2020年河南省开封市中考数学一模试卷(含解析)
2020年开封市九年级一摸数学试卷及答案解析
2020年开封市九年级一摸数学试卷姓名____________ 时间: 90分钟 满分:120分 总分____________ 一、选择题（每小题3分,共30分）1. 下列四个实数中,最大的是 【 】 （A ）2- （B ）0 （C ）31 （D ）3π2. 某种冠状病毒的直径为125纳米,已知1米910=纳米,则用科学记数法表示这种冠状病毒的直径为 【 】 （A ）61025.1-⨯米 （B ）71025.1-⨯米 （C ）81025.1-⨯米 （D ）91025.1-⨯米3. 如图所示,︒=∠︒=∠60,45EDF ABC ,若要使直线EG BC //,则可使直线EG 绕点D 逆时针旋转 【 】 （A ）︒15 （B ）︒25 （C ）︒30 （D ）︒105第 3 题图GED CBA第 5 题图任责是就控防4. 某电子科技公司招聘本科毕业生,小林同学的心理测试、笔试、面试得分分别为80分、90分、70分.若依次按照2 : 3 : 5的比例确定成绩,则小林同学的最终成绩为 【 】 （A ）80分 （B ）85分 （C ）78分 （D ）82分5. 新年伊始,疫情肆虐.面对疫情,万千医者逆行而上,保家卫国,再次铸就新时代的钢铁长城!某校数学兴趣小组制作了一个小正方体,小正方体的每一个面上各有一个字,组成了“防控就是责任”.如图所示是这个小正方体的展开图,则“控”字的对面是 【 】 （A ）防 （B ）是 （C ）责 （D ）任6. 下列运算正确的是 【 】 （A ）325=-a a （B ）1243a a a =⋅ （C ）()64232b a b a =- （D ）()632a a =-7. 如图所示是数学活动课上制作的两个转盘,甲转盘被均分为三部分,上面分别写着9 , 8 , 5三个数字,乙转盘被均分为四部分,上面分别写着1 , 6 , 9 , 8四个数字.同时转动两个转盘,停止转动后两个转盘上指针所指的数字恰好都能被3整除的概率是 【 】 （A ）21 （B ）31 （C ）41 （D ）61第 7 题图第 8 题图FEDCBA8. 如图所示,在Rt △ABC 中,8,6,90==︒=∠BC AC C .以点A 为圆心,BC 的长为半径作弧交AB 于点D ,再分别以点A 、D 为圆心,以AB 、AC 的长为半径作弧交于点E ,连结AE 、DE ,若点F 为AE 的中点,则DF 的长为 【 】 （A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）89. 已知抛物线()022>+-=a b ax ax y 的图象上三个点的坐标分别为()1,1y A -,()2,2y B , ()3,4y C ,则321,,y y y 的大小关系为 【 】 （A ）213y y y >> （B ）123y y y >> （C ）312y y y >> （D ）132y y y >>10. 如图,指针OA 、OB 分别从与x 轴和y 轴重合的位置出发,绕着原点O 顺时针运动,已知OA 每秒转动︒45,OB 的转动速度是OA 的31,则第2020秒时,OA 与OB 之间的度数为 【 】 （A ）︒130 （B ）︒145 （C ）︒150 （D ）︒165第 10 题图第 14 题图F二、填空题（每小题3分,共15分） 11. 计算:()=⎪⎭⎫ ⎝⎛---2212_________.第 15 题图G FEDCBA12. 若关于x 的一元二次方程k x x =-422没有实数根,则k 的取值范围是__________.13. 不等式组⎩⎨⎧<-≥+09201x x 的所有整数解的中位数是_________.14. 如图所示,矩形ABCD 中,2,342===AE AD AB ,点O 为AB 的中点,以点O 为圆心,OE 的长为半径画弧交BC 于点F ,则图中阴影部分的面积为__________. 15. 如图所示,在Rt △ABC 中,8,30,90=︒=∠︒=∠AB A C , 点D 、E 分别为AC 、BC 的中点,点F 为AB 边上一动点, 将A ∠沿着DF 折叠,点A 的对应点为点G ,且点G 始终在 直线DE 的下方,连结GE ,当△GDE 为直角三角形时,线段 AF 的长为__________. 三、解答题（共75分）16.（8分）先化简,再求值:4412312++-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+-a a a a ,其中25-=a .17.（9分）“停课不停学,学习不延期!”,某市教育局为了解初中学生疫情期间在家学习时对一些学习方式的喜好情况,通过微信采用电子问卷的方式随机调查了部分学生（电子调查表如图所示）,并根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图,其中选择选项A 与选项C 的人数之和等于选择选项B 的人数.调查结果扇形统计图E25%D CBA调查结果条形统计图根据以上统计图,解答下列问题:（1）本次接受调查的学生共有_________人;（2）求选择选项B 与选项C 的人数并补全条形统计图; （3）扇形统计图中,扇形B 的圆心角的度数是_________;（4）若该市约有16万初中生,请估计喜欢自学（选择选项C 或D ）的学生人数.18.（9分）如图所示,以AB 为直径的半圆O 分别交△ABC 的边AC 、BC 于点D 、E ,过点D 作⊙O 的切线交BC 于点F ,连结DE .已知点D 为弧AE 的中点. （1）求证:EF CF =; （2）填空:①若6,16==BE AB ,则=AD _________;②当四边形OADE 为菱形时,C ∠的度数为_________.19.（9分）某数学兴趣小组要测量校园广场内旗杆的高度,其示意图如图所示.小聪同学在旗杆AB 的正南方向用高1米的侧倾器（1=CD 米）测得旗杆顶端A 的仰角为︒37,在旗杆AB 的正北方向（点F 、B 、D 在同一直线上）2米高的图书馆台阶上,小颖同学用1米高的侧倾器（3=EF 米）测得旗杆顶端A 的仰角为︒18,又测得5.58=FD 米.求旗杆的高度.（结果精确到0. 1米）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=︒=︒=︒=︒=︒=︒4337tan ,5437cos ,5337sin ,3118tan ,1010318cos ,101018sin F EDCBA37°18°20.（9分）由于新能源汽车越来越受到消费者的青睐,某经销商决定分两次购进甲、乙两种型号的新能源汽车（两次购进同一种型号汽车每辆的进价相同）.第一次用275万元购进甲型号汽车30辆和乙型号汽车20辆;第二次用191万元购进甲型号汽车14辆和乙型号汽车25辆.（1）求甲、乙两种型号汽车每辆的进价;（2）经销商分别以每辆甲型号汽车8. 8万元,每辆乙型号汽车5. 8万元的价格销售后,根据销售情况,决定再次购进甲、乙两种型号的汽车共100辆,且乙型号汽车的辆数不少于甲型号汽车辆数的2倍,若两种型号汽车每辆的进价与售价均不变,请你求出获利最大的购买方案,并求出最大利润.21.（10分）如图所示,矩形ABCD 的两个顶点A 、B 分别在y 轴和x 轴上,对角线AC 、BD 交于点E ,过点C 作x CF ⊥轴于点F .已知反比例函数xky =的图象经过点E 交CF 于点G ,点A 、B 、F 的坐标分别为()3,0A 、()0,2B 、()0,8F . （1）求反比例函数xky =的解析式; （2）在x 轴上是否存在点P ,使得GP DP +的值最小,若存在,请求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.22.（10分）如图1,在正方形ABCD 中,4=AB ,点E 在AC 上,且2=AE ,过点E 作AC EF ⊥于点E ,交AB 于点F ,连结CF 、DE . 【问题发现】（1）线段DE 与CF 的数量关系是_________,直线DE 与CF 所夹锐角的度数是_________; 【拓展探究】（2）当△AEF 绕点A 顺时针旋转时,上述结论是否成立?若成立,请写出结论,并结合图2给出证明;若不成立,请说明理由; 【解决问题】（3）在（2）的条件下,当点E 到直线AD 的距离为1时,请直接写出CF 的长.图 1FE DCBA图 2HFEDCBA23.（11分）如图所示,已知二次函数b x ax y ++=312的图象经过点()0,3-A 和点()4,0B ,BAO ∠的平分线分别交抛物线和y 轴于点C 、D ,点P 为抛物线一动点,过点P 作x 轴的垂线交直线AC 于点E ,连结PC . （1）求二次函数的解析式;（2）当以点P 、C 、E 为顶点的三角形与△ADO 相似时,求点P 的坐标; （3）设点F 为直线AC 上一点,若ABO BFD ∠=∠21,请直接写出点F 的坐标.备用图2020年开封市九年级一摸数学试卷一、选择题（每小题3分,共30分）二、填空题（每小题3分,共15分）11. 3- 12. 2-<k 13. 1. 5 14. 31224- 15. 2或3 部分选择题、填空题答案解析8. 如图,在Rt △ABC 中,,6,90=︒=∠AC C8=BC .以点A 为圆心,BC 的长为半径作弧交AB 于点D ,再分别以点A 、D 为圆心,以AB 、AC 的长为半径作弧交于点E ,连结AE 、DE ,若点F 为AE 的中点,则DF 的长为 【 】 （A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）8第 8 题图FEDC BA解析:本题通过尺规作图,考查了两个重要的知识点:知识点1 勾股定理和勾股定理的逆定理 知识点2 直角三角形的性质直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.在Rt △ABC 中,由勾股定理得:10862222=+=+=BC AC AB由尺规作图可知:6,10,8======AC DE AB AE BC AD在△ADE 中∵2222286AE DE AD =+=+ ∴△ADE 为直角三角形,︒=∠90ADE ∵点F 为AE 的中点 ∴521==AE DF . ∴选择答案【 B 】.9. 已知抛物线()022>+-=a b ax ax y 的图象上三个点的坐标分别为()1,1y A -,()2,2y B ,()3,4y C ,则321,,y y y 的大小关系为 【 】 （A ）213y y y >> （B ）123y y y >> （C ）312y y y >> （D ）132y y y >> 解析:本题考查二次函数的图象和性质.二次函数的性质与其对称轴的位置和抛物线的第 10 题图开口方向有关. ∵b ax ax y +-=22∴抛物线的对称轴为直线122=--=aax∵0>a∴抛物线的开口向上∴当1>x 时,y 随x 的增大而增大 点()1,1y A -关于直线1=x 的对称点'A 为:()1,3'y A∵432<< ∴213y y y >>. ∴选择答案【 A 】.10. 如图,指针OA 、OB 分别从与x 轴和y 轴重合的位置出发,绕着原点O 顺时针运动,已知OA 每秒转动︒45,OB 的转动速度是OA的31,则第2020秒时,OA 与OB 之间的度数为 【 】 （A ）︒130 （B ）︒145 （C ）︒150 （D ）︒165解析:本题考查图形的变换与坐标. 指针OA 转动一周所需的时间为:845360=︒÷︒（s ）∵425282020ΛΛ=÷∴第2020秒时,指针OA 转动到了x 轴负半轴的位置,如下图所示.指针OB 转动的速度为每秒︒=⨯︒153145 指针OB 转动一周所需的时间为:2415360=︒÷︒（s ）∵484242020ΛΛ=÷∴第2020秒时,指针OB 在第一象限内与y 轴的夹角为︒60,如下图所示.∴第2020秒时,指针OA 与指针OB 之间的度数为︒150,∴选择答案【 C 】. 14. 如图,矩形ABCD 中,,342==AD AB2=AE ,点O 为AB 的中点,以点O 为圆心,OE 的长为半径画弧交BC 于点F ,则图中阴影部分的面积为__________.第 14 题图FF解析:设弧EF 与CD 边交于G 、H 两点,连结OG 、OH ,如图所示,作GH OM ⊥. 由题意可知:32==AD OA 在Rt △AOE 中 ∵33322tan ===∠OA AE AOE ∴︒=∠30AOE ,42====AE OH OG OE 易证:四边形DMOA 为正方形 ∴32==AD OM同上可得:︒=∠=∠=∠30BOF HOM GOM ∴︒=∠︒=∠120,60EOF GOH ∴△GOH 为等边三角形 ∴4==OG GH ∴GOH GOH S S S ∆-=扇形弓形324213604602⨯⨯-⨯=π3438-=π∴弓形扇形曲五边形S S S EOF EOFHG -=3438343836041202+=+-⨯=πππ ∴CHF DEG S S ∆∆+曲曲232212343832342⨯⨯⨯---⨯=--=∆πAOE EOFHG ABCD S S S 曲五边形矩形 383824--=π∴3438383824-+--=ππ阴影S31224-=.15. 如图所示,在Rt △ABC中,8,30,90=︒=∠︒=∠AB A C , 点D 、E 分别为AC 、BC 的中点,点F 为AB 边上一动点, 将A ∠沿着DF 折叠,点A 的对应点为点G ,且点G 始终在直线DE 的下方,连结GE ,当△GDE 为直角三角形时,线段AF 的长为__________.第 15 题图G FEDCBA解析:在Rt △ABC 中 ∵23830cos ===︒AC AB AC ∴34=AC∵点D 、E 分别是AC 、BC 的中点 ∴3221==AC AD ︒=∠=∠30,//A CDE AB DE分为两种情况:①当︒=∠90GDE 时,如图1所示.︒=︒-︒=∠603090ADG由折叠可知:︒=∠=∠3021ADG ADF图 1∴ADF A ∠=∠ ∴DF AF = 作AD FH ⊥于点H ∴321==AD AH 在Rt △AFH 中 ∵23330cos ===︒AF AF AH ∴2=AF ;②当︒=∠90DGE 时,如图2所示.图 2易证:△DCE ≌△DGE 此时点G 在AB 边上 ∴︒=∠=∠30GDE CDE ∴︒=∠120ADG 由折叠可知:︒=∠=∠6021ADG ADF∴︒=∠90AFD 在Rt △ADF 中∵233230cos ===︒AF AD AF ∴3=AF .综上所述,线段AF 的长为2或3. 三、解答题（共75分） 16.（8分）先化简,再求值:4412312++-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+-a a a a ,其中25-=a . 解:4412312++-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+-a a a a ()12212-+⋅+-=a a a a 2+=a …………………………………5分当25-=a 时原式5225=+-=. ………………8分17.（9分）“停课不停学,学习不延期!”,某市教育局为了解初中学生疫情期间在家学习时对一些学习方式的喜好情况,通过微信采用电子问卷的方式随机调查了部分学生（电子调查表如图所示）,并根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图,其中选择选项A 与选项C 的人数之和等于选择选项B 的人数.调查结果扇形统计图E25%D CBA调查结果条形统计图根据以上统计图,解答下列问题:（1）本次接受调查的学生共有_________人;（2）求选择选项B 与选项C 的人数并补全条形统计图;（3）扇形统计图中,扇形B 的圆心角的度数是_________;（4）若该市约有16万初中生,请估计喜欢自学（选择选项C 或D ）的学生人数. 解:（1）800 ; ……………………………2分 提示:800%25200=÷（人）.（2）设选择选项B 与选项C 的人数分别为x 人、y 人,由题意可得:⎩⎨⎧---=+=+40120200800120y x xy 解之得:⎩⎨⎧==160280y x∴选择选项B 的人数为280人,选择选项C的人数为160人. 补全条形统计图如图所示.……………………………………………5分调查结果条形统计图（3）︒126;………………………………7分提示:︒=⨯︒126800280360. （4）2.780020016016=+⨯（万人）答:估计喜欢自学的学生人数为7. 2万人. ……………………………………………9分 18.（9分）如图所示,以AB 为直径的半圆O 分别交△ABC 的边AC 、BC 于点D 、E ,过点D 作⊙O 的切线交BC 于点F ,连结DE .已知点D 为弧AE 的中点. （1）求证:EF CF =; （2）填空:①若6,16==BE AB ,则=AD _________; ②当四边形OADE 为菱形时,C ∠的度数为_________.（1）证明:连结OD 、AE 、BD . ∵DF 是⊙O 的切线,AB 是⊙O 的直径 ∴︒=∠=∠90AEB ODF……………………………………………1分 ∵点D 是弧AE 的中点 ∴EBD ABD ∠=∠∴ABD ABC ∠=∠2 ∵ABD AOD ∠=∠2 ∴ABC AOD ∠=∠∴BC OD // ……………………………2分 ∴︒=∠=∠90ODF BFD ∴︒=∠=∠90AEB BFD∴AE DF // ……………………………3分 ∵OB OA = ∴CD AD =∴EF CF =; ……………………………5分 （2）①54;……………………………7分②︒60.……………………………………9分提示:①.如上图所示. ∵AB 是⊙O 的直径 ∴︒=∠=∠90CFD ADB ∴︒=∠+∠90ABD A∵CBD ABD CBD C ∠=∠︒=∠+∠,90 ∴C A ∠=∠ ∴16==BC AB ∴10616=-=CE 由（1）可知:521==CE CF 易证:△DCF ∽△BAD ∴AD CFBA DC =∵CD AD = ∴ADAD 516=∴54=AD ;②.若四边形OADE 为菱形,则AD OA = ∵OD OA = ∴AD OD OA == ∴△AOD 为等边三角形 ∴︒=∠60A ∵C A ∠=∠ ∴︒=∠60C .19.（9分）某数学兴趣小组要测量校园广场内旗杆的高度,其示意图如图所示.小聪同学在旗杆AB 的正南方向用高1米的侧倾器（1=CD 米）测得旗杆顶端A 的仰角为︒37,在旗杆AB 的正北方向（点F 、B 、D 在同一直线上）2米高的图书馆台阶上,小颖同学用1米高的侧倾器（3=EF 米）测得旗杆顶端A 的仰角为︒18,又测得5.58=FD 米.求旗杆的高度.（结果精确到0. 1米）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=︒=︒=︒=︒=︒=︒4337tan ,5437cos ,5337sin ,3118tan ,1010318cos ,101018sin F EDCBA37°18°NMH GF EDCBA37°18°解:作AB EG ⊥,EG 的延长线交AC 于点H ,作AB CM ⊥,作CM HN ⊥,如图所示. 则有3==BG EF 米,1==BM CD 米,∴213=-==NH GM 米 ∵CM EH //,∴︒=∠37AHG设x AG =米,在Rt △AGH 中,∵4337tan ===︒GH x GH AG ∴x GH 34=米.…………………………………………………………………………………2分 在Rt △AGE 中,∵3118tan ===︒GE x GE AG ,∴x GE 3=米. …………………………………4分在Rt △CNH 中,∵43237tan ===︒CN CN NH ,∴38=CN 米. …………………………………6分∵FD CN GH GE =++,∴5.5838343=++x x 解之得:9.12≈x …………………………7分∴9.12≈AG 米,9.15≈+=BG AG AB 米.……………………………………………………8分 答:旗杆的高度约为15. 9米.……………………………………………………………………9分20.（9分）由于新能源汽车越来越受到消费者的青睐,某经销商决定分两次购进甲、乙两种型号的新能源汽车（两次购进同一种型号汽车每辆的进价相同）.第一次用275万元购进甲型号汽车30辆和乙型号汽车20辆;第二次用191万元购进甲型号汽车14辆和乙型号汽车25辆.（1）求甲、乙两种型号汽车每辆的进价; （2）经销商分别以每辆甲型号汽车8. 8万元,每辆乙型号汽车5. 8万元的价格销售后,根据销售情况,决定再次购进甲、乙两种型号的汽车共100辆,且乙型号汽车的辆数不少于甲型号汽车辆数的2倍,若两种型号汽车每辆的进价与售价均不变,请你求出获利最大的购买方案,并求出最大利润.解:（1）设甲、乙两种型号汽车每辆的进价分别为x 万元、y 万元,由题意可得:⎩⎨⎧=+=+19125142752030y x y x ………………………2分 解之得:⎩⎨⎧==45.6y x答:甲型号汽车每辆的进价为6. 5万元,乙型号汽车每辆的进价为4万元;……………………………………………4分 （2）设购进甲型号汽车m 辆,则购进乙型号汽车()m -100辆,由题意可得:m -100≥m 2解之得:m ≤3133 ………………………5分设获得的利润为W 万元,则有:()()()m m W --+-=10048.55.68.8∴1805.0+=m W ………………………6分 ∵05.0>,∴W 随m 的增大而增大 ∵m ≤3133,且m 为正整数∴当33=m 时,W 取得最大值,最大值为:5.196180335.0max =+⨯=W （万元）6733100=-（辆）……………………………………………8分 答:获利最大的购买方案为:购进甲型号汽车33辆,乙型号汽车67辆,最大利润为196. 5万元. ……………………………………9分 21.（10分）如图所示,矩形ABCD 的两个顶点A 、B 分别在y 轴和x 轴上,对角线AC 、BD 交于点E ,过点C 作x CF ⊥轴于点F .已知反比例函数xky =的图象经过点E 交CF 于点G ,点A 、B 、F 的坐标分别为()3,0A 、()0,2B 、()0,8F .（1）求反比例函数xky =的解析式; （2）在x 轴上是否存在点P ,使得GP DP +的值最小,若存在,请求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.解:（1）∵x CF ⊥轴 ∴︒=∠=∠90AOB BFC ∵()3,0A 、()0,2B 、()0,8F ∴628,2,3=-===BF OB OA ∵︒=∠+∠90CBF ABO ︒=∠+∠90CBF BCF ∴BCF ABO ∠=∠∴△AOB ∽△BFC ………………………2分 ∴FCFC OB BF AO 263,== ∴4=FC∴()4,8C …………………………………3分 ∵四边形ABCD 为矩形 ∴点E 为AC 的中点 由中点坐标公式得:27243,4280=+==+=E E y x ∴⎪⎭⎫⎝⎛27,4E ………………………………4分把⎪⎭⎫⎝⎛27,4E 代入x k y =得:14274=⨯=k ∴反比例函数的解析式为xy 14=; ……………………………………………5分（2）存在, ………………………………6分理由如下:对于xy 14= 令8=x ,则47=y ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛47,8G作点G 关于x 轴的对称点'G ,则点'G 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛-47,8连结'DG ,则'DG 与x 轴的交点即为GP DP +的值最小时点P 的位置,如下图所示.由中点坐标公式可得:2720,422=+=+D D y x 解之得:7,6==D D y x∴()7,6D ………………………………7分 设直线'DG 的解析式为b ax y +=把()7,6D ,⎪⎭⎫ ⎝⎛-47,8'G 分别代入b ax y +=可得:⎪⎩⎪⎨⎧-=+=+47876b a b a 解之得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=4133835b a∴直线'DG 的解析式为4133835+-=x y . ……………………………………………9分令0=y ,则04133835=+-x解之得:538=x∴⎪⎭⎫⎝⎛0,538P .……………………………10分22.（10分）如图1,在正方形ABCD 中,4=AB ,点E 在AC 上,且2=AE ,过点E 作AC EF ⊥于点E ,交AB 于点F ,连结CF 、DE . 【问题发现】（1）线段DE 与CF 的数量关系是_________,直线DE 与CF 所夹锐角的度数是_________; 【拓展探究】（2）当△AEF 绕点A 顺时针旋转时,上述结论是否成立?若成立,请写出结论,并结合图2给出证明;若不成立,请说明理由; 【解决问题】（3）在（2）的条件下,当点E 到直线AD 的距离为1时,请直接写出CF 的长. 解:（1）︒=45,2DE CF ;……………………………………………2分 提示:如图3所示.图 1FE DCBA图 2HFEDCBA图 3∵四边形ABCD 是正方形 ∴2,45=︒=∠=∠ADACDAE CAF ∵AC EF ⊥∴△AEF 为等腰直角三角形 ∴2=AE AF ,∴AD ACAE AF =∴△ACF ∽△ADE∴21,2∠=∠==AEAFDE CF ∴DE CF 2= ∵CEG AED ∠=∠ ∴︒=∠=∠45DAE G即直线DE 与CF 所夹锐角等于︒45.