数学运算重在算理

数学运算 重在算理

524500 广东省吴川市第一中学 柯厚宝

高考数学中,对运算能力的要求从刻意控制运算量的处境逐渐转化为承认运算、直面运算的局面.这是由数学的学科性决定的,因为只要解答数学试题、研究数学问题,就无法避免数学运算.前几年,每年在考试说明中都强调控制运算量,但每年高考后,学生与老师们都有“运算量偏大”的体会,于是近年来,在考试说明中,干脆将运算求解能力列为高考必考的五大能力之一.无法避免的事实让它名正言顺的存在,更合情合理.

在很多人的观念中,数学运算仅指加、减、乘、除等狭义上的数字运算.事实上,数学运算 应包含更广泛的式子运算与符号运算.树立更广泛的数学运算理念,才能从根本上培养与提高数学运算能力.那么,在运算过程中要树立哪些算理,才能有效的提高运算能力?本文作一点粗浅的探讨,不当之处,敬请指正. 算理1 以简为先

文[1]中,单壿先生提到一句话:化简,不要“化繁”.其实,它就是我们要坚持的一种运算理念.在运算过程中,我们要树立一种以简为先的理念,从繁杂的运算中演算出简洁的结果,从而体现运算的价值.

例1

过点(P 作直线l 与椭圆22

143

x y +=交于A,B 两点, O 为坐标原点, 求△OAB 的面积的最大值,并求此时直线l 的方程.

解 (1)当直线l x ⊥轴时,直线l

的方程为x =

代入椭圆方程解得(),2

A

(2

B -

,这时△0AB 的面积

:13[

(2222S =⨯--=. (2)当直线l 与x 轴不垂直时,设直线l

的方程为x ky =,1122(,),(,)A x y B x y , 且10y >,20y <.

由2214

3x ky x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩,

得222(43)30k y y +--=,

∴12y y -=

2

34k +,

令t =有221313

k t =-, 得△0AB

的面积122114()192233t S OP y y t t t

=

⋅-==≤++当3t =,

即3

k =±

时取等号,这时直线l

30±+=.

A

B C

D

A 1

B 1

C 1

D 1

P

综

(1)(2)所述,△OAB

此时直线l 30±+=. 评注 以上解法体现了以简为先的算理,顺利的解决了问题.考虑到121

2

S OP y y =

⋅-, 为了回避绝对值麻烦,我们设定了10y >

,20y <,为了直接的计算12y y -,我们将直线的方程 设为x ky =,消去x ,从而得到12y y -的表达式(否则,若消去y ,由

1212()y y k x x -=-

=,将会带更多的回路运算,也给后面的运算带来更大的麻烦).所以,对待运算,我们首先要考虑的是简洁,尽量避免多余的无效回路运算,提高运算的速度与准确性. 算理2 明确目标

明确运算的目标,会对运算带来很大的鼓励与帮助.在运算过程中,若有了明确的运算目标,即使困难重重,我们也会义无反顾的算到底.

例2 如图,已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1, 点P 在棱1BB 上运动(不含1,B B 两点),设1APC θ∠=. 求cos θ的取值范围

.

解 设

1(01)PB x

x =<<,则11PC PA

AC ===,

由余弦定理得2cos θ=,令432

2

222()cos (1)(22)x x x f x x x x θ-+==+-+. 则22322222

2(1)[(21)(1)(22)(1)(2331)]

()(1)(22)x x x x x x x x x x x f x x x x --+-+---+-'=+-+

=22222

17

2(1)(21)[()]

24(1)(22)

x x x x x x x ---++-+. 当01x <<时,(1)0x x -<,而2

1

7()02

4x -+

>.令'()0f x =得12

x =. 于是,当102x <<时,'()0f x >,()f x 单调递增;当112x <<时,'

()0f x <,()f x 单

调递减.∴当12x =时,max 11()()225f x f ==,即2

1cos 25θ≤,∴11cos 55

θ-≤≤.

所以,cos θ的取值范围是11

[,]55-.

评注 结合图形,我们估计12x =是()f x 的一个极值,则1

2

x =是()0f x '=的一个实根,

在这一目标下,我们对()f x 顽强的求导,再对'

()f x 明确的分解与配方,才能得到()f x 的单

调性,进而解决问题.所以,在展开运算前,最好明确运算的思路与目标,否则极易半途而废. 算理3 整体而算

对一道试题的运算,应视为一个整体.因为将它作部分的运算时,它们内部之间总会存在某种联系.因此,提高运算的全局观,是提高运算效率的有效途径.

例3 Rt ABC ∆中,90C ∠=o

,将Rt ABC ∆绕BC 、AC 、AB 边旋转一周得到的几何体

的体积分别为a V 、b V 、c V ,若2222

a b a b V V V V +=⋅.求c V 的值.

解 可得213a V b a π=

,21

3b V a b π=,绕AB 边旋转得到两个有共同底面的圆锥的组合几何体,底面的半径为ab

c

,设它们的高分别为12,h h ,则12h h c +=.

∴22

22212121111()()()()3333c ab ab ab a b V h h h h c c c c

ππππ=+=+=.

由2222a b a b V V V V +=⋅得22

24419

a b a b π+=

. ∴244

244

222

222229()

199()9()

c a b a b a b V c a b a b ππ+=

===++, 故1c V =. 评注 由2

2

244

19

a b a b π+=

无法求得a 、b 、c 的具体值,只能整体的代入消去.在解答问题的过程中,出现整体代换的情况是很常见的,当遇上时,若稍不注意,则极易陷入运算的僵局.

算理4 偷梁换柱

在数学运算中,相同或类似的运算是经常存在的.这时,若能善用“同理”进行偷梁换柱,则可减少重复的运算,降低运算量,提高运算效率.

例3 设函数()x c c x c

c

a b b f x a +++-=(0x ≥),其中1a b <≤,1c >.

(1)设d c x =+,证明:d

c

a b +≤c

d

a b +;

(2)设121a a <≤≤···n a ≤,121b b <≤≤···n b ≤,12,,i i ···n i 是1,2,···,n 的任一排列,

求证:1n

b a +1

2

n b a -+···+1

b n

a ≤11i

b a +22i b a +···+i n b n a ≤11b a +22b a +···+n

b n a .

证明 (1)可得'

(ln ln )

()x c x c c

c a a b b f x a

++-=. 由1a b <≤,0x ≥,1c >,得0x c

x c a

b ++<≤,0ln ln a b <≤,∴'()f x ≤0 ①.

当a b =时,①取等号;当a b ≠时,'

()0f x <,()f x 在[0,)+∞上单调递减.