多元正态分布-多元统计分析优秀课件
多元统计分析_第2章_多元正态分布_s
第2章多元正态分布§2.1 多元分布§2.2 多元正态分布的定义及基本性质§2.3 正态分布的条件分布和独立性§2.4 矩阵正态分布§2.5 参数的极大似然估计§2.6 极大似然估计的性质13),21′=p ξξξ (ξ随机向量：pn ij ξξ×=)(随机矩阵：注：随机矩阵拉直后就是随机向量，二者都是由多个随机变量组成，只是摆放形势不同.4一、多元分布函数1212121122122.1.1 (,,,)()(,,,) ()(,,,)(,,,)(,,,)~.p p p p p pp ξξξξξξF x F x x x P ξx ξx ξx x x x x R F ξξ′===≤≤≤′=∈ 定义设是一随机向量，它的多元分布函数的联合分布函数定义为式中，记作512122112(1)(,,,)(1,2,,)(2)0(,,,)1(3)(,,,)(,,,)(,,,)0(4)(,,,)1p i p p p F x x x x i p F x x x F x x F x x F x x F =≤≤−∞=−∞==−∞=+∞+∞+∞= 是每个变量的单调非降右连续函数.多元分布函数的性质：71)( )2( ,0)( )1()(=∈∀≥⋅∫dx x f R x x f R f pR pp 当且仅当随机向量的分布密度，中某个能作为一个多元函数9二、边缘分布.)( 3.1.2)1(的边缘分布的分布称为个分量组成的随机向量的维随机向量，由它为若定义ξξξp q q p <10),,,,,,(),,,,,),,)111111)1()2()1(∞∞∞=∞≤∞≤≤≤=≤≤=≤⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=+ q p q q q q q u u F u ξu ξP u ξu ξP u ξP ξξξξξξ((((1)的分布函数为，则不妨假设11(1)(1212112111)(,,)(,,)q q u u u p p u u u p q p q P ξu f t t dt dt dt f t t dt dt dt dt ∞∞∞−∞−∞−∞−∞−∞−∞∞∞∞+−∞−∞−∞−∞−∞−∞≤=⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ 若ξ有分布密度函数f (x )，则12p q p q q q dt dt t t x x f x x f ξ1111)1(),,,,,(),,(++∞∞−∞∞−∞∞−∫∫∫=的边缘分布密度为(1)13注：（1）有分布密度函数，则它的任何边缘分布也有分布密度函数；（2）若的任何边缘分布有分布密度函数，并不能推出有分布密度.ξξξ两个随机向量独立的充分必要条件：①联合分布函数等于边缘分布函数的乘积；②若随机向量为连续型的，联合分布密度等于边缘分布密度的乘积；③若随机向量为离散型，联合分布列等于边缘分布列的乘积；④联合特征函数等于边缘特征函数的乘积.1621).()(~),(~),(~,)4(t t t t ηηηξηξηξΦΦ+ΦΦξξ则量的随机向是相互独立且维数相同与若).()(),( ,)()(,,)5()2()1()2()1(t t t t t t q p ηξξΦΦ=Φ⇔ΦΦ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛Φ独立和则的特征函数和分别为和特征函数的表示维随机向量和分别为和若ηξηξηξηξη22(7) .p a ξξ′若为维随机向量，则它的分布由一切形如的分布所唯一决定).()exp()( ,),(~ )6(t A a t i t a A t ′Φ′=Φ+=Φξηξηξ则若ξ23).()exp()])([exp()exp()][exp()exp())]([exp()][exp()(t A a t i t A i E a t i A t i E a t i a A t i E t i E t ′Φ′=′′′=′′=+′=′=Φξηξξξη证明：（6）24.,3,,),()][exp()1( 1)][exp()( )7(:的分布它决定了知由性质的特征函数恰好是的函数把它看成得取的特征函数为证明ξξξξa a a i E t a it E t a a a Φ=′=Φ=′=Φ′′′ξξξξ25五、矩2.1.6 ()(), 1, 2, , ,1, 2, , ,()(), .ij ij ij n p E i n j p E ξξξεξξξ=×=== 定义设为随机矩阵，假定存在且有限记称为随机矩阵的均值)()( ij E ξξε=26,(1) ,,,( )(),()()A B C A B C A B CA A εξεξξεξεξ+=+=若为常数矩阵则特别当为随机向量时有注：以下总假定公式中用到的随机矩阵的矩是存在的.均值的性质：27)]([)]([)] )4()()( , )3()()( ,, )2(ξεξεξξηεξεηξεηεξεηξεA tr A tr A E n p A p n b a b a b a B A B A B A ==××+=++=+[tr()()(则常数矩阵，为随机矩阵，为若为常数，则若则为常数矩阵若注：以上四个性质均体现均值的线性性.28().),,cov()(),cov(])()][([),cov( ),,cov(,)(),), 7.2.1 2121的协方差称为时，记作当即其元素是矩阵定义为一个简称协差阵阵的协方差维随机向量，它们之间维和分别为和设定义ξξξξηξηξηεηξεξεηξηξηηηηξ===′−−=×′=′=D p n p n ξξξj i j i p n ((29() ),cov(),cov( j i ηξηξ=()),cov(),cov(j i ξξξξ=31.])