《二次函数与图形面积》专题学案
与二次函数有关的面积问题教案
课题课型中考复习课学习好资料欢迎下载探究与二次函数有关的面积问题出课人孙晶授课时间2013.3.28教学目知识和能力过程和方法能够根据二次函数中不同图形的特点选择方法求图形面积。
通过观察、分析、概括、总结等方法了解二次函数面积问题的基本类型，并掌握二次函数中面积问题的相关计算，从而体会数形结合思想和转化思想在二次函数中的应用。
标情感态度和价值观教学重点和难点教学方法由简单题入手逐渐提升，从而消除学生的畏难情绪，让学生有兴趣和积极性参与数学活动。
加强学生之间的合作交流，提高学生的归纳总结能力，培养学生不断反思的习惯。
重点：选择方法求图形面积难点：如何割补、转化图形求面积启发式、讨论式教学用具多媒体课件与二次函数有关的面积问题（一）二次函数的图像Ah 板铅垂高C书B设计水平宽a（二）交点坐标，与X轴两交点的距离。
图（三）S=1/2ah(其中、a（四）总结为水平宽、h为铅垂高)教学活动（一）说一说请思考函数y=x2-2x-3的图象。
想一想学生活动学生发言设计意图给学生展示的舞台，让学生有发挥的空1、2、3、如何求抛物线和两坐标轴的交点。
怎样求平面直角坐标系内一点到x轴、y轴的距离？怎样求抛物线与x轴的两个交点的距间。
离？（三）议一议学生共同思考（△1）求下列图形的面积ABD、△ABC、△ABE、△OCD、△OCE思考：这几个图形求面积有何共同点？（三角形边特殊吗？）主要让学生体会当三角形的一边在坐标轴上时，就以这边为底，做高求面积即可。
同时也体会坐标与线段长度的关系。
激发学生的学习兴趣。
学生归纳总结使学生亲身经历规律产生的过程提高学生归纳总结的能力。
教师活动（△2）你肯定行：ADE的面积如何求呢？学生活动设计意图学生积极思考、小提高学生归组共同讨论、集体纳总结的能展示。
力。
动点问题是学生的难小结：不规则图形或三边不具特殊性的三角形如何求面积。
学生归纳总结点，让学生体会以静带动的思考方式，突破难能力提升：（3）若点F（x,y)为抛物线上一动点，其中-1≤x≤△4，求当AEF面积最大时点F的坐学生先独立思考，点。
人教版初三数学上册二次函数与三角形的面积问题导学案
二次函数与三角形的面积问题【活动目标】1.能够根据二次函数中不同图形的特点选择合适的方法解答二次函数中三角形图形的面积。
【活动重点和难点】 1.运用2铅垂高水平宽⨯=s ； 2.运用二次函数有关知识解三角形最大面积。
【活动过程】类型一：三角形的某一条边在坐标轴上或者与坐标轴平行 (小班预习作业） 例1.已知：抛物线的顶点为D （1，-4），并经过点E （4，5），求: （1）抛物线解析式；（2）抛物线与x 轴的交点A 、B ，与y 轴交点C ；（3）求下列图形的面积△ABD 、△ABC 、△ABE 、△OCD 、△OCE 。
解题思路：求出函数解析式________________；写出下列点的坐标：A______；B_______；C_______；求出下列线段的长：AO________；BO________；AB________；OC_________。
求出下列图形的面积△ABD 、△ABC 、△ABE 、△OCD 、△OCE 。
方法小结： 一般地，此类题目相对简单，做题步骤：1.求出二次函数的解析式；2.求出相关点的坐标；3.求出相关线段的长；4.选择合适方法求出图形的面积。
类型二：三角形三边均不与坐标轴轴平行，做三角形的铅垂高。
关于2铅垂高水平宽⨯=∆S 的知识点：如图1，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”（a ），中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高”（h ）．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S △ABC= ah ，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．如图2：△ABC的水平宽=， 铅垂高= 。
BA铅垂高水平宽 ha 图1图2xCO y ABD 11知识小结：今天你学到了哪些知识？收获了什么？ 过关练习：1、 如图，抛物线 的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，已知B 点坐标为（4，0）． （1）求抛物线的解析式；（2）若点M 是线段BC 下方的抛物线上一点，求△MBC 的面积的最大值，并求出此时M 点的坐标．中考真题：（2013•泸州）如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为（﹣2，0），点B 的坐标为（1，﹣），已知抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）经过三点A 、B 、O （O 为原点）． （1）求抛物线的解析式； （2）在该抛物线的对称轴上，是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如果点P 是该抛物线上x 轴上方的一个动点，那么△PAB 是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及△PAB 的最大面积；若没有，请说明理由．（注意：本题中的结果均保留根号）例2、如图，已知抛物线经过点A （﹣1，0）、B （3，0）、C （0，3）三点．（1）求抛物线的解析式． （2）点M 是线段BC 上的点（不与B ，C 重合），过M 作MN ∥y 轴交抛物线于N ，连接NB 、NC ，是否存在M ，使△BNC 的面积最大？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．。
中考数学专题第十讲《二次函数-面积与计算》导学案教案教学设计
第十讲二次函数（面积与计算）首先仔细观察下列常见图形，说出如何求出各图中阴影部分图形的面积.在以上问题的分析中研究思路为：（1）分析图形的成因（2）识别图形的形状（3）找出图形的计算方法注意：（1）取三角形的底边时一般以坐标轴上线段或以与轴平行的线段为底边. （2）三边均不在坐标轴上的三角形及不规则多边形需把图形分解.（即采用割或补的方法把它分解成易于求出面积的图形）（3）思考一下对于（5）、（7）两图是否可以连结BD来解决呢？（4）在求图形的面积时常常使用到以下公式：抛物线解析式y=ax2 +bx+c (a≠0)抛物线与x 轴两交点的距离AB=︱x 1–x 2︱=a∆抛物线顶点坐标（-ab 2, ab ac 442-） 抛物线与y 轴交点（0，c ）【例题分析】（•舟山）如图，在平面直角坐标系中，A 是抛物线y =x 2上的一个动点，且点A 在第一象限内．AE ⊥y 轴于点E ，点B 坐标为（0，2），直线AB 交x 轴于点C ，点D 与点C 关于y 轴对称，直线DE 与AB 相交于点F ，连结BD ．设线段AE 的长为m ，△BED 的面积为S ． （1）当m =时，求S 的值．（2）求S 关于m （m ≠2）的函数解析式．图221-1-35yxOCEFDBA（3）①若S =时，求的值；②当m ＞2时，设=k ，猜想k 与m 的数量关系并证明．已知：如图，Rt △AOB 的两直角边OA 、OB 分别在x 轴的正半轴和y 轴的负半轴上，C 为OA上一点且OC ＝OB ，抛物线y=()－(p-2)(p-m)（m 、p 为常数且m+2≥2p>0）经过A 、C 两点．（1）用m 、p 分别表示OA 、OC 的长；（2）当m 、p 满足什么关系时，△AOB 的面积最大．已知直线3y kx =-与x 轴交于点()40A ，，与y 轴交于点C ，抛物线234y x mx n =-++经过点A 和点C ，动点P 在x 轴上以每秒1个长度单位的速度由抛物线与x 轴的另一个交点B 向点A 运动，点Q 由点C 沿线段CA 向点A 运动且速度是点P 运动速度的2倍．（1）求此抛物线的解析式和直线的解析式；问当t 为何值（2）（2）如果点P 和点Q 同时出发，运动时间为t （秒），试时，PQA △是直角三角形；（3）在直线CA 上方的抛物线上是否存在一点D ，使得ACD △的面积最大，若存在，求出点D 坐标；若不存在，请说明理由．如图，在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的A 、B 两个顶点在x 轴上，顶点C 在y 轴的负半轴上．已知︱OA ︱：︱OB ︱＝1：5，︱OB ︱＝︱OC ︱，△ABC 的面积S △ABC ＝15，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）经过A 、B 、C 三点。
初中数学《二次函数图象中的面积问题》导学案word资料4页
二次函数图象中的面积问题 姓名1、（2010 宁波20题） 如图，已知二次函数c bx x y ++-=221的图象经过A （2，0）、B （0，－6）两点。
（1）求这个二次函数的解析式；（2）设该二次函数的对称轴与x 轴交于点C ， 连结BA 、BC ，求△ABC 的面积。
变式： （3）该函数图象与x 轴的另一个交点为点D ，顶点为E ，连接AE 、DE ，求抛物线上点P 坐标，使得S △ADP= 3S △ADE 。
