函数模型的应用举例_基础 知识讲解_
指数型、对数型函数模型的应用举例 课件
(2)由题意知注射药物后小白鼠体内剩余的病毒细胞个数为 226×2%.再经过x天后小白鼠体内的病毒细胞个数为226×2%× 2x，由题意226×2%×2x≤108，两边取对数得26lg2+lg2-2+ xlg2≤8，解得x≤6，即再经过6天必须注射药物，即第二次最 迟应在第33天注射该种药物.
【归纳】解决连续增长问题应建立的数学模型及解应用题的基 础和关键. 提示：(1)对于连续增长的问题一般情况下可建立指数型函数 模型y=a(1+p)x. (2)解决应用题的基础是读懂题意，理顺数量关系，关键是正 确建模，充分注意数学模型中元素的实际意义.
Hale Waihona Puke 1 2log3θ 100
,单位是m/s,θ是表示
鱼的耗氧量的单位数.
(1)当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是______；
(2)某条鲑鱼想把游速提高1 m/s,那么它的耗氧量的单位数是
原来的_______倍.
2.衡量地震级数的“里氏”是指地震强度(即地震时震源释放 的能量)的常用对数值，显然里氏级别越高，地震的强度也就 越大.如日本1923年的地震是里氏8.9级，美国旧金山1906年的 地震是里氏8.3级，试计算一下，日本1923年的地震强度是美 国旧金山1906年的地震强度的多少倍？
a≈2.2，b≈1.8.
这样，我们得到一个函数模型：y=2.2+1.8x，作出函数图象 如图(乙)，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较 好，这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关系. (3)由y=2.2+1.8×25，求得y=47.2，即当积雪深度为25 cm 时，可以灌溉土地47.2公顷.
【阅卷人点拨】通过阅卷后分析，对解答本题的常见错误及解 题启示总结如下：(注：此处的①②见解析过程)
数学建模—函数模型及其应用
(k为常数,k≠0);
(4)指数型函数模型:f(x)=abx+c(a,b,c为常数,a≠0,b>0,b≠1);
(5)对数型函数模型:f(x)=mlogax+n(m,n,a为常数,m≠0,a>0,a≠1);
(6)幂型函数模型:f(x)=axn+b(a,b,n为常数,a≠0);
1 (),∈1 ,
了该车相邻两次加油时的情况.
加油时间
2020年5月1日
2020年5月15日
加油量(升)
12
48
加油时的累计里程(千米)
35 000
35 600
注:“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程.
在这段时间内,该车每100千米平均耗油量为(
A.6升 B.8升
C.10升 D.12升
)
答案 B
解析 因为第一次油箱加满,所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量,
3
log 4 8 + = 1,
+ = 1,
解析依题意得
即 2
解得 a=2,b=-2.则
log 4 64 + = 4,
3 + = 4.
y=2log4x-2,当 y=8 时,即 2log4x-2=8,解得 x=1 024.
关键能力 学案突破
考点1
利用函数图像刻画实际问题
【例1】 (2020北京东城一模,10)
故耗油量V=48升.而这段时间内行驶的里程数S=35 600-35 000=600千米.
所以这段时间内,该车每100千米平均耗油量为
48
×100=8升,故选B.
600
3.(2020北京平谷二模,9)溶液酸碱度是通过pH计算的,pH的计算公式为
函数模型的应用实例 课件
即前六个月所获纯利润 y 关于月投资 A 种商品的金额 x 的函数关系式是 y＝－0.15(x－4)2＋2；前六个月所获纯利润 y 关于月投资 B 种商品的金额 x 的函数关系式是 y＝0.25x.
根据函数自身的种类，常见函数模型可分为：
(1)直线模型：即一次函数模型，现实生活中很多事例可以用直线模型表示，例如匀速直线运动的时 间和位移的关系，弹簧的伸长与拉力的关系等，直线模型的增长特点是直线上升(x的系数k>1)， 通过画图可以很直观地认识它．
(2)指数函数模型：能用指数型函数表达的函数模型叫做指数函数模型．指数函数增长的特点是随着 自变量的增大，函数值增大的速度越来越快(底数a>1)，常形象地称之为“指数爆炸”．通过细胞 分裂增长实例以及函数图象的变化都可以清楚地看到“爆炸”的威力．
2．面临实际问题，自己建立函数模型的步骤 ( 1 ) _收_ _集_ _数_ _据_ ； ( 2 ) _ _描_ _点_ _ ； ( 3 ) _ _ _选_ _择_ _函_ 数_ _模_ _型_ ； ( 4 ) _求_ _函_ _数_ _模_ 型_ _ ； ( 5 ) _ _检_ 验_ _ ； ( 6 ) _用_ _函_ _数_ _模_ _型_ _解_ _决_实_ _际_ _问_ _题_ ．
1．利用我们所得到的函数模型有什么用途？
【答案】利用所得函数模型可解释有关现象，对某些发展趋 势进行预测．
3.2.2 函数模型的应用举例
教学目标
1 能够写出函数解析式，确定函数模型； 2 能利用数据表格、函数图像讨论模型 3 注意限制条件，选出正确的函数模型
教学重难点
1用函数思想解决实际问题 2确定函数模型及利用表格，图象等讨论 函数模型
教学方法
自主求学式
问题
王老师今天从市中心到梅中上课，来的时候坐了 出租车。我们知道无锡出租车的价格，凡上车起步 价为8元，行程不超过3km者均按此价收费，行程超 过3km，按1.8元/km收费。 市中心到梅中的路程是 25公里，问王老师今天坐 车用了多少钱？ 市中心到梅中的路程是 x公里，问王老师今天坐车 会用多少钱？
例3.为保护环境，实现城市绿化，某房地产公司要在拆迁地矩形 ABCD（如下图所示）上规划出一块矩形地面建造住宅区小公园 POCR（公园的两边分别落在BC和CD上），但不能超过文物保 护三角形AEF的红线EF．问如何设计才能使公园占地面积最大？ 并求出最大面积．已知AB＝CD＝200m，BC＝AD＝160m， AE＝60m，AF＝40m． 120≤x≤160 解析：设PR＝x m，
0
A
时间
0
B
时间
0
C
时间
0
D
时间
c对应的参考事件：我出发后感到时间较紧，所以加速前进，后来发现 时间还很充裕，于是放慢了速度。
例题讲解
例1
某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元， 每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表所示：
销售单价/元 日均销售量/桶
6 480
7
440
小结：
1.解题四步骤：设、列、解、答. 2.解题过程：从问题出发，引进数学符号，建立函数 关系式，再研究函数关系式的定义域，并结合问题的 实际意义做出回答. 即建立数学模型，并推理演算求出数学模型的解， 再结合实际做出回答.
第9节函数模型及其应用
第9节函数模型及其应用
函数模型是数学中的一个重要概念，它是一种关系，将一个集合的元
素映射到另一个集合的元素。
在数学中，函数模型被广泛应用于各种领域，如物理学、经济学、工程学等。
在物理学中，函数模型可以描述物理现象中的关系。
例如，牛顿第二
定律F=ma中的加速度a可以看作是力F和质量m之间的函数关系。
通过
函数模型，我们可以推导出物体在受到力作用下的运动轨迹和速度变化。
在经济学中，函数模型可以描述供求关系、价格弹性和成本效益等。
例如，需求曲线和供应曲线的交点可以表示市场均衡状态，价格弹性可以
用来衡量消费者对价格变化的敏感度，成本效益模型可以帮助企业决策时
做出合理的成本分析。
在工程学中，函数模型经常用于设计和优化过程。
例如，一个工程师
可以使用函数模型来描述一个机械系统的运动，分析其动力学和静力学特性，从而进行设计和改进。
另外，函数模型还可以用来优化一些参数，使
系统在给定约束条件下达到最佳性能。
除了以上领域之外，函数模型还广泛应用于计算机科学、统计学和生
物学等领域。
在计算机科学中，函数模型用于数据处理、算法设计和模拟
等方面。
在统计学中，函数模型用于描述变量之间的关系和概率分布。
在
生物学中，函数模型用于描述生物体的生理过程和遗传机制。
总之，函数模型是描述现实世界中各种关系的数学工具。
它不仅提供
了定量分析的方法，还可以帮助我们理解和预测复杂的现象。
通过函数模
型的应用，我们可以深入研究问题，做出合理的决策，并推动各个领域的
发展。
3.2.2_函数模型的应用举例(1)
当 100<x≤500 时，P＝60－0.02(x－100)， 所以 P＝f(x)＝62－5x0， 100<x≤500， (x∈N*)．
(6 分)
(2)设销售商一次订购量为 x 件时，工厂获得的利润为 L 元则，
返回
该经营者准备下月投入12万元经营这两种商品，但不 知投资A、B两种商品各多少才最合算．请你帮助制定一个 资金投入方案，使得该经营者能获得最大利润，并按你的 方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润．(结果保留两 个有效数字)
[思路点拨] 先画出投资额与获利的图像，再选择函数 模型．
返回
[精解详析] 设投资额为x万元时， 获得的利润为y万元．在直角坐标系中 画出散点图并依次连接各点，如图所示， 观察散点图可知图像接近直线和抛物线， 因此可考虑用二次函数描述投资A种商品的利润y万元 与投资额x万元之间的函数关系；用一次函数描述投资 B种商品的利润y万元与投资额x万元之间的函数关系．
解析：(1)由图象可知，当 t≤3 时，电话费都是 3.6 元． (2)由图象可知，当 t＝5 时，y＝6，需付电话费 6 元． (3)当 t≥3 时，y 关于 x 的图象是一条直线，且经过(3,3.6) 和(5,6)两点，故设函数关系式为 y＝kt＋b， 则35kk＋＋bb＝＝36.，6， 解得kb＝＝10..2， 故 y 关于 t 的函数关系式为 y＝1.2t(t≥3)
1.如图所示，这是某电信局规定的打长途电 话所需要付的电话费y(元)与通话时间t(分 钟)之间的函数关系图象，根据图象填空： (1)通话2分钟，需要付电话费__________元； (2)通话5分钟，需要付电话费________元； (3)如果t≥3，则电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函 数关系式为____________．
高中数学 函数模型及其应用
高中数学：函数模型及其应用在数学的世界里，函数是一个重要的概念，它描述了一个变量与另一个变量之间的关系。
而在高中数学中，函数模型及其应用成为了学生们必须掌握的重要内容。
一、函数模型的理解函数，对于很多人来说，可能是一个复杂的概念。
但实际上，函数却是极其普遍的存在。
在我们的日常生活中，函数无处不在。
比如，身高随着年龄的增长而增长，这就是一个函数关系。
在这个例子中，年龄是自变量，身高是因变量。
再比如，购买商品时，价格随着数量的增加而增加，这里数量是自变量，价格是因变量。
函数模型，就是用来描述这种变量之间关系的数学工具。
它将生活中的各种关系，转化为数学公式，使我们能更好地理解和分析这些关系。
二、函数模型的应用函数模型的应用广泛存在于我们的生活中。
比如，在商业领域，公司需要根据市场需求和价格来决定生产量。
这就需要使用函数模型来预测市场的趋势，从而做出最佳的决策。