图 4（2）成立; ………………………………3分 理由如下:如图4所示,延长DE 交CF 于点G .在图1中,∵四边形ABCD 是正方形 ∴2,45=︒=∠=∠ADACDAE CAF ∵AC EF ⊥∴△AEF 为等腰直角三角形 ∴2=AE AF ,∴ADACAE AF =在图4中∵CAE CAF ∠+︒=∠45 CAE DAE ∠+︒=∠45 ∴DAE CAF ∠=∠∴△ACF ∽△ADE ………………………6分∴21,2∠=∠==AEAF DE CF ∴DE CF 2= …………………………7分 ∵GHC AHD ∠=∠∴︒=∠=∠45DAC DGC ………………8分 即直线DE 与CF 所夹锐角等于︒45;（3）52或132.……………………10分 提示:在图1中,作AD EM ⊥,则△AEM 为等腰直角三角形∴1222===AE EM∴314,1=-==DM AM即点E 到直线AD 的距离为1,符合题意.图 1在Rt △DEM 中,由勾股定理得:10312222=+=+=DM EM DE由（2）中的结论可知:522==DE CF ;在Rt △DEN 中求得:514,1=+===DN AN EN由勾股定理得:26512222=+=+=DN EN DE∴1322==DE CF.图 5当△AEF 旋转到图5的位置时,得10=DE ∴522==DE CF综上所述,CF 的长为52或132. 23.（11分）如图所示,已知二次函数b x ax y ++=312的图象经过点()0,3-A 和点()4,0B ,BAO ∠的平分线分别交抛物线和y 轴于点C 、D ,点P 为抛物线一动点,过点P 作x 轴的垂线交直线AC 于点E ,连结PC . （1）求二次函数的解析式;（2）当以点P 、C 、E 为顶点的三角形与△ADO 相似时,求点P 的坐标;（3）设点F 为直线AC 上一点,若ABO BFD ∠=∠21,请直接写出点F 的坐标.备用图解:（1）把()0,3-A 、()4,0B 分别代入b x ax y ++=312得: ⎩⎨⎧==+-4019b b a 解之得:⎪⎩⎪⎨⎧=-=431b a∴二次函数的解析式为431312++-=x x y ……………………………………………3分 （2）∵()0,3-A 、()4,0B ∴4,3==OB OA在Rt △AOB 中,由勾股定理得:5432222=+=+=OB OA AB如图1所示,作AB DM ⊥于点M .图 1∵AC 平分BAO ∠,AB DM ⊥,OA OD ⊥ ∴3,===MA OA DM DO ∴235=-=BM设n DM DO ==,则n BD -=4在Rt △BDM 中,由勾股定理得:222BD BM DM =+∴()22242n n -=+解之得:23=n∴⎪⎭⎫ ⎝⎛=23,0,23D DO 设直线AD 的解析式为c kx y +=把()0,3-A 、⎪⎭⎫⎝⎛23,0D 分别代入ckx y +=得:⎪⎩⎪⎨⎧==+-2303c c k ,解之得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2321c k∴直线AD 的解析式为2321+=x y ……………………………………………4分解方程2321431312+=++-x x x 得:25,321=-=x x∴⎪⎭⎫⎝⎛411,25C . ……………………………5分∵以点P 、C 、E 为顶点的三角形与△ADO 相似∴分为两种情况:①当△CPE ∽△AOD 时,如图2所示.图 2︒=∠=∠90AOD CPE∴x PC //轴 ∴411==C P y y 令411431312=++-x x 解之得:23,2521-==x x∴⎪⎭⎫⎝⎛-411,23P ; …………………………7分②当△PCE ∽△AOD 时,如图3所示.图 3︒=∠=∠90AOD PCE∴AE PC ⊥∴可设直线PC 的解析式为m x y +-=2把⎪⎭⎫⎝⎛411,25C 代入m x y +-=2得:=+-m 5411,解之得:431=m ∴直线PC 的解析式为4312+-=x y 令4312431312+-=++-x x x 解之得:29,2521==x x∴⎪⎭⎫⎝⎛-45,29P .……………………………9分综上所述,点P 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-411,23或⎪⎭⎫ ⎝⎛-45,29; （3）()5,7或()1,5--.…………………11分 提示:如图4所示.图 4以点B 为圆心,以OB 的长为半径画弧,交AB 的延长线于点M ,作y MN ⊥轴. ∴4==BM BO∴BOM MBN ABO ∠=∠=∠2 ∵OA MN // ∴△MBN ∽△ABO∴5434,====MN BN AB MB AO MN BO BN ∴512,516==MN BN∴5365164=+=ON 在Rt △MON 中31536512tan ===∠ON MN BOM∴3121tan =∠ABO ∴31tan tan 21=∠=∠D BF D BF分别作x H F AC BG ⊥⊥11,轴,x H F ⊥22轴25234=-=-=OD OB BD 在Rt △AOD 中,由勾股定理得:2532332222=⎪⎭⎫⎝⎛+=+=OD OA AD 易证:△BGD ∽△AOD∴AD BD DO DG AO BG ==,25325233==DG BG ∴25,5==DG BG Rt △G BF 1中 ∵315tan 111===∠GF GF BG D BF ∴5321==GF GF ∴5553252531=++=AF 525325532=--=AF∵11//H F OD∴111111135525323,AH H F AH AO AF AD H F OD ==== ∴10,5111==AH H F ,73101=-=OH ∴()5,71F同法求得:()1,52--F综上所述,点F 的坐标为()5,7或()1,5--.学生整理用图。
河南省开封市2019-2020学年中考数学一模考试卷含解析
河南省开封市2019-2020学年中考数学一模考试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．下列图形中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．工人师傅用一张半径为24cm，圆心角为150°的扇形铁皮做成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（）cm．A．119B．2119C．46D．1119 23．12的倒数是（）A．﹣12B．2 C．﹣2 D．124．某工厂计划生产210个零件，由于采用新技术，实际每天生产零件的数量是原计划的1.5倍，因此提前5天完成任务.设原计划每天生产零件x个，依题意列方程为（）A．21021051.5x x-=B．21021051.5x x-=-C．21021051.5x x-=+D．2102101.55x=+5．如图，在平面直角坐标系xOy中，△A B C'''由△ABC绕点P旋转得到，则点P的坐标为（）A．（0，1）B．（1，-1）C．（0，-1）D．（1，0）6．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．正五边形B．平行四边形C．矩形D．等边三角形7．如图是由5个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的俯视图是（）A．B．C．D．8．我国“神七”在2008年9月26日顺利升空，宇航员在27日下午4点30分在距离地球表面423公里的太空中完成了太空行走，这是我国航天事业的又一历史性时刻．将423公里用科学记数法表示应为（）米．A．42.3×104B．4.23×102C．4.23×105D．4.23×1069．某小组在“用频率估计概率”的试验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的试验最有可能的是（）A．在装有1个红球和2个白球（除颜色外完全相同）的不透明袋子里随机摸出一个球是“白球”B．从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红色的”C．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面朝上”D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是610．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，∠CDB=30°，⊙O的半径为3，则弦CD的长为（）A．32cm B．3cm C．23cm D．9cm11．魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术．为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法．作圆内接正多边形，当正多边形的边数不断增加时，其周长就无限接近圆的周长，进而可用正多边形的周长圆的直径来求得较为精确的圆周率．祖冲之在刘徽的基础上继续努力，当正多边形的边数增加24576时，得到了精确到小数点后七位的圆周率，这一成就在当时是领先其他国家一千多年，如图，依据“割圆术”，由圆内接正六边形算得的圆周率的近似值是（）A．0.5 B．1 C．3 D．π12．如图，A点是半圆上一个三等分点，B点是弧AN的中点，P点是直径MN上一动点，⊙O的半径为1，则AP＋BP的最小值为A．1 B．22C．2D．31二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图，在△ABC中，∠A＝60°，若剪去∠A得到四边形BCDE，则∠1＋∠2＝______．14．如图，四边形是矩形，四边形是正方形，点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上，点在上，点在反比例函数（为常数，）的图像上，正方形的面积为4，且，则值为________.15．如图，在等边△ABC中，AB=4，D是BC的中点，将△ABD绕点A旋转后得到△ACE，连接DE交AC于点F，则△AEF的面积为_______．16．已知m=444153，n=44053，那么2016m﹣n=_____．17．一个多边形，除了一个内角外，其余各角的和为2750°，则这一内角为_____度．18．如图△ABC 中，AB=AC=8，∠BAC=30°，现将△ABC 绕点A 逆时针旋转30°得到△ACD ，延长AD 、BC 交于点E ，则DE 的长是_____．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）如图1,点O 和矩形CDEF 的边CD 都在直线l 上,以点O 为圆心,以24为半径作半圆,分别交直线l 于,A B 两点.已知: 18CD =,24CF =,矩形自右向左在直线l 上平移,当点D 到达点A 时,矩形停止运动.在平移过程中,设矩形对角线DF 与半圆»AB 的交点为P (点P 为半圆上远离点B 的交点).如图2，若FD 与半圆»AB 相切，求OD 的值；如图3，当DF 与半圆»AB 有两个交点时，求线段PD 的取值范围；若线段PD 的长为20，直接写出此时OD 的值.20．（6分）某校为了解学生的安全意识情况，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，根据调查结果，把学生的安全意识分成“淡薄”、“一般”、“较强”、“很强”四个层次，并绘制成如下两幅尚不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：（1）这次调查一共抽取了 名学生，其中安全意识为“很强”的学生占被调查学生总数的百分比是 ；（2）请将条形统计图补充完整；（3）该校有1800名学生，现要对安全意识为“淡薄”、“一般”的学生强化安全教育，根据调查结果，估计全校需要强化安全教育的学生约有 名．21．（6分）如图，已知点A 、O 在直线l 上，且6AO =，OD l ⊥于O 点，且6OD =，以OD 为直径在OD 的左侧作半圆E ，AB AC ⊥于A ，且60CAO ∠=︒.若半圆E 上有一点F ，则AF 的最大值为________；向右沿直线l 平移BAC ∠得到'''B A C ∠；①如图，若''A C 截半圆E 的GH u u u r 的长为π，求'A GO ∠的度数；②当半圆E 与'''B A C ∠的边相切时，求平移距离.22．（8分）为提高节水意识，小申随机统计了自己家7天的用水量，并分析了第3天的用水情况，将得到的数据进行整理后，绘制成如图所示的统计图．（单位：升）（1）求这7天内小申家每天用水量的平均数和中位数；（2）求第3天小申家洗衣服的水占这一天总用水量的百分比；（3）请你根据统计图中的信息，给小申家提出一条合理的节约用水建议，并估算采用你的建议后小申家一个月（按30天计算）的节约用水量．23．（8分）如图，将△ABC 放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A 、点B 、点C 均落在格点上． （I ）计算△ABC 的边AC 的长为_____．（II ）点P 、Q 分别为边AB 、AC 上的动点，连接PQ 、QB ．当PQ+QB 取得最小值时，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段PQ 、QB ，并简要说明点P 、Q 的位置是如何找到的_____（不要求证明）．24．（10分）已知点E 是矩形ABCD 的边CD 上一点，BF ⊥AE 于点F ，求证△ABF ∽△EAD.25．（10分）地下停车场的设计大大缓解了住宅小区停车难的问题，如图是龙泉某小区的地下停车库坡道入口的设计示意图，其中，AB⊥BD，∠BAD＝18°，C在BD上，BC＝0.5m．根据规定，地下停车库坡道入口上方要张贴限高标志，以便告知驾驶员所驾车辆能否安全驶入．小刚认为CD的长就是所限制的高度，而小亮认为应该以CE的长作为限制的高度．小刚和小亮谁说得对？请你判断并计算出正确的限制高度．（结果精确到0.1m，参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.325）26．（12分）已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC是⊙O的直径，DE⊥AB，垂足为E（1）延长DE交⊙O于点F，延长DC，FB交于点P，如图1．求证：PC=PB；（2）过点B作BG⊥AD，垂足为G，BG交DE于点H，且点O和点A都在DE的左侧，如图2．若AB=3，DH=1，∠OHD=80°，求∠BDE的大小．27．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A（-1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，线段BC与抛物线的对称轴交于点E、P为线段BC上的一点（不与点B、C重合），过点P作PF∥y轴交抛物线于点F，连结DF．设点P的横坐标为m．（1）求此抛物线所对应的函数表达式．（2）求PF的长度，用含m的代数式表示．（3）当四边形PEDF为平行四边形时，求m的值．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．B【解析】分析：根据轴对称图形的概念求解．详解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；B、是轴对称图形，故此选项符合题意；C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；D、不是轴对称图形，故此选项不合题意；故选B．点睛：本题考查了轴对称图形，轴对称图形的判断方法：把某个图象沿某条直线折叠，如果图形的两部分能够重合，那么这个是轴对称图形．2．B【解析】分析：直接利用圆锥的性质求出圆锥的半径，进而利用勾股定理得出圆锥的高．详解：由题意可得圆锥的母线长为：24cm，设圆锥底面圆的半径为：r，则2πr=15024180π⨯，解得：r=10，222410=2119-（cm）．故选B．点睛：此题主要考查了圆锥的计算，正确得出圆锥的半径是解题关键．3．B【解析】【分析】根据乘积是1的两个数叫做互为倒数解答．【详解】解：∵12×1＝1∴12的倒数是1．故选B．【点睛】本题考查了倒数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．4．A【解析】【分析】设原计划每天生产零件x个，则实际每天生产零件为1.5x个，根据提前5天完成任务，列方程即可．【详解】设原计划每天生产零件x个，则实际每天生产零件为1.5x个，由题意得，21021051.5x x-=故选：A．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程即可．5．B【解析】试题分析：根据网格结构，找出对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心.试题解析：由图形可知，对应点的连线CC′、AA′的垂直平分线过点（0，-1），根据旋转变换的性质，点（1，-1）即为旋转中心. 故旋转中心坐标是P（1，-1）故选B.考点：坐标与图形变化—旋转.6．C【解析】分析：根据中心对称图形和轴对称图形对各选项分析判断即可得解．详解：A. 正五边形，不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误.B. 平行四边形，是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误.C. 矩形，既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项正确.D. 等边三角形，不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误.故选C.点睛：本题考查了对中心对称图形和轴对称图形的判断，我们要熟练掌握一些常见图形属于哪一类图形，这样在实际解题时，可以加快解题速度，也可以提高正确率.7．C【解析】【分析】【详解】从上面看共有2行，上面一行有3个正方形，第二行中间有一个正方形，故选C．8．C【解析】423公里=423 000米=4.23×105米．故选C．9．D【解析】【分析】根据统计图可知，试验结果在0.16附近波动，即其概率P≈0.16，计算四个选项的概率，约为0.16者即为正确答案．【详解】根据图中信息，某种结果出现的频率约为0.16，在装有1个红球和2个白球（除颜色外完全相同）的不透明袋子里随机摸出一个球是“白球”的概率为2≈0.67>0.16，故A选项不符合题意，3从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红色的”概率为1327≈0.48>0.16，故B选项不符合题意，掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面朝上”的概率是12=0.5>0.16，故C选项不符合题意，掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6的概率是16≈0.16，故D选项符合题意，故选D.【点睛】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．熟练掌握概率公式是解题关键.10．B【解析】【详解】解：∵∠CDB=30°，∴∠COB=60°，又∵OC=3，CD⊥AB于点E，∴3sin603︒==，解得CE=32cm，CD=3cm．故选B．考点：1．垂径定理；2．圆周角定理；3．特殊角的三角函数值．11．C【解析】【分析】连接OC、OD，根据正六边形的性质得到∠COD＝60°，得到△COD是等边三角形，得到OC＝CD，根据题意计算即可．【详解】连接OC、OD，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠COD＝60°，又OC＝OD，∴△COD是等边三角形，∴OC＝CD，正六边形的周长：圆的直径＝6CD：2CD＝3，故选：C．【点睛】本题考查的是正多边形和圆，掌握正多边形的中心角的计算公式是解题的关键．12．C【解析】作点A关于MN的对称点A′,连接A′B，交MN于点P，则PA+PB最小，连接OA′,AA′.∵点A与A′关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点，∴∠A′ON=∠AON=60°,PA=PA′，∵点B是弧AN∧的中点，∴∠BON=30 °，∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=90°，又∵OA=OA′=1，∴2∴2故选：C.二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．240.【解析】【详解】试题分析：∠1+∠2=180°+60°=240°．考点：1.三角形的外角性质；2.三角形内角和定理．14．-1【解析】试题分析：∵正方形ADEF的面积为4，∴正方形ADEF的边长为2，∴BF=2AF=4，AB=AF+BF=2+4=1．设B点坐标为（t，1），则E点坐标（t-2，2），∵点B、E在反比例函数y=的图象上，∴k=1t=2（t-2），解得t=-1，k=-1．考点：反比例函数系数k的几何意义．15．33 2【解析】【分析】首先，利用等边三角形的性质求得3△ADE为等边三角形，则DE=AD，便可求出EF和AF，从而得到△AEF的面积.【详解】解：∵在等边△ABC中，∠B=60º，AB=4，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=30º，∴AD=ABcos30º=4×33根据旋转的性质知，∠EAC=∠DAB=30º，AD=AE，∴∠DAE=∠EAC+∠CAD=60º，∴△ADE的等边三角形，∴3，∠AEF=60º,∵∠EAC=∠CAD∴EF=DF=132DE ，AF⊥DE∴AF=EFtan60º3×3，∴S△AEF=12EF×AF=12×3×33.故答案为：33 2.【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，熟记各性质并求出△ADE是等边三角形是解题的关键．16．1【解析】【分析】根据积的乘方的性质将m 的分子转化为以3和5为底数的幂的积，然后化简从而得到m=n ，再根据任何非零数的零次幂等于1解答.【详解】解：∵m=444153=4?444353=44053， ∴m=n ，∴2016m-n =20160=1．故答案为：1【点睛】本题考查了同底数幂的除法，积的乘方的性质，难点在于转化m 的分母并得到m=n.17．130【解析】分析：n 边形的内角和是()2180n -⋅︒，因而内角和一定是180度的倍数．而多边形的内角一定大于0，并且小于180度，因而内角和除去一个内角的值，这个值除以180度，所得数值比边数要小，小的值小于1．详解：设多边形的边数为x ，由题意有(2)1802750x o o ，-⋅= 解得51718x =， 因而多边形的边数是18，则这一内角为()1821802750130.-⨯-=o o o故答案为130点睛：考查多边形的内角和公式，熟记多边形的内角和公式是解题的关键.18．4【解析】【分析】过点C 作CH AE ⊥于H ，根据三角形的性质及三角形内角和定理可计算ACB 75∠=︒再由旋转可得，CAD BAC 30∠∠==︒，根据三角形外角和性质计算E 45∠=︒，根据含30︒角的直角三角形的三边关系得CH 和AH 的长度，进而得到DH 的长度，然后利用E 45∠=︒得到EH 与CH 的长度，于是可得DE EH DH =-.【详解】如图，过点C 作CH AE ⊥于H ，∵AB AC 8==， ∴()()11B ACB 180BAC 180307522∠∠∠==︒=︒︒=︒﹣﹣． ∵将ABC V 绕点A 逆时针旋转，使点B 落在点C 处，此时点C 落在点D 处，∴AD AB 8==， CAD BAC 30，∠∠==︒∵ACB CAD E ，∠∠∠=+∴E 753045．∠=︒-︒=︒在Rt ACH V 中，∵CAH 30∠=︒，∴1CH AC 42==， AH 3CH 43==， ∴DH AD AH 843=-=-，在Rt CEH V 中，∵E 45∠=︒，∴EH CH 4==，∴()DE EH DH 4843434=-=--=-．故答案为434-． 【点睛】本题考查三角形性质的综合应用，要熟练掌握等腰三角形的性质，含30︒角的直角三角形的三边关系，旋转图形的性质．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（1）30OD =；（2）144185PD <…；（3）8512或8512 【解析】【分析】（1）如图2，连接OP ，则DF 与半圆相切，利用△OPD ≌△FCD （AAS ），可得：OD=DF=30；（2）利用cos DH CD ODP OD FD∠==，求出72HD 5=，则144DP 2HD 5==；DF 与半圆相切，由（1）知：PD=CD=18，即可求解；（3）设PG=GH=m ，则：22OG 24m ,DG 20m,=-=-OG tan FDC DG ∠=22424m 320m-==-，求出64245m 5±=，利用DG OD cos α=，即可求解. 