《线性代数》经典证明题

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《线性代数》中的证明题集

1．利用行列式展开定理证明：当βα≠时，有1100010001000001n n n D αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+++++-==-++．证：将行列式按第一行展开，得12()n n n D D D αβαβ--=+-，则211223()()n n n n n n D D D D D D βαβαβ------=-=-22221()[()()]n n n D D αβααβαββαβα--==-=+--+=，所以1n n n D D βα--=．（1）由n D 关于α与β对称，得1n n n D D αβ--=．（2）由（1）与（2）解得11n n n D αβαβ++-=-．2．已知1326、2743、5005、3874都能被13整除，不计算行列式的值，证明4783500534726231能被13整除．证：41424310001001013261321326274327427435005500500538743873874c c c cc c +++=．由已知，得后行列式的第4列具有公因子13，所以原行列式能被13整除．3．证明:222244441111()()()()()()()a b c d a b a c a d b c b d c d a b c d a b c d a b c d =------+++．证：构造5阶行列式222225333334444411111a b c d x D a b c d x a b c d x a b c d x =，则5()()()()()()()()()()D b a c a d a c b d b d c x a x b x c x d =----------．（1）将5D 按第5列展开，得435222222223333444411111111()a b c d a b c d D x x abcdabcda b c d a b c d =+-+．（2）比较（1）与（2）右边3x 的系数，知结论成立．4．证明：当b a 4)1(2=-时，齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=+-+=+++=+++0)(,03,02,04321432143214321x b a x a x x x x x x x x x x ax x x x 有非零解．证：方程组的系数行列式21111211(1)4113111a D ab aa b==---+，当0D =，即b a 4)1(2=-时，方程组有非零解．5．若A 为n 阶对称矩阵，P 为n 阶矩阵，证明TP AP 为对称矩阵．证：因为()()T A ATTTTT TT P AP P A P P AP ===，所以T P AP 为对称矩阵．6．设,,A B C 都是n 阶矩阵，证明：ABC 可逆的充分必要条件是,,A B C 都可逆．证：ABC 可逆000,0,0ABC A B C A B C ⇔≠⇔⋅⋅≠⇔≠≠≠⇔,,A B C 都可逆．7．设n 阶方阵A 满足23AA O -=，证明2A E -可逆，并求()12A E --．证：由23A A O -=，得(2)()2A E A E E --=，即(2)2A EA E E --=，所以2A E -可逆，且()12A E --=2E A -．8．设A 为n 阶矩阵，且O A =3，证明A E -及A E +都是可逆矩阵．证：由2A O =，得2()()E A E A A E -++=及2()()E A E A A E +-+=，所以A E -及A E +都是可逆矩阵．9．（1）设1P AP B -=，证明1kkB P A P -=．（2）设PB AP =，且100100210,000211001P B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，求A 与2011A ．证：（1）111111()()()()kkk B P AP P A PP A PP PP AP P A P ------===．（2）由PB AP =，得1A PBP -=，且201120111APB P -=．又12011100100210,000411001P B B -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，所以20111100200,611A A PBP A -⎛⎫⎪=== ⎪ ⎪--⎝⎭．10．（1）设O B A C O ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且m 阶矩阵B 和n 阶矩阵C 均可逆，试证明111O C A BO ---⎛⎫= ⎪⎝⎭．（2）设矩阵12100000000000n na a A a a -⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，其中12,,,n a a a 为非零常数，求1A -．证：（1）因为1111O B E O O C BB O E C O O E BO O CC ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以A 可逆，且 111O C A BO ---⎛⎫= ⎪⎝⎭．（2）将矩阵进行如下分块：121000000000000n na a O B A a C O a -⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则111O C A BO ---⎛⎫= ⎪⎝⎭．又111111121(,,,),()n n B diag a a a Ca -------==，所以 1A -=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----000000000001112111n n a a a a．11．设A 为n 阶矩阵，满足256A A E O ++=，证明：(2)(3)R A E R A E n +++=．证：由256A A E O ++=，得(2)(3)A E A E O ++=，所以(2)(3)R A E R A E n +++≤.又(2)(3)(2)(3)()R A E R A E R A E R A E R E n +++=--++≥=，所以(2)(3)R A E R A E n +++=.12．证明：（1）设,A B 为矩阵，则AB BA -有意义的充分必要条件是,A B 为同阶矩阵．（2）对任意n 阶矩阵,A B ，都有AB BA E -≠，其中E 为单位矩阵．证：（1）设A 为m n ⨯矩阵，B 为s t ⨯矩阵，则AB BA -有意义,,,.n s t m m n s t m s t n =⎧⎪=⎪⇔⇔===⎨=⎪⎪=⎩，即,A B 为同阶矩阵．（2）设(),()ij n n ij n n A a B b ⨯⨯==，则BA AB -的主对角线上元素之和为111111110n nn n n n n nik kist ts ik ki ts st i k s t i k t s ab b a a b a b ========-=-=∑∑∑∑∑∑∑∑，而E 的主对角线上元素之和为n ，所以AB BA E -≠．13．证明：任意n 阶矩阵都可表示为一个对称矩阵与一个反对称矩阵的和．证：设A 为任意n 阶矩阵，则22T TA A A A A +-=+，其中为2T A A +对称矩阵，2TA A -为反对称矩阵．（你是否能联系到函数可以表示为奇函数与偶函数之和）14．已知n 阶矩阵B A ,满足B A AB +=，试证E A -可逆，并求1()A E --．证：由B A AB +=，得()()A E B E E --=，所以E A -可逆，且E B E A -=--1)(．15．设A 为元素全为1的)1(>n n 阶方阵，证明：()A n E A E 111--=--．证： ()211()111n E A E A E A A n n n --=-+---．又2A nA =，故 ()1()1E A E A E n --=-，所以()A n E A E 111--=--．16．设n 阶矩阵A 与B 等价，且0A ≠，证明0B ≠．证： A 与B 等价，则存在n 阶可逆矩阵P 与Q ，使得B PAQ =，有0B PAQ P A Q ==⋅⋅≠．注：此结论告诉我们初等变换不改变矩阵的可逆性．17．设A 为n 阶方阵，且A A =2，证明()()n E A R A R =-+．证：因为2()A A E A A O -=-=，所以()()R A R A E n +-≤．又()()()()()R A R A E R A R A E R E n +-=+-+≥=，所以()()n E A R A R =-+．18．设A 是n m ⨯矩阵，B 是m n ⨯矩阵，其中n m <．若AB E =，其中E 为n 阶单位矩阵．证明方程组BX O =只有零解．证：由AB E =，得()R AB n =．又()()n R B R AB n ≥≥=，得()R B n =，所以方程组BX O =只有零解．19．（1）设nR ∈α，证明：α线性相关当且仅当0α=．（2）设n R ∈21,αα，证明：21,αα线性相关当且仅当它们对应的分量成比例．证：(１) α线性相关0,0k k α⇔=≠⇔0α=．（2）21,αα线性相关11220k k αα⇔+=，其中12,k k 不全为零．不妨设10k ≠，则21,αα线性相关21221()k l k ααα⇔=-=，即21,αα对应的分量成比例．20．任取nR ∈4321,,,αααα，又记,,,433322211ααβααβααβ+=+=+=144ααβ+=，证明4321,,,ββββ必线性相关．证：显然13123424ββααααββ+=+++=+，即1234(1)(1)0ββββ+-++-=，所以4321,,,ββββ必线性相关．21．设12,,,n s R ααα∈为一组非零向量，按所给的顺序，每一(1,2,,)i i s α=都不能由它前面的1-i 个向量线性表示，证明向量组12,,,s ααα线性无关．证：用数学归纳法证明．1s =时，10α≠，则1α线性无关．设s m =时成立，即12,,,mααα线性无关．当1s m =+时，若121,,,,m m αααα+线性相关，则1m α+可由12,,,m ααα线性表示，矛盾，所以向量组12,,,s ααα线性无关．22．设非零向量β可由向量组12,,,s ααα线性表示，证明：表示法唯一当且仅当向量组12,,,s ααα线性无关．证： β可由向量组12,,,s ααα线性表示1212(,,,)(,,,|)s s R R ααααααβ⇔=．则表示法唯一1122s s x x x αααβ⇔+++=有唯一解1212(,,,)(,,,|)s s R R s ααααααβ⇔== 12(,,,)s R s ααα⇔=⇔12,,,s ααα线性无关．23．设12,,,n n R ααα∈，证明：向量组12,,,n ααα线性无关当且仅当任一n 维向量均可由12,,,n ααα线性表示．证：必要性：12,,,n ααα线性无关，任取n R β∈，则12,,,,n αααβ线性相关，所以β可由12,,,n ααα线性表示．充分性：任一n 维向量均可由12,,,n ααα线性表示，则单位坐标向量12,,,n e e e 可由12,,,n ααα线性表示，有1212(,,,)(,,,)n n n R e e e R n ααα=≤≤，所以12(,,,)n R n ααα=，即12,,,n ααα线性无关．24. 设A ：1,,s αα和B ：1,,t ββ为两个同维向量组，秩分别为1r 和2r ；向量组C A B =的秩为3r ．证明：{}21321,m ax r r r r r +≤≤．证：先证{}123max ,r r r ≤．显然A 组与B 组分别可由C 组线性表示，则13r r ≤，且23r r ≤，所以{}123max ,r r r ≤．次证312r r r ≤+．设11,,i ir αα为A 组的一个极大无关组，21,,i ir ββ为B 组的一个极大无关组，则C 组可由1211,,,,,i ir i ir ααββ线性表示，有1231112(,,,,,)i ir i ir r R r r ααββ≤≤+．25．设B 为n 阶可逆阵，A 与C 均为n m ⨯矩阵，且C AB =．试证明)()(C R A R =．证：由C AB =，知C 的列向量组可由A 的列向量组线性表示，则()()R C R A ≤．因为B 可逆，则1A CB -=，知A 的列向量组可由C 的列向量组线性表示，则()()R A R C ≤．所以)()(C R A R =．26．设A 为n m ⨯矩阵，证明：O A =当且仅当0)(=A R ．证：必要性显然，下证充分性：()0R A A O =⇒=．设α为A 的任一列向量，则()()0R R A α≤=，所以()00R αα=⇒=．由α的任意性知O A =．27．设T T T )1,5,2(,)1,0,1(,)3,1,2(321---=-=-=ααα．证明向量组123,,ααα是3R 的一组基，并求向量T)3,6,2(=β在这组基下的坐标．证：由123710021222(,,|)10560108311310012r αααβ⎛⎫ ⎪---⎛⎫⎪⎪=-−−→- ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭- ⎪⎝⎭，得123,,ααα是3R 的一组基，且β在这组基下的坐标为71(,8,)22--．28．设m ξξξ,,,21 是齐次线性方程组0=AX 的基础解系，求证122,,,m ξξξξ+也是0=AX 的基础解系．证：显然122,,,m ξξξξ+是0=AX 的解，只需证明它们线性无关．1221212100110(,,,)(,,,)(,,,)001m m m m m K ξξξξξξξξξξ⨯⎛⎫⎪⎪+== ⎪⎪⎝⎭．由10K =≠，得 12212(,,,)(,,,)m m R R m ξξξξξξξ+==，所以122,,,mξξξξ+线性无关．29．设A 是n 阶方阵．证明：存在一个n 阶非零矩阵B ，使AB O =的充要条件是0=Α．证：存在B O ≠，使得0AB O AX =⇔=有非零解0A ⇔=．30．设A 是n 阶方阵，B 为s n ⨯矩阵，且n B R =)(．证明：（1）若AB O =，则A O =；（2）若B AB =，则n E A =．证：（1）AB O =，则()()R A R B n +≤．又()()0R B n R A A O =⇒=⇒=．（2）()AB B A E B O =⇒-=．由（１）得A E O A E -=⇒=．31．设s ααα,,,21 为n 维非零向量，A 为n 阶方阵，若,,,3221 αααα==A A s s A αα=-1, ，0=s A α，试证明s ααα,,,21 线性无关．证：设1122110s s s s x x x x αααα--++++=．该式两边左乘以A ，得122310s s x x x ααα-+++=依此类推，得10s x α=．由0s α≠，得10x =．同理可证20,,0s x x ==．所以s ααα,,,21 线性无关．32．设32321211,,αααααααα+=+==A A A ，其中A 为3阶方阵，321,,ααα为3维向量，且01≠α，证明321,,ααα线性无关．证：设1122330x x x ααα++=．（1）（1）式两边左乘以A ，得12123233()()0x x x x x ααα++++=．（2）（2）减去（1），得21320x x αα+=．（3）（3）式两边左乘以A ，得23132()0x x x αα++=．（4）（4）减去（3），得310x α=．因为10α≠，所以30x =．代入（３），得210x α=，所以20x =．代入（1），得110x α=，所以10x =．所以321,,ααα线性无关．33．设A 为n 阶方阵，α为n 维列向量．证明：若存在正整数m ，使0=αmA ，而01≠-αm A ，则1,,,m A A ααα-线性无关．证：设10110m m x x A x A ααα--+++=，该式两边左乘以1m A -，得100m x A α-=．因为01≠-αm A，所以00x =．同理可证110m x x -===．所以1,,,m A A ααα-线性无关．34．设向量组A 的秩与向量组B 相同，且A 组可由B 组线性表示，证明A 组与B 组等价．证：设r B R A R ==)()(，r ααα,,,21 为A 组的一个极大无关组，r βββ,,,21 为B 组的一个极大无关组．由A 组可由B 组线性表示，得r r r r K ⨯=),,,(),,,(2121βββααα .又12,,,()()r r R K R r ααα≥≥=，则r K R =)(，即K 为可逆矩阵，有 11212(,,,)(,,,)r r K βββααα-=，即r βββ,,,21 可由r ααα,,,21 线性表示，所以B 组可由A 组线性表示.故A 组与B 组等价．35．设向量组A ：s ααα,,,21 线性无关，向量组B ：12,,,r βββ能由A 线性表示为1212(,,,)(,,,)r s s r K βββααα⨯=，其中s r ≤，证明：向量组B 线性无关当且仅当K 的秩r K R =)(．证：向量组B 线性无关121,,,)(0r r X βββ⨯⇔=只有零解121(,,,)()0s s r r K X ααα⨯⨯⇔=只有零解12,,,10s s r r K X ααα⨯⨯=⇔线性无关只有零解()R K r ⇔=．36．设B A ,都是n m ⨯矩阵，试证明：)()()|()(B R A R B A R B A R +≤≤+．证：先证()(|)R A B R A B +≤．显然A B +的列向量组可由A 的列向量组和B 的列向量组线性表示，则()(|)R A B R A B +≤．此证(|)()()R A B R A R B ≤+．设(),()R A r R B s ==，ˆA 与ˆB 分别为A 与B 的列向量组的一个极大无关组，则(|)A B 的列向量组可由ˆA与ˆB 线性表示，有 (|)()()R A B r s R A R B ≤+=+，即(|)()()R A B R A R B ≤+．37．设321,,ααα是3R 的一组基，211ααβ+=，322ααβ+=，133ααβ+=．（1）证明123,,βββ是3R 的一组基；（2）求由基321,,ααα到基123,,βββ的过渡矩阵；（3）若向量γ在基321,,ααα下的坐标为)0,0,1(，求向量γ在基123,,βββ下的坐标．证： 123123101,,)(,,)110011(βββααα⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．（１）（１）由10111001120=≠，得123123,,),)3((,R R βββααα==，则123,,βββ线性无关，所以123,,βββ是3R 的一组基．（2）由（１）式，得由基321,,ααα到基123,,βββ的过渡矩阵101110011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭．（3）γ在基123,,βββ下的坐标1110111111111001110201101110Y P X ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎝⎭=⎭=111(,,)222T -．38．设A 为r m ⨯矩阵，B 为n r ⨯矩阵，且AB O =．求证：（1）B 的各列向量是齐次线性方程组0AX =的解；（2）若r A R =)(，则B O =；（3）若B O ≠，则A 的各列向量线性相关．证：（1）令12(,,,)n B βββ=．由AB O =，得12(,,,)(0,0,,0)n A A A βββ=，即0,1,2,,j A j n β==，所以B 的各列向量是齐次线性方程组0AX =的解．（2）若r A R =)(，则0AX =只有零解，所以B O =．（3）若B O ≠，则0AX =有非零解，所以A 的各列向量线性相关．39．设A 为n 阶方阵（2≥n ），证明：（1）当n A R =)(时，n A R =*)(；（2）当1)(-=n A R 时，1)(=*A R ；（3）当1)(-<n A R 时，0)(=*A R ．证：（1）当n A R =)(时，1*00n A A A-≠⇒=≠，所以()R A n *=．（2）当1)(-=n A R 时，由*AA A E O ==，得*()()R A R A n +≤有*()1R A ≤．又A 中至少有一个1n -阶子式不为零，则**()1A O R A ≠⇒≥，所以()1R A *=．（3）当1)(-<n A R 时，则A 中所有一个1n -阶子式全为零，有**()0A O R A =⇒=．40．设矩阵A 满足等式2340A A E --=，试证明A 的特征值只能取值1-或4．证：设λ为A 的特征值．由2340A A E --=，得λ满足2340λλ--=，解得1λ=-或4λ=．41．设方阵A 满足T A A E =，其中TA 是A 的转置矩阵，E 为单位阵．试证明A 的实特征向量所对应的特征值的模等于1．证：设X 为A 的实特征向量，对应的特征值为λ，则AX X λ=．由TA A E =，得T T T T X A AX X EX X X ==，即()()TTAX AX X X =，有2T T X X X X λ=．又0TX X >，则21λ=，所以1λ=．42．设矩阵A 与B 相似，试证：（1）T A 与T B 相似；（2）当A 可逆时，1-A 与1-B 相似．证： A 与B 相似，则存在可逆矩阵P ，使得1B P AP -=．（1）111)(()()TTTTTTT TP AP P A P P B A P ---===．因为T P 也可逆，所以T A 与TB 相似．（2）111111111)()(P AP P A P B P A P ---------===，所以1-A 与1-B 相似．43．设B A ,都是n 阶实对称矩阵，证明A 与B 相似的充要条件是A 与B 有相同的特征值．证：必要性：A 与B 相似，则存在可逆阵P ，使得1P AP B -=．有111|||||()|||||||||B E P AP E P A E P P A E P A E λλλλλ----=-=-=⋅-⋅=-，所以A 与B 有相同的特征多项式，即有相同的特征值．充分性：若实对称矩阵A 与B 有相同的特征值，设n λλλ ,,21为它们的特征值．令12(,,,)n diag λλλΛ=．则A 与Λ相似，B 与Λ相似，所以A 与B 相似．44．设A 为3阶矩阵，21,αα为A 的分别属于特征值1,1-的特征向量，向量3α满足323ααα+=A ．（1）证明321,,ααα线性无关；（2）令),,(321ααα=P ，求AP P 1-．证：（1）设1122330x x x ααα++=，（1）（1）式两边左乘以A ，得1123233()0x x x x ααα-+++=．（2）（1）-（2），得113220x x αα-=．显然21,αα线性无关，则130,0x x ==．代入（１），得220x α=，有20x =，所以321,,ααα线性无关．（2）1231231223(,,)(,,)(,,)AP A A A A αααααααααα===-+123100100(,,)011011001001P ααα--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即100011001AP P -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．由第一部分知P 可逆，所以1100011001P AP --⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．45．设B A ,均为n 阶方阵，且n B R A R <+)()(．试证：B A ,有公共的特征向量．证：考虑方程组10n A X B ⨯⎛⎫= ⎪⎝⎭，其系数矩阵的秩()()A R R A R B n B ⎛⎫≤+< ⎪⎝⎭，则方程组有非零解ξ，即0A B ξ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故0,0A B ξξ==，即0λ=是,A B 的公共特征值，ξ是,A B 属于特征值0λ=的公共的特征向量．46．设A 是n 阶方阵，且满足n A E R A E R =-++)()(．试证:E A =2．证：设()R E A r +=．（1）若0r =，则0=+A E ，即A E =-，有E A =2．（2）若r n =，则()0R E A -=，即A E =，有E A =2．（3）若n r<<0，则()0A E X +=的基础解系12,,,n r ααα-就是A 的属于特征值1-的线性无关特征向量；又()R E A n r -=-，则()0A E X -=的基础解系12,,,r βββ就是A 的属于特征值1的线性无关特征向量；从而A 有n 个线性无关特征向量：1212,,,,,,,n r r αααβββ-，所以A 能相似对角化．令()1212,,,,,,,n r r P αααβββ-=，有1n rr E O P AP OE ---⎛⎫=Λ=⎪⎝⎭，则1n rn r E O A P P OE ----⎛⎫=⎪⎝⎭，所以E A =2．47．n 阶矩阵B A ,满足B A AB +=，证明1=λ不是A 的特征值．证：由B A AB +=，得()()A E B E E --=，所以A E -可逆，有0≠-E A ，所以1=λ不是A 的特征值．48．证明：若矩阵A 正定，则矩阵A 的主对角线元素全大于零．证：设实对称矩阵()ij n n A a ⨯=正定，则二次型11n nTij iji j f X AX a x x====∑∑正定．取1110,,0,1,0,,0i i i n x x x x x -+=====，则0ii f a =>．由i 的任意性，所以A 的主对角线元素全大于零．。

