高二数学圆的一般方程PPT教学课件
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高中数学必修二课件：圆的一般方程(42张PPT)
此方程表示以(1，－2)为圆心，2为半径长的圆．
问题2：方程x2＋y2＋2x－2y＋2＝0表示什么图形？
提示：对方程x2＋y2＋2x－2y＋2＝0配方得
(x＋1)2＋(y－1)2＝0，即x＝－1且y＝1. 此方程表示一个点(－1,1)． 问题3：方程x2＋y2－2x－4y＋6＝0表示什么图形？ 提示：对方程x2＋y2－2x－4y＋6＝0配方得 (x－1)2＋(y－2)2＝－1. 由于不存在点的坐标(x，y)满足这个方程，所以这 个方程不表示任何图形．
3．若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求 (1)实数m的取值范围； (2)圆心坐标和半径．
解：(1)根据题意知D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－ 1 4(m ＋5m)>0，即4m ＋4－4m －20m>0，解得m<5，
2 2 2
1 故m的取值范围为(－∞，5)．
(2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准 方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m， 故圆心坐标为(－m,1)，半径r＝ 1－5m.
第 二 章 解 析 几 何 初 步
§2 圆 与 圆 的 方 程
2.2
圆 的 一 般 方 程
理解教材新知
把 握 热 点 考 向
考点一 考点二 考点三
应用创新演练
把圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2展开得，x2＋y2 －2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0，这是一个二元二次方程的形 式，那么，是否一个二元二次方程都表示一个圆呢？ 问题1：方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0表示什么图形？ 提示：对x2＋y2－2x＋4y＋1＝0配方得 (x－1)2＋(y＋2)2＝4.
1．若x2＋y2－x＋y－m＝0表示一个圆的方程，则m的取值 范围是 1 A．m>－2 1 C．m<－2 1 B．m≥－2 D．m>－2 ( )
2.4.2圆的一般方程课件共18张PPT
2
2
(2) 当D2+E 2-4F=0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 只有实
数解x= - , y=− ，它表示一个点(- , -) .
(3) 当D2+E 2-4F<0时， 方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 只有没
有实数解，它不表示任何图形.
因此，当 D2+E2-4F>0 时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表
•
所在的直线l 上.
(3)圆心C到l 的距离等于圆的半径.
O
• B(-3，-3)
x
答案： l : 4x+3y+3=0或3x+4y-3=0.
示一个圆，我们把它叫做圆的一般方程.
练习: 将下列各圆方程化为标准方程，并求圆的半径
和圆心坐标.
2
2
(1) x + y + 6 x = 0,
2
2
(2) x + y - 2by = 0,
2
2
2
(3) x + y - 2ax + 2 3ay + 3a = 0
（1）圆心（-3，0），半径3.
（2）圆心（0，b），半径|b|.
课 堂 练 习
1.写出下列各圆的圆心坐标和半径:
(1)
x y 6x 0
(2)
x y2 y 2 2ax 2 3ay 3a 2 0
解: (1)圆心坐标(3, 0) ,半径为3.
(2)圆心坐标(0, b) , 半径为 |b| .
1.根据题意, 选择标准方程或一般方程.
2
(2) 当D2+E 2-4F=0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 只有实
数解x= - , y=− ，它表示一个点(- , -) .
(3) 当D2+E 2-4F<0时， 方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 只有没
有实数解，它不表示任何图形.
因此，当 D2+E2-4F>0 时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表
•
所在的直线l 上.
(3)圆心C到l 的距离等于圆的半径.
O
• B(-3，-3)
x
答案： l : 4x+3y+3=0或3x+4y-3=0.
示一个圆，我们把它叫做圆的一般方程.
练习: 将下列各圆方程化为标准方程，并求圆的半径
和圆心坐标.
2
2
(1) x + y + 6 x = 0,
2
2
(2) x + y - 2by = 0,
2
2
2
(3) x + y - 2ax + 2 3ay + 3a = 0
（1）圆心（-3，0），半径3.