【详解】（1）如图，连接OP ∵FD 与半圆相切，∴OP FD ⊥，∴90OPD ︒∠=，在矩形CDEF 中，90FCD ∠=o ，∵18,24CD CF ==，根据勾股定理，得2222182430FD CD CF =+=+=在OPD ∆和FCD ∆中，9024OPD FCD ODP FDC OP CF ︒⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪==⎩∴OPD FCD ≅∆V∴30OD DF ==（2）如图，当点B 与点D 重合时，过点O 作OH DF ⊥与点H ，则2DP HD =∵cos DH CD ODP OD FD ∠== 且18,24CD OD ==，由（1）知：30DF = ∴182430DH =，∴725DH =， ∴14425DP HD DH === 当FD 与半圆相切时，由（1）知：18PD CD ==，∴144185PD <… （3）设半圆与矩形对角线交于点P 、H ，过点O 作OG ⊥DF ，则PG=GH ，244tan FDC tan 183α∠===，则3cos 5α=， 设：PG=GH=m ，则：22OG 24m ,DG 20m =-=-，22OG 424m tan FDC DG 320m-∠===-， 整理得：25m 2-640m+1216=0， 解得：64245m ±= DG 20m OD 85123cos 5α-===. 【点睛】本题考查的是圆的基本知识综合运用，涉及到直线与圆的位置关系、解直角三角形等知识，其中（3），正确画图，作等腰三角形OPH 的高OG ，是本题的关键．20．（1）120，30%；（2）作图见解析；（3）1．【解析】试题分析：(1)用安全意识分“一般”的人数除以安全意识分“一般”的人数所占的百分比即可得这次调查一共抽取的学生人数；用安全意识分“很强”的人数除以这次调查一共抽取的学生人数即可得安全意识“很强”的学生占被调查学生总数的百分比；（2）用这次调查一共抽取的学生人数乘以安全意识分“较强”的人数所占的百分比即可得安全意识分“较强”的人数，在条形统计图上画出即可；（3）用总人数乘以安全意识为“淡薄”、 “一般”的学生一共所占的百分比即可得全校需要强化安全教育的学生的人数.试题解析：(1) 12÷15%=120人；36÷120=30%； (2)120×45%=54人，补全统计图如下：(3)1800×=1人.考点：条形统计图；扇形统计图；用样本估计总体.21．（1）2（2）①75︒；②33【解析】【分析】（1）由图可知当点F 与点D 重合时，AF 最大，根据勾股定理即可求出此时AF 的长； （2）①连接EG 、EH ．根据¼GH 的长为π可求得∠GEH=60°，可得△GEH 是等边三角形，根据等边三角形的三个角都等于60°得出∠HGE=60°，可得EG//A'O ，求得∠GEO=90°，得出△GEO 是等腰直角三角形，求得∠EGO=45°，根据平角的定义即可求出∠A'GO 的度数；②分C'A'与半圆相切和B'A'与半圆相切两种情况进行讨论，利用切线的性质、勾股定理、切斜长定理等知识进行解答即可得出答案．【详解】解：（1）当点F 与点D 重合时，AF 最大，AF 最大22OA OD +2 故答案为：62（2）①连接EG 、EH .∵¼3180GEH GH ππ∠=⨯⨯=， ∴60GEH ∠=︒.∵GE GH =，∴GEH ∆是等边三角形，∴60HGE EHG ∠=∠=︒.∵''60C A O HGE ∠=︒=∠，∴//'EG A O ，∴'180GEO EOA ∠+∠=︒，∵'90EOA ∠=︒，∴90GEO ∠=︒，∵GE EO =，∴45EGO EOG ∠=∠=︒，∴'75A GO ∠=︒.②当''C A 切半圆E 于Q 时，连接EQ ，则'90EQA ∠=︒.∵'90EOA ∠=︒，∴'A O 切半圆E 于O 点，∴''30EA O EA Q ∠=∠=︒.∵3OE =， ∴'33A O =， ∴平移距离为'633AA =-当''B A 切半圆E 于N 时，连接EN 并延长l 于P 点，∵''150OA B ∠=︒，'90ENA ∠=︒，'90EOA ∠=︒，∴30PEO ∠=︒，∵3OE =， ∴23EP =∵3EN =， ∴33NP =，∵'30NA P ∠=︒， ∴'633A N =-∵''633A O A N ==- ∴'33A A =【点睛】本题主要考查了弧长公式、勾股定理、切线的性质，作出过切点的半径构造出直角三角形是解决此题的关键．22．（1）平均数为800升，中位数为800升；（2）12.5%；（3）小申家冲厕所的用水量较大，可以将洗衣服的水留到冲厕所，采用以上建议，一个月估计可以节约用水3000升．【解析】试题分析：（1）根据平均数和中位数的定义求解可得；（2）用洗衣服的水量除以第3天的用水总量即可得；（3）根据条形图给出合理建议均可，如：将洗衣服的水留到冲厕所．试题解析：解：（1）这7天内小申家每天用水量的平均数为（815+780+800+785+790+825+805）÷7=800（升），将这7天的用水量从小到大重新排列为：780、785、790、800、805、815、825，∴用水量的中位数为800升；（2）100800×100%=12.5%．答：第3天小申家洗衣服的水占这一天总用水量的百分比为12.5%；（3）小申家冲厕所的用水量较大，可以将洗衣服的水留到冲厕所，采用以上建议，每天可节约用水100升，一个月估计可以节约用水100×30=3000升．235作线段AB关于AC的对称线段AB′，作BQ′⊥AB′于Q′交AC于P，作PQ⊥AB于Q，此时PQ+QB的值最小【解析】【分析】（1）利用勾股定理计算即可；（2）作线段AB关于AC的对称线段AB′，作BQ′⊥AB′于Q′交AC于P，作PQ⊥AB于Q，此时PQ+QB 的值最小．【详解】解：（1）221+255（2）作线段AB关于AC的对称线段AB′，作BQ′⊥AB′于Q′交AC于P，作PQ⊥AB于Q，此时PQ+QB的值最小．故答案为作线段AB 关于AC 的对称线段AB′，作BQ′⊥AB′于Q′交AC 于P ，作PQ ⊥AB 于Q ，此时PQ+QB 的值最小．【点睛】本题考查作图-应用与设计，勾股定理，轴对称-最短问题，垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用轴对称，根据垂线段最短解决最短问题，属于中考常考题型．24．证明见解析【解析】试题分析：先利用等角的余角相等得到.DAE BAF ∠=∠根据有两组角对应相等，即可证明两三角形相似. 试题解析：∵四边形ABCD 为矩形，90,BAD D ∴∠=∠=o90DAE BAE ∴∠+∠=o ，BF AE ⊥Q 于点F ，90ABF BAE ∴∠+∠=o ，DAE BAF ∴∠=∠，.ABF EAD ∴V V ∽点睛：两组角对应相等，两三角形相似.25．小亮说的对，CE 为2.6m ．【解析】【分析】先根据CE ⊥AE,判断出CE 为高,再根据解直角三角形的知识解答．【详解】解：在△ABD 中,∠ABD ＝90°,∠BAD ＝18°,BA ＝10m, ∵tan ∠BAD ＝，∴BD ＝10×tan18°,∴CD ＝BD ﹣BC ＝10×tan18°﹣0.5≈2.7（m ）,在△ABD 中,∠CDE ＝90°﹣∠BAD ＝72°, ∵CE ⊥ED,∴sin∠CDE＝,∴CE＝sin∠CDE×CD＝sin72°×2.7≈2.6（m）,∵2.6m＜2.7m,且CE⊥AE,∴小亮说的对．答：小亮说的对,CE为2.6m．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用,主要是正弦、正切概念及运算,解决本题的关键把实际问题转化为数学问题.26．（1）详见解析；（2）∠BDE=20°．【解析】【分析】（1）根据已知条件易证BC∥DF，根据平行线的性质可得∠F=∠PBC；再利用同角的补角相等证得∠F=∠PCB，所以∠PBC=∠PCB，由此即可得出结论；（2）连接OD，先证明四边形DHBC是平行四边形，根据平行四边形的性质可得BC=DH=1，在Rt△ABC中，用锐角三角函数求出∠ACB=60°，进而判断出DH=OD，求出∠ODH=20°，再求得∠NOH=∠DOC=40°，根据三角形外角的性质可得∠OAD=12∠DOC=20°，最后根据圆周角定理及平行线的性质即可求解．【详解】（1）如图1，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC=90°，∵DE⊥AB，∴∠DEA=90°，∴∠DEA=∠ABC，∴BC∥DF，∴∠F=∠PBC，∵四边形BCDF是圆内接四边形，∴∠F+∠DCB=180°，∵∠PCB+∠DCB=180°，∴∠F=∠PCB，∴∠PBC=∠PCB，∴PC=PB；（2）如图2，连接OD，∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ADC=90°，∵BG ⊥AD ，∴∠AGB=90°，∴∠ADC=∠AGB ，∴BG ∥DC ，∵BC ∥DE ，∴四边形DHBC 是平行四边形，∴BC=DH=1，在Rt △ABC 中，3tan ∠ACB=3AB BC ∴∠ACB=60°，∴BC=12AC=OD ， ∴DH=OD ，在等腰△DOH 中，∠DOH=∠OHD=80°，∴∠ODH=20°，设DE 交AC 于N ，∵BC ∥DE ，∴∠ONH=∠ACB=60°，∴∠NOH=180°﹣（∠ONH+∠OHD ）=40°，∴∠DOC=∠DOH ﹣∠NOH=40°，∵OA=OD ，∴∠OAD=12∠DOC=20°， ∴∠CBD=∠OAD=20°，∵BC ∥DE ，∴∠BDE=∠CBD=20°．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，解决第（2）问，作出辅助线，求得∠ODH=20°是解决本题的关键.27．（1）y=-x 2+2x+1；（2）-m 2+1m ．（1）2.【解析】【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据自变量与函数值的对应关系，可得C 点坐标，根据平行于y 轴的直线上两点之间的距离是较大的纵坐标减较的纵坐标，可得答案；（1）根据自变量与函数值的对应关系，可得F 点坐标，根据平行于y 轴的直线上两点之间的距离是较大的纵坐标减较的纵坐标，可得DE 的长，根据平行四边形的对边相等，可得关于m 的方程，根据解方程，可得m 的值．【详解】解：（1）∵点A （-1，0），点B （1，0）在抛物线y=-x 2+bx+c 上，∴10{930b c b c -++=-++=，解得23b c =⎧⎨=⎩， 此抛物线所对应的函数表达式y=-x 2+2x+1；（2）∵此抛物线所对应的函数表达式y=-x 2+2x+1，∴C （0，1）．设BC 所在的直线的函数解析式为y=kx+b ，将B 、C 点的坐标代入函数解析式，得303k b b +=⎧⎨=⎩，解得1{3k b =-=， 即BC 的函数解析式为y=-x+1．由P 在BC 上，F 在抛物线上，得P （m ，-m+1），F （m ，-m 2+2m+1）．PF=-m 2+2m+1-（-m+1）=-m 2+1m ．（1）如图，∵此抛物线所对应的函数表达式y=-x 2+2x+1，∴D（1，4）．∵线段BC与抛物线的对称轴交于点E，当x=1时，y=-x+1=2，∴E（1，2），∴DE=4-2=2．由四边形PEDF为平行四边形，得PF=DE，即-m2+1m=2，解得m1=1，m2=2．当m=1时，线段PF与DE重合，m=1（不符合题意，舍）．当m=2时，四边形PEDF为平行四边形．考点：二次函数综合题．。
河南省开封市2020年数学中考一模试卷B卷
河南省开封市2020年数学中考一模试卷B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共6题；共12分)1. （2分）已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB=α，AC=7，那么BC为（）A . 7sinαB . 7cosαC . 7tanαD . 7cotα2. （2分） (2020九上·慈溪月考) 抛物线y=-2(x+3)2的顶点在（）A . x轴正半轴上B . x轴负半轴上C . y轴正半轴上D . y轴负半轴上3. （2分） (2020九上·南山期中) 如图，直线l1 l2 l3 ，分别交直线m、n于点A、B、C、D、E、F ．若AB∶BC＝5∶3，DE＝15，则EF的长为（）A . 6B . 9C . 10D . 254. （2分） (2019九上·海淀月考) 如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，若C1为OC 的中点，AB＝4，则A1B1的长为（）A . 1B . 2C . 4D . 85. （2分）已知两圆的半径分别为3cm和2cm，圆心距为5cm，则两圆的位置关系是（）．A . 外离B . 外切C . 相交D . 内切6. （2分） (2018九上·大洼月考) 如图，梯形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，G是BD的中点，若AD=3，BC=9，则GO：BG=（）A . 1：3B . 2：3C . 1：2D . 1：9二、填空题 (共12题；共12分)7. （1分） (2018九上·高碑店月考) 如果C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则有比例线段________8. （1分）(2019·高安模拟) 计算：(- )0+2-1=________．9. （1分）(2020·虹口模拟) 如果a：b＝2：3，且a+b＝10，那么a＝________．10. （1分） (2019九上·龙湾期中) 二次函数经过和，则当 ________时，函数取到最小值．11. （1分） (2020九上·舞钢期末) 把抛物线沿着轴向左平移3个单位得到的抛物线关系式是________.12. （1分）老师给出一个函数,甲,乙,丙,丁四位同学各指出这个函数的一个性质:甲:函数的图像不经过第三象限；乙：函数的图像经过第一象限；丙：当x＜2时，y随x的增大而减小；丁：当x＜2时，y＞0；已知这四位同学叙述都正确，请构造出满足上述所有性质的一个函数________ .13. （1分） (2019八上·鄞州期中) 如图，已知所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中A，B，C，D四个小正方形的面积之和等于8，则最大正方形的边长为________．14. （1分） (2016八上·阳新期中) 如图，在△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，它们相交于点G，AD 与BF相交于点H，∠BAC=50°，∠C=70°，则∠AHB=________．15. （1分）如右上图图，△ABC是⊙O的内接正三角形，⊙O的半径为3，则图中阴影部分的面积是________．16. （1分）如图，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地砖，地毯的长度至少需________米（精确到0.1米）．17. （1分）如图，在网格（每个小正方形的边长均为1）中选取9个格点（格线的交点称为格点），如果以A 为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为________．18. （1分） (2019九上·长春月考) 如图，在边长为3的菱形ABCD中，点E在边CD上，点F为BE延长线与AD延长线的交点．若DE=1，则DF的长为________．三、解答题 (共7题；共80分)19. （10分） (2019八下·温岭期末) 计算：（1）（2）20. （10分） (2019九上·长春月考) 如图，在△ABC中，DE∥AC，DF∥AE，BD：DA＝3：2，BF＝6，DF＝8，（1）求EF的长；（2）求EA的长．21. （15分）(2018·盘锦) 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在线段AB上，以AD为直径的⊙O与BC 相交于点E，与AC相交于点F，∠B=∠BAE=30°．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若AC=3，求⊙O的半径r；（3）在（1）的条件下，判断以A、O、E、F为顶点的四边形为哪种特殊四边形，并说明理由．22. （5分） (2020九下·霍林郭勒月考) 如图，在一笔直的海岸线L上有相距2km的A，B两个观测站，B站在A站的正东方向上，从A站测得船C在北偏东60°的方向上，从B站测得船C在北偏东30°的方向上，则船C 到海岸线l的距离是多少km？23. （15分）(2018·舟山) 已知，△ABC中，∠B=∠C，P是BC边上一点，作∠CPE=∠BPF，分别交边AC，AB于点E，F。
2020年开封市一模考试数学试卷简版答案
2020年开封市一模考试数学试卷
参考答案
一、选择题 1 2
3 4 5 6 7 8 9 10 D B
A C
B
C
D B A C 二、填空题
11. -3
12. k ＜-2
13. 1.5
14. 24123- 15. 2或3
三、解答题
16. （1）化简为a +2；原式=5．
17. （1）800；
（2）选择选项B 的人数280，选项C 的人数160，补图略；
（3）126°；
（4）估计喜欢自学的学生人数约为7.2万人．
18. （1）证明略；
（2）①45；②60°．
19. 旗杆的高度约为15.9米．
20. （1）甲型号汽车每辆的进价为6.5万元，乙型号汽车每辆的进价为4万元；
（2）当购进甲型号汽车33辆，乙型号汽车67辆时，获得利润最大，最大利润为196.5万元．
21. （1）反比例函数的解析式为14y x =； （2）存在，点P 的坐标为(
385
，0)． 22. （1）CF =2DE ；45°；
（2）结论仍然成立，结论为CF =2DE ，直线DE 与CF 所夹锐角的度数是45°，证明略；
（3）CF 的长为25或213．
23. （1）211433
y x x =-++； （2）点P 的坐标为(32-，114)或(92，54-)； （3）点F 的坐标(7，5)或(-5，-1)．。
2020年河南省中考数学一模试卷(解析版)
2020年河南省中考数学一模试卷一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的）1．（3分）下列各数中，最大的数是（）A．﹣B．C．0D．﹣22．（3分）据统计，今年“五一”小长假期间，我市约有26.8万人次游览了植物园和动物园，则数据26.8万用科学记数法表示正确的是（）A．268×103B．26.8×104C．2.68×105D．0.268×106 3．（3分）如图是将正方体切去一个角后形成的几何体，则该几何体的左视图为（）A．B．C．D．4．（3分）下列计算正确的是（）A．a3+a3＝a6B．（x﹣3）2＝x2﹣9C．a3•a3＝a6D．5．（3分）下表是某校合唱团成员的年龄分布对于不同的x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（）A．平均数、中位数B．众数、中位数C．平均数、方差D．中位数、方差6．（3分）若关于x的方程kx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞﹣1B．k＜﹣1C．k≥﹣1且k≠0D．k＞﹣1且k≠0 7．（3分）系统找不到该试题8．（3分）阿信、小怡两人打算搭乘同一班次电车上学，若此班次电车共有5节车厢，且阿信从任意一节车厢上车的机会相等，小怡从任意一节车厢上车的机会相等，则两人从同一节车厢上车的概率为何（）A．B．C．D．9．（3分）如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于点M、N；②作直线MN交AB于点D，连接CD，若CD＝AD，∠B＝20°，则下列结论中错误的是（）A．∠CAD＝40°B．∠ACD＝70°C．点D为△ABC的外心D．∠ACB＝90°10．（3分）在Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，∠B＝60°，BC＝2cm，动点E从点A 出发沿AB向点B运动，动点F从点D出发，沿折线D﹣C﹣B运动，两点的速度均为1cm/s，到达终点均停止运动，设AE的长为x，△AEF的面积为y，则y与x的图象大致为（）A．B．C．D．二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）若，则x2+2x+1＝．12．（3分）已知反比例函数y＝，当x＞0时，y随x增大而减小，则m的取值范围是．13．（3分）不等式组有2个整数解，则实数a的取值范围是．14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AC＝，分别以点A，B 为圆心，AC，BC的长为半径画弧，交AB于点D，E，则图中阴影部分的面积是．15．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝3，点M为AB边上一点，AM＝2，点N为AD边上的一动点，沿MN将△AMN翻折，点A落在点P处，当点P在菱形的对角线上时，AN的长度为．三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16．（8分）先化简，再求值：÷（﹣x+1），其中x＝sin30°+2﹣1+．17．（9分）如图，△ABC内接于圆O，且AB＝AC，延长BC到点D，使CD＝CA，连接AD交圆O于点E．（1）求证：△ABE≌△CDE；（2）填空：①当∠ABC的度数为时，四边形AOCE是菱形．②若AE＝，AB＝2，则DE的长为．18．（9分）为更精准地关爱留守学生，某学校将留守学生的各种情形分成四种类型：A．由父母一方照看；B．由爷爷奶奶照看；C．由叔姨等近亲照看；D．直接寄宿学校．某数学小组随机调查了一个班级，发现该班留守学生数量占全班总人数的20%，并将调查结果制成如下两幅不完整的统计图．（1）该班共有名留守学生，B类型留守学生所在扇形的圆心角的度数为；（2）将条形统计图补充完整；（3）已知该校共有2400名学生，现学校打算对D类型的留守学生进行手拉手关爱活动，请你估计该校将有多少名留守学生在此关爱活动中受益？19．（9分）如图，某小区有甲、乙两座楼房，楼间距BC为50米，在乙楼顶部A点测得甲楼顶部D点的仰角为37°，在乙楼底部B点测得甲楼顶部D点的仰角为60°，则甲、乙两楼的高度为多少？（结果精确到1米，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）20．（9分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABO的边AB垂直于x轴，垂足为点B，反比例函数y＝（x＜0）的图象经过AO的中点C，交AB于点D．若点D 的坐标为（﹣4，n），且AD＝3．（1）求反比例函数y＝的表达式；（2）求经过C、D两点的直线所对应的函数解析式；（3）设点E是线段CD上的动点（不与点C、D重合），过点E且平行y轴的直线l与反比例函数的图象交于点F，求△OEF面积的最大值．21．（10分）当今，越来越多的青少年在观看影片《流浪地球》后，更加喜欢同名科幻小说，该小说销量也急剧上升．书店为满足广大顾客需求，订购该科幻小说若干本，每本进价为20元．根据以往经验：当销售单价是25元时，每天的销售量是250本；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10本，书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元．（1）直接写出书店销售该科幻小说时每天的销售量y（本）与销售单价x（元）之间的函数关系式及自变量的取值范围．（2）书店决定每销售1本该科幻小说，就捐赠a（0＜a≤6）元给困难职工，每天扣除捐赠后可获得最大利润为1960元，求a的值．22．（10分）【问题提出】在△ABC中，AB＝AC≠BC，点D和点A在直线BC的同侧，BD＝BC，∠BAC＝α，∠DBC＝β，且α+β＝120°，连接AD，求∠ADB的度数．（不必解答）【特例探究】小聪先从特殊问题开始研究，当α＝90°，β＝30°时，利用轴对称知识，以AB为对称轴构造△ABD的轴对称图形△ABD′，连接CD′（如图2），然后利用α＝90°，β＝30°以及等边三角形等相关知识便可解决这个问题．请结合小聪研究问题的过程和思路，在这种特殊情况下填空：△D′BC的形状是三角形；∠ADB的度数为．【问题解决】在原问题中，当∠DBC＜∠ABC（如图1）时，请计算∠ADB的度数；【拓展应用】在原问题中，过点A作直线AE⊥BD，交直线BD于E，其他条件不变若BC＝7，AD＝2．请直接写出线段BE的长为．23．（11分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y 轴交于点C，且过点D（2，﹣3）．点P、Q是抛物线y＝ax2+bx+c上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在直线OD下方时，求△POD面积的最大值．（3）直线OQ与线段BC相交于点E，当△OBE与△ABC相似时，求点Q的坐标．2020年河南省中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的）1．（3分）下列各数中，最大的数是（）A．﹣B．C．0D．﹣2【分析】比较确定出最大的数即可．【解答】解：﹣2＜﹣＜0＜，则最大的数是，故选：B．【点评】此题考查了有理数大小比较，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．