线性代数典型例题

线性代数第一章行列式典型例题一、利用行列式性质计算行列式二、按行（列)展开公式求代数余子式已知行列式412343344615671122D ==-，试求4142A A +与4344A A +.三、利用多项式分解因式计算行列式1．计算221123122313151319x D x -=-。

2．设()x b c d b x cdf x b c x d b c dx=，则方程()0f x =有根_______.x = 四、抽象行列式的计算或证明1。

设四阶矩阵234234[2,3,4,],[,2,3,4]A B αγγγβγγγ==，其中234,,,,αβγγγ均为四维列向量，且已知行列式||2,||3A B ==-,试计算行列式||.A B + 2。

设A 为三阶方阵，*A 为A 的伴随矩阵，且1||2A =，试计算行列式1*(3)22.A A O O A -⎡⎤-⎢⎥⎣⎦3.设A 是n 阶(2)n ≥非零实矩阵,元素ij a 与其代数余子式ij A 相等，求行列式||.A4。

设矩阵210120001A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，矩阵B 满足**2ABA BA E =+，则||_____.B = 5.设123,,ααα均为3维列向量，记矩阵123123123123(,,),(,24,39)A B αααααααααααα==+++++如果||1A =，那么||_____.B = 五、n 阶行列式的计算六、利用特征值计算行列式1.若四阶矩阵A 与B 相似，矩阵A 的特征值为1111,,,2345,则行列式1||________.B E --=2。

设A 为四阶矩阵，且满足|2|0E A +=，又已知A 的三个特征值分别为1,1,2-,试计算行列式*|23|.A E +第二章矩阵典型例题一、求逆矩阵1。

设,,A B A B +都是可逆矩阵，求:111().A B ---+2。

设0002100053123004580034600A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求1.A -二、讨论抽象矩阵的可逆性1.设n 阶矩阵A 满足关系式320A A A E +--=,证明A 可逆，并求1.A - 2。

线性代数证明题

线性代数证明题1．设1234,,,αααα是非零的四维列向量，1234(,,,),*A A αααα=为A 的伴随矩阵，已知0Ax =的基础解系为(1,0,2,0)T ，证明234,,ααα是方程组*0A x =的基础解系.2.设A 是n 阶矩阵，且0nA =，则A E n -必是可逆矩阵。

3．,,A B C 均是n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，若ABC E =，证明：BCA E = 4．设3级方阵,A B 满足124A B B E -=-，证明：2A E -可逆，并求其逆.5．设A 是一个n 级方阵，且()R A r =，证明：存在一个n 级可逆矩阵P 使1PAP -的后n r -行全为零.6．设矩阵,m n n m A B ⨯⨯，且,m n AB E <=，证明：A 的行向量组线性无关.7．如果,2A A =称A 为幂等矩阵.设B A ,为n 阶幂等矩阵，证明：B A +是幂等矩阵的充要条件是.0==BA AB8.如果对称矩阵A 为非奇异,试证:1-A 也是对称矩阵 9.设A ，B ，C 都是n 阶方阵，且C 可逆，T --+=A E B C C ）（11,证明：A 可逆且T-+=）（C B A 1。

10.设0=kA，其中k 为正整数，证明：121)(--++++=-k A A A E A E11.设方阵A 满足A 2-A-2E=O ，证明A 及A+2E 都可逆，并求112--+）及（E A A 12.试证：对任意方阵A ，均有 T A A +为对称矩阵， TA A -为反对称矩阵。

13.证明 1)(=A R 的充分必要条件是存在非零列向量α和非零行向量Tβ，使TA αβ= 14.设A 为列满秩矩阵，C AB =，证明方程0=BX 与0=CX 同解 15.设A 为n m ⨯矩阵，证明方程m E AX =有解m A R =⇔)( 16.向量组A 能用向量组B 表示，则R(A)<=R(B)17.设B A ,分别为m n n m ⨯⨯,矩阵，则齐次方程组O =ABx 当n m >时必有非零解。

