巧用二进制编程

巧用二进制数思想编程方法例谈
浙江慈溪实验中学张利波315300
二进制数在计算机中有着非常重要的意义，在信息学竞赛中，巧妙使用二进制数的特点，可能使程序思路更加简洁明了，解题也变得相当简单，下面列举几个程序来说明。

例1、如图所示为一个城市街道简图，小明从A点出发到达B点。

如果在每一个路口只能向右或向上走，问小明可有多少条行走路线？并输出每条路线。

问题分析：该题一般的方法可以用深度优先遍历或广度优
编程呢？根据题意，可以通过以下几个方面进行分析：
①行走方向只有两种向右走或向上走，那么我们不妨
用0表示向上走，1表示向左走；②根据路径从A点到B
点，不论走哪条路径，走的步数总是固定的，如图中就是7步，因此，我们可以确定二进制数的位数是7位；③根据行走方向，用“1”表示向右走，据图向右走的步数为4，用二进制数表示又产生一个约束条件，7位二进制数中的“1”的个数为4，同理，“0”的个数为3。

根据以上分析，原题即转换成对7位二进制数的筛选，范围在(0001111)2——(1111000)2之间，且分离各位数字，相加为4，符合上述条件的，即为可以行走的一条路线，要统计所有可行走路线，只要对每个符合条件的线路数量累加即可。

参考程序中避免了十进制数转换成二进制数的操作，采用穷举所有7位的二进制数并对此进行筛选完成。

参考程序如下。

#include"stdafx.h"
#include<iostream>
#include<ctime>
using namespace std;
int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
time_t begin,end;
begin=clock();
int x;
int total=0;
for(int i=0X0000000F;i<0X00000079;i++)
{
int x=i;
//求i的二进制码中有多少个
x= (x & 0X55555555) + ((x >> 1) & 0X55555555);
x= (x & 0X33333333) + ((x >> 2) & 0X33333333);
x= (x & 0X0F0F0F0F) + ((x >> 4) & 0X0F0F0F0F);
x= (x & 0X00FF00FF) + ((x >> 8) & 0X00FF00FF);
x= (x & 0X0000FFFF) + ((x >> 16) & 0X0000FFFF);
if (x==4)
{
for (int j=6;j>=0;--j)
{
if (((1<<j)&i)!=0)
cout<<"1";
else
cout<<"0";
}
cout<<endl;
total++;
}
}
cout<<total<<endl;
end=clock();
cout<<double (end-begin)/CLOCKS_PER_SEC<<endl; return 0;
}
例2、如下图，有一个无穷大的栈S ，在栈的右边排列着1，2，3，4，5共五个车厢。

其中每个车厢可以向左行走，也可以先
进栈S 让后面的车厢通过。

现已知第一个到达出口的是3号车厢，请写出所有可能的到达出口的车厢排列总数，并输出每种排列。

(源自第八届信息学初赛普及组问题求解)
问题分析：这是一例典型的栈应用题，主要考察栈“先进后出”特点，如果用常规办法，如递归，也可能造成遗漏，用非递归办法则更为复杂。

根据题意，我们可以通过以下几个方面进行分析：
①栈的操作只有两类：进栈和出栈，那么就可以用二进制数0、1表示，用“1”表示进栈，“0”表示出栈；②每个车厢经过栈操作(进栈出栈)，如果车厢直接向左行走，可以理解成进栈后马上出栈，这样就可以把5个车厢的操作化解成10个动作，用10个二进制位数来表示；③根据栈操作，出栈必在进栈之后，则对应二进制数“1”的个数必不小于“0”个数；④题意中要求第一个到达出口的是3号车厢，可以确定二进制数的高4位数字为“1110”，表示1，2，3车厢进栈后，首个出栈车厢为第3个车厢，这样数据范围由原来10位缩小至低6位；⑤此外由题意不难发现，该6位上的二进制数字，含“1”的个数为2个，因此可以进一步框定数据范围在(001010)2——(110000)2，⑥最后一次操作不可能是进栈操作，因此数据最低位不能为1，即只能为偶数。

参考程序如下。

#include "stdafx.h"
#include <iostream>
出口← ←
S ↓
#include<ctime>
using namespace std;
int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
time_t begin,end;
begin=clock();
int total=0,x;
for(int i=0X0000000A;i<0X00000031;++i)
{
if((i&1)==0)
{
x=i;
x= (x & 0X55555555) + ((x >> 1) & 0X55555555);
x= (x & 0X33333333) + ((x >> 2) & 0X33333333);
x= (x & 0X0F0F0F0F) + ((x >> 4) & 0X0F0F0F0F);
x= (x & 0X00FF00FF) + ((x >> 8) & 0X00FF00FF);
x= (x & 0X0000FFFF) + ((x >> 16) & 0X0000FFFF);
if(x==2)
{
total++;
cout<<"1110";
for(int j=5;j>=0;--j)
{
if(((1<<j)&i)==0)
cout<<"0";
else
cout<<"1";
}
cout<<endl;
}
}
}
end=clock();
cout<<double(end-begin)/CLOCKS_PER_SEC<<endl;
return 0;
}
通过以上两个程序，我们大致了解用二进制数编程的方法，那么适用该方法时，程序描述有哪些明显特点呢？下面是笔者归纳的一些特点：
一位的情况，对于二进制位较多的情况，估计时间肯定得超时，这里只是给予方法上的启迪，在实际编程中，在运用二进制数思想编程时，要充分搜索题意信息，缩小二进制数搜索范围，或者结合排列组合知识的运用，程序效率会更高。

注：本文发表于《Noi专刊》2007年第10期。