(完整版)偏导数与全微分
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(完整word版)偏导数与全导数-偏微分与全微分的关系
1。
偏导数代数意义偏导数是对一个变量求导，另一个变量当做数对x求偏导的话y就看作一个数，描述的是x方向上的变化率对y求偏导的话x就看作一个数,描述的是y方向上的变化率几何意义对x求偏导是曲面z=f(x，y)在x方向上的切线对y求偏导是曲面z=f（x,y）在x方向上的切线这里在补充点。
就是因为偏导数只能描述x方向或y方向上的变化情况,但是我们要了解各个方向上的情况,所以后面有方向导数的概念。
2。
微分偏增量：x增加时f（x,y)增量或y增加时f（x,y）偏微分：在detax趋进于0时偏增量的线性主要部分detaz=fx（x，y)detax+o(detax)右边等式第一项就是线性主要部分，就叫做在（x，y）点对x的偏微分这个等式也给出了求偏微分的方法，就是用求x的偏导数求偏微分全增量：x，y都增加时f（x，y）的增量全微分：根号（detax方+detay方）趋于0时，全增量的线性主要部分同样也有求全微分公式，也建立了全微分和偏导数的关系dz=Adx+Bdy 其中A就是对x求偏导,B就是对y求偏导希望楼主注意的是导数和微分是两个概念，他们之间的关系就是上面所说的公式。
概念上先有导数，再有微分，然后有了导数和微分的关系公式,公式同时也指明了求微分的方法。
3。
全导数全导数是在复合函数中的概念,和上面的概念不是一个系统，要分开。
u=a（t)，v=b(t）z=f[a（t）,b（t）］dz/dt 就是全导数，这是复合函数求导中的一种情况，只有这时才有全导数的概念。
dz/dt=(偏z/偏u）（du/dt）+(偏z/偏v）(dv/dt）建议楼主在复合函数求导这里好好看看书，这里分为3种情况。
1.中间变量一元就是上面的情况，才有全导数的概念。
2。
中间变量有多元，只能求偏导3.中间变两有一元也有多元，还是求偏导。
对于你的题能求对x的偏导数，对y的偏导数，z的全微分，不能求全导数如果z=f（x^2，2^x) 只有这种情况下dz/dx才是全导数！偏导数就是在一个范围里导数，如在(x0，y0)处导数.全导数就是定义域为R的导数，如在实数内都是可导的在数学中，一个多变量的函数的偏导数是它关于其中一个变量的导数,而保持其他变量恒定（相对于全导数，在其中所有变量都允许变化）.偏导数在向量分析和微分几何中是很有用的.函数f关于变量x的偏导数写为或。
偏导数与全微分
若二元函数z=f(x,y)在D内每一点都有偏导数 则此偏 内每一点都有偏导数, 在 内每一点都有偏导数 则此偏 注 (1) 若二元函数 的函数--------偏导函数 偏导函数. 导数也是 x, y 的函数 偏导函数
f x , f y , z x , z y , ......
∂z ∂f ∂z ∂f , , , , ...... ∂x ∂x ∂y ∂y
∂ ∂z ∂2z ( )= = z yx = f yx ; ∂ y ∂x ∂x ∂ y
混合偏导数
∂ ∂z ∂2z ( )= = z yy = f yy . 2 ∂y ∂y ∂y
定理 若 z = f (x, y) 的二阶混合偏导数 f x y , f y x 在 (x,y) 连续 连续, 则 f xy = f yx . 适用于三阶以上 2 2 ∂ z ∂ z y , . z = arctan , 例5 求 ∂y∂x ∂x∂y x y −y ∂z 1 = ⋅ (− 2 ) = 2 , 2 y 2 x x +y ∂x 1 + ( ) x 1 1 ∂z x = y 2 ⋅ x = x2 + y2 , ∂y 1+(x)
∂2z = 6 xy 2 ∂x 2
∂2z = 2 x 3 − 18 xy ∂y 2
∂2z ∂2z 2 2 = 6 x y − 9 y − 1= ∂y∂x ∂x∂y
∂3z = 6 y2 ∂x 3
§2
偏导数与全微分
一、 偏导数 1.偏导数的定义 1.偏导数的定义 的某邻域内有定义, 设 z = f (x,y)在点 ( x0 , y0 )的某邻域内有定义, 当 y 固定在 y0 时, , ) 得一元函数 f ( x , y0 ), 称 f ( x 0 + ∆ x , y0 ) − f ( x 0 , y0 ) lim ∆ x→0 ∆x 的偏导数, 为z = f (x,y)在点 ( x0 , y0 )处对 x 的偏导数, 记为 fx ( x0 , y0 ), 或 ∂ f ( x 0 , y 0 ) , , ) ∂x 或 ∂ z ( x 0 , y0 ) , ∂x f ( x0 + ∆x, y0 ) − f ( x0 , y0 ) ∂z 即 f x ( x 0 , y0 ) = x ( x 0 , y0 )= ∂ f ( x 0 , y 0 ) = lim ; ∂ ∂x ∆x→0 ∆x 类似的, 的偏导数为 类似的, z = f (x,y)在点 ( x0 , y0 ) 处对 y 的偏导数为 , ) f ( x0 , y0 + ∆ y) − f ( x0 , y0 ) ∂f ∂z f y ( x 0 , y0 ) = . = lim ( x0 , y0 ) = ( x 0 , y0 ) ∆ y→0 ∂y ∂y ∆y
第3节 偏导数与全微分
处对x的偏导数，记为
z ， 或 x x x0
zx
x x0 y y0
.
y y0
1
类似可定义函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 ) 处对 y 的偏
导数，为
lim f ( x0 , y0 y) f ( x0 , y0 )
y0
y
z
记为
，或
y x x0
y y0
lim
A,
x0
x
同理可得 B f y( x0 , y0 ) .
dz z dx z dy x y
可微 可偏导 13
注：可偏导不一定可微,见下面反例.
xy
f
(
x,
y)
x2 y2
0
x2 y2 0 .
x2 y2 0
在点 (0,0) 处有 f x (0,0) f y(0,0) 0 ,
同理, f y (0,0) 0 .