（3分）据统计，今年“五一”小长假期间，我市约有26.8万人次游览了植物园和动物园，则数据26.8万用科学记数法表示正确的是（）A．268×103B．26.8×104C．2.68×105D．0.268×106【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将26.8万用科学记数法表示为：2.68×105．故选：C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．（3分）如图是将正方体切去一个角后形成的几何体，则该几何体的左视图为（）A．B．C．D．【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在视图中．【解答】解：从左面看所得到的图形是正方形，切去部分的棱能看到，用实线表示，故选：C．【点评】本题考查了三视图的知识，掌握主视图是从物体的正面看得到的视图，左视图是从物体的左面看得到的视图，俯视图是从物体的上面看得到的视图是解题的关键．4．（3分）下列计算正确的是（）A．a3+a3＝a6B．（x﹣3）2＝x2﹣9C．a3•a3＝a6D．【分析】直接利用合并同类项法则以及完全平方公式和同底数幂的乘除运算法则分别计算得出答案．【解答】解：A、a3+a3＝2a3，故此选项错误；B、（x﹣3）2＝x2﹣6x+9，故此选项错误；C、a3•a3＝a6，正确；D、+无法计算，故此选项错误．故选：C．【点评】此题主要考查了合并同类项以及完全平方公式和同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．5．（3分）下表是某校合唱团成员的年龄分布对于不同的x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（）A．平均数、中位数B．众数、中位数C．平均数、方差D．中位数、方差【分析】由频数分布表可知后两组的频数和为10，即可得知总人数，结合前两组的频数知出现次数最多的数据及第15、16个数据的平均数，可得答案．【解答】解：由表可知，年龄为15岁与年龄为16岁的频数和为x+10﹣x＝10，则总人数为：5+15+10＝30，故该组数据的众数为14岁，中位数为：＝14岁，即对于不同的x，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数，故选：B．【点评】本题主要考查频数分布表及统计量的选择，由表中数据得出数据的总数是根本，熟练掌握平均数、中位数、众数及方差的定义和计算方法是解题的关键．6．（3分）若关于x的方程kx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞﹣1B．k＜﹣1C．k≥﹣1且k≠0D．k＞﹣1且k≠0【分析】根据△的意义得到k≠0且△＝4﹣4k×（﹣1）＞0，然后求出两不等式的公共部分即可．【解答】解：∵x的方程kx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，∴k≠0且△＝4﹣4k×（﹣1）＞0，解得k＞﹣1，∴k的取值范围为k＞﹣1且k≠0．故选：D．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．7．（3分）系统找不到该试题8．（3分）阿信、小怡两人打算搭乘同一班次电车上学，若此班次电车共有5节车厢，且阿信从任意一节车厢上车的机会相等，小怡从任意一节车厢上车的机会相等，则两人从同一节车厢上车的概率为何（）A．B．C．D．【分析】根据阿信、小怡各有5节车厢可选择，共有25种，两人在不同车厢的情况数是20种，得出在同一节车厢上车的情况数是5种，根据概率公式即可得出答案．【解答】解：二人上5节车厢的情况数是：5×5＝25，两人在不同车厢的情况数是5×4＝20，则两人从同一节车厢上车的概率是＝；故选：B．【点评】此题主要考查了概率的求法．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．9．（3分）如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于点M、N；②作直线MN交AB于点D，连接CD，若CD＝AD，∠B＝20°，则下列结论中错误的是（）A．∠CAD＝40°B．∠ACD＝70°C．点D为△ABC的外心D．∠ACB＝90°【分析】由题意可知直线MN是线段BC的垂直平分线，故BN＝CN，∠B＝∠C，故可得出∠CDA的度数，根据CD＝AD可知∠DCA＝∠CAD，故可得出∠CAD的度数，进而可得出结论．【解答】解：∵由题意可知直线MN是线段BC的垂直平分线，∴BD＝CD，∠B＝∠BCD，∵∠B＝20°，∴∠B＝∠BCD＝20°，∴∠CDA＝20°+20°＝40°．∵CD＝AD，∴∠ACD＝∠CAD＝＝70°，∴A错误，B正确；∵CD＝AD，BD＝CD，∴CD＝AD＝BD，∴点D为△ABC的外心，故C正确；∵∠ACD＝70°，∠BCD＝20°，∴∠ACB＝70°+20°＝90°，故D正确．故选：A．【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．10．（3分）在Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，∠B＝60°，BC＝2cm，动点E从点A 出发沿AB向点B运动，动点F从点D出发，沿折线D﹣C﹣B运动，两点的速度均为1cm/s，到达终点均停止运动，设AE的长为x，△AEF的面积为y，则y与x的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】根据题意找到临界点，E、F分别同时到达D、C，画出一般图形利用锐角三角函数表示y即可．【解答】解：在Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，∠B＝60°，BC＝2cm，∴AD＝DC＝DB＝2，∠CDB＝60°∵EF两点的速度均为1cm/s∴当0≤x≤2时，y＝当2≤x≤4时，y＝由图象可知A正确故选：A．【点评】本题为动点问题可函数图象探究题，考查了二次函数图象和锐角三角函数函数的应用，解答关键是分析动点到达临界点前后图形的变化．二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）若，则x2+2x+1＝2．【分析】首先把所求的式子化成＝（x+1）2的形式，然后代入求值．【解答】解：原式＝（x+1）2，当x＝﹣1时，原式＝（）2＝2．【点评】本题考查了二次根式的化简求值，正确对所求式子进行变形是关键．12．（3分）已知反比例函数y＝，当x＞0时，y随x增大而减小，则m的取值范围是m＞2．【分析】根据反比例函数y＝，当x＞0时，y随x增大而减小，可得出m﹣2＞0，解之即可得出m的取值范围．【解答】解：∵反比例函数y＝，当x＞0时，y随x增大而减小，∴m﹣2＞0，解得：m＞2．故答案为：m＞2．【点评】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质找出m﹣2＞0是解题的关键．13．（3分）不等式组有2个整数解，则实数a的取值范围是8≤a＜13．【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围．【解答】解：解不等式3x﹣5＞1，得：x＞2，解不等式5x﹣a≤12，得：x≤，∵不等式组有2个整数解，∴其整数解为3和4，则4≤＜5，解得：8≤a＜13，故答案为：8≤a＜13．【点评】本题考查解不等式组及不等组的整数解，正确解出不等式组的解集，确定a的范围是解决本题的关键．14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AC＝，分别以点A，B为圆心，AC，BC的长为半径画弧，交AB于点D，E，则图中阴影部分的面积是﹣．【分析】根据题意和图形可知阴影部分的面积是扇形BCE 与扇形ACD 的面积之和与Rt △ABC 的面积之差．【解答】解：∵在Rt △ABC ，∠C ＝90°，∠A ＝30°，AC ＝， ∴∠B ＝60°，BC ＝tan30°×AC ＝1，阴影部分的面积S ＝S 扇形BCE +S 扇形ACD ﹣S △ACB ＝+﹣＝﹣，故答案为：﹣． 【点评】本题考查扇形面积的计算、含30°角的直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．15．（3分）如图，在菱形ABCD 中，∠A ＝60°，AB ＝3，点M 为AB 边上一点，AM ＝2，点N 为AD 边上的一动点，沿MN 将△AMN 翻折，点A 落在点P 处，当点P 在菱形的对角线上时，AN 的长度为 2或5﹣ ．【分析】分两种情况：①当点P 在菱形对角线AC 上时，由折叠的性质得：AN ＝PN ，AM ＝PM ，证出∠AMN ＝∠ANM ＝60°，得出AN ＝AM ＝2；②当点P 在菱形对角线BD 上时，设AN ＝x ，由折叠的性质得：PM ＝AM ＝2，PN ＝AN＝x ，∠MPN ＝∠A ＝60°，求出BM ＝AB ﹣AM ＝1，证明△PDN ∽△MBP ，得出＝＝，求出PD ＝x ，由比例式＝，求出x 的值即可．【解答】解：分两种情况：①当点P 在菱形对角线AC 上时，如图1所示：：由折叠的性质得：AN ＝PN ，AM ＝PM ，∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，∴∠PAM＝∠PAN＝30°，∴∠AMN＝∠ANM＝90°﹣30°＝60°，∴AN＝AM＝2；②当点P在菱形对角线BD上时，如图2所示：设AN＝x，由折叠的性质得：PM＝AM＝2，PN＝AN＝x，∠MPN＝∠A＝60°，∵AB＝3，∴BM＝AB﹣AM＝1，∵四边形ABCD是菱形，∴∠ADC＝180°﹣60°＝120°，∠PDN＝∠MBP＝∠ADC＝60°，∵∠BPN＝∠BPM+60°＝∠DNP+60°，∴∠BPM＝∠DNP，∴△PDN∽△MBP，∴＝＝，即＝＝，∴PD＝x，∴＝x解得：x＝5﹣或x＝5+（不合题意舍去），∴AN＝5﹣，综上所述，AN的长为2或5﹣；故答案为：2或5﹣．【点评】本题考查了翻折变换的性质、菱形的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定以及分类讨论等知识；熟练掌握翻折变换的性质，证明三角形相似是关键．三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16．（8分）先化简，再求值：÷（﹣x+1），其中x＝sin30°+2﹣1+．【分析】根据分式的运算法则以及实数的运算法则即可求出答案．【解答】解：当x＝sin30°+2﹣1+时，∴x＝++2＝3原式＝÷＝＝﹣5【点评】本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．17．（9分）如图，△ABC内接于圆O，且AB＝AC，延长BC到点D，使CD＝CA，连接AD交圆O于点E．（1）求证：△ABE≌△CDE；（2）填空：①当∠ABC的度数为60°时，四边形AOCE是菱形．②若AE＝，AB＝2，则DE的长为．【分析】（1）根据AAS证明两三角形全等；（2）①先证明∠AOC＝∠AEC＝120°，∠OAE＝∠OCE＝60°，可得▱AOCE，由OA ＝OC可得结论；②由△ABE≌△CDE知AE＝CE＝，AB＝CD＝2，证△DCE∽△DAB得＝，据此求解即可．【解答】解：（1）∵AB＝AC，CD＝CA，∴∠ABC＝∠ACB，AB＝CD，∵四边形ABCE是圆内接四边形，∴∠ECD＝∠BAE，∠CED＝∠ABC，∵∠ABC＝∠ACB＝∠AEB，∴∠CED＝∠AEB，∴△ABE≌△CDE（AAS）；（2）①当∠ABC的度数为60°时，四边形AOCE是菱形；理由是：连接AO、OC，∵四边形ABCE是圆内接四边形，∴∠ABC+∠AEC＝180°，∵∠ABC＝60，∴∠AEC＝120°＝∠AOC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝30°，∵AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∵∠ACB＝∠CAD+∠D，∵AC＝CD，∴∠CAD＝∠D＝30°，∴∠ACE＝180°﹣120°﹣30°＝30°，∴∠OAE＝∠OCE＝60°，∴四边形AOCE是平行四边形，∵OA＝OC，∴▱AOCE是菱形；②∵△ABE≌△CDE，∴AE＝CE＝，AB＝CD＝2，∵∠DCE＝∠DAB，∠D＝∠D，∴△DCE∽△DAB，∴＝，即＝，解得DE＝，故答案为：．【点评】本题是圆的综合题，考查了等腰三角形的性质、等边三角形的性质和判定、三角形相似和全等的性质和判定、四点共圆的性质、菱形的判定等知识，难度适中，正确判断圆中角的关系是关键．18．（9分）为更精准地关爱留守学生，某学校将留守学生的各种情形分成四种类型：A．由父母一方照看；B．由爷爷奶奶照看；C．由叔姨等近亲照看；D．直接寄宿学校．某数学小组随机调查了一个班级，发现该班留守学生数量占全班总人数的20%，并将调查结果制成如下两幅不完整的统计图．（1）该班共有10名留守学生，B类型留守学生所在扇形的圆心角的度数为144；（2）将条形统计图补充完整；（3）已知该校共有2400名学生，现学校打算对D类型的留守学生进行手拉手关爱活动，请你估计该校将有多少名留守学生在此关爱活动中受益？【分析】（1）依据C类型的人数以及百分比，即可得到该班留守的学生数量，依据B 类型留守学生所占的百分比，即可得到其所在扇形的圆心角的度数；（2）依据D类型留守学生的数量，即可将条形统计图补充完整；（3）依据D类型的留守学生所占的百分比，即可估计该校将有多少名留守学生在此关爱活动中受益．【解答】解：（1）2÷20%＝10（人），×100%×360°＝144°，故答案为：10，144；（2）10﹣2﹣4﹣2＝2（人），如图所示：（3）2400××20%＝96（人），答：估计该校将有96名留守学生在此关爱活动中受益．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．19．（9分）如图，某小区有甲、乙两座楼房，楼间距BC为50米，在乙楼顶部A点测得甲楼顶部D点的仰角为37°，在乙楼底部B点测得甲楼顶部D点的仰角为60°，则甲、乙两楼的高度为多少？（结果精确到1米，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）【分析】作AE⊥CD于E．则四边形ABCE是矩形．解直角三角形分别求出CD，DE即可解决问题．【解答】解：作AE⊥CD于E．则四边形ABCE是矩形．在Rt△BCD中，CD＝BC•tan60°＝50×≈87（米），在Rt△ADE中，∵DE＝AE•tan37°＝50×0.75≈38（米），∴AB＝CE＝CD﹣DE＝87﹣38＝49（米）．答：甲、乙两楼的高度分别为87米，49米．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．20．（9分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABO的边AB垂直于x轴，垂足为点B，反比例函数y＝（x＜0）的图象经过AO的中点C，交AB于点D．若点D 的坐标为（﹣4，n），且AD＝3．（1）求反比例函数y＝的表达式；（2）求经过C、D两点的直线所对应的函数解析式；（3）设点E是线段CD上的动点（不与点C、D重合），过点E且平行y轴的直线l与反比例函数的图象交于点F，求△OEF面积的最大值．【分析】（1）先确定出点A坐标，进而得出点C坐标，将点C，D坐标代入反比例函数中即可得出结论；（2）由n＝1，求出点C，D坐标，利用待定系数法即可得出结论；（3）设出点E坐标，进而表示出点F坐标，即可建立面积与m的函数关系式即可得出结论．【解答】解：（1）∵AD＝3，D（﹣4，n），∴A（﹣4，n+3），∵点C是OA的中点，∴C（﹣2，），∵点C，D（﹣4，n）在双曲线y＝上，∴，∴，∴反比例函数解析式为y＝﹣；②由①知，n＝1，∴C（﹣2，2），D（﹣4，1），设直线CD的解析式为y＝ax+b，∴，∴，∴直线CD的解析式为y＝x+3；（3）如图，由（2）知，直线CD的解析式为y＝x+3，设点E（m，m+3），由（2）知，C（﹣2，2），D（﹣4，1），∴﹣4＜m＜﹣2，∵EF∥y轴交双曲线y＝﹣于F，∴F（m，﹣），∴EF＝m+3+，＝（m+3+）×（﹣m）＝﹣（m2+3m+4）＝﹣（m+3）2+，∴S△OEF∵﹣4＜m＜﹣2，最大，最大值为．∴m＝﹣3时，S△OEF【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，线段的中点坐标公式，解与m的函数关系式．本题的关键是建立S△OEF21．（10分）当今，越来越多的青少年在观看影片《流浪地球》后，更加喜欢同名科幻小说，该小说销量也急剧上升．书店为满足广大顾客需求，订购该科幻小说若干本，每本进价为20元．根据以往经验：当销售单价是25元时，每天的销售量是250本；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10本，书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元．（1）直接写出书店销售该科幻小说时每天的销售量y（本）与销售单价x（元）之间的函数关系式及自变量的取值范围．（2）书店决定每销售1本该科幻小说，就捐赠a（0＜a≤6）元给困难职工，每天扣除捐赠后可获得最大利润为1960元，求a的值．【分析】（1）根据题意列函数关系式即可；（2）设每天扣除捐赠后可获得利润为w 元．根据题意得到w ＝（x ﹣20﹣a ）（﹣10x +500）＝﹣10x 2+（10a +700）x ﹣500a ﹣10000（30≤x ≤38）求得对称轴为x ＝35+a ，若0＜a＜6，则30a ，则当x ＝35+a 时，w 取得最大值，解方程得到a 1＝2，a 2＝58，于是得到a ＝2．【解答】解：（1）根据题意得，y ＝250﹣10（x ﹣25）＝﹣10x +500（30≤x ≤38）； （2）设每天扣除捐赠后可获得利润为w 元．w ＝（x ﹣20﹣a ）（﹣10x +500）＝﹣10x 2+（10a +700）x ﹣500a ﹣10000（30≤x ≤38）对称轴为x ＝35+a ，且0＜a ≤6，则30a ≤38，则当x ＝35+a 时，w 取得最大值，∴（35+a ﹣20﹣a ）[﹣10（35+a ）+500]＝1960∴a 1＝2，a 2＝58（不合题意舍去），∴a ＝2．【点评】本题考查了二次函数的应用，难度较大，最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，正确的理解题意，确定变量，建立函数模型．22．（10分）【问题提出】在△ABC 中，AB ＝AC ≠BC ，点D 和点A 在直线BC 的同侧，BD ＝BC ，∠BAC ＝α，∠DBC ＝β，且α+β＝120°，连接AD ，求∠ADB 的度数．（不必解答）【特例探究】小聪先从特殊问题开始研究，当α＝90°，β＝30°时，利用轴对称知识，以AB 为对称轴构造△ABD 的轴对称图形△ABD ′，连接CD ′（如图2），然后利用α＝90°，β＝30°以及等边三角形等相关知识便可解决这个问题．请结合小聪研究问题的过程和思路，在这种特殊情况下填空：△D ′BC 的形状是 等边 三角形；∠ADB 的度数为 30° ．【问题解决】在原问题中，当∠DBC＜∠ABC（如图1）时，请计算∠ADB的度数；【拓展应用】在原问题中，过点A作直线AE⊥BD，交直线BD于E，其他条件不变若BC＝7，AD＝2．请直接写出线段BE的长为7+或7﹣．【分析】【特例探究】①如图2中，作∠ABD′＝∠ABD，BD′＝BD，连接CD′，AD′，由△ABD≌△ABD′，推出△D′BC是等边三角形；②借助①的结论，再判断出△AD′B≌△AD′C，得∠AD′B＝∠AD′C，由此即可解决问题．【问题解决】当60°＜α≤120°时，如图3中，作∠AB D′＝∠ABD，B D′＝BD，连接CD′，AD′，证明方法类似（1）．【拓展应用】第①种情况：当60°＜α≤120°时，如图3中，作∠AB D′＝∠ABD，B D′＝BD，连接CD′，AD′，证明方法类似（1），最后利用含30度角的直角三角形求出DE，即可得出结论；第②种情况：当0°＜α＜60°时，如图4中，作∠ABD′＝∠ABD，BD′＝BD，连接CD′，AD′．证明方法类似（1），最后利用含30度角的直角三角形的性质即可得出结论．【解答】解：【特例探究】①如图2中，作∠ABD′＝∠ABD，BD′＝BD，连接CD′，AD′，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝45°，∵∠DBC＝30°，∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝15°，在△ABD和△ABD′中，∴△ABD≌△ABD′，∴∠ABD＝∠ABD′＝15°，∠ADB＝∠AD′B，∴∠D′BC＝∠ABD′+∠ABC＝60°，∵BD＝BD′，BD＝BC，∴BD′＝BC，∴△D′BC是等边三角形，②∵△D′BC是等边三角形，∴D′B＝D′C，∠BD′C＝60°，在△AD′B和△AD′C中，∴△AD′B≌△AD′C，∴∠AD′B＝∠AD′C，∴∠AD′B＝∠BD′C＝30°，∴∠ADB＝30°．故答案为：等边，30°；【问题解决】解：∵∠DBC＜∠ABC，∴60°＜α≤120°，如图3中，作∠ABD′＝∠ABD，BD′＝BD，连接CD′，AD′，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠BAC＝α，∴∠ABC＝（180°﹣α）＝90°﹣α，∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝90°﹣α﹣β，同（1）①可证△ABD≌△ABD′，∴∠ABD＝∠ABD′＝90°﹣α﹣β，BD＝BD′，∠ADB＝∠AD′B∴∠D′BC＝∠ABD′+∠ABC＝90°﹣α﹣β+90°﹣α＝180°﹣（α+β），∵α+β＝120°，∴∠D′BC＝60°，由（1）②可知，△AD′B≌△AD′C，∴∠AD′B＝∠AD′C，∴∠AD′B＝∠BD′C＝30°，∴∠ADB＝30°．【拓展应用】第①情况：当60°＜α＜120°时，如图3﹣1，由（2）知，∠ADB＝30°，作AE⊥BD，在Rt△ADE中，∠ADB＝30°，AD＝2，∴DE＝，∵△BCD'是等边三角形，∴BD'＝BC＝7，∴BD＝BD'＝7，∴BE＝BD﹣DE＝7﹣；第②情况：当0°＜α＜60°时，如图4中，作∠ABD′＝∠ABD，BD′＝BD，连接CD′，AD′．同理可得：∠ABC ＝（180°﹣α）＝90°﹣α，∴∠ABD ＝∠DBC ﹣∠ABC ＝β﹣（90°﹣α），同（1）①可证△ABD ≌△ABD ′，∴∠ABD ＝∠ABD ′＝β﹣（90°﹣α），BD ＝BD ′，∠ADB ＝∠AD ′B ，∴∠D ′BC ＝∠ABC ﹣∠ABD ′＝90°﹣α﹣[β﹣（90°﹣α）]＝180°﹣（α+β）， ∴D ′B ＝D ′C ，∠BD ′C ＝60°．同（1）②可证△AD ′B ≌△AD ′C ，∴∠AD ′B ＝∠AD ′C ，∵∠AD ′B +∠AD ′C +∠BD ′C ＝360°，∴∠ADB ＝∠AD ′B ＝150°，在Rt △ADE 中，∠ADE ＝30°，AD ＝2，∴DE ＝，∴BE ＝BD +DE ＝7+，故答案为：7+或7﹣． 【点评】此题是三角形综合题，主要考查全等三角形的判定和性质．等边三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．23．（11分）如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于点A （﹣1，0），点B （3，0），与y 轴交于点C ，且过点D （2，﹣3）．点P 、Q 是抛物线y ＝ax 2+bx +c 上的动点． （1）求抛物线的解析式；（2）当点P 在直线OD 下方时，求△POD 面积的最大值．（3）直线OQ 与线段BC 相交于点E ，当△OBE 与△ABC 相似时，求点Q 的坐标．【分析】（1）函数的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3），将点D坐标代入上式，即可求解；（2）S＝×OG（x D﹣x P）＝（3+2m）（2﹣m）＝﹣m2+m+3，即可求解；△POD（3）分∠ACB＝∠BOQ、∠BAC＝∠BOQ，两种情况分别求解，通过角的关系，确定直线OQ倾斜角，进而求解．【解答】解：（1）函数的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3），将点D坐标代入上式并解得：a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3…①；（2）设直线PD与y轴交于点G，设点P（m，m2﹣2m﹣3），将点P、D的坐标代入一次函数表达式：y＝sx+t并解得：直线PD的表达式为：y＝mx﹣3﹣2m，则OG＝3+2m，S＝×OG（x D﹣x P）＝（3+2m）（2﹣m）＝﹣m2+m+3，△POD∵﹣1＜0，故S△POD有最大值，当m＝时，其最大值为；（3）∵OB＝OC＝3，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∵∠ABC＝∠OBE，故△OBE与△ABC相似时，分为两种情况：①当∠ACB＝∠BOQ时，AB＝4，BC＝3，AC＝，过点A作AH⊥BC于点H，S△ABC＝×AH×BC＝AB×OC，解得：AH＝2，则sin∠ACB＝＝，则tan∠ACB＝2，则直线OQ的表达式为：y＝﹣2x…②，联立①②并解得：x＝，故点Q1（，﹣2），Q2（﹣，2），②∠BAC＝∠BOQ时，tan∠BAC＝＝3＝tan∠BOQ，则点Q（n，﹣3n），则直线OQ的表达式为：y＝﹣3x…③，联立①③并解得：x＝，故点Q3（，），Q4（，）；综上，当△OBE与△ABC相似时，Q的坐标为：（，﹣2）或（，）或（﹣，2）或（，）．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、三角形相似、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．。