（中考题改编） 思考：抛物线上有几个P 点，使得S △ADP= 31S △ADE2、如图，已知二次函数图象过 A （-1，0），C （0，3），且对称轴为直线x=1（1）求抛物线解析式，图象与x 轴的另一个交点B 及顶点D 点坐标 ；（2）求△DCB 的面积。
变式：如图，已知二次函数图象过 A （-1，0）C （0，3），且对称轴为直线x=1（1）求抛物线解析式（上面已求）；（2）P 是直线BC 上方的二次函数图象上的一个动点（点P 与B 、C 不重合），P 点运动到什么位置时，△PBC 的面积最大，并求出此时的P 点坐标和△PBC 的最大面积。
（中考题改编）第20题3、请你尝试编一个二次函数图象中的面积问题。
4、请你欣赏：（2010云南楚雄）已知：如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴相交于两点A (1，0)，B (3，0).与y 轴相较于点C （0，3）．（1）求抛物线的函数关系式；（2）若点D （7,2m ）是抛物线2y ax bx c =++上一点，请求出m 的值，并求处此时△ABD 的面积．（2010江苏宿迁）（本题满分12分）已知抛物线2y x bx c =++交x 轴于A (1,0)、B (3,0)两点，交y 轴于点C ，其顶点为D ．（1）求b 、c 的值并写出抛物线的对称轴；（2）连接BC ，过点O 作直线OE ⊥BC 交抛物线的对称轴于点E ．求证：四边形ODBE 是等腰梯形；（3）抛物线上是否存在点Q ，使得△OBQ 的面积等于四边形ODBE 的面积的31？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．（2010湖北恩施自治州） 如图，在平面直角坐标系中，二次函数c bx x y ++=2的图象与x 轴交于A 、B 两点， A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），与y 轴交于C （0，-3）点，点P 是直线BC 下方的抛物线上一动点.（1）求这个二次函数的表达式．（2）连结PO 、PC ，并把△POC 沿CO 翻折，得到四边形POP /C ， 那么是否存在点P ，使四边形POP /C 为菱形？若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）当点P 运动到什么位置时，四边形 ABPC 的面积最大并求出此时P 点的坐标和四边形ABPC 的最大面积.（2010吉林长春）如图，抛物线2(0)y ax c a =+<交x 轴于点G 、F ，交y 轴于点D ，在x 轴上方的抛物线上有两点B 、E ， 它们关于y 轴对称，点G 、B 在y 轴左侧。
22.3.1实际问题与二次函数 第1课时 二次函数与图形面积问题【人教九上数学精彩课堂教案】
22.3 实际问题与二次函数 第1课时 二次函数与图形面积问题实际情境置疑探究归纳探究复习探究类比探究悬念激趣实际情境 如图22-3-1,用12米长的木料,做一个有一条横档的矩形窗框,为了使窗户透进的光线最多,窗框的长、宽应各是多少?图22-3-1[教学提示] 通过对周长一定的矩形面积最大值的实际问题的导入,激发学生的学习兴趣和探究新知的欲望,从而引导学生研究二次函数与图形面积问题的一般方法.可以对以上问题挖空让学生填写:设宽为x 米,面积为S 米2.根据题意并结合图形可得S= x 6-32x =-32x 2+6x .∵-32 < 0,∴S 有最 大 值,当x= -62×(-32)=2 时,S 最 大 ,此时6-32x= 3 ,即当窗框的长为 3米 ,宽为 2米 时,窗户透进的光线最多.悬念激趣 (1)(做一做)请你画一个周长为12厘米的矩形,算一算它的面积是多少.再和周围同学所画的矩形比一比,你发现了什么?谁画的矩形的面积最大?(2)(练一练)已知一个矩形的周长为12米,它的一边长为x 米,那么矩形面积S (平方米)与x (米)之间有怎样的关系?自变量的取值范围是什么?(3)(试一试)若想设计一个周长为12米的矩形广告牌,假如你是设计师,你知道怎么设计才能使广告牌的面积最大吗?[教学提示] (1)题比较简单,但对学生有很大的吸引力和挑战性,可有效地激发学生的学习兴趣.(2)题在(1)题的基础上提出问题,引导学生对实际问题与二次函数展开联想.(3)题在(2)题的基础上加入实际背景求最值,这样低起点,快反馈,能有效地提高学生的数学建模能力.教师要重点关注学生能否正确求解,考虑问题是否全面以及学生能否将实际问题转化为数学问题.教材母题——第49页探究1用总长为60 m的篱笆围成矩形场地,矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少米时,场地的面积S最大?【模型建立】利用二次函数解决几何图形的最大(小)面积问题,先利用几何图形的面积公式得到关于面积的二次函数解析式,再由二次函数的图象和性质确定二次函数的最大(小)值,从而确定几何图形面积的最大(小)值.【变式变形】1.用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长为18 m,这个矩形菜园的长、宽各为多少时,它的面积最大?最大面积是多少?[答案:长为15 m,宽为7.5 m时,它的面积最大,最大面积为112.5 m2]2.如图22-3-2,用长为24米的篱笆,围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃,且花圃的长可借用一段墙体(墙体的最大可用长度a=10米):(1)如果所围成的花圃的面积为45平方米,试求花圃的宽AB;(2)按题目的设计要求,能围成面积比45平方米更大的花圃吗?图22-3-2[答案:(1)AB=5米(2)能]3.如图22-3-3,在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆,围成中间隔有两道篱笆的矩形花圃.设花圃的边AB长为x米,面积为S平方米.(1)求S与x之间的函数解析式及自变量的取值范围;(2)当x取何值时,所围成的花圃面积最大,最大值是多少?(3)若墙的最大可用长度为8米,求围成的花圃的最大面积.图22-3-3[答案:(1)S=-4x2+24x(0<x<6)(2)当x=3时,所围成的花圃面积最大,最大值为36平方米(3)最大面积是32平方米]4.分别用定长为L的线段围成矩形和圆,哪种图形的面积大?为什么?[答案:圆理由略]教材母题——第52页习题22.3第7题如图22-3-4,点E,F,G,H分别位于正方形ABCD的四条边上.四边形EFGH也是正方形.当点E位于何处时,正方形EFGH的面积最小?图22-3-4【模型建立】通过设未知数建立函数关系,把几何问题转化为函数问题,把动点问题转化为函数问题,通过对函数的变化规律的研究来解决几何问题.【变式变形】如图22-3-5,在边长为4的正方形ABCD中,点E在AB边上(不与点A,B重合),点F在BC 边上(不与点B,C重合).第一次操作:将线段EF绕点F顺时针旋转,当点E落在正方形的边上时,记为点G;第二次操作:将线段FG绕点G顺时针旋转,当点F落在正方形的边上时,记为点H;…依此操作下去.(提示:旋转前、后的图形全等.)图22-3-5(1)图②中的△EFD是经过两次操作后得到的,其形状为等边三角形,求此时线段EF 的长.(2)若经过三次操作可得到四边形EFGH.①四边形EFGH的形状为正方形,此时AE与BF的数量关系是AE=BF;②以①中的结论为前提,设AE的长为x,四边形EFGH的面积为y,求y与x之间的函数解析式及面积y的取值范围.[答案:(1)EF=-4√2+4√6(2)y=2x2-8x+16(0<x<4)8≤y<16]【评价角度1】利用二次函数的性质解决图形面积的最值问题方法指引:此类问题常见题型:(1)利用二次函数解决图形的最大(小)面积问题,如教材P49探究1,P52习题22.3T4,T9.(2)几何图形上点的运动问题,何时面积最大(小),如教材P52习题22.3T6,T7,解决此类问题,关键是求二次函数的最值(二次函数图象的顶点的纵坐标或在使实际问题有意义的自变量取值范围内,根据二次函数的增减性找最值).图22-3-6例如图22-3-6,在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN,某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD,其中AD≤MN,已知矩形菜园的一边靠墙,另外三边一共用了100米木栏.(1)若a=20,所围成的矩形菜园的面积为450平方米,求所利用旧墙AD的长;(2)求矩形菜园ABCD面积的最大值.答案:(1)AD的长为10米(2)当a≥50时,S的最大值为1250;当0<a<50时,S的最大值为50a-1a22【评价角度2】在几何图形运动过程中,判断函数图象方法指引:此类问题一般作为中考选择题的最后一道题,难度较大.注意把几何图形的性质转化为求函数解析式的条件,然后再判断图象.例如图22-3-7,在△ABC中,∠B=90°,AB=3 cm,BC=6 cm,动点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动,动点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动,若P,Q 两点分别从点A,B同时出发,点P到达点B时两点同时停止运动,则△PBQ的面积S与出发时间t之间的函数关系图象大致是(C)图22-3-7图22-3-8【评价角度3】 二次函数与周长、面积、线段等最值存在性问题方法指引:此类问题一般作为中考的压轴题,常与三角形或四边形知识紧密结合,体现了初中数学知识的灵活性和综合性.