000242242244444482222422y y x x y y x x y y x x y x y x y y x x y -++--+--+=+⨯=+⨯=+⨯=------+,故AN BM 为定值为8． （3）解:()()()220000000000,2,2,,2242,PA x y PB x y PA PB x x y y x y =--=--∴=-+-=-+设220000,4zx y x y =++=,易知当直线00z x y =+与圆22004x y+=切于第三象限时，z 取得最小值， 此时00x y ==， 此时，()()2,0,0,2M N --，故)24MN ==-考点：1、直线与圆的位置关系；2、向量的数量积．【方法点睛】平面向量数量积的类型及求法：（1）求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式a b ⋅＝||||cos a b θ；二是坐标公式1212x x y a b y ⋅=＋；三是利用数量积的几何意义；（2）求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简．7．（I ）证明见解析；（II ）1x =-或4340x y -+=；（III ）t 的值为定值5-.【解析】试题分析：（I ）由已知13m k =-，故3l k =，所以直线l 的方程为3(1)y x =+，即可证明；（II ）当直线l 与x 轴垂直时，易知1x =-符合题意；当直线与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为(1)y k x =+，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求解；（III ）当l 与x 轴垂直时，易得(1,3)M -，5(1,)3N --，求得5AM AN =-；当l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =+，代入圆的方程，利用根与系数的关系，化简即可求解定值. 试题解析：（Ⅰ）由已知13m k =-，故3l k =，所以直线l 的方程为3(1)y x =+. 将圆心(0,3)C 代入方程易知l 过圆心C .（Ⅱ）当直线l 与x 轴垂直时，易知1x =-符合题意；当直线与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为(1)y k x =+，由于||PQ = 所以||1CM =，由||1CM ==，解得43k =. 故直线l 的方程为1x =-或4340x y -+=.（Ⅲ）当l 与x 轴垂直时，易得(1,3)M -，5(1,)3N --，又(1,0)A -，则(0,3)AM =，5(0,)3AN =-，故5AM AN =-,即5t =-.当l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =+，代入圆的方程得2222(1)(26)650k x k k x k k ++-+-+=，则2122321M x x k kx k+-+==+. 223(1)1M M k k y k x k +=+=+，即222233(,)11k k k kM k k -++++， 222313(,)11k k kAM k k ++=++.又由(1),360,y k x x y =+⎧⎨++=⎩得365(,)1313k k N k k ---++， 则55(,)1313kAN k k--=++. 故222221555(3)5(13)(1)5(1)(13)(1)(13)(13)(1)k k k k k k t AM AN k k k k k k ---+-++==+==-++++++，综上，t 的值为定值，且5t =-.另解一：连结CA ，延长交m 于点R ，由（Ⅰ）知AR m ⊥，又CM l ⊥于M ， 故ANR AMC ∆∆∽.于是有||||||||AM AN AC AR =. 由||10AC =，||10AR =，得||||5AM AN =. 故||||5t AM AN AM AN ==-=-.另解二：连结CA 并延长交直线m 于点B ，连结CM ，CN ，由（Ⅰ）知AC m ⊥，又CM l ⊥， 所以四点,,,M C N B 都在以CN 为直径的圆上，由相交弦定理得||||||||5t AM AN AM AN AC AB ==-=-=-.考点：直线与圆的位置关系；向量的运算.【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系、向量的运算，其中解答中涉及到直线的方程、点到直线的距离公式、一元二次方程中根与系数的关系等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及分类讨论和转化与化归思想的应用，其中解答中直线方程和圆的方程联立，利用根与系数的关系是解答的关键，属于中档试题. 8．（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）设出所求的圆的半径r ，利用和已知圆外切及圆心M （1，m ）到点A （2，0）的距离为r ，求出半径r和m 的值，写出所求圆的标准方程．（2）设弦长分别为d 1，d 2，因为四边形AECF 是矩形，应用勾股定理和基本不等式求①d 12+d 22的值；②d 1+d 2的最大值． 试题解析:（1）设圆的半径为,由题意得：（2）① 当时,设被圆所截得的弦的中点分别为.②①得即的最大值为.9．（1）直线l 过定点()1,3A （2）223）32【解析】试题分析：（1）将直线中m 合并到一起，然后令系数及剩余都为0即可得定点（2）直线l 被圆C 所截得的弦长最短时即当AC l ⊥时（3）由题知，直线MC 的方程为4y =，假设存在定点(),4N t 满足题意，则设(),P x y ，PM PNλ=，得222||PM PN λ=(0)λ>，且()2244y x -=-再根据圆系方程可得对任意[]2,2x ∈-恒成立， ∴2620t λ+=且2224130t λλ+-=即可求出结论试题解析：解：（Ⅰ）依题意得，()()340m x y x y -++-= 令30x y -=且40x y +-=，得1,3x y ==∴直线l 过定点()1,3A（Ⅱ）当AC l ⊥时，所截得弦长最短，由题知()0,4C ，2r =∴43101AC k -==--，得1111l AC k k --===-，∴由3111m m +=-得1m =- ∴圆心到直线的距离为2d AC ==∴最短弦长为22224222l r d =-=-=（Ⅲ）法一：由题知，直线MC 的方程为4y =，假设存在定点(),4N t 满足题意，则设(),P x y ，PM PNλ=，得222||PM PN λ=(0)λ>，且()2244y x -=-∴()()()()222222344x