2020年河南省开封市中考数学一模试卷
中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列实数中，最小的数是（）A. 0B. 1C. -πD.2.2019年河南省清明节旅游市场共接待游客1437万人次，旅游收入89.14亿元，则数据89.14亿用科学记数法表示为（）A. 89.14×106B. 89.14×107C. 8.914×108D. 8.914×1093.下列运算正确的是（）A. 2a2-5a2=3a2B. （-a2）3=-a6C. （a-1）2=a2-1D. a3•a4=a124.关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有两个相等的实数根，则k的值为（）A. k=4B. k=-4C. k≥-4D. k≥45.2019年3月31日，以“双城有爱，一生一世”为主题的郑开马拉松开赛．在这次10关于这组数据，下列说法不正确的是（）A. 这组样本数据的中位数是186B. 这组样本数据的众数是195C. 这组样本数据的平均数超过170D. 这组样本数据的方差小于306.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A. 24+2πB. 16+4πC. 16+8πD. 16+12π7.不等式组的最大正整数解为（）A. 1B. 2C. 3D. 48.如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果．下面有三个推断：①当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概率是0.616；②随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618；③若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率一定是0.620．其中合理的是（）A. ①B. ②C. ①②D. ①③9.如图，⊙O的半径为4，将⊙O的一部分沿着弦AB翻折，劣弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为（）A. 4B. 6C. 2D. 310.如图，菱形ABCD的边长是4厘米，∠B=60°，动点P以1厘米秒的速度自A点出发沿AB方向运动至B点停止，动点Q以2厘米/秒的速度自B点出发沿折线BCD运动至D点停止．若点P、Q同时出发运动了t秒，记△BPQ的面积为S厘米2，下面图象中能表示S与t之间的函数关系的是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）11.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°分别以A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线交BC于点P，连结AP，当∠B为______度时，AP平分∠CAB．12.已知：如图，在△AOB中，∠AOB=90°，AO=3cm，BO=4cm．将△AOB绕顶点O，按顺时针方向旋转到△A1OB1处，此时线段OB1与AB的交点D恰好为AB的中点，则线段B1D=______cm．13.如图，△ABC中，D、E两点分别在AB、BC上，若AD：DB=CE：EB=2：3，则△DBE的面积：△ADC的面积=______．14.如图，已知顶点为（-3，-6）的抛物线y=ax2+bx+c经过点（-1，-4），下列结论：①b2＞4ac；②ax2+bx+c≥-6；③若点（-2，m），（-5，n）在抛物线上，则m＞n；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c=-4的两根为-5和-1，其中正确的是______．15.如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=3，F是AB中点，以点A为圆心，AD为半径作弧交AB于点E，以点B为圆心，BF为半径作弧交BC于点G，则图中阴影部分面积的差S1-S2为______．三、解答题（本大题共8小题，共75.0分）16.化简并求值：（+）÷，其中x，y满足|x-2|+（2x-y-3）2=0．17.当今社会，手机越来越普遍，有很多人每天过分依赖手机，每天使用手机时间过长而形成了“手机瘾”，因为解某高校大学生每天使用手机时间的情况，某社团随机调查了部分学生用手机的时间将调查结果分为五类：A．基本不用；B．平均每天使用1到2小时；C．平均每天使用2到4小时；D．平均每天使用4到6小时；E．平均每天使用超过六小时．并把所得数据绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据相关信息解答下列问题．（1）将上面的条形统计图补充完整；（2）若每天使用手机的时间超过六小时，则患有严重的“手机瘾”，该校共有学生14900人，试估计该校有多少人患有严重的“手机瘾”？（3）在被调查的基本不使用手机的四位同学中，有两男两女，现要从中随机抽取两名同学去参加座谈会，请你用列表法或树图法求出所选同学恰好是一男同学和一名女同学的概率．18.如图在平行四边形ABCD中，圆O是△ABC的外接圆，CD与圆O相切于点C，点P是劣弧上的一个动点，点P不与BC重合．连接PA，PB，PC．（1）求证CA=CB；（2）当AP=AC时，试判断△APC与△CBA是否全等，请说明理由；（3）填空：当∠D的度数为______时，四边形ABCD是菱形．19.如图某数学社团测量坡角∠BCD=30°的斜坡上大树AB的高度．小东在离山脚底部C点1米的F处测得大树顶端A的仰角为45°，树底部B的仰角为20°，测得斜坡上树底B到山脚C点的距离为米．求树AB的高度．（sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）20.参照学习函数的过程与方法，探究函数y=（x≠0）的图象与性质，因为y=，即y=-+1，所以我们对比函数y=-来探究．列表：-=--描点：在平面直角坐标系中以自变量x的取值为横坐标，以y=相应的函数值为纵坐标，描出相应的点如图所示；（1）请把y轴左边点和右边各点分别用一条光滑曲线，顺次连接起来；（2）观察图象并分析表格，回答下列问题：①当x＜0时，y随x的增大而______；（“增大”或“减小”）②y=的图象是由y=-的图象向______平移______个单位而得到的；③图象关于点______中心对称．（填点的坐标）（3）函数y=与直线y=-2x+1交于点A，B，求△AOB的面积．21.某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元，且购进的甲、乙两种商品件数相同．（1）求甲、乙两种商品的每件进价；（2）该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60元，乙种商品的销售单价为88元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变．要使两种商品全部售完后共获利不少于2460元，问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？22.操作：如图①，点O为线段MN的中点，直线PQ与MN相交于点O，请利用图①画出一对以点O为对称中心的全等三角形．根据上述操作得到的经验完成下列探究活动：探究一：如图②，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F．试探究线段AB与AF、CF之间的等量关系，并证明你的结论；探究二：如图③，DE、BC相交于点E，BA交DE于点A，且BE：EC=1：2，∠BAE=∠EDF，CF∥AB．若AB=5，CF=1，求DF的长度．23.如图1，在平面直角坐标系中，直线y=x+4与抛物线y=-x2+bx+c（b，c是常数）交于A、B两点，点A在x轴上，点B在y轴上．设抛物线与y轴的另一个交点为点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）P是抛物线上一动点（不与点A、B重合），①如图2，若点P在直线AB上方，连接OP交AB于点D，求的最大值；②如图3，若点P在x轴的上方，连接PC，以PC为边作正方形CPEF，随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点E或F恰好落在y轴上，直接写出对应的点P的坐标．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵正数和0都大于负数，可见，A、B选项错误；∵|-|＜|-π|，∴-＞-π，∴-π最小，故选：C．根据正数大于0，0大于负数，两个负数，绝对值大的反而小比较．本题考查了实数大小的比较，知道正数大于0，0大于负数，两个负数，绝对值大的反而小是解题的关键．2.【答案】D【解析】解：89.14亿=8914000000=8.914×109，故选：D．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于89.14亿=8914000000有10位，所以可以确定n=10-1=9．此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．3.【答案】B【解析】解：A、结果是-3a2，故本选项不符合题意；B、结果是-a6，故本选项符合题意；C、结果是a2-2a+1，本选项不符合题意；D、结果是a7，故本选项不符合题意；故选：B．根据合并同类项法则、幂的乘方和积的乘方，完全平方公式，同底数幂的乘法求出每个式子的值，再判断即可．本题考查了合并同类项法则、幂的乘方和积的乘方，完全平方公式，同底数幂的乘法等知识点，能求出每个式子的值是解此题的关键．4.【答案】A【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有两个相等的实数根，∴△=42-4k=16-4k=0，解得：k=4．故选：A．根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式即可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出结论．本题考查了根的判别式以及解一元一次方程，熟练掌握“当△=0时，方程有两个相等的两个实数根”是解题的关键．5.【答案】D【解析】解：中位数：（183+189）÷2=186；195出现的次数最多，因此众数为195；=（152+155+166+178+183+189+193+195+195+198）÷10=180.4；S2=[（152-180.4）2+（155-180.4）2+（166-180.4）2+（178-180.4）2+（183-180.4）2+（189-180.4）2+（193-180.4）2+（195-180.4）2+（195-180.4）2+（198-180.4）2]=264.04，故选：D．分别根据所给数据计算出中位数、众数、平均数、方差，然后再确定答案．此题主要考查了中位数、众数、平均数、方差，关键是掌握三种数的定义，掌握方差的计算公式．6.【答案】D【解析】解：该几何体的表面积为2וπ•22+4×4+×2π•2×4=12π+16，故选：D．根据三视图知该几何体是一个半径为2、高为4的圆柱体的纵向一半，据此求解可得．本题主要考查由三视图判断几何体，解题的关键是根据三视图得出几何体的形状及圆柱体的有关计算．7.【答案】C【解析】解：解不等式①得：x≥-1，解不等式②得：x＜4，∴不等式组的解集为-1≤x＜4，∴不等式组的大正整数解为3，故选：C．先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可．本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键．8.【答案】B【解析】解：当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以此时“钉尖向上”的频率是：308÷500=0.616，但“钉尖向上”的概率不一定是0.616，故①错误，随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618．故②正确，若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的概率可能是0.620，但不一定是0.620，故③错误，故选：B．根据图形和各个小题的说法可以判断是否正确，从而可以解答本题．本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，利用数形结合的思想解答．9.【答案】A【解析】解：过O作OC⊥AB于D，交⊙O于C，连接OA，Rt△OAD中，OD=CD=OC=2，OA=4，根据勾股定理，得：AD=，由垂径定理得，AB=2AD=4，故选：A．过O作垂直于AB的半径OC，设交点为D，根据折叠的性质可求出OD的长；连接OA，根据勾股定理可求出AD的长，由垂径定理知AB=2AD，即可求出AB的长度．本题考查的是翻转变换的性质、矩形的性质，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．10.【答案】D【解析】解：当0≤t＜2时，S=×2t××（4-t）=-t2+2t；当2≤t＜4时，S=×4××（4-t）=-t+4；只有选项D的图形符合．故选：D．应根据0≤t＜2和2≤t＜4两种情况进行讨论．把t当作已知数值，就可以求出S，从而得到函数的解析式，进一步即可求解．本题主要考查了动点问题的函数图象，利用图形的关系求函数的解析式，注意数形结合是解决本题的关键．11.【答案】30【解析】解：由作法得P点在AB的垂直平分线上，∴PA=PB，∴∠B=∠PAB，∵AP平分∠CAB，∴∠PAB=∠PAC，∴∠B=∠PAB=∠PAC，而∠B+∠PAB+∠PAC=90°，∴∠B=30°．即当∠B为30度时，AP平分∠CAB．故答案为30．利用基本作法，图中作了AB的垂直平分线，所以PA=PB，则∠B=∠PAB，则证明∠B=∠PAB=∠PAC，然后利用三角形的内角和可计算出∠B的度数．本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．12.【答案】1.5【解析】解：∵在△AOB中，∠AOB=90°，AO=3cm，BO=4cm，∴AB==5cm，∵点D为AB的中点，∴OD=AB=2.5cm．∵将△AOB绕顶点O，按顺时针方向旋转到△A1OB1处，∴OB1=OB=4cm，∴B1D=OB1-OD=1.5cm．故答案为1.5．先在直角△AOB中利用勾股定理求出AB==5cm，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出OD=AB=2.5cm．然后根据旋转的性质得到OB1=OB=4cm，那么B1D=OB1-OD=1.5cm．本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质以及勾股定理．13.【答案】【解析】解：∵==，∴==，又∵∠DBE=∠ABC，∴△BED∽△BCA，∴==，分别过点B，D作AC的垂线BM，DN，则DN∥BM，∴△ADN∽△ABM，∴==，∵S△ADC=AC•DN，S△BCA=AC•BM，∴===，∴=×=，故答案为：．先证△BED与△BCA相似，求出△BED与△BCA的相似比，进一步求出其面积比，然后分别过点B，D作AC的垂线BM，DN，求出DN与BM的比值，推出△DCA与△BCA的面积比，结合△BED与△BCA的面积比即可求出最终结果．本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质及同底不等高的三角形面积比等于其高之比这一结论．14.【答案】①②④【解析】解：由图象知，抛物线与x轴有两个不同的交点，只是左边那个没画出来而已，从而由二次函数与一元二次方程的关系可知，△=b2-4ac＞0，从而b2＞4ac，故①正确；已知该抛物线是开口向上，顶点为（-3，-6），故ax2+bx+c≥-6正确，从而②正确；由抛物线的对称轴为x=-3，点（-2，m），（-5，n）在抛物线上，则点（-2，m）离对称轴的距离为1，而点（5，n）离抛物线的距离为2，开口向上时，离对称轴越远，函数值越大，从而m＜n，故③错误；由图象可知，x=-1为关于x的一元二次方程ax2+bx+c=-4的一个根，由二次函数的对称性，可知-5为另一个根，从而④正确；、综上，正确的是①②④．故答案为：①②④．利用二次函数与一元二次方程的关系及其与一元一次不等式的关系，以及二次函数的对称性可以求解．本题属于二次函数图象的综合问题，考查了二次函数与一元二次方程，二次函数与一元一次不等式，及二次函数的对称性，难度中等．15.【答案】12-【解析】解：∵在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，F是AB中点，∴BF=BG=2，∴S1=S矩形ABCD-S扇形ADE-S扇形BGF+S2，∴S1-S2=4×3-=12-，故答案为：12-．根据图形可以求得BF的长，然后根据图形即可求得S1-S2的值．本题考查扇形面积的计算、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．16.【答案】解：原式=•=，∵|x-2|+（2x-y-3）2=0，∴|x-2|=0，（2x-y-3）2=0，∴x=2，y=1．∴原式==．【解析】此题考查了分式的化简求值，以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，利用非负数的性质求出x与y的值，代入计算即可求出值．17.【答案】解：（1）根据题意得：调查的学生数为：4÷8%=50（名）；则B类别人数为50-4-20-9-5=12（名）；如图：（2）我校学生患有严重的“手机瘾”的有约有：14900×10%=1490（名）；（3）画树状图得：∵共有12种等可能的结果，所选两位同学恰好是一名男同学和一位女同学的有8种情况，∴所选两位同学恰好是一名男同学和一位女同学的概率为=．【解析】（1）由题意得：调查的学生数为：4÷8%=50，再求得B类人数，即可补全统计图；（2）由题意可得：我校学生患有严重的“手机瘾”的约有：1490×10%=149（名）；（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两位同学恰好是一名男同学和一位女同学的情况，再利用概率公式即可求得答案．此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．18.【答案】解：（1）证明：如图1，连接CO交AB于点E，∵CD与圆O相切于点C，∴CE⊥CD，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，∴CE⊥AB，∴AE=BE，∴CA=CB；（2）当AP=AC时，△APC≌△CBA，理由如下：∵CA=CB，AP=AC，∴∠ABC=∠BAC，∠APC=∠ACP，∵∠ABC=∠APC，∴∠BAC=∠ACP，在△APC与△CBA中，∴△APC≌△CBA（AAS）；（3）60°【解析】【分析】本题是圆综合题，熟练掌握切线的性质、垂径定理、圆周角定理等相关性质是解题的关键．（1）连接CO交AB于点E，由CD与圆O相切于点C，得到CE⊥CD，因为四边形ABCD 为平行四边形，所以AB∥CD，因此CE⊥AB，所以AE=BE，于是CA=CB；（2）当AC=AP时，△CPA≌△ABC．由于AC=BC，AC=AP，则∠ABC=∠BAC，∠APC=∠ACP，根据圆周角定理得∠ABC=∠APC，则∠BAC=∠ACP，加上AC=CA，即可得到△CPA≌△ABC；（3）如图2，连接OC，AC，OB，根据平行线的性质得到∠BCD=120°，根据切线的性质得到∠OCD=90°，推出BO垂直平分AC，即可得到结论．【解答】解：（1）见答案；（2）见答案；（3）当∠ABC的度数为60°时，四边形ABCD是菱形，如图2，连接OC，AC，OB，∵∠ABC=60°，∴∠BCD=120°，∵CD与O相切于点C，∴∠OCD=90°，∴∠BCO=30°，∵OB=OC，∴∠OBC=30°，∴∠ABO=30°，∴BO垂直平分AC，∴AB=BC，∴四边形ABCD是菱形．故答案为60°．19.【答案】解：∵底部B点到山脚C点的距离BC为6，山坡的坡角为30°．∴在Rt△BDC中，DC=BC•cos30°=6•=9（米），∵CF=1（米），∴DF=9+1=10（米），∴GE=10（米），∵∠AEG=45°，∴AG=EG=10（米），在直角三角形BGE中，BG=GE•tan20°=10×0.36≈3.6（米），∴AB=AG-BG=10-3.6=6.4（米），答：树高约为6.4米．【解析】首先在直角三角形BDC中求得DC的长，然后求得DF的长，进而求得GE的长，然后在直角三角形BGE中即可求得BG的长，从而求得树高．本题考查了解直角三角形的应用，要求学生借助仰角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．20.【答案】（1）函数图象如图所示：（2）①增大；②上，1 ；③（0，1） .（3）根据题意得：=-2x+1，解得：x=±1，当x=1时，y=-2x+1=-1，当x=-1时，y=-2x+1=3，∴交点为（1，-1），（-1，3），当y=0时，-2x+1=0，x=，∴△AOB的面积=×（3+1）×=1．【解析】解：（1）见答案；（2）①当x＜0时，y随x的增大而增大；故答案为：增大；②y=的图象是由y=-的图象向上平移1个单位而得到；故答案为：上，1；③图象关于点（0，1）中心对称．故答案为：（0，1）；（3）见答案.（1）用光滑曲线顺次连接即可；（2）利用图象法即可解决问题；（3）联立方程求出点A、B的坐标，由此即可解决问题；本题考查反比例函数的性质、中心对称的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．21.【答案】解：（1）设甲种商品的每件进价为x元，则乙种商品的每件进价为（x+8）元．根据题意，得，=，解得x =40．经检验，x=40是原方程的解．答：甲种商品的每件进价为40元，乙种商品的每件进价为48元；（2）甲乙两种商品的销售量为=50．设甲种商品按原销售单价销售a件，则（60-40）a+（60×0.7-40）（50-a）+（88-48）×50≥2460，解得a≥20．答：甲种商品按原销售单价至少销售20件．【解析】（1）设甲种商品的每件进价为x元，乙种商品的每件进价为y元．根据“某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．购进的甲、乙两种商品件数相同”列出方程；（2）设甲种商品按原销售单价销售a件，则由“两种商品全部售完后共获利不少于2460元”列出不等式．本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用．本题属于商品销售中的利润问题，对于此类问题，隐含着一个等量关系：利润=售价-进价．22.【答案】解：（1）如图（2）结论：AB=AF+CF．证明：分别延长AE、DF交于点M．∵E为BC的中点，∴BE=CE，∵AB∥CD，∴∠BAE=∠M，在△ABE与△MCE中，∵，∴△ABE≌△MCE（AAS），∴AB=MC，又∵∠BAE=∠EAF，∴∠M=∠EAF，∴MF=AF，又∵MC=MF+CF，∴AB=AF+CF；（3）分别延长DE、CF交于点G．∵AB∥CF，∴∠B=∠C，∠BAE=∠G，∴△ABE∽△GCE，∴，又∵，∴，∵AB=5，∴GC=10，∵FC=1，∴GF=9，∵AB∥CF，∴∠BAE=∠G，又∵∠BAE=∠EDF，∴∠G=∠EDF，∴GF=DF，∴DF=9．【解析】（1）根据全等三角形的判定中的边角边为作图的理论依据，来画出全等三角形．（2）本题可通过作辅助线将AB，FC，AF构建到一个相关联的三角形中，可延长AE、DF交于点M，不难证明△ABE≌△MCE，那么AB=CF，现在只要将AF也关联到三角形BEC中，我们发现，∠BAE=∠EAF，∠BAE=∠M（AB∥CD），那么三角形AMF就是个等腰三角形，AF=MF，因此AB=MC=MF+FC=AF+FC；（3）本题的作法与（2）类似，延长DE、CF交于点G，不难得出△ABE∽△GCE，可根据线段的比例关系和AB的值得到CG的值，然后就能得出FG的值，同（2）可得出△DFG是等腰三角形，那么DF=GF，这样就求出DF的值了．本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质的知识点．题中作图的理论依据是全等三角形的判定中的边角边．23.【答案】解：（1）直线y=x+4与坐标轴交于A、B两点，当x=0时，y=4，x=-4时，y=0，∴A（-4，0），B（0，4），把A，B两点的坐标代入解析式得，，解得，，∴抛物线的解析式为；（2）如图1，作PF∥BO交AB于点F，∴△PFD∽△OBD，∴，∵OB为定值，∴当PF取最大值时，有最大值，设P（x，），其中-4＜x＜0，则F（x，x+4），∴PF==，∵且对称轴是直线x=-2，∴当x=-2时，PF有最大值，此时PF=2，；（3）∵点C（2，0），∴CO=2，（i）如图2，点F在y轴上时，过点P作PH⊥x轴于H，在正方形CPEF中，CP=CF，∠PCF=90°，∵∠PCH+∠OCF=90°，∠PCH+∠HPC=90°，∴∠HPC=∠OCF，在△CPH和△FCO中，，∴△CPH≌△FCO（AAS），∴PH=CO=2，∴点P的纵坐标为2，∴，解得，，∴，，（ii）如图3，点E在y轴上时，过点PK⊥x轴于K，作PS⊥y轴于S，同理可证得△EPS≌△CPK，∴PS=PK，∴P点的横纵坐标互为相反数，∴，解得x=2（舍去），x=-2，∴，如图4，点E在y轴上时，过点PM⊥x轴于M，作PN⊥y轴于N，同理可证得△PEN≌△PCM，∴PN=PM，∴P点的横纵坐标相等，∴，解得，（舍去），∴，综合以上可得P点坐标为，．【解析】（1）利用直线解析式求出点A、B的坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式解答；（2）作PF∥BO交AB于点F，证△PFD∽△OBD，得比例线段，则PF取最大值时，求得的最大值；（3）（i）点F在y轴上时，过点P作PH⊥x轴于H，根据正方形的性质可证明△CPH≌△FCO，根据全等三角形对应边相等可得PH=CO=2，然后利用二次函数解析式求解即可；（ii）点E在y轴上时，过点PK⊥x轴于K，作PS⊥y轴于S，同理可证得△EPS≌△CPK，可得PS=PK，则P点的横纵坐标互为相反数，可求出P点坐标；点E在y轴上时，过点PM⊥x轴于M，作PN⊥y轴于N，同理可证得△PEN≌△PCM，可得PN=PM，则P点的横纵坐标相等，可求出P点坐标．由此即可解决问题．此题主要考查了二次函数的综合应用，全等三角形的判定与性质以及待定系数法求二次函数解析式，正方形的性质的应用，解题的关键是正确进行分类讨论．。
