光学工程原理习题解答

光学工程原理习题解答（同步配套《光学工程原理》王志坚王鹏刘智颖著国防工业出版社）李洪伟云南师范大学物理与电子信息学院光学工程专业由于个人解答水平有限，不妥和错误之处，敬请读者批评指正。

欢迎大家交流学习Emal：*********************第一章 光的电磁理论1. 由亥姆霍兹方程求平面光波和球面光波在各向同性均匀介质中自由传播的光矢量振幅表达式。

解：由亥姆霍兹方程222200E k E B k B ∇+=∇+=得平面光波复振幅表达式：ik rE Ee ⋅=（光矢量主要指电矢量）同样解微分方程式220E k E ∇+=得球面光波在各向同性均匀介质中自由传播的光矢量振幅表达式：ikE E e r=。

2． 玻璃折射率n =1.5，空气折射率01n =，波长0.5m λμ=的光波由空气射向玻璃，求（1）反射光波在线偏振光时光线的入射角；（2）入射角0140I =时界面的反射率；（3）光波由玻璃折射入空气时的全反射临界角。

解：（1）反射光波在线偏振光时，即光波中只有S 波，没有P 波为线偏振光。

此时的入射角称为起偏角或布儒斯特角，即为B I 。

由布儒斯特定律0tan 1.5B nI n == （2）由菲涅尔公式知S 波的反射系数1'1211221121122sin()cos cos sin()cos cos S s SE I I n I n I r E I I n I n I --==-=++和P 波的反射系数1'1221121122112tan()cos cos tan()cos cos p p pE I I n I n I r E I I n I n I --===++光波在分界面反射和折射时，宏观表现为能量密度之比，称为反射率R 和透射率T 。

能量密度之比正比于2E ，即22S s p pR r R r ==。

对于自然光1()2S P R R R =+ 已知入射角0140I =，玻璃折射率n =1.5，空气折射率01n =，由折射定律解得2I代入上式即可求解。

（3）由反射临界角21arcsinC n I n =解得 3．写出倏逝波的振幅表达式，并解释其物理意义。

解：2cos kr I E Ee-=（r 为反射波矢量）倏逝波是全反射时，界面处的光矢量中的波数k 为复数，透射波是一个沿界面方向传播，振幅沿界面法线按指数哀减的波。

4．K9玻璃对波长589.3D nm λ=的光波的折射率为 1.5136D n =,对波长656.3c nm λ=的光波的折射率 1.51839c n =，写出两光波在K9玻璃中传播时合成波的相速度和群速度的表达式，并计算。

解：已知两合成波的表达式122cos()cos()m m E E E a k z t kz t ωω=+=-- 式中12=ωωω（+）/2 12=k k k （+）/2 12=m ωωω（-）/2 12=m k k k （-）/2 即合成波是一个频率为ω而振幅受到调制的波。

由相位不变条件kz t ω-=常数并利用公式（2k πλ=，22cf n ωππλ==），求得合成波的相速度/k υω=。

由群速度与相速度有如下关系g d d υυυλλ=-且（2/k λπ=）可求得合成波的群速度。

第二章 光的干涉及干涉系统1. 菲涅尔双棱镜干涉装置如习题图2-1所示。

S 为点光源，发出波长0.5m λμ=的光波，棱镜顶角3410α=⨯(rad),玻璃折射率n=1.5,各元件尺寸如图所示。

求：①条纹间隔e ②接收屏上最多能观察到多少亮条纹？③光源允许宽度p b 。

解：①条纹间距De dλ=，已知100.1009001000l mm D mm ==+= 对于菲涅尔双棱镜2(1)d l n α=-,所以2(1)D e l n λα=- ②光线经双棱镜折射后，偏向角(1)n δα=-，所以屏上重叠区域为L 2D δ=⋅接收屏上最多能观察到多少亮条纹22(1)4L l n M e αλ-==③光源允许宽度4p b λβ=(其中22()(1)y D l n D Dαβ--==)2. 一台F-P 干涉仪，标准具两反射面间距5h mm =，单色光源波长500nm λ=，两反射面反射率0.9R =，求①条纹精细度S ；②色分辨本领；③自由光谱范围。

解：①已知条纹精细度221S Rππδ===∆- ②F-P 干涉仪色分辨本领为min 20.972.07SA m mS λπλπ===； ③F-P 干涉仪的自由光谱范围22hλλ∆=（λ为平均波长）。

3. 86r K 同位素发出波长605.7nm λ=的光波，光谱宽度44.710nm λ-∆=⨯，氦氖激光器发出波长632.8nm λ=的光波，光谱宽度8110nm λ-∆=⨯，分别求他们的相干长度。

解：波列长度又称为相干长度，即2L λλ=∆4．用钠光灯做F-P 干涉仪的光源，钠光灯包含两条谱线，10.589m λμ=，20.5896m λμ=，1P 和2P 为两反射面。

1P 和2P 间距2h mm =，求①第四个干涉环中两波长的角间距；②当1P连续移动时，两个波长的干涉不周期性重叠，问h ∆等于多少重叠一次？ 解：① 对于条纹中心点，两光波干涉级差为121222hhem m m eλλ∆∆=-=-=，式中e ∆为两个波长的同级条纹的相对位移；e 为同一波长的条纹间距。

第四个干涉环中两波长条纹间距为4e ∆。

条纹间距e f θ∆=∆，故第四个干涉环中两波长的角间距为122244()/hhe fθλλ∆=-（其中e f=角间距为12224()h hλλ-②当两组同级条纹的相对位移e ∆大于条纹间距e 时，不同级的干涉条纹会发生重叠，即1e e ∆>=时，12221h hλλ->= 所以12212()h λλλλ=-时刚好发生重叠，即122122()h λλλλ∆=--。