例 如图22-3-9,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax 2+bx+1交y 轴于点A ,交x 轴正半轴于点B (4,0),与过点A 的直线相交于另一点D3,52,过点D 作DC⊥x 轴,垂足为C.(1)求抛物线的函数解析式;(2)点P 在线段OC 上(不与点O ,C 重合),过点P 作PN ⊥x 轴,交直线AD 于点M ,交抛物线于点N ,连接CM ,求△PCM 面积的最大值.图22-3-9答案:(1)y=-34x 2+114x+1 (2)△PCM 面积的最大值为2516课题 第1课时 二次函数与图形面积问题授课人教学目标1.通过图形的面积关系列出函数解析式.2.用二次函数的知识分析解决有关面积的实际问题.3.对实际问题的探究,体会数学知识的现实意义,进一步认识利用二次函数的有关知识解决实际问题. 4.通过实际问题与二次函数的关系的探究,让学生掌握利用顶点坐标解决最大值(或最小值)的方法.5.体会数学是解决实际问题和进行交流的重要工具,了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用.教学重点用二次函数的知识分析解决有关面积的实际问题.教学难点通过图形的面积关系列出函数解析式.授课类型新授课课时教具多媒体教学活动教学步骤师生活动设计意图回顾1.请写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标:(1)y=6x2+12x;(2)y=-4x2+8x-10.2.以上两个函数,哪个函数有最大值,哪个函数有最小值?并说出两个函数的最大值或最小值分别是多少.师生活动:学生自主进行解答,教师做好指导和点评.提示:求解二次函数的最值一般有两种方法:一是把一般式化为顶点式;二是利用顶点坐标公式求解.(1)y=6(x+1)2-6,所以抛物线开口向上,对称轴为直线x=-1,顶点坐标为(-1,-6),当x=-1时,y有最小值-6.(2)y=-4(x-1)2-6,所以抛物线开口向下,对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,-6),当x=1时,y有最大值-6.通过回顾二次函数的最值问题,为讲解新课做铺垫,两种求解方法为学生深刻理解知识提供理论支持.活动一: 创设情境导入新课【课堂引入】问题:用总长为60 m的篱笆围成矩形场地,矩形场地的面积S随一边长l的变化而变化,当l是多少米时,矩形场地的面积S最大?师生活动:1.教师引导学生分析与矩形面积相关的量;2.教师设问,如何用含l的代数式表示与其相邻的边的长通过典型的实际问题,激发学生解答的欲望,让学生在合作中学习,共同解答问题,培养学生的探究能力和合作意识.度;3.学生自主列函数解析式,并进行整理,讨论问题解答的正确性;4.针对问题要求进行求解,并回答问题.教师关注:1.学生能否根据矩形的面积公式列函数解析式;2.学生能否根据以前所学知识准确求出函数的最大值.活动二: 探究与应用1.探究新知活动一:针对[课堂引入]的问题进行探究,教师总结解题过程.师生活动:(1)确定解题的步骤:先表示矩形的长和宽,再利用面积公式列解析式,最后求最值.(2)解答过程:矩形场地的一边长为l m,则另一边长为(30-l)m,所以矩形场地的面积S=l(30-l)=-l2+30l(0<l<30).当l=-b2a=15时,S有最大值4ac-b24a=225.也就是说,当l是15 m时,矩形场地的面积S最大.2.师生总结教师指导学生总结解答问题的方法和步骤,学生代表进行说明,全班互相交流,师生共同确定解题思路:(1)表示与面积相关的量;(2)利用面积公式列函数解析式,并进行整理;(3)确定自变量的取值范围;(4)利用公式求出最值.通过典型问题的设计和解答,让学生体会函数模型在解决实际问题中的作用.【应用举例】例1如图22-3-10,用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的矩形菜园ABCD.设AB边的长为x米,则菜园的面积y(米2)与x(米)之间的函数解析式为y=-12x2+15x(不要求写出自变量x的取值范围).应用举例是对于课题学习的针对性练习.图22-3-10师生活动:学生自主进行解答,教师巡视、指导、点评.教师引导学生阐述解答过程:(1)用含x的代数式表示出AD的长度;(2)利用矩形的面积公式列出函数解析式.【拓展提升】例2如图22-3-11,点E,F,G,H分别位于正方形ABCD 的四条边上,四边形EFGH也是正方形,当点E位于何处时,正方形EFGH的面积最小?图22-3-11师生活动:学生小组内讨论、交流,教师参与小组合作,并引导学生理清解题思路.教师做好总结和展示:设AE=x,AB=1,正方形EFGH的面积为y.根据题意,得y=1-2x(1-x).整理,得y=2x2-2x+1,所以当x=0.5时,正方形EFGH的面积最小,最小值为0.5, 即当点E在AB的中点处时,正方形EFGH的面积最小.拓展提升是对于基础知识的提高和应用,培养学生的实际应用能力,提升思维能力.活动三: 课堂总结反思【达标测评】1.给你一根长为8 m的铁丝,用它围成一个矩形方框,当这个矩形的长为 2 m时,矩形的面积最大.2.某居民小区要在一块一边靠墙(墙长15米)的空地上修建一个矩形花园ABCD,花园的一边靠墙,另三边用总长为40 m的栅栏围成.若设花园的宽为x m,花园的面积为y m2.(1)求y与x之间的函数解析式,并写出自变量的取值范围;(2)根据(1)中求得的函数解析式,描述其图象的变化趋势,并结合题意判断,当x取何值时,花园的面积最大,最大面积是多少?活动课堂总结反思3.如图22-3-12所示,要建一个矩形养鸡场,养鸡场的一边靠墙,计划用50 m长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场,设养鸡场的长为x m.图22-3-12(1)要使养鸡场的面积最大,养鸡场的长应为多少米?(2)如果中间有n道篱笆隔墙,要使养鸡场的面积最大,养鸡场的长应为多少米?比较(1)(2)的结果,你能得到什么结论?学生进行当堂检测,完成后,教师进行批阅、点评、讲解.1.课堂总结:你在本节课中有哪些收获?有哪些进步?还有哪些困惑?请谈一谈.教师强调:利用面积公式列函数解析式是解答问题的主要方法.2.布置作业:教材第52页习题22.3第4,6题.小结环节的设置能够让学生养成自主归纳课堂重点的习惯,提高学生的学习能力.【知识网络】提纲挈领,重点突出.【教学反思】①[授课流程反思]在创设情境和探究新知环节中,利用实际问题激发学生的求知欲,渗透转化思想,把知识回归生活,又从生活中走出来,使学生乐学、好学;通过层层设疑、由易到难,符合学生的认知水平和认知规律,引导学生不断思考、积极探索.②[讲授效果反思]教师提醒学生注意:(1)一般地,面积问题中常把面积作为函数,边长作为自变量;(2)确定自变量的取值范围是解答此类问题的注意点;(3)求最值问题可选用公式法或将函数解析式由一般式化为顶点式.③[师生互动反思]从课堂发言和检测来看,学生能够积极发言、小组讨论富有实效,能够把知识进行化归,建立函数模型.④[习题反思]好题题号错题题号反思教学过程和教师表现,进一步优化操作流程和提升自身素质.。
人教版九年级上册 二次函数和图形面积 学案
专题十三二次函数与图形面积知识解读解决与抛物线有关的面积问题，有如下的解题思路：（1）图形的面积割补；（2）利用平行线的性质作等积变形；（3）等量代换，即把面积之比转化为线段之比；（4）“等底，等高，等面积”由二推一，即以其中任意两个为条件，第三个为结论，命题总成立；（5）用相似三角形的性质，即相似三角形的面积之比等于相似比的平方；（6）如图，对于三角形ABC，过一个顶点作铅垂线，交对边或对边的延长线于点D，记AD的长为h，然后再作出另外两点的水平距离（如图中的），这时例1：已知抛物线上有两点,N是直线OB右下方抛物线上的任意一点，试求面积的最大值以及相对应的点N的坐标。
【提示】思路1：利用割补法，通过作垂线把三角形OBN的面积转化为可以计算面积的图形面积的代数和来进行计算，;思路2：利用三角形的垂直高度乘以水平宽度的一般来计算，如下图，过点N作x轴的垂线NG，垂足为G，交OB于点Q,，过B作BH x轴于点H，;思路3：同思路2，如下图，过点B,N作y轴的垂线，分别角y轴、直线OB于点J和M,;思路4：如下图，过动点N作直线OB的平行线ST，若直线ST与抛物线有两个交点，改变点N的位置，则交点之间的距离发生变化，点N到OB的距离也发生变化，两交点之间的距离越小，三角形OBN的面积越大，当两交点之间的距离为0时，的面积最大，于是利用抛物线的切线来解决问题。
【跟踪训练】如图，如果例1中点P是直线OB上方抛物线上的一点，当时，试求出点P的坐标。
例2：如图，直线与x轴、y轴分别交于A,B两点，抛物线与直线分别交y轴正半轴于点C和第一象限的点P,连接PB，得(O为坐标原点)。
若抛物线与x轴正半轴的交点为F，设M是点C,F间抛物线上的一点（包括端点），其横坐标为m。