河南省开封市2020年数学中考一模试卷(II)卷
河南省开封市2020年数学中考一模试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共8题；共16分)1. （2分） (2020七上·杭州期中) 浙教版数学七年级上册总字数是225000，数据225000用科学记数法表示为（）A .B .C .D .2. （2分） (2019七下·郑州期末) 下列计算正确的是（）A . a2+a2=a4B . (2a)3=6a3C . a9÷a3=a3D . (-2a)2·a3=4a53. （2分） (2019九上·港口期中) 如图所示，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将△ABC绕点O按顺时针方向旋转90°，得到△A′B′O，则点A′的坐标为（）A . （3 ，1）B . （3 ，2）C . （2 ，3）D . （1 ，3）4. （2分） (2017七下·蒙阴期末) 在平面直角坐标系中，将点（2，3）向上平移1个单位，再向左平移2个单位，所得到的点的坐标是（）A . （﹣2，3）B . （﹣1，2）C . （0，4）D . （4，4）5. （2分）(2020·建邺模拟) 下列图形中，三视图都相同的是（）A . 圆柱B . 球C . 三棱锥D . 五棱柱6. （2分） (2020八上·北海期末) 不等式组的解集为（）A . ﹣4＜x＜﹣1B . ﹣4≤x＜﹣1C . ﹣4≤x≤﹣1D . ﹣4＜x≤﹣17. （2分）(2020·中山模拟) 在九年级体育中考中，某班参加仰卧起坐测试的一组女生（每组8人）测试成绩如下（单位：次/分）：46,44,45,42,48,46,47,46.则这组数据的中位数为（）A . 42B . 45C . 46D . 488. （2分） (2019九上·海曙期末) 如图，是半圆的直径，为弧中点，点、分别在弦、上，且 .若设，，则关于的函数图像大致是（）A .B .C .D .二、填空题 (共6题；共10分)9. （1分）(2020·咸宁) 点A在数轴上的位置如图所示，则点A表示的数的相反数是________.10. （1分）(2019·镇江) 若代数式有意义，则实数的取值范围是________.11. （1分）已知代数式3x2﹣2x+6的值等于9，则8﹣3x2+2x的值为________．12. （5分） (2017八下·重庆期中) 若菱形两条对角线长分别为6cm和8cm，则它的周长为________，面积是________．13. （1分） (2019九上·临洮期中) 将抛物线y=x2-2x+3向左平移一个单位，再向下平移三个单位，则抛物线的解析式应为________.14. （1分）(2017·埇桥模拟) 如图，在宽为的矩形纸条上进行剪裁，剪去阴影部分的三角形，使得剩下的正六边形和菱形依次相连，相连顶点处菱形的内角为120°．若该纸条的长为2017，则多余的小矩形的宽度y 为________．三、解答题 (共9题；共90分)15. （5分） (2020八下·房县期末) 解方程：16. （5分）如图，点E、F分别在正方形ABCD的边DC、BC上，AG⊥EF，垂足为G，且AG＝AB，则∠EAF为多少度．17. （15分）(2020·惠州模拟) 随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种你最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：（1）这次活动共调查了________人；在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为________；（2）将条形统计图补充完整．观察此图，支付方式的“众数”是；（3）在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．18. （5分）(2018·苏州模拟) 某校学生利用双休时间去距学校10 km的天平山社会实践活动，一部分学生骑电瓶车先走，过了20 min后，其余学生乘公交车沿相同路线出发，结果他们同时到达．已知公交车的速度是电瓶车学生速度的2倍，求骑电瓶车学生的速度和公交车的速度？19. （10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象y1=kx+b与反比例函数的图象交于点A （1，5）和点B（m，1）．（1）求m的值和反比例函数的解析式；（2）当x＞0时，根据图象直接写出不等式≥kx+b的解集；（3）若经过点B的抛物线的顶点为A，求该抛物线的解析式．20. （10分） (2020八上·大东期末) 如图，在中，，，的重直平分线交，于点， .（1）求证：；（2）当时，求的面积.21. （10分）(2019·遵义) 电子政务、数字经济、智慧社会一场数字革命正在神州大地激荡.在第二届数字中国建设峰会召开之际，某校举行了第二届“掌握新技术，走进数时代”信息技术应用大赛，将该校八年级参加竞赛的学生成绩统计后，绘制成如下统计图表（不完整）：“掌握新技术，走进数时代”信息技术应用大赛成绩频数分布统计表组别成绩x（分）人数A60≤x＜7010B70≤x＜80mC80≤x＜9016D90≤x≤1004请观察上面的图表，解答下列问题：（1）统计表中m＝________；统计图中n＝________，D组的圆心角是________度.（2） D组的4名学生中，有2名男生和2名女生.从D组随机抽取2名学生参加5G体验活动，请你画出树状图或用列表法求：①恰好1名男生和1名女生被抽取参加5G体验活动的概率；②至少1名女生被抽取参加5G体验活动的概率.22. （10分）(2016·晋江模拟) 如图，在矩形ABCD中，AB=8k，BC=5k（k为常数，且k＞0），动点P在AB 边上（点P不与A、B重合），点Q、R分别在BC、DA边上，且AP：BQ：DR=3：2：1．点A关于直线PR的对称点为A′，连接PA′、RA′、PQ．（1）若k=4，PA=15，则四边形PARA′的形状是________；（2）设DR=x，点B关于直线PQ的对称点为B′点．①记△PRA′的面积为S1 ，△PQB′的面积为S2 ．当S1＜S2时，求相应x的取值范围及S2﹣S1的最大值；（用含k的代数式表示）②在点P的运动过程中，判断点B′能否与点A′重合？请说明理由．23. （20分）(2018·淄博) 如图，抛物线y=ax2+bx经过△OAB的三个顶点，其中点A（1，），点B（3，﹣），O为坐标原点．（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；（2）若P（4，m），Q（t，n）为该抛物线上的两点，且n＜m，求t的取值范围；（3）若C为线段AB上的一个动点，当点A，点B到直线OC的距离之和最大时，求∠BOC的大小及点C的坐标．参考答案一、单选题 (共8题；共16分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：二、填空题 (共6题；共10分)答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：三、解答题 (共9题；共90分)答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：答案：17-1、答案：17-2、答案：17-3、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、答案：19-3、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：答案：23-1、答案：23-2、答案：23-3、考点：解析：。
【精选3份合集】河南省开封市2020年中考一模数学试卷有答案含解析
中考数学模拟试卷（解析版）注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题1．在直角坐标平面内，已知点M(4，3)，以M 为圆心，r 为半径的圆与x 轴相交，与y 轴相离，那么r 的取值范围为( )A ．0r 5<<B ．3r 5<<C ．4r 5<<D ．3r 4<< 解析：D【解析】【分析】先求出点M 到x 轴、y 轴的距离，再根据直线和圆的位置关系得出即可．【详解】解：∵点M 的坐标是（4，3），∴点M 到x 轴的距离是3，到y 轴的距离是4，∵点M （4，3），以M 为圆心，r 为半径的圆与x 轴相交，与y 轴相离，∴r 的取值范围是3＜r ＜4，故选：D ．【点睛】本题考查点的坐标和直线与圆的位置关系，能熟记直线与圆的位置关系的内容是解此题的关键．2．如图，正六边形ABCDEF 内接于O e ，M 为EF 的中点，连接DM ，若O e 的半径为2，则MD 的长度为( )A ．7B ．5C ．2D ．1解析：A【解析】【分析】 连接OM 、OD 、OF ，由正六边形的性质和已知条件得出OM⊥OD，OM⊥EF，∠MFO=60°，由三角函数求出OM ，再由勾股定理求出MD 即可．【详解】连接OM 、OD 、OF ，∵正六边形ABCDEF 内接于⊙O，M 为EF 的中点，∴OM⊥OD，OM⊥EF，∠MFO=60°，∴∠MOD=∠OMF=90°，∴OM=OF•sin∠MFO=2×32=3， ∴MD=()2222327OM OD +=+=，故选A ．【点睛】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、三角函数、勾股定理；熟练掌握正六边形的性质，由三角函数求出OM 是解决问题的关键．3．点P （1，﹣2）关于y 轴对称的点的坐标是（ ）A ．（1，2）B ．（﹣1，2）C ．（﹣1，﹣2）D ．（﹣2，1）解析：C【解析】关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，由此可得P （1，﹣2）关于y 轴对称的点的坐标是（﹣1，﹣2），故选C ．【点睛】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标，正确地记住关于坐标轴对称的点的坐标特征是关键. 关于x 轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于y 轴对称的点的坐标特点：纵坐标不变，横坐标互为相反数.4．下列事件中必然发生的事件是（ ）A ．一个图形平移后所得的图形与原来的图形不全等B ．不等式的两边同时乘以一个数，结果仍是不等式C ．200件产品中有5件次品，从中任意抽取6件，至少有一件是正品D ．随意翻到一本书的某页，这页的页码一定是偶数解析：C【解析】【分析】直接利用随机事件、必然事件、不可能事件分别分析得出答案．【详解】A 、一个图形平移后所得的图形与原来的图形不全等，是不可能事件，故此选项错误；B 、不等式的两边同时乘以一个数，结果仍是不等式，是随机事件，故此选项错误；C 、200件产品中有5件次品，从中任意抽取6件，至少有一件是正品，是必然事件，故此选项正确；D 、随意翻到一本书的某页，这页的页码一定是偶数，是随机事件，故此选项错误；故选C ．【点睛】此题主要考查了随机事件、必然事件、不可能事件，正确把握相关定义是解题关键．5．如图，C ，B 是线段AD 上的两点，若AB CD =，2BC AC =，则AC 与CD 的关系为（ ）A ．2CD AC =B ．3CD AC = C ．4CD AC = D ．不能确定解析：B【解析】【分析】由AB=CD ，可得AC=BD ，又BC=2AC ，所以BC=2BD ，所以CD=3AC.【详解】∵AB=CD，∴AC+BC=BC+BD，即AC=BD ，又∵BC=2AC，∴BC=2BD，∴CD=3BD=3AC.故选B ．【点睛】本题考查了线段长短的比较，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍转化线段之间的数量关系是十分关键的一点．6．如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE，点C的对应点E恰好落在AB延长线上，连接AD．下列结论一定正确的是（）A．∠ABD＝∠E B．∠CBE＝∠C C．AD∥BC D．AD＝BC解析：C【解析】根据旋转的性质得，∠ABD＝∠CBE=60°, ∠E＝∠C,则△ABD为等边三角形，即 AD＝AB=BD,得∠ADB=60°因为∠ABD＝∠CBE=60°，则∠CBD=60°,所以，∠ADB=∠CBD，得AD∥BC.故选C.7．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（﹣1，0）．下列结论：①ab＜0，②b2＞4a，③0＜a+b+c＜2，④0＜b＜1，⑤当x＞﹣1时，y＞0，其中正确结论的个数是A．5个B．4个C．3个D．2个解析：B【解析】【详解】解：∵二次函数y=ax3+bx+c（a≠3）过点（3，3）和（﹣3，3），∴c=3，a﹣b+c=3．①∵抛物线的对称轴在y轴右侧，∴bx2a=-,x＞3．∴a与b异号．∴ab＜3，正确．②∵抛物线与x轴有两个不同的交点，∴b3﹣4ac＞3．∵c=3，∴b 3﹣4a ＞3，即b 3＞4a ．正确．④∵抛物线开口向下，∴a＜3．∵ab＜3，∴b＞3．∵a﹣b+c=3，c=3，∴a=b﹣3．∴b﹣3＜3，即b ＜3．∴3＜b ＜3，正确．③∵a﹣b+c=3，∴a+c=b．∴a+b+c=3b＞3．∵b＜3，c=3，a ＜3，∴a+b+c=a+b+3＜a+3+3=a+3＜3+3=3．∴3＜a+b+c ＜3，正确．⑤抛物线y=ax 3+bx+c 与x 轴的一个交点为（﹣3，3），设另一个交点为（x 3，3），则x 3＞3， 由图可知，当﹣3＜x ＜x 3时，y ＞3；当x ＞x 3时，y ＜3．∴当x ＞﹣3时，y ＞3的结论错误．综上所述，正确的结论有①②③④．故选B ．8．如图是二次函数2y ax bx c =++的图象，有下面四个结论：0abc >①；0a b c ②-+>； 230a b +>③；40c b ->④，其中正确的结论是( )A ．①②B ．①②③C ． ①③④D ． ①②④解析：D【解析】【分析】 根据抛物线开口方向得到a 0>，根据对称轴02b x a=->得到b 0<，根据抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到c 0<，所以0abc >；1x =-时，由图像可知此时0y >，所以0a b c -+>；由对称轴123b x a =-=，可得230a b +=；当2x =时，由图像可知此时0y >，即420a bc ++>，将23a b =-代入可得40c b ->.【详解】①根据抛物线开口方向得到0a >，根据对称轴02b x a =->得到b 0<，根据抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到c 0<，所以0abc >，故①正确.。
开封市数学中考一模试卷
开封市数学中考一模试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分） 45的倒数是（）A . 45B . -45C .D . -2. （2分）(2020·吉林) 国务院总理李克强2020年5月22日在作政府工作报告时说，去年我国农村贫困人口减少11090000，脱贫攻坚取得决定性成就．数据V用科学记数法表示为（）A .B .C .D .3. （2分）如图所示的主视图、左视图、俯视图是下列哪个物体的三视图（）A .B .C .D .4. （2分）(2020·新乡模拟) 将直角三角板按照如图方式摆放，直线a∥b，∠1＝130°，则∠2的度数为（）A . 60°B . 50°C . 45°D . 40°5. （2分）甲、乙两数这和为16，甲数的3倍等于乙数的5倍”，若设甲数为x，乙数为y，则方程组（1）（2）（3）（4）中，正确的有（）A . 1组B . 2组C . 3组D . 4组6. （2分）如图，一个正六边形转盘被分成6个全等的正三角形，任意旋转这个转盘1次，当旋转停止时，指针指向阴影区域的概率是（）.A .B .C .D .7. （2分）下列计算正确的是（）A .B .C .D .8. （2分） (2017八下·西华期末) 某交通管理人员星期天在市中心的某十字路口对7:00~12:00各时间段闯红灯的人数进行了统计，制作如下表格：时间段7~88~99~1010~1111~12人数2015101540则各时间段闯红灯人数的众数和中位数分别为（）A . 10人，15人B . 15人，15人C . 15人，20人D . 10人，20人9. （2分）如图，D是BC上的点，∠ADC=∠BAC ，则下列结论正确的是（）A . △ABC∽△DABB . △ABC∽△DACC . △ABD∽△ACDD . 以上都不对10. （2分）关于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象有下列命题：①当c=0时，函数的图象经过原点；②当c＞0，且函数的图象开口向下时，方程ax²+bx+c=0必有两个不相等的实根；③函数图象最高点的纵坐标是；④当b=0时，函数的图象关于y轴对称．其中正确命题的个数是（）A . 0个B . 1个C . 2个D . 3个二、填空题 (共6题；共6分)11. （1分）(2019·天门模拟) 分解因式： =________.12. （1分） (2020八上·淮阳期末) 已知数据: ，其中无理数出现的频率是________.13. （1分） (2019八上·凤翔期中) 某车站规定旅客可以免费携带不超过20千克的行李，超过部分每千克收取1.5元的行李费，则旅客需交的行李费（元）与携带行李重量（千克）（）之间的关系式为________.14. （1分）(2020·房山模拟) 下面是“作一个角”的尺规作图过程．已知：平面内一点A ．求作：，使得．作法：如图，①作射线；②在射线取一点O ，以O为圆心，为半径作圆，与射线相交于点C；③以C为圆心， C为半径作弧，与交于点D ，作射线．则即为所求的角．请回答：该尺规作图的依据是________．15. （1分） (2019九上·孝南月考) 二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1.下列结论：①abc＜0；②3a+c＞0；③(a+c)2﹣b2＜0；④a+b≤m(am+b)(m为实数).其中结论正确的有________.(填所以正确的序号)16. （1分）(2020·南宁模拟) 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠ABC=60°，AB=2，分别以点A、点C为圆心，以AO的长为半径画弧分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为________.（结果保留π）三、解答题 (共9题；共61分)17. （5分）(2016·青海) 计算：﹣32+6cos45°﹣ +| ﹣3|18. （16分）(2016·呼和浩特模拟) 分校为了调查初三年级学生每周的课外活动时间，随机抽查了50名初三学生，对其平均毎周参加课外活动的时间进行了调查．由调查结果绘制了频数分布直方图，根据图中信息回答下列问题：（1）求m的值；（2）计算50名学生的课外活动时间的平均数（每组时间用其组中值表示），对初三年级全体学生平均每周的课外活动吋问做个推断；（3）从参加课外活动时间在6～10小时的5名学生中随机选取2人，请你用列表法，求其中至少有1人课外活动时间在8～10小时的概率．19. （5分）(2019·会宁模拟) 如图，▱AOBC的顶点O（0，0），A（﹣1，2），B（7，0），作∠AOB的平分线交AC于点G，并求线段CG的长，（要求尺规作图保留作图痕迹，不写作法）20. （5分）(2017·通辽) 2017•通辽）小兰和小颖用下面两个可以自由转动的转盘做游戏，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，转动两个转盘各一次，若两次指针所指数字之和小于4，则小兰胜，否则小颖胜（指针指在分界线时重转），这个游戏对双方公平吗？请用树状图或列表法说明理由．21. （6分）(2020·宁夏) 在综合与实践活动中，活动小组的同学看到网上购鞋的鞋号（为正整数）与脚长（毫米）的对应关系如表1：鞋号（正整数）222324252627……脚长（毫米）……为了方便对问题的研究，活动小组将表1中的数据进行了编号，并对脚长的数据定义为如表2：序号n123456……鞋号222324252627……脚长……脚长160165170175180185……定义：对于任正整数m、n，其中 .若，则 .如：表示，即 .（1）通过观察表2，猜想出与序号n之间的关系式，与序号n之间的关系式；（2）用含的代数式表示；计算鞋号为42的鞋适合的脚长范围；（3）若脚长为271毫米，那么应购鞋的鞋号为多大？22. （6分）在平面直角坐标中，边长为1的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O 在原点．现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线y=x上时停止旋转．旋转过程中，AB边交直线y=x于点M，BC边交x轴于点N（如图1）．（1）求边AB在旋转过程中所扫过的面积；（2）设△MBN的周长为p，在旋转正方形OABC的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论；（3）设MN=m，当m为何值时△OMN的面积最小，最小值是多少？并直接写出此时△BMN内切圆的半径．23. （2分）(2020·大东模拟) 如图，Rt△OAB的直角边OA在x轴上，边OB在y轴上，A的坐标为(6，0)，B的坐标为(0，3)，在第一象限有一点C的坐标为(3，4).（1）求直线AB的函数表达式；（2） P是x轴上一动点，点P在运动过程中，是否存在某个位置，使得∠PBO＝∠BOC？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若动点P在x轴上从点(﹣6，0)出发，以每秒1个单位的速度向x轴正方向运动，过点P作直线l垂直于x轴，设运动时间为t.请直接写出当t为何值时，在直线l上存在点M，在直线AB上存在点Q.使得以OC为一边，O，C，M，Q为顶点的四边形为菱形.24. （6分）(2017·北仑模拟) 定义：P、Q分别是两条线段a，b上任意一点，线段PQ长度的最小值叫做线段a与线段b的距离．已知，O（0，0），A（4，0），B（m，n），C（m+4，n）是平面直角坐标系中四点．（1）根据上述定义，当m=2，n=2时，如图1，线段BC与线段OA的距离为________；当m=5，n=2时，如图2，线段BC与线段OA的距离（即线段AB的长）为________；（2）如图3，若点B落在圆心为A，半径为2的圆上，线段BC与线段OA的距离记为d，求d关于m的函数解析式．（3）当m值变化时，动线段BC与线段OA的距离始终为2，线段BC的中点为M，点D（0，2），m≥0，n≥0，作MH⊥x轴，垂足为H，是否存在m值，使以A、M、H为顶点的三角形与△AOD相似？若存在，求出m值；若不存在，请说明理由．25. （10分）(2017·哈尔滨) 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=x2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，直线y=x﹣3经过B、C两点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点C作直线CD⊥y轴交抛物线于另一点D，点P是直线CD下方抛物线上的一个动点，且在抛物线对称轴的右侧，过点P作PE⊥x轴于点E，PE交CD于点F，交BC于点M，连接AC，过点M作MN⊥AC于点N，设点P的横坐标为t，线段MN的长为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，连接PC，过点B作BQ⊥PC于点Q（点Q在线段PC上），BQ交CD于点T，连接OQ交CD于点S，当ST=TD时，求线段MN的长．参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共6题；共6分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共9题；共61分)17-1、18-1、18-2、18-3、19-1、20-1、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、22-3、23-1、23-2、24-1、24-2、25-1、25-2、。