线性代数证明题练习

线性代数证明题练习线性代数证明题是线性代数课程中的一部分，通过解答这些证明题可以加深对线性代数理论的理解和掌握。

本文将提供一些线性代数证明题的练，帮助读者提高他们的证明能力。

1. 向量空间的性质证明1.1 证明向量空间的加法交换律要证明向量空间的加法交换律，需要证明对于任意的向量a和b，有a + b = b + a。

下面是证明的步骤：* 步骤1：首先考虑向量的定义。

向量可以表示为a = (a1, a2, ..., an)和b = (b1, b2, ..., bn)，其中ai和bi分别是实数。

根据向量的定义，a + b可以表示为(a1 + b1, a2 + b2, ..., an + bn)。

* 步骤2：考虑向量加法的交换性质。

根据实数的加法交换律，可以推导出向量加法的交换律。

因此，可以得出(a1 + b1, a2 + b2, ..., an + bn) = (b1 + a1, b2 + a2, ..., bn + an)。

* 步骤3：得出结论。

根据步骤2的结果，可以得出a + b = b + a。

通过以上的证明步骤，可以证明向量空间的加法交换律成立。

1.2 证明向量空间的数乘结合律要证明向量空间的数乘结合律，需要证明对于任意的实数k和向量a，有k(a) = (ka)。

下面是证明的步骤：* 步骤1：考虑向量和数的定义。

向量a可以表示为a = (a1,a2, ..., an)，其中ai是实数。

数k可以表示为一个实数k。

* 步骤2：考虑数乘的定义。

数乘k(a)可以表示为(k * a1, k *a2, ..., k * an)。

* 步骤3：考虑数乘的结合性质。

根据实数的乘法结合律，可以推导出数乘的结合律。

因此，可以得出(k * a1, k * a2, ..., k * an) = (ka1, ka2, ..., kan)。

* 步骤4：得出结论。

根据步骤3的结果，可以得出k(a) = (ka)。

通过以上的证明步骤，可以证明向量空间的数乘结合律成立。

(完整word版)线性代数证明题

1、试题序号：3212、题型：证明题3、难度级别：34、知识点：第二章矩阵及其运算5、分值：86、所需时间：8分钟7、试题关键字：矩阵秩的性质 8、试题内容：设A 为一个n 阶方阵，E 为同阶单位矩阵且2A E =，证明：()()R A E R A E n ++-=. 9、答案内容：证明:2220()()0,()()()().().()().A E A E A E A E R A E R A E R A E R E A n R A E R E A R A E E A n R A E R A E n =⇒-=⇒+-=++-=++-≤≥++-=∴++-=Q 由矩阵秩的性质则有同时,有(+)+(-)10、评分细则：由题设推出()()0A E A E +-=得2分;由矩阵秩的性质推出()()R A E R A E n ++-≤得2分;推出()()R A E R A E n ++-≥得2分;因而推出()()R A E R A E n ++-=得2分.----------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：322 2、题型：证明题 3、难度级别：34、知识点：第五章相似矩阵及二次型5、分值：86、所需时间：6分钟7、试题关键字：正交矩阵的特征值 8、试题内容：设A 为一个n 阶正交矩阵，且1A =-.证明：1λ=-是A 的特征值. 9、答案内容：证明：,.1,(1)()()0(1)0.1.T T T T TTTT A A A E A A E A E A A A E A A E A A E A E AE A E A A E A E A λ∴==-∴--=+=+=+=+=-+=-+=-+=-+∴+=⇒--=∴=-Q Q 是正交矩阵又是的特征值10、评分细则：推出()1T A E A AA --=+(2分)T E A =-+(2分)E A =-+(2分) 推出()10A E --=并说明1λ=-是A 的特征值(2分).---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：323 2、题型：证明题 3、难度级别：44、知识点：第五章相似矩阵及二次型5、分值：86、所需时间：10分钟7、试题关键字：二次型的正定性 8、试题内容：已知,A B 均为n 阶正定矩阵，试证明：分块矩阵00A B ⎛⎫⎪⎝⎭也为正定矩阵. 9、答案内容：()12112212,00.000000000.00TT T T T A B A B A A B B A B X A A f X X X B B X X X f AX BX A B ∴⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫∴ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫∀≠⇒ ⎪⎝⎭>∴⎛⎫⎪⎝⎭Q T T 12TT 12证明是正定矩阵，，是对称矩阵.A00B 是对称矩阵.令=,此为所确定的二次型.0,X 中至少有一个不为0,则有=X +X 此二次型为正定二次型，则为正定矩阵.10、评分细则：由题设中条件推出00A B ⎛⎫⎪⎝⎭是对称矩阵(2分);令()112200TT X A f X X X B ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2分);由()120TT X X ≠推出12,X X 中至少有一个不为零(2分).则有11220T T f X AX X BX =+>,推出f 1122T TX AX X BX =+为正定二次型(2分).因而有00A B ⎛⎫⎪⎝⎭为正定矩阵(2分).----------------------------------------------------------------------------1、试题序号：3242、题型：证明题3、难度级别：34、知识点：第五章相似矩阵及二次型5、分值：86、所需时间：8分钟7、试题关键字：二次型的正定性 8、试题内容：设,A B 均为n 阶正定矩阵，试证明：A B +也为正定矩阵. 9、答案内容：证明：,.()().0,.,,.0.()T T T T T T TTT T T T T A B A A B B A B A B A B A B f x A B x x f x Ax x Bx A B x Ax x Bx f x Ax x Bx f x A B x ∴+=+=+⇒+=+∀≠=+∴=+>∴=+Q Q 都是正定矩阵,=,=为对称矩阵.令则有是正定矩阵是正定二次型则有为正定二次型.则A+B 也为正定矩阵.10、评分细则：由题设中条件推出A B +为对称矩阵(2分);令()Tf x A B x =+(2分);00T T x f x Ax x Bx ∀≠⇒=+>(2分);推出()Tf x A B x =+为正定二次型(2分);因而有A B +为正定矩阵(2分).---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：325 2、题型：证明题 3、难度级别：24、知识点：第四章向量组的线性相关性5、分值：86、所需时间：8分钟7、试题关键字：向量组的线性关系 8、试题内容：若向量β可由向量组12,,,r αααL 线性表示，但β不能由121,,,r ααα-L 线性表示，试证：r α可由121,,,,r αααβ-L 线性表示.9、答案内容：证明：2.0,.1.,.r r r r r r r r r βααααααββαααβαααααααβααααβ----∴==∴≠⇒=----∴Q L L L L L L L １２１２r １１２２r １１２２r-１１１２１１２r-１r １１r r r r１２１可以由，，线性表示，存在一组数Ｋ，Ｋ，Ｋ,使得Ｋ＋Ｋ＋＋Ｋ＝若Ｋ则Ｋ＋Ｋ＋＋Ｋ这与不能由，，线性表示矛盾.ＫＫＫＫ０ＫＫＫＫ可由，，线性表示10、评分细则：由题设中条件令1122r r k k k αααβ+++=L (2分);假设0r k =推出β不能由121,,,r ααα-L 线性表示矛盾(2分);0r r k α∴≠⇒可以由121,,,r ααα-L ,β线性表示(4分).---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：326 2、题型：证明题 3、难度级别：44、知识点：第四章向量组的线性相关性5、分值：86、所需时间：10分钟7、试题关键字：向量的线性关系与矩阵的秩 8、试题内容：如果向量组12,,,s αααL 线性无关，试证：向量组11212,,,s αααααα++++L L 线性无关.9、答案内容：证明：()()()()()(),..111011.01111011.01B R R A S αααααααααααααααααααααααα=++++∴==⎛⎫ ⎪⎪++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L L L Q L LL L LL LL L L L LLL L L L L L12S 11212S 12S 12S 11212S 12S 令A= ,,线性无关，令C=则有B=AC ，显然C 可逆.10、评分细则：令()12s A ααα=L,()11212s B αααααα=+++L L (1分);由题设条件推出()R A s =(1分);令1111011001C ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭L L L L L L推出B AC =(2分);推出()()1A BC RB R A s -=⇒≥=(2分)又()()1121,,s R B s R B s ααααα≤⇒=⇒++K L 线性无关(2分).----------------------------------------------------------------------------1、试题序号：3272、题型：证明题3、难度级别：34、知识点：第二章矩阵及其运算5、分值：86、所需时间：8分钟7、试题关键字：奇异矩阵8、试题内容：已知矩阵22,A E B E ==，且0A B +=证明：A B +为奇异矩阵. 9、答案内容：证明：22221, 1.01, 1.().()..0,A E A B E B A B A B A A B A B AB B A A A B B B A A A B B A B A B A B =⇒=±=⇒=±+=⇒=±=+=+=+∴+=+∴+=+∴-+=+Q Q m 又若则而则为奇异矩阵.10、评分细则：由题设中条件推出1,1A B =±=m (1分);推出()A A B B B A +=+(3分);推出A A B B B A +=+(2分);推出0A B A B +=⇒+为奇异矩阵(2分).---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：328 2、题型：证明题 3、难度级别：24、知识点：第四章向量组的线性相关性5、分值：86、所需时间：6分钟7、试题关键字：向量组的线性关系与矩阵的秩 8、试题内容：设n 维基本单位向量组12,,,n εεεL 可由n 维向量组12,,,n αααL 线性表示，证明：12,,,n αααL 线性无关.9、答案内容：证明：()()()()()()121,.,,,,..,,,n aB AB R R n R A n R A n αααεεεεεεαααααα=∴=⇒≥=≤∴=⇒L L Q L L L 12n n n 2n 12n n 12n 令A=且E ,,可以由线性表示.存在一个n 阶方阵使得E A E 同时线性无关.10、评分细则：令()()1212,n n A E αααεεε==LL (2分);由题设条件推出存在一个n 阶矩阵B (2分);使得()AB E R A n =⇒=(4分).---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：329 2、题型：证明题 3、难度级别：44、知识点：第四章向量组的线性相关性5、分值：86、所需时间：10分钟7、试题关键字：向量组的线性关系与矩阵的秩 8、试题内容：设12,,,m αααL 线性无关，1β可由12,,,m αααL 线性表示，2β不可由12,,,m αααL 线性表示，证明：1212,,,,m αααλββ+L 线性无关（其中λ为常数）. 9、答案内容：证明:11122m m k k k βααα=++Q L ，()()1212122m m αααλββαααβ∴+L:L.假设()122MR m αααβ≤L,则有122,,,,m αααβL 线性相关,因而与2β不能由12,,,m αααL 线性表示矛盾. ()122m R m αααβ∴>L,()12121m R m αααλββ∴+=+L1212,,,,m αααλββ∴+L 线性无关.10、评分细则：由题设中条件推出()()1212122m m αααλββαααβ+L :L (2分);假设()122m R m αααβ≤L 由题设推出2β能由12,,m αααL 线性表示,与题设矛盾(2分);()122m R m αααβ∴>L 推出()12121m R m αααλββ+=+L (3分);推出1212,,,m αααλββ+L 线性无关(1分).---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：330 2、题型：证明题 3、难度级别：24、知识点：第四章向量组的线性相关性5、分值：86、所需时间：6分钟7、试题关键字：向量组与矩阵的秩 8、试题内容：设A 为n m ⨯矩阵，B 为m n ⨯矩阵，n m <,若AB E =，证明B 的列向量组线性无关. 9、答案内容：证明:A Q 为n m ⨯矩阵,B 为m n ⨯矩阵,且AB E =,E 为单位矩阵.由矩阵秩的性质,则有()()R B R E n ≥=.又(),.n m R B n <∴≤Q()R B n ∴=B ∴ 的列向量组线性无关.10、评分细则：由题设推出()()R B R E n ≥=(2分);又有题设中()n m R B n <⇒≤(2分);()R B n ∴=(2分);所以B 的列向量组线性无关(2分). ----------------------------------------------------------------------------1、试题序号：3312、题型：证明题3、难度级别：44、知识点：第四章向量组的线性相关性5、分值：86、所需时间：10分钟7、试题关键字：向量组的线性关系与矩阵的秩 8、试题内容：设121,,,n ααα-L 为1n -个线性无关的n 维列向量，12,ηη与121,,,n ααα-L 均正交，证明：12,ηη线性相关.9、答案内容：证明:12,ηηQ 分别与121,,,n ααα-L 均正交,()1121200T n T ηαααη-⎛⎫⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L令()121n A ααα-=L,12T T B ηη⎛⎫= ⎪⎝⎭,()()011BA R A n R B =⇒=-⇒≤12,ηη∴线性相关.10、评分细则：令()()12112,Tn A B αααηη-==L(1分);由题设中条件推得()()0BA R A R B n =⇒+≤(2分);()()11R A n R B ∴=-⇒≤(1分);若()1200,0R B ηη=⇒==(1分);12,ηη∴线性相关(1分);若()()12112R B R ηη=⇒=<(1分),所以12,ηη线性相关(1分).---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：332 2、题型：证明题 3、难度级别：24、知识点：第五章相似矩阵及二次型5、分值：86、所需时间：6分钟7、试题关键字：正交向量组8、试题内容：已知n 阶实矩阵A 为正交矩阵，12,,,n αααL 为n 维正交单位向量组，证明：12,,,n A A A αααL 也是n 维正交单位向量组.9、答案内容：证明:A Q 是阶正交矩阵,则有12,,,n αααQ L 是维正交向量组()()0,0,0T i i j TT T T i j i j i i jA A A A ααααααααα∴≠=≠===12,,n A A A ααα∴L 是正交向量组.10、评分细则：由题设中条件推出0,0,T i i j i j ααα≠=≠(2分);()()0jT T T T Ti j i j i j i A A A A E αααααααα====(2分);0i α≠且A 可逆,推得0i A α≠(2分);推得12,,,n A A A αααL 是正交向量组(2分).---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：333 2、题型：证明题 3、难度级别：44、知识点：第四章向量组的线性相关性5、分值：86、所需时间：10分钟7、试题关键字：向量组的秩与方程组的解 8、试题内容：设12,,,s αααL 是0Ax =的一个基础解系，β不是0Ax =的解，证明：12,,,,s ββαβαβα+++L 线性无关.9、答案内容：证明:假设()121s R s βααα<+L.这与β不是0Ax =的解矛盾()121s R s βααα∴=+L ()11s R s ββαβα++=+L即1,,s ββαβα++L 线性无关. 10、评分细则：由题设推出()()11s s R R ββαβαβαα++=LL (2分);假设()11s R s βαα<+L ,由题设中条件推出β可以由12,,,s αααL 线性表示,与β不是0Ax =的解矛盾(2分);()11s R s ββαβα∴++=+L (2分);1,,,s ββαβα∴++L 线性无关(2分).---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：334 2、题型：证明题 3、难度级别：24、知识点：第四章向量组的线性相关性5、分值：86、所需时间：8分钟7、试题关键字：矩阵的秩与方程组的解 8、试题内容：设A 为n 阶矩阵，若0Ax =只有零解，证明：方程组0kA x =也只有零解，其中k 为正整数.9、答案内容：证明:0Ax =Q 只有零解⇒()R A n =A 为n 阶矩阵,A ∴可逆0.A ⇔≠则kkA A =0≠ 即kA 为可逆矩阵()0k k R A n A x ∴=⇒=只有零解.10、评分细则：由题设推出()R A n A =⇒可逆(3分);推出0kkA A =≠(2分);推得()0k k R A n A x =⇒=只有零解(3分).---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：335 2、题型：证明题 3、难度级别：44、知识点：第四章向量组的线性相关性5、分值：86、所需时间：10分钟7、试题关键字：向量组的秩,矩阵的秩及方程组的解8、试题内容：设A 是m n ⨯矩阵，D 是m n ⨯矩阵，B 为m m ⨯矩阵，求证：若B 可逆且BA 的行向量的转置都是0Dx =的解，则A 的每个行向量的转置也都是该方程组的解. 9、答案内容：证明：设A 的行向量组为12,,,m αααL （I ）设B 的行向量组为12,,,m βββL （II ）则向量组（I ）与（II ）均为n 维向量组,BA C B =可逆1A B C -⇒=令1112121222112m m m m mm k k k k k k B k k k -⎛⎫⎪ ⎪=⎪⎪⎝⎭L L L L L L L ，则有1111211221222212m m m m m mm m k k k k k k k k k αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L L L L L L L L∴向量组（I ）可以由（II ）线性表示Q 向量组（II ）是0Dx =的解 ∴向量组（I ）也是0Dx =的解10、评分细则：令A 的行向量组12,,,m αααL (I),C 的行向量组为12,,,m βββL (II)(1分);1BA C A B C -=⇒=(2分);推得1111211221222212m m m m m mm m k k k k k k k k k αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L LL L L L L L L ,11121212221122m m m m m k k k k k k B k k k -⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭L L L L L L L (2分)所以(I)可以由(II)线性表示(2分);由(II)是0Dx =的解推出(I)也是0Dx =的解(1分).---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：336 2、题型：证明题3、难度级别：24、知识点：第四章向量组的线性相关性5、分值：86、所需时间：6分钟7、试题关键字：向量组的线性关系与方程组的基础解系 8、试题内容：设非齐次线性方程组Ax b =的系数矩阵的秩为r ，12,,,n r ηηη-L 是其导出组的一个基础解系，η是Ax b =的一个解，证明：12,,,,n r ηηηη-L 线性无关. 9、答案内容：证明：假设12,,,,n r ηηηη-L 线性相关，12,,,n r ηηη-Q L 是0Ax =的基础解系， 12,,,n r ηηη-∴L 是线性无关的.由以上可得η可以由12,,,n r ηηη-L 线性表示. 则η是0Ax =的解,与η是Ax b =的解矛盾.∴假设不成立,即,η12,,,n r ηηη-L 线性无关.10、评分细则：假设12,,,n r ηηηη-L 线性相关,由题设推得η可以由121,,r ηηη-L 线性表示(3分);所以η是0Ax =的解与η是Ax b =的解矛盾(3分);所以12,,,n r ηηηη-L 线性无关(2分).---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：337 2、题型：证明题 3、难度级别：34、知识点：第五章相似矩阵及二次型5、分值：86、所需时间：8分钟7、试题关键字：正定矩阵的逆矩阵与伴随矩阵 8、试题内容：设*A 为A 的伴随矩阵，若A 为正定的，试证*A 及1A -均为正定的. 9、答案内容：证明：∵A 为正定矩阵，∴A 的特征值全为正数。

