模糊关系矩阵的定义和计算方法通常采用笛卡尔积算子
模糊矩阵与模糊关系
第2章 模糊矩阵与模糊关系2.1 模糊矩阵定义及其运算定义：一个矩阵内所有元素均在[0，1]闭区间内取值的矩阵，称为模糊矩阵并、交、补运算：两个模糊矩阵对应元素取大（取小、取补）作为新元素的矩阵，称为它们的并（交、补）运算 例：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∧∧∧∧=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∨∨∨∨=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2.06.03.04.00.82.00.69.00.35.00.47.0B R 8.09.05.07.00.82.00.69.00.35.00.47.0B R 8.06.03.00.4B 2.09.05.07.0R C 0.70.50.30.5R 10.90.20.10.8⎡⎤⎡⎤=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦运算性质：注意不满足互补律2.2 模糊矩阵的截矩阵模糊矩阵截矩阵，类似于模糊集的截集例如： 0.70.8R 0.91⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的0.7截矩阵为0.701R 11⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 不难看出，模糊矩阵的截矩阵必然是布尔矩阵。
2.3 模糊矩阵的合成运算模糊矩阵的合成运算类同于普通矩阵的乘法运算，只需将普通矩阵中的乘法运算和加法运算分别改为取小和取大运算即可。
例如：0.20.50.60.5Q R 0.70.10.41(0.20.6)(0.50.4)(0.20.5)(0.51)0.40.5Q R (0.70.6)(0.10.4)(0.70.5)(0.11)0.60.5⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∧∨∧∧∨∧⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥∧∨∧∧∨∧⎣⎦⎣⎦性质：注意对交运算不满足分配律。
2.4 模糊矩阵的转置模糊矩阵的转置：类同于普通矩阵的转置。
T T c T T c (R )R, (R )(R )==2.5 模糊关系的定义及其运算1. 定义：X 与Y 直积(){},|, X Y x y x X y Y ⨯=∈∈中一个模糊子集R ，称为从X到Y 的模糊关系，记为R X Y →。
下面研究某一地区人的身高与体重的模糊关系：人的身高与体重X ，Y 的论域分别为：1234512345{,,,,}, {,,,,}X x x x x x Y y y y y y ==它们之间构成的模糊关系R表示论域X 中的元素i x 和论域Y 中的元素j y 对于关系R的隶属程度,R i j ij x y r μ=（）。
模糊ppt
Fuzzy Math by Guii Xiaolin 12.5 模糊矩阵与模糊关系•模糊关系在模糊集合论中占有重要的地位.当论域为有限时，可以用模糊矩阵来表示模糊关系。
•模糊矩阵可以看作普通关系矩阵的推广。
•这一节，首先讨论模糊矩阵的定义及其运算性质•然后介绍模糊关系的定义、性质及其合成运算。
•模糊矩阵在模糊数学中的作用类似于矩阵在经典数学中的作用，它是研究模糊现象的重要工具，在聚类分析和模式识别方面有着广泛的应用。
模糊关系运算设R1，R2是U ×V 上的两个模糊关系，则：•包含：∀x ∈U ，∀y ∈V ，R1⊆R2 等价于μR1(x, y)≤μR2(x, y)；•相等：∀x ∈U ，∀y ∈V ，R1=R2 等价于μR1(x, y)= μR2(x, y)；•并：∀x ∈U ，∀y ∈V ，R1∪R2 等价于μR1∪R2(x, y) = ∨(μR1(x, y)，μR2(x, y))；•交：∀x ∈U ，∀y ∈V ，R1∩R2 等价于μR1∪R2(x, y) = ∧(μR1(x, y)，μR2(x, y))；•补：∀x ∈U ，∀y ∈V ，R1’等价于μR1’(x, y) = 1-μR (x, y)。