（1）直接写出点P的坐标和抛物线的解析式；（2）当m为何值时，的面积S取得最小值和最大值？请说明理由【提示】（1）利用图像上点的坐标以及全等三角形的性质可求出点P的坐标及抛物线的解析式。
二次函数背景下的图形面积问题小专题教学设计
【二次函数背景下的图形面积问题小专题】教学设计一、教学目标：1、会从数形结合角度解决二次函数与面积的相关问题；2、能够灵活应用几何知识多角度多方法的解决面积问题;3、在探索中感受知识的相互联系和应用，提升分析能力和解决问题的综合能力。
4、经历由特殊到一般这样一种探索数学问题的过程，树立主动参与积极探索尝试、猜想和发现的精神。
二、教学重点：二次函数背景下图形面积问题的解决方法教学难点：对平移法解决三角形面积倍分和最值问题原理的理解三、教学方法:对比教学、启发教学、展示教学学习方法：自我监测、自主探究、合作学习四、教学准备：多媒体、几何画板五、教学内容分析：本节课是一节中考前的复习课，因为这部分内容跨越时间较长，基本上从七年级到九年级一直在接触。
但是所解决的问题也基本上都是些最常规的问题，学生差不多都已掌握，但是近几年出现了几种新型的面积问题，即二次函数背景下的图形面积倍分问题和最值问题，学生再用常规方法已很难解决，所以我设计了这样一节专题课。
在这节课里，我首先安排学生利用课余时间对之前解决过的面积问题进行了检测（课前小训练），课堂上在得到学生掌握情况后引导学生对解决这种面积问题的思路进行归纳，并且特意安排了一个不规则三角形的面积最值问题，跟今天的平移法进行对比。
在引入平移法时逐步由特殊到一般，由简单到复杂，由倍分到最值，层层引导学生领悟这种方法。
教学中为了让学生更直观的感受这种方法的原理，特意采用了几何画板规范作图或动画演示让学生感知平移法的数学原理。
六、教学过程：（一）、课前准备：学生完成课前小训练1、如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（1.0），C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；(2)求S△ABC若点D为抛物线的顶点，求S△DBC(3)若点D为抛物线的顶点，求S四边(4)形ABCD(5)若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△PAB的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；(6) 若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；【设计意图】因为这些面积的常规问题学生基本上从七年级到九年级一直在接触，在这里只是起一个检测复习、并且归纳提升的作用。
17二次函数与图形面积问题教案
二次函数与图形面积问题一、教学目标(一)知识与技能：1.通过探究实际问题与二次函数关系，让学生掌握利用顶点坐标解决最大值(或最小值)问题的方法；2.通过学习和探究“矩形面积”问题，渗透转化的数学思想方法.(二)过程与方法：通过研究生活中实际问题，体会数学知识的现实意义，体会建立数学建模的思想，进一步认识如何利用二次函数的有关知识解决实际问题.(三)情感态度与价值观：通过将“二次函数的最大值”的知识灵活用于实际，让学生亲自体会到学习数学的价值，从而提高学生学习数学的兴趣，并获得成功感.二、教学重点、难点重点：探究利用二次函数的最值(或增减性)解决实际问题的方法.难点：如何将实际问题转化为二次函数的问题.三、教学过程知识预备1.二次函数y =a (x -h )2+k 的图象是一条______，它的对称轴是_______，顶点坐标是_______.2.二次函数y =ax 2+bx +c 的图象是一条_______，它的对称轴是_____________，顶点坐标是________________.当a ＞0时，抛物线开口向___，有最___点，即当x =____时，y 最小值=______；当a ＜0时，抛物线开口向___，有最___点，即当x =____时，y 最大值=_______.问题 从地面坚直向上抛出一小球，小球的高度h (单位：m )与小球的运动时间t (单位：s )之间的关系式是h =30t -5t 2(0≤t ≤6).小球运动的时间是多少，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？分析：可以借助函数图象解决这个问题，画出函数h =30t -5t 2(0≤t ≤6).可以看出，这个函数图象是一条抛物线的一部分.这条抛物线的顶点是这个函数的图像的最高点，也就是说，当t 取顶点的横坐标时，这个函数有最大值.解：由函数h =30t -5t 2(0≤t ≤6)的图象性质可知.当t ===3时，h 有最大值==45.也就是说，小球运动时间是3s 时，小球最高.小球运中的最大高度是45m .探究1用总长为60m 的篱笆墙围成矩形场地，矩形面积S 随矩形一边长l 的变化而变化，当l 是多少米时，场地的面积S 最大？解：矩形场地的周长是60m ，一边长为l m ，所以另一边长为(-l )m .场地的面积 S=l (30-l ) (0＜l ＜30)即 S=-l 2+30l (0＜l ＜30)因为，a =-1＜0，所以，当 l ===15时，S 有最大值==225.也就是说，当l 是15m 时，场地的面积S 最大.练习已知直角三角形两条直角边的和等于8，两条直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最ab 2-)5(230-⨯-a b ac 442-)5(4302-⨯-260ab 2-)1(230-⨯-a b ac 442-)1(4302-⨯-大，最大值是多少？解：设直角三角形的一边为x ，则另一边为(8-x )，面积为y .则y 与x 的函数关系式为 y =x (8-x ) (0＜x ＜8) 即 y =-x 2+4x (0＜x ＜8)∵ a =-＜0，∴ 当x ==4时，y 最大=8.答：当两条直角边都为4时，这个直角三角形的面积最大，最大值为8.课堂小结1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？四、教学反思教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，引导学生设计有助于学生设计表格，经历计算、观察、分析、比较的过程，直观地看出变化情况.212121ab 2。
人教版九年级数学上册22.3.1《二次函数与图形面积问题》教学设计
人教版九年级数学上册22.3.1《二次函数与图形面积问题》教学设计一. 教材分析人教版九年级数学上册22.3.1《二次函数与图形面积问题》这一节主要介绍了二次函数在几何图形中的应用，通过研究二次函数图象与几何图形面积的关系，让学生进一步理解二次函数的性质，提高解决实际问题的能力。
本节内容是初中数学的重要知识，也是中考的热点，对于学生来说，理解并掌握二次函数与图形面积问题的解决方法具有重要意义。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本性质和图象，对于二次函数的解析式、顶点坐标、开口方向等概念有了一定的了解。
但是，将二次函数与几何图形的面积联系起来，可能会对学生造成一定的困扰。
因此，在教学过程中，需要引导学生将已知的二次函数知识与新的面积问题相结合，通过实例分析，让学生体会二次函数与图形面积问题的联系。
三. 教学目标1.理解二次函数图象与几何图形面积的关系。
2.学会利用二次函数解决实际面积问题。
3.提高学生的数学思维能力和解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：二次函数图象与几何图形面积的关系。
2.难点：如何将二次函数与实际面积问题相结合，找出解决问题的方法。
五. 教学方法1.实例分析法：通过具体的实例，让学生观察二次函数图象与几何图形面积的关系。
2.问题驱动法：引导学生提出问题，分析问题，解决问题，培养学生的数学思维能力。
3.小组合作法：让学生分组讨论，共同解决问题，提高学生的合作能力。
六. 教学准备1.准备相关的实例，以便在课堂上进行分析。
2.准备一些练习题，以便在课堂上进行操练。
3.准备多媒体教学设备，以便进行图象展示。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个简单的实例，引导学生回顾二次函数的基本性质和图象，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（15分钟）展示一些实际的面积问题，让学生观察并思考这些问题与二次函数图象之间的关系。
3.操练（20分钟）让学生分组讨论，尝试利用已知的二次函数知识解决呈现的面积问题。
初三数学 二次函数与图形面积的综合问题教案
教学过程一、课堂导入二次函数的综合问题是中考压轴题常考题型之一，考点分值12分，难度较大。
主要考查形式为二次函数与一些简单几何图形的点存在性问题，既考查了学生的数形结合能力，又考查学生的计算能力。
此类问题出现后，大多学生都无从下手，主要是学生的综合能力、解题技巧及实战经验不足所致。
就本节二次函数与图形面积的点存在性问题，主要考查了学生能否将图形的面积与所需点坐标建立起联系，在函数图像中构造题意所需图形并能够表示出面积的能力。