线性代数必考参考例题

各大题可能考到的知识点：证明题：（3选1）1．对称矩阵、反对称矩阵、正交矩阵参考习题（下同）：P50例11、12，P52 15、16，P145 182.矩阵可逆P57 例8 P58 5、6、83.线性相关性P99 例3 P102 5计算题：1.求行列式（三角法、降阶法）P15-16 例3、4、5、6 ，P25例6 ，P23 例2、32.求逆矩阵（伴随矩阵法、初等变换法）P54 例3 P70 例4、53.求极大无关组P104 例2，P107 例34.基础解系及通解P118-122 1、2、4、5、65.讨论方程组的解P88 4, P135 16.对角化P162 1、2，P160 7、87.证明一组积并求某向量的坐标：P111 9，P114 4、58.解矩阵方程P71-72 6、79求特征值与特征向量P146 1、2，P170 15、16填空、选择：1.排列的逆序数P6 1、2，P11 12.行列式的性质P11-153.矩阵转置的性质（4个）P474.方阵行列式的性质（3个）P495.逆矩阵与伴随矩阵性质（5个）P54-556.初等矩阵与可逆矩阵的关系P70 定理37.矩阵的秩的性质P75、78（共8个，主要是1、2）8.方程组有解的条件P869.向量组的线性相关性P97-10110.向量组之间的关系P100-101（定理5、推论5、6）11.过渡矩阵P11312.由向量的长度与正交求未知参数P139-14113.正交矩阵的性质P14314.矩阵的特征值的性质P147-149 615.相似矩阵的性质P152-153，P170 18，P160 2, 616.特征值多项式和特征方程P14517.行列式按列展开的性质P21 ，P22 ，P27 718.分块对角矩阵的性质P62 性质1、2。

《线性代数》习题集与答案行列式计算证明题

1. 设计算A41 + A42 + A43 + A44 = ?, 其中A4j(j= 1, 2, 3, 4)是|A|中元素a4j的代数余子式. 解. A41 + A42 + A43 + A44=2. 计算元素为a ij = | i－j|的n阶行列式.解.3. 计算n阶行列式(n 2).解. 当+=+++=－=－－= 0 当4. 设a, b, c是互异的实数, 证明:的充要条件是a + b + c =0.证明: 考察范德蒙行列式:=行列式即为y2前的系数. 于是=所以的充要条件是a + b + c = 0.5. 证明:奇数阶反对称矩阵的行列式为零.证明: (n为奇数). 所以|A| = 0.6. 设证明: 可以找出数δ(0 < δ < 1), 使(提示: 使用罗尔定理).证明: ,由罗尔定理, 存在数δ(0 < δ < 1), 使.7. 试证: 如果n次多项式对n+ 1个不同的x值都是零, 则此多项式恒等于零. (提示: 用范德蒙行列式证明)证明: 假设多项式的n + 1个不同的零点为x0, x1, …, x n. 将它们代入多项式, 得关于C i方程组…………系数行列式为x0, x1, …, x n的范德蒙行列式, 不为0. 所以8. 设解. ====1. 设α1, α2, α3, α, β均为4维向量, A = [α1, α2, α3, α], B = [α1, α2, α3, β], 且|A| = 2, |B| = 3, 则|A－3B| = ______.解. ==2. 若对任意n×1矩阵X, 均有AX = 0, 则A = ______.解. 假设, αi是A的列向量. 对于j = 1, 2, …, m, 令,第j个元素不为0. 所以(j = 1, 2, …, m). 所以A = 0.3. 设A为m阶方阵, 存在非零的m×n矩阵B, 使AB = 0的充分必要条件是______.解. 由AB = 0, 而且B为非零矩阵, 所以存在B的某个列向量b j为非零列向量, 满足Ab j= 0. 即方程组AX = 0有非零解. 所以|A| = 0;反之: 若|A| = 0, 则AX = 0有非零解. 则存在非零矩阵B, 满足AB = 0.所以, AB = 0的充分必要条件是|A| = 0.4. 设A为n阶矩阵, 存在两个不相等的n阶矩阵B, C, 使AB= AC的充分条件是______. 解.5. = ______.解.6. 设矩阵= ______.解. ==－+ ==7. 设n阶矩阵A满足= ______.解. 由得. 所以, 于是A可逆. 由得8. 设=______.解. =,,==9. 设解. |A| = －3－12 + 8 + 8 + 6－6 = 110. 设矩阵, 则A的逆矩阵= ______. 解. ,使用分块求逆公式－=所以2．单项选择题1. 设A、B为同阶可逆矩阵, 则(A) AB = BA (B) 存在可逆矩阵P, 使(C) 存在可逆矩阵C, 使 (D) 存在可逆矩阵P和Q, 使解. 因为A可逆, 存在可逆.因为B可逆, 存在可逆.所以= . 于是令, . (D)是答案.2. 设A、B都是n阶可逆矩阵, 则等于(A) (B) (C) (D)解. . (A)是答案.3. 设A、B都是n阶方阵, 下面结论正确的是(A) 若A、B均可逆, 则A + B可逆. (B) 若A、B均可逆, 则AB可逆.(C) 若A + B可逆, 则A－B可逆. (D) 若A + B可逆, 则A, B均可逆.解. 若A、B均可逆, 则. (B)是答案.4. 设n维向量, 矩阵, 其中E为n阶单位矩阵, 则AB =(A) 0 (B) －E (C) E (D)解. AB ==+ 2－2= E. (C)是答案.5. 设, , , 设有P2P1A = B, 则P2 =(A) (B) (C)(D)解. P1A表示互换A的第一、二行. B表示A先互换第一、二行, 然后将互换后的矩阵的第一行乘以(－1)加到第三行. 所以P2 = .(B)是答案.6. 设A为n阶可逆矩阵, 则(－A)*等于(A) －A* (B) A* (C) (－1)n A* (D) (－1)n－1A*解. (－A)* =. (D)是答案.7. 设n阶矩阵A非奇异(n 2), A*是A的伴随矩阵, 则(A) (B)(C) (D)解.(C)是答案.8. 设A为m×n矩阵, C是n阶可逆矩阵, 矩阵A的秩为r1, 矩阵B = AC的秩为r,则(A) r > r1 (B) r < r1 (C) r = r1 (D) r与r1的关系依C而定解. , 所以又因为, 于是所以. (C)是答案.9. 设A、B都是n阶非零矩阵, 且AB = 0, 则A和B的秩(A) 必有一个等于零 (B) 都小于n (C) 一个小于n, 一个等于n (D) 都等于n解. 若, 矛盾. 所以. 同理. (B)是答案.3.计算证明题1. 设, . 求: i. AB－BA ii. A2－B2 iii. B T A T 解. ,2. 求下列矩阵的逆矩阵i. ii.iii. iv. 解. i.,ii. . 由矩阵分块求逆公式:得到:iii. . 由矩阵分块求逆公式:所以iv. 由矩阵分块求逆公式:得到:3. 已知三阶矩阵A满足. 其中, ,. 试求矩阵A.解. 由本题的条件知:4. k取什么值时, 可逆, 并求其逆.解.所以5. 设A是n阶方阵, 且有自然数m, 使(E + A)m = 0, 则A可逆. 解. 因为所以. 所以A可逆.6. 设B为可逆矩阵, A是与B同阶方阵, 且满足A2 + AB + B2 = 0, 证明A和A + B都是可逆矩阵.解. 因为, 所以.因为B可逆, 所以所以. 所以都可逆.7. 若A, B都是n阶方阵, 且E + AB可逆, 则E + BA也可逆, 且解.==所以.8. 设A, B都是n阶方阵, 已知|B| ≠ 0, A－E可逆, 且(A－E)－1 = (B－E)T, 求证A 可逆.解. 因为(A－E)－1 = (B－E)T, 所以(A－E)(B－E)T = E所以,由 |B| ≠ 0 知存在.所以. 所以A可逆.9. 设A, B, A + B为n阶正交矩阵, 试证: (A + B)－1 = A－1 + B－1.解. 因为A, B, A + B为正交矩阵, 所以所以10. 设A, B都是n阶方阵, 试证明: .解. 因为所以因为, 所以11. 设A为主对角线元素均为零的四阶实对称可逆矩阵, E为四阶单位矩阵i. 试计算|E +AB|, 并指出A中元素满足什么条件时, E + AB可逆;ii. 当E + AB可逆时, 试证明(E + AB)－1A为对称矩阵.解. i. ,,所以当时, E + AB可逆.ii.因为A, B为实对称矩阵, 所以为实对称矩阵, 所以(E + AB)－1A为对称矩阵.12. 计算下列各题:i. ii.解. i.所以ii. 假设, 则A的三个互不相同的特征值为于是存在可逆矩阵P, 使得所以于是13. 设, 求A n.解. 使用数学归纳法.假设=则==所以==14. 设A为n阶可逆矩阵, 证明 i. , ii. , iii., iv. .解. i.ii.iii. 先证明: 当A, B为同阶可逆矩阵时, 有证明:下面证明本题:因为. 两边取"*"运算, 所以.于是iv.15. A是n阶方阵, 满足A m = E, 其中m是正整数, E为n阶单位矩阵. 今将A中n2个元素a ij用其代数余子式A ij代替, 得到的矩阵记为A0. 证明.解. 因为A m = E, 所以, 所以A可逆.所以16. 设矩阵i. 证明: n 3时, (E为三阶单位矩阵)ii. 求A100.解. i.所以假设则=所以ii.17. 当时, A6 = E. 求A11.解. , 所以因为18. 已知A, B是n阶方阵, 且满足A2 = A, B2 = B, 与(A－B)2 = A + B, 试证: AB = BA = 0.解. 因为(A－B)2 = A + B, 所以于是, 所以因为A2 = A, B2 = B, 所以 2AB = 0, 所以19. 设A, B, C均是n阶方阵, |E－A| ≠ 0, 如果C = A + CA, B = E + AB, 求证: B －C = E.解. 因为B = E + AB, 所以, 所以可逆.对于B = E + AB, 右乘得, 左乘B, 得B = E + BA所以所以右乘, 得B－C = E(注: 本题中条件|E－A| ≠ 0 可以不要)20. 设A为n阶非奇异矩阵, α为n维列向量, b为常数. 记分块矩阵i. 计算并化简PQ;ii. 证明: 矩阵Q可逆的充要条件是.解. i.因为, 所以,= 0所以ii. 因为所以所以所以存在的充要条件为1. 设, 则k =______时, α1, α2, α3, α4线性相关.解. 考察行列式= 13k +5 =0.2. 设, 则t = ______时, α1, α2, α3, α4线性相关.解. 考察行列式.所以对任何t, α1, α2, α3, α4线性相关.3. 当k = ______时, 向量β = (1, k, 5)能由向量线性表示.解. 考察行列式得k =－8. 当k =－8时, 三个向量的行列式为0, 于是线性相关. 显然线性无关, 所以可用线性表示.4. 已知, 则秩(α1, α2, α3, α4) = ______.解. 将α1, α2, α3, α4表示成矩阵. 所以r (α1, α2, α3, α4) = 35. 设, 则秩(A) = ______.解.所以r (A) = 3.6. 已知矩阵A = α·β, 则秩(A) = ______.解. A = α·β =所以r (A) = 1.7. 已知向量, 且秩(α1, α2, α3, α4) = 2, 则t = ______.解. A= (α1, α2, α3, α4)所以当t = 7时, r (A) = 2.2.单项选择题1. 设向量组α1, α2, α3线性无关, 则下列向量组线性相关的是(A) α1 + α2, α2 + α3, α3 + α1 (B) α1, α1 + α2, α1+ α2 + α3 (C) α1－α2, α2－α3, α3－α1 (D) α1 + α2, 2α2 + α3, 3α3 + α1解. 由得因为向量组α1, α2, α3线性无关, 所以得关于的方程组的系数行列式为. 所以有非零解, 所以α1－α2, α2－α3, α3－α1线性相关. (C)是答案.2. 设矩阵A m×n的秩为R(A) = m < n, E m为m阶单位矩阵, 下列结论正确的是(A) A的任意m个列向量必线性无关 (B) A的任意一个m阶子式不等于零(C) 若矩阵B满足BA = 0, 则B= 0 (D) A通过行初等变换, 必可以化为(E m, 0)的形式解. (A), (B)都错在“任意”; (D)不正确是因为只通过行初等变换不一定能将A变成(E m, 0)的形式; (C)是正确答案. 理由如下:因为BA = 0, 所以 0. 所以= 0. 于是B = 0.3. 设向量组 (I): ;设向量组 (II): , 则(A) (I)相关⇒(II)相关 (B) (I)无关⇒(II)无关(C) (II)无关⇒(I)无关 (B) (I)无关⇔ (II)无关解. 由定理: 若原向量组线性无关, 则由原向量组加长后的向量组也线性无关. 所以(B)是答案.4. 设β, α1, α2线性相关, β, α2, α3线性无关, 则(A) α1, α2, α3线性相关 (B) α1, α2, α3线性无关(C) α1可用β, α2, α3线性表示 (D) β可用α1, α2线性表示解. 因为β, α1, α2线性相关, 所以β, α1, α2, α3线性相关. 又因为β, α2, α3线性无关, 所以α1可用β, α2, α3线性表示. (C)是答案.5. 设A, B是n阶方阵, 且秩(A) = 秩(B), 则(A) 秩(A－B) = 0 (B) 秩(A + B) = 2秩(A)(C) 秩(A－B) = 2秩(A) (D) 秩(A + B) ≤秩(A) + 秩(B)解. (A) 取且|A|≠ 0, |B| ≠ 0则A－B ≠ 0, 则r(A－B)≠ 0. 排除(A);(B) 取A =－B ≠ 0, 则秩(A + B) ≠ 2秩(A); (C) 取A = B ≠ 0, 则秩(A－B) ≠ 2秩(A). 有如下定理: 秩(A + B) ≤秩(A) + 秩(B). 所以(D)是答案.3.计算证明题1. 设有三维向量, ,, 问k取何值时i. β可由α1, α2, α3线性表示, 且表达式唯一;ii. β可由α1, α2, α3线性表示, 但表达式不唯一;iii. β不能由α1, α2, α3线性表示.解.i. 时, α1, α2, α3线性无关, 四个三维向量一定线性相关, 所以β可由α1, α2, α3线性表示, 由克莱姆法则知表达式唯一;ii. 当k = 1 时. 系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩为2. 所以所以β可由α1, α2, α3线性表示, 但表示不惟一;iii. 当时.系数矩阵的秩等于2, 增广矩阵的秩为3, 所以所以β不能由α1, α2, α3线性表示.2. 设向量组α1, α2, α3线性相关, 向量组α2, α3, α4线性无关, 问i. α1能否由α2, α3线性表出? 证明你的结论;ii. α4能否由α1, α2, α3线性表出? 证明你的结论解. i. α1不一定能由α2, α3线性表出. 反例: , , . 向量组α1, α2, α3线性相关, 但α1不能由α2, α3线性表出;ii. α4不一定能由α1, α2, α3线性表出. 反例: , , , . α1, α2, α3线性相关, α2, α3, α4线性无关, α4不能由α1, α2, α3线性表出.3. 已知m个向量α1, α2, …αm线性相关, 但其中任意m－1个都线性无关, 证明:i. 如果存在等式k1α1 +k2α2 + … + k mαm = 0则这些系数k1, k2, …k m或者全为零, 或者全不为零;ii. 如果存在两个等式k1α1 +k2α2 + … + k mαm = 0l1α1 +l2α2 + … + l mαm = 0其中l1≠ 0, 则.解. i. 假设k1α1 +k2α2 + … + k mαm = 0, 如果某个k i = 0. 则k1α1 +…+ k i－1αi－1 + k i+1αi+1… + k mαm = 0因为任意m－1个都线性无关, 所以k1, k2, …k i－1, k i+1, …, k m都等于0, 即这些系数k1, k2, …k m或者全为零, 或者全不为零;ii. 因为l1≠ 0, 所以l1, l2, …l m全不为零. 所以.代入第一式得:即所以, …,即4. 设向量组α1, α2, α3线性无关, 问常数a, b, c满足什么条件aα1－α2, bα2－α3, cα3－α1线性相关.解. 假设得因为α1, α2, α3线性无关, 得方程组当行列式时, 有非零解. 所以时, aα1－α2,bα2－α3, cα3－α1线性相关.5. 设A是n阶矩阵, 若存在正整数k, 使线性方程组A k x= 0有解向量α, 且A k－1α≠0, 证明: 向量组α, Aα, ⋯, A k－1α是线性无关的.解. 假设. 二边乘以得,由. 二边乘以得,………………………………最后可得,所以向量组α, Aα, ⋯, A k－1α是线性无关.6. 求下列向量组的一个极大线性无关组, 并把其余向量用极大线性无关组线性表示.i. .ii.解. 解. i.所以是极大线性无关组. 由得方程组解得,所以ii.所以是极大线性无关组. 由得方程组解得, ,所以由得方程组解得, , 所以7. 已知三阶矩阵, 讨论秩(A)的情形.解. i. ,ii. ,iii. ,iv. ,iv.所以, 当时, ; 当时,8. 设三阶矩阵A满足A2 = E(E为单位矩阵), 但A≠±E, 试证明:(秩(A－E)－1)(秩(A + E)－1) = 0解. 由第十一题知又因为A≠±E, 所以,所以, 中有一个为1所以 (秩(A－E)－1)(秩(A + E)－1) = 09. 设A为n阶方阵, 且A2 = A, 证明: 若A的秩为r, 则A－E的秩为n－r, 其中E是n阶单位矩阵.解. 因为A2 = A, 所以所以所以又因为所以. 所以。

