传热学第四章热传导问题的数值解法分析
合集下载
传热学第四章 热传导问题的数值解法
y 其中，规定：导入元体（ m,n ）的热 流量为正；导出元体（ m,n ）的热流 量为负。 在未知温度高低的情况下一律以周围 节点或流体温度都高于该节点温度来 列方程。
河海大学常州校区热能与动力工程系—传热学
x
2014年5月14日10时21分
杨祥花
说明： ① 上述分析与推导是在笛卡儿坐标系中进 行的； ② 热平衡法概念清晰，过程简捷； ③ 热平衡法与建立微分方程的思路与过程 一致，但不同的是前者是有限大小的元体， 后者是微元体。
控制容积：节点代表的区域
n
y
y x
x
m
2014年5月14日10时21分 杨祥花
M
河海大学常州校区热能与动力工程系—传热学
（3）建立节点物理量的代数方程（离散方程） 节点上物理量的代数方程称离散方程。其 过程如下： • 首先划分各节点的类型； • 其次，建立节点离散方程； • 最后，代数方程组的形成。 对节点 (m,n) 的代数方程，当 △x=△y 时，有：
2014年5月14日10时21分
杨祥花
• 数值解法的实质 对物理问题进行数值解法的基本思路可以概 括为：把原来在时间、空间坐标系中连续的物理量 的场，如导热物体的温度场等，用有限个离散点上 的值的集合来代替，通过求解按一定方法建立起来 的关于这些值的代数方程，来获得离散点上被求物 理量的值。该方法称为数值解法。 这些离散点上被求物理量值的集合称为该物 理量的数值解。
2014年5月14日10时21分
杨祥花
§4-1 导热问题数值求解的基本思想 2 2 2 t t t t ( 2 2 2) c x y z c 一、问题提出
1、对于一维稳态导热，可用理论法求解
2、若 H 不满足，二维导热，如图 3、二维稳态无内热源的导热微分方程式 2t 2t 2 0 2 x y （ a）
第四章热传导问题的数值解法
6
导热问题数值求解的基本思想
4.1.2 导热问题数值求解基本步骤
建立控制方程及定解条件
确定节点（区域离散化）
设立温度场的迭代初值
建立节点物理量的代数方程
求解代数方程组
改进初场
否 是否收敛？
是 解的分析
7
导热问题数值求解的基本思想
以下图所示的二维矩形域内的稳态、无内热源、常物性的导热问题 为例，对数值求解过程的六个步骤进一步说明。
i点的中心差分
35
内节点离散方程的建立方法
当给出一个导数的差分表达式时必须明确是对哪一点建立的； 上面的分析对柱坐标与极坐标都适用；
对于非均分网格，其中心差分表达式较复杂，适用于热平衡法。
36
内节点离散方程的建立方法
4.2.2 热平衡法
采用热平衡法时，对每个节点所代表的元体用傅里叶导热定律直 接写出其能量守恒表达式。此时把节点看成是元体的代表。
M
17
导热问题数பைடு நூலகம்求解的基本思想
建立控制方程及定解条件
确定节点（区域离散化）
设立温度场的迭代初值
建立节点物理量的代数方程
求解代数方程组
改进初场
否 是否收敛？
是
解的分析
18
导热问题数值求解的基本思想
设立节点物理量的代数方程
节点上物理量的代数方程成为离散方程（discretization equation）。当△x=△y时，有
求解代数方程组
改进初场
否 是否收敛？
是
解的分析
20
导热问题数值求解的基本思想
设立迭代初场
代数方程组 的解法
直接解法 迭代解法
有限差分法
预设初场
导热问题数值求解的基本思想
4.1.2 导热问题数值求解基本步骤
建立控制方程及定解条件
确定节点（区域离散化）
设立温度场的迭代初值
建立节点物理量的代数方程
求解代数方程组
改进初场
否 是否收敛？
是 解的分析
7
导热问题数值求解的基本思想
以下图所示的二维矩形域内的稳态、无内热源、常物性的导热问题 为例，对数值求解过程的六个步骤进一步说明。
i点的中心差分
35
内节点离散方程的建立方法
当给出一个导数的差分表达式时必须明确是对哪一点建立的； 上面的分析对柱坐标与极坐标都适用；
对于非均分网格，其中心差分表达式较复杂，适用于热平衡法。
36
内节点离散方程的建立方法
4.2.2 热平衡法
采用热平衡法时，对每个节点所代表的元体用傅里叶导热定律直 接写出其能量守恒表达式。此时把节点看成是元体的代表。
M
17
导热问题数பைடு நூலகம்求解的基本思想
建立控制方程及定解条件
确定节点（区域离散化）
设立温度场的迭代初值
建立节点物理量的代数方程
求解代数方程组
改进初场
否 是否收敛？
是
解的分析
18
导热问题数值求解的基本思想
设立节点物理量的代数方程
节点上物理量的代数方程成为离散方程（discretization equation）。当△x=△y时，有
求解代数方程组
改进初场
否 是否收敛？
是
解的分析
20
导热问题数值求解的基本思想
设立迭代初场
代数方程组 的解法
直接解法 迭代解法
有限差分法
预设初场
传热学60-第四章 导热问题的数值解法
B (i,j 1)
第四章 导热问题的数值解法 9
根据傅里叶定律， L,R,T ,B各节点向P节点的导热量：
T (i,j 1)
LP RP BP LP
t i 1 , j t i , j ti 1 , j ti , j t i , j 1 t i , j ti , j 1 ti , j
tik 1 tik
的一阶导数采用向前差分，则
tik 1 2tik tik 1 a x 2
第四章 导热问题的数值解法 28
上式移项整理 k k 1 k k ti a ( t i 1 t i 1 ) ( 1 2 a )ti 2 2 x x
x
y 1 y 1 x 1 x 1
(i 1,j )
(i 1,j )
L
R
x
Z方向取单位长度 (i,j 1) B
y
y
第四章 导热问题的数值解法
10
若有内热源， v ,i , j 为P节点所在网格单元的内热源强度
则内热源发热量
在稳态导热下：
v , p v ,i , j x y 1
ti 1, j ti , j y x y 3 1 h(t f ti , j ) xy v ,i , j 0 x 2 2 4
第四章 导热问题的数值解法
19
不规则区域的处理
用阶梯形的折线来模拟真实边界
t2
t1
t2
t2
t2
t2
第四章 导热问题的数值解法 20
第四章 导热问题的数值解法
17
3.