【附5套中考模拟试卷】河南省开封市2019-2020学年中考第一次质量检测数学试题含解析
河南省开封市2019-2020学年中考第一次质量检测数学试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．若⊙O的半径为5cm，OA=4cm，则点A与⊙O的位置关系是（）A．点A在⊙O内B．点A在⊙O上C．点A在⊙O外D．内含2．已知一组数据2、x、8、1、1、2的众数是2，那么这组数据的中位数是（）A．3.1；B．4；C．2；D．6.1．3．据《关于“十三五”期间全面深入推进教育信息化工作的指导意见》显示，全国6000万名师生已通过“网络学习空间”探索网络条件下的新型教学、学习与教研模式，教育公共服务平台基本覆盖全国学生、教职工等信息基础数据库，实施全国中小学教师信息技术应用能力提升工程．则数字6000万用科学记数法表示为（）A．6×105B．6×106C．6×107D．6×1084．如图，是由7个相同的小立方体木块堆成的一个几何体，拿掉1个小立方体木块之后，这个几何体的主（正）视图没变，则拿掉这个小立方体木块之后的几何体的俯视图是（）A．B．C．D．5．下列计算正确的是（）.A．(x+y)2=x2+y2B．(－12xy2）3=－16x3y6C．x6÷x3=x2D．2(2)=26．在如图所示的数轴上，点B与点C关于点A对称，A、B两点对应的实数分别是3和﹣1，则点C所对应的实数是( )A．3B．3C．3 1 D．3+17．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论: ① abc＜0；② 2a＋b＝0; ③ b2－4ac ＜0；④ 9a+3b+c＞0; ⑤ c+8a＜0.正确的结论有（）.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．小明将某圆锥形的冰淇淋纸套沿它的一条母线展开.若不考虑接缝，它是一个半径为12cm ，圆心角为60o 的扇形，则( )A ．圆锥形冰淇淋纸套的底面半径为4cmB ．圆锥形冰淇淋纸套的底面半径为6cmC ．圆锥形冰淇淋纸套的高为235cmD ．圆锥形冰淇淋纸套的高为63cm9．已知关于x 的方程()2kx 1k x 10+--=，下列说法正确的是A ．当k 0=时，方程无解B ．当k 1=时，方程有一个实数解C ．当k 1=-时，方程有两个相等的实数解D ．当k 0≠时，方程总有两个不相等的实数解10．如图，已知E ，F 分别为正方形ABCD 的边AB ，BC 的中点，AF 与DE 交于点M ，O 为BD 的中点，则下列结论：①∠AME=90°；②∠BAF=∠EDB ；③∠BMO=90°；④MD=2AM=4EM ；⑤23AM MF =．其中正确结论的是（ ）A ．①③④B ．②④⑤C ．①③⑤D ．①③④⑤11．我国的钓鱼岛面积约为4400000m 2，用科学记数法表示为（ ） A ．4.4×106 B ．44×105 C ．4×106 D ．0.44×10712．如图，四边形ABCD 是平行四边形，点E 在BA 的延长线上，点F 在BC 的延长线上，连接EF ，分别交AD ，CD 于点G ，H ，则下列结论错误的是( )A．EA EGBE EF=B．EG AGGH GD=C．AB BCAE CF=D．FH CFEH AD=二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．某校园学子餐厅把WIFI密码做成了数学题，小亮在餐厅就餐时，思索了一会，输入密码，顺利地连接到了学子餐厅的网络，那么他输入的密码是______．14．已知扇形的弧长为π，圆心角为45°，则扇形半径为_____．15．圆锥体的底面周长为6π，侧面积为12π，则该圆锥体的高为．16．观光塔是潍坊市区的标志性建筑.为测量其高度，如图，一人先在附近一楼房的底端Ａ点处观测观光塔顶端C处的仰角是60°，然后爬到该楼房顶端B点处观测观光塔底部D处的俯角是30°，已知楼房高AB约是45 m，根据以上观测数据可求观光塔的高CD是______m.17．如图，正方形ABCD的边长为422+，点E在对角线BD上，且∠BAE=22.5°，EF⊥AB，垂足为点F，则EF的长是__________．18．关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣k=0的两个实数根分别是x1、x2，且x12+x22=4，则x12﹣x1x2+x22的值是_____．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）如图1，在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+1与抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）相交于点A（1，0）和点D（﹣4，5），并与y轴交于点C，抛物线的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线与x轴交于另一点B．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）若点E是直线下方抛物线上的一个动点，求出△ACE面积的最大值；（3）如图2，若点M是直线x=﹣1的一点，点N在抛物线上，以点A，D，M，N为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，请直接写出点M的坐标；若不能，请说明理由．20．（6分）丁老师为了解所任教的两个班的学生数学学习情况，对数学进行了一次测试，获得了两个班的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．①A、B两班学生（两个班的人数相同）数学成绩不完整的频数分布直方图如下（数据分成5组：x<60，60≤x<70，70≤x<80，80≤x<90，90≤x≤100）：②A、B两班学生测试成绩在80≤x<90这一组的数据如下：A班：80 80 82 83 85 85 86 87 87 87 88 89 89B班：80 80 81 81 82 82 83 84 84 85 85 86 86 86 87 87 87 87 87 88 88 89 ③A、B两班学生测试成绩的平均数、中位数、方差如下：平均数中位数方差A班80.6 m 96.9B班80.8 n 153.3根据以上信息，回答下列问题：补全数学成绩频数分布直方图；写出表中m、n的值；请你对比分析A、B两班学生的数学学习情况（至少从两个不同的角度分析）．21．（6分）某门市销售两种商品，甲种商品每件售价为300元，乙种商品每件售价为80元．该门市为促销制定了两种优惠方案：方案一：买一件甲种商品就赠送一件乙种商品；方案二：按购买金额打八折付款．某公司为奖励员工，购买了甲种商品20件，乙种商品x()件．(1)分别直接写出优惠方案一购买费用(元)、优惠方案二购买费用(元)与所买乙种商品x(件)之间的函数关系式；(2)若该公司共需要甲种商品20件，乙种商品40件．设按照方案一的优惠办法购买了m 件甲种商品，其余按方案二的优惠办法购买．请你写出总费用w 与m 之间的关系式；利用w 与m 之间的关系式说明怎样购买最实惠．22．（8分）某手机店销售10部A 型和20部B 型手机的利润为4000元，销售20部A 型和10部B 型手机的利润为3500元.(1)求每部A 型手机和B 型手机的销售利润；(2)该手机店计划一次购进A ，B 两种型号的手机共100部，其中B 型手机的进货量不超过A 型手机的2倍，设购进A 型手机x 部，这100部手机的销售总利润为y 元. ①求y 关于x 的函数关系式；②该手机店购进A 型、B 型手机各多少部，才能使销售总利润最大？(3)在(2)的条件下，该手机店实际进货时，厂家对A 型手机出厂价下调()0100m m <<元，且限定手机店最多购进A 型手机70部，若手机店保持同种手机的售价不变，设计出使这100部手机销售总利润最大的进货方案.23．（8分）如图，已知点D 在反比例函数ay x=的图象上，过点D 作DB y ⊥轴，垂足为(0,3)B ，直线y kx b =+经过点(5,0)A ，与y 轴交于点C ，且BD OC =，:2:5OC OA =.求反比例函数ay x=和一次函数y kx b =+的表达式；直接写出关于x 的不等式akx b x>+的解集. 24．（10分）如图，∠BAC 的平分线交△ABC 的外接圆于点D ，交BC 于点F ，∠ABC 的平分线交AD 于点E ．（1）求证：DE＝DB：（2）若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC外接圆的半径；（3）若BD＝6，DF＝4，求AD的长25．（10分）为落实“美丽抚顺”的工作部署，市政府计划对城区道路进行了改造，现安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的32倍，甲队改造360米的道路比乙队改造同样长的道路少用3天．（1）甲、乙两工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？（2）若甲队工作一天需付费用7万元，乙队工作一天需付费用5万元，如需改造的道路全长1200米，改造总费用不超过145万元，至少安排甲队工作多少天？26．（12分）某公司对用户满意度进行问卷调查，将连续6天内每天收回的问卷数进行统计，绘制成如图所示的统计图．已知从左到右各矩形的高度比为2:3:4:6:4:1．第3天的频数是2．请你回答：（1）收回问卷最多的一天共收到问卷_________份；（2）本次活动共收回问卷共_________份；（3）市场部对收回的问卷统一进行了编号，通过电脑程序随机抽选一个编号，抽到问卷是第4天收回的概率是多少？（4）按照（3）中的模式随机抽选若干编号，确定幸运用户发放纪念奖，第4天和第6天分别有10份和2份获奖，那么你认为这两组中哪个组获奖率较高？为什么？27．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+b与双曲线y＝kx相交于A，B两点，已知A（2，5）．求：b和k的值；△OAB的面积．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．A 【解析】 【分析】直接利用点与圆的位置关系进而得出答案． 【详解】解：∵⊙O 的半径为5cm ，OA=4cm ，∴点A 与⊙O 的位置关系是：点A 在⊙O 内． 故选A ． 【点睛】此题主要考查了点与圆的位置关系，正确①点P 在圆外⇔d ＞r ，②点P 在圆上⇔d=r ，③点P 在圆内⇔d ＜r 是解题关键． 2．A【解析】∵数据组2、x 、8、1、1、2的众数是2， ∴x=2，∴这组数据按从小到大排列为：2、2、2、1、1、8， ∴这组数据的中位数是：(2+1)÷2=3.1. 故选A. 3．C 【解析】 【分析】将一个数写成10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 是正数，这种记数的方法叫做科学记数法，根据定义解答即可. 【详解】解：6000万＝6×1． 故选：C ． 【点睛】此题考查科学记数法，当所表示的数的绝对值大于1时，n 为正整数，其值等于原数中整数部分的数位减去1，当要表示的数的绝对值小于1时，n 为负整数，其值等于原数中第一个非零数字前面所有零的个数的相反数，正确掌握科学记数法中n 的值的确定是解题的关键.4．B【解析】【分析】俯视图是从上面看几何体得到的图形，据此进行判断即可．【详解】由7个相同的小立方体木块堆成的一个几何体，拿掉1个小立方体木块之后，这个几何体的主（正）视图没变，得拿掉第一排的小正方形，拿掉这个小立方体木块之后的几何体的俯视图是，故选B．【点睛】本题主要考查了简单几何体的三视图，解题时注意：俯视图就是从几何体上面看到的图形．5．D【解析】分析：根据完全平方公式、积的乘方法则、同底数幂的除法法则和算术平方根的定义计算，判断即可．详解：（x+y）2=x2+2xy+y2，A错误；（-12xy2）3=-18x3y6，B错误；x6÷x3=x3，C错误；()22-4=2，D正确；故选D．点睛：本题考查的是完全平方公式、积的乘方、同底数幂的除法以及算术平方根的计算，掌握完全平方公式、积的乘方法则、同底数幂的除法法则和算术平方根的定义是解题的关键．6．D【解析】【详解】设点C所对应的实数是x．根据中心对称的性质，对称点到对称中心的距离相等，则有()x3=31-，解得x=23+1.故选D.7．C【解析】【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：抛物线开口向下，得：a ＜0；抛物线的对称轴为x=-2ba=1，则b=-2a ，2a+b=0，b=-2a ，故b ＞0；抛物线交y 轴于正半轴，得：c ＞0. ∴abc ＜0, ①正确； 2a+b=0，②正确；由图知：抛物线与x 轴有两个不同的交点，则△=b 2-4ac ＞0，故③错误；由对称性可知，抛物线与x 轴的正半轴的交点横坐标是x=3，所以当x=3时，y= 9a+3b+c=0,故④错误； 观察图象得当x=-2时，y ＜0， 即4a-2b+c ＜0 ∵b=-2a ， ∴4a+4a+c ＜0 即8a+c ＜0，故⑤正确. 正确的结论有①②⑤， 故选:C 【点睛】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的表达式求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用． 8．C 【解析】 【分析】根据圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，列出方程求出圆锥的底面半径，再利用勾股定理求出圆锥的高． 【详解】解：半径为12cm ，圆心角为60o 的扇形弧长是：()60π124πcm 180⨯=，设圆锥的底面半径是rcm ， 则2πr 4π=， 解得：r 2=．即这个圆锥形冰淇淋纸套的底面半径是2cm ．)cm =． 故选：C ． 【点睛】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算.解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：()1圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；()2圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长.正确对这两个关系的记忆是解题的关键．9．C 【解析】当k 0=时，方程为一元一次方程x 10-=有唯一解． 当k 0≠时，方程为一元二次方程，的情况由根的判别式确定： ∵()()()221k 4k 1k 1∆=--⋅⋅-=+，∴当k 1=-时，方程有两个相等的实数解，当k 0≠且k 1≠-时，方程有两个不相等的实数解．综上所述，说法C 正确．故选C ． 10．D 【解析】 【分析】根据正方形的性质可得AB=BC=AD ，∠ABC=∠BAD=90°，再根据中点定义求出AE=BF ，然后利用“边角边”证明△ABF 和△DAE 全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BAF=∠ADE ，然后求出∠ADE+∠DAF=∠BAD=90°，从而求出∠AMD=90°，再根据邻补角的定义可得∠AME=90°，从而判断①正确；根据中线的定义判断出∠ADE≠∠EDB ，然后求出∠BAF≠∠EDB ，判断出②错误；根据直角三角形的性质判断出△AED 、△MAD 、△MEA 三个三角形相似，利用相似三角形对应边成比例可得2AM MD ADEM AM AE===，然后求出MD=2AM=4EM ，判断出④正确，设正方形ABCD 的边长为2a ，利用勾股定理列式求出AF ，再根据相似三角形对应边成比例求出AM ，然后求出MF ，消掉a 即可得到AM=23MF ，判断出⑤正确；过点M 作MN ⊥AB 于N ，求出MN 、NB ，然后利用勾股定理列式求出BM ，过点M 作GH ∥AB ，过点O 作OK ⊥GH 于K ，然后求出OK 、MK ，再利用勾股定理列式求出MO ，根据正方形的性质求出BO ，然后利用勾股定理逆定理判断出∠BMO=90°，从而判断出③正确． 【详解】在正方形ABCD 中，AB=BC=AD ，∠ABC=∠BAD=90°， ∵E 、F 分别为边AB ，BC 的中点， ∴AE=BF=12BC ， 在△ABF 和△DAE 中，AE BF ABC BAD AB AD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ，∴△ABF ≌△DAE （SAS ），∴∠BAF=∠ADE ，∵∠BAF+∠DAF=∠BAD=90°，∴∠ADE+∠DAF=∠BAD=90°，∴∠AMD=180°-（∠ADE+∠DAF ）=180°-90°=90°，∴∠AME=180°-∠AMD=180°-90°=90°，故①正确；∵DE 是△ABD 的中线，∴∠ADE≠∠EDB ，∴∠BAF≠∠EDB ，故②错误；∵∠BAD=90°，AM ⊥DE ，∴△AED ∽△MAD ∽△MEA ， ∴2AM MD AD EM AM AE === ∴AM=2EM ，MD=2AM ， ∴MD=2AM=4EM ，故④正确；设正方形ABCD 的边长为2a ，则BF=a ，在Rt △ABF 中，AF=()222225AB BF a a a +=+=∵∠BAF=∠MAE ，∠ABC=∠AME=90°，∴△AME ∽△ABF ，∴AM AE AB AF= ， 即25AM a a=， 解得AM=25a ∴MF=AF-AM=25355=a a a -，∴AM=23MF ，故⑤正确； 如图，过点M 作MN ⊥AB 于N ，则MN AN AM BF AB AF==即2a MN AN a a == 解得MN=a 52，AN=45a ， ∴NB=AB-AN=2a-45a =65a ， 根据勾股定理，== 过点M 作GH ∥AB ，过点O 作OK ⊥GH 于K ，则OK=a-a 52=a 53，MK=65a -a=15a ， 在Rt △MKO 中，== 根据正方形的性质，=， ∵BM 2+MO 2=2222a ⎫⎫+=⎪⎪⎝⎭⎝⎭)2222BO a ==∴BM 2+MO 2=BO 2，∴△BMO 是直角三角形，∠BMO=90°，故③正确；综上所述，正确的结论有①③④⑤共4个．故选：D【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，勾股定理逆定理的应用，综合性较强，难度较大，仔细分析图形并作出辅助线构造出直角三角形与相似三角形是解题的关键．11．A【解析】4400000=4.4×1．故选A ． 点睛：科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．12．C【解析】试题解析：∵四边形ABCD 是平行四边形，,AD BF BE DC AD BC ∴=P P ，，,,.EA EG EG AG HF FC CF BE EF GH DG EH BC AD∴==== 故选C.二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．143549【解析】【分析】根据题中密码规律确定所求即可.【详解】5⊗3⊗2=5×3×10000+5×2×100+5×（2+3）=1510259⊗2⊗4=9×2×10000+9×4×100+9×（2+4）=183654，8⊗6⊗3=8×6×10000+8×3×100+8×（3+6）=482472，∴7⊗2⊗5=7×2×10000+7×5×100+7×（2+5）=143549.故答案为：143549【点睛】本题考查有理数的混合运算，根据题意得出规律并熟练掌握运算法则是解题关键.14．1【解析】【分析】根据弧长公式l=n πr 180代入求解即可． 【详解】 解：∵n πr l 180=， ∴180l r 4n π==． 故答案为1．【点睛】本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是掌握弧长公式：l=n πr 180．15【解析】试题分析：用周长除以2π即为圆锥的底面半径；根据圆锥的侧面积=12×侧面展开图的弧长×母线长可得圆锥的母线长，利用勾股定理可得圆锥的高．试题解析：∵圆锥的底面周长为6π，∴圆锥的底面半径为6π÷2π="3，"∵圆锥的侧面积=12×侧面展开图的弧长×母线长，∴母线长=2×12π÷6π="4，"∴这个圆锥的高是考点：圆锥的计算．16．135【解析】试题分析：根据题意可得：∠BDA=30°,∠DAC =60°,在Rt△ABD中，因为AB=45m，所以AD=453m，所以在Rt△ACD中，3AD=453×3=135m．考点：解直角三角形的应用．17．2【解析】【分析】设EF=x，先由勾股定理求出BD，再求出AE=ED，得出方程，解方程即可．【详解】设EF=x，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°，∠ABD=∠ADB=45°，∴22+4，EF=BF=x，∴2x，∵∠BAE=22.5°，∴∠DAE=90°-22.5°=67.5°，∴∠AED=180°-45°-67.5°=67.5°，∴∠AED=∠DAE，∴AD=ED，∴222+4，解得：x=2，即EF=2.18．1【解析】【分析】根据根与系数的关系结合x 1+x 2=x 1•x 2可得出关于k 的一元二次方程，解之即可得出k 的值，再根据方程有实数根结合根的判别式即可得出关于k 的一元二次不等式，解之即可得出k 的取值范围，从而可确定k 的值．【详解】∵x 2﹣2kx+k 2﹣k=0的两个实数根分别是x 1、x 2，∴x 1+x 2=2k ，x 1•x 2=k 2﹣k ，∵x 12+x 22=1，∴（x 1+x 2）2-2x 1x 2=1，（2k ）2﹣2（k 2﹣k ）=1，2k 2+2k ﹣1=0，k 2+k ﹣2=0，k=﹣2或1，∵△=（﹣2k ）2﹣1×1×（k 2﹣k ）≥0，k≥0，∴k=1，∴x 1•x 2=k 2﹣k=0，∴x 12﹣x 1x 2+x 22=1﹣0=1，故答案为：1．【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握“当一元二次方程有实数根时，根的判别式△≥0”是解题的关键．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（1）y=x2+2x ﹣3；（2）258；（3）详见解析. 【解析】试题分析：（1）先利用抛物线的对称性确定出点B 的坐标，然后设抛物线的解析式为y=a （x+3）（x-1），将点D 的坐标代入求得a 的值即可；（2）过点E 作EF ∥y 轴，交AD 与点F ，过点C 作CH ⊥EF ，垂足为H ．设点E （m ，m 2+2m-3），则F （m ，-m+1），则EF=-m 2-3m+4，然后依据△ACE 的面积=△EFA 的面积-△EFC 的面积列出三角形的面积与m 的函数关系式，然后利用二次函数的性质求得△ACE 的最大值即可；（3）当AD 为平行四边形的对角线时．设点M 的坐标为（-1，a ），点N 的坐标为（x ，y ），利用平行四边形对角线互相平分的性质可求得x 的值，然后将x=-2代入求得对应的y 值，然后依据2y a +＝052+，可求得a 的值；当AD 为平行四边形的边时．设点M 的坐标为（-1，a ）．则点N 的坐标为（-6，a+5）或（4，a-5），将点N的坐标代入抛物线的解析式可求得a的值．试题解析：(1)∴A(1，0)，抛物线的对称轴为直线x＝－1，∴B(－3，0)，设抛物线的表达式为y＝a(x＋3)(x－1)，将点D(－4，5)代入，得5a＝5，解得a＝1，∴抛物线的表达式为y＝x2＋2x－3；(2)过点E作EF∥y轴，交AD与点F，交x轴于点G，过点C作CH⊥EF，垂足为H.设点E(m，m2＋2m－3)，则F(m，－m＋1)．∴EF＝－m＋1－m2－2m＋3＝－m2－3m＋4.∴S△ACE＝S△EFA－S△EFC＝12EF·AG－12EF·HC＝12EF·OA＝－12(m＋32)2＋258.∴△ACE的面积的最大值为258；(3)当AD为平行四边形的对角线时：设点M的坐标为(－1，a)，点N的坐标为(x，y)．