Fuzzy Math by Guii Xiaolin 3二、模糊关系的合成•设R1是论域U ×V 上的模糊关系，R2是论域V ×W 上的模糊关系，则R1和R2的Max -Min 合成R1·R2是U ×W 上的模糊关系，其隶属函数定义为：μR1·R2(x, z) = ∨(μR1(x, y) ∧μR2(y, z))模糊关系的合成运算满足结合律，即设A ，B ，C 是论域U ×V 上的模糊关系，则：(A ·B)·C = A ·(B ·C)证明: )],(),(),([{)],(),([),()(g z z y y x g z z x g x C B A X y X z C B A X z C B A µµµµµµ∧∧∨∨=∧∨=∈∈•∈••)],(),(),([{g z z y y x C B A Xz X y µµµ∧∧∨∨=∈∈))]},(),(([),({g z z y y x C B Xz A X y µµµ∧∨∧∨=∈∈),(),(),()(g x g y y x C B A C B A Xy •••∈=∧∨=µµµFuzzy Math by Guii Xiaolin 5三、模糊关系的自反性、对称性和传递性•设R 是论域U ×V 上的模糊关系，则：∀x ∈U ，有μR (x, x) = 1，则R 满足自反性；∀x ∈U ，有μR (x, x) = 0，则R 满足反自反性；•∀x,y ∈U ，x ≠y ，有μR (x, y)= μR (y, x)，则R 具有对称性；∀x,y ∈U ，有μR (x, y)=μR (y, x) = 0，则R 具有反对称性；•∀(x,y),(x,z),(y,z)∈U ×V ，有μR (x, z)≥∨(μR (x, y)∧μR (y, z))，则R 满足传递性。
第4节 模糊关系
模糊关系与模糊矩阵
• 表示恒等关系I的矩阵为单位矩阵
• 表示零关系O的矩阵为零矩阵 • 表示全称关系E的矩阵为全称矩阵
模糊矩阵的关系
• 设A、B为模糊矩阵，记A=(aij), B=(bij)，i=1,2,…,m, j=1,2,…,n, 则
(1)相等：A=B <=>对任意i, j 有 aij = bij
(A∩B)∪C= ( A∪C)∩(B∪C);
模糊矩阵的运算性质
（6）0-1律：A∪O＝A, A∩O＝O;
E∪A=E,E∩A=A; （7）还原律：(Ac)c=A; （8）对偶律：(A∪B)c= Ac∩Bc, (A∩B)c= Ac∪Bc.
注意
排中律不成立！！ Ac∪A≠ E, A∩Ac ≠ O
模糊矩阵的包含性质
( R S )( x, y ) R( x, y ) S ( x, y )
Rc ( x, y) 1 R( x, y)
可推广
特殊的模糊关系
特殊的模糊关系
特殊的模糊关系
模糊关系的性质
(1) (2) (3) (4) (5) (6) ( R c )c R; ( R ) R;
（另一解舍去）
当 yy 时
yY
(e
k ( x y )2
e
k ( y z )2
)e
k ( x y )2
故
( R1 o R2 )( x, z ) e
k ( x
x z 2 ) 2
e
k (
xz 2 ) 2
模糊关系合成运算的性质
性质1：结合律 (A °B) °C = A °(B ° C)； 性质2：分配律 A °( B∪C ) = ( A °B )∪( A °C )； ( B∪C ) °A = ( B °A )∪( C °A )； 性质3：( A °B )T = BT °AT； 性质4：A B，C D A °C B °D. 性质5：A B A °C B °C ， C °A C °B， A n B n
模糊数学建模4
1 2 2 R R 0.2 0.2 0.2 1 0.3 0.2 1 0.3 0.2 1 0.2 0.2 1 0.3 0.2 1 0.3 0.2 1 0.2
0.2 1 0.3
0.2 1 0.3
模糊聚类分析
模糊矩阵
模糊矩阵 模糊矩阵间的关系及并、交、余运算
模糊矩阵的合成
模糊矩阵的转置
模糊矩阵的λ
－截矩阵
模糊矩阵
设R = (rij)m×n，若0≤rij≤1，则称R为模糊矩阵. 当rij只取0或1时，称R为布尔(Boole)矩阵. 当模糊 方阵R = (rij)n×n的对角线上的元素rii都为1时，称 R为模糊自反矩阵.
当论域X = {x1, x2, …, xn}为有限时, X 上的一个 模糊等价关系R就是模糊等价矩阵, 即R满足：
R2≤R ( ∨{(rik∧rkj) | 1≤k≤n} ≤ rij) .