内部角点
内部角点
P(i ,j ) ti ,j
传热学4-导热数值解法基础2013
第四章 导热数值解法基础
求解导热问题的三种基本方法
方法：理论分析法、数值计算法、实验法
三种方法的基本求解过程
理论分析方法：在理论分析的基础上，直接 对导热微分方程在给定的定解条件下进行积 分，这样获得的解称之为分析解，或理论解
数值计算法
把原来在时间和空间连续的物理量的场，用
有限个离散点上的值的集合来代替，通过求
N (i,j+1)
y y W (i-1,j) (i, j) (i+1,j) E
P
(i,j-1) S x x
y
o
x
ti 1, j ti 1, j ti , j ti 1, j ti 1, j ti , j t 2x x x x i , j
qw
x y
2x x 2
y x
4ti, j 2ti 1, j ti, j 1 tm,n 1
qw qvi, j
(2) 外部角点
qw
y ti 1, j ti, j x ti, j 1 ti, j 2 x 2 y y x x y qw qw qvi, j 0 2 2 2 2
区域离散的概念：
控制容积、网格线、节点、界面线、步长
N
网格线
控制体
节点(i,j)
j
二维矩形域内 稳态无内热源， 常物性导热问 题. 对研究区域进 行离散。 △x,△y,△τ 为空间和时间 步长。
y
y M
x
x
i
网格划分
节点: 网格线交点. 控制容积: 节点代表的区 域 ,其边界位于两点之间. 界面: 控制容积的边界. 网格划分方法: A: 先确定节点，后定界面；
求解导热问题的三种基本方法
方法：理论分析法、数值计算法、实验法
三种方法的基本求解过程
理论分析方法：在理论分析的基础上，直接 对导热微分方程在给定的定解条件下进行积 分，这样获得的解称之为分析解，或理论解
数值计算法
把原来在时间和空间连续的物理量的场，用
有限个离散点上的值的集合来代替，通过求
N (i,j+1)
y y W (i-1,j) (i, j) (i+1,j) E
P
(i,j-1) S x x
y
o
x
ti 1, j ti 1, j ti , j ti 1, j ti 1, j ti , j t 2x x x x i , j
qw
x y
2x x 2
y x
4ti, j 2ti 1, j ti, j 1 tm,n 1
qw qvi, j
(2) 外部角点
qw
y ti 1, j ti, j x ti, j 1 ti, j 2 x 2 y y x x y qw qw qvi, j 0 2 2 2 2
区域离散的概念：
控制容积、网格线、节点、界面线、步长
N
网格线
控制体
节点(i,j)
j
二维矩形域内 稳态无内热源， 常物性导热问 题. 对研究区域进 行离散。 △x,△y,△τ 为空间和时间 步长。
y
y M
x
x
i
网格划分
节点: 网格线交点. 控制容积: 节点代表的区 域 ,其边界位于两点之间. 界面: 控制容积的边界. 网格划分方法: A: 先确定节点，后定界面；
传热学—第4章 热传导问题的数值解法
(k ) t max
⎧a11t1 + a12 t2 + a13t3 = b1 ⎪ ⎨a21t1 + a22 t2 + a23t3 = b2 ⎪a t + a t + a t = b 33 3 3 ⎩ 31 1 32 2
假定初场
⎧ (1) ⎪t1 = ⎪ ⎪ Jacobi ⎨t(1) = 2 ⎪ ⎪ (1) ⎪t3 = ⎩
4.1.1 4 1 1 基本思想 把原来在时间、空间坐标系中连续的物理量的场， 用有限个离散点上的值的集合来代替，通过求解按 定方 建 起来 关 值 代数方程 来获 一定方法建立起来的关于这些值的代数方程，来获 得离散点上被求物理量的值。 这些离散点上被求物理量值的集合称为该物理量 的数值解。
4.1.1 基本思想
λ Δy
Δx = Δy 时： tm −1,n
+ tm+1,n + tm,n+1 + tm,n−1 − 4tm,n = 0
tm ,n
1 = ( tm−1,n + tm+1,n + tm,n+1 + tm ,n−1 ) 4
与Taylor级数法相比，热平衡法物理意义明显。
4.3.1 边界节点离散方程的建立
4-2 内部节点离散方程的建立
4.2.1 4 2 1 Taylor级数展开法
