格林公式(公开教学用)
合集下载
格林公式ppt课件
D D
单连通区域
复连通区域
单连通区域就是没有“洞”的区域.
；.
2
对平面区域D的边界曲线L, 我们规定L的正向
如下 :沿L的这一方向行走时, D始终位于他的左侧.
单连通区域 D 的边界曲 线L的正向是逆时针方向.
复连通区域D 的边界曲 线L由 L1 和 L2 组成, L1 逆时 针 L2 顺时针方向为边界曲 线L的正向.
Q P
x y
0,
)
Q x
当P
U
P y (M
M0
0, )
. 由连续定义知
G时,
有 (Q P ) , 有 Q P ,
x y
2
2 x y
2
即U(M0, ) 上恒有
Q P x y
. 2
二重积分的性质
设 是U (M0 , )的 正 向 边 界 曲 线, 是U (M0 , )的 面 积.
条曲线,若 Pdx Qdy Pdx Qdy,
L1
L2
则 称 该 曲 线 积 分 在G内 与 路 径
无 关, 否 则 便 说 与 路 径 有 关.
B
L2
L1
AG
；.
18
曲线积分在G内与路径无关,
即 Pdx Qdy Pdx Qdy,
L1
L2
即 Pdx Qdy Pdx Qdy,
L
xdy y dx x2 y2
D
( Q x
P
Q P x y
)dxdy
0
y ；.
为 错 误 结 果.
14
课堂练习
P214.3
求
L
ydx xdy 2( x 2 y2 )
,
其
单连通区域
复连通区域
单连通区域就是没有“洞”的区域.
；.
2
对平面区域D的边界曲线L, 我们规定L的正向
如下 :沿L的这一方向行走时, D始终位于他的左侧.
单连通区域 D 的边界曲 线L的正向是逆时针方向.
复连通区域D 的边界曲 线L由 L1 和 L2 组成, L1 逆时 针 L2 顺时针方向为边界曲 线L的正向.
Q P
x y
0,
)
Q x
当P
U
P y (M
M0
0, )
. 由连续定义知
G时,
有 (Q P ) , 有 Q P ,
x y
2
2 x y
2
即U(M0, ) 上恒有
Q P x y
. 2
二重积分的性质
设 是U (M0 , )的 正 向 边 界 曲 线, 是U (M0 , )的 面 积.
条曲线,若 Pdx Qdy Pdx Qdy,
L1
L2
则 称 该 曲 线 积 分 在G内 与 路 径
无 关, 否 则 便 说 与 路 径 有 关.
B
L2
L1
AG
；.
18
曲线积分在G内与路径无关,
即 Pdx Qdy Pdx Qdy,
L1
L2
即 Pdx Qdy Pdx Qdy,
L
xdy y dx x2 y2
D
( Q x
P
Q P x y
)dxdy
0
y ；.
为 错 误 结 果.
14
课堂练习
P214.3
求
L
ydx xdy 2( x 2 y2 )
,
其
§10.3格林公式-PPT课件
2 2 2 3 3 3 C x y a 例 1 ． 求 由 星 形 线 ： 所 围 成 的 面 积 A 。
3 x a cos t , 0 t 2 解 ： C 的 参 数 方 程 为 （ ） 。 3 y a sin t ,y
1 A xdy ydx 2C
X 型 Y 型 又 是 作 辅 助 线 把 D 分 成 两 个 既 是 的 区 域 y F D 和 D ， 1 2
D1
Q P ( x y )dxdy
D
A
D2
B
E
o Q P Q P ( ) dxdy ( ) dxdy ： （ 1 ） 若 D 既 是 。
D {( x , y ) y ( x ) y y ( x ), a x b } ， 1 2
P ∵ 连 续 ， y y y y (x ) 2 b y ( x ) P P N C 2 dxdy dx dy ∴ y ( x ) y a yA D B 1
4.用格林公式求平面图形的面积
Q P Pdx Qdy ( ) dxdy 若 在 中 ， C x y
D
P ( x , y ) y Q ( x , y ) x 取 ， ， 则 得
ydx xdy 2 dxdy , C
D
1 A xdy ydx ∴ 。 （ 其 中 A 是 区 域 D 的 面 积 。 ） C 2
P [ x ,y ( x )] P [ x ,y ( x )]} dx { 1 2
a b
P ∴ P ( x , y ) dx dxd 。 ① C y
D
D { ( x , y ) x ( y ) x x ( y ), c y d } 又 设 ， 1 2
第二讲格林公式36页PPT
解 这里P2xy Qx2
因 为 P y Q x 2 x 所 以 积 分
2 x x 2 d 与 y 路 径 无 关 y dx
L
选择从O(0 0)到A(1 0)再到B(1 1)的折线作为积分路线
则 2 x y x 2 d d y 2 x x y x 2 d d y 2 x x y x 2 d d y
y
y xy
2u Q . y x x
证毕。
首页 上页 下页 尾页
用格林公式导出的四个等价结论
设D为单连开 通区域 P(x,， y)、Q(x,y)C1(D， ) 那么，下面四条等价：
1) 在D内， QP； x y
2对 ) 闭 L D 路 ， 有 L P d x Q d y 0 ；
3)在 D 内， PdxQ dy与路径 ；无 AB
OA
A L
D
3dxdy
O
D
OA
3|D|
2
0 sin y dy
3co2s1.