在物理学中，牛顿的第二定律就是一个函数模型，它描述了力、质量和加速度之间的关系。
而在生物学中，细胞分裂的模型也是一个函数，它描述了细胞数量随时间的变化情况。
三、高中数学中的函数模型在高中数学中，我们主要学习了一些基本的函数模型，如线性函数、二次函数、指数函数和对数函数等。
这些函数模型可以帮助我们解决生活中的很多问题。
比如，线性函数可以帮助我们解决速度和时间的问题，二次函数可以帮助我们解决几何图形的问题，而指数函数和对数函数则可以帮助我们解决增长和衰减的问题。
四、总结函数模型是高中数学中的一个重要内容。
它不仅可以帮助我们解决生活中的问题，还可以帮助我们更好地理解这个世界。
因此，学生们应该积极学习函数模型及其应用，努力提高自己的数学素养。
高中数学函数的概念课件课件标题：高中数学函数的概念课件一、引言函数是高中数学的核心概念，是数学学习中不可或缺的一部分。
函数的概念是理解函数的基础，也是进一步学习函数性质和应用的前提。
本课件旨在帮助学生理解函数的基本概念，掌握函数的定义和性质，为后续的学习奠定坚实的基础。
§3.2.2 函数模型的应用举例
第三章函数的应用3.2 函数模型及其应用§3.2.2 函数模型的应用举例【学习目标】1.能够运用函数性质，解决某些简单的实际问题。
2.能够根据实际问题构建适当的函数模型，体会函数模型的广泛应用。
【预习提纲】1.函数模型的分类及其建立与应用根据实际应用问题提供的两个变量的数量关系是否确定，可把构建的函数模型分为两大类：第一类是确定函数模型，这类应用题提供的变量关系是确定的，是以现实生活为原型设计的；第二类是近似函数模型，或称拟合函数模型，这类应用题提供的变量关系是不确定的，只是给出了两个变量的几组对应值（是搜集或用实验方法测定的）.根据函数自身的种类，常见函数模型可分为一次函数模型、、、、、等.2.解答应用问题的程序概括为以下几点：（1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；（2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符合语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；（3）求模：求解数学模型，得出数学结论；（4）还原：将数学结论还原为实际问题的意义.【例题精讲】例1．如图表示一位骑自行车者和一位骑摩托车者在相距80 km的两城镇间旅行的函数图象，由图可知：骑自行车者用了6小时，沿途休息了1小时，骑摩托车者用了2小时，根据这个函数图象，推出关于这两个旅行者的如下信息：①骑自行车者比骑摩托车者早出发了3小时，晚到1小时；②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；③骑摩托车者在出发了1.5小时后，追上了骑自行车者．其中正确信息的序号是( )A．①②③B．①③C．②③D．①②例2. 一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示。
（1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004 km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s km与时间t h的函数关系式，并作出相应的图象。
h例3.一种药在病人血液中得量保持在1500 mg 以上，才有疗效；而低于500mg ，病人就有危险。
高中数学人教高必修一同课异构教学课件32函数模型及其应用课件
二
10 30 60 100 150 210
三
0.4 1.2 2.8 6 12.4 25.2
天数
回报/元
7 8 9 10 11
方案
一
280 320 360 400 400
二
280 360 450 550 660
三
50.8 102 204.4 409.2 818.8
因此，投资1~6天，应选择方案一； 投资7天，应选择方案一或方案二； 投资8~10天，应选择方案二； 投资11天（含11天）以上，则应选择方案三.
（2）根据图3.2-7，有
50t 2004,
s
9800((tt
1) 2)
画出这两个函数的图象（图2）
y
y=2x
1.13E+15
1.10E+12 y=x2
O 50 100 x
从表2和图2可以看出，当自变量x越来越大时， y=2x的图象就像与x轴垂直一样，2x的值快速增 长，x2比起2x来，几乎有些微不足道.
2．探究y=x2，y=log2x两个函数的增长速度.
利用计算器或计算机，先列出自变量与函数值的 对应值表（表3）.
对于模型y=log7x+1，它在区间[10,1000]上递增， 而且当x=1000时，y=log71000+1≈4.55<5，所以它 符合奖金总数不超过5万元的要求.
再计算按模型y=log7x+1奖励时，奖金是否不超过利 润的25%，即当x∈[10,1000]时，是否有
成立.
y log7 x 1 0.25
（1）求图3.2-7中阴影部分的面积，并说明所求面 积的实际含义；
（2）假设这辆汽车行驶这段路程前的读数为2004 km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s km与时间t h的函数关系式，并作出相应的图象.
常见的函数模型
常见的函数模型
1.线性函数模型：y=mx+b，用于描述两个变量之间的直线关系。
2. 二次函数模型：y = ax + bx + c，用于描述曲线关系，如开口向上或向下的抛物线。
3. 指数函数模型：y = ab^x，用于描述随着 x 增加而指数级增加或减少的关系。
4. 对数函数模型：y = logb(x)，用于描述递增速度逐渐减缓的关系。
5. 正弦函数模型：y = A sin (Bx + C) + D，用于描述周期性变化的关系。
6. 余弦函数模型：y = A cos (Bx + C) + D，与正弦函数类似，用于描述周期性变化的关系。
7. 常量函数模型：y = c，用于描述恒定不变的关系。
8. 分段函数模型：将函数在不同的区间定义为不同的函数，用于描述不同条件下的关系。
9. 概率密度函数模型：用于描述随机变量的分布规律，如正态分布、泊松分布等。
10. 非线性函数模型：除了上述函数模型外，还有各种非线性函数模型，如指数增长模型、对数减少模型、S形曲线模型等。
- 1 -。
备战高考数学复习考点知识与题型讲解18---函数模型的应用
备战高考数学复习考点知识与题型讲解第18讲函数模型的应用考向预测核心素养考查根据实际问题建立函数模型解决问题的能力，常与函数图象、单调性、最值及方程、不等式交汇命题，各种题型均有可能，中档难度.数学建模一、知识梳理1．六种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)指数函数模型f(x)＝ba x＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)对数函数模型f(x)＝b logax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)幂函数模型f(x)＝ax n＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0)“对勾”函数模型y＝x＋ax(a为常数，a>0)2.三种函数模型性质比较y＝a x(a>1)y＝logax(a>1)y＝x n(n>0) 在(0，＋∞)上的单调性增函数增函数增函数增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x值增大，图象与y轴接近平行随x值增大，图象与x轴接近平行随n值变化而不同3.用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程常用结论1．“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢．2．“对勾”函数f (x )＝x ＋a x(a >0)在(0，＋∞)上的性质：在(0，a ]上单调递减，在[a ，＋∞)上单调递增，当x ＝a 时f (x )取最小值2a .二、教材衍化1．(人A 必修第一册P 152例6改编)某校拟用一种喷雾剂对宿舍进行消毒，需对喷雾完毕后空气中每立方米药物残留量y (单位：毫克)与时间x (单位：时)的关系进行研究，为此收集部分数据并做了初步处理，得到如图散点图．现拟从下列四个函数模型中选择一个估计y 与x 的关系，则应选用的函数模型是( )A ．y ＝ax ＋bB.y ＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫14x＋b (a >0)C ．y ＝x a ＋b (a >0) D.y ＝ax ＋b x(a >0，b >0)解析：选 B.由散点图可知，函数在(0，＋∞)上单调递减，且散点分布在一条曲线附近，函数y ＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫14x＋b 的图象为一条曲线，且当a >0时，该函数单调递减，符合题意，故选B.2.(多选)(人A 必修第一册P 155习题4.5T 9改编)如图，某池塘里浮萍的面积y (单位：m 2)与时间t (单位：月)的关系为y ＝a t .关于下列说法中正确的是( )A ．浮萍每月的增长率为1B ．第5个月时，浮萍面积就会超过30 m 2C ．浮萍每月增加的面积都相等D ．若浮萍蔓延到2 m 2，3 m 2，6 m 2所经过的时间分别是t 1，t 2，t 3，则t 1＋t 2＝t 3 解析：选ABD.把(1，2)代入y ＝a t ，可得函数解析式为y ＝2t ， 因为2t ＋1－2t2t ＝1，所以每月增长率为1，A 对；当t ＝5时，y ＝32>30，所以B 对；第2个月增加2 m 2，第3个月增加4 m 2，C 错； 由2t 1＝2，2t 2＝3，2t 3＝6，所以2t 1·2t 2＝2t 3，故t 1＋t 2＝t 3，D 对．3．(人A 必修第一册P 96习题3.4T 5改编)下表是弹簧伸长长度x (单位：cm)与拉力F (单位：N)的相关数据：x 14.2 28.8 41.3 57.5 70.2 F12345写出能反映这一变化现象的函数为________．(不唯一)解析：根据点的分布特征，可以考虑用函数x ＝kF ＋b (k ≠0)作为刻画弹簧伸长长度与拉力关系的函数模型．取两组数据(1，14.2)，(4，57.5)，则⎩⎨⎧k ＋b ＝14.2，4k ＋b ＝57.5，解得⎩⎨⎧k ≈14.4，b ≈－0.2，所以x ＝14.4F －0.2.将已知数据代入上述解析式，或作出函数图象，可以发现，这个函数模型与已知数据拟合程度较好．答案：x ＝14.4F －0.2一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利．( )(2)函数y ＝2x的函数值比y ＝x 2的函数值大．( ) (3)不存在x 0，使ax 0<x n 0<log a x 0.( )(4)“指数爆炸”是指数型函数y ＝a ·b x ＋c (a ≠0，b >0，b ≠1)增长速度越来越快的形象比喻．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)× 二、易错纠偏1．(函数模型选择易误)某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y 与投放市场的月数x 之间关系的是( )A ．