线性代数证明题[1]

四、证明题：1、（本题6分）设n 阶实方阵2A A =，E 为n 阶单位矩阵，证明：()()n E A R A R =−+。

2、（本题10分）设r ααα,,,21⋯)2(≥r 是数域P 上的线性空间V 中线性无关的向量组，任取P k k k r ∈−121,,⋯，求证：,111r k ααβ+=,222r k ααβ+=,⋯r r r r r r k αβααβ=+=−−−,111线性无关。

3、（本题8分）试证明：n 阶矩阵⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=1112⋯⋮⋯⋮⋮⋮⋯⋯b b b b b b b b b a A 的最大特征值为])1(1[2b n a −+，其中10<<b 。

4、（本题8分）试证明：x xx a a a a x a x a x a x a n n n n n n n −−−+=++++−−−−1000010000011221111⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯。

5、（本题10分）设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为A *，证明：(1)若|A |=0，则|A *|=0(2)|A *|=|A |n -16、（本题16分）证明：（1）若方阵X 满足X 2–X –2E =0，则X ，X +2E 都可逆，并求X –1，(X +2E )–1。

（2）若A 、B 为同阶可逆矩阵，则(AB )*=B *A *。

7、（本题8分）证明：若n 次多项式f (x )=c 0+c 1x +…+c n x n 对于n +1个不同的x 值都等于0，则f (x )=0。

8、（本题16分）（1）设A 和B 为n 阶方阵，试证：⇔=)()(B R AB R 方程组0=x AB 与0=x B 有完全相同的解。

（2）设线性方程组(I)⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++n n nn n n n n b x a x a x a b x a x a x a ⋯⋯⋯⋯221111212111和(II)⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++n n nn n n n n c x A x A x A c x A x A x A ⋯⋯⋯⋯221111212111，其中ij A 为ij a 在行列式||||ij a A =中的代数余子式，i i c b ,不全为零，试证：方程组(I)有唯一解的充要条件是方程组(II)有唯一解。

线代证明题

证明题1．设方阵A 满足220A A E --=,证明A 及2A E +都可逆,并求1A -及1(2)A E -+. 证明：由22A A E O --=()2A A E E ⇒-=11()2A E A -⇒=-又由22A A E O --=(2)3(2)4A E A A E E ⇒+-+=-(2)(3)4A E A E E ⇒+-=-11(2)(3)4A E E A -∴+=-2、设A 为方阵，若存在某个正整数2k ≥使0kA =，证E - A 可逆且并写出其逆矩阵的表达式(E 为n 阶单位阵). (可逆阵为21k E A A A -++++)证明：21()(...)k k E A E A A A E A --++++=-210()(...)k k A E A E A A A E -=∴-++++=故E-A 可逆，其逆矩阵为21...k E A A A -++++3、设,A B 为n 阶方阵,试证明:A B A B A B BA=+-. 证明：0A B A B B A A B A B A B BABABA B+++===+--4、设,A B 为n 阶方阵,试证明:A B B A ⎛⎫⎪⎝⎭可逆的充要条件是()(),A B A B +-都可逆.证明：0A B A B B A A B A B A B BABABA B+++===+--,A B B A ⎛⎫⎪⎝⎭可逆<=>其行列式不等于0<=>()(),A B A B +-的行列式也不等于0<=>()(),A B A B +-也都可逆。

5.设A 为可逆方阵,试证明: A 的伴随矩阵也可逆且()()1**1A A--=.证明：矩阵A 可逆0A ⇔≠,且**A AA A E A E A=⇒⋅=,故A 的伴随矩阵也可逆，且()1*A A A-=. 又由矩阵A 可逆⇔1A -也可逆且11AA-=，而()()**11111AA AA E A A A A-----⋅=⇔==⋅,则()()1**1A A --=。

线性代数证明题

1 2 (M+N)n = Mn + Cn Mn1N + C n Mn2N2 + … + Nn.
① 当n = 1时, (M+N)1 = M1+N1成立.
1 2 (M+N)k = Mk + C k Mk1N + C kMk2N2 + … + Nk, ②若
则(M+N)k+1 = (M+N)k(M+N) 1 2 = (Mk + Ck Mk1N + C k Mk2N2 + … + Nk)(M+N)
《线性代数》证明题
张小向
东南大学数学系 E-mail:z990303@
版本:2007.12.10
一. 为什么要练习解决证明题
培养严谨的逻辑思维能力。为什么要培养严谨的逻辑思维能力？竞争。为什么要竞争？生存。为什么要生存？本能。
即 k1 0 … 0 亦即 k1 k2
+
0 k2 0 =
+…+
0 0 kn …
=
0 0 … 0
,
…
0 0 … 0
, 可见k1=k2=…=kn=0.
kn
这就是说不存在不全为零的数k1, k2, …, kn使k1e1+k2e2+…+knen = . 所以e1, e2, …, en线性无关.

…
例1. 设e1 =
1 0 …
, e2 =
0 1
, …, en =
0 0 …
,
0 1 0 证明: (1) e1, e2, …, en线性无关. (2) 任何一个n维向量都能由 e1, e2, …, en线性表示. 不存在不全为零的数 k1, k2, …, kn 使 k1e1+k2e2+…+knen = .

《线性代数》经典证明题

CT
=
1 2
(A
AT)T
=
1 (AT A) = C, 2
而且A = B + C,
其中B是对称矩阵, C是反对称矩阵.
例11. 证明奇数阶反对称矩阵的行列式等于零. 证明: 设A为n阶反对称矩阵(n为奇数),
则AT = A, 于是|A| = |AT| = |A| = (1)n|A| = |A|, 移项得2|A| = 0, 故|A| = 0.
不存在不全为零的数
k1, k2, …, kn 使
k1e1+k2e2+…+knen = .
证明: (1) 若k1e1+k2e2+…+knen = ,
k1 0
00
即 0 + k2 +…+ 0 = 0 ,
…
…
… …
… …
00
kn 0
k1 0 亦即 k2 = 0 , 可见k1=k2=…=kn=0.
kn 0 这就是说不存在不全为零的数k1, k2,
因而AD = 2BC 0, 故由AD = 2BC可知AD与BC平行而且同方向.
会不会出现 .
.
..
AB
CD
故由AD = 2BC可知AD与BC平行而且同方向.
假若AB与CD共线,
则存在不全为零的数k1, k2使得k1AB + k2CD = , 即k1( +2) + k2(5 3) = , 整理得 (k15k2) + (2k13k2) = . 又因为, 个不共线, 所以k15k2 = 2k13k2 = 0.
注: 还可以证明: “若A, B, AB都是n阶对称矩阵, 则AB = BA”. 事实上, AB = (AB)T = BTAT = BA.

线性代数证明题

9. 设n阶矩阵A的各行元素之和都等于零, 且R(A)=n-1,
求齐次线性方程组Ax=0的通解. 解记A=(aij)n , 由已知ai1+ai2+…+ain=0, 所以 =(1, 1, …,1)T是方程组的一个解.
又由于R(A)=n-1, 所以方程组的基础解系只含1个解, 故齐次线性方程组的通解为: x=c , c是任意常数 10. 设A是mn矩阵, B是ns矩阵, 且AB=0, 证明B的各列
a1i Aki , a2i Aki ,..., ani Aki , i 1 i 1 i 1 =(0, 0,…, 0)T=0
n n n
T
即, (Ak1,Ak2,…,Akn)T是Ax=0的一个非零解.
所以, (Ak1,Ak2,…,Akn)T是Ax=0的一个基础解系.
1
0 1 1 0 1 1 0 1 1 C 1 2 1 1 1 2 1 3 2 1 3 1 1 0 1 2 4 4
(2) 由于
0 1 1 2 r r 1 1 2 5 1 2 β1 , β 2 , β3 , α 1 1 2 5 r r 0 1 1 2 3 r 2 1 1 0 1 3 0 0 2 4 1 0 0 1 0 1 0 0 r2 r3 r1 r2 2 r3 0 0 1 2
所以, 21-(2+3)=(2,3,4,5)T是导出组Ax=0的基础解系.
所以, 此方程组的通解为:
1 2 2 3 x c 3 4 4 5 , c R
8. 已知4阶矩阵A=(1, 2, 3 , 4), 1, 2, 3 , 4均为4维列向量, 其中2, 3 , 4线性无关, 1=22-3 , 如果=1+2+ 3+4, 求线性方程组Ax=的通解.