首页 上页 下页 尾页
二.平面上曲线积分与路径无关的条件
曲线积 LP分 dxQdy与路径无关：
P d x Q d y P d x Q d y
L 1 (A)B
L 2 (A)B
首页 上页 下页 尾页
用格林公式导出的四个等价结论
首页 上页 下页 尾页
2 （ ) 闭 对 L D 路 ， 有 L P d x Q d y 0 ） 3()在 D 内， PdxQ dy与路径 ) 无关
AB
设 L 1 、 L 2是 D 中 起点 A 、为 终 B 的 点 路 为 径
LL2 L1，
由 2， )0LP dxQ dy
L1
B
A L2
高等数学-格林公式及其应用.ppt
l D1
O D2
x
1
2π
d
1 2π
π
20
2
l :4x2 y2 2
法二
l
ydx xdy 4x2 y2
l
ydx
2
xdy
1
2
ydx xd y
l
格林公式
D2是由l 所围区域
4x2 y2 2
所以 I 0 π
π.
1
2
1
2
(1
D2
(2)
π
2
1)dxdy
2
π
25
10.3 格林公式及其应用
Pdx Qdy
L
(L1, L2, L3对D来说为正方向)
8
10.3 格林公式及其应用
(3) 对复连通区域证明:
对若复区连域通不区止域由D一, 格条林闭公曲式线
的右所曲端围线应成积 包.添分 括加,沿且直区边线域界段D的的A方全B向,部CE对边.区界 G D
域则DD来的说边都界是曲正线向由. AB, L2 , BA,
2π 0
格林公式
sin d(
2
(Q P )dxdy D1 x y 0
cos ) cos d(
2
2
0 sin
)
24
10.3 格林公式及其应用
l
ydx xdy 4x2 y2
2π
sin
d(
2
cos
)
2
cos
d(
sin
)
0
2
2 0
π
2
2
sin
2
2
2
2
cos2
d
y L: x2 y2 4
高等数学：格林公式
D
由于 xdy 0,
xdy 0, xdy dxdy 1 r2.
OA
BO
AB D
4
2. 简化二重积分
y
例 2 计算
e y2 dxdy ,其中D 是
B 1
D
D
以O(0,0), A(1,1), B(0,1)为顶点
的三角形闭区域.
o
解 令P 0, Q xe y2 ,
A
1
x
则 Q P e y2 , x y
c
1 ( y) x
d
c
Q(
2
(
y),
y)dy
d
c
Q(
1(
y),
y)dy
ห้องสมุดไป่ตู้
y
Q( x, y)dy Q( x, y)dy
CBE
CAE
d
x 1( y)
Q( x, y)dy Q( x, y)dy
CBE
EAC
A
c
LQ( x, y)dy
o
E D B
C
x 2( y)
x
同理可证
D
P y
dxdy
L
P(
A
1 2
L
xdy
ydx
1
2 ONA
xdy
ydx
1
2 AMO
xdy
ydx
1
2 AMO
xdy
ydx
M
N
A(a,0)
1 2
0
a
x(
2
a ax
1)dx
(
ax x)dx
a a
40
xdx 1 a2 . 6
例3. 计算
高等数学格林公式PPT课件
正向闭路.