y ＝100x B.y ＝50x 2－50x ＋100 C ．y ＝50×2xD.y ＝100log 2x ＋100解析：选C.根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型，代入数据验证可知选C.2．(指数函数、对数函数性质不明致误)下面对函数f (x )＝log 12x 与g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在区间(0，＋∞)上的衰减情况的说法中正确的为( )A ．f (x )的衰减速度越来越慢，g (x )的衰减速度越来越快B ．f (x )的衰减速度越来越快，g (x )的衰减速度越来越慢C ．f (x )的衰减速度越来越慢，g (x )的衰减速度越来越慢D．f(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越快解析：选C.在同一平面直角坐标系中画出f(x)与g(x)的图象如图所示，由图象可判断出衰减情况为：f(x)衰减速度越来越慢；g(x)衰减速度越来越慢，故选C.3．(平均增长率概念不清致误)某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为________．解析：设年平均增长率为x，则(1＋x)2＝(1＋p)(1＋q)，所以x＝（1＋p）（1＋q）－1.答案：（1＋p）（1＋q）－1考点一用函数图象刻画变化过程(自主练透)复习指导：能将实际问题转化为数学问题，会应用函数图象对实际问题进行描述．1．一种叫万年松的树的生长时间t(年)与树高y(m)之间的散点图如图所示．请你据此判断，拟合这种树生长的年数与树高的关系式，选择的函数模型最好的是( ) A．y＝2t B.y＝log2tC.y＝t3D.y＝2t2解析：选B.由图知，函数的增长速度越来越慢，排除A，C，D.选B.2．(2022·广州市综合检测(一))如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T. 若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h ＝f(t)的图象大致是( )解析：选B.水位由高变低，排除C，D.半缸前下降速度先快后慢，半缸后下降速度先慢后快，故选B.3．设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为( )解析：选D.y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，故排除A，C.又因为小王在乙地休息10分钟，故排除B，故选D.4．(多选)(2022·福建厦门高三质检)某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药物，注射后每毫升血液中的含药量y(单位：微克)与时间t(单位：小时)之间的关系近似满足如图所示的曲线．据进一步测定，当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时，治疗该病有效，则( )A．a＝3B．注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时C．注射该药物18小时后每毫升血液中的含药量为0.4微克D．注射一次治疗该病的有效时间长度为53132小时解析：选AD.当t ＝1时，y ＝4，即⎝ ⎛⎭⎪⎫121－a＝4，解得a ＝3，所以y ＝⎩⎨⎧4t ，0≤t <1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －3，t ≥1，故A 正确，药物刚好起效的时间，当4t ＝0.125，即t ＝132， 药物刚好失效的时间⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －3＝0.125，解得t ＝6，故药物有效时长为6－132＝53132小时， 药物的有效时间不到6个小时，故B 错误，D 正确；注射该药物18小时后每毫升血液含药量为4×18＝0.5微克，故C 错误．判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的方法：(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．考点二 已知或选择函数模型解决实际问题(综合研析)复习指导：1.已知函数模型，用待定系数法确定解析式； 2．根据几种常见函数的增长差异选择函数模型．(1)(2022·江西高三月考)果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度．已知在一定时间内，某种水果失去的新鲜度y 与其采摘后时间t (小时)近似满足的函数关系式为y ＝k ·m t (k ，m 为非零常数)，若采摘后20小时，这种水果失去的新鲜度为20%，采摘后30小时，这种水果失去的新鲜度为40%.那么采摘下来的这种水果大约经过多长时间后失去50%新鲜度(参考数据：lg 2≈0.3，结果取整数)( )A ．33小时 B.23小时 C ．35小时D.36小时(2)某地西红柿上市后，通过市场调查，得到西红柿的种植成本Q (单位：元/100 kg)与上市时间t (单位：天)的数据如下表：时间t60100 180 种植成本Q 11684116根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿的种植成本Q 与上市时间t 的变化关系：Q ＝at ＋b ，Q ＝at 2＋bt ＋c ，Q ＝a ·b t ，Q ＝a ·log b t . 利用你选取的函数，则①西红柿种植成本最低时的上市天数是________； ②最低种植成本是________元/100 kg. 【解析】 (1)由题意⎩⎨⎧k ·m 20＝20%k ·m 30＝40%，两式相除得m 10＝2，m ＝2110，代入得k ＝5%，所以y ＝5%·2t10，由50%＝5%·2t 10得2t10＝10，取对数得t 10lg 2＝1，t ＝10lg 2≈100.3≈33(小时)． (2)由题意知，种植成本与上市时间的变化关系应该用二次函数Q ＝at 2＋bt ＋c ，即Q ＝a (t －120)2＋m 描述，将表中数据代入可得⎩⎨⎧a （60－120）2＋m ＝116，a （100－120）2＋m ＝84，解得⎩⎨⎧a ＝0.01，m ＝80， 所以Q ＝0.01(t －120)2＋80，故当上市天数为120时，种植成本取到最低值80元/100 kg.【答案】 (1)A (2)①120 ②80已知或选择函数模型解决实际问题的注意点(1)已知模型的实际问题，根据待定系数法确定模型，再利用模型求解实际问题．(2)选择模型的问题可结合函数图象，函数值的增长特点(增减、增长快慢)等选用合适的函数模型．|跟踪训练|(多选)纪录片《垃圾围城》真实地反映了城市垃圾污染问题，目前中国城市中有超过23的城市处于垃圾的包围之中，且城市垃圾中的快递行业产生的包装垃圾正在逐年攀升，有关数据显示，某城市从2018年到2021年产生的包装垃圾量如下表：有下列函数模型：①y ＝a ·b x －2 018；②y ＝a sin πx2 018＋b (参考数据：lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)，则( )A ．选择模型①，函数模型解析式y ＝4·⎝ ⎛⎭⎪⎫32x －2 018，近似反映该城市近几年产生的包装垃圾y (万吨)与年份x 的函数关系B ．选择模型②，函数模型解析式y ＝4sin πx2 018＋2 018，近似反映该城市近几年产生的包装垃圾y (万吨)与年份x 的函数关系C ．若不加以控制，任由包装垃圾如此增长下去，从2023年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨D ．若不加以控制，任由包装垃圾如此增长下去，从2024年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨解析：选AD.若选y ＝4·⎝ ⎛⎭⎪⎫32x －2 018，计算可得对应数据近似为4，6，9，13.5，若选y ＝4sin πx2 018＋2 018，计算可得对应数据近似值都大于2 014，显然A 正确，B 错误；按照选择函数模型y ＝4·⎝ ⎛⎭⎪⎫32x －2 018，令y >40，即4×⎝ ⎛⎭⎪⎫32x －2 018>40，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫32x －2 018>10，所以x －2 018>log 3210，所以x －2 018>lg 10lg 32＝1lg 3－lg 2≈5.678 6，所以x >2 023.678 6，即从2024年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨，故C 错误，D 正确．考点三 构建函数模型解决实际问题(多维探究)复习指导：1.分析题意，寻找实际问题中起决定作用的两个变量． 2．确定两个变量间的关系，选择合适的函数模型． 角度1 构建二次函数、分段函数、“对勾”函数模型(链接常用结论2)小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x 万件，需另投入流动成本为W (x )万元，在年产量不足8万件时，W (x )＝13x 2＋x (万元)．在年产量不小于8万件时，W (x )＝6x ＋100x－38(万元)．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品当年能全部售完．(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？【解】 (1)因为每件商品售价为5元，则x 万件商品销售收入为5x 万元， 依题意得，当0<x <8时，L (x )＝5x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＋x －3＝－13x 2＋4x －3；当x ≥8时，L (x )＝5x －⎝ ⎛⎭⎪⎫6x ＋100x －38－3＝35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x . 所以L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－13x 2＋4x －3，0<x <8，35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x ，x ≥8.(2)当0<x <8时，L (x )＝－13(x －6)2＋9.此时，当x ＝6时，L (x )取得最大值，为9万元． 当x ≥8时，L (x )＝35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x ≤35－2x ·100x＝35－20＝15，当且仅当x ＝100x时等号成立，即x ＝10时，L (x )取得最大值，为15万元．因为9<15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元．