线性代数证明题

1、试题序号：3212、题型：证明题3、难度级别：34、知识点：第二章矩阵及其运算5、分值：86、所需时间：8分钟7、试题关键字：矩阵秩的性质 8、试题内容：设A 为一个n 阶方阵，E 为同阶单位矩阵且2A E =，证明：()()R A E R A E n ++-=. 9、答案内容：证明:2220()()0,()()()().().()().A E A E A E A E R A E R A E R A E R E A n R A E R E A R A E E A n R A E R A E n =⇒-=⇒+-=++-=++-≤≥++-=∴++-=由矩阵秩的性质则有同时,有(+)+(-)10、评分细则：由题设推出()()0A E A E +-=得2分;由矩阵秩的性质推出()()R A E R A E n ++-≤得2分;推出()()R A E R A E n ++-≥得2分;因而推出()()R A E R A E n ++-=得2分.----------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：322 2、题型：证明题 3、难度级别：34、知识点：第五章相似矩阵及二次型5、分值：86、所需时间：6分钟7、试题关键字：正交矩阵的特征值 8、试题内容：设A 为一个n 阶正交矩阵，且1A =-.证明：1λ=-是A 的特征值. 9、答案内容：证明：,.1,(1)()()0(1)0.1.T T T T TTTT A A A E A A E A E A A A E A A E A A E A E AE A E A A E A E A λ∴==-∴--=+=+=+=+=-+=-+=-+=-+∴+=⇒--=∴=-是正交矩阵又是的特征值10、评分细则：推出()1T A E A AA --=+(2分)T E A =-+(2分)E A =-+(2分) 推出()10A E --=并说明1λ=-是A 的特征值(2分).---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：323 2、题型：证明题 3、难度级别：44、知识点：第五章相似矩阵及二次型5、分值：86、所需时间：10分钟7、试题关键字：二次型的正定性 8、试题内容：已知,A B 均为n 阶正定矩阵，试证明：分块矩阵00A B ⎛⎫⎪⎝⎭也为正定矩阵. 9、答案内容：()12112212,00.000000000.00TT T T T A B A B A A B B A B X A A f X X X B B X X X f AX BX A B ∴⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫∴ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫∀≠⇒ ⎪⎝⎭>∴⎛⎫⎪⎝⎭T T 12TT 12证明是正定矩阵，，是对称矩阵.A00B 是对称矩阵.令=,此为所确定的二次型.0,X 中至少有一个不为0,则有=X +X 此二次型为正定二次型，则为正定矩阵.10、评分细则：由题设中条件推出00A B ⎛⎫⎪⎝⎭是对称矩阵(2分);令()112200TT X A f X X X B ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2分);由()120TT X X ≠推出12,X X 中至少有一个不为零(2分).则有11220T T f X AX X BX =+>,推出f 1122T TX AX X BX =+为正定二次型(2分).因而有00A B ⎛⎫⎪⎝⎭为正定矩阵(2分).----------------------------------------------------------------------------1、试题序号：3242、题型：证明题3、难度级别：34、知识点：第五章相似矩阵及二次型5、分值：86、所需时间：8分钟7、试题关键字：二次型的正定性 8、试题内容：设,A B 均为n 阶正定矩阵，试证明：A B +也为正定矩阵. 9、答案内容：证明：,.()().0,.,,.0.()T T T T T T TTT T T T T A B A A B B A B A B A B A B f x A B x x f x Ax x Bx A B x Ax x Bx f x Ax x Bx f x A B x ∴+=+=+⇒+=+∀≠=+∴=+>∴=+都是正定矩阵,=,=为对称矩阵.令则有是正定矩阵是正定二次型则有为正定二次型.则A+B 也为正定矩阵.10、评分细则：由题设中条件推出A B +为对称矩阵(2分);令()Tf x A B x =+(2分);00T T x f x Ax x Bx ∀≠⇒=+>(2分);推出()Tf x A B x =+为正定二次型(2分);因而有A B +为正定矩阵(2分).---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：325 2、题型：证明题 3、难度级别：24、知识点：第四章向量组的线性相关性5、分值：86、所需时间：8分钟7、试题关键字：向量组的线性关系 8、试题内容：若向量β可由向量组12,,,r ααα线性表示，但β不能由121,,,r ααα-线性表示，试证：r α可由121,,,,r αααβ-线性表示.9、答案内容：证明：2.0,.1.,.r r r r r r r r r βααααααββαααβαααααααβααααβ----∴==∴≠⇒=----∴１２１２r １１２２r １１２２r-１１１２１１２r-１r １１r rr r１２１可以由，，线性表示，存在一组数Ｋ，Ｋ，Ｋ,使得Ｋ＋Ｋ＋＋Ｋ＝若Ｋ则Ｋ＋Ｋ＋＋Ｋ这与不能由，，线性表示矛盾.ＫＫＫＫ０ＫＫＫＫ可由，，线性表示10、评分细则：由题设中条件令1122r r k k k αααβ+++=(2分);假设0r k =推出β不能由121,,,r ααα-线性表示矛盾(2分);0r r k α∴≠⇒可以由121,,,r ααα-,β线性表示(4分).---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：326 2、题型：证明题 3、难度级别：44、知识点：第四章向量组的线性相关性5、分值：86、所需时间：10分钟7、试题关键字：向量的线性关系与矩阵的秩 8、试题内容：如果向量组12,,,s ααα线性无关，试证：向量组11212,,,s αααααα++++线性无关.9、答案内容：证明：()()()()()(),..111011.01111011.001B R R A S αααααααααααααααααααααααα=++++∴==⎛⎫ ⎪⎪++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭12S 11212S 12S 12S 11212S 12S 令A= ,,线性无关，令C=则有B=AC ，显然C 可逆.10、评分细则：令()12s A ααα=,()11212s B αααααα=+++(1分);由题设条件推出()R A s =(1分);令1111011001C ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭推出B AC =(2分);推出()()1A BC RB R A s -=⇒≥=(2分)又()()1121,,s R B s R B s ααααα≤⇒=⇒++线性无关(2分).----------------------------------------------------------------------------1、试题序号：3272、题型：证明题3、难度级别：34、知识点：第二章矩阵及其运算5、分值：86、所需时间：8分钟7、试题关键字：奇异矩阵8、试题内容：已知矩阵22,A E B E ==，且0A B +=证明：A B +为奇异矩阵. 9、答案内容：证明：22221, 1.01, 1.().()..0,A E A B E B A B A B A A B A B AB B A A A B B B A A A B B A B A B A B =⇒=±=⇒=±+=⇒=±=+=+=+∴+=+∴+=+∴-+=+又若则而则为奇异矩阵.10、评分细则：由题设中条件推出1,1A B =±=(1分);推出()A A B B B A +=+(3分);推出A A B B B A +=+(2分);推出0A B A B +=⇒+为奇异矩阵(2分).---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：328 2、题型：证明题 3、难度级别：24、知识点：第四章向量组的线性相关性5、分值：86、所需时间：6分钟7、试题关键字：向量组的线性关系与矩阵的秩 8、试题内容：设n 维基本单位向量组12,,,n εεε可由n 维向量组12,,,n ααα线性表示，证明：12,,,n ααα线性无关.9、答案内容：证明：()()()()()()121,.,,,,..,,,n aB AB R R n R A n R A n αααεεεεεεαααααα=∴=⇒≥=≤∴=⇒12n n n 2n 12n n 12n 令A=且E ,,可以由线性表示.存在一个n 阶方阵使得E A E 同时线性无关.10、评分细则：令()()1212,n n A E αααεεε==(2分);由题设条件推出存在一个n 阶矩阵B (2分);使得()AB E R A n =⇒=(4分).---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：329 2、题型：证明题 3、难度级别：44、知识点：第四章向量组的线性相关性5、分值：86、所需时间：10分钟7、试题关键字：向量组的线性关系与矩阵的秩 8、试题内容：设12,,,m ααα线性无关，1β可由12,,,m ααα线性表示，2β不可由12,,,m ααα线性表示，证明：1212,,,,m αααλββ+线性无关（其中λ为常数）.9、答案内容：证明:11122m m k k k βααα=++，()()1212122m m αααλββαααβ∴+.假设()122MR m αααβ≤,则有122,,,,m αααβ线性相关,因而与2β不能由12,,,m ααα线性表示矛盾.()122m R m αααβ∴>,()12121m R m αααλββ∴+=+1212,,,,m αααλββ∴+线性无关.10、评分细则：由题设中条件推出()()1212122m m αααλββαααβ+(2分);假设()122m R m αααβ≤由题设推出2β能由12,,m ααα线性表示,与题设矛盾(2分);()122m R m αααβ∴>推出()12121m R m αααλββ+=+(3分);推出1212,,,m αααλββ+线性无关(1分).---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：330 2、题型：证明题 3、难度级别：24、知识点：第四章向量组的线性相关性5、分值：86、所需时间：6分钟7、试题关键字：向量组与矩阵的秩 8、试题内容：设A 为n m ⨯矩阵，B 为m n ⨯矩阵，n m <,若AB E =，证明B 的列向量组线性无关. 9、答案内容：证明:A 为n m ⨯矩阵,B 为m n ⨯矩阵,且AB E =,E 为单位矩阵.由矩阵秩的性质,则有()()R B R E n ≥=.又(),.n m R B n <∴≤()R B n ∴=B ∴ 的列向量组线性无关.10、评分细则：由题设推出()()R B R E n ≥=(2分);又有题设中()n m R B n <⇒≤(2分);()R B n ∴=(2分);所以B 的列向量组线性无关(2分). ----------------------------------------------------------------------------1、试题序号：3312、题型：证明题3、难度级别：44、知识点：第四章向量组的线性相关性5、分值：86、所需时间：10分钟7、试题关键字：向量组的线性关系与矩阵的秩 8、试题内容：设121,,,n ααα-为1n -个线性无关的n 维列向量，12,ηη与121,,,n ααα-均正交，证明：12,ηη线性相关.9、答案内容：证明:12,ηη分别与121,,,n ααα-均正交,()1121200T n T ηαααη-⎛⎫⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令()121n A ααα-=,12T T B ηη⎛⎫= ⎪⎝⎭,()()011BA R A n R B =⇒=-⇒≤12,ηη∴线性相关.10、评分细则：令()()12112,Tn A B αααηη-==(1分);由题设中条件推得()()0BA R A R B n =⇒+≤(2分);()()11R A n R B ∴=-⇒≤(1分);若()1200,0R B ηη=⇒==(1分);12,ηη∴线性相关(1分);若()()12112R B R ηη=⇒=<(1分),所以12,ηη线性相关(1分).---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：332 2、题型：证明题 3、难度级别：24、知识点：第五章相似矩阵及二次型5、分值：86、所需时间：6分钟7、试题关键字：正交向量组8、试题内容：已知n 阶实矩阵A 为正交矩阵，12,,,n ααα为n 维正交单位向量组，证明：12,,,n A A A ααα也是n 维正交单位向量组.9、答案内容：证明:A 是阶正交矩阵,则有12,,,n ααα是维正交向量组()()0,0,0T i i j TT T T i j i j i i jA A A A ααααααααα∴≠=≠===12,,n A A A ααα∴是正交向量组.10、评分细则：由题设中条件推出0,0,T i i j i j ααα≠=≠(2分);()()0jT T T T Ti j i j i j i A A A A E αααααααα====(2分);0i α≠且A 可逆,推得0i A α≠(2分);推得12,,,n A A A ααα是正交向量组(2分).---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：333 2、题型：证明题 3、难度级别：44、知识点：第四章向量组的线性相关性5、分值：86、所需时间：10分钟7、试题关键字：向量组的秩与方程组的解 8、试题内容：设12,,,s ααα是0Ax =的一个基础解系，β不是0Ax =的解，证明：12,,,,s ββαβαβα+++线性无关.9、答案内容：证明:假设()121s R s βααα<+.这与β不是0Ax =的解矛盾()121s R s βααα∴=+ ()11s R s ββαβα++=+即1,,s ββαβα++线性无关.10、评分细则：由题设推出()()11s s R R ββαβαβαα++=(2分);假设()11s R s βαα<+,由题设中条件推出β可以由12,,,s ααα线性表示,与β不是0Ax =的解矛盾(2分);()11s R s ββαβα∴++=+(2分);1,,,s ββαβα∴++线性无关(2分).---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：334 2、题型：证明题 3、难度级别：24、知识点：第四章向量组的线性相关性5、分值：86、所需时间：8分钟7、试题关键字：矩阵的秩与方程组的解 8、试题内容：设A 为n 阶矩阵，若0Ax =只有零解，证明：方程组0kA x =也只有零解，其中k 为正整数.9、答案内容：证明:0Ax =只有零解⇒()R A n =A 为n 阶矩阵,A ∴可逆0.A ⇔≠则kkA A =0≠ 即kA 为可逆矩阵()0k k R A n A x ∴=⇒=只有零解.10、评分细则：由题设推出()R A n A =⇒可逆(3分);推出0kkA A =≠(2分);推得()0k k R A n A x =⇒=只有零解(3分).---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：335 2、题型：证明题 3、难度级别：44、知识点：第四章向量组的线性相关性5、分值：86、所需时间：10分钟7、试题关键字：向量组的秩,矩阵的秩及方程组的解8、试题内容：设A 是m n ⨯矩阵，D 是m n ⨯矩阵，B 为m m ⨯矩阵，求证：若B 可逆且BA 的行向量的转置都是0Dx =的解，则A 的每个行向量的转置也都是该方程组的解. 9、答案内容：证明：设A 的行向量组为12,,,m ααα（I ）设B 的行向量组为12,,,m βββ（II ）则向量组（I ）与（II ）均为n 维向量组,BA C B =可逆1A B C -⇒=令1112121222112m m m m mm k k k k k k B k k k -⎛⎫⎪ ⎪=⎪⎪⎝⎭，则有1111211221222212m m m m m mm m k k k k k k k k k αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴向量组（I ）可以由（II ）线性表示向量组（II ）是0Dx =的解 ∴向量组（I ）也是0Dx =的解 10、评分细则：令A 的行向量组12,,,m ααα(I),C 的行向量组为12,,,m βββ(II)(1分);1BA C A B C -=⇒=(2分);推得1111211221222212m m m m m mm m k k k k k k k k k αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,11121212221122m m m m m k k k k k k B k k k -⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(2分)所以(I)可以由(II)线性表示(2分);由(II)是0Dx =的解推出(I)也是0Dx =的解(1分).---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：336 2、题型：证明题3、难度级别：24、知识点：第四章向量组的线性相关性5、分值：86、所需时间：6分钟7、试题关键字：向量组的线性关系与方程组的基础解系 8、试题内容：设非齐次线性方程组Ax b =的系数矩阵的秩为r ，12,,,n r ηηη-是其导出组的一个基础解系，η是Ax b =的一个解，证明：12,,,,n r ηηηη-线性无关.9、答案内容：证明：假设12,,,,n r ηηηη-线性相关，12,,,n r ηηη-是0Ax =的基础解系， 12,,,n r ηηη-∴是线性无关的.由以上可得η可以由12,,,n r ηηη-线性表示.则η是0Ax =的解,与η是Ax b =的解矛盾.∴假设不成立,即,η12,,,n r ηηη-线性无关.10、评分细则：假设12,,,n r ηηηη-线性相关,由题设推得η可以由121,,r ηηη-线性表示(3分);所以η是0Ax =的解与η是Ax b =的解矛盾(3分);所以12,,,n r ηηηη-线性无关(2分).---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：337 2、题型：证明题 3、难度级别：34、知识点：第五章相似矩阵及二次型5、分值：86、所需时间：8分钟7、试题关键字：正定矩阵的逆矩阵与伴随矩阵 8、试题内容：设*A 为A 的伴随矩阵，若A 为正定的，试证*A 及1A -均为正定的. 9、答案内容：证明：∵A 为正定矩阵，∴A 的特征值全为正数。