4-2 内部节点离散方程的建立 内部节点离散方程的建
∂ 2t ∂x 2
=
m ,n
tm+1 n − 2tm ,n + tm −1 n 1, 1, Δx 2
控制方程
∂ 2t ∂ 2t + =0 ∂x 2 ∂y 2
∂ 2t ∂y 2
⎧a11t1 + a12 t2 + a13t3 = b1 ⎪ ⎨a21t1 + a22 t2 + a23t3 = b2 ⎪a t + a t + a t = b 33 3 3 ⎩ 31 1 32 2
假定初场
⎧ (1) ⎪t1 = ⎪ ⎪ Jacobi ⎨t(1) = 2 ⎪ ⎪ (1) ⎪t3 = ⎩
4.1.1 4 1 1 基本思想 把原来在时间、空间坐标系中连续的物理量的场， 用有限个离散点上的值的集合来代替，通过求解按 定方 建 起来 关 值 代数方程 来获 一定方法建立起来的关于这些值的代数方程，来获 得离散点上被求物理量的值。 这些离散点上被求物理量值的集合称为该物理量 的数值解。
4.1.1 基本思想
λ Δy
Δx = Δy 时： tm −1,n
+ tm+1,n + tm,n+1 + tm,n−1 − 4tm,n = 0
tm ,n
1 = ( tm−1,n + tm+1,n + tm,n+1 + tm ,n−1 ) 4
与Taylor级数法相比，热平衡法物理意义明显。
4.3.1 边界节点离散方程的建立
4-2 内部节点离散方程的建立
4.2.1 4 2 1 Taylor级数展开法
4-2 内部节点离散方程的建立 内部节点离散方程的建
∂ 2t ∂x 2
=
m ,n
tm+1 n − 2tm ,n + tm −1 n 1, 1, Δx 2
控制方程
∂ 2t ∂ 2t + =0 ∂x 2 ∂y 2
∂ 2t ∂y 2
热传导问题的数值解法
热平衡法不是在控制方程的基础上进行离
散，而是直接对元体应用热力学第一定律
和傅里叶定律，从而得到该节点温度的离 w
e
散方程。
二维稳态常导热系数无内热源的稳态导热
问题，对元体(m,n)列出能量守恒方程：
s
w e n s 0
➢ 从元体西界面导入的热量为: ➢ 从元体东界面导入的热量为: ➢ 从元体北界面导入的热量为: ➢ 从元体南界面导入的热量为:
控制方程
t
a
2t x2
对该方程，扩散项在i时刻采用中心差分格式， 非稳态项取向前差分格式进行离散，得：
t (i1) n
t (i) n
a
t (i) n1
2tn(i)
x2
t (i) n1
t (i1) n
a x 2
t t (i)
(i)
n1 n1
1
2a x 2
t
(i n
)
上述离散方程一旦i时层各节点温度已知，每一个离散方程中只有一个未 知量，因此可以立即求出i+1时层上各内部节点的温度，而不必联立求解
2t x2
x2
1 12
4t x4
x4 ...
m,n
m,n
tm1,n
tm1,n
2tm,n
2t x2
x2
1 12
4t x4
x4 ...
m,n
m,n
2t x 2
tm1,n
tm1,n x 2
2tm,n
0(x2 )
m,n
略去截断误差，得到温度在x方向二阶导数的中心差分表达式:
2t
tm1,n tm1,n 2tm,n
数值解： 用导热体内有限个离散点上的温度值的集合来代替实际连续的温度场 分布
传热学课件第四章 导热问题数值解法基础
i , j
t x
t i 1 , j t i , j x
0 x
2.一阶导级的向后差分表达式：舍去<2>式△x2后各项，则有：
i , j
t x
t i , j t i 1 , j x
0 x
第一节 建立离散方程的方法
二、泰勒级数展开法（有限差分法）
k 2 k 1
对 流 h t f t1 A
k k
显式
△x
C.内能增量△u：
u c
x 2
A t1
k
k 1
t1 /
k
△x/2
k hx
据热平衡A+B=C并整理得：
k f
t 2 t1
k
t
t1
k
1 2
c
x
2
t1
k 1
LP
△y
t i 1 , j t i , j x
t i , j 1 t i , j y
y 2
x 2
1
BP
1
x 2
y 2
EP h t f t i , j
△x
1
FP h t f t i , j
t x
t
2
2
x i , j 2!
2
t x
3
x i , j 3!