（2）圆心（0，b），半径|b|.
课 堂 练 习
1.写出下列各圆的圆心坐标和半径:
(1)
x y 6x 0
(2)
x y2 y 2 2ax 2 3ay 3a 2 0
解: (1)圆心坐标(3, 0) ,半径为3.
(2)圆心坐标(0, b) , 半径为 |b| .
1.根据题意, 选择标准方程或一般方程.
圆的一般方程ppt课件
x2 + 3y2 − 2x + 4y + 5 = 0不是圆的一般方程；
对于D，因为方程x2 + y2 − 3xy − 12 = 0中存在xy项，所以方程
x2 + y2 − 3xy − 12 = 0不是圆的一般方程.故选BCD.
课中探究
探究点二 求圆的一般方程
例2（1） 已知△ ABC的三个顶点为A 4,3 ，B 5,2 ，C 1,0 ，求△ ABC外接
又圆心在第二象限，所以D
= 2，E =
−4，
故圆C的一般方程为x2 + y2 + 2x − 4y + 3 = 0.
课中探究 （2）圆C关于直线x − y = 0对称的圆的一般方程. 解： 由（1）知圆C的圆心为C −1,2 ，设它关于直线x − y = 0对称的点为
C′ m, n ，则
m−1 − n+2 = 0,
半径的圆，我们把方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 D2 + E2 − 4F > 0 叫作圆的
一般方程.
课前预习
（1）圆的一般方程的特点是:①x2和y2的系数都是__1_;②没有__x_y_这样的二次
项;③D2 + E2 − 4F__>_0.
（2）方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0并不一定表示圆,当其系数满足
解得m < 1.故选B.
课中探究
（2）（多选题）下列方程不是圆的一般方程的有( BCD )
A.x2 + y2 − 2x + 4y + 3 = 0
B.x2 + y2 − 2x + 2y + 7 = 0
圆的标准方程 圆的一般方程 教学课件(共39张PPT)高中数学北师大版(2019)选择性必修第一册
(, )
r
由两点间的距离公式得
x
a
2
y b
2
r，
(, )
O
将上式两边平方得 x a
2
y b
2
r 2 .①
x
思考一下
以方程①的解为坐标点一定在圆 C 上吗？
设以方程①的任意解 x, y 为坐标的点记为点 Q ，
因为 x, y 是方程①的解，代入方程①可得： x a 2 y b 2 r 2
10
D +3E
20
4 D+2 E
F050ຫໍສະໝຸດ 5D 5EF0
解得 D
F
2, E
0
4, F
2
2
x
+
y
故所求圆的方程为
20 ，
2x
4y
20
0.
例 5：讨论方程 x +y
2
2
x 3
解： 将原方程组整理为 1 2 x2
当
2
y2 表示的是什么图形？
1 y2
2
0，
6x 9
1 时，方程（1）是一元一次方程 6x 9
思考交流
对于点 Px0 , y0 和圆 C : x a 2 y b 2 r 2 ，由圆的标准方程的概念，可知点 P
在圆 C 上的充要条件是 x0 a2 y0 b2 r 2 .