(][)([)())()()( ,)2(.})(){() (),cov(,})(){() (),cov()1(′−−+=′−−=+′−′=′−′=a a D a a D a D a ξεξεξξξεξξξεξεξξεξξηεξεηξεηξ(则为常向量若特别协差阵的性质：32A AD A DB A B A B A ′=′=)()( ),cov(),cov( ,)3(ξξηξηξ特别则为常数矩阵和设协差阵的性质（续）35则记值和协差阵存在的均若随机向量定理 ),( ),( ,),,, 1.1.221ξξεμD ξξξξn =Σ=′= ()()( μμξξA A tr A E ′+Σ=′36μμμμξξξξξξA A tr A tr A Etr A Etr A E ′+Σ=′+Σ=′=′=′)()}({)()()(μμξξεξεξεξξεξ′+Σ=′′−′=) (,})(){() ()(:所以因为证明D。
第一章多元正态分布 PPT
(1) E(AX ) AE(X )
1.7
2021/8/23 (2) E( AXB) AE( X )B
(1.8) 12
§1、1、4 随机向量的数字特 征
2、随机向量X 自协方差阵
Σ COV (X, X) E(X EX)(X EX)/ D(X)
D(X1 )
COV ( X1, X 2 ) COV ( X1, X P )
D(AX ) AD( X )A' AA'
cov( AX , BY ) Acov( X ,Y )B'
2021/8/23
14
§1、1、4 随机向量的数字特 征
(3)设X为 维n随机向量,期望和协方差存在记
μ E(X), Σ D(X) , A为n n常数阵， 则
E(X' AX) tr(AΣ) μ ' Aμ
欧氏距离,依勾股定理有
d (O, P) (x12 x22 )1/2
(1.14)
2021/8/23
19
§1、2 统计距离和马氏距离
但就大部分统计问题而言,欧氏距离是不能
令人满意的。这个地方因为,每个坐标对欧氏距
离的贡献是同等的。当坐标轴表示测量值时,它
们往往带有大小不等的随机波动,在这种情况下
,合理的方法是对坐标加权,使得变化较大的坐
X
j
X j E(X j ) (var X j )1/ 2
j 1, , p
X
( X1,
X
2
,
,
X
p
)
于是
E(X ) 0
D(X ) corr(X) R
(1.12)
何为标准化？ 标准化的作用？
即标准化数据的协差阵正好是原指标的相关阵.
多元正态分布(9 6)PPT课件
目录
学时安排及考试形式 教材及参考书目 本课程主要内容 多元正态分布
一 学时安排及考试形式
本课程共60个学时： 理论课36学时、 实验课24学时、
理论与实验课交叉安排
本课程是闭卷考试课： 平时成绩占40%、 期末成绩占60%；Hale Waihona Puke 二 教材及P参art考1 书目
本课程所用教材： 陈峰，医用多元统计分析方法（第二版），中国统计出版社。
本例中n=12,m=3,则V表示为：
v11 v12 v13 45.7224 50.3621 32.2318
Vv21 v31
v22 v32
vv2 33 33 52 0..2 33 61 28 1
69.6288 45.4659
4 35 5..4 36 25 39 9
显然，vij ，v ji 即协方差矩阵是对称矩阵（symmetry matrix） 常用下三角矩阵表示：
rr233300.8.890226
1 0.9168
1
1.2 多元正态分布
1.2.1 定义 1.2.2 性质
因此，出现了多元统计分析方法。
多元统计学起源于20世纪20年代，Wishart,Hotelling, Fisher,Roy等是该领域的先驱。
多元统计分析计算量较大，开始时局限于理论研究； 20世纪50年代后，计算机及统计分析软件的发展， 多元统计方法广泛应用到自然和社会科学的各个领域。
随着实际需要而产生了统计学的很多内容，在应用面 扩大和深入的同时，多元统计分析的理论得到了突发猛进 的发展。
r11 r12 r13 1 0.8926 0.802
Rr21 r31
r22 r32
rr233300..8890226
多元统计分析 多元正态分布及PPT课件
1
e e dx
itx
(
x) 2 2
2
2
u ( x ) /
1
eit
(u
)
e
u2 2
d
u
2
12
第12页/共83页
第二章 多元正态分布及参数的估计 §2.2 多元正态分布的性质1
eit
1
1[u2 2itu(it )2 (it )2 ]
e2
du
2 eit
1 1 (uit )2 1 (it )2
e e du 2
2
2
exp[it 1 t 2 2 ] 1
1 (uit )2
e2
du
2
2
exp[it 1 t 2 2 ]
2
13
第13页/共83页
第二章 多元正态分布及参数的估计
§2.2 多元正态分布的性质1
当 X～N(0,1)时,φ(t)=exp［-t 2 /2］.