解: 令 P x ,yy2 ,Q x ,yx2
y
L
则 P2y,Q2x
y
x
在L所围成的区域D上连续
D x
由格林公式得ID 2x2ydxdy 2d0 2Rcos2cossind 2 R3
2
5
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例3.求 I y x 3 e y d x x y 3 x e y 2 y d y , L
其中L是圆周 x2y2 a2的顺时针方向.
y
解:令 Px,yyx3ey
L
Q x,yxy3xey2y
D x
则 Px3ey,Qy3ey
y
x
在L所围成的区域D上连续, 由格林公式得
I L P x ,y d x Q x ,y d y Dy3x3dxdy 0
注:用格林公式时,一定要注意曲线积分的方向性.
y
0, a
Dl x
0, a
7
高斯 目录 上页 下页 返回 结束
则
P 2 y , Q a 2 y 1
y a 2x2 x
a 2x2
在 l L 所围成的闭区域D上连续,
L
y
0, a
所以由格林公式得:
I lL
l
Dadxdy aa2ylnady
1 2
a
3
Dl x
0, a
注: 用格林公式时, 若L非闭, 则可使用补边法使积分
注:使用格林公式时,若 P , Q 闭曲线所围区域上不 y x
连续, 可先挖去不连续的点后, 再使用格林公式.
11
高斯 目录 上页 下页 返回 结束
三、平面曲线积分与路径无关的等价条件
1.定义:设A,B为D内任意两点, 若从
格林公式及其应用-课件
OB
y
(1 )
o
y x2
x y2
B(1,1)
x
A(1,0)
进一步猜测：沿任意分 段光滑的曲线 LOB：
2xydx x2dy ?
LOB
(1 )
问题1
一、Green公式
是否所有二型线积分都 有这样的性质： 积分值只与曲线 L的起点和终点有关
而与曲线 L所走过的路径无关？ ( 否 )
B(1,1)
I 1 2 y2 y 2 ydy 1 y4dy o
0
0
x
A(1,0)
5 1 y4dy 1 0
1. 引例
一、Green公式
引 求I 2xydx x2dy,其中L分别为：1) y2 x;2) y x2;
例
L
1 3)OAB上由O(0,0) B(1,1)一段有向曲线 (如图)。
L
LOAAB 来自12x 0dx
112 dy 1
0
0
1. 引例
一、Green公式
引 求I 2xydx x2dy,其中L分别为：1) y2 x;2) y x2;
例
L
1 3)OAB上由O(0,0) B(1,1)一段有向曲线 (如图)。
猜一猜：
2xydx x2dy ?
ydx
其中，L是D的正向边界曲线。
G.F .:P 0,Q x
证：xdy
L
Py 0,Qx 1
(1 0)d D
D
同理： ydx d D ydx
L
D
L
例1
4. Green公式举例
求椭圆
x2 a2
y
(1 )
o
y x2
x y2
B(1,1)
x
A(1,0)
进一步猜测：沿任意分 段光滑的曲线 LOB：
2xydx x2dy ?
LOB
(1 )
问题1
一、Green公式
是否所有二型线积分都 有这样的性质： 积分值只与曲线 L的起点和终点有关
而与曲线 L所走过的路径无关？ ( 否 )
B(1,1)
I 1 2 y2 y 2 ydy 1 y4dy o
0
0
x
A(1,0)
5 1 y4dy 1 0
1. 引例
一、Green公式
引 求I 2xydx x2dy,其中L分别为：1) y2 x;2) y x2;
例
L
1 3)OAB上由O(0,0) B(1,1)一段有向曲线 (如图)。
L
LOAAB 来自12x 0dx
112 dy 1
0
0
1. 引例
一、Green公式
引 求I 2xydx x2dy,其中L分别为：1) y2 x;2) y x2;
例
L
1 3)OAB上由O(0,0) B(1,1)一段有向曲线 (如图)。
猜一猜：
2xydx x2dy ?
ydx
其中，L是D的正向边界曲线。
G.F .:P 0,Q x
证：xdy
L
Py 0,Qx 1
(1 0)d D
D
同理： ydx d D ydx
L
D
L
例1
4. Green公式举例
求椭圆
x2 a2
10-3格林公式30309 46页PPT
若P Q
y
y x
B(x1,y1)
则B(x1,y1)PdxQdy
A(x0,y0)
o
A(x0,y0)
C(x1,y0)
x
x x 0 1P (x ,y0)d xy y 0 1 Q (x 1,y)dy图（B）
或 y y 0 1 Q (x 0 ,y ) d y x x 0 1 P (x ,y 1 ) dx ( 6 )
y
L
D1
l
or
x
02r2co2sr2r2si2nd
2.