9
偏导数存在与连续的关系
一元函数中在某点可导 连续，
多元函数中在某点偏导数存在
连续，
例如,函数
f
(
x,
y)
x
2
xy
y
2
,
0,
x2 y2 0
,
x2 y2 0
已经求得， f x (0,0) f y(0,0) 0 .
即 dy f ( x)dx .
11
二元函数的可微性和全微分
定义 二元函数 z f (x, y) 在点( x0 , y0 ) 处的全增量
z f ( x0 x, y0 y) f ( x0 , y0 ) 如果可以表示为
数学分析第十六章课件偏导数与全微分
解: 已知
则
V 2 rh r r 2h
r 20, h 100, r 0.05, h 1
V 2 20100 0.05 202 (1) 200 (cm3)
即受压后圆柱体体积减少了
作业
• P192:1:(单数题) • P193:7;9 • P208:1:(双数题) • P208:3 • P209:9 • P217:1:(1;3);2:(2;4);6 • P223:2;3;8
定理16.1 ３．全微分与偏导数的关系：
f (x, y) 设 (x0 , y0 ) 可微，在表达式中 分别令 f 0 x 0 和 x 0 y 0
得
定理１６.2
从而：f 在 p0 的全微分可写成
dz |p0 fx (x0 , y0 )dx f y (x0 , y0 )dy
z f (x) 在某区域 G 内（x，y） 点的全微分为
f11,
f12,
f21,
f22
书上记号易混
链式法则的应用
偏微分方程的变换
目的
求解
2）复合函数的全微
设
u
f (x, y),若x, y为自变量，则
du f dx f dy x y
进一步，若x (s,t) y (s,t) 则有
du u ds u dt dx x ds x dt dy y ds y dt
r x 2
2x x2 y2 z2
x r
r z z r
4、计算
的近似值.
解: 设
,则
f x (x, y) y x y1 , f y (x, y) x y ln x
取
则 1.042.02 f (1.04, 2.02 )
1 2 0.04 0 0.02 1.08
28.2 偏导数与全微分
∆������������ = ������ ������������ + ∆������, ������������ − ������ ������������, ������������
如 果
lim f (x0 x, y0 ) f (x0, y0 )
x0
x
存在，则称此极限为函数������ = ������ ������, ������ 在点 （������������, ������������）处对������的偏导数 ，记作
y0
y
z f
记 y
x x0
, y
x x0
, zy
作 y y0
y y0
xx0 或f y (x0, y0 )
y y0
1.偏导数
如果函数������ = ������ ������, ������ 在区域D内每一点（������������, ������������） 处对������的偏导数都存在,那么这个偏导数就是关
习惯上，自变量的增量∆������ 和∆������常写成������������和������������,
并分别称为自变量������、������的微分，所以也常记作 ������������ = ������������′ ������0, ������0 ������������ + ������������′ ������0, ������0 ������������
作为整体记号来看待，其中的横线没有相
除的意义，横线上下并未赋予相互独立的
含义。
➢ 一元函数在某一点可导，那么函数在该点 一定连续。但是，对于二元函数来说，函 数在某一点存在偏导数，并不能保证它在 该点连续。
偏导数与全微分
偏改 变量
y z f ( x0 , y0 y) f ( x0 , y0 )
2.偏导数 设有函数 z f (x, y), 如果极限
lim x z lim f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )
x x0
x0
x
存在,则称此极限值为f (x, y)在点
z x (1, 2)
z x1 1 3y y2
z y (1, 2)
例2 已知 f ( x, y) e xy x y , 求 f x( x, y), f y( x, y), f x(1,2), f y(1,2).
解 f x( x, y) ye xy yx y1 f y( x, y) xe xy x y ln x
zy
xe x y ( x 1) 1 1 y
zy (1.0) e 2
dz 2edx (e 2)dy. (1,0)
定理8.2 如果函数 f (x, y) 在点P(x, y)及其邻域 内有连续的偏导数 f x( x, y)和 f y( x, y), 则该函数在点 P(x, y) 处可微.
(3)关系 函数 f (x, y)在 ( x0 , y0 )处的偏导数等于
偏导函数在( x0 , y0 ) 处的函数值.
(4)偏导函数求法 对 x 求偏导把 y 看作常数,
对 y 求偏导把 x 看作常数,
原
按一元函数求导法则求.
始
法 则
重要注意事项
二元函数偏导数的几何意义:
z
f x
x x0 yy0
z z f (x, y)
.P
.O
y0
x0
T2
y
第二节 偏导数与全微分
一、填空题:
练习题
1、设z
e
y x
,则
z
_____________；
x
z ____________；dz ____________. y
2、若u ln( x 2 y 2 z 2 ),则
du _____________________________.