3
3.一阶导级的中心差分表达式：<1>-<2>式且忽略后项，则有：
i , j
t x
传热学第四章-导热问题的数值解法-2
迭代解法有多种：简单迭代（Jacobi迭代）、高斯-赛德尔 迭代、块迭代、交替方向迭代等
高斯-赛德尔迭代的特点：每次迭代时总是使用节点温度的最 新值
例如：根据第 k 次迭代的数值 可以求得节点温度：
t1(k)、t2(k)....tn(k)
t(k1)
1
1 a11
a12t2(k )
......
a1nt
max
ti(k 1) ti(k )
ti(k )
max
ti(k 1) ti(k ) tm(ka)x
— 允许的偏差； 相对偏差 值一般
取103 ~ 106
k及k+1表示迭代次数； tm(ka)x—第k次迭代得到的最大值
当有接近于零的t 时，第三个较好
4-3 非稳态导热问题的数值解法
非稳态导热问题与稳态导热问题的区别是，温度分布不仅 与空间坐标有关，还与时间有关。 本节要求掌握一维非稳态导热问题的数值解法，能够写出 内部节点和边界节点的有限差分方程，掌握显式差分方程 的稳定性条件。
作业：4-10 ；4-15
• 习题课
（1）第一、二、三章思考题讲解； （2）第一、二、三章作业习题讲解；
[t
ti(k ) ]
2标和时间的步长，按选定的坐标步长划分节点网 格，并将节点按位置编号。
2）按节点的情况（位置和具体边界条件）写出各节点的差
分方程，并检查是否符合稳定性条 件。
3）从初始条件出发，逐点计算 时刻各节点的温度，然后
再逐点计算 2 ,3 ,...... 时刻各节点的温度，直到指定
i 1
]
(2) 边界节点
相邻节点导入控制体的热流量+边界
表面对控制体的传热量=边界单元体
高斯-赛德尔迭代的特点：每次迭代时总是使用节点温度的最 新值
例如：根据第 k 次迭代的数值 可以求得节点温度：
t1(k)、t2(k)....tn(k)
t(k1)
1
1 a11
a12t2(k )
......
a1nt
max
ti(k 1) ti(k )
ti(k )
max
ti(k 1) ti(k ) tm(ka)x
— 允许的偏差； 相对偏差 值一般
取103 ~ 106
k及k+1表示迭代次数； tm(ka)x—第k次迭代得到的最大值
当有接近于零的t 时，第三个较好
4-3 非稳态导热问题的数值解法
非稳态导热问题与稳态导热问题的区别是，温度分布不仅 与空间坐标有关，还与时间有关。 本节要求掌握一维非稳态导热问题的数值解法，能够写出 内部节点和边界节点的有限差分方程，掌握显式差分方程 的稳定性条件。
作业：4-10 ；4-15
• 习题课
（1）第一、二、三章思考题讲解； （2）第一、二、三章作业习题讲解；
[t
ti(k ) ]
2标和时间的步长，按选定的坐标步长划分节点网 格，并将节点按位置编号。
2）按节点的情况（位置和具体边界条件）写出各节点的差
分方程，并检查是否符合稳定性条 件。
3）从初始条件出发，逐点计算 时刻各节点的温度，然后
再逐点计算 2 ,3 ,...... 时刻各节点的温度，直到指定
i 1
]
(2) 边界节点
相邻节点导入控制体的热流量+边界
表面对控制体的传热量=边界单元体
热传导问题的数值解法
1. 空间离散化
01
将求解区域划分为一系列小的网格或节点，用离散的差分代替
微分。
2. 时间离散化
02
将时间轴划分为一系列小的时段，用离散的差分代替微分。
3. 初始条件和边界条件的离散化
03
将初始条件和边界条件转化为离散形式。
差分方程的求解
01
1. 迭代法
2. 直接法
02
03
3. 松弛法
通过迭代逐步逼近解，常用的有 Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭 代法。
02
根据问题的几何特性和求解精度要求，选择合适的单元类型和
划分方式。
单元划分应尽量保证求解精度和计算效率。
03
建立系统方程
01
根据热传导的物理定律和边界条件，建立每个单元的热平衡 方程。
02
将各个单元的方程联立起来，形成整个求解域上的系统方程 。
03
系统方程通常为线性方程组，可以使用不同的求解方法进行 求解。
步骤
首先将求解区域划分为一系列离散点，然后根据泰勒级数展开，将偏微分方程 中的导数项用离散点上的函数值之差代替，从而得到离散化的差分方程。
特点
有限差分法简单直观，适用于规则区域，但对不规则区域 处理较为复杂。
有限元法
定义
有限元法是一种将连续的求解区域离散化为有限个小的子域（即有限元），然后在每个子 域上应用数学方法进行求解的方法。
热传导定律也称为傅里叶定律，指出热流密度与温度梯度成正比，方向由高温指向低温。数学表达式为：q = -k * grad(T)，其中 q为热流密度，k为导热系数，T为温度，grad表示梯度。
热传导定律是热传导过程的基本规律，描述了热量传递的方向和大小，是数值解法的基础。
传热学课件：第四章 数值解法
（2）高斯—赛德尔迭代法
①选初值；
②一次次的直接计算t1，t2，…，tn ，注意计算tn 时， tn前面的温度全部用新值代替。如知道t1后， 求t2时，用t1代替原设的初值。
例题：有一正方形截面，边界长为1m，边 界上的温度已知，求t1，t2，t3，t4。
解（1）列节点方程式
100℃
500℃
12
3 4 100℃
100℃
迭代法
n
t1
t2
t3
t4
0
300
300
200
200
1
275 268.75 168.75 159.38
2 259.38 254.69 154.69 152.35
3 252.35 251.26 151.18 150.61