y x t y λλ++-=-+-∴()()()222222344x x x t x λλ++-=-+-整理得，()()2222624130t x t λλλ+-+-=上式对任意[]2,2x ∈-恒成立， ∴2620t λ+=且2224130t λλ+-= 解得43,32t λ=-= 或3,1t λ=-=（舍去，与M 重合） 综上可知，在直线MC 上存在定点4,43N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，使得PM PN 为常数32法二：设直线MC 上的点(),4N t取直线MC 与圆C 的交点()12,4P -，则12PM PNt =+ 取直线MC 与圆C 的交点()22,4P ，则52PM PNt =- 令1522t t =+-，解得43t =-或3t =-（舍去，与M 重合），此时32PM PN = 若存在这样的定点N 满足题意，则必为4,43N ⎛⎫-⎪⎝⎭， 下证：点4,43N ⎛⎫-⎪⎝⎭满足题意， 设圆上任意一点(),P x y ，则()2244y x -=-∴()()()222222222234||694816||444393x y PM x x x PN x x x x y ++-+++-==⎛⎫+++-++- ⎪⎝⎭ ()613613852*******x x x x ++==++94= ∴32PM PN=综上可知，在直线MC 上存在定点4,43N ⎛⎫-⎪⎝⎭，使得PM PN 为常数32 10．（1）22143x y +=;（2）2k =±.【解析】试题分析：（1）由椭圆定义可得24a =，再将点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭代入椭圆方程得b =（2）先由直线与圆相切可得221m k =+,再由32OA OB ⋅=-，得()2212121212123y 2x x y x x k x x km x x m +=++++=-，利用直线方程与椭圆方程联立，结合韦达定理可得21212228412x ,34k 34k km m x x x -+=-=++，代入化简可得k 的值.试题解析：（1）由题意，椭圆的长轴长24a =，得2a =， 因为点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆上，∴219144b b +=∴=， 所以椭圆的标准方程为22143x y +=. （2）当直线l 与圆O1=，即221m k =+,设()()1122,B ,A x y x y 、，由221{43x y y kx m+==+消去y ，整理得()22234k 84120x kmx m +++-=， 由题意可知圆O 在椭圆内，所以直线必与椭圆相交，所以21212228412x ,34k 34k km m x x x -+=-=++，()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++222222224128312k 34k 34k 34k m km m k km m --⎛⎫=⋅+-+= ⎪+++⎝⎭，所以222221212222412312k 712k -12y 34k 34k 34k m m m x x y ---+=+=+++，因为221m k =+，所以21212255k y 34k x x y --+=+，又因为32OA OB ⋅=-，所以2255k 334k 2--=-+，解得2k =±. 点睛：研究直线与圆锥曲线位置关系的方法研究直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用韦达定理或求根公式进行转化，利用根与系数关系、设而不求法简化运算.11．（1）AB =（2）340x y +-=;（3）22b -<<，且0b ≠.【解析】【试题分析】（1）依据题设先求圆的半径和方程，再运用弦心距、半弦长、半径之间的关系进行分析求解；（2）依据题设条件构造圆以GC 为直径的圆的方程，再运用两圆的相交弦所在直线即为所求；（3）依据题设条件借助题设条件“POQ ∠为钝角”建立不等式分析探求：（1）由题意得：圆心()0,0到直线1:0l x y --=的距离为圆的半径，2r ==，所以圆C 的标准方程为：224x y +=所以圆心到直线2l 的距离1d ==∴AB ==（2）因为点()1,3G ,所以OG ==,GM ==所以以G 点为圆心，线段GM 长为半径的圆G 方程：()()22136x y -+-= （1） 又圆C 方程为：224x y += （2），由()()12-得直线MN 方程：340x y +-=（3）设直线l 的方程为：y x b =-+联立224x y +=得：222240x bx b -+-=，设直线l 与圆的交点()()1122,,,P x y Q x y ，由()()222840b b ∆=--->，得28b <，212124,2b x x b x x -+=⋅= （3）因为POQ ∠为钝角，所以0OP OQ ⋅<,即满足12120x x y y +<，且OP 与OQ 不是反向共线，又1122,y x b y x b =-+=-+，所以()21212121220x x y y x x b x x b +=-++< （4）由（3）（4）得24b <，满足0∆>，即22b -<<，当OP 与OQ 反向共线时，直线y x b =-+过原点，此时0b =，不满足题意， 故直线l 在y 轴上的截距的取值X 围是22b -<<，且0b ≠12．（1）22193x y +=；（2．【解析】试题分析：（1）先利用直线和圆相切求出圆的方程，再利用平面向量共线和“相关点法”求曲线C 的方程；（2）利用两直线间的垂直关系设出直线方程，再联立直线和椭圆的方程，得到关于x 的一元二次方程，利用根与系数的关系和三角形的面积公式得到表达式，再利用基本不等式求其最值.试题解析：（1）设动点(),N x y ，()00,A x y ，因为AB x ⊥轴于B ，所以()0,0B x ，由题意得：3r ==，所以圆M 的方程为229x y +=.由题意，3AB NB =，所以())000,,y x x y ---，所以0{x x y y ==，即00{x xy ==将()A x 代入圆229x y +=，得动点N 的轨迹方程22193x y +=. （2）由题意可设直线0l y m ++=，设直线l 与椭圆22193x y +=交于()11,B x y ，()22,D x y ，联立方程22{39y m x y =-+=，得2210390x m ++-=，()22108104390m m ∆=-⨯->，解得230m <，1,2x ==，又因为点O 到直线l 的距离2md =，1222BD x x =-=，1··222OBDm S ∆===≤（当且仅当2230m m =-，即215m =时取到最大值）∴OBD ∆面积的最大值为2．。