3、若函数z y ,当x 2, y 1 ,x 0.1, y 0.2 时, x
且函数z f ( x, y)在点( x, y)的全微分为 dz z x z y ． x y
一元函数在某点的导数存在 多元函数的各偏导数存在
微分存在． 全微分存在．
说明：1)多元函数的各偏导数存在并不能保证 全 微分存在;
2)不连续一定不可微
定理２（充分条件） 如果函数z f ( x, y)的偏 导数z 、z 在点( x, y)连续，则该函数在点( x, y)
(将y看成常数）
z
' x
(1,1)
e 1
z
' y
cos(x
y )e xy
sin(x
y)exy x
(将x看成常数）
z
' y
(1,1)
e1
解2： z(x,1) sin(x 1)ex
dz(x,1) cos(x 1)ex sin(x 1)ex dx
y0
y
记为 z y
(
x0
,
y0
，f ) y
(
x0
,
y0
)
，z
y
(
x0
,
偏导数与全微分
因为函数在（0，0）处的极限不存在，从而在点 （0，0）处不连续.
函数在点(0,0) 处不可微.
多元函数的各偏导数存在
全微分存在．
可微的充分条件
定理 5.4（充分条件） 如果函数 z f ( x , y )的
z z 偏导数 、 在点( x , y )连续，则该函数在点 x y ( x , y )可微分．
2z 2z 导数 及 在区域 D 内连续，那末在该区域 yx xy
内这两个二阶混合偏导数必相等．
例 6-19 方程
验证函数 z ln x 2 y 2 满足拉普拉斯
2z 2z 2 0. 2 x y
1 ln x y ln( x 2 y 2 ), 解 2 z x z y 2 , 2 , 2 2 x x y y x y
z ( x , y )可微分，则该函数在点( x , y )的偏导数 、 x z 必存在，且函数 z f ( x , y )在点( x , y )的全微分 y
为
z z dz x y ． x y
证 如果函数 z f ( x , y ) 在点P ( x , y ) 可微分,
同理可得
z B . y
一元函数在某点的导数存在
微分存在．
多元函数的各偏导数存在
全微分存在．
xy 2 x y2 例如， f ( x , y ) 0
x2 y2 0 . x y 0
2 2
Hale Waihona Puke 在点(0,0) 处有 f x (0,0) f y (0,0) 0
二元函数：z = f(u , v) u =φ (x , y) v = ψ (x , y)
5.2偏导数与全微分
7.3偏导数与全微分
完全类似地 ,可以定义函数z=f(x,y) 在点 (x0,y0) 关于 y的偏
导数,并将其记作
f ( x0 , y0 y ) f ( x0 , y0 ) lim lim y 0 y y 0 y f ( x0 , y0 ) z f y( x0 , y0 ), 或 , 或 z' y |( x0 , y0 ) , 或 |( x0 , y0 ) y y
f (0, 0 y ) f (0, 0) 0 f y(0,0) lim y 0 y
k k xy lim lim x 0 1 k 2 ( x , y ) (0,0) x 2 y 2 1 k 2
y kx
但
( x , y ) (0， 0)
lim
f ( x, y )
(2) 遇到多个部分的乘积可采用取对数的方法.
ln u y ln x z ln y x ln z u y y z x y x ln z u x y z ( ln z ). 两边对x求导 x u x x u z z y y z x ln x u 两边对y求导 ). y x y z (ln x u y y u x x y z x 两边对z求导 z ln y u x y z (ln y ). z z u z
2015年4月14日星期二 17
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4.二元函数的偏导数与连续性之间的关系 二元函数的偏导数与连续性之间的关系，与一元函 数的可导与连续的关系，有着本质的区别. 但在二元函数 一元函数有“可导必连续”的性质； 中,“若函数ƒ(x,y) 在某点的两个偏导数
而函数f ( x, y)在该点却不一定连续.
返回
例2. 求 z x 2 3x y y 2 在点(1 , 2) 处的偏导数.
导数,并将其记作
f ( x0 , y0 y ) f ( x0 , y0 ) lim lim y 0 y y 0 y f ( x0 , y0 ) z f y( x0 , y0 ), 或 , 或 z' y |( x0 , y0 ) , 或 |( x0 , y0 ) y y
f (0, 0 y ) f (0, 0) 0 f y(0,0) lim y 0 y
k k xy lim lim x 0 1 k 2 ( x , y ) (0,0) x 2 y 2 1 k 2
y kx
但
( x , y ) (0， 0)
lim
f ( x, y )
(2) 遇到多个部分的乘积可采用取对数的方法.
ln u y ln x z ln y x ln z u y y z x y x ln z u x y z ( ln z ). 两边对x求导 x u x x u z z y y z x ln x u 两边对y求导 ). y x y z (ln x u y y u x x y z x 两边对z求导 z ln y u x y z (ln y ). z z u z
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4.二元函数的偏导数与连续性之间的关系 二元函数的偏导数与连续性之间的关系，与一元函 数的可导与连续的关系，有着本质的区别. 但在二元函数 一元函数有“可导必连续”的性质； 中,“若函数ƒ(x,y) 在某点的两个偏导数
而函数f ( x, y)在该点却不一定连续.
返回
例2. 求 z x 2 3x y y 2 在点(1 , 2) 处的偏导数.