(其中l 的方向 取逆时针方向)
二、平面上曲线积分与路径无关的
条件
如果在区域G内有
y
PdxQdy L1
PdxQdy L2
L 1
B
L2
A
G
图（A）
o
x
则 称 曲 线 积 分 L P Q d 在 G 内 与 d x 路 径 无 关 y ,
(L1,L2,L3对D来说为正) 方向
格 林 公 式 的 实 质 : 沟 通 了 沿 闭 曲 线 的 积 分 与
二 重 积 分 之 间 的 联 系 .
便于记忆形式:
x ydxdy LPdxQdy.
DP Q
在公式（1）中取P y, Q x, 即得
2dxdy xdy ydx
y
(1) 当(0,0)D时,
L
由格林公式知
L
xdy x2
yy2dx0
D
o
x
(2) 当 (0,0) D 时 ,
作 位 于 D 内 圆 周 l:x 2 y 2 r2 , y L
记 D 1由 L 和 l所 围 成 ,
十五讲格林公式及其应用-一连通区域省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
y
( x x,y)
P( x, y)dx Q( x, y)dy . ( x, y )
所以
O
u( x x, y) u( x, y)
M(x, y) N(x x, y)
M0 ( x0 , y0 )
x
( x x,y)
P( x, y)dx Q( x, y)dy
x x
P( x, y)dx .
( x, y )
x
由定积分中值定理，得
u( x x, y) u( x, y) P( x x, y) x,(0 1).
所以得到 u P( x, y) . x
同理可证 u Q( x, y) . y
即条件(2)是充分旳 .
若 P Q , y x
则 Pdx Qdy B( x1 ,y1 ) A( x0 , y0 )
其中 具有连续的导数，且 (0) 0，计算曲线积分
(1,1)
xy2dx y ( x)dy . (0,0) 解 P( x, y) xy2 , Q( x, y) y ( x),
P ( xy2 ) 2xy , Q [ y ( x)] y ( x),
y y
x x
由积分与途径无关可知 P Q . y x
L
记 D 由 L 和 l 所围成. 1
应用格林公式,得
l D1
or
x
xdy ydx xdy ydx 0,
L x2 y2
l x2 y2
xdy ydx xdy ydx
L x2 y2
l x2 y2
y
L
D1
l
or
x
2 r 2 cos2 r 2 sin2 d
0
r2
( 其中 l 旳方向 取逆时针方向 )
《D68格林公式》课件
D68格林公式PPT课件大纲
汇报人：
单击输入目录标题 D68格林公式简介 D68格林公式推导过程 D68格林公式实例解析 D68格林公式应用案例 D68格林公式总结与展望
添加章节标题
D68格林公式简介
公式背景
格林公式是描述向量场与曲面积分关系的重要公式 格林公式在数学、物理、工程等领域有着广泛的应用 格林公式的提出者是英国数学家詹姆斯·克拉克·麦克斯韦 格林公式的提出是为了解决电磁场理论中的问题
实例解析
公式介绍：D68格林公式是描述电磁场与 电荷、电流关系的基本公式
实例1：计算电场强度
实例3：计算电荷分布 实例4：计算电流分布
实例2：计算磁场强度
实例5：计算电磁场能量
实例结论
D68格林公式是 一个重要的数学 定理，广泛应用 于物理、工程等 领域
实例解析可以帮 助我们更好地理 解D68格林公式 的应用场景和计 算方法
应用D68格林公式：使用D68 格林公式进行计算
计算结果：得出精确的解
应用效果：提高了计算效率， 节省了时间
应用案例二
案例背景：某公司需要解决一个复杂的数学问题 应用D68格林公式：使用D68格林公式进行计算，得出精确结果 结果分析：D68格林公式的应用使得问题得到快速解决，提高了工作效率 结论：D68格林公式在解决复杂数学问题方面具有显著优势，值得推广和应用
公式重要性
D68格林公式是物 理学中的重要公式， 广泛应用于电磁学、 光学等领域。
