运筹学08整数规划PPT课件
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xij
0,
j
1, 2 ,
, n)
xij 0, yi 0或1
i 1,2, , m ; j 1, , n
四、整数规划的数学模型
Ma(xMin)
n
Z cjxj
j1
s.t
n
aijxj
bi
j1
i 1,2,,m
xj 0,j 1,2,,n且部分或全部为整数
纯整数规划：所有决策变量为非负整数； 全整数规划：所有变量、系数和常数均为整数； 混合整数规划：只有一部分决策变量为非负整数，其余变量可
aij为第i阶段第j项投资方案
所需要的资金。目标是在 各阶段资金限制下使整个 投资的总收益最大。
设决策变量 得到模型：
1, 对第 j项投资
xj
0，否则
n
Max z c j x j
j 1
s
.t
.
n
a ij x j b i
i 1,2, , m
j 1
x j 0或1
j 1,2, , n
整数规划（Integer Programming）。简称IP。 线性规划中的变量（部分或全部）限制为整数时，
称为整数线性规划。
8.1 整数规划问题及其数学模型
三、建模中常用的处理方法：
1、资本预算问题：
设有n个投资方案，cj为
第j个投资方案的收益。投 资过程共分为m个阶段，bi 为第i个阶段的投资总量，
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 投资额 100 120 150 80 70 90 80 140 160 180
利润 36 40 50 22 20 30 25 48 58 61
Aj 各点的设备投资及每年可获利润由于地点不同都是不一样的，预测 情况见表所示 (单位：万元)。但投资总额不能超过720万元，问应选择哪 几个销售点，可使年利润为最大?
约束条件：i)每个顾客的需要量dj必须得到满足；
ii)只能从动用的仓库运出货物。
mn
m
min f
cij xij
fi yi
Baidu Nhomakorabea
i1 j 1
i 1
m
s.t.
xij d j j 1,2, , n
i 1
n
n
xij yi d j 0 i 1, , m
(当
y
i
j 1
0时，
j 1
第八章 整数规划
8.1 整数规划问题及其数学模型 8.2 整数规划的应用 8.3 整数规划与线性规划的关系 8.4 分支定界法
8.1 整数规划问题及其数学模型
一、整数规划问题的特征：
变量取值范围是离散的，经典连续数学中的理论 和方法一般无法直接用来求解整数规划问题。
二、整数规划问题的定义： 规划中的变量（部分或全部）限制为整数时，称为
8.2 整数规划的应用
解：设：0--1变量 xi = 1 (Ai 点被选用）或 0 (Ai 点没被选用）。 这样我们可建立如下的数学模型：
Max z =36x1+40x2+50x3+22x4+20x5+30x6+25x7+48x8+58x9+61x10 s.t.
100x1+120x2+150x3+80x4+70x5+90x6+80x7+140x8+160x9+180x10 ≤ 720 x1 + x2 + x3 ≤ 2 x4 + x5 ≥ 1 x6 + x7 ≥ 1 x8 + x9 + x10 ≥ 2
xi ≤ M yi ，i =1，2，3，M充分大
xj ≥ 0 yj 为0--1变量，i = 1,2,3
8.2 整数规划的应用
三、指派问题
有 n 项不同的任务，恰好 n 个人可分别承担这些任务，但由于每人特 长不同，完成各项任务的效率等情况也不同。现假设必须指派每个人 去完成一项任务，怎样把 n 项任务指派给 n 个人，使得完成 n 项任务 的总的效率最高，这就是指派问题。
xj ≥ 0 且xj 为0--1变量，i = 1,2,3,……,10
8.2 整数规划的应用
二、固定成本问题