7.3偏导数与全微分
函数可微 偏导数存在 函数连续
1. 偏导数连续
2.全微分的定义可推广到三元及三元以上函数. 全微分的定义可推广到三元及三元以上函数. 全微分的定义可推广到三元及三元以上函数 ∂u ∂u ∂u du = dx + dy + dz . ∂y ∂x ∂z
y 例 求 u = x + sin + e yz 的全微分. 2 1 y yz yz key : d u = dx + ( cos + ze )dy + ye dz. 2 2
§7.3 偏导数与全微分
1.定义 设函数 z = f ( x, y)在点( x0 , y0 ) 的某邻域内的极限
∆x 的偏导数， 存在, 存在 则称此极限为 z = f ( x, y) 在点( x0 , y0 ) 对 x的偏导数， ∂f ′ 记为 f x ( x0 , y0 ) ; ; f1′( x0 , y0 ). ∂ x ( x0 , y0 )
x0 + ∆x x0
类似可定义对 y 的偏导数
f ( x0 , y0 + ∆y) − f ( x0 , y0 ) ′ f y ( x0 , y0 )= lim ∆ y→0 ∆y
∂f ; f2′( x0 , y0 ). ∂ y ( x0 , y0 )
′ 记为 f y ( x0 , y0 ) ;
注： 函数 z = f ( x , y ) 在区域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x 若 则该偏导数称为偏导函数 偏导函数. 或 y 偏导数存在 , 则该偏导数称为偏导函数 记为
Tx
y0
Ty
o
x
y
x0
d = f ( x0 , y) dy y = y0
z = f ( x, y) 在点M 在点 0 处的切线 M0Ty 对 y 的 是曲线 x = x0 斜率. 斜率
1. 偏导数连续
2.全微分的定义可推广到三元及三元以上函数. 全微分的定义可推广到三元及三元以上函数. 全微分的定义可推广到三元及三元以上函数 ∂u ∂u ∂u du = dx + dy + dz . ∂y ∂x ∂z
y 例 求 u = x + sin + e yz 的全微分. 2 1 y yz yz key : d u = dx + ( cos + ze )dy + ye dz. 2 2
§7.3 偏导数与全微分
1.定义 设函数 z = f ( x, y)在点( x0 , y0 ) 的某邻域内的极限
∆x 的偏导数， 存在, 存在 则称此极限为 z = f ( x, y) 在点( x0 , y0 ) 对 x的偏导数， ∂f ′ 记为 f x ( x0 , y0 ) ; ; f1′( x0 , y0 ). ∂ x ( x0 , y0 )
x0 + ∆x x0
类似可定义对 y 的偏导数
f ( x0 , y0 + ∆y) − f ( x0 , y0 ) ′ f y ( x0 , y0 )= lim ∆ y→0 ∆y
∂f ; f2′( x0 , y0 ). ∂ y ( x0 , y0 )
′ 记为 f y ( x0 , y0 ) ;
注： 函数 z = f ( x , y ) 在区域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x 若 则该偏导数称为偏导函数 偏导函数. 或 y 偏导数存在 , 则该偏导数称为偏导函数 记为
Tx
y0
Ty
o
x
y
x0
d = f ( x0 , y) dy y = y0
z = f ( x, y) 在点M 在点 0 处的切线 M0Ty 对 y 的 是曲线 x = x0 斜率. 斜率
8.3偏导数与全微分
f ( x0 x , y0 ) f ( x0 , y0 ) f x ( x0 , y0 ) lim x 0 x
同理可定义关于y的偏导数
f ( x 0 , y 0 y ) f ( x 0 , y 0 ) lim f y ( x0 , y0 ) y 0 y
记为： f y ( x0 , y0 )
Q1 ：Q1对 自 身 价 格1的 边 际 需 求 p ; p1 Q1 ：Q1对 相 关 价 格2的 边 际 需 求 p ; p2
Q2 ：Q2 对 相 关 价 格1的 边 际 需 求 p ; p1 Q2 ：Q2 对 自 身 价 格2的 边 际 需 求 p ; p2
Q1 的经济意义：相关价格不变时,自身价格达到p1时, p1 价格再增加一个单位所增加或减少的需求量; Q1 的经济意义：自身价格不变时,相关价格达到p2时, p2 价格再增加一个单位所增加或减少的需求量;
的改变量为
z f ( x x, y y ) f ( x, y )
全改变量
1.全微分的定义 设长方形边长为x, y, 则它的面积为S=x y,如果边长有
改变量x, y, 则面积的改变量为
S f ( x x, y y ) f ( x, y ) ( x x )( y y ) xy yx xy x y dS : S在点( x, y )处的全微分.
注： 1.z f ( x, y)在( x0 , y0 )处的偏导数，可理解为 该函数
在( x0 , y0 )处沿x轴和y轴方向的变化率，即
d f x ( x0 , y0 ) f ( x , y0 ) | x x 0 dx d ( x 0 , y0 ) fy f ( x 0 , y ) | y y0 dx
偏导数与全微分
如果函数z=f(x,y)在区域D内每一点处对x(或对y)的偏 导数都存在，那么这个偏导数也是关于x，y的二元函数， 就称这个函数为z=f(x,y)对x(或对y)的偏导函数（简称偏导 数），记为
一、偏导数
注意
偏导数的记号 作分子分母之商.
是一个整体的记号，不能看
一、偏导数
偏导数的概念还可推广到二元以上的函数.
设f(x,y,z)=xy2+yz2+zx2，求各二阶偏导数及fzzx(x,y,z). 解 因为
一、偏导数
引例说明由例2的结果 知，当单位体积空气中固体污染物的数量为1个单位， 气体污染物的数量为2个单位时，固体污染物每增加1 个单位时，大气污染指数将增大22个单位.同样，当气 体污染物的数量增加1个单位时，大气污染指数将增大 18个单位.
二、全微分
在第二章我们已经学习了一元函数y=f(x)微分的概念， 现在用类似的思想和方法，通过多元函数的全增量，把一元 函数微分的概念推广到多元函数．
在研究多元函数的偏导数时，只是某一个自变量变化， 而其他的自变量视为常量，但在实际问题中，往往是几个自 变量同时在变动，下面我们就来研究多元函数各个自变量同 时变化时函数的变化情形．以二元函数为例，为此，我们引 入二元函数全微分的概念．
偏导数与全 微分
一、偏导数
引例在报纸上经常会看到关于城市大气污染指数 P的数据，其常用的运算模型为 P=x2+2xy+4xy2，其 中x表示单位体积空气中固体污染物的数量，如粉尘； y表示单位体积空气中气体污染物的数量，如汽车尾气. 那么这些污染物在空气中含量的变化对指数的影响程 度如何呢？下面通过偏导数来进行分析.