D68格林公式是理 解电磁波传播、电 磁场与物质相互作 用等物理现象的基 础。
D68格林公式在工 程应用中具有重要 价值，如天线设计 、电磁兼容分析等 。
D68格林公式对于 理解电磁场与物质 相互作用的微观机 制具有重要意义。
汇报人：
单击输入目录标题 D68格林公式简介 D68格林公式推导过程 D68格林公式实例解析 D68格林公式应用案例 D68格林公式总结与展望
添加章节标题
D68格林公式简介
公式背景
格林公式是描述向量场与曲面积分关系的重要公式 格林公式在数学、物理、工程等领域有着广泛的应用 格林公式的提出者是英国数学家詹姆斯·克拉克·麦克斯韦 格林公式的提出是为了解决电磁场理论中的问题
实例解析
公式介绍：D68格林公式是描述电磁场与 电荷、电流关系的基本公式
实例1：计算电场强度
实例3：计算电荷分布 实例4：计算电流分布
实例2：计算磁场强度
实例5：计算电磁场能量
实例结论
D68格林公式是 一个重要的数学 定理，广泛应用 于物理、工程等 领域
实例解析可以帮 助我们更好地理 解D68格林公式 的应用场景和计 算方法
应用D68格林公式：使用D68 格林公式进行计算
计算结果：得出精确的解
应用效果：提高了计算效率， 节省了时间
应用案例二
案例背景：某公司需要解决一个复杂的数学问题 应用D68格林公式：使用D68格林公式进行计算，得出精确结果 结果分析：D68格林公式的应用使得问题得到快速解决，提高了工作效率 结论：D68格林公式在解决复杂数学问题方面具有显著优势，值得推广和应用
公式重要性
D68格林公式是物 理学中的重要公式， 广泛应用于电磁学、 光学等领域。
D68格林公式是理 解电磁波传播、电 磁场与物质相互作 用等物理现象的基 础。
D68格林公式在工 程应用中具有重要 价值，如天线设计 、电磁兼容分析等 。
D68格林公式对于 理解电磁场与物质 相互作用的微观机 制具有重要意义。
11-3格林公式(ppt文档)
y)dy
D
(
Q x
P y
)dxdy
，
其中 L 取正向．
(11.3.1)
证 本定理分三种情形证明．
⑴ 区域 D 既是 x 型区域，也是 y 型区域
由于区域 D 为 x 型区域，则D 可表示为
D {(x, y) | a x b,1(x) y 2(x)}（见图 11-3-1），
例如，区域 D1： x2 y2 1的边界曲线L : x2 y2 1的正向为逆时针方向；
区域 D2 ： x2 y2 1的边界曲线L : x2 y2 1的正向为顺时针方向．
由于区域 D3 ：1 x2 y2 4 边界曲线 L 是由L1 ：x2 y2 1和 L2 ：x2 y2 4
L xdy ydx 2 dxdy ，
2 (x) Pdy
a
1( x) y
b
[P(
a
x,
2
(
x))
P(
x,1
(
x))]dx
，
所以
L
P(
x,
y)dx
D
Pdxdy y
．
又因为区域
D
也是
y
型区域，同理可证
L
Q(
x,
y)dx
D
Qdxdy x
．
15-6
（续证 1）综上，当区域 D 既是 x 型区域，也是 y 型区域时，有
L
P(x,
y)dx
Q(x,
y)dy
D
(
Q x
P y
区域连通性的分类二格林Green公式三简单应用市公开课金奖市赛课一等奖课件
L
xdy
D
Q x
P y
dxdy
D
o
x
A(r, 0)
dxdy 1 r 2.
D
4
第12页
OA xdy AB xdy BO xdy
L
xdy
D
Q x
P y
dxdy
D
dxdy
1 4
r
2
.
y
B(0, r )
D
o
L x
A(r, 0)
由于, oA : y 0, Bo : x 0.
因此， oA xdy 0, Bo xdy 0,
y
d Dg
c
ef
oa
bx
第24页
闭区域 D 的面积
A
1 2
L
xdy
ydx .
第20页
例 4 求椭圆x a cos , y bsin 所围成图形的面积 A.
解
A
1 2
L xdy
ydx
1 2
02 [a cos
bsin
b sin
(a sin
)] d
1 2
ab02
d
ab.