角度2 构建指数函数、对数函数模型(1)(2022·长春高三摸底考试)2018年5月至2019年春，在阿拉伯半岛和伊朗西南部，沙漠蝗虫迅速繁衍，呈现几何式的爆发，仅仅几个月，蝗虫数量增长了8 000倍，引发了蝗灾，到2020年春季蝗灾已波及印度和巴基斯坦，假设蝗虫的日增长率为5%，最初有N 0只，则达到最初的16 000倍只需经过(参考数据：ln 1.05≈0.048 8，ln 16 000≈9.680 3)( )A ．191天 B.195天 C.199天D.203天(2)里氏震级M 的计算公式为：M ＝lg A －lg A 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A 0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．【解析】(1)设过x天能达到最初的16 000倍，由已知可得，N0(1＋0.05)x＝16 000N0，所以x＝ln 16 000ln 1.05≈198.4，又x∈N，故经过199天能达到最初的16 000倍．(2)M＝lg 1 000－lg 0.001＝3－(－3)＝6.设9级地震的最大振幅和5级地震的最大振幅分别为A1，A2，则9＝lg A1－lg A0＝lg A1A，则A1A＝109，5＝lg A2－lg A0＝lgA2A，则A2A＝105，所以A1A2＝104.即9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的10 000倍．【答案】(1)C (2)6 10 000(1)建模解决实际问题的三个步骤①建模：抽象出实际问题的数学模型．②推理、演算：对数学模型进行逻辑推理或数学演算，得到问题在数学意义上的解．③评价、解释：对求得的数学结果进行深入的讨论，作出评价、解释，返回到原来的实际问题中去，得到实际问题的解．(2)构建函数模型解决实际问题，充分体现了数学建模的核心素养．[提醒] (1)构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域．(2)利用模型f(x)＝ax＋bx求解最值时，注意取得最值时等号成立的条件．|跟踪训练|1．(多选)某杂志以每册2元的价格发行时，发行量为10万册．经过调查，若单册价格每提高0.2元，则发行量就减少5 000册．要使该杂志销售收入不少于22.4万元，每册杂志可以定价为( )A ．2.5元 B.3元 C.3.2元D.3.5元解析：选BC.依题意可知，要使该杂志销售收入不少于22.4万元，只能提高销售价，设每册杂志定价为x (x >2)元，则发行量为⎝ ⎛⎭⎪⎫10－x －20.2×0.5万册， 则该杂志销售收入为⎝ ⎛⎭⎪⎫10－x －20.2×0.5x 万元， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫10－x －20.2×0.5x ≥22.4，化简得x 2－6x ＋8.96≤0，解得2.8≤x ≤3.2，故选BC.2．某种茶水用100 ℃的水泡制，再等到60 ℃时饮用可产生最佳口感．已知茶水温度y (单位：℃)与经过时间t (单位：min)的函数关系是：y ＝ka t ＋y 0，其中a 为衰减比例，y 0是室温，t ＝0时，y 为茶水初始温度，若室温为20 ℃，a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1218，茶水初始温度为100 ℃，则k ＝________，产生最佳口感所需时间是________min.解析：由题意，y ＝ka t ＋20，当t ＝0时，有y ＝ka t ＋20＝k ＋20＝100，k ＝80， 则y ＝80a t ＋20，当y ＝60时，即80a t ＋20＝60，所以80a t ＝40，所以a t ＝12，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1218t ＝12，所以t ＝8.答案：80 8[A 基础达标]1．某种细菌在培养过程中，每15 min 分裂一次(由1个分裂成2个)，这种细菌由1个分裂成4 096个需经过的时间是( )A ．12 h B.4 h C.3 hD.2 h解析：选C.设这种细菌由1个分裂成4 096个需经过x次分裂，则4 096＝2x，解得x＝12，故所需时间t＝12×1560＝3 h.2．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：兔子和乌龟赛跑，领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．S1，S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是( )解析：选B.选项A表示龟兔同时到达；选项C表示兔子没有追赶乌龟；选项D表示兔子先到达终点．3．某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n次涨停(每次上涨10%)，又经历了n次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( )A．略有盈利 B.略有亏损C．没有盈利也没有亏损 D.无法判断盈亏情况解析：选B.设该股民购进这支股票的价格为a元，则经历n次涨停后的价格为a(1＋10%)n＝a×1.1n元，经历n次跌停后的价格为a×1.1n×(1－10%)n＝a×1.1n×0.9n＝a×(1.1×0.9)n＝0.99n·a<a，故该股民这支股票略有亏损．4．在固定电压差(电压为常数)的前提下，当电流通过圆柱形的电线时，其电流强度I与电线半径r的三次方成正比，若已知电流通过半径4毫米的电线时，电流强度为320安，则电流通过半径为3毫米的电线时，电流强度为( )A．60安 B.240安C.75安D.135安解析：选D.由已知，设比例常数为k，则I＝k·r3.由题意，当r＝4时，I＝320，故有320＝k×43，解得k＝32064＝5，所以I＝5r3.故当r＝3时，I＝5×33＝135(安)．故选D.5．(2022·皖南八校联考)某购物网站在2021年11月开展“全部6折”促销活动，在11日当天购物还可以再享受“每张订单金额(6折后)满300元时可减免100元”．某人在11日当天欲购入原价48元(单价)的商品共42件，为使花钱总数最少，他最少需要下的订单张数为________．解析：为使花钱总数最少，需使每张订单满足“每张订单金额(6折后)满300元时可减免100元”，即每张订单打折前原金额不少于500元．由于每件原价48元，因此每张订单至少11件，又42＝11×3＋9，所以最少需要下的订单张数为3.答案：36．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程．在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为________升．解析：因为每次都把油箱加满，第二次加了48升油，说明这段时间总耗油量为48升，而行驶的路程为35 600－35 000＝600(千米)，故每100千米平均耗油量为48÷6＝8(升)．答案：87．一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min后剩余的细沙量为y＝a e－bt(cm3)，经过8 min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min，容器中的沙子只有开始时的八分之一．解析：当t＝0时，y＝a；当t＝8时，y＝a e－8b＝12a，故e－8b＝12.当容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y＝a e－bt＝18a，e－bt＝18＝(e－8b)3＝e－24b，则t＝24，所以再经过16 min容器中的沙子只有开始时的八分之一．答案：168．某工厂因排污比较严重，决定着手整治，第一个月污染度为60，整治后前四个月的污染度如下表：污染度为0后，该工厂即停止整治，污染度又开始上升，现用下列三个函数模拟从整治后第一个月开始工厂的污染模式：f (x )＝20|x －4|(x ≥1)，g (x )＝203(x －4)2(x ≥1)，h (x )＝30|log 2x －2|(x ≥1)，其中x 表示月数，f (x )，g (x )，h (x )分别表示污染度．(1)试问选用哪个函数模拟比较合理，并说明理由；(2)若以比较合理的模拟函数预测，整治后有多少个月的污染度不超过60? 解：(1)用h (x )模拟比较合理，理由如下： 因为f (2)＝40，g (2)≈26.7，h (2)＝30；f (3)＝20，g (3)≈6.7，h (3)≈12.5.由此可得h (x )更接近实际值，所以用h (x )模拟比较合理．(2)因为h (x )＝30|log 2x －2|在x ≥4时是增函数，h (16)＝60，所以整治后有16个月的污染度不超过60.9．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元，0.5万元．(1)分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系；(2)若该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？解：(1)设两类产品的收益与投资额的函数关系分别为f (x )＝k 1x ，g (x )＝k 2x . 由已知得f (1)＝18＝k 1，g (1)＝12＝k 2，所以f (x )＝18x (x ≥0)，g (x )＝12x (x ≥0)．(2)设投资股票类产品为x 万元， 则投资债券类产品为(20－x )万元．依题意得y ＝f (20－x )＋g (x )＝20－x 8＋12x ＝－x ＋4x ＋208(0≤x ≤20)． 所以当x ＝2，即x ＝4时，收益最大，y max ＝3万元．故投资债券类产品16万元，投资股票类产品4万元时获得最大收益，为3万元．[B 综合应用]10．在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子物质的量的浓度(单位：mol/L ，记作[H ＋])和氢氧根离子物质的量的浓度(单位：mol/L ，记作[OH －])的乘积等于常数10－14.已知pH 值的定义为pH ＝－lg[H ＋]，健康人体血液的pH 值保持在7.35～7.45之间，那么健康人体血液中的[H ＋][OH －]可以为(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)( )A.12B.13C.16D.110解析：选C.因为[H ＋]·[OH －]＝10－14，所以[H ＋][OH －]＝[H ＋]2×1014，因为7.35<－lg[H＋]<7.45，所以10－7.45<[H ＋]<10－7.35，所以10－0.9<[H ＋][OH －]＝1014·[H ＋]2<10－0.7，10－0.9＝1100.9>110，lg 100.7＝0.7>lg 3>lg 2，所以100.7>3>2，10－0.7<13<12，所以110<[H ＋][OH －]<13.故选C.11．(2022·焦作温县一中10月月考)搭载神舟十二号载人飞船的长征二号F 遥十二运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火发射成功．