运筹学08整数规划PPT课件
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运筹学-整数规划与分配问题PPT
但 z=13 不是最优。实际问题的
最优解为（4 , 1）这时 z*= 14。
逻辑（0-1）变量在建立数学模型中的作用
1. m 个约束条件中只有 k 个起作用
设 m 个约束条件可以表示为：
n
aijxj bi (i1, ,m)
j1
定义逻辑变量
1，假定第 i 个约束条件不起作用 yi 0，假定第 i 个约束条件起作用
第四章 整数规划与分配问题
整数规划的特点及作用 分配问题与匈牙利法 分枝定界法 割平面法 应用举例
1 整数规划的特点及应用
在实际问题中，全部或部分变量取值必须是整数。比如人 或机器是不可分割的，选择地点可以设置逻辑变量等。
在一个线性规划问题中要求全部变量取整数值的，称纯整
数线性规划或简称纯整数规划；只要求一部分变量取整 数值的，称为混合整数规划。
如果完成任务的效率表现为资源消耗，考虑的是如何分配 任务使得目标极小化；如果完成任务的效率表现为生产效 率的高低，则考虑的是如何分配使得目标函数极大化。
在分配问题中，利用不同资源完成不同计划活动的效率常
用表格形式表示为效率表，表格中数字组成效率矩阵。
例2. 有一份说明书，要分别翻译成英、日、德、俄 四种文字，交甲、乙、丙、丁四个人去完成。因各人专长 不同，使这四个人分别完成四项任务总的时间为最小。效 率表如下：
又设 M 为任意大的正数，则约束条件可以改写为：
n
aijxj
bi Myi
j1
y1 y2 ym mk
2. 约束条件的右端项可能是 r 个值中的某一个
n
即
aijxj b1或b2或或br
j1
定义逻辑变量：
yi 10， ，假 其定 它约束右端项b为 i
《运筹学整数规划》课件
应用案例
生产调度问题的整数规划 模型
交通流优化问题的整数规 划模型
使用整数规划解决生产调度问题， 提高生产效率和资源利用率。
应用整数规划优化交通流，实现 道路拥堵疏导和交通效率提升。
建模思路与求解过程的演示
分享一个实际问题的建模思路和 整数规划的求解过程。
总结
整数规划的意义和局限性
总结整数规划在实际问题中的意义和局限性，并思考其未来发展方向。
求解方法与难点
介绍整数规划的求解方法，以及其中的挑战和难点。
模型建立与求解
1
模型的建立
讲解整数规划模型的建立过程，包括约枚举法和割平面法 Nhomakorabea2
束条件和目标函数的设定。
简要介绍传统的枚举法和割平面法，并
讨论这些方法的优缺点。
3
分支定界法和分支限界法
详细解释分支定界法和分支限界法，并
分支定价法和混合整数线性规划
整数规划的发展趋势
展望整数规划领域未来的发展趋势和可能的研究方向。
《运筹学整数规划》PPT 课件
这是一份关于《运筹学整数规划》的PPT课件，旨在为大家介绍整数规划的定 义、背景和实际应用中的重要性。通过本课件，我们将深入探讨整数规划的 求解方法、工具以及一些实际应用案例。
引言
定义和背景
整数规划的概念和历史背景，为后续内容提供基础。
重要性
探讨整数规划在实际问题中的重要性和应用范围。
4
分享一些实际案例。
介绍分支定价法和混合整数线性规划方 法，以及它们的应用领域。
求解工具
Gurobi的介绍
详细介绍Gurobi求解器，包 括其功能、优势和适用范围。
Gurobi求解整数规划的 步骤
《整数线性规划》PPT课件_OK
br br fr br br
整数可行解
xr arj x j br jN
最优基可行解
xr arj x j br jN
xr arj x j br 56 jN
minc x Ax b
s.t.x 0, x为整数
min c x
Ax b
s.t.xr
xij 1,0;i 1,2...1, 7, j 1,2,3 21
• 约束
包裹容量限制
必带物品限制 选带物品限制
17
ci xij rj ; j 1,2,3
i 1
3
xij 1;i 1,2...,7
j 1
3
xij 1;i 8,2...1, 7
j 1
22