性质1 设U= (U1,…,Uq)′为随机向量,
第二章 多元正态分布及参数的估计
§2.2 多元正态分布的性质2
Z=BX+d d= B(AU+μ)+d = (BA)U+(Bμ+d)
由定义2.2.1可知
Z ～Ns(Bμ+d, (BA)(BA))，
Z ～Ns(Bμ+d, BΣB). (这里Σ=AA).
20
第20页/共83页
第二章 多元正态分布及参数的估计
23
第23页/共83页
第二章 多元正态分布及参数的估计
§2.2 多元正态分布性质2的推论
例f (2x.11,.1x2()X1,X212)的e联12合(x12密x22度)[1函数x为1x2e
《多元统计分析》课件
采用L1正则化，通过惩罚项来选择最重要 的自变量，实现特征选择和模型简化。
比较
应用场景
岭回归适用于所有自变量都对因变量有影 响的情况，而套索回归更适用于特征选择 和模型压缩。
适用于数据集较大、自变量之间存在多重 共线性的情况，如生物信息学数据分析、 市场细分等。
主成分回归与偏最小二乘回归
主成分回归
适用于自变量之间存在多重 共线性的情况，同时要求高 预测精度，如金融市场预测 、化学计量学等。
06 多元数据的典型相关分析
典型相关分析的基本思想
01
典型相关分析是一种研究多个 随机变量之间相关性的多元统 计分析方法。
02
它通过寻找一对或多个线性组 合，使得这些线性组合之间的 相关性达到最大或最小，从而 揭示多个变量之间的关系。
原理
基于最小二乘法原理，通过最小化预 测值与实际值之间的平方误差来估计 回归系数。
应用场景
适用于因变量与自变量之间存在线性 关系的情况，如预测房价、股票价格 等。
注意事项
需对自变量进行筛选和多重共线性诊 断，以避免模型的不稳定性和误差。
岭回归与套索回归
岭回归
套索回归
是一种用于解决多重共线性的回归方法， 通过引入一个小的正则化项来稳定系数估 计。
层次聚类
01
步骤
02
1. 将每个数据点视为一个独立的集群。
2. 计算任意两个集群之间的距离或相似度。
03
层次聚类
01 3. 将最相近的两个集群合并为一个新的集群。 02 4. 重复步骤2和3，直到满足终止条件（如达到预
设的集群数量或最大距离阈值）。
03 应用：适用于探索性数据分析，帮助研究者了解 数据的分布和结构。
多元正态分布(新) ppt课件
2 22
EX1 1, EX 2 2 ,
(1 0,2 0, 1)
Var(
X
1
)
2 11VBiblioteka r(X2)
2 22
,
( X1, X 2 ) cov(X PPT课件1, X 2 ) 11 22
5
二元正态分布曲面(
2 11
1,
2 22
X i1 X1
11
§2多元正态分布的参数估计
一、多元样本及其样本数字特征
１．多元样本阵
X11 X12
X
X
21
X 22
X
n1
X n2
记
X(i) ( Xi1, Xi2 ,Xip )
X1p
X
2
p
X
np
i 1,2n
PPT课件
12
2、多元样本的数字特征
样本均值：
一、多元正态分布的定义 定义1：若p维随机向量 X (X1,X p) 的密度函数为：
f (x1,xp )
1
(2 ) p
1/ 2
exp
1 2
(x
μ)1( x
μ)
其中， x (x1,xp ), μ 是p维向量 是p阶
正定矩阵，则称X服从p维正态分布，记为 X ~ N p(μ,)
第一章 多元正态分布及其参数估计
PPT课件
1
§1多元正态分布的定义及其性质
多元正态分布的重要性： （1）多元统计分析中很多重要的理论和方法都是直接或间接
第二章 多元正态分布 《应用多元统计分析》 ppt课件
1
一、随机向量
在理论上，对多维随机向量的研究和对一维随机 变量的研究思路是类似的，通过分布及其特征进 行刻画。不同的是，可能要考虑变量之间的相关 关系。
在统计应用上，对多维随机向量的研究和对一维 随机变量的研究思路也是一样的，要通过样本资 料来推断总体。
19
二、多元正态分布的数字特征
若 X ~ Np μ, Σ ，则 E(X) μ，D(X) Σ ，即 μ 恰好是
多维随机向量 X的均值向量， Σ 恰好是多维随机 向量 X 的协差阵。其中，
1
μ
2
，
p
11 12
Σ
21
22
p1 p2
1p
2
p
pp
20
三、多元正态分布的参数估计
若 X 的联合分布密度为 f (x1, x2 , , xp )，则 X(1) 的边缘 密度函数为：
f (x1, x2 , , xq )
f (x1, x2 ,
, xq , xq1,
, xp )dtq1
dt，p (2.3)
多维随机向量的独立性。若 p个随机变量
