正多面体和正多边形的对称群

由轨道公式得 G StabG (V1) OV1 8 6 48
F1
A
2
O
(3)绕Oz 轴逆时针旋转 ； (7)关于 yOz 面的镜面反射；
B
(4)绕Oz 轴逆时针旋转 3 ；
2
(8)关于 BOz 面的镜面反射．
由以上描述，得 OV1 =8 ， StabG (V1) =6 由轨道公式得 G StabG (V1) OV1 8 6 48
结论：保持正六面体某个顶点不变的稳定子群的阶为 6， 而对称群作用于顶点的轨道长为 8，因此正四面体的对称群 共有 48 个元素，这个对称群的结构已由以上描述给出.
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群在集合上的作用
设G 是一个群, M 是一个集合．若G 的每个元 都对应于 M 的一个变换，对任意的 mM ，其变换的结果记成 m ，且满足
(1) e m m , (2) ( ) m ( m) , 其中 , G ，mM ，e 是G 的单位元，则称G 在 M 上有群作用．
课题：正多边形和正多面体的对称群
指导老师： 学生姓名：
目录
第一章 绪论 第二章 欧式空间的正交变换 第三章 群论基础 第四章 正多边形的对称群 第五章 正多面体的对称群
群
设G 是一个非空集合，如果在G 上定义了一个定义了一 个二元运算 ,满足： （1） 结合律： (a b) c a (b c) (a,b,c G) （2） 存在幺元：存在 eG ,使得
互为对偶的两个正多面体，它们的对称群具有相同的结构.
正四面体的对称群
从顶点角度研究正四面体的对称群
设保持V1 不变的稳定子群为 StabG (V1) ， StabG (V1) 共有 6 个元：
(1)恒等变换；
(2)绕V1O
轴逆时针旋转
2 3
；
(3)绕V1O
轴逆时针旋转
4 3
；
(4)关于平面V1V2 A 的镜面反射；
• 从棱的角度研究正四面体的对称群
设保持棱 E1不变的稳定子群 StabG (E1) ，它共有 4 个元：
(1)恒等变换； (2)关于平面V1V2 A 的镜面反射； (3)关于平面V3V4B 的镜面反射； (4)上述两种反射变换的合成．
V1
E1
E4
V2
O
E2
V4 E3
V3
由以上描述，得 OE1 =6 ， StabG(E1) =4 ，由轨道公式得
的逆时针旋转
是
Dn
中的
元素。
其次，将顶点 1 固定的变换一共有两个,即恒等置换 I 以及将
顶点 1 保持不动的关于对称轴的反射


(2, n)(3, n (2, n)(3, n
1)...( n , n 2) , 22
1)...( n 1, n 3) , 22
n2 n | 2
稳定子群
设群G 作用于 M ，对 xM ，令 StabG(x) {g G g x x}， 称它为群G 作用下 x 的稳定子群．
轨道公式
群G 作用于集合 M 上，对 xM ，称 M 的子集 Ox {g x g G} 为 x 在G 作用下的轨道．
轨道公式:轨道长 Ox 满足公式 G StabG (x) Ox 或 Ox [G : StabG(x)]
从而顶点 1 的固定子群是 2 阶的,并且 Dn 2n .这个群的生成
元关系为 n I 2 I 1 .
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正多面体的对称群
以一个正多面体各个面的中心作为顶点,相邻两个面中心连 线作为边得到的多面体叫做原正多面体的对偶,它也是正多面体.
正四面体的对偶还是正四面体,正六面体与正八面体互为对 偶,正十二面体与正二十面体互为对偶.
(5)关于平面V1V3B 的镜面反射；
(6)关于平面V1V4C 的镜面反射．
V1
V2
B
O
C
V4 A
V3
由以上描述，得 OV1 =4 ， StabG (V1) =6 由轨道公式得 G StabG (V1) OV1 4 6 24
结论：保持正四面体某个顶点不变的稳定子群的阶为 6， 而对称群作用于顶点的轨道长为 4，因此正四面体的对称群 共有 24 个元素，这个对称群的结构已由以上描述给出.
G StabG (E1) OE1 4 6 24
正六面体(正八面体)的对称群
从面的角度研究正六面体的对称群
设保持 F1 不变的稳定子群为 StabG (F1) ，它共有 8 个元：
(1)恒等变换；
(5)关于 xOz 面的镜面反射；
(2)绕Oz 轴逆时针旋转 ； (6)关于 AOz 面的镜面反射；
正多面体的类型
表：五种正多面体的顶点数、棱数、面数表
正多面体 正四面体 正六面体 正八面体 正十二面体 正二十面体
顶点数 4 8 6 20 12
棱数 6 12 12 30 30
面数 4 6 8 12 20
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正交变换的类型
平面V 2 的正交变换或者是绕某个点的旋转,或者 是关于一条直线的反射.
空间V 3的正交变换或者是绕某一直线的旋转，或 者是关于某一平面的反射，或者是上述两种变换的合 成.
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正多边形的对称群
设正 n 边形 (n 3) 的顶点依次为1,2,...,n ,通过平面上旋转 和反射将正 n 边形变成自身的每个运动叫做该正 n 边形的一 个对称.全体这种对称形成一个群,叫做正 n 边形的对称群, 记为 Dn .
正n边形的对称群
首先，绕正 n
边形的中心 O
转角为
2 n
e a a e (a G) ( e 称为G 的幺元) （3） 存在逆元：对任意的 a G ,存在b G ,使得
a b b a e(b 称为 a 的逆元,记为 a1) 则称G 关于运算 构成一个群.
图形的对称群
设 T 是 n 维欧式空间的一个子集(即图形),则将T 映 射成自身的正交变换的全体关于变换的乘法构成一个群, 叫做图形T 的对称群.
• 从顶点的角度研究正六面体的对称群
设保持V1不变的稳定子群为 StabG (V1) ，它共有 6 个元：
(1)恒等变换；
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(4)关于V1V5V7V3 的镜面反射；
(2)绕V1V7
轴逆时针旋转
2 3
；
(3)绕V1V7
轴逆时针旋转
4 3
；
(5)关于V1V4V6V7 的镜面反射； (6)关于V1V2V7V8 的镜面反射.