例5．高压容器公司制造小、中、大三种尺寸的金属容器，所用资源为 金属板、劳动力和机器设备，制造一个容器所需的各种资源的数量如表 所示。不考虑固定费用，每种容器售出一只所得的利润分别为 4万元、5 万元、6万元，可使用的金属板有500吨，劳动力有300人/月，机器有 100台/月，此外不管每种容器制造的数量是多少，都要支付一笔固定的 费用：小号是l00万元，中号为 150 万元，大号为200万元。现在要制定 一个生产计划，使获得的利润为最大。
资源
小号容器 中号容器大号容器
金属板（吨） 2
4
8
劳动力（人月） 2
3
4
机器设备（台月） 1
2
3
8.2 整数规划的应用
解：这是一个整数规划的问题。
各设种x容1，器x的2，固x定3 分费别用为只小有号在容生器产、该中种号容容器器时和才大投号入容，器为的了生说产明数固量定。费 用 产的第这i种种容性器质即，x设i =y0i =时1）(当。生产第 i种容器, 即 xi ＞ 0 时) 或0（当不生
2、指示变量：指示不同情况的出现
例.有m个仓库，要决定动用哪些仓库，满足n个 顾客对货物的需要，并决定从各仓库分别向不同 顾客运送多少货物？
令
1 动用i仓库 yi
0 否则
i 1,2,,m
( yi为指示变量) xij :从仓库 i 到 j 顾客运送的货物量
费用： fi:动用i仓库的固定运营费（租金等） cij:从仓库i到j顾客运送单位货物运费
引入约束 =0。
xi ≤ M yi ，i =1，2，3，M充分大，以保证当 yi = 0 时，xi
这样我们可建立如下的数学模型：
Max z = 4x1 + 5x2 + 6x3 - 100y1 - 150y2 - 200y3 s.t. 2x1 + 4x2 + 8x3 ≤ 500
2x1 + 3x2 + 4x3 ≤ 300 x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 100
为非负实数； 0-1整数规划：所有决策变量只能取0获1两个整数。
8.2 整数规划的应用
一、投资场所的选择
例4、京成畜产品公司计划在市区的东、西、南、北四区建立销售门市， 拟议中有10个位置 Aj (j＝1，2，3，…，10)可供选择，考虑到各地区居民 的消费水平及居民居住密集度，规定：
在东区由A1 ， A2 ，A3 三个点至多选择两个； 在西区由A4 ， A5 两个点中至少选一个； 在南区由A6 ， A7 两个点中至少选一个； 在北区由A8 ， A9 ， A10 三个点中至少选两个。
0,
j
1, 2 ,
, n)
xij 0, yi 0或1
i 1,2, , m ; j 1, , n
四、整数规划的数学模型
Ma(xMin)
n
Z cjxj
j1
s.t
n
aijxj
bi
j1
i 1,2,,m
xj 0,j 1,2,,n且部分或全部为整数
纯整数规划：所有决策变量为非负整数； 全整数规划：所有变量、系数和常数均为整数； 混合整数规划：只有一部分决策变量为非负整数，其余变量可
aij为第i阶段第j项投资方案
所需要的资金。目标是在 各阶段资金限制下使整个 投资的总收益最大。
设决策变量 得到模型：
1, 对第 j项投资
xj
0，否则
n
Max z c j x j
j 1
s
.t
.
n
a ij x j b i
i 1,2, , m
j 1
x j 0或1
j 1,2, , n
整数规划（Integer Programming）。简称IP。 线性规划中的变量（部分或全部）限制为整数时，
称为整数线性规划。
8.1 整数规划问题及其数学模型
三、建模中常用的处理方法：
1、资本预算问题：
设有n个投资方案，cj为
第j个投资方案的收益。投 资过程共分为m个阶段，bi 为第i个阶段的投资总量，
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 投资额 100 120 150 80 70 90 80 140 160 180
利润 36 40 50 22 20 30 25 48 58 61
Aj 各点的设备投资及每年可获利润由于地点不同都是不一样的，预测 情况见表所示 (单位：万元)。但投资总额不能超过720万元，问应选择哪 几个销售点，可使年利润为最大?