• 目标函数—未带物品购买费用最小
3
1 xij ;i 8,2...1, 7 j 1
v1, v2 ,...,vn cij
vi vj
12
模型
• 变量—是否从i第个城市到第j个城市
x 1,0; • 约束 每个城市只能到达一次、离开一ij次
n
xij 1;i 1,2,...n
j0
n
xij 1; j 1,2,...n
13
i0
• 避免出现断裂 每个点给个位势 除了初始点外要求前点比后点大
支其中无最优解
41
初始分支为可行解 集，初始界为无穷大
判 定是否 分支集
空
是停止 当前最好解 为最优解
选一分支写出并求解 放松问题，同时从分 支集中删除该分支
否
判
是
定是否
为整数
42
解
判定最
优值是否
小于
否
当前界
是
运筹学——.整数规划与分配问题45页PPT
谢谢！
运筹学——.整数规划与分配 问题
31、别人笑我太疯癫，我笑他人看不 穿。(名 言网) 32、我不想听失意者的哭泣，抱怨者 的牢骚 ，这是 羊群中 的瘟疫 ，我不 能被它 传染。 我要尽 量避免 绝望， 辛勤耕 耘，忍 受苦楚 。我一 试再试 ，争取 每天的 成功， 避免以 失败收 常在别 人停滞 不前时 ，我继 续拼搏 。
33、如果惧怕前面跌宕的山岩，生命 就永远 只能是 死水一 潭。 34、当你眼泪忍不住要流出来的时候 ，睁大 眼睛， 千万别 眨眼!你会看到 世界由 清晰变 模糊的 全过程 ，心会 在你泪 水落下 的那一 刻变得 清澈明 晰。盐 。注定 要融化 的，也 许是用 眼泪的 方式。
ห้องสมุดไป่ตู้35、不要以为自己成功一次就可以了 ，也不 要以为 过去的 光荣可 以被永 远肯定 。
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿
第八章 运筹学课件整数规划
n
例2、某公司计划在m个地点建厂，可供选择的地 点有A1,A2…Am ，他们的生产能力分别是 a1,a2,…am（假设生产同一产品）。第i个工厂的建
设费用为fi (i=1.2…m),又有n个地点B1,B2, … Bn 需
要销售这种产品，其销量分别为b1.b2…bn 。从工
厂运往销地的单位运费为Cij。试决定应在哪些地
设： xij 表示从工厂运往销地的运量(i=1.2…m、 j=1.2…n), 1 在Ai建厂 又设 Yi＝ （i=1.2…m） 0 不在Ai建厂 m 模型： min Z cij xij f i yi
i 1
n xij ai yi (i 1.2 m) j 1 m xij b j (j 1.2 n) i 1 x 0, y 0 或 1 (i 1.2 m、j 1.2 n) i ij
个（后继）问题的松弛问题( LP1)
和( LP2) 。
4、修改上、下界（定界）：
按照以下两点规则进行： ⑴.在各分枝问题中，找出目标函数
值最大者作为新的上界；
⑵.从已符合整数条件的分枝中，找 出目标函数值最大者作为新的下界。
5、比较与剪枝 ：
各分枝的目标函数值中，若有小于
Z 者，则剪掉此枝，表明此子问题已经 探清，不必再分枝了;否则继续分枝。
x1
Z(2) ＝－56/3≈－18.7 ∵Z2 < Z1＝－16 ∴原问题有比 （－16）更小的最优解，但 x2 不是整数，故利用 3 ≥ 10/3≥4 加入条件。
加入条件： x2≤3, x2≥4
有下式：
min Z x1 5 x2 min Z x1 5 x2 x1 x2 2 x1 x2 2 5 x 6 x 30 5 x 6 x 30 2 2 1 1 4 4 x1 x1 ( IP4) ( IP3) 2 x1 2 x1 4 3 x2 x2 x , x 0且为整数 x , x 0且为整数 1 2 1 2
例2、某公司计划在m个地点建厂，可供选择的地 点有A1,A2…Am ，他们的生产能力分别是 a1,a2,…am（假设生产同一产品）。第i个工厂的建
设费用为fi (i=1.2…m),又有n个地点B1,B2, … Bn 需
要销售这种产品，其销量分别为b1.b2…bn 。从工
厂运往销地的单位运费为Cij。试决定应在哪些地