二、复习预习勾股定理及逆定理1.定理：直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方。
（即：a2+b2=c2）2.勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用有：（1）已知直角三角形的两边求第三边（2）已知直角三角形的一边和另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题3.逆定理：如果三角形的三边长：a，b，c，则有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。
4.用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边为c。
（2）验证c2和a2+b2是否具有相等的关系，若a2+b2=c2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形。
三、知识讲解考点1 二次函数的基础知识1.一般地，如果y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数且a ≠0），那么y 叫做x 的二次函数，它是关于自变量的二次式，二次项系数必须是非零实数时才是二次函数，这也是判断函数是不是二次函数的重要依据．当b=c=0时，二次函数y=ax 2是最简单的二次函数．2.二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）的三种表达形式分别为：一般式：y=ax 2+bx+c ，通常要知道图像上的三个点的坐标才能得出此解析式；顶点式：y=a （x －h ）2+k ，通常要知道顶点坐标或对称轴才能求出此解析式；交点式：y=a （x －x 1）（x －x 2），通常要知道图像与x 轴的两个交点坐标x 1，x 2才能求出此解析式；对于y=ax 2+bx+c 而言，其顶点坐标为（－2b a ，244ac b a ）．对于y=a （x －h ）2+k 而言其顶点坐标为（h ，k ），•由于二次函数的图像为抛物线，因此关键要抓住抛物线的三要素：开口方向，对称轴，顶点．考点2 相似三角形的概念及其性质1.定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
实际问题与二次函数(1)二次函数与图形面积导学案2024—-2025学年人教版数学九年级上册
22.3实际问题与二次函数 (1) ---二次函数与图形面积学习目标：1.能根据具体几何问题中的数量关系，列出二次函数关系式； 2.能应用二次函数的相关性质解决实际几何问题，体会二次函数是刻画现实世界的有效数学模型.一、复习回顾1. 二次函数.y=ax²+bx+c的顶点坐标是，对称轴 .2. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m) 与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是ℎ=30t−5t²(0≤t≤6).小球运动的时间是多少时，小球最高? 小球运动中的最大高度是多少?二、自主探究探究：用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化. 当l是多少米时，场地的面积S最大?变式1：用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长32m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?变式2：将变式1中“墙长32m”改为墙长18m’，求这个矩形的长、宽各为多少时，菜园.的面积最大，最大面积是多少?三、巩固练习1. 下列抛物线有最高点或最低点吗? 如果有，写出这些点的坐标(1)y=−4x²+3x(2)y=3x²+x+62. 已知直角三角形两条直角边的和等于8，两条直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大? 最大值是多少?3. 飞机着陆后滑行的距离s(单位：m) 关于滑行的时间t(单位：s) 的函数解析式是s=60t−1.5t².飞机着陆后滑行多远才能停下来?作业1. 如图, 四边形ABCD的两条对角线AC, BD互相垂直, AC+BD=10. 当AC, BD的长是多少时，四边形ABCD的面积最大?2. 一块三角形材料如图所示, ∠A=30°. ∠C=90°, AB=12. 用这块材料剪出一个矩形C DEF,其中, 点D, E, F分别在BC, AB, AC上. 要使剪出的矩形CDEF 的面积最大. 点E 应选在,何处?3. 如图, 点E, F, G, H分别位于正方开ABCD的四条边上. 四边形EFGH也是正方形. 当点E位于何处时，正方形EFGH的面积最小?拓展提升如图, 矩形ABCD的两边长AB=18cm, AD=4cm, 点P、Q分别从A、B同时出发, P在边AB上沿AB方向以每秒2cm的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向以每秒1cm的速度匀速运动. 设运动时间为x秒，△PBQ的面积为ycm².(1) 求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；(2) 求△PBQ的面积的最大值.。
九年级数学上册《二次函数与图形面积》导学案
22.3 实际问题与二次函数第1课时二次函数与图形面积能从实际问题中分析、找出变量之间的二次函数关系，并能利用二次函数的图象和性质求出实际问题的答案.自学反馈学生独立完成后集体订正1.二次函数y=a(x-h)2+k的图象是一条________，它的对称轴是________，顶点坐标是________. .2.二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条________ ，它的对称轴是________，顶点坐标是______. 当a>0时，抛物线开口向___，有最___点，函数有最___值，是_______；当a<0时，抛物线开口向____，有最___点，函数有最_______值,是________。
3. 二次函数y=2(x-3)2+5的对称轴是______，顶点坐标是______。
当x=____ 时，y的最___值是______。
4. 二次函数y=-3(x+4)2-1的对称轴是________，顶点坐标是_______。
当x=_____时，函数有最_____值，是______。
5.二次函数y=2x2-8x+9的对称轴是_______，顶点坐标是______.当x=____时，函数有最____值，是_____。
6如图，点C是线段AB上的一点，AB=1，分别以AC和CB为一边作正方形，用S表示这两个正方形的面积之和，下列判断正确的是(A)A.当C是AB的中点时，S最小B.当C是AB的中点时，S最大C.当C为AB的三等分点时，S最小D.当C是AB的三等分点时，S最大7用长8 m的铝合金制成如图所示的矩形窗框，使窗户的透光面积最大，那么这个窗户的最大透光面积是83m2.第②题图第③题图8如图所示，某村修一条水渠，横断面是等腰梯形，底角为120°，两腰与下底的和为4 cm，当水渠深x为233时，横断面面积最大，最大面积是43 3.先列出函数的解析式，再根据其增减性确定最值.活动1 小组讨论例1某建筑的窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料长为15 m(图中所有线条长度之和)，当x等于多少时，窗户通过的光线最多(结果精确到0.01 m)？此时，窗户的面积是多少？解:由题意可知4y+12×2πx+7x=15.化简得y=1574x xπ--.设窗户的面积为S m2，则S=12πx2+2x×1574x xπ--=-3.5x2+7.5x.∵a=-3.5<0，∴S有最大值.∴当x=-7.52( 3.5)⨯-=1514≈1.07 (m)时，S最大=20-225=4-414⨯⨯（7.5）（3.5）≈4.02(m2).即当x≈1.07 m时，窗户通过的光线最多.此时，窗户的面积是4.02 m2.此题较复杂，特别要注意:中间线段用x的代数式来表示时，要充分利用几何关系；要注意顶点的横坐标是否在自变量x的取值范围内.活动2 跟踪训练(小组讨论解题思路共同完成并展示)如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120米，下底长180米，上下底相距80米，在两腰中点连线(虚线)处有一条横向甬道，两腰之间有两条竖直甬道，且它们的宽度相等，设甬道的宽为x米.①用含x的式子表示横向甬道的面积；②当三条甬道的总面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽；③根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米，如果修建甬道的总费用(万元)与甬道的宽度成正比例关系，比例系数是5.7，花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02万元，那么当甬道的宽度为多少米时，所建花坛的总费用最少？