24.1.1确定圆的条件(1)三点定圆

比一比，赛一赛
分别画出锐角三角形、钝角三角形、 直角三角形的外接圆。看看它们的外 心有什么不同？

三角形与圆的位置关系
A
驶向胜利 的彼岸
• 分别作出锐角三角形,直角三角形,钝角三角形的外 接圆,并说明与它们外心的位置情况
A
●
A
●
O C
O
●

O C
B

B
┐
四边形与圆的位置关系
驶向胜利 的彼岸
• 如果四边形的四个顶点在一个圆, A 这圆叫做四边形的外接圆.这个 四边形叫做圆的内接四边形. 我们可以证明圆内接四边的两个 O 重要性质: B 1.圆内接四边形对角互补. 2.圆内接四边形对的一个外角等 于它的内对角. 3.对角互补的四边形内接于圆.
.
点在圆外
d＞r
C

添图：
点与圆的位 置关系
点在圆外 点在圆上 点在圆内

图形
圆心到点的距离d 与半径r的关系
添图：
点与圆的位 置关系 A 点在圆外 A 点在圆上 A 点在圆内 d<r

定义（二）：圆是到定点的距离等于定长的点的集合。 定点叫做圆心，定长叫做半径。
以O为圆心的圆,记作“⊙O”,读作“圆 O”
圆的内部
O P
A
圆的内部可以看作到圆心的距离小于半 径的点的集合。

圆的外部
P
O
A

●
E
C D
●
三点定圆
驶向胜利 的彼岸
• 定理 不在一条直线上的三个点确定一个圆. • 在上面的作图过程中. F A ∵直线DE和FG只有一个交点O,并 E 且点O到A,B,C三个点的距离相等,
●

∴经过点A,B,C三点可以作一 个圆,并且只能作一个圆.
●
B
┏
●
O
C D
●
老师期望: G 将这个结论及其证明作为一种模型对待.
图形
圆心到点的距离d 与半径r的关系 d>r
d=r
确定圆的条件
• 类比确定直线的条件: • 经过一点可以作无数条直线；
驶向胜利 的彼岸
●
A
●
A
●
B

经过两点只能作一条直线.
确定圆的条件
驶向胜利 的彼岸
• 想一想,经过一点可以作几个圆?经过两点,三点,…,呢？

三角形与圆的位置关系
• 因此,三角形的三个顶点确定一 个圆,这圆叫做三角形的外接圆. 这个三角形叫做圆的内接三角形. 外接圆的圆心是三角形三边垂直 平分线的的交点,叫做三角形的外 B 心. 老师提示: 多边形的顶点与圆的位置关系称为接.

驶向胜利 的彼岸
A O C
●

圆内接四边形的对角互补.

四边形与圆的位置关系
如果延长BC到E，那么
∠DCE＋∠BCD ＝ 180°. 又 ∵∠A ＋∠BCD＝ 180°， ∴∠A＝∠DCE. B A
O
驶向胜利 的彼岸
D
C
E
因为∠A是与∠DCE相邻的内角∠DCB的对角,我们 把∠A叫做∠DCE的内对角.
圆内接四边形的一个外角等于它的内对角.
结束寄语
下课了!
•盛年不重来,一日难再晨, 及时宜自勉,岁月不待人.

● ● ●
确定圆的条件
驶向胜利 的彼岸
• 请你作圆,使它过已知点A,B,C(A,B,C三点不在同一条 直线上). • 以O为圆心,OA(或OB,或OC)为半径,作⊙O即可.F A 请你证明你做得圆符合要求.
●
证明:∵点O在AB的垂直平分线上， ●O ∴OA=OB. B ┏ 同理,OB=OC. ∴OA=OB=OC. 这样的圆可 G ∴点A,B,C在以O为圆心的圆上. 以作出几个? ∴⊙O就是所求作的圆, 为什么?.
C
锐角三角形的外心位于三角形内,直角三角形的外心位 于直角三角形斜边中点,钝角三角形的外心位于三角形外. 老师期望: 作三角形的外接圆是必备基本技能,定要熟练掌握.
B
随堂练习
2. 经过不在同一直线上的四个点， 是否一定能作出一个圆？举例说 明.

●
D
C
四边形与圆的位置关系
如图：圆内接四边形ABCD中， ∵ ∠BAD等于弧BCD所对圆心角 的一半,∠BCD等于弧BAD所对圆心 角的一半.
而弧BCD所对的圆心角+弧BAD所对 的圆心角=360°， ∴∠BAD＋∠BCD＝ 180°. 同理∠ABC＋∠ADC＝180°.
驶向胜利 的彼岸
D
A
O
B
C
● ● ● ● ●
●
B
确定圆的条件
驶向胜利 的彼岸
• 3.作圆,使它过已知点A,B,C(A,B,C三点不在同一条直 线上),你能作出几个这样的圆? 你准备如何(确定圆心,半径)作圆？ 其圆心的位置有什么特点?与A,B,C有什么关系？ A 老师提示: 能否转化为2的情况:经过两点A,B的圆 ●O 的圆心在线段AB的垂直平分线上. C B ┏ 经过两点B,C的圆的圆心在线段AB的垂 直平分线上. 经过三点A,B,C的圆的圆心应该这两条 垂直平分线的交点O的位置.
●
●
O O
●
●
A
●
O
●
O
●
●
O ●O
●
O

A
O
●
B
●
O
1.作圆,使它过已知点A.你能作出几个这样的圆?
2.作圆,使它过已知点A,B.你能作出几个这样的圆?

确定圆的条件
驶向胜利 的彼岸
• 2. 过已知点A,B作圆,可以作无数个圆. 你准备如何(确定圆心,半径)作圆？ 其圆心的分布有什么特点?与线 O O 段AB有什么关系？ A 经过两点A,B的圆的圆心在线段AB O 的垂直平分线上. O 以线段AB的垂直平分线上的任意 一点为圆心,这点到A或B的距离为 半径作圆.
圆的外部可以看作到圆心的距离大于半 径的点的集合。

同学们在练习本上画一个圆,这个圆把平面分为几部分: 圆内 圆上 圆外 因此,点和圆的位置关系有三种: 点在圆内 点在圆上 点在圆外 若设⊙O的半径为r,点到圆心的距离为d,当点与圆心由小 于半径变到等于半径再变到大于半径时,点和圆的位置关 系就由圆内变到圆上再变到圆外,这说明由点和圆的位置 关系可以得到d与r之间的关系,由d与r的数量关系也可以 判定点和圆的位置关系: A 点在圆上 d﹦r O B 点在圆内 d＜r
确定圆的条件(1)三点定圆
现在对圆的定 义
圆心O 半径r A
演示
定义(一):在同一平面内,线段OA绕着它的固定端点O旋转 一周,另一端点A随之旋转所形成的图形叫做圆. 固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做半径.

O A3
A1 A2
1.圆上各点到定点(圆心O)的距离都等于定长(半径r)。 2. 到定点的距离等于定长的点都在圆上。