刚体定点运动运动学1

z z1
z z2 z1

y1

y2
y y1
y
x

x

x1
z1
y2


x1 x2
z2
y1
0 0 x2 x1 1 y 0 cos sin y 1 2 z1 0 sin cos z2 A( )
r (1 2) r
[ (1 2 )] r 0
r 1 r 2 (r 1 r )
结论： 2 1 同理
r 1 r 2 r 2 (1 r )
A( , , ) A( ) A( ) A( )
z' z


1
sin , cos 1
y'

0 1 A( , , ) 1 1 0

y
x

N
A( , , ) A( ) A( ) A( ) 可交换
1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1
q Aq
x
y
qT [1 ,1 ,1 ]
1
1 arccos[ (trA 1)] 2
23
思考题：一次转动轴的方位和转动角的大小是否唯一？
§6－1 刚体定点运动的运动学 3、刚体定点运动的无限小位移 问题：在什么条件下，转动位移的顺序可交换
x
y
当 和 充分小时
27
§6－1 刚体定点运动的运动学
B : [ k j ]
z

A
sin cos sin 0 0 cos sin cos 0 1 0 1 1 1 0
x
z

y

A
x2 cos sin 0 sin y sin cos 0 1 2 0 1 cos z2 0
x2 cos sin sin y sin sin cos 1 2 cos z2 1
x, y, x
13
§6－1 刚体定点运动的运动学
z z1
y1 y
x
x1
z z1
x x1 cos y1 sin z1 0 y x1 sin y1 cos z1 0 z x1 0 y1 0 z1 1
进动角

y1

y
结论：定点运动刚体无限小位移的顺序可交换
x'
24
§6－1 刚体定点运动的运动学
问题：如何确定定点运动刚 体绕某轴的无限小转角与刚 体上点的位移的关系？
z
z'

S l
x'
x
r
o
y
l
r
k
o
S | r | k
r r
25
r
y'
§6－1 刚体定点运动的运动学
x

x'
x1 x2
式(1)给出了定点运动刚体上某一点在空间的位置与欧拉角的关系.
17
§6－1 刚体定点运动的运动学 二、刚体定点运动的有限位移和无限小位移 1、刚体定点运动的有限位移
z
y
z
•有限位移：定点运动刚体从某 o x 一位置到另一位置的变化 r1 点位移的性质： r2 r2 r1
x
o
y
A : r1 r2 B : r2 r1
问题：定点运动刚体的有限位移的顺序可否交换？
z
A : [i (90 0 )] [ j (90 0 )]
x
y
B : [ j (90 0 )] [i (90 0 )]
18
§6－1 刚体定点运动的运动学
A : [i (90 0 )] [ j (90 0 )]
1 2
r 1 r 2 r
26
无限小角位移满足矢量加法
§6－1 刚体定点运动的运动学
A : [ j k ]
z
A
sin cos 1 0 cos sin
0 sin 0 1 0 1 0 cos 1
15
§6－1 刚体定点运动的运动学
z z1
z' z
y2
y 1 y
z2
z2
y2 y 1 y
y'
x


x

x'
y'

x1 x2 y2
x1 x2
x'

x2
x2 cos sin 0 x' y sin cos 0 y ' 2 0 1 z ' z2 0 A( )
y1 y

x x1 y A( ) y 1 z z1 sin cos 0 0 0 1
14
x
x1

x1
x
cos A( ) sin 0
正交矩阵
§6－1 刚体定点运动的运动学
当 和 充分小时
28
x
z
A
y
x2 cos y 0 2 z 2 sin
0 sin sin 1 0 cos 0 cos 1
x

y
x2 sin cos sin y 1 cos 2 z 2 sin sin cos 1
z
z
y
z
y
x
z
x
z
x
z
y
B : [ j (90 0 )] [i (90 0 )]
x
y
x
y
x
y
结论：定点运动刚体有限位移的顺序不可交换
19
§6－1 刚体定点运动的运动学 2、刚体定点运动的位移定理（达---欧 定理）
z
l
z
180 0
1800
x
O
y
90 0
x
y
z
x
y
定理：定点运动刚体的任意有限位 移，可以绕通过固定点O 的某一轴 经过一次转动来实现。
思考题：试用欧
拉角确定汽车和
飞机的姿态。
12
§6－1 刚体定点运动的运动学 问题：给定欧拉角，如何确定刚体上某一点在空间的位置
z
z'
z' z