5．用斐索干涉仪（见图2-12）测一平行玻璃板的平行差，玻璃折射率n=1.5，在照明区50L mm =内有10个亮条纹，求此平行玻璃板的平行差。

图2-12 斐索干涉仪解：2neλα=(其中5010mme =，λ=632.3nm 为氦氖激光器波长)6. 有一干涉滤光片，在正入射的条件下，透射峰值波长是镉红线（0.6348m λμ=）且光学厚度nh λ=，①观察者通过这个干涉滤光片看太阳光，在转动滤光片时，观察者能看到什么现象?②在入射角030I =时,若膜层折射率n=1.32，求透射光波长。

解：①能看到不同颜色的单色光②斜入射时，透射光产生极大光强条件为21,2,3m m λ= =透射光波长2mλ=7.指出F-P 干涉仪和迈克尔逊干涉仪的异同点。

解：相同点：利用光束的干涉原理不同点：一个是双光束干涉，一个是多光束干涉。

8计算两个7层高反膜的反射率， ①1.50,2.40, 1.38G H L n n n ===;②1.50,2.20, 1.38G H L n n n ===。

② 解：多层高反膜的反射率为2220220H H pHLG p HL Gn n n n n R n n n n n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎢⎥⎝⎭=⎢⎥⎛⎫⎢⎥+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,一般取2p+1层。

膜层越多，反射率越高。

由已知数据代入即可解得①和②。

第三章 光的衍射1. 利用巴比涅定理导出圆屏（球）菲涅耳衍射的振幅和光强表达式。

解: 巴比涅指出：在一对衍射屏中，如果一个屏的透光部分恰为另一个屏的遮光部分，称此二屏为互补屏。

设其中一个屏的衍射光场复振幅分布为1E ，另一个衍射光场复振幅分布为2E ，则互补屏产生的衍射光场，即合成复振幅为自由传播的复振幅：120E E E +=，这就是巴比涅定理。

如图所示：根据巴比涅定理，将圆屏（球）菲涅耳衍射复振幅分为两部分：一部分为自由传播的光波，其到达接收屏上P 点的复振幅为221021exp exp (1)2()P A E ik R L E iN R L R L M a ρρπ⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎪⎪=-++=-⎨⎬⎢⎥⎢⎥++⎪⎪⎣⎦⎣⎦⎩⎭另一部分为半径为a 的圆孔（与圆屏尺寸相等）的衍射复振幅为22200221exp 1()(2)exp 1nP n n MaE E iMN i J N E B iMN ma a Ma ρρρπππβρ∞=⎧⎫⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎪⎪⎪⎪=+-=++⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎣⎦⎣⎦⎩⎭⎩⎭∑式中B 和β分别为1()(2)nn n MaiJ N aρπρ∞=-∑的模和辐角，由巴比涅定理得圆屏（球）菲涅耳衍射后接收屏上的复振幅为2212022exp exp()exp()P P P E E E E iN iN B MN a Ma ρρπππβ⎧⎫=-=--+⎨⎬⎩⎭光强为2*202212cos[(1)]P P PI E E I B MN B M a ρπβ⎧⎫==-+++⎨⎬⎩⎭2. 利用巴比涅定理导出圆环菲涅耳衍射的振幅和光强表达式。

解：同样根据巴比涅定理，将圆环衍射视为大小两圆孔衍射复振幅之差，得21011121exp [(1)]P E E B i MN Ma ρπβ⎧⎫=++⎨⎬⎩⎭ 22022222exp [(1)]P E E B i MN Ma ρπβ⎧⎫=++⎨⎬⎩⎭12P P P E E E =-光强为1222212012121222112cos[()()]P N NI I B B B M N N B a a ππρββ⎧⎫=-++++++⎨⎬⎩⎭3. 在双缝夫朗禾费衍射实验中，照明波长632.8nm λ=，透镜焦距'500f mm =，观察到两相邻亮条纹间距e=1.5mm ，第四级缺级，求：①双缝间距d 和宽度a ;②第1、第2、第3级亮条纹和中心亮点的相对光强。

解：①因为e f dλ=，所以可求0.21d f e λ==。

由缺级条件()dm n a=，已知第四级缺级（4,1m n ==）可求得4d a =②双缝衍射光强220sin 4()cos 2I I αδα=，（其中0I 为单缝衍射时光强）。

对于δ:2m δπ=亮纹. 1,2;2,4;3,6;m m m δπδπδπ======对于α:12kla α= k 为波数, 2k πλ=, a 为缝宽,sin m l dλθ==( θ为衍射角sin d m θλ=光栅方程)所以m a d πλαλ=,又因为4d a =,所以14m απ= 既得: 31,;2,;3,424m m m πππααα======将,αδ分别代入得第1、第2、第3级亮条纹和中心亮点的相对光强.(中央亮纹0,0,0m αδ===所以04I I =;22100sin241,,2,4()cos 0.81*4424m I I I πππαδππ=====)所以1081%I I =.4. 有一望远镜，物镜焦距为100,f mm '=口径20D mm =，0.5m λμ=（视为理想薄透镜）求：①沿轴方向第一个暗点的位置（离焦时中心亮点为暗点的位置）和菲涅耳数；②沿轴方向中心亮点光强为爱里班（焦平面处光斑）中心点光强的0.8倍的位置和菲涅耳数rF ；③求理论分辨率。