X1, X 2 ,, X p的联合分布密度等于各自边缘分布的 乘积，则称 X1, X 2 ,, X p是互相独立的。
1
x)(x( )
x)
n
(x1 x1)2
1
1 n
n
(x1 x1)(x 2 x2 )
1
n
(x 2 x2 )2
1
n
x 2
1
n
x
p
1
n
( x 1
x1)(x p
xp
多元统计分析多元正态分布
因子分析可以用于数据的降维、分类和解释变量之间的复杂关系。
03
04
多元正态分布的聚类分析
K-means聚类
一种无监督的机器学习算法，通过迭代过程将数据划分为K个集群，使得每个数据点与其所在集群的中心点之间的平方距离之和最小。
总结词
K-means聚类是一种常见的聚类分析方法，其基本思想是：通过迭代过程将数据划分为K个集群，使得每个数据点与其所在集群的中心点之间的平方距离之和最小。具体步骤包括：随机选择K个中心点，将每个数据点分配给最近的中心点所在的集群，然后重新计算每个集群的中心点，并重复此过程直到中心点不再发生变化或达到预设的迭代次数。
定义与性质
性质
定义
均值向量
描述多元正态分布的期望值，表示分布的中心位置。
协方差矩阵
描述多元正态分布的各变量之间的方差和协方差，表示分布的散布程度和变量间的相关性。
维数
描述多元正态分布中随机变量的个数，不同维数的多元正态分布具有不同的形态和性质。
多元正态分布的参数
统计分析
多元正态分布在统计分析中广泛应用，如回归分析、因子分析、聚类分析等。
KNN分类
06
多元正态分布的可视化技术
总结词
主成分分析（PCA）是一种常用的多元统计分析方法，用于降维和数据可视化。
总结词
PCA可视化能够揭示数据中的模式和趋势，帮助我们理解数据的内在结构和关系。
详细描述
通过将数据投影到主成分上，我们可以将高维数据可视化为一组二维或三维图形，从而更直观地观察数据的分布、中心、离群值和聚类等特征。
逻辑回归分类
VS
支持向量机（SVM）是一种有监督学习算法，用于解决分类问题。在多元正态分布的背景下，支持向量机通过找到能够将不同类别的数据点最大化分隔的决策边界来实现分类。
多元统计分析多元正态分布
为X的方差或协方差矩阵
D(X) 或∑
X，Y的协方差矩阵
定义7
设X=( X1，…，Xp )´Y=( Y1，…，Yp )´称
Cov(X,Y)=E(X-E(X))(Y-E(Y))´
Cov(X1, Y1) Cov(X1, Y2) … Cov(X1, Yp)
= Cov(X2, Y1) Cov(X2, Y2) … Cov(X2, Yp)
合并距离最近的两类为一新类 计算新类与当前各类的距离。再合并、计算， 直至只有一类为止
画聚类图，解释
类与类之间的距离
1.最短距离法(single linkage) 2.最长距离法(complete linkage) 3.中间距离法(median method) 4.重心法(centroid method) 5.类平均法(average linkage) 6.可变类平均法(flexible-beta method) 7.可变法 8.离差平方和法(Ward's minimumvariance method)
（2）相似系数
研究样品间的关系常用距离，研究指标（ 变量）间的关系常用相似系数。 相似系数常用的有：夹角余弦与相关系数
2、对指标（变量）分类（R型）
相似系数的定义
夹角余弦（Cosine）
相似矩阵
变量间相似矩阵
相关系数
ij
( x x )( x x )
1 i i j j n
Vij=
样本相关矩阵定义
R=(rij)p×p
rij =
3、 µ 和∑的估计及性质
最大似然法求出µ 和∑的估计量为
估计量的性质
1、 ,
,
是μ的无偏估计量
不是Σ的无偏估计量
多元正态分布.ppt
(2)
令
Y
X X
2 3
X1
0 0 1
1 0 0
0 1 0
X1 X2 X3
BX
,
由性质1知,Y为3维正态随机向量,且
0 1 0 2 0
y
Bx
0 1
0 0
10 00
02
1
xp ap1u1 ..... appu p p
u A
x1 xp
u p
u p
AA 1 2 1 2
§2.2
故 J (u x) 1 1 2. J(x u)
§2.2
⑤ 写出X=AU+μ
fX
(x)
1
(2 ) p
B
fX (x)dx
B
以下来求Jacobi行列式J(u→x).
§2.2
④ 积分变换的Jacobi行列式J(u→x)可利用线性变换
x=Au+μ及J(x→u)来计算：
x1 xp
因
J (x u) x
u1
u1
x1
a11u1
.....
a1pu p
1
2 1
1 1 2
1
1
2
1
2 2
12 1
2