此次航天飞行任务中，火箭起到了非常重要的作用．在不考虑空气动力和地球引力的理想情况下，火箭在发动机工作期间获得速度增量v (单位：千米/秒)可以用齐奥尔科夫斯基公式v ＝ωln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m M 来表示，其中，ω(单位：千米/秒)表示它的发动机的喷射速度，m (单位：吨)表示它装载的燃料质量，M (单位：吨)表示它自身(除燃料外)的质量．若某型号的火箭发动机的喷射速度为5千米/秒，要使得该火箭获得的最大速度v 达到第一宇宙速度(7.9千米/秒)，则火箭的燃料质量m 与火箭自身质量M 之比mM约为( )A ．e 1.58 B.e 0.58 C ．e 1.58－1D.e 0.58－1解析：选C.由题设，5ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m M ＝7.9，则m M ＝e 7.95－1＝e 1.58－1.12．(多选)小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯遗忘曲线，为了解自己记忆一组单词的情况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制图象，拟合了记忆保持量f (x )与时间x (天)之间的函数关系f (x )＝⎩⎨⎧－720x ＋1，0<x ≤1，15＋920x －12，1<x ≤30.则下列说法正确的是( )A ．随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低B ．第一天小菲的单词记忆保持量下降最多C ．9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%D ．26天后，小菲的单词记忆保持量不足20%解析：选ABC.由函数解析式可知f (x )随着x 的增加而减少，故A 正确；由图象可得B 正确；当1<x ≤30时，f (x )＝15＋920x －12，则f (9)＝15＋920×9－12＝0.35，即9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%，故C 正确；f (26)＝15＋920×26－12>15，故D 错误．13．燕子每年秋天都要从北方飞往南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁的燕子的飞行速度可以表示为函数v ＝5log 2Q 10，单位是m/s ，其中Q 表示燕子的耗氧量．(1)燕子静止时的耗氧量是________个单位；(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是________．解析：(1)由题意知，当燕子静止时，它的速度为0，代入v ＝5log 2Q 10中可得0＝5log 2Q10，解得Q ＝10.(2)将耗氧量Q ＝80代入v ＝5log 2Q 10中，得v ＝5log 28010＝5log 28＝15 (m/s)． 答案：(1)10 (2)15 m/s14．商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a ，最高销售限价b (b >a )以及实数x (0<x <1)确定实际销售价格c ＝a ＋(b －a )x .这里，x 被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数x 恰好使得(c －a )是(b －c )和(b －a )的等比中项．据此可得，最佳乐观系数x ＝________．解析：由题意得x ＝c －ab －a ，(c －a )2＝(b －c )(b －a )，因为b －c ＝(b －a )－(c －a )，所以(c －a )2＝(b －a )2－(b －a )(c －a )， 两边同除以(b －a )2，得x 2＋x －1＝0， 解得x ＝－1±52.因为0<x <1，所以x ＝5－12. 答案：5－12[C 素养提升]15．某食品的保鲜时间t (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系t (x )＝⎩⎨⎧64，x ≤0，2kx ＋6，x ＞0，且该食品在4 ℃的保鲜时间是16小时． (1)该食品在8 ℃的保鲜时间是________小时；(2)已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且当日的室外温度随时间变化如图所示，那么到了当日13时，甲所购买的食品________保鲜时间．(填“过了”或“没过”)解析：(1)因为食品在4 ℃的保鲜时间是16小时，所以24k ＋6＝16，解得k ＝－12.所以t (8)＝2－4＋6＝4.(2)由图象可知在11时之前，温度已经超过了10 ℃，此时该食品的保鲜期少于21＝2小时．而食品在11时之前已放了一段时间，所以到13时，该食品已过保鲜期．答案：(1)4 (2)过了16．(2022·上海高三月考)我国西部某省4A 级风景区内住着一个少数民族村，该村投资了800万元修复和加强民俗文化基础设施，据调查，修复好民俗文化基础设施后任何一个月内(每月按30天计算)每天的旅游人数f (x )与第x 天近似地满足f (x )＝8＋8x(千人)，且参观民俗文化村的游客人均消费g (x )近似地满足g (x )＝143－|x －22|(元)．(1)求该村的第x 天的旅游收入p (x )(单位：千元，1≤x ≤30，x ∈N *)；(2)若以最低日收入的20%作为每一天纯收入的计量依据，并以纯收入的5%的税率收回投资成本，试问该村在两年内能否收回全部投资成本？(一年以365天计算)解：(1)依据题意，有p (x )＝f (x )·g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8＋8x ·(143－|x －22|)(1≤x ≤30，x∈N *)＝⎩⎪⎨⎪⎧8x ＋968x ＋976（1≤x ≤22，x ∈N *），－8x ＋1 320x ＋1 312（22<x ≤30，x ∈N *）.(2)①当1≤x ≤22，x ∈N *时，p (x )＝8x ＋968x＋976≥28x ·968x＋976＝1 152(当且仅当x ＝11时，等号成立)，因此，p (x )min ＝p (11)＝1 152(千元)．②当22<x≤30，x∈N*时，p(x)＝－8x＋1 320x＋1 312.求导可得p′(x)＝－8－1 320x2<0，所以p(x)＝－8x＋错误!＋1 312在(22，30]上单调递减，于是p(x)min＝p(30)＝1 116(千元)．又1 152>1 116，所以日最低收入为1 116千元．该村两年可收回的投资资金为 1 116×20%×5%×365×2＝8 146.8(千元)＝814.68(万元)，因为814.68万元>800万元，所以，该村在两年内能收回全部投资成本．21 / 21。
函数模型的应用举例
（2）如果按表中增长趋势，大约哪一年我国的人口达到13亿？
根据我国实际情况确定表达式的参数，得到符合我国实际情况的 函数表达式，在作图分析增长情况。
住房率
65％ 75％ 85％ 95％
要使每天收入达到最高，每间定价应为（ ）
C
A.20元 B.18元 C.16元 D.1亿度。本年 度计划将电价调至0.55∽0.75元之间，经测算，若电 价调至x元，则本年度的新增用电量y（亿度）与 （x-0.4)成反比例。又当x=0.65时，y=0.8
买1000t，每吨为800元，如果购买2000t，每吨为700元，一客户购买400t，单价应该为
（）
A.820 元
B.840元
C.860元
D.880元
C
2.一家旅社有100间相同的客房，经过一段 时间的经营实践，旅社经理发现，每间 客房每天的价格与住房率之间有如下关系：
每间每天房价 20元 18元 16元 14元
300,
1≤x≤10且x∈Z
290,
11≤x≤20且x∈Z
y=
280,
21≤x≤30且x∈Z
270,
31≤x≤40且x∈Z
260,
41≤x≤50且x∈Z
例3：一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间 关系如图所示
从图上很明显看出汽车在每一小时 都有固定速度，而进入下一小时后 速度则变为另一个固定值， 这是很明显的分段函数特征。
65(t-4)+2299,
0≤t<1 1≤t<2 2≤t<3 3≤t<4 4≤t≤5
函数模型及其应用 知识点总结及典例
函数模型及应用一．知识梳理1．解决实际问题的解题过程（1）对实际问题进行抽象概括：研究实际问题中量与量之间的关系，确定变量之间的主、被动关系，并用x、y分别表示问题中的变量；（2）建立函数模型：将变量y表示为x的函数，在中学数学内，我们建立的函数模型一般都是函数的解析式；（3）求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数知识求得函数模型的解，并还原为实际问题的解.二、典例解析【例1】某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？【变式训练2】某集团公司在2000年斥巨资分三期兴建垃圾资源化处理工厂，如下表：如果每期的投次从第二年开始见效，且不考虑存贷款利息，设2000年以后的x年的总收益为f(x)（单位：千万元），试求f（x）的表达式，并预测到哪一年能收回全部投资款。
巩固练习 A 组1．在一定范围内，某种产品的购买量y 吨与单价x 元之间满足一次函数关系．如果购买1 000吨，每吨为800元；购买2 000吨，每吨为700元．一客户购买400吨，单价应该是( )A ．820元B ．840元C ．860元D ．880元2．2()f x x =,()2x g x =,2()log h x x =,当(4,)x ∈+∞时,三个函数增长速度比较,下列选项中正确的是（ ）A. ()f x >()g x >()h xB. ()g x >()f x >()h xC. ()g x >()h x >()f xD. ()f x >()h x >()g x 2．某人2003年1月1日到银行存入一年期存款a 元，若按年利率为x ，并按复利计算，到2008年1月1日可取回款（ ）.A. a (1+x )5元B. a (1+x )6元C. a (1+x 5)元D. a (1+x 6)元 某工厂生产总值月平均增长率为p ，则年平均增长率为（）.A. pB. 12pC. (1+p )12D. (1+p )12－13．用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为( )A ．3B ．4C ．6D ．12 4．电视台播出的一档节目中有这样一道抢答题:小蜥蜴体长15 cm,体重15 g,已知小蜥蜴的体积与体长的立方成正比,问:当小蜥蜴长到体长为20 cm 时,它的体重大约是( )A.20 gB.25 gC.35 gD.40 g5．进货单价为80元的商品400个，按90元一个可以全部卖出，已知这种商品每涨价1元，其销售量就减少20个，问售价多少元时获得的利润最大？( )A ．85B ．90C ．95D ．1005．某产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是y ＝3 000＋20x －0.1x 2，x ∈(0,240)．