当＜时, R的分类是R分类的加细.当由1变 到0时, R的分类由细变粗,由模糊等价关系R确定 的分类所含元素由少变多,逐步归并,最后成一类, 这个过程形成一个动态聚类图,称之为模糊分类．
1 0 R1 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
相应的分类:{u1},{u2 },{u3},{u4 },{u5}共分为5类
3模糊关系
则R称为U上的一个模糊相似关系 。
定理3 - 3 R F (U U 0,1] ，R都是U上的普通等价关系。
定义3 - 8 设R F (U U ),若R是自反、对称的模糊关 系，
则R称为U上的一个模糊等价关系 。
3.2 模糊矩阵
3.2.1 模糊矩阵及其运算
（5）若R S , 则有RC S C
n (6) Ri RiT , Ri RiT i 1 i 1 i 1 i 1 n n n T T
3.1 模糊关系的概念
3.1.2.3 模糊关系的合成
定义3 - 4 设Q F (U V ), R F (V W ), 所谓Q对R的合成， 是指从U到W的一个模糊关系，记作 Q R, 它具有隶属函数
3.2 模糊矩阵
（ 10）若R1 S1，R2 S 2，则 （R1 R2） （S1 S 2）， （R1 R2） （S1 S 2） （ 11 ）R S R c S c （ 12）( RT )T R
T T （ 13） （R S） RT S T（ , R S） RT S T
由v0 U的任意性，得
R(u, w) （R(u, v) R(v, w)）
3.1 模糊关系的概念
（充分性）设对 u、v、w U式（ 3.1 ）成立，令
R(u, v) R(v, w)
从而R(u, v) ，R(v, w) ，但对任意v式（ 3.1 ）成立， 故R(u, w) ,即
3 模糊关系
3.1 模糊关系的概念 3.2 模糊矩阵 3.3 模糊等价矩阵与模糊相似矩阵
3.1 模糊关系的概念
3.1.1 模糊关系的定义 普通关系定义为直积 U V 普通 子集，很自然地把模糊关系定义为 U V
第三章 模糊关系和模糊矩阵
假设物品之间完全相似者为“1”、完全不相似者为“0”，
其余按具体相似程度给出一个0~1之间的数，就可确定出一个
U上的模糊关系R，列表如下
R
苹果x1 乒乓球x2 书x3 篮球x4 花x5 桃x6 菱形x7
苹果x1
1.0
乒乓球x2 0.7
书x3
0
篮球x4
0.7
花x5
0.5
桃x6
0.6
菱形x7
0
0.7 0 0.7 0.5 0.6 0 1.0 0 0.9 0.4 0.5 0 0 1.0 0 0 0 0.1 0.9 0 1.0 0.4 0.5 0 0.4 0 0.4 1.0 0.4 0 0.5 0 0.5 0.4 1.0 0 0 0.1 0 0 0 1.0
第三章：模糊关系和模糊矩阵
重点：1 模糊关系概念 2 模糊关系的合成
难点： 模糊矩阵的运算
模糊关系和模糊矩阵
1.模糊关系的定义
定义2－11 所谓A，B两集合的直积
A B (a ,b) a A ,b B
中的一个模糊关系R，是指以 A B 为论域的一个模糊子集，
序偶
的隶属度为
一般(a地, b，) 若论域为n个集R合(a的, b直) 。积
•
3、越是没有本领的就越加自命不凡。 20.12.1 301:12: 1101:1 2Dec-20 13-Dec-20
•
4、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的 错儿。 01:12:1 101:12: 1101:1 2Sunda y, December 13, 2020
•
5、知人者智，自知者明。胜人者有力 ，自胜 者强。 20.12.1 320.12. 1301:1 2:1101: 12:11D ecembe r 13, 2020
2.3 模糊关系
令 X和 Y是二个论域，则模糊关系 R(X,Y)是 X× Y空间中的模糊集合，可表示为： R( X , Y ) = {(( x , y ), µ R ( x, y)) ( x, y ) ∈ X × Y } 称作 X× Y中的二元模糊关系。
理解说明：
⑶所有序偶 (x, y)组成的新的论域空间。这 个空间称为积空间，表示为 X × Y ⑷ 描述新论域元素之间的相关程度即模糊关 µ R ( x, y)指积空间中的序偶属于 R的程度。 系 R。
21 c11 c12 则 A和B的合成为： C = Ao B = c 21 c22
a 21
a12 a22
，B = b
b11
b12 b22
其中
c11 = (a 11 ∧ b11 ) ∨ (a 12 ∧ b 21 ) c12 = ( a11 ∧ b12 ) ∨ (a 12 ∧ b 22 ) c 21 = (a 21 ∧ b11 ) ∨ (a 22 ∧ b 21 ) c 22 = (a 21 ∧ b12 ) ∨ (a 22 ∧ b 22 )
y1
0.7 0
y2
y3
y1
y2
y3
x1 0.7 1.0 0.1 x2 0 0.8 0.7
1.0 0.8 0.1 0.7x1x2 NhomakorabeaR=
x1 0.7 1 .0 0 .1 x2 0 0 .8 0.7
特点：清晰易懂直观，不足是只能表示二维 关系，应用受限，但在控制领域中应用非常 广泛。
；
则子女与祖父母相似关系运算为
0.8 0.3 0.7 0.5 0. 7 0.5 T = Ro S = o = 0.4 0. 7 0.1 0. 1 0. 4 0.4
模糊数学第三章小结
1
3.1 模糊关系及其运算 1, 设U, V 为两个论域, 若R∈F(U×V),则称R为U到 V的一个模糊关系. 对(u, v)∈U×V , 称R(u, v)为u 对v具有模糊关系R的相关程度. 特别地 (1) 称R∈F(U×U) 为U上的模糊关系; (2) 若(u, v)∈U×U,有 则称R为U上的恒等关系 , 这时记R = I ;
19
目录
在实际应用中,常采用如下距离来确定rij
(1).Chebyshev 距离 : d ui , u j max uik u jk ;
1 k m m k 1
( 2).Ham min g距离： d ui , u j uik u jk ; m 2 (3).Euclid距离： d ui , u j uik u jk ; k 1 ( 4).Minkowski 距离 :
u11 u 21 u n1 u12 u 22 un 2 u1m u2 m u nm
18
U
*
称U*为U的特性指标矩阵.