4 250.61 250.31 150.31 150.15
由(a)可得：
cw 1 说明热源与管子中心不重合。
由(a)、(b)可得：
将(c)代入(b)可得：
从而只能选正号，所以有： 等温线为一圆。
2 具有偏心空腔的圆柱体
由于是稳定导热，从而流过每一等温面的热流量是 相同的
对于等温面 1
y0
h2 h1
ε
对于等温面 2
热阻： 但h1和h2是未知的
2. 间接法（迭代法）经过有限次的迭代，求出近似解， 对于计算机来说，存储量较少。
松弛法（余数调节法）
高斯—赛德尔迭代法
（1）松弛法 ①设初值； ②求R1，R2，…，Rn，找Rmax；(余数) ③如设R4为最大，改变t4，使R4 ≈0，t4=t4+R4/4： ④重新计算有关节点的余数；
⑤重复步骤③ ④ ，直到全部余数为零。
传热学-4 导热问题数值解基础
hx
1 ti, j
ti1, j
ti, j1
x2 i, j
2
2hx
t
f
（c）内部角点
g
2
hx
3
ti,
j
2
ti1, j ti, j1
ti1, j
ti, j1
3x2 i, j
2
2hx
tf
三 节点差分方程的求解
1） 直接解法：通过有限次运算获得精确解的方 法，如：矩阵求解，高斯消元法。 2） 迭代法：先对要计算的场作出假设（设定初 场），在迭代计算中不断予以改进，直到计算前 的假定值与计算结果相差小于允许值为止的方法， 称迭代计算收敛。
4-2 稳态导热问题的数值计算
（6） 解的分析
通过求解代数方程，获得物体中的温度分布， 根据温度场应进一步计算通过的热流量，热应力及 热变形等。因此，对于数值分析计算所得的温度场 及其它物理量应作详细分析，以获得定性或定量上 的结论。
4-2 稳态导热问题的数值计算
建立离散方程的常用方法：
(1) Taylor（泰勒）级数展开法； (2) 多项式拟合法； (3) 控制容积积分法； (4) 控制容积平衡法(也称为热平衡法)
j
y
y
x
x
i
I
除 i=1 的左边界上各节点的温度已知外，其余 (i-1)j 个 节点均需建立离散方程，共有 (i-1)j 个方程，则构成一 个封闭的代数方程组。
4-2 稳态导热问题的数值计算
1 ）线性代数方程组：代数方程一经建立，其中各 项系数在整个求解过程中不再变化； 2 ）非线性代数方程组：代数方程一经建立，其中 各项系数在整个求解过程中不断更新； 3 ）是否收敛判断：是指用迭代法求解代数方程是 否收敛，即本次迭代计算所得之解与上一次迭代计 算所得之解的偏差是否小于允许值。
传热学-第4章-热传导问题的数值解珐
若步长∆x=∆y，有： ， 若步长
t m ,n = 1 ( 2 t m −1 , n + t m , n + 1 + t m , n −1 + 4 ∆2 x Φ m , n
λ
+
2 ∆ xq w
λ
)
2. 外部角点 控制容积的热平衡为： 控制容积的热平衡为：
∆y tm−1,n − tm,n ∆x tm,n−1 − tm,n ∆x∆y ∆x + ∆y λ +λ + Φ m, n + qw = 0 ∆x 2 2 ∆y 4 2
4. 边界热流密度的三种情况
q （1）绝热边界： w = 0 ）绝热边界：
（2） qw 值不为零：代入给定的 qw 值。 ） 值不为零： （3）对流边界：qw = h(t f ）对流边界： 平直边界节点： 平直边界节点：
2( h∆x
− t m n = 2 t m − 1 , n + t m , n + 1 + t m , n −1 +
第一类边界条件 — 边界温度已知 m-1,n 第二类边界条件 需建立边界节点温度 ∆y 第三类边界条件 的差分方程 n 1. 位于平直边界上的节点
λ∆y
tm−1,n − tm,n ∆x +λ
m m,n+1
qw
m,n m,n-1
∆x
∆x tm,n+1 − tm,n ∆x tm,n−1 − tm,n ∆x∆y +λ + Φm,n + ∆yqw = 0 2 ∆y 2 ∆y 2
若步长∆x=∆y，有： ， 若步长
t m ,n = 1 ( t m −1 , n + t m , n −1 + 2
传热学第四章-导热问题的数值解法-2
1. 节点离散方程的建立：
(1)内部节点
相邻节点导入控制单元体的热流量= 单元体内能量增量
i-1
i
i+1
A ti( k 1 ) ti(k )A ti( k 1 ) ti(k )c x A ti(k 1 ) ti(k )
x
x
整理，得：
x
x
ti(k 1 )[12 ( a x )2]ti(k)(a x)2[ti( k1 )ti( k1 )]
取103 ~ 106
k及k+1表示迭代次数； tm(ka)x —第k次迭代得到的最大值
当有接近于零的t 时，第三个较好
4-3 非稳态导热问题的数值解法
非稳态导热问题与稳态导热问题的区别是，温度分布不仅 与空间坐标有关，还与时间有关。 本节要求掌握一维非稳态导热问题的数值解法，能够写出 内部节点和边界节点的有限差分方程，掌握显式差分方程 的稳定性条件。
2.节点方程组的求解： 步骤：
1）选择坐标和时间的步长，按选定的坐标步长划分节点网 格，并将节点按位置编号。
2）按节点的情况（位置和具体边界条件）写出各节点的差
分方程，并检查是否符合稳定性 条 件。
3）从初始条件出发，逐点计算 时刻各节点的温度，然后
再逐点计算 2,3,...... 时刻各节点的温度，直到指定
例 如 t03 t1 3， 但 t0 4<t1 4。
i0 1 2 3 4 5 6 7
t
n
0
100 100 100 100 60
148 -109.6 550
1
