第三章一阶线性微分方程组第一讲一阶微分方程组及解的存在唯一性定理

第一讲 一阶微分方程组及解的存在惟一性定理（2课时）
一、 目的与要求: 了解高阶微分方程与一阶微分方程组的等价关系, 理解用向量和矩阵来研 究一阶微分方程组的作用, 了解微分方程组解的存在唯一性定理.
二、重点：一阶微分方程组的向量和矩阵表示及解的存在唯一性定理.
三、难点：向量和矩阵列的收敛性的定义, 二者的范数定义及其相关性质.
四、教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法. 五、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合. 六、教学过程：
1 课题引入
在前两章里，我们研究了含有一个未知函数的常微分方程的解法及其解的性质.但是，在很多实际和理论问题中，还要求我们去求解含有多个未知函数的微分方程组，或者研究它们的解的性质.
例如，已知在空间运动的质点(,,)P x y z 的速度与时间t 及该点的坐标的关系为(,,)x y z v v v v
123(,,,)(,,,)(,,,)x y z
v f t x y z v f t x y z v f t x y z =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
且质点在时刻0t 经过点000(,,)x y z ，求该质点的运动轨迹。

因为,x y dx dy v v dt dt ==和z dz
v dt =, 所以这个问题其实就是求
一阶微分方程组
123(,,,)
(,,,)(,,,)x f t x y z y f t x y z z f t x y z =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
的满足初始条件
00(),x t x = 00(),y t y = 00()z t z =
的解(),(),()x t y t z t .
另外，在n 阶微分方程
（1.12）
()
(1)
(,,,
,)n n y
f x y y y
-'=
中,令
(1)
121,,
,n n y y y y y
y --'''===就可
以把它化成等价的一阶微分方程组
112
21111(,,,,)
n n n n dy y dx dy y
dx dy y dx dy
f x y y y dx
----⎧=⎪⎪
⎪=⎪⎪⎨⎪
⎪=⎪⎪⎪=
⎩
注意，这是一个含n 个未知函数11,,,n y y y - 的一阶微分
方程组.
含有n 个未知函数12,,,n y y y 的一阶微分方程组的一般形
式为：
1
1122112112(,,,,)(,,,,)(,,,,)
n n n n dy f x y y y dx dy f x y y y dx dy f x y y y dx
⎧=⎪⎪⎪=⎪⎨⎪⎪
⎪=⎪
⎩ (3.1)
如果方程组(3.1)右端函数不显含x , 则相应的方程称为是自治的. 方程组(3.1)在[,]a b 上的一个解，是这样的一组函数
12(),(),
,()n y x y x y x
使得在[,]a b 上有恒等式
12()
(,(),(),,())
i i n dy x f x y x y x y x dx
=
(1,2,
,)i n =
含有n 个任意常数12,,,n C C C 的解
1112221212(,,,,)(,,,,)(,,,,)
n n n n n y x C C C y x C C C y x C C C ϕϕϕ=⎧⎪=⎪⎨⎪⎪=⎩
称为(3.1)的通解. 如果通解满足方程组
11212212121212(,,,,,,,,)0(,,,,,,,,)0(,,,,,,,,)0
n n n n n n n x y y y C C C x y y y C C C x y y y C C C Φ=⎧⎪Φ=⎪⎨⎪⎪Φ=⎩
则称后者为(3.1)的通积分.
如果已求得(3.1)的通解或通积分，要求满足初始条件
1010202000(),(),
,()n n y x y y x y y x y ===
(3.2)
的解，可以把初始条件(3.2)代入通解或通积分之中，得到关于12,,
,n C C C 的n 个方程式，如果从其中解得12,,
,n C C C ，
再代回通解或通积分中，就得到所求的初值问题的解.