目录
第一步: 数据规格化 常用的数据规格化方法有如下几种: 数据标准化, 均值规格化, 中心规格化、最大规格化、极 差规格化、对数规格化等(参见教材P96) 第二步: 构造模糊相似矩阵
14
9, 定理3.2.5 设I, R, Q∈F(U×U), 则有 (1) t(I)=I ; (2) R Q t(R) = t(Q) (3) (t(R))T= t(RT) (4) RT=R (t(R))T= t(R)
15
10, 设R∈F(U×U), 则 (1) R称为相似的,如果R是自反和对称的; (2) 称包含R的最小的相似模糊关系为相似闭包,记作a(R). 11, 定理3.2.6 设R∈F(U×U),则有 (1) R为相似的当且仅当∈[0,1], R 为相似的; (2)若R为相似的,则n∈N, Rn也是相似的.
第二章第二节四模糊关系重点
四、模糊关系
1.模糊关系的定义 定义2－11 所谓A，B两集合的直积 A B (a , b) a A , b B 中的一个模糊关系R，是指以 A B 为论域的一个模糊子集， 序偶 (a , b) 的隶属度为 R (a , b) 。 一般地，若论域为n个集合的直积 A1 A2 An ，则它所 对应的是n元模糊关系R，其隶属度函数为n个变量的函 R (a1 , a2 , , an ) 数 。显然当隶属度函数值只取“0”或“1” 时， 模糊关系就退化为普通关系。 例2－6 设有七种物品：苹果、乒乓球、书、篮球、花， x1 , x2 , , x7 桃、菱形组成的一个论域 U ，并设 分别为这 U x 1 , x2 , , x7 些物品的代号，则 。现在就物品两两 之间的相似程度来确定它们的模糊关系。
R A B
U V
R (u , v) /(u , v)
U V
A (u )t B (v) /(u , v)
为了便于区分起见，我们引入两个记号分别表示笛卡尔积 （ t 算子）两种运算规则，即直积（极小算子）用 min 表 示，代数积用 AP 表示。
例2－7 考虑如下模糊条件语句 如果C是慢的，则A是快的。 其中，C，A分别属于两个不同的论域 U，V。 其隶属度函数分别为
0.7
0 0.7 0.5 0.6 0
1.0
第三章 模糊关系
140 150 160 170 180
vi
40 1.0 0.8 0.2 0.1 0.0
50 0.8 1.0 0.8 0.2 0.1
60 0.2 0.8 1.0 0.8 0.2
70 0.1 0.2 0.8 1.0 0.8
80 0.0 0.1 0.2 0.8 1.0
• 例：用矩阵表示模糊关系 R U，V有限论域，~用矩阵R来表示： R (rij ), rij R ( i , v j ) ，显然 0 rij 1 (1 i, j n) ~ R叫模糊矩阵： 1 0.8 0.2 0.1 0 0.8 1 0.8 0.2 0.1 R 0.2 0.8 1 0.8 0.2 0.1 0.2 0.8 1 0.8 0 0.1 0.2 0.8 1
第三章 模糊关系
§1 模糊关系的定义与性质
• 设U，V是两个论域，在普通集合论中，记
U V {(u , v) u U , v V }
做Ｕ与Ｖ的笛卡尔乘积。可能状态集是由 Ｕ与Ｖ中任意搭配所构成，笛卡儿乘积集 是两集合元素之间的约束搭配。若给搭配 以约束便体现了一种特殊关系。是笛卡儿 集中的一个子集。
~
2） R nn 叫作自反矩阵，如果 R I
3）包含R而有被任何包含R的自反矩阵 所包含的自反矩阵，叫做R的自反闭包。 记 r (R ) 由自反闭包的定义可知： a) r ( R) I ； b) r ( R) R ； c) 任意包含R的自反矩阵Q都满足 Q r (R)
；
• 性质21
c c
r
c
ij
s
c
ij
R S
C
C
对任意 [0,1] ，记 R ( r ij ) 其中
模糊控制-第4章模糊关系与扩展原理
U
V
4.1 由经典关系到模糊关系
例4.4续 令U={旧金金山山，香香港，东京}，V={ 波士士顿，香香港}，用用图形化方方式表示示两个城 市之间“非非常远”的模糊关系在U和V上投影。
µ
1
（旧金金山山, 0.9）
0 香香港 波士士顿 香香港 东京 旧金金山山
U
V
4.1 由经典关系到模糊关系
例4.4续 令U={旧金金山山，香香港，东京}，V={ 波士士顿，香香港}，用用图形化方方式表示示两个城 市之间“非非常远”的模糊关系在U和V上投影。
µ
1
（东京, 波士士顿), 0.95
（旧金金山山, 0.9） （东京, 香香港), 0.1
0 香香港 波士士顿 香香港 东京 旧金金山山
U
V
4.1 由经典关系到模糊关系
例4.4续 令U={旧金金山山，香香港，东京}，V={ 波士士顿，香香港}，用用图形化方方式表示示两个城 市之间“非非常远”的模糊关系在U和V上投影。
!