100 100 100 80
104 19.2 220.2 -328.9
2
100 100 80
84
热传导方程的数值求解
热传导方程的数值求解热传导方程是描述热传导现象的一种常见偏微分方程。
它在物理学、工程学以及其他领域中都有广泛的应用。
在本文中，我们将讨论热传导方程的数值求解方法。
通过数值求解，我们可以得到方程的近似解，从而更好地理解和分析热传导过程。
热传导方程的一般形式可以写作：$\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \nabla^2 u$其中，$u$是温度分布随时间和空间变化的函数，$\alpha$是热扩散系数。
上式表示了温度分布随时间变化的速率与温度分布的曲率之间的关系。
要求解这个方程，并得到温度分布随时间变化的近似解，我们可以使用一些常见的数值方法。
其中，有限差分法是最常见的一种方法。
有限差分法是将求解区域离散化，将连续的空间和时间分割成有限的小区域。
通过在这些小区域上近似描述方程，我们可以用差分方程代替原方程，进而得到方程的数值解。
对于热传导方程，我们可以将时间和空间分割成一系列网格点。
在每个网格点上，我们可以用温度的数值逼近代替温度的连续函数值。
这样，我们可以得到在每个时间步长和空间步长上的温度逼近。
通过迭代计算，我们可以得到整个时间和空间范围内的温度近似解。
在具体的计算过程中，我们可以采用显式差分法或隐式差分法。
显式差分法是一种较为简单的方法，它根据当前时间步的温度逼近来计算下一个时间步的温度逼近。
然而，显式差分法需要满足一定的稳定性条件。
在一些情况下，显式差分法可能会导致数值解不稳定和发散。
为了克服这些限制，我们可以使用隐式差分法。
隐式差分法通过在时间步迭代过程中使用未知的时间步温度逼近，可以得到更加稳定的数值解。
然而，隐式差分法的计算复杂度较高，需要求解一个线性方程组。
除了有限差分法之外，还有其他的数值方法可以用于求解热传导方程。
例如，有限元法、辛方法等。
每种方法都有其优缺点和适用范围。
根据具体的问题和计算需求，选择适合的数值方法是至关重要的。
在实际求解过程中，还需要注意数值参数的选择。
传热学-第四章-热传导问题的数值解法
36
n=N
w (m-1,n)
(m,n+1)
n e (m+1,n)
s (m,n)
(m,n-1)
y
n=1
m=1
m
x
m=M
Monday, March 30, 2020
37
而获得离散点上被求物理量的值；并称之为数值解 a. 在很大程度上弥补了分析法的缺点；适应性强，特别对于复杂问题更显其 优越性； b. 与实验法相比成本低 数值解法： 有限差分法（finite-difference）、
有限元法（finite-element） 、 边界元法（boundary- element）、 分子动力学模拟（MD）
局限性： 简单几何形状及边界条件
稳态问题：直接积分法 非稳态问题：分离变量法 解析解（analytical solution）
工程实际中面临的大部分问题几何形状和边界条件要复杂的多，由于数学上 的困难还不能给出解析解，导致目前解析解只能作为某些简单问题的参照依 据，不能解决实际问题。
Monday, March 30, 2020
y
n=1
m=1
m
x
m=M
Monday, March 30, 2020
16
1.边界节点离散方程的建立： (1) 平直边界上的节点
qw
(m,n+1)
(m-1,n)
(m,n)
(m,n-1)
qw
y x
Monday, March 30, 2020
17
(2) 内部角点
qw
(m-1,n)
(m,n+1) (m,n)
4
(2) 实验法: 是传热学的基本研究方法： a 偏向于机理研究； b.受场地，燃料动力源等因素的影响，无法完全复现研究对象，具有时间、
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
作业：
第四版：3-2，3-31，3-48
2020/10/2
1
第四章 导热问题的数值解法
Numerical Method for Heat Conduction
主要内容（重点掌握）：
➢导热问题数值求解的基本思想 ➢内外节点离散方程的建立 ➢非稳态导热问题的数值解法y, October 02, 2020
15
§4-3 边界节点离散方程的建立及代数方程的求解
第一类边界条件：已知全部边界的温度，作为已知值加入到内节点的离散方程中， 组成封闭的代数方程组，直接求解。
n=N
封闭
(m,n+1)
第二类边界条件或第三类边界 条件：部分边界温度未知。
不封闭
w (m-1,n)
Friday, October 02, 2020
20
2.节点方程组的求解
Friday, October 02, 2020
11
a，b相加得：
略去无穷小量有：
Friday, October 02, 2020
12
同理，在y轴方向有：
这种使用被离散点本身、前后两点作近似的差分方法称为——中心差分 传热学中常用到的一阶二阶导数的差分表达式如下表所示（均分网格）：
Friday, October 02, 2020
局限性： 简单几何形状及边界条件
稳态问题：直接积分法 非稳态问题：分离变量法 解析解（analytical solution）
工程实际中面临的大部分问题几何形状和边界条件要复杂的多，由于数学上 的困难还不能给出解析解，导致目前解析解只能作为某些简单问题的参照依 据，不能解决实际问题。
Friday, October 02, 2020
1.建立控制方程，给出定解条件：
B.C.