所以
【例3】
求 解
一、偏导数
一、偏导数
注意
偏导数的记号 作分子分母之商.
是一个整体的记号，不能看
一、偏导数
偏导数的概念还可推广到二元以上的函数.
设f(x,y,z)=xy2+yz2+zx2，求各二阶偏导数及fzzx(x,y,z). 解 因为
一、偏导数
引例说明由例2的结果 知，当单位体积空气中固体污染物的数量为1个单位， 气体污染物的数量为2个单位时，固体污染物每增加1 个单位时，大气污染指数将增大22个单位.同样，当气 体污染物的数量增加1个单位时，大气污染指数将增大 18个单位.
二、全微分
在第二章我们已经学习了一元函数y=f(x)微分的概念， 现在用类似的思想和方法，通过多元函数的全增量，把一元 函数微分的概念推广到多元函数．
在研究多元函数的偏导数时，只是某一个自变量变化， 而其他的自变量视为常量，但在实际问题中，往往是几个自 变量同时在变动，下面我们就来研究多元函数各个自变量同 时变化时函数的变化情形．以二元函数为例，为此，我们引 入二元函数全微分的概念．
偏导数与全 微分
一、偏导数
引例在报纸上经常会看到关于城市大气污染指数 P的数据，其常用的运算模型为 P=x2+2xy+4xy2，其 中x表示单位体积空气中固体污染物的数量，如粉尘； y表示单位体积空气中气体污染物的数量，如汽车尾气. 那么这些污染物在空气中含量的变化对指数的影响程 度如何呢？下面通过偏导数来进行分析.
所以
【例3】
求 解
一、偏导数
多元函数微分学偏导数与全微分
fx 1
x x2 y2
fy 1
y x2 y2
f y (0,2)
fx (0,1) 1, f y (0,2) 0
例2. u zxy 求偏导数
u x
z xy (ln
z) y
u y
z xy (ln z)x
u xyz xy1
z
例3.
f
(x,
y)
求 2z , 2z
yx xy
z x
1
1 ( y )2
(
y x2
)
y , x2 y2
x
z y
1 1 ( y)2
1 x
x x2
y2
,
x
2z yx
y2 x2 (x2 y2)2
2z xy
例6. z x3 y2 3xy3 xy 1
x2
y2 z2
,
u z
3xy2 z 2
sin
x2 y2 z2
2xy2 (x2
y2 ) cos
x2
z2
y2
2.
z
x sin
y x
cos
y x
,求
2z y 2
,
2z xy
z cos y 1 sin y ,
y
xx x
2z y 2
1 x
sin
y x
求 2z , 2z , 2z , 2z , 3z
x2 yx xy y 2 x3
z 3x2 y2 3y3 y, z 2x3 y 9xy2 x
偏导数与全微分
f x (
x, y,z
)
lim
x0
f(
x
x, y,z ) x
f(
x,y,z )
类似,
f y(
x, y,z
)
lim
y0
f(
x, y y,z ) y
f(
x, y,z )
fz( x , y , z )
lim
z0
f ( x, y,z z ) z
f(
x, y,z )
说明
对多元函数求关于某一个自变量的偏导数时,
若极限 lim x z lim f ( x0 x , y0 ) f ( x0 , y0 ) 存在，
x x0
x0
x
则称此极限值为函数 f (x, y) 在点( x0, y0 ) 处对 x 的偏导数.
z , 记作:
z f
,
,
x x x0 x x x0
y y0
y y0
x x x0 y y0
或 f x( x0 , y0 ).
zxx fxx ( x , y ),
y
z y
2z y2
f yy( x , y ),
z
y x
2z xy
f xy ( x , y ),
x
z y
2z yx
f yx( x , y ),
混 合 偏 导 数
Note：记号
有的书上的记法不同
类似可定义三阶、四阶及更高阶的偏导数， 二阶及二阶以上的偏导数称为高阶偏导数.
记作 z , x
f , x
zx , fx( x , y )
类似定义函数 f (x, y) 对 y的偏导数.
记作: z , f , zy ,
8.2 偏导数与全微分
类似地，可以定义函数z=f(x,y)在区域D内对自变 量y的偏导函数为
f ( x, y + ∆y) − f ( x, y) lim ∆y→0 ∆y
∂z ∂f 记作 , , f y ( x, y)或zy ( x, y) ∂y ∂y
偏导数的概念可以推广到二元以上函数 如 u = f ( x, y, z ) 在 ( x, y, z ) 处
= 2×1 + 3× 2 = 8 , = 3×1 + 2× 2 = 7 .