最少费用是多少万元？解：①150x m2；②5 m；③当甬道宽度为6 m时，所建花坛总费用最少，为238.44万元.想象把所有的阴影部分拼在一起就是一个小梯形.活动1 小组讨论例2如图，从一张矩形纸较短的边上找一点E，过E点剪下两个正方形，它们的边长分别是AE、DE，要使剪下的两个正方形的面积和最小，点E应选在何处？为什么？解:设矩形纸较短边长为a，设DE=x，则AE=a-x.那么两个正方形的面积和y为y=x2+(a-x)2=2x2-2ax+a2.当x=-21-222a=⨯a时，y最小=2×(12a)2-2a×12a+a2=12a2. 即点E选在矩形纸较短边的中点时，剪下的两个正方形的面积和最小.此题关键是充分利用几何关系建立二次函数模型，再利用二次函数性质求解.活动2 跟踪训练(独立完成后展示学习成果)如图，有一块空地，空地外有一面长10 m的围墙，为了美化生活环境，准备靠墙修建一个矩形花圃，用32 m长的不锈钢作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为1 m的通道及在左右花圃各放一个1 m宽的门，花圃的宽AD究竟应为多少米才能使花圃的面积最大？解：当x=6.25 m时，面积最大为56.25 m2 .此题要结合函数图象求解，顶点不在取值范围内.活动3 课堂小结学生试述:这节课你学到了些什么？教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.。
苏教版九年级数学下册,二次函数与图形的面积问题,教案(共10页)
苏教版九年级数学下册,二次函数与图形的面积问题,教案二次函数与图形的面积问题知识导图三角形常见考查图形梯形不规则图形直接计算分割法相似图形铅垂高乘以水平宽二次函数与图形的面积问题说明的顺序和结构三点剖析考点能力要求重难点易错点识记理解分析应用综合表达分割法求图形的面积√√√利用图形的相似求图形的面积√√√√铅垂高乘以水平宽√√√知识精讲考点 1 利用分割法求图形的面积适用题型：1、矩形或者正方形中，计算不规则部分面积；2、一次函数和二次函数图像中不规则三角形或者四边形的面积常见分割方法：1、用规则图形面积减去规则图形的面积；2、沿着x轴或者y轴将图形分割成两个三角形；3、过图形上的点往x轴或者y轴作垂线，将图形分割成三角形和直角梯形例 1.1.1如图，△OAB是边长为2的等边三角形，过点A的直线与x轴交于点E．求点E的坐标；求过 A、O、E三点的抛物线解析式；若点P是中求出的抛物线AE段上一动点，设四边形OAPE的面积为S，求S的最大值。
解：作AF⊥x轴于F，∴OF=OAcos60°=1，AF=OFtan60°= ∴点A代入直线解析式，得，∴m= ∴当y=0时，得x=4，∴点E 设过A、O、E三点抛物线的解析式为y=ax2+bx+c ∵抛物线过原点∴c=0 ，∴∴抛物线的解析式为作PG⊥x轴于G，设P S四边形OAPE=S△AOF+S梯形AFGP+S△PGE = = 当时，S最大=．由图可作AF⊥x轴于F，根据直角三角形性质，用待定系数求E点坐标和的抛物线解析式；再作作PG⊥x轴于G，将四边形OAPE的面积S用x0来表示，将问题转化为求函数最值问题．练 1.1.1 如图，直线l：y=﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=ax2﹣2ax+a+4经过点B．求该抛物线的函数表达式；已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；在的条件下，当S取得最大值时，动点M相应的位置记为点M′．①写出点M′的坐标；②将直线l绕点A按顺时针方向旋转得到直线l′，当直线l′与直线AM′重合时停止旋转，在旋转过程中，直线l′与线段BM′交于点C，设点B、M′到直线l′的距离分别为d1、d2，当d1+d2最大时，求直线l′旋转的角度．解：令x=0代入y=﹣3x+3，∴y=3，∴B，把B代入y=ax2﹣2ax+a+4，∴3=a+4，∴a=﹣1，∴二次函数解析式为：y=﹣x2+2x+3；令y=0代入y=﹣x2+2x+3，∴0=﹣x2+2x+3，∴x=﹣1或3，∴抛物线与x轴的交点横坐标为﹣1和3，∵M在抛物线上，且在第一象限内，∴0＜m＜3，过点M作ME⊥y轴于点E，交AB于点D，由题意知：M的坐标为，∴D的纵坐标为：﹣m2+2m+3，∴把y=﹣m2+2m+3代入y=﹣3x+3，∴x=，∴D的坐标为，∴DM=m﹣=，∴S=DM•BE+DM•OE =DM =DM•OB =××3 = =2+ ∵0＜m＜3，∴当m=时， S有最大值，最大值为；①由可知：M′的坐标为；②过点M′作直线l1∥l′，过点B作BF⊥l1于点F，根据题意知：d1+d2=BF，此时只要求出BF的最大值即可，∵∠BFM′=90°，∴点F在以BM′为直径的圆上，设直线AM′与该圆相交于点H，∵点C在线段BM′上，∴F在优弧上，∴当F与M′重合时， BF可取得最大值，此时BM′⊥l1，∵A，B，M′，∴由勾股定理可求得：AB=，M′B=，M′A=，过点M′作M′G⊥AB于点G，设BG=x，∴由勾股定理可得：M′B2﹣BG2=M′A2﹣AG2，∴﹣2=﹣x2，∴x=， cos∠M′BG==，∵l1∥l′，∴∠BCA=90°，∠BAC=45°利用直线l的解析式求出B点坐标，再把B点坐标代入二次函数解析式即可求出a的值；过点M作ME⊥y轴于点E，交AB于点D，所以△ABM的面积为DM•OB，设M的坐标为，用含m的式子表示DM，然后求出S与m的函数关系式，即可求出S的最大值，其中m的取值范围是0＜m＜3；①由可知m=，代入二次函数解析式即可求出纵坐标的值；②过点M′作直线l1∥l′，过点B作BF⊥l1于点F，所以d1+d2=BF，所以求出BF的最小值即可，由题意可知，点F在以BM′为直径的圆上，所以当点F与M′重合时，BF可取得最大值．考点 2 利用相似解决图形的面积问题例：如图，DE//BC，如果AD∶AB=k呢？求S△ADE∶S△ABC的值。
二次函数中的面积问题导学案
抛物线与面积专题导学案【我的任务】（1）熟练掌握抛物线中特殊点的求法，体会数形结合、方程等数学思想. （2）会求抛物线中常见图形的面积，体会转化、建模等数学思想. （3）培养发散思维，力求做到一题多解，多题归一.【课题导入】已知二次函数322--=x x y 与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左边），与y 轴交于点C ，顶点为P .(1)请求出A 、B 、C 、P 的坐标;(2)请根据所给条件，提出几个面积问题； (3)求出一个你提出的面积；【自主探究】如何求图中阴影部分的面积？并求出阴影部分的面积。
322--=x x y 322--=x x y322++-=x x y 322--=x x y【自主探究】——发散思维，一题多解ExyO ABC图一xyOABD图二xy O DC图三P xyOA B图四PA BOC· x y点P 是抛物线上的动点，横坐标为m如何求图中阴影部分的面积？抛物线: y=x 2 直线MN: y= -x+2 抛物线：y= -x 2+2x+3求出下列点的坐标 E( ) 求出下列点的坐标 D( ) M( ) N( ) B( ) C( ) S∆OMN = S=【反思归纳】——学而不思则罔（1）一般取在 上的线段为底边. （2）三边均不在坐标轴上的三角形及不规则多边形需把图形 .即采用割或补的方法把它转化成易于求出面积的图形.这里蕴含着……的数学思想？【变式一】已知二次函数322--=x x y在对称轴上是否存在一点N,使得ABC NAB S S ∆∆=？ 如存在，请求出点N 的坐标。
【变式二】已知二次函数322--=x x y在双曲线xy 3=上是否存在点N,使ABC NAB S S ∆∆=？ 如存在，请求出点N 的坐标。
思考：这些点N 有什么共性？【拓展提高】——中考真题改编xyO M E N A 图五xyODCEB图六 PABOC·xyPABO C·xy已知二次函数322--=x x y 与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左边），与y 轴交于点C.在抛物线上（除点C 外），是否存在点N ，使得ABC NAB S S ∆∆=，若存在，求出点N 的坐标，若不存在，请说明理由.【硕果累累】通过本节课的复习我学会了……【走进考场】——锲而不舍，金石可镂如图，抛物线()02>+=a bx ax y 与双曲线xky =相交于点A 、B.已知点B 的坐标为()22--，，且点A 在第一象限内，4tan =∠AOx ，过点A 作直线AC ∥x 轴，交抛物线于另一点C ． （1）求双曲线和抛物线的解析式； （2）计算△ABC 的面积；（3）在抛物线上是否存在点D ，使△ABD 的面积等于△ABC 的面积．若存在，请你写出点D 的坐标；若不存在，请你说明理由．PA BOC· x yABCxyO。
与二次函数有关的面积问题教案
激发学生的学习兴趣。
使学生亲身经历规律产生的过程
提高学生归纳总结的能力。
教师活动
学生活动
设计意图
追问：你能求四边形OCDB的面积吗？你有几种方法？
你肯定行：△ADE的面积如何求呢？
小结：不规则图形或三边不具特殊性的三角形如何求面积
能力提升：
（4）若点F（x,y)为抛物线上一动点，其
情感态度和价值观
由简单题入手逐渐提升，从而消除学生的畏难情绪，让学生有兴趣和积极性参与数学活动。