第21页
四、小结
1.连通区域概念;
2.二重积分与曲线积分关系
(
Q x
P y
)dxdy
L Pdx
Qdy
— 格林公式
D
3. 格林公式应用.
作业：184页 1，2，3
第22页
思考题
若区域 D 如图为复连通域， 试描述格林公式中曲线积 分中L方向。
D
Q x
P y
dxdy
Pdx
L
Qdy
《D52格林公式》课件
格林公式的推广：将格林公式推广到更高维空间 格林公式的扩展：将格林公式扩展到更广泛的领域，如电磁学、流体力学等 格林公式的变形：将格林公式进行变形，得到更简洁、更易于理解的形式 格林公式的应用：介绍格林公式在工程、物理、数学等领域的应用
格林公式在电磁学 中的应用：描述电 磁场与电荷、电流 的关系
,
汇报人：
01
02
03
04
05
06
格林公式是描述平面向量场与 平面曲线积分关系的公式
格林公式将平面向量场的环量 与曲线积分联系起来
格林公式是微分几何中的重要 公式之一
格林公式在物理、工程等领域 有广泛应用
格林公式是描述平面向量场与平面曲线积分关系的公式
格林公式的形式为：∫(∂A/∂x - ∂B/∂y)dx + ∫(∂B/∂x + ∂A/∂y)dy = ∮(A dx + B dy)
论基础
教育价值：有助于培养学生的 数学思维和逻辑推理能力，提
高科学素养
公式的适用范 围：D52格林 公式在什么情 况下适用？
公式的局限性： D52格林公式 有哪些局限性？
公式的改进： 如何改进D52 格林公式以提 高其准确性和
适用性？
公式的应用： D52格林公式 在实际应用中 有哪些成功案
例？
汇报人：
格林公式在流体力 学中的应用：描述 流体的流动与压力 的关系
格林公式在热力学 中的应用：描述热 传导与温度梯度的 关系
格林公式在量子力 学中的应用：描述 量子态与波函数的 关系
应用广泛：在物理、工程、计 算机科学等领域有广泛应用
数学基础：D52格林公式是微 分几何和代数拓扑的重要工具
理论价值：推动了数学和物理 的发展，为现代科学提供了理
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
B
x
b
y
E
xd 1( y)
nD
c
C
o
m
x 2( y)
x
y 型区域
按照 y 型区域考虑
Q dxdy
d
[
2 ( y) Q(x, y)dx]dy
D x
c 1( y)
x
d
c Q( 2 ( y), y) Q(1( y), y)dy
Q(x, y)dy Q(x, y)dy Q(x, y)dy
3）平面曲线 L 的正向：当人（观
察者）沿L的方向行走时，D内在靠近人
Hale Waihona Puke 的一侧始终在人的左侧。L
L
D
D l洞
外圈是逆时针方向；内圈是顺时针方向。
2、格林(Green)公式(定理1)
（1）D 是由分段光滑 (或光滑)的有向
闭曲线 L 围成； （2）函数 P(x, y),Q(x, y) 在D上具有一
阶连续偏导数；
y2 x2 x2 y2
2
,
补充定理:
1) 设P，Q 在 D 内具有一阶连续偏导数
2)
在
D
内恒有
Q x
P y
3) L1, L2 为D内任意两条同向闭曲线;
4) L1,L2 各自所围的区域中有相同的不
属于D的点，则
D
Pdx Qdy Pdx Qdy
L1
L2
L1 L2
解：当 (0,0利) 用D格林公式，结论为0.
（3）L要求取正向.（若不是正向 ? )
（4）二重积分的被积函数必须是 Q P .