x =1 y= 2
问题： 问题：计算偏导数 f x ( x0 , y0 )时能否将 y = y0 先代入
f ( x, y ) 中再对 求导？ 中再对x求导 求导？
分析： 分析：
f (x0 + ∆x, y0 ) − f (x0, y0 ) f x (x0, y0 )= lim ∆x→0 ∆x
是曲线 斜率. 斜率 在点M 在点 0 处的切线 M0Ty 对 y 轴的
例4
xy , x2 + y2 ≠ 0, 2 f ( x, y) = x + y2 0, x2 + y2 = 0 ，
设
求f(x,y)在原点(0,0)处的偏导数. 解 原点(0,0)处对x的偏导数为
f (0 + ∆x,0) − f (0,0) fx (0,0) = lim ∆x→0 ∆x (∆x) ⋅ 0 −0 2 (∆x) + 0 = lim = lim0 = 0. ∆x→0 ∆x→0 ∆x
内这两个二阶混合偏导数必相等． 内这两个二阶混合偏导数必相等 ． 元函数的高阶混合导数也成立. 本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立
例如, 例如 对三元函数 u = f (x , y , z) , 当三阶混合偏导数 连续时, 在点 (x , y , z) 连续时 有
偏导数与全微分
§7.3 偏导数与全微分
一、 偏导数
的某邻域内有定义 定义 设函数 z = f ( x, y)在点 ( x0 , y0 ) 的某邻域内有定义 且极限
∆x 存在, 存在, 则称此极限为函数 z = f ( x, y) 在点( x0, y0 ) 对x ∂f ; ′ 偏导数， 的偏导数，记为 fx ( x0 , y0 ) ; ∂ x ( x0 , y0 )
∂f 只要把 y 之外的其他自变量暂时看成 求 时， ∂y 常量， 常量，对 y求导数即可 求导数即可
导数运算法则
[u( x) ± v( x)]′ = u′( x) ± v′( x)
[u( x)v( x)]'= u'( x)v( x) + u( x)v'( x)
u( x) u′( x)v( x) − u( x)v′( x) [ ]′ = v( x) v2( x) v( x) ≠ 0
三、全微分
引例 长方形金属薄片受热后面积的改变量
设长由 x变到x + ∆x , 宽由y变到y + ∆y , Q 长方形面积 S = xy , ∴ ∆S = ( x + ∆x )( y + ∆y ) − xy
= x∆y + y∆x + ∆x∆y
(1) (2)
x
x∆y ∆
∆x
∆x∆y ∆
∆y
S = xy
(1)∆z ≈ d z = fx′( x, y)∆x + f y′( x, y)∆y
(2) f ( x0 + ∆x, y0 + ∆y) ≈ f ( x0 , y0 ) +fx′( x0 , y0 )∆x + f y′( x0 , y0 )∆y
一、 偏导数
的某邻域内有定义 定义 设函数 z = f ( x, y)在点 ( x0 , y0 ) 的某邻域内有定义 且极限
∆x 存在, 存在, 则称此极限为函数 z = f ( x, y) 在点( x0, y0 ) 对x ∂f ; ′ 偏导数， 的偏导数，记为 fx ( x0 , y0 ) ; ∂ x ( x0 , y0 )
∂f 只要把 y 之外的其他自变量暂时看成 求 时， ∂y 常量， 常量，对 y求导数即可 求导数即可
导数运算法则
[u( x) ± v( x)]′ = u′( x) ± v′( x)
[u( x)v( x)]'= u'( x)v( x) + u( x)v'( x)
u( x) u′( x)v( x) − u( x)v′( x) [ ]′ = v( x) v2( x) v( x) ≠ 0
三、全微分
引例 长方形金属薄片受热后面积的改变量
设长由 x变到x + ∆x , 宽由y变到y + ∆y , Q 长方形面积 S = xy , ∴ ∆S = ( x + ∆x )( y + ∆y ) − xy
= x∆y + y∆x + ∆x∆y
(1) (2)
x
x∆y ∆
∆x
∆x∆y ∆
∆y
S = xy
(1)∆z ≈ d z = fx′( x, y)∆x + f y′( x, y)∆y
(2) f ( x0 + ∆x, y0 + ∆y) ≈ f ( x0 , y0 ) +fx′( x0 , y0 )∆x + f y′( x0 , y0 )∆y
应用数学第八章第八章第二节 偏导数和全微分
第二节 偏导数与全微分
二、 全微分
1．全微分的定义 定义2 如果二元函数 z f (x, y) 在点 (x, y) 处的全增量
z fx x ,y y fx ,y 可以表示为关于 x ， y 的线性函数与
一个比 x2 y2 高阶的无穷小之和，即
z f ( x x , y y ) f ( x , y ) A x B y o ( )
第八章 二元函数微分
第二节 偏导数与全微分
一、偏导数
z y x x0
y y0
或
f y x x0
y y0
或 zy
或 x x 0
y y0
fy x0, y0
如果函数 z f (x, y) 在区域 D 内每一点 ( x, y ) 处对 x的偏导 数都存在，则这个偏导数仍是 x, y的函数，称它为函数 z f (x, y)
z 2z yyy2
fyyx,y
第八章 二元函数微分
第二节 偏导数与全微分
一、偏导数
其中 fxy (x, y) 、f yx (x, y) 称为二阶混合偏导数．类似地，可得到二 阶及二阶以上的偏导数，二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶
偏导数．
练习2 求函数 z x3y2 3xy2 xy的二阶偏导数. 解 函数的一阶偏导数为
解 设圆柱体的半径、高和体积依次是 r、h 和 v ，则有
v r2h
记 r、h 和 v的增量依次为 r , h 和 v ．应用公式，有
v d v v r r v h h 2 r r h r 2 h
把 r 2 0 ,h 1 0 0 , r 0 .0 5 , h 1 代入，得
得 1 . 0 2 4 9 6 f 1 ,5 f x 1 ,5 0 . 0 2 f y 1 ,5 0 . 0 4
二、 全微分
1．全微分的定义 定义2 如果二元函数 z f (x, y) 在点 (x, y) 处的全增量
z fx x ,y y fx ,y 可以表示为关于 x ， y 的线性函数与
一个比 x2 y2 高阶的无穷小之和，即
z f ( x x , y y ) f ( x , y ) A x B y o ( )
第八章 二元函数微分
第二节 偏导数与全微分
一、偏导数
z y x x0
y y0
或
f y x x0
y y0
或 zy
或 x x 0
y y0
fy x0, y0
如果函数 z f (x, y) 在区域 D 内每一点 ( x, y ) 处对 x的偏导 数都存在，则这个偏导数仍是 x, y的函数，称它为函数 z f (x, y)
z 2z yyy2
fyyx,y
第八章 二元函数微分
第二节 偏导数与全微分
一、偏导数
其中 fxy (x, y) 、f yx (x, y) 称为二阶混合偏导数．类似地，可得到二 阶及二阶以上的偏导数，二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶
偏导数．
练习2 求函数 z x3y2 3xy2 xy的二阶偏导数. 解 函数的一阶偏导数为
解 设圆柱体的半径、高和体积依次是 r、h 和 v ，则有
v r2h
记 r、h 和 v的增量依次为 r , h 和 v ．应用公式，有
v d v v r r v h h 2 r r h r 2 h
把 r 2 0 ,h 1 0 0 , r 0 .0 5 , h 1 代入，得
得 1 . 0 2 4 9 6 f 1 ,5 f x 1 ,5 0 . 0 2 f y 1 ,5 0 . 0 4
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第二节
第十章
偏导数与全微分
一、 偏导数概念及其计算 二 、高阶偏导数 三、全微分
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一、 偏导数定义及其计算法
引例: 研究弦在点 x0 处的振动速度与加速度 , 就是
将振幅
中的 x 固定于 x0 处, 求
关于 t 的
一阶导数与二阶导数.