1
2 2
2
二元正态随机向量X
【统计课件】多元正态分布统计推断86页文档
谢谢
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
【统计课件】多元正态分布统计推断
11、用道德的示范来造就一个人，显然比用法律来约束他更有价值。—— 希腊
12、法律是无私的，对谁都一视同仁。在每件事上，她都不徇私情。—— 托马斯
13、公正的法律限制不了好的自由，因为好人不会去做法律不允许的事 情。——弗劳德
14、法律是为了保护无辜而制定的。——爱略特 15、像房子
多元正态分布 ppt课件
ppt课件
16
一元正态分布密度函数图形
f (x) O
0.5 1
2
图1 2 1
ppt课件
x
17
二元正态分布密度函数
f ( x1, x2 )
1
2 1 2
1
2
exp
1 2(1
2)
( x1 1 )2
2 1
2
x1 1 1
20
多元正态分布定义1
定义1.2.1 若 p维随机向量 X 的概率密度函数为
ppt课件
4
随机矩阵的数学期望
定义1.1.2
z11 z12
设Z
z21
z22
zp1 zp2
则Z的数学期望（均值）E(Z )为
z1q
z2q
为p
q阶随机矩阵
，
zpq
E(z11)
E(
Z
)
E
(
z21
)
E(zp1)
E(z12 ) E(z22 )
x2 2 2
( x2 2 )2
2 2
ppt课件
18
二元正态分布密度函数图形
ppt课件
19
一元正态分布密度函数变形
f (x)
1
( x )2
e 2 2
2
(2
)
1 2
(
2
)
1 2
exp
1
(
x
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• 一元正态分布在统计学的理论和实际应 用中都有着重要的地位。同样，在多变 量统计学中，多元正态分布也占有相当 重要的位置。原因是：
• 许多随机向量确实遵从正态分布，或近 似遵从正态分布；
• 对于多元正态分布，已有一整套统计推 断方法，并且得到了许多完整的结果。
2020/10/29
3
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一个p维变量的函数f(·)能作为R P 中某个随机向
量的分布密度，当且仅当
(i) f(x)0 xRp
(ii) f(x)dx1 Rp 2020/10/29
10
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§1.1.3 多元变量的独立性
定义1.4：两个随机向量 X和 Y称为是相互独立的，若
P (X x ,Y y ) P (X x )P ( Y y ) (1.3
( 1 .8 )
12
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§1.1.4 随机向量的数字特征
2、随机向量X自协方差阵
Σ C ( X , O X ) E ( X V E X )X (E X ) / D ( X )
D(X1)
CO(VX1,X2) CO(VX1,XP)
CO (VX2,X1)
D(X2)
CO(VX2,
第一章 多元正态分布
多元正态分布是最常用的一种多元 概率分布。除此之外，还有多元对数正 态分布，多项式分布，多元超几何分布， 多元 分χ布2 、多元 分布 、多元指数 分布等。本章从多维变量及多元分布的 基本概念开始，着重介绍多元正态分布 的定义及一些重要性质。
2020/10/29
4
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对一切(X , Y)成立。若 F(x, y)为(X , Y)的联合分布函
数，G(x)和H(y)分别当且仅当 F f(x (,xy ,)y ) G (g x()x H )(h y ()y)
（1.4）
若 (X , Y)有密度 f (x,y)，用g(x)和h(y)分别表示 X和 Y
XP)
CO(VXP,X1) CO(VXP,X2) D(X P)
(ij)
(1.9)
称它为 p 维随机向量 X 的协方差阵，简称为 X的协
方差阵。称cov(X, X)为 X的广义方差，它是协差阵的行
列式之值。
2020/10/29
13
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§1.1.4 随机向量的数字特征
E ( X1 ) 1
E (
X )p E (
X2
)
2
μ
E ( X P )
P
是一个p维向量，称为均值向量.
