二次函数的应用—面积问题

二次函数面积问题

基础知识

（）

在生活实践中，人们经常面对带有“最”字的问题，如在一定的方案中，花费最少、消耗最低、面积最大、产值最高、获利最多等；解数学题时，我们也常常碰到求某个变量的最大值或最小值之类的问题，这就是我们要讨论的最值问题。求最值的问题的方法归纳起来有以下几点：

1．运用配方法求最值；

2．构造一元二次方程，在方程有解的条件下，利用判别式求最值；

3．建立函数模型求最值；

4．利用基本不等式或不等分析法求最值．

知识典例

（夯实基础）（30分钟）

[例1]：在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm ／s的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm／s的速度移动，如果P、Q 两点同时出发，分别到达B、C两点后就停止移动．

（1）运动第t秒时，△PBQ的面积y(cm²)是多少？

（2）此时五边形APQCD的面积是S(cm²)，写出S与t的函数关系式，并指出自变量的取值范围．

（3）t为何值时s最小，最小值时多少？

[例2]：小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个1米宽的门（木质）．花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面积最大？

（）（5分钟）

[例3]：已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE （如图），其中AF=2，BF=1．试在AB 上求一点P ，使矩形PNDM 有最大面积．

强化练习

x

[例4]：某人定制了一批地砖，每块地砖（如图(1)所示）是边长为0.4米的正方形ABCD，点E、F分别在边BC和CD上，△CFE、△ABE和四边形AEFD均由单一材料制成，制成△CFE、△ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米价格依次为30元、20元、10元，若将此种地砖按图(2)所示的形式铺设，且能使中间的阴影部分组成四边形EFGH．

(1)判断图(2)中四边形EFGH是何形状，并说明理由；

(2)E、F在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？

回顾小结

（）（2分钟）

1．某人从地面垂直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：米)与小球运动时间t(单位：秒)

h．

的函数关系式是，那么小球运动中的最大高度

最大

2．兰州市“安居工程”新建成的一批楼房都是8层高，房子的价格y(元/平方米)随楼层数x(楼)的变化而变化(x=1，2，3，4，5，6，7，8)；已知点(x，y)都在一个二次函数的图像上，(如图所示)，则6楼房子的价格为元/平方米．

5 m 12 m A

B C

D

3．如图所示，在一个直角△MBN 的内部作一个长方形ABCD ，其中AB 和BC 分别在两直角边上，设AB =x m ，长方形的面积为y m 2，要使长方形的面积最大，其边长x 应为( )

A ．424m

B ．6 m

C ．15 m

D ．2

5m 4．将一张边长为30㎝的正方形纸片的四角分别剪去一个边长为ｘ㎝的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体．当ｘ取下面哪个数值时，长方体的体积最大（ ）

A ．7

B ．6

C ．5

D ．4

5．如图，铅球运动员掷铅球的高度y (m)与水平距离x (m)之间的函数关系式是：

3

5321212++-=x x y ，则该运动员此次掷铅球的成绩是( ) A ．6 m

B ．12 m

C ．8 m

D ．10m x

y O A

B M

O

（图5） （图6） （图7） 6．某幢建筑物，从10 m 高的窗口A ，用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状(抛物线所

在的平面与墙面垂直，如图6，如果抛物线的最高点M 离墙1 m ，离地面

340m ，则水流落地点B 离墙的距离OB 是( )

A ．2 m

B ．3 m

C ．4 m

D ．5 m

7．小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线21 3.55

y x =-

+的一部分，如图7所示，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离L 是（ ）

A ．4.6m

B ．4.5m

C ．4m

D ．3.5m

8．某居民小区要在一块一边靠墙(墙长15m)的空地上修建一个矩形花园ABCD ，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围成．若设花园的宽为x(m) ，花园的面积为y(m²)．

(1)求y 与x 之间的函数关系，并写出自变量的取值范围；

（2）根据（1）中求得的函数关系式，描述其图象的变化趋势；并结合题意判断当x 取何值时，花园的面积最大，最大面积是多少？

9．如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50 m 长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为x 米．

(1)要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少m ？

(2)如果中间有n (n 是大于1的整数)道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少米？比较(1)(2)的结果，你能得到什么结论？

x

10．如图，矩形ABCD 的边AB=6 cm ，BC=8cm ，在BC 上取一点P ，在CD 边上取一点Q ，使∠APQ 成直角，设BP=x cm ，CQ=y cm ，试以x 为自变量，写出y 与x 的函数关系式．

A B C D

P Q