2
2
当点 P 不在圆 C 上时，一定有 x0 a y0 b r 2 ，此时，存在以下两种情况：
PC r
x0 a 2 y0 b2
r
x0 a y0 b r 2
人教版高中数学第四章 圆的一般方程(共13张PPT)教育课件
凡事 都 是多 棱 镜， 不 同的 角 度会
凡 事都 是 多棱 镜 ，不 同 的角 度 会看 到 不同 的 结果 。 若能 把 一些 事 看淡 了 ，就 会 有个 好 心境 ， 若把 很 多事 看 开了 ，就 会 有个 好 心情 。 让聚 散 离合 犹 如月 缺 月圆 那 样寻 常 ，让 得 失利 弊 犹如 花 开花 谢 那样 自 然， 不 计较 ， 也不 刻意 执 着； 让 生命 中 各种 的 喜怒 哀 乐， 就 像风 儿 一样 ， 来了 ， 不管 是 清风 拂 面， 还 是寒 风 凛冽 ， 都报 以 自然 的微 笑 ，坦 然 的接 受 命运 的 馈赠 ， 把是 非 曲折 ， 都当 作 是人 生 的定
《
《
我
是
算
命
先
生
》
读
同学们加油！
自
己
弄
五
分
钟
就
弄
完
所
以
最
后
通
常
变
成
我
自
己
弄
。
但
这
样
做
有
一
个
不
好
的
后
果
就
是
当
你
真
的
■
电
:
“
色
情
男
女
是
你
和
尔
东
口
罗
其
实
不
是
■电你是否有这样经历，当 你在做某一项工作 和学习的时候，脑 子里经常会蹦出各 种不同的需求。比 如你想安 心下来看2小时的书，大脑会 蹦出口渴想喝水， 然后喝水的时候自 然的打开电视。。 。。。。，一个小 时过去 了，可能书还没看2页。很多 时候甚至你自己都 没有意思到，你的 大脑不停地超控你 的注意力，你就这 么轻易 的被你的大脑所左右。你已 经不知不觉地变成 了大脑的奴隶。尽 管你在用它思考， 但是你要明白你不 应该隶属 于你的大脑，而应该是你拥 有你的大脑，并且 应该是你可以控制 你的大脑才对。一 切从你意识到你可 以控制你 的大脑的时候，会改变你的 很多东西。比如控 制你的情绪，无论 身处何种境地，都 要明白自己所
圆的一般方程公开课课件
通过比较两圆方程，消元后得到一元 二次方程，若该方程有两个相等实根 ，则两圆相切。
21
两圆相离条件判断
两圆圆心距大于两圆半径之和或小于 两圆半径之差（包含内含情况），则 两圆相离。
VS
通过比较两圆方程，消元后得到一元 二次方程，若该方程无实根，则两圆 相离。
2024/1/26
22
典型例题解析
例题1
圆心坐标求解
$(-frac{D}{2}, -frac{E}{2})$
半径求解
$r = frac{sqrt{D^{2} + E^{2} - 4F}}{2}$
注意事项
在求解过程中要确保$D^{2} + E^{2} - 4F > 0$，否则方程不表示一 个圆。
2024/1/26
11
特殊情况下的圆方程
圆心在原点
圆的方程与性质
掌握圆的标准方程和一般方程， 理解圆的性质，如圆心、半径、 直径等。
直线与圆的位置关
系
理解直线与圆的三种位置关系— —相离、相切、相交，并能运用 相关知识点解决问题。
圆锥曲线的综合应
用
了解椭圆、双曲线等圆锥曲线的 基本概念和性质，并能与圆的知 识点结合，解决综合问题。
2024/1/26
01
平面上所有与定点（圆心）距离等于定长（半径）的点的集合
。
基本要素
02
圆心、半径。
圆的表示方法
03
一般用圆心和半径表示，如圆O，半径为r。
4
圆心、半径与直径
1 2
圆心
圆的中心，用字母O表示。
半径
连接圆心和圆上任意一点的线段，用字母r表示 。
3
直径
通过圆心且两端点都在圆上的线段，用字母d表 示，d=2r。
21
两圆相离条件判断
两圆圆心距大于两圆半径之和或小于 两圆半径之差（包含内含情况），则 两圆相离。
VS
通过比较两圆方程，消元后得到一元 二次方程，若该方程无实根，则两圆 相离。
2024/1/26
22
典型例题解析
例题1
圆心坐标求解
$(-frac{D}{2}, -frac{E}{2})$
半径求解
$r = frac{sqrt{D^{2} + E^{2} - 4F}}{2}$
注意事项
在求解过程中要确保$D^{2} + E^{2} - 4F > 0$，否则方程不表示一 个圆。
2024/1/26
11
特殊情况下的圆方程
圆心在原点
圆的方程与性质
掌握圆的标准方程和一般方程， 理解圆的性质，如圆心、半径、 直径等。
直线与圆的位置关
系
理解直线与圆的三种位置关系— —相离、相切、相交，并能运用 相关知识点解决问题。
圆锥曲线的综合应
用
了解椭圆、双曲线等圆锥曲线的 基本概念和性质，并能与圆的知 识点结合，解决综合问题。
2024/1/26
01
平面上所有与定点（圆心）距离等于定长（半径）的点的集合
。
基本要素
02
圆心、半径。
圆的表示方法
03
一般用圆心和半径表示，如圆O，半径为r。
4
圆心、半径与直径
1 2
圆心
圆的中心，用字母O表示。
半径
连接圆心和圆上任意一点的线段，用字母r表示 。
3
直径
通过圆心且两端点都在圆上的线段，用字母d表 示，d=2r。
2.4.2圆的一般方程课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
(3) 解出a, b, r或D, E, F, 得到标准方程或一般方程.