线性代数证明题

α1 α 0 , α 2 α 0 ,L , α n r α 0 是 AX = O 的基础解系的基础解系.
课堂练习：课堂练习： 2.已知 β 1 , β 2 是非齐次线性方程组 AX = B 的两已知 α 个不同解，的基础解系，个不同解， 1 , α 2 是导出组 AX = O 的基础解系，证明 AX = B的通解为 β1 + β 2 k1α1 + k2 (α1 α 2 ) + 2 ( k1 , k2 为任意常数为任意常数)
b11 又 (γ 1 ,L , γ s ) = (α1 ,L , αn ) b21 L bn1 γ 1 = b11α 1 + b21α 2 + L + bn1α n γ 2 = b12α 1 + b22α 2 + L + bn 2α n ∴ LLLLLLLLL γ s = b1 sα 1 + b2 sα 2 + L + bnsα n L b1 s b22 L b2 s L L L bn 2 L bns b12
即γ 1 ,L, γ s
可由α1 ,L , α n表出
∴ γ 1 ,L , γ s的极大无关组
可由 α 1 ,L , α n的极大无关组表出
由定理3.8和定理由定理和定理3.11得和定理得
∴ r ( AB ) ≤ r ( A)
证毕！证毕！
r ( AB ) ≤ m in { r ( A ), r ( B )}
Q li ≠ 0
∴ ki = 0 ∴ k1 = L = km = 0
即 α 1， , α i-1 , β , α i + 1,L , α m L 线性无关
1. 设 α1 , α2 L, αm 线性无关，线性无关，

线性代数证明题答案

17、（本题 8 分）证：将 n 阶单位矩阵第 i 行与第 j 行交换后所得矩阵记为 Eij ，则 Ei−j 1 = Eij ，于是 B = Eij A ,
因为 B = EIJ A ≠ 0 ，所以 B 可逆。
( ) AB −1 = A Eij A −1 = AA−1Ei−j 1 = Eij 。
⎟ ⎟
，
ann ⎟⎠
⎛1⎞ ⎛ a ⎞ ⎛1⎞
因
A
⎜⎜1⎟⎟ ⎜⋮⎟
=
⎜ ⎜ ⎜
a ⋮
⎟ ⎟ ⎟
=
a
⎜⎜1⎟⎟ ⎜⋮⎟
，
⎜⎜⎝1⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎝
a
⎟⎟ ⎠
⎜⎜⎝1⎟⎟⎠
⎛1⎞
对应于
λ
=
a
的特征向量为
⎜⎜1⎟⎟ ⎜⋮⎟
。
⎜⎜⎝1⎟⎟⎠
故 λ = a 是 A 的一个特征值。
14、（本题 8 分）证：由 A 是正交矩阵,知 A 2 = 1 , A−1 = AT ，
( ) l1α1 + l2α 2 , l1α1 + l2α 2 = 0 ⇒ l1α1 + l2α 2 2 = 0 ⇒ l1α1 + l2α 2 = o
因为 α1,α 2 线性无关，所以有 l1 = 0, l2 = 0 ，同理可得 l3 = 0, l4 = 0 ，故 α1，α 2，α 3，α 4 线性无关。
而 l1β1 + l2 β 2 + ⋯ + lr−1β r−1 + lr β r = l1 (α1 + k1α r ) + l2 (α 2 + k2α r ) + ⋯ + lr−1 (α r−1 + kr−1α r ) + lrα r = l1α1 + l2α 2 + ⋯ + lr−1α r−1 + (l1k1 + l2 k2 + ⋯ + lr−1kr−1 + lr )α r ，