4.3 扩展原理
表示示一一个从清晰集U到清晰集V的函 数，假定已知U上的模糊集A，在V上有一一个 由f 映射出来的模糊集 映射，则有：
!
，如f 是一一一一
是f 的逆 ，ຫໍສະໝຸດ 4.3 扩展原理当f 不是一一一一映射时，可能存在多个x与一一 个y 映射，且各隶隶属度函数不同，应取哪个x 的隶隶属度函数来作为y 的隶隶属度函数。 借助例4.8来说明： µ
µ
1
（香香港, 1）
（东京, 0.95） ((旧金金山山, 香香港),0.9) ((旧金金山山, 波士士顿),0.9)
香香港 波士士顿
0 香香港 东京 旧金金山山
U
V
模糊数学——模糊矩阵运算
1 0.5 0.2 0
例2：设A
0.5 0.2
1 0.1
0.1 1
0.3 0.8
,则
0 0.3 0.8 1
0.5, 0.8时的截矩阵为
1 1 0 0
A0.5
1 0
1 0
0 1
0 1
0 0 1 1
1 0 0 0
A0.8
0 0
1 0
0 1
0 1
0 0 1 1
2020年5月1日
9
截矩阵
(2) 模糊矩阵的并、交运算可以推广到 一般情形。
(3) 通常用Mnm表示全体n行m列的 模糊矩阵。
2020年5月1日
7
截矩阵
模糊矩阵的截矩阵
设RMnm，对任意[0,1]，记
R
rij
,
其中rij
=
1 0
rij rij
则称矩阵R为模糊矩阵R的截矩阵，是个布尔矩阵。
2020年5月1日
8
截矩阵
截矩阵的性质： [0,1], 性质1. R S R S .
性质2. R US R US ,R I S R I S.
2020年5月1日
10
合成
模糊矩阵的合成
定义：设 Q (qij )ml , R (rij )ln, 称模糊矩阵
Q o R (sij )mn
l
为Q与R的合成，其中 sij k1(qik rkj ) 。
转置矩阵，其中 aijT a ji 。 性质：
1 ( AT )T A.
2 3 4 5
2020年5月1日
( A B)T AT BT ;( A B)T AT BT ;
( A B)T BT AT ; ( An )T ( AT )n .
第3章：模糊关系
S = Q o R = ( s ik ) n × l = ( ∨ ( q ij ∧ r jk )) n × l
j =1
m
8
设有模糊矩阵： 例3-7 设有模糊矩阵：
0 .3 1 Q = 0 0 .6 0 .7 0 0 .5 0 .7 0 .2 0 .4 , 1 0 .8
0 .1 0 .1 0 .4
( 0 .3 ∧ 0 .1 ) ∨ ( 0 .7 ∧ 0 .9 ) ∨ ( 0 .2 (1 ∧ 0 .1 ) ∨ ( 0 ∧ 0 .9 ) ∨ ( 0 . 4 ∧ = ( 0 ∧ 0 . 1 ) ∨ ( 0 . 5 ∧ 0 . 9 ) ∨ (1 ∧ ( 0 .6 ∧ 0 .1 ) ∨ ( 0 .7 ∧ 0 .9 ) ∨ ( 0 .8 0 .1 ∨ 0 .7 ∨ 0 .2 0 .1 ∨ 0 ∨ 0 .4 = 0 ∨ 0 .5 ∨ 0 .6 0 .1 ∨ 0 .7 ∨ 0 .6
R
直线 园 椭圆 双曲线 抛物线
直线
园
椭圆
双曲线
抛物线
1 0 0.1 0.2 0.3
0 1 0.9 0.5 0.4
0.1 0.9 1 0.7 0.6
0.2 0.5 0.7 1 0.8
0.3 0.4 0.6 0.8 1
为两个坐标轴，则表示“ 远远大于y 这个模糊关系 例3-3 设 X，Y 为两个坐标轴，则表示“x远远大于y”这个模糊关系 R ， 上的一个模糊子集，其隶属函数为： 就是笛卡尔积 X×Y 上的一个模糊子集，其隶属函数为：
∀λ∈[0,1] ⑴ 对∀λ∈[0,1] ，有 R ⊂ S ⇔ Rλ ⊂ Sλ ； ⑵ ( R∪S )λ = Rλ∪Sλ ，( R∩S )λ = Rλ∩Sλ 。
模糊关系及其合成
注：要注意模糊关系矩阵中各元素的顺序。
2.2 模糊集合论基础
17
五、模糊关系及其合成 5、模糊关系的合成
模糊关系的合成是指由第一集合和第二集合的模 糊关系、第二集合和第三集合的模糊关系得到第 一集合和第三集合之间的模糊关系的一种运算。