加强学生之间的合作交流，提高学生的归纳总结能力，培养学生不断反思的习惯。
教学重点
和难点
重点：选择方法求图形面积
难点：如何割补图形求面积
教学方法
启发式、讨论式
教学用具
多媒体课件
板
书
设
计
与二次函数有关的面积问题
小结方法
1、三角形的边在轴上或与轴平行
2、不规则图形或三角形三边均不与轴平行
教学活动
学生活动
设计பைடு நூலகம்图
例题:已知：抛物线的顶点为D（1，-4），并经过点E（4，5），
求（1）抛物线解析式
（2）抛物线与x轴的交点A、B，与y轴交点C
学生完成后展示过程、交流
（3）求下列图形的面积△ABD、△ABC、△ABE、△OCD、△OCE
提高学生归纳总结的能力。
动点问题是学生的难点，让学生体会以静带动的思考方式，突破难点。同时应用割补法求三角形面积，突出本节课重点。
本题已在单元检测中做过，这次中间解决图形面积问题。多种方法，巩固本节课学习成果，同时开阔学生思路。
提高学生归纳总结的能力，培养学生不断反思的习惯。
人教版九年级数学上册22.3.1《二次函数与图形面积问题》说课稿
人教版九年级数学上册22.3.1《二次函数与图形面积问题》说课稿一. 教材分析人教版九年级数学上册22.3.1《二次函数与图形面积问题》这一节主要讲述了二次函数在几何图形中的应用，通过研究二次函数图象与几何图形的关系，引导学生利用二次函数解决实际问题。
本节内容是学生在学习了二次函数的基本性质和图象特征之后，进一步拓展和加深对二次函数的理解，提高解决问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对二次函数的基本概念、性质和图象特征有了初步的认识。
但是，对于二次函数在几何图形中的应用，以及如何利用二次函数解决实际问题，部分学生可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要关注学生的个体差异，引导他们通过自主学习、合作交流等方式，逐步掌握二次函数与图形面积问题的解决方法。
三. 说教学目标1.理解二次函数与几何图形的关系，掌握二次函数图象上点的坐标特征。
2.学会利用二次函数解决图形面积问题，提高解决问题的能力。
3.培养学生的合作交流意识，提高学生的数学思维能力。
四. 说教学重难点1.重点：二次函数与几何图形的关系，二次函数图象上点的坐标特征。
2.难点：如何利用二次函数解决图形面积问题，以及在不同情境下选择合适的方法。
五. 说教学方法与手段1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过自主学习、合作交流的方式，探索二次函数与图形面积问题的解决方法。
2.利用多媒体课件、几何画板等教学手段，直观展示二次函数图象与几何图形的关系，帮助学生更好地理解知识点。
六. 说教学过程1.导入新课：通过展示一些实际问题，引导学生关注二次函数与图形面积问题的关系，激发学生的学习兴趣。
2.自主学习：让学生回顾二次函数的基本性质和图象特征，为本节课的学习打下基础。
3.合作交流：引导学生分组讨论，探讨如何利用二次函数解决图形面积问题，分享各自的解题方法。
4.讲解演示：教师对学生的讨论进行点评，总结二次函数与图形面积问题的解决方法，利用多媒体课件进行演示。
2020九年级数学上册 第二十二章 22.3 实际问题与二次函数 第1课时 二次函数与图形面积教案
22．3 第1课时 二次函数与图形面积01 教学目标1．会求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的最小(大)值．2．能从实际问题中分析、找出变量之间的二次函数关系，并能利用二次函数及性质解决与面积有关的最小(大)值问题．02 预习反馈阅读教材P 49～50(探究1)，完成下列问题．1．一般地，当a ＞0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点是最低点，也就是说，当x ＝－b 2a 时，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 有最小值4ac －b 24a ；当a ＜0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点是最高点，也就是说，当x ＝－b 2a时，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 有最大值4ac －b24a．2．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m )与小球的运动时间t(单位：s )之间的关系式是h ＝30t －5t 2(0≤t≤6)，其图象如图所示．(1)小球运动的时间是3s 时，小球最高； (2)小球运动中的最大高度是45m .3．一个直角三角形的两条直角边长的和为20 cm ，其中一直角边长为x cm ，面积为y cm 2，则y 与x 的函数的关系式是y ＝12x(20－x)，当x ＝10时，面积y 最大，为50cm 2.03 新课讲授例1 (教材P49探究)用总长为60 m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积S 随矩形一边长l 的变化而变化．当l 是多少米时，场地的面积S 最大？【思路点拨】 先写出S 关于l 的函数解析式，再求出使S 最大的l 值．【解答】 ∵矩形场地的周长是60 m ，一边长为l m ，则另一边长为(602－l )m ，∴场地的面积S ＝l (602－l )＝－l 2＋30l (0＜l ＜30)．∴当l ＝－b 2a ＝－302×（－1）＝15时，S 有最大值4ac －b 24a ＝－3024×（－1）＝225．答：当l 是15 m 时，场地的面积S 最大．【点拨】 在实际问题中，求函数的解析式时，一定要标注自变量的取值范围，同时在求函数的最值时，一定要注意顶点的横坐标是否在自变量的取值范围内．【跟踪训练1】 (22.3第1课时习题)如图，假设篱笆(虚线部分)的长度为16 m ，则所围成矩形ABCD 的最大面积是(C)A ．60 m 2B ．63 m 2C ．64 m 2D ．66 m 2例2 (教材P49探究的变式)如图，用长为6 m 的铝合金条制成一个“日”字形窗框，已知窗框的宽为x m ，窗户的透光面积为y m 2(铝合金条的宽度不计)．(1)求出y 与x 的函数关系式；【思路点拨】由题意可知，窗户的透光面积为长方形，根据长方形的面积公式即可得到y 和x 的函数关系式． 【解答】 ∵大长方形的周长为6 m ，宽为x m ， ∴长为6－3x 2m.∴y ＝x ·（6－3x ）2＝－32x 2＋3x (0＜x ＜2)．【点拨】 求y 与x 的函数关系式时，一定不能漏掉自变量的取值范围．(2)如何安排窗框的长和宽，才能使得窗户的透光面积最大？并求出此时的最大面积．【思路点拨】 由(1)中的函数关系可知，y 和x 是二次函数关系，根据二次函数的性质即可得到最大面积． 【解答】 由(1)可知，y 和x 是二次函数关系． ∵a ＝－32＜0，∴函数有最大值．当x ＝－32×（－32）＝1时，y 最大＝32 m 2，此时6－3x2＝1.5.答：窗框的长和宽分别为1.5 m 和1 m 时，才能使得窗户的透光面积最大，此时的最大面积为1.5 m 2. 【点拨】 要考虑x ＝1是不是在自变量的取值范围内．【跟踪训练2】 如图，点C 是线段AB 上的一点，AB ＝1，分别以AC 和CB 为一边作正方形，用S 表示这两个正方形的面积之和，下列判断正确的是(A )A ．当C 是AB 的中点时，S 最小 B ．当C 是AB 的中点时，S 最大 C ．当C 为AB 的三等分点时，S 最小D ．当C 是AB 的三等分点时，S 最大04 巩固训练1．为搞好环保，某公司准备修建一个长方体的污水处理池，池底矩形的周长为100 m ，则池底的最大面积是(B )A ．600 m 2B ．625 m 2C ．650 m 2D ．675 m 22．如图，利用一面墙(墙的长度不超过45 m )，用80 m 长的篱笆围成一个矩形场地，当AD ＝20m 时，矩形场地的面积最大，最大面积为800m 2.3．(22.3第1课时习题)手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝，这个菱形的两条对角线长度之和恰好为60 cm ，菱形的面积S (单位：cm 2)随其中一条对角线的长x (单位：cm)的变化而变化．(1)请直接写出S 与x 之间的函数关系式(不要求写出自变量x 的取值范围)； (2)当x 是多少时，菱形风筝面积S 最大？最大面积是多少？ 解：(1)S ＝－12x 2＋30x .(2)∵S ＝－12x 2＋30x ＝－12(x －30)2＋450，且a ＝－12＜0，∴当x＝30时，S有最大值，最大值为450.即当x为30 cm时，菱形风筝的面积最大，最大面积是450 cm2.05 课堂小结1．主要学习了如何将实际问题转化为数学问题，特别是如何利用二次函数的有关性质解决实际问题的方法．2．利用二次函数解决实际问题时，根据面积公式等关系写出二次函数表达式是解决问题的关键．。
【人教版】2020九年级数学上册 第二十二章 22.3 实际问题与二次函数 第1课时 二次函数与图形面积教案