u u(x0 , t ) u(x, t)
注意: f x (x0 , y0 ) lim f x0 x, y0 f x0, y0
f
(x0 )
lim
x 0
f
(x0x0 x)
x
f
(x0 )
xd y
dx
x x0
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同样可定义对 y 的偏导数
f y (x0 , y0 ) lim f (x0 , y0 y) f (x0 , y0 )
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例如, f (x, y)
xy
x2 x2
y2 y2
,
0,
x2 y2 0 x2 y2 0
fx (x, y)
y
x4
4x2 (x2
y2 y2 )2
y4
,
0,
x2 y2 0 x2 y2 0
f y (x, y)
x
x4
4x2y2 (x2 y2)2
y4
,
0,
x2 y2 0 x2 y2 0
f xy (0,0)
lim
y 0
f x (0,
y) y
f x (0, 0)
lim y y0 y
1
二 者
例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的
偏导数定义为
x x
x
x
f y (x, y, z) ? fz (x, y, z) ?
(请自己写出)
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二元函数偏导数的几何意义:
z
f x
x x0 yy0
d dx
f (x, y0 )
x
z 4 yex2 cos x 2 y2 .
y
3z
f x, y arc sin
y2 x
,
z x
1
1
y2 x
2
y2 x2
x
y2
x2 y4
x2
y2
;
x x2 y4
z y
1
2y
1
y2 x
2
x
x 2y .
x2 y4 x
例4. 已知理想气体的状态方程
(R 为常数) ,
x x0
M0
Tx
Ty
是曲线
z
y
f (x, y0
y)在点
M0
处的切线
M0Tx 对 x 轴的斜率.
f y
x x0 y y0
d dy
f (x0 , y)
y
y0
o
x0
x
y0
y
是曲线 斜率.
在点M0 处的切线 M 0Ty 对 y 轴的
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注意：函数在某点各偏导数都存在, 但在该点不一定连续.
x
z x (1, 2)
z y
3x
2y
z
y (1, 2)
解法2:
z y2 x2 6x 4
z x (1, 2)
z x1 1 3y y2
z y (1, 2)
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例2. 设 z x y ( x 0, 且 x 1），求证 x z 1 z 2z y x ln x y
z x
fx (x, y) ,
z y
f y (x, y)
若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是z = f ( x , y )
的二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导
数:
(z) x x
2z x2
f xx (x, y);
(z) y x
2z x y
fx y (x, y)
(z) 2z x y yx
例如,
z
f
(x, y)
xy
x2
y2
,
0 ,
x2 y2 0 x2 y2 0
显然
0
0 在上节已证 f (x , y) 在点(0 , 0)并不连续!
上节例 目录 上页 下页 返回 结束
例1 . 求 z x2 3xy y2在点(1 , 2) 处的偏导数.
解法1: z 2x 3y ,
)
nz xn1 y
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例5. 解:
求函数 z ex2y z ex2y
的二阶偏导数及
z 2ex2y
3z yx2
.
x
y
2z x2
ex2y
2z 2ex2y x y
2z 2ex2y yx
2 z y2
4ex2y
3z yx2
x
(
2z ) y x
2ex2y
注意:此处 2 z 2 z , 但这一结论并不总成立. x y yx
y0
y
若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x 或 y 偏导数存在 , 则该偏导数称为偏导函数, 也简称为
偏导数 , 记为
z , f , y y
zy ,
f y (x, y) ,
f2(x, y)
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偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 .
f yx (x, y);
y
( z ) y
2z y2
f y y (x, y)
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类似可以定义更高阶的偏导数. 例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为
z = f (x , y) 关于 x 的 n –1 阶偏导数 , 再关于 y 的一阶
偏导数为 ( y
证:
x z 1 z
2z
y x ln x y
例3. 求
的偏导数 . (P91 例4)
解:
r x 2
2x x2 y2 z2
x r
r z z r
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习题10-2 题1（1）（3）
1z f x, y ex2 sin x 2 y2 , z 2xex2 sin x 2 y2 ex2 cos x 2 y2 ;
o x0
x
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定义1. 设函数 z f (x, y)在点 (x0 , y0 ) 的某邻域内
极限
x0 x
x0
x
存在, 则称此极限为函数 z f (x, y) 在点 (x0, y0 ) 对 x
的偏导数，记为 z
x xx0 , y y0
f x xx0 , y y0
zx (x0 , y0 ) ;
求证: p V T 1 V T p
证: p RT , V
p V
RT V2
说明: 此例表明,
V RT , p
V R T p
偏导数记号是一个 整体记号, 不能看作
分子与分母的商 !