若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量为_ _____台．6．在国内投寄平信，每封信不超过20克重付邮资80分，超过节20克重而不超过40克重付邮资160分，将每封信的应付邮资(分)表示为信重(040)x x <≤克的函数，其表达式为()f x = .7．(2010年浙江)某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x %，八月份销售额比七月份递增x %，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等．若一月至十月份销售总额至少达7 000万元，则x 的最小值是______．8．某商场宣传在节假日对顾客购物实行一定的优惠，商场规定：①如一次购物不超过200元，不予以折扣；②如一次购物超过200元，但不超过500元，按标价予以九折优惠； ③如一次购物超过500元的，其中500元给予九折优惠，超过500元的给予八五折优惠；某人两次去购物，分别付款176元和432元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款__ ______ 元．9．如图K3－8－1(1)是反映某条公共汽车线路收支差额(即营运所得票价收入与付出成本的差)y 与乘客量x 之间关系的图象．由于目前该条公交线路亏损，公司有关人员提出了两种调整的建议，如图K3－8－1(2)(3)所示．图K3－8－1给出以下说法：(1) 图(2)的建议是：提高成本，并提高票价；(2) 图(2)的建议是：降低成本，并保持票价不变； (3) 图(3)的建议是：提高票价，并保持成本不变； (4) 图(3)的建议是：提高票价，并降低成本． 其中所有说法正确的序号是_______．10．某商店计划投入资金20万元经销甲或乙两种商品.已知经销甲商品与乙商品所获得的利润分别为P 和Q(万元),且它们与投入资金x(万元)的关系是P=42,Q x ax (a>0).若不管资金如何投放,经销这两种商品或其中的一种商品所获得的纯利润总不小于5万元,求 a 的最小值B 组1．为了得到函数y ＝3×3x 的图象，可以把函数y ＝3x的图象( ) A ．向左平移3个单位长度 B ．向右平移3个单位长度 C ．向左平移1个单位长度 D ．向右平移1个单位长度 2．函数y ＝ln(1－x )的大致图象为( )3．设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x ＋2)＝f (x )，则函数y ＝f (x )的图象是( )A BC D4．函数f (x )＝1x－x 的图象关于( )A ．y 轴对称B ．直线y ＝－xC ．坐标原点对称D ．直线y ＝x5.一般地，家庭用电量（千瓦时）与气温（℃）有一定的关系，如图2—1所示，图（1）表示某年12个月中每月的平均气温.图（2）表示某家庭在这年12个月中每个月的用电量.根据这些信息，以下关于该家庭用电量与其气温间关系的叙述中，正确的是（ ）A ．气温最高时，用电量最多B ．气温最低时，用电量最少C ．当气温大于某一值时，用电量随气温增高而增加D ．当气温小于某一值时，用电量随气温渐低而增加6.函数()y f x =与()y g x =的图像如下图：则函数()()y f x g x =⋅的图像可能是（ ）y=f(x)oyxy=g(x)o yxoyxo yxoyxo yxA B C D7．关于x 的方程|x 2－4x ＋3|－a ＝0有三个不相等的实数根，则实数a 的值是_ _． 8．已知下列曲线：以下编号为①②③④的四个方程：①x －y ＝0；②|x |－|y |＝0；③x －|y |＝0；④|x |－y ＝0.请按曲线A 、B 、C 、D 的顺序，依次写出与之对应的方程的编号_ _______． 9 作函数()11f x x =-的简图 10.使2log ()1x x -<+成立的x 德取值范围是 。
322函数模型应用举例
1．我们所学过的函数有那些？ 一次函数、二次函数、指数函数、对数函数以及 幂函数共5种函数． 2．你能分别说出有关这些函数的解析式、函数图 象以及性质吗？ 3．你能分别说说这些函数在实际生活中的应用吗？
函数模型应用实例
例3 一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示： （1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义； （2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为
6282 8
6456 3
6599 4
6720 7
（2）如果按上表的增长趋势，大约在哪一年我国的人口
达到13亿？
解：（2）将y＝130000带入 y 55196 e0.0221t ,t N
由计算器可得：t ≈38.76．
函数模型应用过程
根据收集到的数据，作出散点图，然后通过观察 图象判断问题所适合的函数模型，利用计算器或计 算机的数据拟合功能得出具体的函数解析式，再用 得到的函数模型解决相应的问题，这是函数应用的 一个基本过程．
年份 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959
人数/万 5519 5630 5748 5879 6026 6145 6282 6456 6599 6720
人
并作6 出函0数
y
2
6
55196
e0.60的221图t , t象6．N
8
3
4
7
函数模型应用实例
（4）将数学问题的解代入实际问题进行核查．舍去 不合题意的解，并作答．
函数模型应用框图 用框图表示如下：
知识小结
解决函数应用问题的基本步骤：
例4 人口问题是当今世界各国普遍关心的问题．认识人口 数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据．早在 1798年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口
函数模型在实际问题中的应用
函数模型在实际问题中的应用在我们的日常生活和工作中，数学的身影无处不在，而函数作为数学中的重要概念，更是有着广泛且实用的应用。
函数模型能够帮助我们理解和解决各种各样的实际问题，从经济领域的成本与收益分析，到物理世界中的运动规律描述，从环境科学中的资源分配，到工程技术中的优化设计，都离不开函数模型的助力。
先来说说经济领域中的成本与收益问题。
假设一家工厂生产某种产品，其生产成本 C 与产量 x 之间的关系可以用函数 C(x) ＝ ax ＋ b 来表示，其中 a 表示单位产品的变动成本，b 是固定成本。
而产品的销售收益 R 与产量 x 的关系可以用函数 R(x) ＝ px 来表示，其中 p 是单位产品的销售价格。
那么，工厂要想获得利润，就需要考虑收益大于成本，即R(x) ＞C(x)，通过这样的函数关系，我们可以确定最佳的产量，使得利润最大化。
再看物理中的运动问题。
比如一个物体做自由落体运动，其下落的距离 h 与时间 t 的关系可以用函数 h ＝ 1/2gt²来表示，其中 g 是重力加速度。
通过这个函数，我们可以计算出物体在不同时刻所处的位置，从而预测其运动轨迹。
在环境科学中，函数模型也发挥着重要作用。
例如，研究某个区域的水资源分配问题。
假设该区域的水资源总量是固定的，而不同部门的用水需求可以用函数表示。
通过建立这些函数关系，我们可以合理地规划水资源的分配，以满足各个部门的需求，同时保证水资源的可持续利用。
工程技术方面，以桥梁的设计为例。
桥梁的承重能力与桥梁的结构参数之间存在着函数关系。
工程师们需要通过建立准确的函数模型，来确定桥梁的最佳设计方案，既要保证桥梁的安全性，又要控制建设成本。
让我们通过一个具体的例子来更深入地理解函数模型的应用。
假设我们要设计一个矩形的花坛，花坛的周长为一定值 L。
我们知道矩形的周长 L ＝ 2(x ＋ y)，其中 x 和 y 分别是矩形的长和宽。
而花坛的面积 S ＝ xy。
高中数学3.2.2.2 指数型、对数型函数模型的应用举例
x12 3 4 5 y 3 5 6.99 9.01 11
下列函数模型中,最接近地表示这组数据满足的规律的一个是
()
A.指数函数
B.反比例函数
C.一次函数
D.二次函数
2.(2014·大连高一检测)某工厂今年1月,2月,3月生产某产品 分别为1万件,1.2万件,1.3万件,为了预测以后每个月的产量, 以这三个月的产量为依据,用一个函数模拟该产品的月产量y与 月份数x的关系,模拟函数可选用二次函数或指数型函数y=mnx +p(其中m,n,p为常数).已知4月份该产品的产量为1.37万件,请 问选择以上哪个函数作为模型较好?并说明理由.
11%gx，x 4 000.
如果稿费为4 000元应纳税为448元,现知某人共纳税420元,所
以稿费应在800～4 000元之间,
所以(x-800)×14%=420,所以x=3 800.故选C.
2.(1)当0<x≤10时，
f(x)=-0.1x2+2.6x+43=-0.1(x-13)2+59.9，
【拓展延伸】解答应用问题的程序概括为“四步八字”,即 (1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择 模型. (2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号 语言,利用数学知识,建立相应的数学模型. (3)求模:求解数学模型,得出数学结论. (4)还原:将数学结论还原为实际问题的结论.
【规律总结】数据拟合问题的三种求解策略 (1)直接法:若由题中条件能明显确定需要用的数学模型,或题 中直接给出了需要用的数学模型,则可直接代入表中的数据,问 题即可获解. (2)列式比较法:若题所涉及的是最优化方案问题,则可根据表 格中的数据先列式,然后进行比较.
高中数学3.2.2.1一次函数、二次函数、幂函数模型的应用举例
营这种货物的件数x与按新价让利总额y之间的函数关系
是
.
【解题指南】1.分析题意,明确各个量之间的关系,建立峰时段 用电量与总电量之间的关系式,弄清利润=(售价-进价)×件数,本题数学模型为一次 函数.
【自主解答】1.选D.①原来电费y1=0.52×200=104(元). ②设峰时段用电量为xkW·h,总电费为y, 则y=0.55x+(200-x)×0.35=0.2x+70, 由题意知0.2x+70≤(1-10%)y1,所以x≤118. 所以这个家庭每月在峰时段的平均用电量至多为118kW·h.
3.2.2 函数模型的应用实例
第1课时 一次函数、二次函数、 幂函数模型的应用举例
类型 一 一次函数模型的应用实例
1.某市原来民用电价为0.52元/kW·h.换装分时电表后,峰时段
(早上八点到晚上九点)的电价为0.55元/kW·h,谷时段(晚上九
点到次日早上八点)的电价为0.35元/kW·h.对于一个平均每月
【拓展延伸】解函数应用问题的基本步骤 第一步:阅读理解,审清题意. 读懂题中的文字叙述,理解叙述所反映的实际背景,在此基础上, 分析出已知什么,求什么,从中提炼出相应的数学问题. 第二步:引进数学符号,建立数学模型. 一般地,设自变量为x,函数为y,必要时引入其他相关辅助变量, 并用x,y和辅助变量表示各相关量,然后根据问题已知条件,运 用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立关系式, 将实际问题转化为函数问题,即所谓建立数学模型.