Friday, October 02, 2020
7
2.区域离散化-建立网格系统
网格线：一系列与坐标轴平行且相互交叉的网格线，将求解区域划分成许多子区域
节点（node）：网格线的交点，是需要确定温度值的点，是每个子区域的代表。 n=N
元体（element）或控制容积 （control volume）：相邻两 节点中锤线构成的区域。
而获得离散点上被求物理量的值；并称之为数值解 a. 在很大程度上弥补了分析法的缺点；适应性强，特别对于复杂问题更显其 优越性； b. 与实验法相比成本低 数值解法： 有限差分法（finite-difference）、
有限元法（finite-element） 、 边界元法（boundary- element）、 分子动力学模拟（MD）
13
Friday, October 02, 2020
14
二. 热平衡法
思路：类似于导热微分方程的推导，利用傅里叶定律，直接写出每个控制体的能量守 恒方程。 均分网格：
(m,n)
非均网格只需对界面面 积做适当处理即可
直接将能量守恒原理与傅里叶定律应用于节点所代表的控制体。物理概念清晰， 推导过程简洁，应予以重点掌握！
4
(2) 实验法: 是传热学的基本研究方法： a 偏向于机理研究； b.受场地，燃料动力源等因素的影响，无法完全复现研究对象，具有时间、
空间上的局限性 c.费用昂贵
(3) 数值方法
数值方法：把原来在时间和空间连续的物理量的场，用有限个离散点上的值
的集合来代替，通过求解按一定方法建立起来的关于这些值的代数方程，从
n e
(m,n) s
(m,n-1)
(m+1,n)
y
n=1
m=1
m
x
m=M
Friday, October 02, 2020
16
1.边界节点离散方程的建立： (1) 平直边界上的节点
qw
(m,n+1)
(m-1,n)
(m,n)
(m,n-1)
qw
y x
Friday, October 02, 2020
17
(2) 内部角点
qw
(m-1,n)
(m,n+1) (m,n)
y x
(m,n-1)
(m+1,n)
Friday, October 02, 2020
18
(3) 外部角点
(m-1,n)
(m,n)
qw
(m,n-1)
y x
Friday, October 02, 2020
19
热流边界qw分为三种情况讨论：
(2)第三类边界条件： (3) 辐射边界条件：
代数方程组的解法分为直接解法和迭代法，有限差分解法主要采用迭代法。其中 每一个未知数都需要给定一个初值，其合集称之为初场（initial field）
5.求解代数方程组
各项系数（l等）经确定后，在求解过程中不发生变化
r，c，l，e随温度变化
各项系数在每次迭代中更新
线性问题 非线性问题
6.解的分析
获得温度场不是最终目的，根据傅里叶定律获取界面处的热流q，热应力，热变形等。 若把矩形看成肋片，最终目的可能是求其肋效率等。
Friday, October 02, 2020
5
§4-1 导热问题数值求解的基本思想
步骤： 建立控制方程及定解条件
确定节点（建立网格系统）
设立温度场的迭代初值
针对所有节点建立某物理量 的代数方程
求解代数方程
改进初场
是否收敛
否
是 解的分析
Friday, October 02, 2020
6
研究对象：二维，稳态，常物性，无内热源导热问题
相邻节点之间的距离—— 步长（step length）
y
y
n=1
m=1
x
x
(m,n) m
m=M
Friday, October 02, 2020
8
3.建立物理量的代数方程
节点(m,n)上物理量的代数方程称为离散方程（discretization equation），是数值 求解的重要环节。
4.设立迭代初场
Friday, October 02, 2020
9
§4-2 内节点离散方程的建立方法
建立离散方程的常用方法：
(1) 泰勒级数展开法； (2) 多项式拟合法； (3) 控制容积积分法； (4) 控制容积平衡法(也称为热平衡法)
Friday, October 02, 2020
10
一. 泰勒级数展开法
研究传热学问题的三种基本方法：(1)理论分析法； (2)实验法；(3)数值计算法 特点：
(1) 分析法 a 能获得所研究问题的精确解，可以为实验和数值计算提供比较依据； b 分析解具有普遍性，各参数的物理意义及影响清晰 c 局限性很大，对复杂的问题无法求解；
前述2、3章对导热问题的求解思路： 导热微分方程+边界条件+初始条件
第四版：3-2，3-31，3-48
2020/10/2
1
第四章 导热问题的数值解法
Numerical Method for Heat Conduction
主要内容（重点掌握）：
➢导热问题数值求解的基本思想 ➢内外节点离散方程的建立 ➢非稳态导热问题的数值解法y, October 02, 2020
15
§4-3 边界节点离散方程的建立及代数方程的求解
第一类边界条件：已知全部边界的温度，作为已知值加入到内节点的离散方程中， 组成封闭的代数方程组，直接求解。
n=N
封闭
(m,n+1)
第二类边界条件或第三类边界 条件：部分边界温度未知。
不封闭
w (m-1,n)
Friday, October 02, 2020
20
2.节点方程组的求解
Friday, October 02, 2020
11
a，b相加得：
略去无穷小量有：
Friday, October 02, 2020
12
同理，在y轴方向有：
这种使用被离散点本身、前后两点作近似的差分方法称为——中心差分 传热学中常用到的一阶二阶导数的差分表达式如下表所示（均分网格）：
Friday, October 02, 2020
局限性： 简单几何形状及边界条件
稳态问题：直接积分法 非稳态问题：分离变量法 解析解（analytical solution）
工程实际中面临的大部分问题几何形状和边界条件要复杂的多，由于数学上 的困难还不能给出解析解，导致目前解析解只能作为某些简单问题的参照依 据，不能解决实际问题。
Friday, October 02, 2020
1.建立控制方程，给出定解条件：
B.C.