y'
x'
x
r
o
y
x
y

N

y'
r x' i ' y ' j ' z ' k '
r xi yj zk
x'
给定： x' , y' , z ' , , 如何确定：

x

N
x'
7
§6－1 刚体定点运动的运动学
运动方程：
f1 (t )
f 2 (t )
f3 (t )
8
§6－1 刚体定点运动的运动学
例题：试用欧拉角确定陀螺的位置
z'
z
z' z


欧拉角
y'
y
y
x


N
N k k'
x
节线
x'
节线
确定欧拉角的三个转轴
9
§6－1 刚体定点运动的运动学
例题：试用欧拉角确定碾盘的位置
欧拉角
z

z' z


y'
y
z'
x
y

N

x

x'
节线
10
§6－1 刚体定点运动的运动学
例：试用欧拉角确定飞船的姿态 绕 三 个 轴 的 转 角 为 欧 拉 角
z




z'
神州飞船 节线
11
§6－1 刚体定点运动的运动学
z z'
欧拉角 (Euler angle)
y' y
z z'
进动角 (angle of precession) y'

y
x
x'
z
z'
x 章动角 (angle nutation) y'

x'
z' z


自旋角 (spin angle) y'

y
N

y
x

x'
N k k'
节线
16
§6－1 刚体定点运动的运动学
x x' y A( ) A( ) A( ) y ' z z'
z' z
z2
y2 y 1 y
y'
A( , , ) A( ) A( ) A( )
x x' y A( , , ) y ' (1) z z '
q1
1 1 1 0 1 0 0
A1
0 cos( 90 0 ) sin( 90 0 )
q0
1 sin( 90 0 ) 1 0 cos( 90 ) 1
x
x
y
z
y
90 0
q2
q2 A2 A1q0
第六章-刚体动力学(二)
刚体的定点运动 与一般运动
1
引出问题
刚体一般运动的实例
2
刚体的定点运动
问题：什么是刚体的定点运动?
3
刚体的定点运动
4
§6－1 刚体定点运动的运动学
•刚体定点运动( fixed-point motion of rigid body)：
若刚体在运动过程中其上或其延展体上有一点保持不动。 则称刚体作定点运动 问题：用什么方法分析和研究刚体的定点运动？
z
90 0
(A)
z
(B)
Biblioteka Baidux z x
正方体
y
x
z
y
90
0
y
x
y
§6－1 刚体定点运动的运动学
z
A
x
y
z
90 0
0 1 cos( 90 ) 1 sin( 90 0 ) 0 1
sin( 90 0 ) cos( 90 0 ) 0
0 1 0 1 1 1
A : [i (90 0 )] [ j (180 0 )] B : [l (180 0 )]
20
§6－1 刚体定点运动的运动学 例题：将定点运动的板从位置(A)转动到位置(B), 问 题 ： 一 次 转 动 轴 的 方 位 如 何 确 定
21
(1):通过两次转动实现; (2)通过一次转动实现
A A2 A1
A2
q2 Aq0
q1
22
§6－1 刚体定点运动的运动学
z
A
q2 Aq0
x
z
y
x2 x0 0 1 0 x0 y A y 0 0 1 y 0 2 0 z2 z 0 1 0 0 z 0
1
讨论: 无限小角位移的合成
在定点运动刚体上任意找一点，其矢径为 r
r1
r r r2 r1 r2
2
r1 1 r r1 r r1 r 1 r
r2 2 r1
r r
r r1 r2
r 1 r 2 r1
5
§6－1 刚体定点运动的运动学
一、刚体定点运动的运动学方程
问题：1：如何描述刚体的定点运动？
2：定点运动刚体有几个自由度？
3：用哪些参数描述其运动？ Oxyz为固定参考系
z
z'
Ox’y’z’为固连在刚体上的随体参考系
用随体参考系相对固定参考系位 置的变化描述刚体的定点运动。
x'
x
o
y
y'
6
§6－1 刚体定点运动的运动学