模糊关系的合成运算可由模糊矩阵的合成运算得 到。
2.2 模糊集合论基础
2.2 模糊集合论基础
19
五、模糊关系及其合成
例：设有模糊集X，Y，Z分别为：
X {x1, x2 , x3 , x4}, Y { y1, y2 , y3}, Z {z1, z2 , z3}
R X Y , S Y Z
y1 R x1 0.5 x2 0 .7 x3 0 x4 1 y 2 y3 , 0 .6 0 .3 0 .4 1 0 .8 0 0 .2 0 .9
1 R ( x, y) 0 ( x, y) R ( x, y) R
当X，Y是有限集，则可以用矩阵表示，该矩阵称 为R的关系矩阵。
2.2 模糊集合论基础
9
五、模糊关系及其合成
X Y 笛卡儿积上的关系 R 表 X Y {1,2,3,4,5,6} ， 例： 示 X Y ，那么论域笛卡儿积为:
2.2 模糊集合论基础
4
五、模糊关系及其合成 3、模糊矩阵的合成
R (rij ) ml ，其合成 定义：设有模糊矩阵 Q (qij ) nm ， S Q R ，其中S是 n l 的，且 运算为：
m
S (qij r jk )
j 1
1 i n,1 k l
0.8
1 0.8
0.2
0.8 1
模糊推理方法[整理版]
![模糊推理方法[整理版]](https://img.taocdn.com/s3/m/98d2bf09a200a6c30c22590102020740be1ecd81.png)
几种典型的模糊推理方法根据模糊推理的定义可知，模糊推理的结论主要取决于模糊蕴含关系),(~Y X R 及模糊关系与模糊集合之间的合成运算法则。
对于确定的模糊推理系统，模糊蕴含关系),(~Y X R 一般是确定的，而合成运算法则并不唯一。
根据合成运算法则的不同，模糊推理方法又可分为Mamdani 推理法、Larsen 推理法、Zadeh 推理法等等。
一、Mamdani 模糊推理法Mamdani 模糊推理法是最常用的一种推理方法，其模糊蕴涵关系),(~Y X R M 定义简单，可以通过模糊集合A ~和B ~的笛卡尔积(取小)求得，即)()(),(~~~y x y x B A RMμμμΛ= (3.2.1)例 3.2.1 已知模糊集合3211.04.01~x x x A ++=，33211.03.05.08.0~y y y y B +++=。
求模糊集合A ~和B ~之间的模糊蕴含关系),(~Y X R M 。
解：根据Mamdani 模糊蕴含关系的定义可知：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⨯=1.01.01.01.01.03.04.04.01.03.05.08.0]1.03.05.08.0[1.04.01~~),(~ B A Y X R MMamdani 将经典的极大—极小合成运算方法作为模糊关系与模糊集合的合成运算法则。
在此定义下，Mamdani 模糊推理过程易于进行图形解释。
下面通过几种具体情况来分析Mamdani 模糊推理过程。
(i) 具有单个前件的单一规则设*~A 和A ~论域X 上的模糊集合，B ~是论域Y 上的模糊集合，A ~和B ~间的模糊关系是),(~Y X R M ，有大前提(规则)： if x is A ~then y is B ~小前提(事实)： x is *~A结论： y is ),(~~~**Y X R A B M =当)()(),(~~~y x y x B A RMμμμΛ=时，有)()}()]()({[V )]}()([)({V )(~~~~Xx ~~~Xx ~***y y x x y x x y BB A AB A AB μωμμμμμμμΛ=ΛΛ=ΛΛ=∈∈ (3.2.2)其中)]()([V ~~Xx *x x AA μμωΛ=∈，称为A ~和*~A 的适配度。
CH1-8模糊矩阵与模糊关系
3
模糊矩阵的合成运算与模糊方阵的幂
设A = (aik)m×s，B = (bkj)s×n，定义模糊矩阵A 与B 的 合成为： A ° B = (cij)m×n， 其中cij = ∨{(aik∧bkj) | 1≤k≤s} .