Friday, October 02, 2020
7
2.区域离散化-建立网格系统
网格线：一系列与坐标轴平行且相互交叉的网格线，将求解区域划分成许多子区域
节点（node）：网格线的交点，是需要确定温度值的点，是每个子区域的代表。 n=N
元体（element）或控制容积 （control volume）：相邻两 节点中锤线构成的区域。
而获得离散点上被求物理量的值；并称之为数值解 a. 在很大程度上弥补了分析法的缺点；适应性强，特别对于复杂问题更显其 优越性； b. 与实验法相比成本低 数值解法： 有限差分法（finite-difference）、
有限元法（finite-element） 、 边界元法（boundary- element）、 分子动力学模拟（MD）
13
Friday, October 02, 2020
14
二. 热平衡法
思路：类似于导热微分方程的推导，利用傅里叶定律，直接写出每个控制体的能量守 恒方程。 均分网格：
(m,n)
非均网格只需对界面面 积做适当处理即可
直接将能量守恒原理与傅里叶定律应用于节点所代表的控制体。物理概念清晰， 推导过程简洁，应予以重点掌握！
4
(2) 实验法: 是传热学的基本研究方法： a 偏向于机理研究； b.受场地，燃料动力源等因素的影响，无法完全复现研究对象，具有时间、
空间上的局限性 c.费用昂贵
(3) 数值方法
数值方法：把原来在时间和空间连续的物理量的场，用有限个离散点上的值
的集合来代替，通过求解按一定方法建立起来的关于这些值的代数方程，从
n e
(m,n) s
(m,n-1)
(m+1,n)
y
n=1
m=1
m
x
m=M
Friday, October 02, 2020
16
1.边界节点离散方程的建立： (1) 平直边界上的节点
qw
(m,n+1)
(m-1,n)
(m,n)
(m,n-1)
qw
y x
Friday, October 02, 2020
17
(2) 内部角点
qw
(m-1,n)
(m,n+1) (m,n)
y x
(m,n-1)
(m+1,n)
Friday, October 02, 2020
18
(3) 外部角点
(m-1,n)
(m,n)
qw
(m,n-1)
y x
Friday, October 02, 2020
19
热流边界qw分为三种情况讨论：
(2)第三类边界条件： (3) 辐射边界条件：
代数方程组的解法分为直接解法和迭代法，有限差分解法主要采用迭代法。其中 每一个未知数都需要给定一个初值，其合集称之为初场（initial field）
5.求解代数方程组
各项系数（l等）经确定后，在求解过程中不发生变化
r，c，l，e随温度变化
各项系数在每次迭代中更新
线性问题 非线性问题
6.解的分析
获得温度场不是最终目的，根据傅里叶定律获取界面处的热流q，热应力，热变形等。 若把矩形看成肋片，最终目的可能是求其肋效率等。
Friday, October 02, 2020
5
§4-1 导热问题数值求解的基本思想
步骤： 建立控制方程及定解条件
确定节点（建立网格系统）
设立温度场的迭代初值
针对所有节点建立某物理量 的代数方程
求解代数方程
改进初场
是否收敛
否
是 解的分析
Friday, October 02, 2020
6
研究对象：二维，稳态，常物性，无内热源导热问题
相邻节点之间的距离—— 步长（step length）
y
y
n=1
m=1
x
x
(m,n) m
m=M
Friday, October 02, 2020
8
3.建立物理量的代数方程
节点(m,n)上物理量的代数方程称为离散方程（discretization equation），是数值 求解的重要环节。
4.设立迭代初场
Friday, October 02, 2020
9
§4-2 内节点离散方程的建立方法
建立离散方程的常用方法：
(1) 泰勒级数展开法； (2) 多项式拟合法； (3) 控制容积积分法； (4) 控制容积平衡法(也称为热平衡法)
Friday, October 02, 2020
10
一. 泰勒级数展开法
研究传热学问题的三种基本方法：(1)理论分析法； (2)实验法；(3)数值计算法 特点：
(1) 分析法 a 能获得所研究问题的精确解，可以为实验和数值计算提供比较依据； b 分析解具有普遍性，各参数的物理意义及影响清晰 c 局限性很大，对复杂的问题无法求解；
前述2、3章对导热问题的求解思路： 导热微分方程+边界条件+初始条件