约束条件：i)每个顾客的需要量dj必须得到满足；
ii)只能从动用的仓库运出货物。
mn
m
min f
cij xij
fi yi
Baidu Nhomakorabea
i1 j 1
i 1
m
s.t.
xij d j j 1,2, , n
i 1
n
n
xij yi d j 0 i 1, , m
(当
y
i
j 1
0时，
j 1
第八章 整数规划
8.1 整数规划问题及其数学模型 8.2 整数规划的应用 8.3 整数规划与线性规划的关系 8.4 分支定界法
8.1 整数规划问题及其数学模型
一、整数规划问题的特征：
变量取值范围是离散的，经典连续数学中的理论 和方法一般无法直接用来求解整数规划问题。
二、整数规划问题的定义： 规划中的变量（部分或全部）限制为整数时，称为
8.2 整数规划的应用
解：设：0--1变量 xi = 1 (Ai 点被选用）或 0 (Ai 点没被选用）。 这样我们可建立如下的数学模型：
Max z =36x1+40x2+50x3+22x4+20x5+30x6+25x7+48x8+58x9+61x10 s.t.
100x1+120x2+150x3+80x4+70x5+90x6+80x7+140x8+160x9+180x10 ≤ 720 x1 + x2 + x3 ≤ 2 x4 + x5 ≥ 1 x6 + x7 ≥ 1 x8 + x9 + x10 ≥ 2
xi ≤ M yi ，i =1，2，3，M充分大
xj ≥ 0 yj 为0--1变量，i = 1,2,3
8.2 整数规划的应用
三、指派问题
有 n 项不同的任务，恰好 n 个人可分别承担这些任务，但由于每人特 长不同，完成各项任务的效率等情况也不同。现假设必须指派每个人 去完成一项任务，怎样把 n 项任务指派给 n 个人，使得完成 n 项任务 的总的效率最高，这就是指派问题。
xj ≥ 0 且xj 为0--1变量，i = 1,2,3,……,10
8.2 整数规划的应用
二、固定成本问题
例5．高压容器公司制造小、中、大三种尺寸的金属容器，所用资源为 金属板、劳动力和机器设备，制造一个容器所需的各种资源的数量如表 所示。不考虑固定费用，每种容器售出一只所得的利润分别为 4万元、5 万元、6万元，可使用的金属板有500吨，劳动力有300人/月，机器有 100台/月，此外不管每种容器制造的数量是多少，都要支付一笔固定的 费用：小号是l00万元，中号为 150 万元，大号为200万元。现在要制定 一个生产计划，使获得的利润为最大。
资源
小号容器 中号容器大号容器
金属板（吨） 2
4
8
劳动力（人月） 2
3
4
机器设备（台月） 1
2
3
8.2 整数规划的应用
解：这是一个整数规划的问题。
各设种x容1，器x的2，固x定3 分费别用为只小有号在容生器产、该中种号容容器器时和才大投号入容，器为的了生说产明数固量定。费 用 产的第这i种种容性器质即，x设i =y0i =时1）(当。生产第 i种容器, 即 xi ＞ 0 时) 或0（当不生
2、指示变量：指示不同情况的出现
例.有m个仓库，要决定动用哪些仓库，满足n个 顾客对货物的需要，并决定从各仓库分别向不同 顾客运送多少货物？
令
1 动用i仓库 yi
0 否则
i 1,2,,m
( yi为指示变量) xij :从仓库 i 到 j 顾客运送的货物量
费用： fi:动用i仓库的固定运营费（租金等） cij:从仓库i到j顾客运送单位货物运费
引入约束 =0。
xi ≤ M yi ，i =1，2，3，M充分大，以保证当 yi = 0 时，xi
这样我们可建立如下的数学模型：
Max z = 4x1 + 5x2 + 6x3 - 100y1 - 150y2 - 200y3 s.t. 2x1 + 4x2 + 8x3 ≤ 500
2x1 + 3x2 + 4x3 ≤ 300 x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 100
为非负实数； 0-1整数规划：所有决策变量只能取0获1两个整数。
8.2 整数规划的应用
一、投资场所的选择
例4、京成畜产品公司计划在市区的东、西、南、北四区建立销售门市， 拟议中有10个位置 Aj (j＝1，2，3，…，10)可供选择，考虑到各地区居民 的消费水平及居民居住密集度，规定：
在东区由A1 ， A2 ，A3 三个点至多选择两个； 在西区由A4 ， A5 两个点中至少选一个； 在南区由A6 ， A7 两个点中至少选一个； 在北区由A8 ， A9 ， A10 三个点中至少选两个。