22．3 第1课时 二次函数与图形面积01 教学目标1．会求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的最小(大)值．2．能从实际问题中分析、找出变量之间的二次函数关系，并能利用二次函数及性质解决与面积有关的最小(大)值问题．02 预习反馈阅读教材P 49～50(探究1)，完成下列问题．1．一般地，当a ＞0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点是最低点，也就是说，当x ＝－b 2a 时，二次函数y ＝ax2＋bx ＋c 有最小值4ac －b 24a ；当a ＜0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点是最高点，也就是说，当x ＝－b 2a 时，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 有最大值4ac －b24a．2．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m )与小球的运动时间t(单位：s )之间的关系式是h ＝30t －5t 2(0≤t≤6)，其图象如图所示．(1)小球运动的时间是3s 时，小球最高； (2)小球运动中的最大高度是45m .3．一个直角三角形的两条直角边长的和为20 cm ，其中一直角边长为x cm ，面积为y cm 2，则y 与x 的函数的关系式是y ＝12x(20－x)，当x ＝10时，面积y 最大，为50cm 2.03 新课讲授例1 (教材P49探究)用总长为60 m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积S 随矩形一边长l 的变化而变化．当l 是多少米时，场地的面积S 最大？【思路点拨】 先写出S 关于l 的函数解析式，再求出使S 最大的l 值．【解答】 ∵矩形场地的周长是60 m ，一边长为l m ，则另一边长为(602－l )m ，∴场地的面积S ＝l (602－l )＝－l 2＋30l (0＜l ＜30)．∴当l ＝－b 2a ＝－302×（－1）＝15时，S 有最大值4ac －b 24a ＝－3024×（－1）＝225．答：当l 是15 m 时，场地的面积S 最大．【点拨】 在实际问题中，求函数的解析式时，一定要标注自变量的取值范围，同时在求函数的最值时，一定要注意顶点的横坐标是否在自变量的取值范围内．【跟踪训练1】 (22.3第1课时习题)如图，假设篱笆(虚线部分)的长度为16 m ，则所围成矩形ABCD 的最大面积是(C)A ．60 m 2B ．63 m 2C ．64 m 2D ．66 m 2例2 (教材P49探究的变式)如图，用长为6 m 的铝合金条制成一个“日”字形窗框，已知窗框的宽为x m ，窗户的透光面积为y m 2(铝合金条的宽度不计)．(1)求出y 与x 的函数关系式；【思路点拨】由题意可知，窗户的透光面积为长方形，根据长方形的面积公式即可得到y 和x 的函数关系式． 【解答】 ∵大长方形的周长为6 m ，宽为x m ， ∴长为6－3x 2m.∴y ＝x ·（6－3x ）2＝－32x 2＋3x (0＜x ＜2)．【点拨】 求y 与x 的函数关系式时，一定不能漏掉自变量的取值范围．(2)如何安排窗框的长和宽，才能使得窗户的透光面积最大？并求出此时的最大面积．【思路点拨】 由(1)中的函数关系可知，y 和x 是二次函数关系，根据二次函数的性质即可得到最大面积． 【解答】 由(1)可知，y 和x 是二次函数关系． ∵a ＝－32＜0，∴函数有最大值．当x ＝－32×（－32）＝1时，y 最大＝32 m 2，此时6－3x2＝1.5.答：窗框的长和宽分别为1.5 m 和1 m 时，才能使得窗户的透光面积最大，此时的最大面积为1.5 m 2. 【点拨】 要考虑x ＝1是不是在自变量的取值范围内．【跟踪训练2】 如图，点C 是线段AB 上的一点，AB ＝1，分别以AC 和CB 为一边作正方形，用S 表示这两个正方形的面积之和，下列判断正确的是(A )A ．当C 是AB 的中点时，S 最小 B ．当C 是AB 的中点时，S 最大 C ．当C 为AB 的三等分点时，S 最小D ．当C 是AB 的三等分点时，S 最大04 巩固训练1．为搞好环保，某公司准备修建一个长方体的污水处理池，池底矩形的周长为100 m ，则池底的最大面积是(B )A ．600 m 2B ．625 m 2C ．650 m 2D ．675 m 22．如图，利用一面墙(墙的长度不超过45 m )，用80 m 长的篱笆围成一个矩形场地，当AD ＝20m 时，矩形场地的面积最大，最大面积为800m 2.3．(22.3第1课时习题)手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝，这个菱形的两条对角线长度之和恰好为60 cm ，菱形的面积S (单位：cm 2)随其中一条对角线的长x (单位：cm)的变化而变化．(1)请直接写出S 与x 之间的函数关系式(不要求写出自变量x 的取值范围)； (2)当x 是多少时，菱形风筝面积S 最大？最大面积是多少？ 解：(1)S ＝－12x 2＋30x .(2)∵S ＝－12x 2＋30x ＝－12(x －30)2＋450，且a ＝－12＜0，∴当x＝30时，S有最大值，最大值为450.即当x为30 cm时，菱形风筝的面积最大，最大面积是450 cm2.05 课堂小结1．主要学习了如何将实际问题转化为数学问题，特别是如何利用二次函数的有关性质解决实际问题的方法．2．利用二次函数解决实际问题时，根据面积公式等关系写出二次函数表达式是解决问题的关键．。
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《抛物线与图形面积》专题
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人生就像一杯茶，不会苦一辈子，但总会苦一阵子！
1、抛物线y=x 2-4x-5交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，则△ABC 面积为 。
2、已知抛物线c bx x y ++=2与y 轴交于点A ，与x 轴的正半轴交于B 、C 两点，且BC=2，S △ABC =3，则b = ，c = ．
3、若抛物线y =x 2 + 4x 的顶点是P ，与X 轴的两个交点是C 、D 两点，则△PCD 的面积 是_____________.
4、已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象经过(-1，2
5-)，B(0，-4)，C(4，0)三点，则二次函数解析式是_______，顶点D 的坐标是_______，对称轴方程是_______，
=_______
5、二次函数y=－3x 2－2x+c 的顶点A 在直线3
13+=x y 上,且直线与x 轴的交点为B ① 求函数解析式 ② 求出△OAB 的面积
6、已知抛物线的顶点P(3，-2)且在x 轴上所截得的线段AB 的长为4.(1)求此抛物线的解析式；(2)抛物线上是否存在点Q ，使△QAB 的面积等于12，若存在，求点Q 的坐标，若不存在，请说明理由.
7、已知二次函数22
24y x mx m =-+．（1）求证：当0m ≠时，二次函数的图像与x 轴有两个不同交点；（2）若这个函数的图像与x 轴交点为A ，B ，顶点为C ，且△ABC
的面积为
8、已知抛物线2y ax bx c =++与y 轴交于C 点，与x 轴交于1(0)A x ，，212(0)()
B x x x <，两点，顶点M 的纵坐标为4-，若1x ，2x 是方程222(1)70x m x m --+-=的两根，
且221210x x +=．
（1）求A ，B 两点坐标；（2）求抛物线表达式及点C 坐标；（3）在抛物线上是否存在着点P ，使△PAB 面积等于四边形ACMB 面积的2倍，若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由．
9、二次函数62
5412+-=x x y 的图象与x 轴从左到右两个交点依次为A 、B ，与y 轴交于点C ，（1）求A 、B 、C 三点的坐标；（2）如果P(x ，y)是抛物线AC 之间的动点，O 为坐标原点，试求△POA 的面积S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；
（3）是否存在这样的点P ，使得PO=PA ，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由。
10、如图，抛物线的对称轴是直线x=1，它与x 轴交于A,B 两点，与y 轴交
于C 点。
点A,C 的坐标分别是(-1,0),(0,2
3)（1）求此抛物线对应的函数解析式；（2）若点P 是抛物线上位于轴上方的一个动点，求△ABP 的面积
的最大值。
11、已知P （ x ，y ）是抛物线2y x =上在第一象限内的一个点，点A 的坐标是（3，0）。
（1）、令S 是△OPA 的面积，求S 与x 的函数关系式以及S 与y 的函数关系式；（2）、
当S=6时，求点P 的坐标；（3）、在抛物线2y x =上求一点P ，，使△OPA 是以OA
为底的等腰三角形。