巩固练习
1、若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(2，－4)为圆心，4
为半径的圆，则F＝______.
2、已知圆C的一般方程为x2＋y2＋2ax＋9＝0，它的圆心
C(5,0)，则圆C的半径r＝_____.
3．若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值
解3： 线段OM 1的垂直平分线方程为
1
1
y ( x ),即x y 1 0.
2
2
线段OM 2的垂直平分线方程为
y 1 2( x 2),即2 x y 5 0.
x y 1 0
联立方程
,解得x 4,y 3.
2 x y 5 0
新授课
第二章 直线和圆的方程
2.4.2 圆的一般方程
温故知新
两要素：圆心 A(a,b)
半径 r
圆
的
标
准
方
程
( x a ) ( y b) r .
2
2
2
点与圆的位置关系
几何法
求圆的标准方程
三条件
待定系数法
与圆有关的最值问题
思想方法
类比法
坐标法
代数法
数形结合
新知探究
思考：一般地, 圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2展开后，会得出怎样的形式？
2
2
2
2
表示以(
)为圆心，
以
,
>0，
D
E
4F为半径的圆.
D +E -4F
巩固练习
1、若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(2，－4)为圆心，4
为半径的圆，则F＝______.
2、已知圆C的一般方程为x2＋y2＋2ax＋9＝0，它的圆心
C(5,0)，则圆C的半径r＝_____.
3．若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值
解3： 线段OM 1的垂直平分线方程为
1
1
y ( x ),即x y 1 0.
2
2
线段OM 2的垂直平分线方程为
y 1 2( x 2),即2 x y 5 0.
x y 1 0
联立方程
,解得x 4,y 3.
2 x y 5 0
新授课
第二章 直线和圆的方程
2.4.2 圆的一般方程
温故知新
两要素：圆心 A(a,b)
半径 r
圆
的
标
准
方
程
( x a ) ( y b) r .
2
2
2
点与圆的位置关系
几何法
求圆的标准方程
三条件
待定系数法
与圆有关的最值问题
思想方法
类比法
坐标法
代数法
数形结合
新知探究
思考：一般地, 圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2展开后，会得出怎样的形式？
2
2
2
2
表示以(
)为圆心，
以
,
>0，
D
E
4F为半径的圆.
D +E -4F
4.1.2 圆的一般方程PPT课件
例2:求过点 O(0,0), M1(1,1), M2(4, 2)的圆的
方程,并求出这个圆的半径长和圆心.