完整word版,《线性代数》中的证明题集

1．利用行列式展开定理证明：当时，有L 0 01L 001L 0n1n1D n．MMM O MM00L000 L 1证：将行列式按第一行展开，得D n()D n 1 D n 2 ，则D nD n 1( D n 1D n2)2(D n2D n 3)n2n22nL n 2(D 2D 1)n 2[()2()]所以 D nD n 1n（1）由D n 关于与对称，得D nD n 1n（2）n1n1由（ 1）与（2）解得 D n证：构造 5 阶行列式2．已知 1326、2743、5005、3874 都能被 13，不计算行列式的值，证明1 32 6 2 7 43 5 0 0 5 3 8 7 41 32 61 32 13262 7 4 32 7 4 2743 证：5 0 0 5 c41000c 1 5 0 0 5005 c4 100c 23 8 74 c410c 33 8 7 3874所以原行列式能被 13 整除．3．证明 : 111a 2 a 4abc22 bc 44 bc 1 dd 2 d 4(a b)(a c)(a d)(b c)(b d)(c d)(a b c d) ．由已知，得后行列式的第 4 列具有公因子 131111 abcd则 D 5 (b a)( c a )( d 比较( 1) D5 a 2 b 2 c 2 d 23333abcd 4444abcda)(c b)( db)(d c)(x a)(x b)(x c)(x d) ．1 1 111 1 1 1 a b c d4abc d2 2 2 2 x 4 (2222a b 2 c d 2a b 2 c d 2 3 3 3 34 4 4 4a b 3 c d 3a b 4 c d 4 将 D 5 按第 5 列展开，得与( 2)右边知结论成立． D 5 )x 33 x 3的系数，1)2)4．证明：当 (a 1)2 4b 时，齐次线性方程组证：方程组的系数行列式11 1a12 11D11 3111a a b当 D 0 ，即 (a 1)2 4b 时，方程组有非零解． 2(a 1)2 4b ，5．若 A 为 n 阶对称矩阵， P 为 n 阶矩阵，证明 P T AP 为对称矩阵． A T A 证：因为 (P T AP)T P T A T (P T )T P T AP ，所以 P T AP 为对称矩阵． x 1 x 2x 3ax 4 0,x 1 2x 2x 3 x 4 0,有非零x 1 x 2 3x 3x 40, x 1 x 2a x 3 (a b)x 46．设 A,B,C 都是 n 阶矩阵，证明： ABC 可逆的充分必要条件是 A,B,C 都可逆．证： ABC 可逆 ABC 0 A B C 0 A 0, B 0,C 0 A,B,C 都可逆．(A 2E) A 2EE ，21A E 所以 A 2E 可逆，且 A 2E A E．22 E 及(E A)(E A A 2) E ，所以 E A 及E A 都是可逆矩阵．9．（1）设P 1AP B ，证明B k P 1A k P ．1 0 01 00（2）设AP PB ，且 P2 1 0 , B0 00 ，求 A 与A20112 1 10 01证：1）k 1 kB k ( P 1AP )kP 11A(PP 1) A(PP1)L ( PP 1 1k)AP P 1A kP ．2）由 AP PB ，得 APBP 1，且 A 20 11PB 2011P 1 ．又1 0 01 0 0P 121 0 , B 20110 0 0 B，41 10 011 0 0所以 A 20 0 2011,APBP1A ．6 1 110．（ 1）设AO C B O，且 m 阶矩阵 B 和n 阶矩阵 C 均可逆，试证明 A 1 OCB 1 Oa 10 L0 0 a 2L（ 2）设矩阵AM M MM，其中a 1, a 2 ,L ,a n 为非零常数，求A 1．0 0 0 L a n 1a n 0 0 L证：由 A 2 3A O ，得 (A 2E)(A E) 2E ，即7．设 n 阶方阵 A 满足 A 2 3AO ，证明 A 2E 可逆，并求A 2E8．设 A 为 n 阶矩阵，且 A 3 O ，证明 EA 及 E A 都是可逆矩阵．证：22由 A 2 O ，得 (E A)( E A A 2 )12．证明：（ 1）设 A,B 为矩阵，则 AB BA 有意义的充分必要条件是 A, B 为同阶矩阵．（2）对任意 n 阶矩阵 A, B ，都有 AB BA E ，其中 E 为单位矩阵．证：（ 1）设A 为 m n 矩阵，B 为 s t 矩阵，则证：O1）因为COB 1C 11BB1OCC 1E ，所以 A 可逆，且2）将矩阵进行如下分块：a n则A 1 ．又 B 1A 1A 1a 1a 2Mdiag (a 1 1,a 2 ,L C 1a n 1L,a n 1),C(a n 1) 所以1a 11 01a 21 1a n 111．设 A 为 n 阶矩阵，满足 A 25A 6E证明：R(A 2E)R(A 3E) n ．证：由 A 2 5A 6E O ，得 (A 2E)(A3E) O ，所以所以 R（AR(A 2E)R(A 3E) n .R(A 2E)2E) R(AR(A 3E)3E) R( A 2E) R(A 3E) R(E) n ，n .n s,t m,m n s t ，m s,t n.A A T A A T其中为对称矩阵，为反对称矩阵．2与偶函数之和)14．已知 n 阶矩阵 A,B 满足 AB A B ，试证 A E 可逆，并求 (A E) 证：由 AB A B ，得(A E)(B E) E ，所以 A E 可逆，且 (A E) 1 B E ．1115．设 A 为元素全为 1的 n(n 1)阶方阵，证明： E A 1E A ． n11 n 12 2 证： E A (E A) E A A 2 ．又 A 2 nA ，故 n 1 n 1 n 11 E A (E A) E ， n111 所以 E A 1 E 1A ．AB BA 有意义即 A,B 为同阶矩阵．2)设 A (a ij )n n ,B(b ij )n n ，则 AB BA 的主对角线上元素之和为nnnna ikb kib st a ts1k1 s1t1n n n na ikb kia tsb st0 ，i 1 k 1 t 1 s1而 E 的主对角线上元素之和为 n ，所以 AB BA E ．证设 A 为任意 n 阶矩阵，则A A AT2 A A T ，2你是否能联系到函数可以表示为奇函数n113．证明：任意 n 阶矩阵都可表示为一个对称矩阵与一个反对称矩阵的和．16．设 n 阶矩阵 A 与 B 等价，且 A 0，证明 B 0．证： A 与B 等价，则存在 n 阶可逆矩阵 P 与Q ，使得 B PAQ ，有B PAQ P A Q 0 ．：此结论告诉我们初等变换不改变矩阵的可逆性．17．设 A 为 n 阶方阵，且 A 2 A ，证明RARA E n ．证：因为 A(A E)2 A 2A O ，所以 R AR A E n ．又RA R A E RARA E R(E) n ，所以 R A R A En ．18．设 A 是 n m 矩阵， B 是 m n 矩阵，其中 nm．若 AB E ，其中 E 为 n 阶单位矩阵．证明方程组 BX O 只有零解．证：由 AB E ，得 R(AB) n ．又 n R(B) R(AB) n ，得 R(B) n ，所以方程组BX O 只有零解．19．（ 1）设 R n ，证明：线性相关当且仅当0．（2）设 1, 2 R n，证明：1,2线性相关当且仅当它们对应的分量成比例．证：（１）线性相关 k0,k0 0 ．（2）1, 2 线性相关 k 1 1k 2 2 0 ，其中 k 1,k 2 不全为零．不妨设 k 1 0，则所以1, 2, 3 , 4必线性相关．2 对应的分量成比例．2线性相关20．任取23R n，又记 1121，证明 4必线性相关．证：显然134 2 4，即1( 1) 2 3( 1) 4 0，21．设1, 2,L , s R n为一组非零向量，按所给的顺序，每一i(i 1,2,L ,s) 都不能由它前面的i 1个向量线性表示，证明向量组1, 2,L , s 线性无关．证：用数学归纳法证明．s 1时，10，则1线性无关．设s m时成立，即1, 2,L , m 线性无关．当s m 1时，若1, 2,L , m, m 1线性相关，则m1可由1, 2,L , m线性表示，矛盾，所以向量组1, 2,L , s 线性无关．22．设非零向量可由向量组1, 2,L , s 线性表示，证明：表示法唯一当且仅当向量组1 ,2 , L , s 线性无关．证：可由向量组1, 2 ,L , s 线性表示R(1,2,L , s) R( 1, 2 ,L, s| ) ．则表示法唯一x1 1 x2 2 L x s s有唯一解R(1 ,2 ,L , s ) R( 1,2 ,L , s |)sR(1, 2,L , s ) s 1 , 2,L ,s 线性无关．23．设1, 2 ,L,n R ，证明：向量组1 , 2 ,L ,n 线性无关当且仅当任一n 维向量均可由1, 2,L , n 线性表示．证：必要性：1, 2,L , n线性无关，任取R n，则1, 2,L , n, 线性相关，所以可由1, 2,L , n 线性表示．充分性：任一n维向量均可由1, 2,L , n线性表示，则单位坐标向量e1,e2,L ,e n 可由1, 2 ,L , n线性表示，有n R(e1,e2,L ,e n) R( 1, 2,L , n) n ，所以R( 1, 2,L , n ) n ，即1, 2,L , n线性无关．24. 设A：1,L , s和B：1,L , t为两个同维向量组，秩分别为r1和r2 ；向量组C AUB的秩为r3 ．证明：max r1,r2 r3 r1 r2．证：先证max r1,r2 r3．显然A组与B组分别可由C组线性表示，则r1 r3 ，且r2 r3，所以max r1,r2 r3 ．次证r3 r1 r2．设i1,L , ir1为A组的一个极大无关组，i1,L , ir2为B组的一个极大无关组，则C 组可由i1,L , ir1, i1,L , ir2线性表示，有r3 R( i1,L , ir1, i1,L , ir2) r1 r2 ．25．设B为n阶可逆阵，A与C均为m n矩阵，且AB C．试证明R(A) R(C)．证：由AB C ，知C 的列向量组可由A 的列向量组线性表示，则R(C) R(A)．1因为B 可逆，则A CB 1，知A的列向量组可由C 的列向量组线性表示，则R(A) R(C) ．所以R(A) R(C) ．26．设A为m n矩阵，证明：A O当且仅当R(A) 0．证：必要性显然，下证充分性：R(A) 0 A O ．设为A的任一列向量，则R( ) R(A) 0，所以R( ) 0 0 ．由的任意性知A O ．T T T 327．设 1 ( 2,1,3)T , 2 ( 1,0,1)T , 3 ( 2, 5, 1)T．证明向量组1, 2, 3是R3的一组基，并求向量(2,6,3)T在这组基下的坐标．26 MM 257281 MMM 001 010 1003 7 1得1, 2, 3是R3的一组基，且在这组基下的坐标为（ , 8, ）．2228．设1, 2 , , m是齐次线性方程组AX 0 的基础解系，求证 1 2, 2,L , m 也是AX 0 的基础解系．证：显然 1 2, 2,L , m 是AX 0 的解，只需证明它们线性无关．1 0 L 01 1 L 0(12, 2,L , m) ( 1, 2,L , m) ( 1, 2,L , m)K m m．M M M0 0 L 1由K 1 0，得R( 1 2, 2,L , m) R( 1, 2,L , m) m ，所以 1 2, 2,L , m 线性无关．29．设A是n阶方阵．证明：存在一个n阶非零矩阵B，使AB O 的充要条件是Α 0．证：存在B O ，使得AB O AX 0 有非零解30．设A是n阶方阵，B为n s矩阵，且R（B） n．证明：（1）若ABO，则A O ；（2）若AB B，则A E n．证：（1）AB O ，则R(A) R(B)n ．又R( B)nR(A)0 A O（2）AB B (A E)B O ．由（１）得A E O A E ．31．设1,2,, s为n维非零向量，A为n阶方阵，若A 1 2, A 2 3, ,A s 1s，A s 0 ，试证明1,2,, s 线性无关．证：设x11x2 2 L x s 1 s 1 x s s 0 ．该式两边左乘以A，得x1 2 x2 3 L x s 1 s 0依此类推，得x1 s 0．由s 0，得x1 0．同理可证x20,L , x s 0．所以12 s 线性无关．12r可由 1, 2,r线性表示，所以B 组可由 A 组线性表示 .故 A 组与 B 组等32．设 A 11,A 212, A 323，其中 A 为 3 阶方阵，1, 2, 3为 3 维向量，且 1 0 ，证明1, 2 , 3 线性无关．证：设 x 1 1 x 2 2 x 3 30．（1）（ 1）式两边左乘以 A ，得(x 1x 2 ) 1(x 2x 3) 2 x 3 3 0．（2）（2）减去（1），得 x 21 x320 ．（3）（3）式两边左乘以 A ，得(x 2x 3) 1x 320 ．（4）（4）减去（3），得 x 3 1 0 ．因为 10，所以 x 3 0 ．代入（３），得 x 2 10，所以 x 2 0．代入（ 1），得 x 1 10，所以 x 1 0 ．所以1, 2, 3 线性无关．33．设 A 为n 阶方阵，为n 维列向量．证明：若存在正整数 m ，使A m 0，而 A m1 0，则 ,A ,L ,A m 1 线性无关．证：设 x 0 x 1A L x m 1A0 ，该式两边左乘以 A ，得x 0A m 10 ．因为 A m 10 ，所以 x 0 0．同理可证 x 1 Lx m 1 0．所以 ,A ,L ,A m 1 线性无关．34．设向量组 A 的秩与向量组 B 相同，且 A 组可由 B 组线性表示，证明 A 组与 B 组等价．证：设R （A ） R （B ） r ， 1, 2, , r 为 A 组的一个极大无关组， 1, 2, , r 为B 组的一个极大无关组．由 A 组可由 B 组线性表示，得（ 1, 2, , r ）（ 1, 2, , r ）K r r .又r R （K ） R （ 1, 2,L , r ） r ，则 R （K ） r ，即 K 为可逆矩阵，有1（ 1, 2,L , r ）（ 1, 2,L , r ）K 1，价．35．设向量组 A ： 1, 2, , s 线性无关，向量组 B ： 1, 2,L , r 能由 A 线性表示为 ( 1 , 2 ,L , r ) ( 1 ,2 , L , s ) K s r ，其中 r s ，证明：向量组 B 线性无关当且仅当 K 的秩 R(K) r ．证：向量组 B 线性无关 ( 1, 2,L , r )X r 1 0只有零解( 1, 2,L , s )(K sr X r 1) 0只有零解1, 2 ,L , s 线性无关K s r X r 1 0 只有零解 R(K ) r ．36．设 A,B 都是 m n 矩阵，试证明： R(A B) R(A|B) R(A) R(B) ．证：先证 R(A B) R(A|B)．显然 A B 的列向量组可由 A 的列向量组和 B 的列向量组线性表示，则 R(A B) R(A|B) ．此证 R(A|B) R(A) R(B)．设 R(A) r,R(B) s ，A ?与 B ?分别为 A 与B 的列向量组的一个极大无关组，则 ( A | B)的列向量组可由 A ?与 B ?线性表示，有R(A| B) r s R(A) R(B)，即 R(A|B) R(A) R(B) ．1)证明 1, 2, 3是 R 3 的一组基； 2)求由基 1, 2, 3 到基 1, 2, 3的过渡矩阵；3)若向量在基 1, 2, 3 下的坐标为 (1,0,0) ，求向量在基 1, 2, 3下的坐标．101证：( 1 , 2, 3 ) ( 1, 2 , 3 ) 1 1 001137．设 1, 2, 3是 R 3的一组基，2，2 2 3， 3 3 1 ．１)101(１)由1 1 0011所以1, 2, 3是R3的一组基．1012)由(１)式，得由基1, 2, 3 到基1, 2, 3 的过渡矩阵1 1 0011 3 ) 在基1, 2, 3 下的坐标10111 1 1 1 1111 1 1 TY P 1X 1100 1 1 1 02(12,12,12)0110 1 1 1 038．设A 为m r 矩阵，B 为r n 矩阵，且AB O ．求证：(1) B 的各列向量是齐次线性方程组AX 0 的解；(2)若R( A) r ，则B O；(3)若B O ，则A 的各列向量线性相关．证： (1)令B ( 1, 2,L , n)．由AB O ，得(A 1,A 2,L ,A n) (0,0, L ,0) ，即A j 0, j 1,2,L ,n，所以B 的各列向量是齐次线性方程组AX 0的解．(2)若R(A) r ，则AX 0只有零解，所以B O．(3)若B O ，则AX 0 有非零解，所以A 的各列向量线性相关．39．设A为n阶方阵( n 2 )，证明：(1)当R(A) n时，R(A ) n； (2)当R(A) n 1时，R(A ) 1；(3)当R(A) n 1时，R( A ) 0．n1证： (1)当R(A) n时，A 0 A* A n 1 0 ，所以R(A ) n ．(2)当R(A) n 1时，由AA*A E O，得R(A) R(A*) n有R(A*) 1．又A中2 0 ，得R( 1, 2, 3) R( 1, 2, 3)3 ，则1, 2, 3线性无关，至少有一个n 1 阶子式不为零，则A O R(A ) 1，所以R(A ) 1 ．(3)当R(A) n 1时，则A中所有一个n 1阶子式全为零，有A* O R(A*) 0 ．240．设矩阵A满足等式A2 3A 4E 0，试证明A的特征值只能取值1或4．证：设为A的特征值．由A2 3A 4E 0 ，得满足2 3 4 0，解得1 或4．41．设方阵A满足A T A E，其中A T是A的转置矩阵，E为单位阵．试证明A的实特征向量所对应的特征值的模等于1．证：设X 为A 的实特征向量，对应的特征值为，则AX X ．由A T A E ，得X T A T AX X T EX X T X ，即(AX)T(AX) X T X，有2X T X X T X ．又X T X 0，则2 1，所以1．42．设矩阵A与B 相似，试证：T T 1 1(1)A T与B T相似；(2)当A可逆时，A 1与B 1相似．证：A与B相似，则存在可逆矩阵P，使得B P 1AP．T 1 T T T 1 T T T T 1(1) B T(P1AP)T P T A T(P1)T P T A T(P T)1．因为P T也可逆，所以A T与B T相似．(2) B 1 (P 1AP) 1 P 1A 1(P 1) 1 P 1A 1P，所以A 1与B 1相似．43．设A,B 都是n阶实对称矩阵，证明A与B 相似的充要条件是A与B 有相同的特征值．证：必要性：A与B相似，则存在可逆阵P，使得P 1AP B．有|B E| |P 1AP E| |P 1(A E)P| |P 1| | A E| |P| | A E|，所以A与B有相同的特征多项式，即有相同的特征值．充分性：若实对称矩阵A与B有相同的特征值，设1, 2, n 为它们的特征值．令diag ( 1, 2,L , n) ．则A与相似，B与相似，所以A与B相似．44．设 A 为 3 阶矩阵， 1, 2为 A 的分别属于特征值 1,1的特征向量，向量3满足A 3 2 3 ．（1）证明 1, 2 , 3线性无关；(2)令 P ( 1, 2, 3)，求 P 1AP ．证：（ 1）设 x 1 1x 2 2 x 330 ，（1）（1）式两边左乘以 A ，得x 11(x 2 x 3 ) 2 x 3 3 0 ．（2）（1）- ( 2)，得2x 1 1 x 3 20．显然 1, 2线性无关，则 x 1 0,x 3 0 ．代入（１），得x 220 ，有 x 20 ，所以 1, 2, 3 线性无关．2)AP A( 1, 2, 3)(A 1,A 2,A 3)(1, 2 , 23)1 0 01 0 0( 1 , 2 , 3 ) 0 1 1P 0 1 1，0 0 10 11 0 0 1 0 0即 AP P 01 1 ．由第一部分知 P 可逆，所以 P 1 AP 0 1 1 ．0 0 10 145．设 A,B 均为 n 阶方阵，且 R （A ） R （B ） n ．试证： A, B 有公共的特征向量．A证：考虑方程组 B A X n 1 0，其系数矩阵的秩AR R(A) R(B) n ， B A则方程组有非零解，即 0 ，故BA 0,B 0 ，即 0是 A,B 的公共特征值，是 A,B 属于特征值0 的公共的特征向量．46．设 A 是n 阶方阵，且满足 R(E A) R(E A) n ．试证: A 2 E ．证：设 R( E A) r ． (1) 若r 0，则 E A 0，即 AE ，有 A 2 E ．(2)若 r n ，则 R(E A) 0，即 A E ，有 A 2 E ．3)若 0 r n ，则 (A E)X 0的基础解系 1, 2,L1的线性无关特征向量；又 R(E A) n r ，则 (A E)X48．证明：若矩阵 A 正定，则矩阵 A 的主对角线元素全大于零．证：设实对称矩阵 A (a ij )n n 正定，则二次型x 1 0,L , x i 1 0,x i 1,x i 1 0,L ,x n 0，则 f a ii 0．由 i 的任意性，所以 A 的主对角线元素全大于零．1 a n 12,L ,r 就是A 的属于特征值 1 的线性无关特征向量；从而 A 有 n 个线性无关特征向量： 2,L , nr 2,L , r，所以 A 能相似对角化．令P 2 ,L , 1, 2 ,L ,r ，有 1APE n rOOE r， En rOE n rP 1 ，所以 A 2 E ．47． n 阶矩阵证：由 ABA,B 满足 AB A 不是 A 的特征值． B ，得(A A E)( B E) E B ，证明 1不是 A 的特征值．，所以 A E 可逆，有 A E 0 ，所以 1n r 就是A 的属于特征值0的基础解系nnX T AX a ij x i x j 正定．取i 1 j 1。

线性代数证明题

线性代数证明题(总5页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--线性代数证明题1．设1234,,,αααα是非零的四维列向量，1234(,,,),*A A αααα=为A 的伴随矩阵，已知0Ax =的基础解系为(1,0,2,0)T ，证明234,,ααα是方程组*0A x =的基础解系.2.设A 是n 阶矩阵，且0n A =，则A E n -必是可逆矩阵。

3．,,A B C 均是n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，若ABC E =，证明：BCA E = 4．设3级方阵,A B 满足124A B B E -=-，证明：2A E -可逆，并求其逆. 5．设A 是一个n 级方阵，且()R A r =，证明：存在一个n 级可逆矩阵P 使1PAP -的后n r -行全为零.6．设矩阵,m n n m A B ⨯⨯，且,m n AB E <=，证明：A 的行向量组线性无关. 7．如果,2A A =称A 为幂等矩阵.设B A ,为n 阶幂等矩阵，证明：B A +是幂等矩阵的充要条件是.0==BA AB8.如果对称矩阵A 为非奇异,试证:1-A 也是对称矩阵9.设A ，B ，C 都是n 阶方阵，且C 可逆，T --+=A E B C C ）（11, 证明：A 可逆且T-+=）（C B A1。

10.设0=kA ，其中k 为正整数，证明：121)(--++++=-k A A A E A E11.设方阵A 满足A 2-A-2E=O ，证明A 及A+2E 都可逆，并求112--+）及（E A A12.试证：对任意方阵A ，均有 T A A +为对称矩阵， T A A -为反对称矩阵。

13.证明 1)(=A R 的充分必要条件是存在非零列向量α和非零行向量T β，使T A αβ=14.设A 为列满秩矩阵，C AB =，证明方程0=BX 与0=CX 同解 15.设A 为n m ⨯矩阵，证明方程m E AX =有解m A R =⇔)( 16.向量组A 能用向量组B 表示，则R(A)<=R(B)17.设B A ,分别为m n n m ⨯⨯,矩阵，则齐次方程组O =ABx 当n m >时必有非零解。

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《线性代数》习题集与答案行列式计算证明题