件不变的条件下,每裁员一人,则留岗员工每人每年可多创收
0.01万,但每年需付给每位下岗工人0.4万元的生活费,并且企
业正常运转所需人数不得少于现有员工的 3 ,设该企业裁员x
函数模型及其应用讲义
函数模型及其应用讲义一、知识梳理1．几类函数模型函数模型 函数解析式一次函数模型 f (x )＝ax ＋b (a ，b 为常数，a ≠0) 反比例函数模型 f (x )＝kx＋b (k ，b 为常数且k ≠0)二次函数模型 f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)指数函数模型 f (x )＝ba x ＋c (a ，b ，c 为常数，b ≠0，a >0且a ≠1) 对数函数模型 f (x )＝b log a x ＋c (a ，b ，c 为常数，b ≠0，a >0且a ≠1) 幂函数模型f (x )＝ax n ＋b (a ，b 为常数，a ≠0)2.三种函数模型的性质函数性质y ＝a x (a >1) y ＝log a x (a >1) y ＝x n (n >0) 在(0，＋∞)上的增减性单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x 的增大逐渐表现为与y 轴平行随x 的增大逐渐表现为与x 轴平行随n 值变化而各有不同值的比较存在一个x 0，当x >x 0时，有log a x <x n <a x注意：1．解函数应用题的步骤2．“对勾”函数形如f (x )＝x ＋ax(a >0)的函数模型称为“对勾”函数模型：(1)该函数在(－∞，－a ]和[a ，＋∞)上单调递增，在[－a ，0)和(0，a ]上单调递减． (2)当x >0时，x ＝a 时取最小值2a ， 当x <0时，x ＝－a 时取最大值－2a .二、基础检测题组一：思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利．()(2)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．()(3)不存在x0，使0x a<0n x<log a x0.()(4)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝a x(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝x a(a>0)的增长速度．()(5)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·b x＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻．()题组二：教材改编2．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是()A．收入最高值与收入最低值的比是3∶1B．结余最高的月份是7月C．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D．前6个月的平均收入为40万元3．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝12x2＋2x＋20(万元)．一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为______万件．4．]用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为________．题组三：易错自纠5．某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为____________．6．已知某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y＝a log3(x＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到________只．三、典型例题题型一：用函数图象刻画变化过程1.高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图象是()2．物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是()3．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程．下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是()A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油量最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时．相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油思维升华：判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．题型二：已知函数模型的实际问题典例(1)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为________分钟．(2)某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品，若该商品零售价定为p 元，销售量为Q 件，则销售量Q (单位：件)与零售价p (单位：元)有如下关系：Q ＝8 300－170p －p 2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)( ) A ．30元 B ．60元 C ．28 000元D ．23 000元思维升华：求解所给函数模型解决实际问题的关注点 (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数． (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数． (3)利用该模型求解实际问题．跟踪训练 (1)拟定甲、乙两地通话m 分钟的电话费(单位：元)由f (m )＝1.06(0.5[m ]＋1)给出，其中m >0，[m ]是不超过m 的最大整数(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为______元． (2)某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K 是单位产品数Q 的函数，K (Q )＝40Q －120Q 2，则总利润L (Q )的最大值是________万元．题型三：构建函数模型的实际问题 命题点1：构造一次函数、二次函数模型典例 (1)某航空公司规定，乘飞机所携带行李的质量x (kg)与其运费y (元)之间的关系由如图所示的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的质量最大为________kg.(2)将进货单价为80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个，为了赚得最大利润，每个售价应定为________元． 命题点2：构造指数函数、对数函数模型典例 一片森林原来面积为a ，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22. (1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？引申探究：本例的条件不变，试计算：今后最多还能砍伐多少年？ 命题点3：构造y ＝x ＋ax(a >0)型函数典例 (1)某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y (万元)与营运年数x 的关系如图所示(抛物线的一段)，则为使其营运年平均利润最大，每辆客车营运年数为________．(2)某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为93平方米，且高度不低于3米．记防洪堤横断面的腰长为x 米，外周长(梯形的上底线段BC 与两腰长的和)为y 米．要使防洪堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小)，则防洪堤的腰长x ＝________.命题点4：构造分段函数模型典例某景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x (元)只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y (元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分)． (1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？思维升华：构建数学模型解决实际问题，要正确理解题意，分清条件和结论，理顺数量关系，将文字语言转化成数学语言，建立适当的函数模型，求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制．跟踪训练 (1)某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少13，至少应过滤________次才能达到市场要求．(已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)(2)大学毕业生小赵想开一家服装专卖店，经过预算，该门面需要装修费为20 000元，每天需要房租、水电等费用100元，受经营信誉度、销售季节等因素的影响，专卖店销售总收益R 与门面经营天数x 的关系是R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2，0≤x ≤400，80 000，x >400，则总利润最大时，该门面经营的天数是________．函数应用问题：典例 (12分)已知美国某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元．设公司一年内共生产该款手机x 万部并全部销售完，每万部的销售收入为R (x )万美元，且R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400－6x ，0<x ≤40，7 400x－40 000x 2，x >40.(1)写出年利润W (万美元)关于年产量x (万部)的函数解析式；(2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．四、反馈练习1．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )x 1.992 3 4 5.15 6.126 y1.5174.041 87.51218.01A.y ＝2x －2 B ．y ＝12(x 2－1)C ．y ＝log 2xD ．y ＝12log x2．某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C 与时间t (年)的函数关系图象正确的是( )3．国家规定某行业征税如下：年收入在280万元及以下的税率为p %，超过280万元的部分按(p ＋2)%征税，有一公司的实际缴税比例为(p ＋0.25)%，则该公司的年收入是( ) A ．560万元 B ．420万元 C ．350万元D ．320万元4．某大型民企为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该民企2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该民企全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)( ) A ．2017年 B ．2018年 C ．2019年D ．2020年5．某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10 m 3的，按每立方米m 元收费；用水超过10 m 3的，超过部分加倍收费．某职工某月缴水费16m 元，则该职工这个月实际用水为( ) A ．13 m 3 B ．14 m 3 C ．18 m 3D ．26 m 36．某汽车销售公司在A ，B 两地销售同一种品牌的汽车，在A 地的销售利润(单位：万元)为y 1＝4.1x －0.1x 2，在B 地的销售利润(单位：万元)为y 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是( ) A ．10.5万元 B ．11万元 C ．43万元D ．43.025万元7．某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y ＝e kt (其中k 为常数，t 表示时间，单位：小时，y 表示病毒个数)，则k ＝________，经过5小时，1个病毒能繁殖为________个．8．西北某羊皮手套公司准备投入适当的广告费对其生产的产品进行促销．在一年内，根据预算得羊皮手套的年利润L 万元与广告费x 万元之间的函数解析式为L ＝512－)82(xx (x >0)．则当年广告费投入________万元时，该公司的年利润最大．9.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为____m.10．某市用37辆汽车往灾区运送一批救灾物资，假设以v km/h 的速度直达灾区，已知某市到灾区公路线长400 km ，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于2)20(v km ，那么这批物资全部到达灾区的最少时间是________ h(车身长度不计)．