p V V T
T p
RT pV
1
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二、高阶偏导数
设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数
第十章
偏导数与全微分
一、 偏导数概念及其计算 二 、高阶偏导数 三、全微分
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一、 偏导数定义及其计算法
引例: 研究弦在点 x0 处的振动速度与加速度 , 就是
将振幅
中的 x 固定于 x0 处, 求
关于 t 的
一阶导数与二阶导数.
u u(x0 , t ) u(x, t)
注意: f x (x0 , y0 ) lim f x0 x, y0 f x0, y0
f
(x0 )
lim
x 0
f
(x0x0 x)
x
f
(x0 )
xd y
dx
x x0
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同样可定义对 y 的偏导数
f y (x0 , y0 ) lim f (x0 , y0 y) f (x0 , y0 )
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例如, f (x, y)
xy
x2 x2
y2 y2
,
0,
x2 y2 0 x2 y2 0
fx (x, y)
y
x4
4x2 (x2
y2 y2 )2
y4
,
0,
x2 y2 0 x2 y2 0
f y (x, y)
x
x4
4x2y2 (x2 y2)2
y4
,
0,
x2 y2 0 x2 y2 0
f xy (0,0)
lim
y 0
f x (0,
y) y
f x (0, 0)
lim y y0 y
1
二 者
例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的
偏导数定义为
x x
x
x
f y (x, y, z) ? fz (x, y, z) ?
(请自己写出)
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二元函数偏导数的几何意义:
z
f x
x x0 yy0
d dx
f (x, y0 )
x
z 4 yex2 cos x 2 y2 .
y
3z
f x, y arc sin
y2 x
,
z x
1
1
y2 x
2
y2 x2
x
y2
x2 y4
x2
y2
;
x x2 y4
z y
1
2y
1
y2 x
2
x
x 2y .
x2 y4 x
例4. 已知理想气体的状态方程
(R 为常数) ,
x x0
M0
Tx
Ty
是曲线
z
y
f (x, y0
y)在点
M0
处的切线
M0Tx 对 x 轴的斜率.
f y
x x0 y y0
d dy
f (x0 , y)
y
y0
o
x0
x
y0
y
是曲线 斜率.
在点M0 处的切线 M 0Ty 对 y 轴的
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注意：函数在某点各偏导数都存在, 但在该点不一定连续.
x
z x (1, 2)
z y
3x
2y
z
y (1, 2)
解法2:
z y2 x2 6x 4
z x (1, 2)
z x1 1 3y y2
z y (1, 2)
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例2. 设 z x y ( x 0, 且 x 1），求证 x z 1 z 2z y x ln x y
z x
fx (x, y) ,
z y
f y (x, y)
若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是z = f ( x , y )
的二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导
数:
(z) x x
2z x2
f xx (x, y);
(z) y x
2z x y
fx y (x, y)
(z) 2z x y yx
例如,
z
f
(x, y)
xy
x2
y2
,
0 ,
x2 y2 0 x2 y2 0
显然
0
0 在上节已证 f (x , y) 在点(0 , 0)并不连续!
上节例 目录 上页 下页 返回 结束
例1 . 求 z x2 3xy y2在点(1 , 2) 处的偏导数.
解法1: z 2x 3y ,
)
nz xn1 y
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例5. 解:
求函数 z ex2y z ex2y
的二阶偏导数及
z 2ex2y
3z yx2
.
x
y
2z x2
ex2y
2z 2ex2y x y
2z 2ex2y yx
2 z y2
4ex2y
3z yx2
x
(
2z ) y x
2ex2y
注意:此处 2 z 2 z , 但这一结论并不总成立. x y yx
y0
y
若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x 或 y 偏导数存在 , 则该偏导数称为偏导函数, 也简称为
偏导数 , 记为
z , f , y y
zy ,
f y (x, y) ,
f2(x, y)
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偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 .
f yx (x, y);
y
( z ) y
2z y2
f y y (x, y)
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类似可以定义更高阶的偏导数. 例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为
z = f (x , y) 关于 x 的 n –1 阶偏导数 , 再关于 y 的一阶
偏导数为 ( y
证:
x z 1 z
2z
y x ln x y
例3. 求
的偏导数 . (P91 例4)
解:
r x 2
2x x2 y2 z2
x r
r z z r
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习题10-2 题1（1）（3）
1z f x, y ex2 sin x 2 y2 , z 2xex2 sin x 2 y2 ex2 cos x 2 y2 ;
o x0
x
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定义1. 设函数 z f (x, y)在点 (x0 , y0 ) 的某邻域内
极限
x0 x
x0
x
存在, 则称此极限为函数 z f (x, y) 在点 (x0, y0 ) 对 x
的偏导数，记为 z
x xx0 , y y0
f x xx0 , y y0
zx (x0 , y0 ) ;
求证: p V T 1 V T p
证: p RT , V
p V
RT V2
说明: 此例表明,
V RT , p
V R T p
偏导数记号是一个 整体记号, 不能看作
分子与分母的商 !
p V V T
T p
RT pV
1
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二、高阶偏导数
设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数