模糊方阵的幂 定义：若A为 n 阶方阵，定义A2 = A ° A，A3 = A2 ° A，…，Ak = Ak-1 ° A.
0.1 0.3 0.2 0.1 0.5 0.1 , B , C A 0.2 0.1 0.3 0.2 0.3 0.2
5
0.1 0.3 0.2 0.1 0.5 0.1 A 0.2 0.1, B 0.3 0.2 , C 0.3 0.2
定义2 设A=(aij)m×n,B=(bij)m×n都是模糊矩阵， 相等：A = B aij = bij； 包含：AB aij≤bij； 并：A∪B = (aij∨bij)m×n； 交：A∩B = (aij∧bij)m×n； 余：Ac = (1- aij)m×n.
2
1 ... 1 E 幂等律：A∪A = A，A∩A = A； 1 ... 1 交换律：A∪B = B∪A，A∩B = B∩A；
模糊关系矩阵模糊评价矩阵模糊矩阵模糊矩阵的合成运算模糊矩阵合成运算模糊评判矩阵模糊一致矩阵关系矩阵优先关系矩阵离散数学关系矩阵
第8节 模糊矩阵与模糊关系
1
一、 模糊矩阵
定义1 设R = (rij)m×n，若0≤rij≤1，则称R为模糊矩阵. 当rij只取0或1时，称R为布尔(Boole)矩阵. 当模糊方阵R = (rij)n×n的对角线上的元素rii都为1时，称R为模糊自反 矩阵.
3[1].2模糊矩阵
![3[1].2模糊矩阵](https://img.taocdn.com/s3/m/927da5731711cc7931b71670.png)
(Q S ) ( R S ) 0.2 0.5 0.9 0.2 1 0.2 0.9 0.2 0.1 0.3 0.5 0.4 0.2 0 0.5 0.4
1 1 1 1 1 1
分别称为零矩阵和全矩阵. (8) R S R S S R S R
( R S )C RC S C (9) ( R S ) R S ,
C C C
(10) 若 R1 S1 , R2 S2 ,则
故有 R I Q. 从而
r ( R) R I .
T 定义3-13 设 R Unn , 若 R R, 则 R 称为模糊对称矩阵.
包含 R 而又被任何包含 R 的对称矩阵所包含的对 称矩阵,叫做 R 的对称闭包,记作 s ( R ).
R Unn , 则 s( R) R RT 定理3-5 设
tT
(16)
S R (S R
(t ) tT
(t )
)
定义3-12 设 R Unn , 若 R I ,则 R 称为模糊自反 矩阵,其中
1 0 I 0 0 0 1 0 0 1
叫做幺矩阵. 包含 R 而又被任何包含 R 的自反矩阵所包含的 自反矩阵,称为 R 的自反闭包,记作 r ( R ).
R1 R2 S1 S2 , R1 R2 S1 S2
R S RC S C (11)
( RT )T R (12)
( R S )T RT S T (13) ( R S ) R S ,
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1 C A (u) 0
学习好 A 学习差 A
特征函数分别为(张三)=1，(李四)=1，(王五)=1。
反映不出三者的差异
采用模糊子集的概念，选取[0，1]区间上的隶属度来表示它 们属于“学习好”模糊子集A的程度，就能够反映出三人的 差异。
采用隶属函数 A(x) x /100，由三人的成绩可知三人“学
x
25 5
2
1
0 x 25 25 x 100
“年轻”的隶属函数曲线
例3：
如果X={上海 北京 天津 西安}为城市的集合。 模糊集合 “对城市的爱好”表示为： C = {(上海,0.8),(北京,0.9), (天津,0.7),(西安,0.6)}
（3）模糊控制易于被人们接受。模糊控制的核 心是控制规则，模糊规则是用语言来表示的， 如“今天气温高，则今天天气暖和”，易于被 一般人所接受。 （4）构造容易。模糊控制规则易于软件实现。 （5）鲁棒性和适应性好。通过专家经验设计的 模糊规则可以对复杂的对象进行有效的控制。
给定值
模糊化
数据库和规则库 推理机制
1 0
xA xA
模糊集合：将简单的“属于/不属于”的概念扩展
成
从0到1之间连续的变化值来描述元素的
属于程度。 1 x A
A (x) (0,1) x属于A的程度
0 x A
2、模糊集的定义
论域U中的模糊集F用一个在区间[0 1]上的取值的隶属函数
F来表示，即：
F :U 0, 1
F (u) 1 表示u 完全属于 F ；
二、模糊控制的特点
（1）模糊控制不需要被控对象的数学模型。模 糊控制是以人对被控对象的控制经验为依据而设 计的控制器，故无需知道被控对象的数学模型。