x y
同学们思考一下，说明的第（2） 条其实是可以修改的，应该改成什么？
例1 计算下列曲线积分:
(1). (x2 y cos x 2xysin x y2ex)dx (x2 sin x 2yex)dy L
2
2
1）单连通区域：
如果D内任一闭曲线所围成的部分
全都属于D ；
D内任意一条闭曲线
都可以连续地收缩为一点，
这一点也属于D；
D
D为 无“洞”的区域。
单连通区域
2）复连通区域: 存在一些闭曲线它围成的区域不全属于D； 存在一些闭曲线不能连续收缩为D中的点； 有“洞”的区域（包括“点洞”）。
D 点洞 洞
复连通区域
（3） L 取正向.则有
L
P(
x,
y)dx
Q(
x,
y)dy
D
Q x
P y
dxdy
——格林公式
3、说明：
（1） L必须是光滑或分段光滑的有向闭 曲线，如果不封闭怎么办？
（2）函数 P(x, y),Q(x, y) 在D上必须具 有一阶连续偏导数，如果在有些点 处不满足（不存在或存在不连续）， 怎么解决？（重点与难点）
当 (0,时0) D
设 L : x2 y2 为 (围 绕 0原) 点的简单闭曲线 ， 围
成的区L域 为 , 与L同向D L
y
L
xdy x2
ydx y2
xdy ydx L x2 y2
L
1 xdy ydx 1 2dxdy 2
L
D
L
x
D
例3 设C是围绕原点的任意一条光滑简单
( )Pdx Qdy Pdx Qdy.
MN L2 NM L
LL2
二、格林公式的应用
1、计算曲线积分
例2 计算
xdy ydx L x2 y2
其中 L 为一条无
重点分段光滑且不经过原点的连续闭
曲线，L 的方向为逆时针方向。
P y ,Q x
x2 y2
x2 y2
P Q y x
2xydx (x)dy 2xydx x2dy
L
x4 y2
L x4 y2
1 2xydx x2dy 1 4xdxdy 0
L
D
y
C L
x
D
例4 已知平面区域
y C(0, )
闭曲线，求
2xydx x2dy C x4 y2 .
（第二届中国大学生数学竞赛非数学类数学竞赛题15分，
其中的三分之一部分，前面两部分是05年高等数学一试题）
P(x,
y)
2xy x4 y2
,Q
x2 x4 y2
.
P
y
Q x
2x5 x4
2xy2 y2 2
.(x,
y)
(0, 0)
解：设 L : x4 y2 为 围(绕原0)点的简单闭曲线 ， 围成的区域L为 ， 与 C 同向D， L
格林公式及其应用
从不定积分与定积分的引入来考虑 两者之间没有任何关系，但牛顿—莱布 尼茨公式将二者联系起来。
格林公式同样是将看似截然不同的 两类积分: 二重积分与曲线积分有机的 统一起来。
一、格林（Green）公式 1、 预备知识：
为了学习格林公式，我们先介绍
三个基本概念：单连通区域、复连通 区域、平面曲线的正向。
ABCmA
AnBA
BpCB
L Pdx Qdy.
p C L3 D3
n
B
D2 L2
A
D1 D
L1
L
m
（3）当积分区域D为复
连通区域时，如右图
将复连通区域沿着某一
D
条线段割开， 将复连通区域转化为
L2
L
NN N
单连通区域（已证）
MM M
Q P
dxdy
Pdx Qdy
D x y
MNL2 NMLM
L
CmE
EnC
d
c Q( 2 ( y), y) Q(1( y), y)dy
D
Q x
dxdy
L Q(x,
y)dy
同理，按照 x 型区域考虑
D
P( x, y
y)
dxdy
L
P(x,
y)dx
D
Q x
P x
dxdy
L
P(x,
y)dx
Q(x,
y)dy
（2）当积分区域不满足既是 x 型，又
是 y 型时，如下图（分割成（1）的情
况）
p
n
C L3 D3
B A D2 L2
D1 D
L1
L
m
Q P
Q P
( )dxdy
( )dxdy
D x y
x D1 D2 D3 y
Q P
Q P
Q P
( )dxdy ( )dxdy ( )dxdy
D1 x y
D2 x y
D3 x y
Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy
2
其中L为星形线 x 3 y 3 a 3 (a 0) 的正
向。
L
:
x y
a a
cos3 sin3
P Q y x
y
a
a Do a x
a
利用后面学过的知识发现积 分与路径无关,结论显然是0.
(2). (ex sin y 2y)dx (ex cos y 2)dy L
其中L为上半圆周 (x a)2 y2 a2 , y 0
沿逆时针方向从A点到 O 点。
P ex sin y 2y,Q ex cos y 2,
Py ex cos y 2,Qx ex cos y,
5、格林公式的证明（体现分析过程）
证明(1)先考虑积分区域既是 x型，又 是 y 型区域的情况，如图
y n y 2(x)
D
Am
y 1(x)
oa x 型区域