11．声强级Y (单位：分贝)由公式Y ＝10lg )10(12I给出，其中I 为声强(单位：W/m 2)． (1)平常人交谈时的声强约为10－6 W/m 2，求其声强级；(2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝，求能听到最低声强为多少？(3)比较理想的睡眠环境要求声强级Y ≤50分贝，已知熄灯后两位同学在宿舍说话的声强为5×10－7 W/m 2，问这两位同学是否会影响其他同学休息？12．某书商为提高某套丛书的销售量，准备举办一场展销会．据市场调查，当每套丛书售价定为x 元时，销售量可达到15－0.1x 万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润＝售价－供货价格，问： (1)每套丛书售价定为100元时，书商能获得的总利润是多少万元？ (2)每套丛书售价定为多少元时，单套丛书的利润最大？13．一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与速度v 的平方成正比，且比例系数为k ，除燃料费外其他费用为每小时96元．当速度为10海里/小时时，每小时的燃料费是6元．若匀速行驶10海里，当这艘轮船的速度为________海里/小时时，总费用最小．14．商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a ，最高销售限价b (b >a )以及实数x (0<x <1)确定实际销售价格c ＝a ＋x (b －a )．这里，x 被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数x 恰好使得(c －a )是(b －c )和(b －a )的等比中项．据此可得，最佳乐观系数x ＝________.15．某地西红柿从2月1日开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q (单位：元/100 kg)与上市时间t (单位：天)的数据如下表：时间t 60 100 180 种植成本Q11684116Q 与上市时间t 的变化关系：Q ＝at ＋b ，Q ＝at 2＋bt ＋c ，Q ＝a ·b t ，Q ＝a ·log b t . 利用你选取的函数，求得：(1)西红柿种植成本最低时的上市天数是________；(2)最低种植成本是________(元/100 kg)．16．某店销售进价为2元/件的产品A，该店产品A每日的销售量y(单位：千件)与销售价格x(单位：元/件)满足关系式y＝10x－2＋4(x－6)2，其中2<x<6.(1)若产品A销售价格为4元/件，求该店每日销售产品A所获得的利润；(2)试确定产品A的销售价格，使该店每日销售产品A所获得的利润最大．(保留1位小数)。
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函数模型的应用实例编稿：丁会敏审稿：王静伟【学习目标】1.能够找出简单实际问题中的函数关系式，应用指数函数、对数函数模型解决实际问题，并初步掌握数学建模的一般步骤和方法.2.通过具体实例，感受运用函数建立模型的过程和方法，体会指数函数、对数函数模型在数学和其他学科中的应用.3.通过函数应用的学习，体会数学应用的广泛性，树立事物间相互联系的辩证观，培养分析问题、解决问题的能力，增强数学的应用意识.【要点梳理】【高清课堂：函数模型的应用实例392115 知识要点】要点一、解答应用问题的基本思想和步骤1.解应用题的基本思想2.解答函数应用题的基本步骤求解函数应用题时一般按以下几步进行：第一步：审题弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型.第二步：建模在细心阅读与深入理解题意的基础上，引进数学符号，将问题的非数学语言合理转化为数学语言，然后根据题意，列出数量关系，建立函数模型.这时，要注意函数的定义域应符合实际问题的要求.第三步：求模运用数学方法及函数知识进行推理、运算，求解数学模型，得出结果.第四步：还原把数学结果转译成实际问题作出解答，对于解出的结果要代入原问题中进行检验、评判，使其符合实际背景.上述四步可概括为以下流程：实际问题(文字语言)⇒数学问题(数量关系与函数模型)⇒建模(数学语言)⇒求模(求解数学问题)⇒反馈(还原成实际问题的解答).要点二、解答函数应用题应注意的问题首先，要认真阅读理解材料.应用题所用的数学语言多为“文字语言、符号语言、图形语言”并用，往往篇幅较长，立意有创新脱俗之感.阅读理解材料要达到的目标是读懂题目所叙述的实际问题的意义，领悟其中的数学本质，接受题目所约定的临时性定义，理解题目中的量与量的位置关系、数量关系，确立解体思路和下一步的努力方向，对于有些数量关系较复杂、较模糊的问题，可以借助画图和列表来理清它.其次，建立函数关系.根据前面审题及分析，把实际问题“用字母符号、关系符号”表达出来，建立函数关系.其中，认真阅读理解材料是建立函数模型的关键.在阅读这一过程中应像解答语文和外语中的阅读问题一样，有“泛读”与“精读”之分.这是因为一般的应用问题，一方面为了描述的问题与客观实际尽可能地相吻合，就必须用一定的篇幅描述其中的情境；另一方面有时为了思想教育方面的需要，也要用一些非数量关系的语言来叙述，而我们解决问题所关心的东西是数量关系，因此对那些叙述的部分只需要“泛读”即可.反过来，对那些刻画数量关系、位置关系、对应关系等与数学有关的问题的部分，则应“精读”，一遍不行再来一遍，直到透彻地理解为止，此时切忌草率.【典型例题】类型一、已建立函数模型的应用题例1.心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间．讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散．分析结果和实验表明，用f (x)表示学生掌握和接受概念的能力，x 表示提出和讲授概念的时间（单位：分），可有以下的公式：20.1 2.643, (010)()59, (1016)3107, (1630)x x x f x x x x ⎧-++<≤⎪=<≤⎨⎪-+<≤⎩．问开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？【答案】开讲后10分钟，学生达到最强的接受能力（值为59），并维持6分钟．【解析】 当0＜x ≤10时，f (x)=―0.1x 2+2.6x+43=―0.1(x ―13)2+59.9，可知f (x)在（0，10）上单调递增，故其最大值为f (10)=―0.1×(―3)2+59.9=59．显然，当16＜x ≤30时，f (x)递减，f (x)＜－3×16+107=59．因此，开讲后10分钟，学生达到最强的接受能力（值为59），并维持6分钟．【总结升华】（1）解决分段函数模型问题的关键在于“分段归类”，即自变量属于哪一段就选用哪段的函数【解析】式来分析解决问题．（2）求解“已建立数学模型”的应用问题关键是抓住已建立的函数模型，选择合适的方法求解建立的数学模型．注意一定要“读”懂模型．例2. 某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：21400, (0400)()280000, (400)x x x R x x ⎧-≤≤⎪=⎨⎪>⎩，其中x 是仪器的月产量． （1）将利润表示为月产量的函数f (x)．（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收益=总成本+利润）【思路点拨】这里已有函数模型，只需对x 分段讨论，写出利润的表达式即可。
【答案】（1）2130020000, (0400)()260000100, (400)x x x f x x x ⎧-+-≤≤⎪=⎨⎪->⎩；(2) 每月生产300台仪器时，利润最大．最大利润为25000元．【解析】（1）设每月产量为x 台，则总成本为20000+100x ， 从而2130020000, (0400)()260000100, (400)x x x f x x x ⎧-+-≤≤⎪=⎨⎪->⎩．（2）当0≤x ≤400时，21()(300)250002f x x =--+， ∴当x=300时，有最大值25000；当x ＞400时，f (x)=60000－100x 是减函数，f (x)＜60000－100×400＜25000．∴当x=300时，f (x)的最大值为25000．∴每月生产300台仪器时，利润最大．最大利润为25000元．【总结升华】由题目可获取以下主要信息：①总成本=固定成本+100x ；②收益函数为一分段函数．解答本题可由已知总收益=总成本+利润，利润=总收益－总成本．由于R (x)为分段函数，所以f (x)也要分段求出，将问题转化为分段函数求最值问题．分段函数的性质应分段研究，分段函数的最大值是各段函数值的最大者．分段函数应用题是高考命题的热点．举一反三：【变式1】 设在海拔x m 处的大气压强是y Pa ，y 与x 之间的函数关系式是y=ce kx ，其中c ，k 为常量，已知某地某天海平面上的大气压为1.01×105 Pa ，1000 m 高空的大气压为0.90×105 Pa ，求600 m 高空的大气压强（结果保留3位有效数字）．【答案】 0.943×105.【解析】这里已有函数模型，要求待定系数c 、k ，由x=0时y=1.01×105 Pa 和x=1000 m 时y=0.90×105 Pa 可求．将x=0，y=1.01×105，x=1000，y=0.90×105分别代入函数关系式y=ce kx 中，得50510001.01100.9010k k ce ce ⋅⎧⨯=⎪⎨⨯=⎪⎩，∴5510001.01100.9010k c ce⎧=⨯⎪⎨⨯=⎪⎩． 将c=1.01×105代入0.90×105=ce 1000k 中得0.90×105=1.01×105e 1000k ， ∴10.90ln 1000 1.01k =⨯． 由计算器算得k=－1.15×10－4， ∴45 1.15101.0110x y e --⨯=⨯⨯．将x=600代入上述函数关系式得45 1.15106001.0110y e --⨯⨯=⨯⨯，由计算器算得y=0.943×105 Pa ．答：600 m 高空的大气压强约为0.943×105 Pa ．【总结升华】 函数y=c ·a kx （a 、c 、k 为常数）是一个应用广泛的函数模型，它在电学、生物学、人口学、气象学等都有广泛的应用，解决这类给出指数函数模型的应用题的基本方法是待定系数法，即根据题意确定相关的系数即可．类型二、自建函数模型的应用问题例3. 某公司每年需购买某种元件8000个用于组装生产，每年分n 次等量进货，每进一次货（不分进货量大小）费用500元，为了持续生产，需有每次进货的一半库存备用，每件每年库存费2元，问分几次进货可使得每年购买和贮存总费用最低？【思路点拨】本题的关键是根据题意列出函数关系式，然后利用配方法求函数的最大值。
【答案】4【解析】设每年购买和贮存元件总费用为y 元，其中购买成本费为固定投入，设为c 元，则 8000150022y n c n =+⨯⨯+800016 500500()n c n cn n=++=++24000c=++，=，即n=4时，y取得最小值且y min=4000+c．所以分4次进货可使得每年购买和贮存元件总费用最低．【总结升华】题中用了配方法求最值，技巧性高，另外本题还可利用函数16y xx=+在（0，+∞）上的单调性求最值，请同学们自己试解．举一反三：【变式1】某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．（1）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？（2）设一次订购量为x个时，零件的实际出厂单价为P元，写出函数P=f (x)的表达式；（3）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个时，利润又是多少元？（工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价－成本）【答案】（1）550（2）60 (0100,)()62 (100550,)5051 (550,)x xxP f x x xx x<≤∈⎧⎪⎪==-<<∈⎨⎪≥∈⎪⎩NNN（3）6000 11000【解析】（1）设零件的实际出厂单价恰好降为51元时，一次订购量为x0个，则60511005500.02x-=+=．因此，当一次订购量为550个时，零件的实际出厂单价恰好降为51元．（2）当0＜x≤100时，P=60．当100＜x＜550时，600.02(100)6250xP x=--=-．当x≥550时，P=51．∴60 (0100,)()62 (100550,)5051 (550,)x xxP f x x xx x<≤∈⎧⎪⎪==-<<∈⎨⎪≥∈⎪⎩NNN（3）设销售商的一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，则220 (0100,)(40)22 (100550,)5011 (550,)x x xxL P x x xx x x<≤∈⎧⎪⎪=-=-<<∈⎨⎪≥∈⎪⎩NNN当x=500时，L=6000；当x=1000时，L=11000．因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6000元；如果订购1000个时，利润是11000元．【高清课堂：函数模型的应用实例392115 例2】例4．某环线地铁按内、外环线同时运行,内、外环线的长均为30千米(忽略内、外环线长度差异).(1)当9列列车同时在内环线上运行时,要使内环线乘客最长候车时间为10分钟,求内环线列车的最小平均速度;(2)新调整的方案要求内环线列车平均速度为25千米/小时,外环线列车平均速度为30千米/小时.现内、外环线共有18列列车全部投入运行,要使内、外环线乘客的最长候车时间之差不超过1分钟,问:内、外环线应各投入几列列车运行?【思路点拨】（1）根据题意列出不等式求解（2）列出不等式求解，因为计算过程中，数字比较大，可以使用计算器。