（2）模糊控制是一种反映人类智慧的智能控制 方法。模糊控制采用人类思维中的模糊量，如 “高”、“中”、“低”、“大”、“小”等， 控制量由模糊推理导出。这些模糊量和模糊推理 是人类智能活动的体现。
A={x1,x2,x3,x4} 例如：集合A由1到10之间的连续实数值组成
A x, x R,1.0 x 10.0
经典集合论描述的是有明确分界线的元素的组合， 有着高度的严密性和精确性。比如：
U u u为自然数且u 5
对任意元素x，只有两种可能：属于A，不属于A。这
种特性可以用特征函数 A (x) 来描述：
F (u) 0 表示 u 完全不属于F ； 0 F (u) 1 表示 u 部分属于 F ；
隶属函数 F是用来说明u 隶属于F 的程度，那么 U 中
的模糊集 F, 可以用元素u 和它的隶属度来表示：
F (u, F (u)) u U
例2：
设F表示远远大于0的实数集合，则它的隶属度函数可 以用下式来定义
A
(x)
1 0
x A x A
A x, x R,1.0 x 10.0
但经典集合论无法描述模糊概念，因为模糊概念没有明确 的外延。
例1： 人感觉冷暖的程度
1.0
(T )
冷
舒适温 度
热冷
0
15
25 40
T/ C
经典集合
1.0
舒
(T ) 冷
适
热
温
度
0
15
25 40
T/ C
模糊集合
经典集合：
A
(
x)
第二章 模糊控制的理论基础
主要内容： ✓ 模糊控制的发展 ✓ 模糊集合论基础 ✓ 模糊逻辑、推理和合成
第一节 引言
模糊集合论
模糊数学理论
模糊规则
最
预
优
测
模
模
糊
糊
控
控
制
制
多 输 入 模 糊 控 制
内 模 模 糊 控 制
模 糊 神 经 网 络
一、模糊控制的发展
模糊控制的诞生:1965年L.A.Zadeh（Information and Control） 提出模糊集合理论。
精确化
模糊控制系统结构示意图
被控过程
总结
由于采用了定性的、不精确的控制规则，模糊控制是 一种更人性化的控制方法，用模糊逻辑处理和分析现 实问题。
第二节 模糊集合论基础
天气冷热
雨的大小
风的强弱
人的胖瘦
年龄大小
个子高低
一、模糊集的概念
模糊集合是模糊控制的数学基础。
1．特征函数和隶属函数
经典集合：列举法、定义法、归纳法、特征函数表示法、 通过某些集合的运算 例如：集合A由4个离散值x1，x2，x3，x4组成。
习好”的隶属度为(张三)=0.95，(李四)=0.90，(王五)=0.85。 用“学习好”这一模糊子集A可表示为：
A {0.95,0.90,0.85}
张三、李四、王五属于“学习好”的程度分别是0.95,0.90,0.85。
练习： 以年龄为论域，取X 0,200 , Zadeh给出了“年
轻”的模糊集Y，其隶属函数为
0
Y
(
x)
1
x
25 5
2
1
0 x 25 25 x 100
通过Matlab仿真对上述隶属函数作图，隶属函数曲线 如图所示。
1
0.9
0.8
0.7
Degree of membership
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
20
40
60
80
100
120
X Years
0
Y
(x)
1
反对: 模糊隶属度函数的确定具有主观臆断性和人为 经验技巧色彩，没有严格的系统方法，不可靠 模糊逻辑是改头换面的的概率理论
1974年E.H.Mamdani 应用模糊数学理论进行蒸汽机和 锅炉控制方面的研究
模糊控制是建立在人工经验基础之上的。 对于一个熟练的操作人员，他往往凭借丰富的 实践经验，采取适当的对策来巧妙地控制一个 复杂过程。若能将这些熟练操作员的实践经验 加以总结和描述，并用语言表达出来，就会得 到一种定性的、不精确的控制规则。如果用模 糊数学将其定量化就转化为模糊控制算法，形 成模糊控制理论。
0
F (x)
1
1
100 x2
x0 x>0
F (5)
F (10)
F (20)
表示5属于远远大于0的程度只有0.2
3、模糊集合的表示法
查德表示法
F
n
i
1
F (ui ) / ui
F
(u
)
/
u
U 为离散对象 U 为连续空间
序偶表示法
F {(u1, (u1)), (u2, (u2 )),..., (un , (un ))}
向量表示法
F {(u1), (u2 ),..., (un )}
注意: / 并非求和、积分和除号， 只是一种
表示集合的方式， / 表示一种对应关系。
练习：设论域U={张三，李四，王五}，评语为“学习好”。
设三个人学习成绩总评分是张三得95分，李四得90分，王 五得85分，三人都学习好，但又有差异。