设： xij 表示从工厂运往销地的运量(i=1.2…m、 j=1.2…n), 1 在Ai建厂 又设 Yi＝ （i=1.2…m） 0 不在Ai建厂 m 模型： min Z cij xij f i yi
i 1
n xij ai yi (i 1.2 m) j 1 m xij b j (j 1.2 n) i 1 x 0, y 0 或 1 (i 1.2 m、j 1.2 n) i ij
个（后继）问题的松弛问题( LP1)
和( LP2) 。
4、修改上、下界（定界）：
按照以下两点规则进行： ⑴.在各分枝问题中，找出目标函数
值最大者作为新的上界；
⑵.从已符合整数条件的分枝中，找 出目标函数值最大者作为新的下界。
5、比较与剪枝 ：
各分枝的目标函数值中，若有小于
Z 者，则剪掉此枝，表明此子问题已经 探清，不必再分枝了;否则继续分枝。
x1
Z(2) ＝－56/3≈－18.7 ∵Z2 < Z1＝－16 ∴原问题有比 （－16）更小的最优解，但 x2 不是整数，故利用 3 ≥ 10/3≥4 加入条件。
加入条件： x2≤3, x2≥4
有下式：
min Z x1 5 x2 min Z x1 5 x2 x1 x2 2 x1 x2 2 5 x 6 x 30 5 x 6 x 30 2 2 1 1 4 4 x1 x1 ( IP4) ( IP3) 2 x1 2 x1 4 3 x2 x2 x , x 0且为整数 x , x 0且为整数 1 2 1 2
运筹学导论第八版整数线性规划课件
16
m in z x1 x2 x3 x4 x5 x7 x8
s t x 1 x 2 （1 街 道 A ） x 2 x 3 （1 街 道 B ） 1
街道A
2
街道B
3
街道G 街道H 街道I 街道J 街道K
x 4 x 5 （1 街 道 C ）
x 7 x 8 （1 街 道 D ）
整数线性规划的一种特殊情形是0-1规划，它的变量取 值仅限于0或1。指派问题就是一个0-1规划问题。
运筹学导论第八版整数线性规划
9
8.1 应用实例介绍
1. 资本预算
在个人项目中投资中，既要考虑这些在个人项目中投资的收益， 又要考虑有限的总预算。
例 在一个3年的规划周期内，有5个项目可供选择。下表给出
发射台
覆盖社区
1
1，2
2
2，3，5
3
1，7，9，10
4
4，6，8，9
5
6，7，9，11
6
5，7，10，12，14
7
12，13，14，15
各个社区人口数目
建造费用(百万) 3.6 2.3 4.1 3.15 2.8 2.65 3.1
社区
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
本例还可以用图解法来说明
图中(+) 表示可行整数解。 凑整的(5，0) 不在可行域内，
而C点又不合于条件⑤。
目标函数z的等值线必须向原点平行移动，直到首次遇到带“+”
号B点(x1=4，x2=1)为止。此时，z值就由z=96变到z=90，Δz=9690=6表示利润的降低，这是由于变量的不可分性(装箱)所引起的。
很容易求得最优解为：x1=4.8，x2=0，max z=96
运筹与决策PPT：整数规划
案例2： California制造公司问题－ Excel求解
多个决策变量
0-1变量
相依决策
互斥方案
案例2： California制造公司问题－ 灵敏度分析
Capital Spent 100 <=
Capital Available
100
Total Profit ($millions)
10
取整约束
G 12 SUMPRODUCT(UnitProduced,UnitProfit)
6.2 整数规划问题的分类
▪ 纯整数规划问题：
– 所有决策变量均为整数
▪ 混合整数规划问题（MIP）：
B
C
3 NPV ($millions)
LA
4
Warehouse
6
5
6
Factory
8
7
8 Capital Required
9
($millions)
LA
10
Warehouse
5
11
12
Factory
6
13
14
15
Build?
LA
16
Warehouse
0
17
<=
18
Factory
1
19
20
Total NPV ($millions)
原因分析
▪线性规划的可分性假设
–线性规划的决策变量必须允许在满足一定函数 约束与非负约束下取任意实数。
TBA公司的问题由于决策变量只能取整 数，故不满足可分性假设。
整数规划的Excel求解模型－ 案例1
B
3
4
Unit Profit ($millions)
整数规划ppt课件
可行解的凸组合不一定满足整数要求，因而不一定
仍为可行解）。
2021精选ppt
第13页
产生问题：利用对松弛问题的最优解中不符合整
数要求的分量简单地取整，是否能得出整数规划
问题的最优解呢？
2021精选ppt
第14页
3. 对松弛问题的最优解中不符合整数要求的分量简 单地取整，所得到的问题解：
不一定是整数线性规划问题的最优解。
θi
CB XB
b
x1 x2
x3
x4
x5
x6
6 x2 88/23 0 1 4/23 -3/23 0 0
5 x1 72/23 1 0 -3/23 8/23 0 0
-M x6 4 1 0 0 0 -1 1
c j– z j
2021精选ppt
第43页
将 x1 的系数列向量变为单位向量，并计算检验数
cj
5
CB XB
第8页
整数线性规划
松弛问题
n
max( 或 min) z c j x j j1
n
a ij x j ( 或 ， )b i , i 1 ,..., m
j1 x j 0 , j 1 ,..., n
x
1
,...,
x n中部分或全部取整数
n
max( 或 min) z c j x j j1
甚至也不一定是整数线性规划问题的可行解。
2021精选ppt
第15页
例：
mz a 2 xx 0 1 1x 0 2
5 x 1 4 x 2 24
2 x
x
1
1
,
x2
5x
2
0
13
x 1 , x 2 整 数
整数规划PPT课件
混合整数规划
总结词
混合整数规划是同时包含连续变量和整数变量的规划问题。
详细描述
混合整数规划问题在数学上表示为在一定的约束条件下，求一组连续变量和整数变量的函数的最优解 。这类问题在现实生活中应用广泛，如生产计划、物流优化、金融投资等。求解混合整数规划问题需 要同时考虑连续变量和整数变量的特性，通常需要使用特殊的算法进行求解。
通过不断分割解空间并确 定可行解的范围，逐步逼 近最优解。
割平面法
通过添加割平面方程来不 断缩小解空间，直到找到 最优解。
迭代优化法
通过迭代优化算法不断逼 近最优解，适用于大规模 整数规划问题。
02 整数规划问题建模
线性整数规划
总结词
线性整数规划是整数规划的一种，其目标函数和约束条件都是线性函数，且决 策变量都是整数。
装箱问题
总结词
装箱问题是一个经典的整数规划问题， 旨在确定如何将一组物品装入有限容 量的容器中，以最小化装载成本。
详细描述
装箱问题需要考虑物品的尺寸、重量、价值 等多个因素，通过整数规划的方法，可以确 定最佳的装箱方案，包括每个容器的装载物 品和数量等，从而实现装载成本最小化。
THANKS FOR WATCHING
遗传算法
要点一
总结词
一种基于生物进化原理的优化算法
要点二
详细描述
遗传算法是一种模拟生物进化过程的优化算法，通过选择 、交叉和变异等操作来逼近最优解。在整数规划问题中， 遗传算法将决策变量编码为染色体，通过不断进化染色体 群体来寻找满足整数约束的解。遗传算法具有全局搜索能 力强、能够处理多约束和离散变量等优点，因此在整数规 划问题中得到了广泛应用。
整数规划ppt课件
contents
运筹学第三章 整数规划PPT课件
（一）
问题（1）
X1=2, x2=2.67
Z=83.3
x2≤2
x2≥3
问题（0） X1=2.5, x2=2.5
问题（0）的原问题 的目标函数值
上界为:Z^=87.5 下界为:Z=0
Z=87.5
x1≤2
x1≥3
（二）
问题（2）的原问题 的目标函数值
上界为:Z^=80 下界为:Z=75
问题（2）
X1=3, x2=1.75
20
1 11/14 4 2/7 0
检验数zj-cj
0
0
1 11/14 4 2/7 0
15
x1 2
1
0
0
20
x2 2 2/3 0
1
0
0
x5 2 1/3 0
0
1
zj
15
20
0
检验数zj-cj
0
0
0
27.11.2020
问题1求解的单纯形表
《整数规划》
0 1/3
-1 1/3 6 2/3
6 2/3
1 - 1/3 -4 2/3 8 1/3
原问题的松弛问题
max Z 15 x1 20 x 2
6 x1 4 x 2 25
x
1
3x2
10
x 1 0 , x 2 0
注：此松弛问题的最优目标值为原整数规划问题目标值的上界
原问题目标值的上界为Z^=87.5 下界可定为Z=0
27.11.2020
《整数规划》
10
CB 0 0
cj
问题（5）的原问题 的目标函数值 上界为:Z^=72.5 下界为:
问题（6） 无可行解
25
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2、指示变量：指示不同情况的出现
例.有m个仓库，要决定动用哪些仓库，满足n个 顾客对货物的需要，并决定从各仓库分别向不同 顾客运送多少货物？
令
1 动用i仓库 yi
0 否则
i 1,2,,m
( yi为指示变量) xij :从仓库 i 到 j 顾客运送的货物量
费用： fi:动用i仓库的固定运营费（租金等） cij:从仓库i到j顾客运送单位货物运费
8.2 整数规划的应用
解：设：0--1变量 xi = 1 (Ai 点被选用）或 0 (Ai 点没被选用）。 这样我们可建立如下的数学模型：
Max z =36x1+40x2+50x3+22x4+20x5+30x6+25x7+48x8+58x9+61x10 s.t.
100x1+120x2+150x3+80x4+70x5+90x6+80x7+140x8+160x9+180x10 ≤ 720 x1 + x2 + x3 ≤ 2 x4 + x5 ≥ 1 x6 + x7 ≥ 1 x8 + x9 + x10 ≥ 2
资源
小号容器 中号容器大号容器
金属板（吨） 2
4
8
劳动力（人月） 2
3
4
机器设备（台月） 1
2
3
8.2 整数规划的应用
解：这是一个整数规划的问题。
各设种x容1，器x的2，固x定3 分费别用为只小有号在容生器产、该中种号容容器器时和才大投号入容，器为的了生说产明数固量定。费 用 产的第这i种种容性器质即，x设i =y0i =时1）(当。生产第 i种容器, 即 xi ＞ 0 时) 或0（当不生
xj ≥ 0 且xj 为0--1变量，i = 1,2,3,……,10
8.2 整数规划的应用
二、固定成本问题
例5．高压容器公司制造小、中、大三种尺寸的金属容器，所用资源为 金属板、劳动力和机器设备，制造一个容器所需的各种资源的数量如表 所示。不考虑固定费用，每种容器售出一只所得的利润分别为 4万元、5 万元、6万元，可使用的金属板有500吨，劳动力有300人/月，机器有 100台/月，此外不管每种容器制造的数量是多少，都要支付一笔固定的 费用：小号是l00万元，中号为 150 万元，大号为200万元。现在要制定 一个生产计划，使获得的利润为最大。
引入约束 =0。
xi ≤ M yi ，i =1，2，3，M充分大，以保证当 yi = 0 时，xi
这样我们可建立如下的数学模型：
Max z = 4x1 + 5x2 + 6x3 - 100y1 - 150y2 - 200y3 s.t. 2x1 + 4x2 + 8x3 ≤ 500
2x1 + 3x2 + 4x3 ≤ 300 x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 100
整数规划（Integer Programming）。简称IP。 线性规划中的变量（部分或全部）限制为整数时，
称为整数线性规划。
8.1 整数规划问题及其数学模型
三、建模中常用的处理方法：
1、资本预算问题：
设有n个投资方案，cj为
第j个投资方案的收益。投 资过程共分为m个阶段，bi 为第i个阶段的投资总量，
约束条件：i)每个顾客的需要量dj必须得到满足；
ii)只能从动用的仓库运出货物。
mn
m
min f
cij xij
fi yi
i1 j 1
i 1
m
s.t.
xij d j j 1,2, , n
i 1
n
n
xij yi d j 0 i 1, , m
(当
y
i
j 1
0时，
j 1
xi ≤ M yi ，i =1，2，3，M充分大
xj ≥ 0 yj 为0--1变量，i = 1,2,3
8.2 整数规划的应用
三、指派问题
有 n 项不同的任务，恰好 n 个人可分别承担这些任务，但由于每人特 长不同，完成各项任务的效率等情况也不同。现假设必须指派每个人 去完成一项任务，怎样把 n 项任务指派给 n 个人，使得完成 n 项任务 的总的效率最高，这就是指派问题。
aij为第i阶段第j项投资方案
所需要的资金。目标是在 各阶段资金限制下使整个 投资的总收益最大。
设决策变量 得到模型：
1, 对第 j项投资
xj
0，否则
n
Max z c j x j
j 1
s
.t
.
n
a ij x j b i
i 1, n
第八章 整数规划
8.1 整数规划问题及其数学模型 8.2 整数规划的应用 8.3 整数规划与线性规划的关系 8.4 分支定界法
8.1 整数规划问题及其数学模型
一、整数规划问题的特征：
变量取值范围是离散的，经典连续数学中的理论 和方法一般无法直接用来求解整数规划问题。
二、整数规划问题的定义： 规划中的变量（部分或全部）限制为整数时，称为
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 投资额 100 120 150 80 70 90 80 140 160 180
利润 36 40 50 22 20 30 25 48 58 61
Aj 各点的设备投资及每年可获利润由于地点不同都是不一样的，预测 情况见表所示 (单位：万元)。但投资总额不能超过720万元，问应选择哪 几个销售点，可使年利润为最大?
xij
0,
j
1, 2 ,
, n)
xij 0, yi 0或1
i 1,2, , m ; j 1, , n
四、整数规划的数学模型
Ma(xMin)
n
Z cjxj
j1
s.t
n
aijxj
bi
j1
i 1,2,,m
xj 0,j 1,2,,n且部分或全部为整数
纯整数规划：所有决策变量为非负整数； 全整数规划：所有变量、系数和常数均为整数； 混合整数规划：只有一部分决策变量为非负整数，其余变量可
为非负实数； 0-1整数规划：所有决策变量只能取0获1两个整数。
8.2 整数规划的应用
一、投资场所的选择
例4、京成畜产品公司计划在市区的东、西、南、北四区建立销售门市， 拟议中有10个位置 Aj (j＝1，2，3，…，10)可供选择，考虑到各地区居民 的消费水平及居民居住密集度，规定：
在东区由A1 ， A2 ，A3 三个点至多选择两个； 在西区由A4 ， A5 两个点中至少选一个； 在南区由A6 ， A7 两个点中至少选一个； 在北区由A8 ， A9 ， A10 三个点中至少选两个。