解:设圆的方程为: x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
因为O, M1, M2都在圆上,所以其坐标都满足圆的
方程,即 F = 0
D = -8
D
+
E
+
F
+
2
=
0
E
=
6
பைடு நூலகம்
4D + 2E + F + 20 = 0 F = 0
x2 + y2 - 2ax - 2by + a2 + b2 - r2 = 0
由于a,b,r均为常数
令 - 2a = D,-2b = E,a2 + b2 - r 2 = F
结论：任何一个圆方程可以写成下面形式：
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
结论：任何一个圆方程可以写成下面形式：
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 问：是不是任何一个形如
X2+y2+Dx+Ey+F=0
知D、E、F
D2+E2 －4F>0
思考
一般式有那些特点 ？
(1) x2和y2 的系数相同，且不等于零；
(2) 没有 xy 项； (3) D2 + E2 - 4F>0
圆的标准方程与一般方程各有什么优点？
标准方程：明确地指出了圆心和半径； 一般方程：突出了代数方程的形式结构，更适合方程理论的应用
例1：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,8)的圆的方程
方法一： 几何方法
圆的一般方程(20张PPT)——高中数学人教A版选择性必修第一册
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
2024课件
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
第二章直线和圆的方程2.4.2圆的一般方程
0 1在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程.0 2能够应用圆的方程解决简单的数学问题和实际问题.0 3初步了解用代数方法处理几何问题的基本思想和基本方法Dx+E y+F=0 叫做圆的一般方程，且D²+E²-4F >0,
圆的一般方程
为圆心，
将方程x²+y²+Dx+Ey+ F=0(2) 的左边配方，并把常数项移到右 边 ，( 1 ) 当D²+E²-4F>0 时，比较方程①和圆的标准方程，可以看出方程(2)表示 为圆心， 为半径的圆；( 2 ) 当D²+E²-4F=0 时，方程(2)只有实数解 声 手它表示一个点( 3 ) 当D²+E²-4F<0 时，方程(2)没有实数解，它不表示任何图形.
例题巩固例1 求过三点0(0,0),M ₁(1,1), M ₂ (4,2)的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径.
解：设圆的方程是x²+y²+Dx+Ey+F=0.①因为0 ,M₁ ,M₂ 三点都在圆上，把它们的坐标依次代入方程①,
所以所求圆的方程是x²+y²-8x+6y=0.故所求圆的圆心坐标是(4,-3),半径
解得
(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a,b,r 或 D,E,F 的方程组；(3)解出a,b,r 或 D,E,F, 得到标准方程或一般方程.
求圆的方程常用待定系数法的步骤
例2已知线段 AB的端点B的坐标是(4,3),端点A 在圆(x+1)²+y²=4上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.
授课老师：
时间：2024年9月1日
2024课件
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
第二章直线和圆的方程2.4.2圆的一般方程
0 1在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程.0 2能够应用圆的方程解决简单的数学问题和实际问题.0 3初步了解用代数方法处理几何问题的基本思想和基本方法Dx+E y+F=0 叫做圆的一般方程，且D²+E²-4F >0,
圆的一般方程
为圆心，
将方程x²+y²+Dx+Ey+ F=0(2) 的左边配方，并把常数项移到右 边 ，( 1 ) 当D²+E²-4F>0 时，比较方程①和圆的标准方程，可以看出方程(2)表示 为圆心， 为半径的圆；( 2 ) 当D²+E²-4F=0 时，方程(2)只有实数解 声 手它表示一个点( 3 ) 当D²+E²-4F<0 时，方程(2)没有实数解，它不表示任何图形.
例题巩固例1 求过三点0(0,0),M ₁(1,1), M ₂ (4,2)的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径.
解：设圆的方程是x²+y²+Dx+Ey+F=0.①因为0 ,M₁ ,M₂ 三点都在圆上，把它们的坐标依次代入方程①,
所以所求圆的方程是x²+y²-8x+6y=0.故所求圆的圆心坐标是(4,-3),半径
解得
(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a,b,r 或 D,E,F 的方程组；(3)解出a,b,r 或 D,E,F, 得到标准方程或一般方程.
求圆的方程常用待定系数法的步骤
例2已知线段 AB的端点B的坐标是(4,3),端点A 在圆(x+1)²+y²=4上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.