1.6
当 A、B为常数矩阵时，由定义可立即推出如下性质：
( 1 )E (A ) X A (X ) E
1 .7
( 2 )E (A) X A (X B ) E B
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观测得到的，把这 p个指标表示为 X1,X2,,Xp常 用向量
X(X1,X2, ,Xp)'
表示对同一个体观测的 p个变量。若观测了 n
个个体，则可得到如下表1-1的数据，称每一个个
体的 p个变量为一个样品，而全体 n个样品形成一
个样本。
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§1.1.1 随机向量
定义1.1 设 x1,x2, ,xp为p个随机变量，由它们组成 的向量 (x1,x2, ,xp) 称为随机向量。
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§1.1.2 分布函数与密度函数
描述随机变量的最基本工具是分布函数，类似地描述 随机向量的最基本工具还是分布函数。
定义1.2 设 X(x1,x2, ,xp)是以随机向量，它的多元分布
§1.1.2 分布函数与密度函数
定义1.3：设 X~F(X)= F(x1,x2, ,xp),若存在一个 非负的函数 f ,使得
F (x ) x 1 x p f(t1 , tp)d t1 dp,t
(1.2)
对一切xRp 成立，则称 X（或 FX ）有分布
密度 f 并称 X为连续型随机向量。
多元正态分布-多元统计分析优 秀课件
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第一章 多元正态分布
§1.1 多元分布的基本概念 §1.2 统计距离和马氏距离 §1.3 多元正态分布 §1.4 均值向量和协方差阵的估计 §1.5 常用分布及抽样分布
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第一章 多元正态分布
§1.1多元分布的基本概念
§1.1.1 随机向量 §1.1.2 分布函数与密度函数 §1.1.3 多元变量的独立性 §1.1.4 随机向量的数字特征
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§1.1.1 随机向量
假定所讨论的是多个变量的总体，所研究的数
据是同时观测 p个指标（即变量），又进行了 n次
x22
…
x2 p
n
x n1
xn2
…
x np
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§1.1.1 随机向量
• 因此,样本资料矩阵可用矩阵语言表示为:
x11 x12 Xx21 x22
x1p
x2p(x1,x2,
x(/1)
,xp)
x(/2)
xn1 xn2
xnp
x(/n)
若无特别说明，本书所称向量均指列向量
函数是
F ( X ) F ( x 1 , x 2 , , x p ) P ( X 1 x 1 , , X p x p ) 1 . 1
式中：
x (x 1 ,x 2 , ,x p ) R P ， 并 记 为 X F 。
多元分布函数的有关性质此处从略。
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横看表1-1，记 X ()(x1,x2, ,xp)'， 1,2,n
它表示第 个样品的观测值。竖看表1-1,第 j 列的元素
X j(x1j,x2j, ,xn)j ', j 1,2,p
表示对
j 第个变量
x
的n次观测数值。下面为表1-1
j
序号
变量
X1
X2
…
Xp
1
x x np 11
x12
…
x1 p
2
x 21
的分布密度，则X和Y 独立当且仅当 (1.5)
注意:在上述定义中，X和 Y的维数一般是不同的。
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§1.1.4 随机向量的数字特征
1、随机向量 X的均值
设 X(X1,X2, ,Xp)有P个分量。若 E(Xi)i (i1,2, p)
存在，我们定义随机向量X的均值为: