第三章 几何造型技术-参数曲线

Northwest University 散成直线画出的（见图）。
计算机图形学
另一个问题是参数法表示，这对于多值曲线尤为重要。例 如看一个圆，它的标准方程是：x2 + y2 = r2。可写成：
y r 2 x2
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Northwest University y = f(x)
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显式表示的缺点：

不能表示封闭或多值曲线； 与坐标系的选取相关； 会出现斜率为无穷大的情形，不便于编程。
平面曲线的隐式表示一般形式为：
计算机图形学
（3）对非参数方程表示的曲线、曲面进行变换，必须对曲
线、曲面上的每个型值点进行几何变换，而对参数表示的曲线、 曲面可对其参数方程直接进行几何变换。 （4）便于处理斜率为无穷大的情形，不会因此而中断计算。 （5）参数方程中，代数、几何相关和无关的变量是完全分
离的，而且对变量个数不限，从而便于用户把低维空间中的曲
2 ds dx dy dz P (t ) dt dt dt dt 2 2 2 2
为了方便，t 增加的方向数学上一般取为 s 增加的方向。考 虑到矢量的模非负，所以有：
ds P(t ) 0 dt
计算机图形学
将 T kN 代入上式，并注意到 B(s)· N(s) = 0，得到：
B(s) N (s) 0
因为[B(s)]2 = 1，所以两边对 s 求导，得到 B(s) B(s) 0，可见 B(s) 既垂直于 T(s)，有垂直于 B(s)，故：
B(s) // N (s)
T（切矢）， N（主法矢）和 B（副法矢）构成了曲线上的 活动标架。 N 和 B 构成的平面称为法平面； N 和 T 构成的平面 称为密切平面； B 和 T 构成的平面称为从切平面（见图）。
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Northwest University 4.曲率和挠率
a1t 3 a2t 2 a3t a4 , t [0, 1] P (t ) b t 3 b t 2 b t b 2 3 4 1
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Northwest University 有 8 个系数控制此曲线的形状。
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3.2 参数曲线和曲面
曲线、曲面可以用显式、隐式和参数表示。由于参数表示 的曲线、曲面具有几何不变性等优点，计算机图形学中常用参
数形式描述曲线、曲面。本节讨论有关参数曲线、曲面表示的
基础知识。
3.2.1 曲线曲面的表示
曲线和曲面的表示方程有参数表示和非参数表示之分，非 参数表示又分为显式表示和隐式表示。 平面曲线的显式表示一般形式为：
方程来描述，只有先给出一些数据点，然后用相应的数学方法 来拟合这些数据点生成曲线。例如有实验曲线、等值线等等， 它们都是通过做实验得到一些实验数据、或经测量得到一系列 离散数据点。依据这些实际数据，我们希望能构造出一条曲线，
使其完全通过或者比较贴近这些数据点。 所以， 拟合曲线
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所以，挠率的绝对值的概念与副法线方向（或密切平面）对于
弧长的转动率。 挠率大于 0、等于 0 和小于 0 分别表示曲线为
右旋空间曲线、平面曲线和左旋空间曲线。 同样，对 N(s) = B(s) ×T(s) 两边求导，可以得到：
N (s) kT (s) B(s)
F(x, y) = 0
隐式表示的优点：

可表示封闭或多值曲线； 便于点和曲线的位置判断。
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Northwest University 隐式表示的缺点：


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求值困难；
与坐标系的选取相关； 会出现斜率为无穷大的情形，不便于编程。
线、曲面扩展到高维空间。这种变量分离的特点使得可以用数
学公式处理几何分量。
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（6）规格化的参数变量 t∈[0, 1]，使其相应的几何分量是有
界的，而不必用另外的参数去定义边界。
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由于 dT/ds 与 N 平行，若令 T kN ，则：
k T lim T q T q lim lim s 0 s s 0 q s s 0 s
其中，q 为相邻两切线的夹角。称 k 为曲线的曲率，其几何意
即 P(t) 关于弧长 s 的导矢是单位矢量。
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Northwest University 3.法矢量
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对于空间参数曲线上任一点，所有垂直切矢 T 的矢量构成
一平面，该平面成为曲线在该点的法平面。 若曲线上任一点的单位切矢为 T，因为 [T(s)]2 = 1，两边对 s 求导矢，得：
Northwest University 多的优越性，主要表现在以下七个方面：
计算机图形学
（1）可以满足几何不变性的要求。
（2）有更大的自由度来控制曲线曲面的形状。例如一条平 面三次曲线的显示表示为： y = ax3 + bx2 + cx + d 只有 4 个系数控制此曲线的形状；而平面三次曲线的参数表达 式则为：
义是曲线的单位切矢对弧长的转动率，与主法矢同向。曲率的 倒数 r = 1/k 称为曲率半径。
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Northwest University 又 B(s) · = 0，两边对 s 求导，得： T(s)
B(s) T (s) B(s) T (s) 0
在手工操作绘制曲线时，除了圆弧类曲线可以直接借助于
工具（圆规）来画出外，其他的曲线一般都是先确定几个点， 然后借用曲线板分段绘出。其实这也是用计算机来绘制曲线的 基本原理。由于计算机图形输出设备的工作特点, 曲线一般是离
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Northwest University 1.位置矢量
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曲线上任一点的位置矢量可表示为：
P(t) = [x(t), y(t), z(t)]
其一阶、二阶和 k 阶导数矢量（如果存在的话）分别表示为：
dP d 2P dkP k P(t ) , P(t ) 2 , P (t ) k dt dt dt
（7）易于用矢量和矩阵表示几何分量，简化了计算。
3.2.2 曲线基本概念
一条用参数表示的三维曲线是一个有界点集，可写成一个 带参数的、连续的、单值的数学函数，其形式为：
x x(t ) y y (t ), t [0, 1] z z (t )
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Northwest University 对于一般参数 t，有：
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P(t ) P(t ) ( P(t ) P(t )) P(t ) B , N B T P(t ) P(t ) P(t ) P(t ) P(t )
Northwest University 圆的参数方程表示为：
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x = r· cos(t)，y = r· sin(t)
这两种表示方法，在绘图的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ候是存有明显的差别的。
标准方程 取等量的变量但得不到均匀曲线
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参数方程 取等量的变量得到均匀曲线
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从以上的分析可得出绘制曲线的基本方法有两种：

离散化
这是由于硬件的条件决定的，理想化的曲线是
绘不出来的。

参数法 这是由于曲线的质量要求决定的。
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2.切矢量 曲线上任一点的切矢量，如果存在的话则为：
T
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P (t ) P (t )
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如果选择弧长 s 作为参数，那么根据弧长微分公式，有： (ds)2 = (dx)2 + (dy)2 + (dz)2 引入参数 t ，上式可改写为：
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第三章 几何造型技术
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3.1 绘制曲线的基本方法
在设计和绘图中，不可能没有曲线。这些曲线一般分为两 类：一类是标准曲线，可以用标准的数学方程来描述，如圆、
椭圆、抛物线等；另一类是拟合曲线，它们不能用标准的数学
平面曲线的参数表示。假定用 t 表示参数，则平面曲线上任
一点 P 可表示为：
P(t) = [x(t), y(t)]
空间曲线上任一点 P 可表示为： P(t) = [x(t), y(t), z(t)] 在曲线、曲面的表示上，参数表示比显式、隐式表示有更
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将 T , N , B 和 T, N, B 的关系写成矩阵形式，为
T 0 N k B 0 0 T 0 N 0 B k
对于一般参数 t，曲率 k 和挠率 的计算公式如下：
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问题就是讨论由离散的数据点如何构成曲线的方法。
在计算机图形学这个领域里谈起的曲线，一般都是指的后
一种曲线。我们要讨论的问题是：已知一组数据点(也称型值 点)，选用哪种数学方法来加以拟合，相应的数学表达方式以及 如何绘制曲线。 为了说清这些问题，还须先从标准曲线开始。
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即弧长 s 是 t 的单调增函数，故其反函数 t(s) 存在，且一一对应。
由此得：
P(t) = P(t(s))= P(s) 于是
dP dP dt P(t ) ds dt ds P(t )
再令 B(s) N (s) ， 称为挠率。因为
B dB B lim lim lim ds s 0 s s 0 s s 0 s
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2T (s) T (s) 0
可见，dT/ds 是一与 T 垂直的向量。与 dT/ds 平行的法矢量称为 曲线在该点的主法矢，主法矢的单位矢量称为主法矢量，记为 N。矢量积 B = T×N 是第三个单位矢量，它垂直于 T 和 N 。平
行于矢量 B 的法矢称为曲线的副法矢，B 则叫做单位副法矢。