圆的一般方程ppt课件
（3）x2 ( y 3)2 25
x2 y2 4x 6y 8 0 x2 y2 8x 8y 15 0 x2 y2 6 y 16 0
问题2、形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程的曲线都是圆吗？
将方程：x2 y2 Dx Ey F 0 （1）配方得：
x
D 2
2
y
E 2
2
D2
E2 4
4F
（1）当D2+E2-4F>0时，方程（1）表示以
D ， 2
E 2
为圆心，以
1 D2 E2 4F 为半径的圆
2
（2）当D2+E2-4F=0时，方程（1）表示一个点
D 2
，
E 2
（3）当D2+E2-4F<0时，方程（1）不表示任何图形
例题与练习
例题1、求过三点O（0,0），M1（1,1），M2（4,2）的圆的方 程，并求这个圆的圆心和半径
变式练习
求圆C : x2 y2 8x 2y 8 0关于点（2，-1）对称的 圆的方程为
课堂小结
1.圆的一般方程的结构特点. 2.待定系数法求圆的方程. 3.求轨迹方程的方法
课后作业
教材P88习题2.4 A组复习巩固1-x+Ey+F=0，因为O，M1，M2 三点都在圆上，所以它们的坐标满足圆的方程，将坐标 带入方程得：
F 0
D 8
D E F 2 0
解得：E 6
4D 2E F 20 0
F 0
所以，所求圆的方程为：x2+y2-8x+6y=0
方法总结
求圆的方程常用待定系数法，其大致步骤是： （1）根据题意，选择标准方程或一般方程； （2）根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组； （3）解出a,b,r或D,E,F，得到标准方程或一般方程
x2 y2 4x 6y 8 0 x2 y2 8x 8y 15 0 x2 y2 6 y 16 0
问题2、形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程的曲线都是圆吗？
将方程：x2 y2 Dx Ey F 0 （1）配方得：
x
D 2
2
y
E 2
2
D2
E2 4
4F
（1）当D2+E2-4F>0时，方程（1）表示以
D ， 2
E 2
为圆心，以
1 D2 E2 4F 为半径的圆
2
（2）当D2+E2-4F=0时，方程（1）表示一个点
D 2
，
E 2
（3）当D2+E2-4F<0时，方程（1）不表示任何图形
例题与练习
例题1、求过三点O（0,0），M1（1,1），M2（4,2）的圆的方 程，并求这个圆的圆心和半径
变式练习
求圆C : x2 y2 8x 2y 8 0关于点（2，-1）对称的 圆的方程为
课堂小结
1.圆的一般方程的结构特点. 2.待定系数法求圆的方程. 3.求轨迹方程的方法
课后作业
教材P88习题2.4 A组复习巩固1-x+Ey+F=0，因为O，M1，M2 三点都在圆上，所以它们的坐标满足圆的方程，将坐标 带入方程得：
F 0
D 8
D E F 2 0
解得：E 6
4D 2E F 20 0
F 0
所以，所求圆的方程为：x2+y2-8x+6y=0
方法总结
求圆的方程常用待定系数法，其大致步骤是： （1）根据题意，选择标准方程或一般方程； （2）根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组； （3）解出a,b,r或D,E,F，得到标准方程或一般方程
2.4.2 圆的一般方程课件高二数学人教A版(2019)选择性必修第一册(共28页PPT)
1 2
D2 E2 4F 为半径的圆；
圆的一般方程
（2）当 D2
E2
4F
0 时，方程（1）只有实数解 x
D 2
，
y
E 2
，它表示一个点
D 2
,
E 2
；
（3）当 D2 E2 4F 0 时，方程（1）没有实数解，它不表示任何图形.
因此，当 D2 E2 4F 0 时，方程（2）表示一个圆，我们把方程（2）叫做圆 的一般方程.
由于点 B 的坐标是 (4,3) ，且 M 是线段 AB 的中点，
所以 x x0 4 ， y y0 3 .
2
2
于是有 x0 2x 4 ， y0 2y 3 .①
点 M 的轨迹方程是指点 M 的坐标 x, y 满足的关系式.轨迹是指点在运动变化 过程中形成的图形.在解析几何中，我
因为点 A 在圆 (x 1)2 y2 4 上运动，
分析：如图，点 A 运动引起点 M 运动，而点 A 在已知圆上运动，点 A 的坐标满 足方程 x 1 2 y2 4 .建立点 M 与点 A 坐标之间的关系，就可以利用点 A 的坐 标所满足的关系式得到点 M 的坐标满足的关系式，求出点 M 的轨迹方程
例题来了
解：如图，设点 M 的坐标是 (x, y) ，点 A 的坐标是 (x0, y0 ) .
y
A (x1，y1)
B (x2，y2) M (x，y)
O
x
求轨迹方程的常用方法
（1）直接法：根据题目中的条件，建立适当的平面直角坐标系，设出动点 的坐标，并找出动点坐标的关系式.
（2）代入法（相关点法）：若动点 P x, y 随着圆上的另一动点Q x1, y1 运动而运 动，且 x1, y1 可用 x，y 表示，则可将点 Q 的坐标代入已知圆的方程，即动点 P 的 轨迹方程.
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b 与曲线C: y 4 x2有公 共 点 ， 试 求 b 的 取 值围范.
图解
例 5 .:圆 x2Cy2x6 yF0 与 直 :线 xl2 y30 交 于 两 点 P 、且QO,PO Q求 , F 的 值
图解
例 6 . 已 知 圆1C的 方 程 为 x2 y2 2x 4y3 0， 直线l:x 2y 4 0,试求 圆 C1关 于 直 线 l 对 称 的 圆 为 C2的 方 程 .
一、复习
圆的标准方程是_( ____ _a x ___2 _ _) ( ____ _y b ___2 _ _) _r 2
将上式展开得 x2y22a x2bya2b2r20
思 形如x2 y2 Dx Ey F 0 考：的方程的曲线是不是圆 ?
二、圆的一般方程的定义：
1.分析 2方 y2D程 x Exy F0 所表示的轨迹
,表
示一个
点
（
D 2
，
E 2
）.
(3)当2DE2 4F0时方 , 程
x2 y2 DxEyF 0没有
实 数 解 ， 因 而 不 表何示图任形 .
2 . 当 2E2D4 F0 时 方,程 x2y2D x E y F0 称 为 圆的一般方程.
3.圆的一般方程的特 点：
（ 1）2x与 y2的 系 数 相 同 ， 不 等 于 （2）没有xy项 (3)D2 E2 4F0
图 例4 线与圆
1、点与圆的位置关系 设 圆 C： a2)((xyb2)r2， 点 M0,y（ 0) 到 x 圆 心 的 距 离:为 d ， 则 有
(1)dr 点M在圆外 (2)dr 点M在圆上 (3)dr 点M在圆内
设 圆 :C( xa )2 ( yb )2 r2, 直 线 l ： AxB yC 0 , 圆 心 ( ab,) 到 直 线 l 的 距d离，为 则有几何特征：
配方可得
( xD)2( yE)2D2E24 F ( * )
2
2
4
( 1 )2当 E2 D4 F0 时 ，（ 方 *） 程 表 示 以
（ D， E）为圆 1 D2心 E2， 4为 F 半径的
22
2
(2)当D2 E2 4F 0时，方程
x2 y2 Dx Ey F 0只要实
数解x
D 2
,y
E 2
图解
例 1 . 求 过 三 点,O0()0, M1( 1 , 1 )M,2( 4 , 2 ) 的 圆 的方程.
图解
例 2 . 已 知 一 曲 线 是 与两 个 定 点 O（0，0），A（，3 0）距离的 比为1 的点的轨迹，求此曲线
2 的方程，并画出曲线.