2 一阶微分方程组的向量和矩阵表示
为了简洁方便，经常采用向量与矩阵来研究一阶微分方程组(3.1). 令n 维向量函数
12()()(),
()n y x y x Y x y x ⎡⎤
⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥
⎣⎦
11221212(,,,
,)(,,,,)(,)(,,,,)n n n n f x y y y f x y y y F x Y f x y y y ⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
并定义
111()
,dy dx dy dY x dx dx dy dx ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
00
001()()()()x x x x n x x x n x f x dx f x dx F x dx f x dx ⎡⎤⎢⎥⎢⎥
⎢⎥
=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎰⎰⎰⎰
则(3.1)可记成向量形式
(,)dY
F x Y dx
= (3.3)
初始条件(3.2)可记为
00(),Y x Y = 其中
102000n y y Y y ⎡⎤⎢⎥⎢⎥
=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
(3.2)′
(3.3)的满足(3.2)′的初值问题可记为
00(,)
()dY
F x Y dx Y x Y
⎧=⎪⎨⎪=⎩
(3.4)
这样，从形式上看，一阶方程组与一阶方程式完全一样了.
进一步，对n 维向量Y 和矩阵()ij A a =,
12,n y y Y y ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 1112
1212221
2
n n n n nn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
定义
1
,n
i i Y y ==∑
,1
n
ij i j A a ==
∑
易于证明以下性质：
1.0Y ≥,
且0Y =, 当且仅当0Y =
(0 表示零向量，下同);
2.1212Y Y Y Y +≤+;
3.对任意常数α，有Y Y
αα=;
4.
0A ≥;
5.
A B A B
+≤+;
6.对任意常数γ，有A A
γγ
=;
7.AY A Y
≤
; 8. AB A B
≤.
称
Y 和A 分别为向量Y 和矩阵A 的范数. 进而还有如
下性质
()()x
x
x x F x dx F x dx ≤
⎰
⎰
有了n 维空间的范数定义后，我们可以定义按范数收敛的概念. 即：如果对[,]a b 上的任意x ，有
lim ()()0n n Y x Y x →∞
-=
则称()n Y x 在[,]a b 上按范数收敛于Y (x ).如果上式对[,]a b 上的x 为一致的，则称()n Y x 在上[,]a b 按范数一致收敛于
()Y x .
另外, 如果对n 维向量函数F (x )有
0lim ()()0x x F x F x →-=
则称()F x 在0x 连续. 如果()F x 在区间[,]a b 上每一点0x 都连续, 则称()F x 在区间[,]a b 上连续. 有了以上准备，完全类似于第二章定理 2.2，我们有如下的关于初值问题(3.4)的解的存在与唯一性定理. 定理3.1 如果函数(,)F x Y 在1n + 维空间的区域
00:,R x x a Y Y b -≤-≤
上满足： 1) 连续；
2) 关于Y 满足李普希兹条件，即存在0N >, 使对于R 上任意两点1(,),x Y 2(,)x Y ,有
1212
(,)(,)F x Y F x Y N Y Y -≤-
则存在00h >, 使初值问题(3.4)的解在00x x h -≤ 上存在且唯一，其中0min(,),b h a M
= (,)max (,)x Y R
M F x Y ∈=.
定理的证明方法与定理2.2完全类似,也是首先证明(3.4)与积分方程
0()(,())x
x Y x Y F x Y x dx =+⎰
(3.5)
同解.为证(3.5)的解在00x x h -≤ 上的存在性，同样用逐次逼近法，其步骤可以逐字逐句重复定理2.2的证明.最后，唯一性的证明，同样用贝尔曼不等式完成.
对于方程组(3.3)也有类似第二章关于纯量方程(1.9)的解的延展定理和解对初值的连续依赖性定理，这只要在第二章相应定理中把纯量y 换成向量Y 即可.
最后，我们要指出方程组(3.3)解的几何意义：我们已经知道，纯量方程(1.9)的一个解是二维空间xoy 平面上的一条曲线，或称为积分曲线，那么，很自然地有方程组(3.3)的一个
解就是1
x Y中的一条曲线了，也称它为方程组(3.3) n 维空间(,)
的积分曲线.
本节要点：
1．一阶微分方程组解的存在唯一性定理及解的几何意义.
2．一阶线性微分方程组解的存在唯一性定理及其特征：系数和非齐次项连续区间上整体存在.
作业: 完成定理3.1的证明.。