图解
例 3 . 已 知 直:线xl2 y3 0 , 圆 C:x2 y2 2 x 0 ， 若 点 P 在 圆 C 上 ， 试 确 定的点坐P标 ， 使 点 P 到 直 线 l 的最距小离， 并 求这个最小值。
(1)dr 直 线 与 圆 相 交 ； (2)dr 直 线 与 圆 相 切 ； (3)dr 直 线 与 圆 相 离 ；
由(
xa)2 (yb)2 r2消去y得x的一元 AxByC0
二次方程判别式则为有Δ代，数特征：
( 1) 0 直 线 与 圆 相 交 ；
( 2) 0 直 线 与 圆 相 切 ；
( 3) 0 直 线 与 圆 相 离 ；
图解
例 5 .:圆 x2Cy2x6 yF0 与 直 :线 xl2 y30 交 于 两 点 P 、且QO,PO Q求 , F 的 值
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例 6 . 已 知 圆1C的 方 程 为 x2 y2 2x 4y3 0， 直线l:x 2y 4 0,试求 圆 C1关 于 直 线 l 对 称 的 圆 为 C2的 方 程 .
一、复习
圆的标准方程是_( ____ _a x ___2 _ _) ( ____ _y b ___2 _ _) _r 2
将上式展开得 x2y22a x2bya2b2r20
思 形如x2 y2 Dx Ey F 0 考：的方程的曲线是不是圆 ?
二、圆的一般方程的定义：
1.分析 2方 y2D程 x Exy F0 所表示的轨迹
,表
示一个
点
（
D 2
，
E 2
）.
(3)当2DE2 4F0时方 , 程
x2 y2 DxEyF 0没有
实 数 解 ， 因 而 不 表何示图任形 .
2 . 当 2E2D4 F0 时 方,程 x2y2D x E y F0 称 为 圆的一般方程.
3.圆的一般方程的特 点：
（ 1）2x与 y2的 系 数 相 同 ， 不 等 于 （2）没有xy项 (3)D2 E2 4F0
图 例4 线与圆
1、点与圆的位置关系 设 圆 C： a2)((xyb2)r2， 点 M0,y（ 0) 到 x 圆 心 的 距 离:为 d ， 则 有
(1)dr 点M在圆外 (2)dr 点M在圆上 (3)dr 点M在圆内
设 圆 :C( xa )2 ( yb )2 r2, 直 线 l ： AxB yC 0 , 圆 心 ( ab,) 到 直 线 l 的 距d离，为 则有几何特征：
配方可得
( xD)2( yE)2D2E24 F ( * )
2
2
4
( 1 )2当 E2 D4 F0 时 ，（ 方 *） 程 表 示 以
（ D， E）为圆 1 D2心 E2， 4为 F 半径的
22
2
(2)当D2 E2 4F 0时，方程
x2 y2 Dx Ey F 0只要实
数解x
D 2
,y
E 2
图解
例 1 . 求 过 三 点,O0()0, M1( 1 , 1 )M,2( 4 , 2 ) 的 圆 的方程.
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例 2 . 已 知 一 曲 线 是 与两 个 定 点 O（0，0），A（，3 0）距离的 比为1 的点的轨迹，求此曲线
2 的方程，并画出曲线.
图解
例 3 . 已 知 直:线xl2 y3 0 , 圆 C:x2 y2 2 x 0 ， 若 点 P 在 圆 C 上 ， 试 确 定的点坐P标 ， 使 点 P 到 直 线 l 的最距小离， 并 求这个最小值。
(1)dr 直 线 与 圆 相 交 ； (2)dr 直 线 与 圆 相 切 ； (3)dr 直 线 与 圆 相 离 ；
由(
xa)2 (yb)2 r2消去y得x的一元 AxByC0
二次方程判别式则为有Δ代，数特征：
( 1) 0 直 线 与 圆 相 交 ；
( 2) 0 直 线 与 圆 相 切 ；
( 3) 0 直 线 与 圆 相 离 ；