∴平行四边形的对角线互相平分，∴12x-+＝()142+-，2y a+＝052+，解得x＝－2，y＝5－a，将点N的坐标代入抛物线的表达式，得5－a＝－3，解得a＝8，∴点M的坐标为(－1，8)，当AD为平行四边形的边时：设点M的坐标为(－1，a)，则点N的坐标为(－6，a＋5)或(4，a－5)，∴将x＝－6，y＝a＋5代入抛物线的表达式，得a＋5＝36－12－3，解得a＝16，∴M(－1，16)，将x＝4，y＝a－5代入抛物线的表达式，得a－5＝16＋8－3，解得a＝26，∴M(－1，26)，综上所述，当点M的坐标为(－1，26)或(－1，16)或(－1，8)时，以点A，D，M，N为顶点的四边形能成为平行四边形．20．（1）见解析；（2）m=81，n=85；（3）略.【解析】【分析】（1）先求出B班人数，根据两班人数相同可求出A班70≤x<80组的人数，补全统计图即可；（2）根据中位数的定义求解即可；（3）可以从中位数和方差的角度分析，合理即可.【详解】解：（1）A、B两班学生人数=5+2+3+22+8=40人，A班70≤x<80组的人数=40-1-7-13-9=10人，A、B两班学生数学成绩频数分布直方图如下:（2）根据中位数的定义可得：m=80822+=81，n=85852+=85；（3）从中位数的角度看，B班学生的数学成绩比A班学生的数学成绩好；从方差的角度看，A班学生的数学成绩比B班学生的数学成绩稳定.【点睛】本题考查了条形统计图、求中位数以及利用平均数、中位数、方差作决策等知识，能够从统计图中获取有用信息是解题关键.21．（1）y1=80x+4400；y2=64x+4800；（2）当m=20时，w取得最小值，即按照方案一购买20件甲种商品、按照方案二购买20件乙种商品时，总费用最低．【解析】（1）根据方案即可列出函数关系式；（2）根据题意建立w与m之间的关系式，再根据一次函数的增减性即可得出答案.解：（1）得：；得：；（2）,因为w是m的一次函数，k=-4<0,所以w 随的增加而减小，m 当m=20时，w 取得最小值.即按照方案一购买20件甲种商品；按照方案二购买20件乙种商品.22． (1)每部A 型手机的销售利润为100元，每部B 型手机的销售利润为150元；(2)①5015000y x =-+；②手机店购进34部A 型手机和66部B 型手机的销售利润最大；(3)手机店购进70部A 型手机和30部B 型手机的销售利润最大.【解析】【分析】（1）设每部A 型手机的销售利润为a 元，每部B 型手机的销售利润为b 元，根据题意列出方程组求解即可；（2）①根据总利润=销售A 型手机的利润+销售B 型手机的利润即可列出函数关系式；②根据题意，得1002x x -≤，解得1003x ≥，根据一次函数的增减性可得当当34x =时，y 取最大值； （3）根据题意，()5015000y m x =-+，100703x ≤≤，然后分①当050m <<时，②当50m =时，③当50100m <<时，三种情况进行讨论求解即可.【详解】解：(1)设每部A 型手机的销售利润为a 元，每部B 型手机的销售利润为b 元.根据题意，得1020400020103500a b a b +=⎧⎨+=⎩， 解得100150a b =⎧⎨=⎩ 答：每部A 型手机的销售利润为100元，每部B 型手机的销售利润为150元.(2)①根据题意，得()100150100y x x =+-，即5015000y x =-+.②根据题意，得1002x x -≤，解得1003x ≥. 5015000y x =-+Q ，500-<，y ∴随x 的增大而减小.x Q 为正整数，∴当34x =时，y 取最大值，10066x -=.即手机店购进34部A 型手机和66部B 型手机的销售利润最大.(3)根据题意，得()()100150100y m x x =++-.即()5015000y m x =-+，100703x ≤≤. ①当050m <<时，y 随x 的增大而减小，∴当34x =时，y 取最大值，即手机店购进34部A 型手机和66部B 型手机的销售利润最大；②当50m =时，500m -=，15000y =，即手机店购进A 型手机的数量为满足100703x ≤≤的整数时，获得利润相同；③当50100m <<时，500m ->，y 随x 的增大而增大， ∴当70x =时，y 取得最大值，即手机店购进70部A 型手机和30部B 型手机的销售利润最大.【点睛】本题主要考查一次函数的应用，二元一次方程组的应用，解此题的关键在于熟练掌握一次函数的增减性. 23．（1）y=-6x ．y=25x-1．（1）x ＜2． 【解析】分析：（1）根据待定系数法即可求出反比例函数和一次函数的表达式.详解：（1）∵BD OC =，:2:5OC OA =， 点A （5，2），点B （2，3），∴523OA OC BD OB ====，，，又∵点C 在y 轴负半轴，点D 在第二象限，∴点C 的坐标为（2，-1），点D 的坐标为（-1，3）． ∵点()23D -，在反比例函数y=a x 的图象上， ∴236a =-⨯=-，∴反比例函数的表达式为6y x=-将A （5，2）、B （2，-1）代入y=kx+b ，502k b b +⎧⎨-⎩＝＝，解得：252k b ⎧⎪⎨⎪-⎩＝＝ ∴一次函数的表达式为2y x 25=-． （1）将2y x 25=-代入6y x =-，整理得： 222605x x -+=， ∵()2228246055=--⨯⨯=-<V ， ∴一次函数图象与反比例函数图象无交点．观察图形，可知：当x ＜2时，反比例函数图象在一次函数图象上方，∴不等式ax＞kx+b的解集为x＜2．点睛：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．24．（1）见解析；（2）22（3）1【解析】【分析】（1）通过证明∠BED=∠DBE得到DB=DE；（2）连接CD，如图，证明△DBC为等腰直角三角形得到BC=2BD=42，从而得到△ABC外接圆的半径；（3）证明△DBF∽△ADB，然后利用相似比求AD的长．【详解】（1）证明：∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABD，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠BED=∠1+∠3=∠2+∠4=∠5+∠4=∠DBE，∴DB=DE；（2）解：连接CD，如图，∵∠BAC=10°，∴BC为直径，∴∠BDC=10°，∵∠1=∠2，∴DB=BC，∴△DBC为等腰直角三角形，∴BC=BD=4，∴△ABC外接圆的半径为2；（3）解：∵∠5=∠2=∠1，∠FDB=∠BDA，∴△DBF∽△ADB，∴=，即=，∴AD=1．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质．25．（1）乙工程队每天能改造道路的长度为40米，甲工程队每天能改造道路的长度为60米．（2）10天.【解析】【分析】（1）设乙工程队每天能改造道路的长度为x 米，则甲工程队每天能改造道路的长度为32x 米，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合甲队改造360米的道路比乙队改造同样长的道路少用3天，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设安排甲队工作m 天，则安排乙队工作12006040m -天，根据总费用=甲队每天所需费用×工作时间+乙队每天所需费用×工作时间结合总费用不超过145万元，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．【详解】（1）设乙工程队每天能改造道路的长度为x 米，则甲工程队每天能改造道路的长度为32x 米， 根据题意得：360360332x x -=， 解得：x=40，经检验，x=40是原分式方程的解，且符合题意， ∴32x=32×40=60， 答：乙工程队每天能改造道路的长度为40米，甲工程队每天能改造道路的长度为60米；（2）设安排甲队工作m 天，则安排乙队工作12006040m -天， 根据题意得：7m+5×12006040m -≤145， 解得：m≥10，答：至少安排甲队工作10天．【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式．26．18 60分【解析】分析：（1）观察图形可知，第4天收到问卷最多，用矩形的高度比=频数之比即可得出结论；（2）由于组距相同，各矩形的高度比即为频数的比，可由数据总数=某组的频数÷频率计算；（3）根据概率公式计算即可；（4）分别计算第4天，第6天的获奖率后比较即可．详解：（1）由图可知：第4天收到问卷最多，设份数为x ，则：4：6=2：x ，解得：x=18；（2）2÷[4÷（2+3+4+6+4+1）]=60份；（3）4183P 6010==∴第天，抽到第4天回收问卷的概率是310； （4）第4天收回问卷获奖率105189=，第6天收回问卷获奖率23． ∵5293<， ∴第6天收回问卷获奖率高．点睛：本题考查了对频数分布直方图的掌握情况，根据图中信息，求出频率，用来估计概率．用到的知识点为：总体数目=部分数目÷相应频率．部分的具体数目=总体数目×相应频率．概率=所求情况数与总情况数之比．27．（1）b=3，k=10；（2）S △AOB =212． 【解析】 （1）由直线y=x+b 与双曲线y=k x相交于A 、B 两点，A （2，5），即可得到结论； （2）过A 作AD ⊥x 轴于D ，BE ⊥x 轴于E ，根据y=x+3，y=10x ，得到（-5，-2），C （-3，0）．求出OC=3，然后根据三角形的面积公式即可得到结论.解：（1）把()2,5A 代入y x b =+．∴52b =+∴3b =．把()2,5A 代入k y x =，∴52k =， ∴10k =．（2）∵10y x =，3y x =+． ∴103x x=+时，2103x x =+， ∴12x =，25x =-．∴()5,2B --．又∵()3,0C -，∴AOB AOC BOC S S S =+V V V 353222⨯⨯=+ 10.5=．2019-2020学年中考数学模拟试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．估算9153+÷的运算结果应在（ ） A ．2到3之间B ．3到4之间C ．4到5之间D ．5到6之间 2．如图，平行四边形 ABCD 中，E 为 BC 边上一点，以 AE 为边作正方形AEFG ，若 40BAE ∠=︒，15CEF ∠=︒，则 D ∠的度数是A ．65︒B ．55︒C ．70︒D ．75︒3．如图，在△ABC 中，DE ∥BC 交AB 于D ，交AC 于E ，错误的结论是（ ）．A ．AD AE DB EC = B ．AB AC AD AE = C ．AC EC AB DB = D ．AD DE DB BC= 4．某商品的标价为200元，8折销售仍赚40元，则商品进价为（ ）元．A ．140B ．120C ．160D ．1005．下列解方程去分母正确的是( )A ．由，得2x ﹣1＝3﹣3xB ．由，得2x ﹣2﹣x ＝﹣4C ．由，得2y-15=3yD ．由，得3(y+1)＝2y+66．某校在国学文化进校园活动中，随机统计50名学生一周的课外阅读时间如表所示，这组数据的众数和中位数分别是（ ）学生数（人） 5 8 14 19 4。
2020年河南省开封市中考数学一模试卷(附答案详解)
2020年河南省开封市中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列四个实数中，最大的是()A. −2B. 0C. 13D. π32.某种冠状病毒的直径为125纳米，已知1米=109纳米，则用科学记数法表示这种冠状病毒的直径为()A. 1.25×10−6米B. 1.25×10−7米C. 1.25×10−8米D. 1.25×10−9米3.如图，∠ABC=45°，∠EDF=60°，若要使直线BC//EG，则可使直线EG绕点D逆时针旋转()A. 15°B. 25°C. 30°D. 105°4.某电子科技公司招聘本科毕业生，小林同学的心理测试、笔试、面试得分分别为80分、90分、70分.若依次按照2：3：5的比例确定成绩，则小林同学的最终成绩为()A. 80分B. 85分C. 78分D. 82分5.新年伊始，疫情肆虐．面对疫情，万千医者逆行而上，保家卫国，再次铸就新时代的钢铁长城！某校数学兴趣小组制作了一个小立方体，小立方体的每一个面上各有一个字，组成了“防控就是责任”.如图所示是这个小立方体的展开图，则“控”字的对面是()A. 防B. 是C. 责D. 任6.下列运算正确的是()A. 5a−2a=3B. a3⋅a4=a12C. (−a2b3)2=a4b6D. (−a2)3=a67.如图是一次数学活动课上制作的两个转盘，甲转盘被均分为三部分，上面分别写着9，8，5三个数字，乙转盘被均分为四部分，上面分别写着1，6，9，8四个数字．同时转动两个转盘，停止转动后两个转盘上指针所指的数字恰好都能被3整除的概率是()A. 12B. 13C. 14D. 168.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8.以点A为圆心，BC的长为半径作弧交AB于点D，再分别以点A，D为圆心，以AB，AC的长为半径作弧交于点E，连接AE，DE，若点F为AE的中点，则DF的长为()A. 4B. 5C. 6D. 89.已知抛物线y=ax2−2ax+b(a>0)的图象上三个点的坐标分别为A(−1,y1)，B(2,y2)，C(4,y3)，则y1，y2，y3的大小关系为()A. y3>y1>y2B. y3>y2>y1C. y2>y1>y3D. y2>y3>y110.如图，指针OA，OB分别从与x轴和y轴重合的位置出发，绕着原点O顺时针转动，已知OA每秒转动45°，OB的转动速度是OA的13，则第2020秒时，OA与OB之间夹角的度数为()A. 130°B. 145°C. 150°D. 165°二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）11.计算：(−2)0−(12)−2=______．12.若关于x的一元二次方程2x2−4x=k没有实数根，则k的取值范围是______．13.不等式组{x+1≥02x−9<0的所有整数解的中位数是______．14.如图，矩形ABCD中，AB=2AD=4√3，AE=2，点O为AB的中点，以点O为圆心，OE的长为半径画弧交BC于点F，则图中阴影部分的面积为______．15. 如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，AB =8，点D ，E 分别为AC ，BC 的中点，点F 为AB 边上一动点，将∠A 沿着DF 折叠，点A 的对应点为点G ，且点G 始终在直线DE 的下方，连接GE ，当△GDE 为直角三角形时，线段AF 的长为______．三、解答题（本大题共8小题，共75.0分）16. 先化简，再求值：(1−3a+2)÷(a−1a 2+4a+4)，其中a =√5−2．17. “停课不停学，学习不延期!”某市教育局为了解初中学生疫情期间在家学习时对一些学习方式的喜好情况，通过微信采用电子问卷的方式随机调查了部分学生(电子调查表如图所示)，并根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图，其中中选择选项A 与选项C 的人数之和等于选择选项B 的人数．最喜欢的学习方式你选哪一项？(单选)A.观看名校网络直播；B.观看任课教师网络直播；C.自学与微课相结合；D.自学与微信交流相结合；E.其他．根据以上统计图，解答下列问题：(1)本次接受调查的学生共有______人；(2)求选择选项B与选项C的人数并补全条形统计图；(3)扇形统计图中，扇形B的圆心角的度数是______；(4)若该市约有16万初中生，请估计喜欢自学(选择选项C或D)的学生人数．18.如图，以AB为直径的半圆O分别交△ABC的边AC，BC于点D，E，过点D作⊙O的切线交BC于点F，连接DE，已知点D为AE⏜的中点．(1)求证：CF=EF；(2)填空：①若AB=16，BE=6，则AD=______；②当四边形OADE为菱形时，∠C的度数为______．19.某数学学习兴趣小组要测量校园广场内旗杆的高度，其示意图如图所示．小聪同学在旗杆AB的正南方向用高1米的测倾器(CD=1米)测得旗杆顶端A的仰角是37°，在旗杆AB的正北方向(点F，B，D在同一直线上)2米高的图书馆的台阶上，小颖同学用1米高的测倾器(EF=3米)测得旗杆顶端A的仰角为18°，又测得FD=58.5米．求旗杆的高度．(结果精确到0.1米)(sin18°=√1010,cos18°=3√1010,tan18°=13,sin37°=35,cos37°=45,tan37°=34)20.由于新能源汽车越来越受到消费者的青睐，某经销商决定分两次购进甲、乙两种型号的新能源汽车(两次购进同一种型号汽车每辆的进价相同).第一次用275万元购进甲型号汽车30辆和乙型号汽车20辆；第二次用191万元购进甲型号汽车14辆和乙型号汽车25辆．(1)求甲、乙两种型号汽车每辆的进价；(2)经销商分别以每辆甲型号汽车8.8万元，每辆乙型号汽车5.8万元的价格销售后，根据销售情况，决定再次购进甲、乙两种型号的汽车共100辆，且乙型号汽车的辆数不少于甲型号汽车辆数的2倍，若两种型号汽车每辆的进价与售价均不变，请你求出获利最大的购买方案，并求出最大利润．21.如图，矩形ABCD的两个顶点A，B分别在y轴和x轴上，对角线AC，BD交于点E，过点C作CF⊥x轴于点F.已知反比例函数y=k的图象经过点E，交CF于点G，x点A，B，F的坐标分别为A(0,3)，B(2,0)，F(8,0)．(1)求反比例函数y=k的解析式；x(2)在x轴上是否存在点P，使得DP+GP的值最小，若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．22.如图1，在正方形ABCD中，AB=4，点E在AC上，且AE=√2，过E点作EF⊥AC于点E，交AB于点F，连接CF，DE．【问题发现】(1)线段DE与CF的数量关系是______，直线DE与CF所夹锐角的度数是______；【拓展探究】(2)当△AEF绕点A顺时针旋转时，上述结论是否成立？若成立，请写出结论，并结合图2给出证明；若不成立，请说明理由；【解决问题】(3)在(2)的条件下，当点E到直线AD的距离为1时，请直接写出CF的长．x+b的图象经过点A(−3,0)和点B(0,4)，∠BAO的23.如图，已知二次函数y=ax2+13平分线分别交抛物线和y轴于点C，D.点P为抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线交直线AC于点E，连接PC．(1)求二次函数的解析式；(2)当以点P，C，E为顶点的三角形与△ADO相似时，求点P的坐标；∠ABO，请直接写出点F的坐标．(3)设点F为直线AC上一点，若∠BFD=12答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵−2<0<13<π3，∴这四个实数中，最大的是π3．故选：D．根据实数的大小比较法则进行比较即可．本题考查了实数的大小比较，正数都大于0，负数都小于0，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．2.【答案】B【解析】解：用科学记数法表示这种冠状病毒的直径为125×10−9米=1.25×10−7米．故选：B．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3.【答案】A【解析】解：如图，∵HI//BC，∠ABC=45°，∴∠ADI=45°，∴∠FDH=45°，∵∠EDF=60°，∴∠EDH=15°．故选：A．根据平行线的判定和性质．以及旋转的性质即可求解．考查了平行线的判定，关键是熟悉同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行的知识点．4.【答案】C=78(分)，【解析】解：小林同学的最终成绩为80×2+90×3+70×52+3+5故选：C．根据加权平均数的定义列式计算可得．本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．5.【答案】B【解析】解：“控”字的对面是“是”．故选：B．正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．本题考查灵活运用正方体的相对面解答问题，立意新颖，是一道不错的题．注意正方体的平面展开图中，相对的两个面中间一定隔着一个小正方形．6.【答案】C【解析】解：A.5a−2a=3a，故本选项不合题意；B.a3⋅a4=a7，故本选项不合题意；C.(−a2b3)2=a4b6，故本选项符合题意；D.(−a2)3=−a6，故本选项不合题意．故选：C．分别根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，积的乘法运算法则逐一判断即可．本题主要考查了同底数幂的乘法，合并同类项以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．7.【答案】D【解析】解：画树状图如下：共有12个等可能的结果，停止转动后两个转盘上指针所指的数字恰好都能被3整除的结果有2个，∴同时转动两个转盘，停止转动后两个转盘上指针所指的数字恰好都能被3整除的概率为212=16；故选：D．画出树状图，共有12个等可能的结果，停止转动后两个转盘上指针所指的数字恰好都能被3整除的结果有2个，即可得出答案．本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．8.【答案】B【解析】解：根据作图知，AD=BC，AE=AB，DE=AC，∴△ADE≌△BCA(SSS)，∴∠ADE=∠BCA=90°，AE=AC，∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，∴AB=√AC2+BC2=√62+82=10，∴AE=AB=10，∵点F为AE的中点，∴DF=12AE=5，故选：B．根据全等三角形的性质得到∠ADE=∠BCA=90°，AE=AC，根据勾股定理即可得到结论．本题考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确的理解题意是解题的关键．【解析】解：y=ax2−2ax+b(a>0)，=1，对称轴是直线x=−−2a2a即二次函数的开口向上，对称轴是直线x=1，即在对称轴的右侧y随x的增大而增大，A点关于直线x=1的对称点是D(3,y1)，∵2<3<4，∴y3>y1>y2，故选：A．求出抛物线的对称轴，求出A关于对称轴的对称点的坐标，根据抛物线的开口方向和增减性，即可求出答案．本题考查了学生对二次函数图象上点的坐标特征的理解和运用，主要考查学生的观察能力和分析能力，本题比较典型，但是一道比较容易出错的题目．10.【答案】C【解析】解：设t秒第一次相遇．由题意：270+15t=45t，解得t=9，相遇后设m秒第二次相遇，则有45m−15m=360，解得m=12，以后每过12秒相遇一次，(2020−9)÷12=167…7，∴2020秒时，7×45°−7×15°=210°，此时OA与OB的夹角为150°故选：C．首先求出第一次相遇的时间，再求出第二次相遇所用的时间，探究规律利用规律解决问题即可．本题考查坐标与图形的变化−旋转，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．【解析】解：原式=1−4=−3，故答案为：−3．利用负整数指数幂和零次幂的性质进行计算即可．此题主要考查了负整数指数幂，关键是掌握负整数指数幂：a−p=1a p(a≠0,p为正整数)，零指数幂：a0=1(a≠0)．12.【答案】k<−2【解析】解：方程化为一般式为2x2−4x−k=0，根据题意得△=(−4)2−4×2×(−k)<0，解得k<−2．故答案为k<−2．先把方程化为一般式，再利用判别式的意义得到△=(−4)2−4×2×(−k)<0，然后解不等式即可．本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程无实数根．13.【答案】1.5【解析】解：{x+1≥0①2x−9<0②，解①得x≥−1，解②得x<4.5，∴不等式组的解集为−1≤x<4.5，∴所求不等式组的整数解为−1，0，1，2，3，4，所以所有整数解的中位数是1+22=1.5，故答案为：1.5．先求出每个不等式的解集，再确定其公共解，得到不等式组的解集，然后求其整数解，进而得出中位数即可．此题考查中位数，解答此题要先求出不等式组的解集，求不等式组的解集要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．14.【答案】24−12√3【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=90°，∵AB=2AD=4√3，AE=2，∴AD=BC=2√3，OE=√OA2+AE2=4，∴∠AOE=30°，过O作OH⊥CD于H，∴OH=AD=2√3，∵OM=OE，∴Rt△AOE≌Rt△HOM(HL)，∴∠AOE=∠HOM=30°，MH=AE=2，同理∠BOF=∠HON=30°，HN=2，∴∠EOM=∠FON=30°，∴图中阴影部分的面积=2√3×4√3−2×12×2×2√3−2×30⋅π×42360−12×4×2√3+60⋅π×42 360−12×4×2√3=2S△EDM=2×12×(2√3−2)2=24−12√3，故答案为：24−12√3．根据矩形的性质得到∠A=∠B=90°，解直角三角形得到OE=√OA2+AE2=4，∠AOE=30°，过O作OH⊥CD于H，根据全等三角形的性质得到∠AOE=∠HOM=30°，MH=AE=2，同理∠BOF=∠HON=30°，HN=2，根据三角形的面积公式扇形的面积公式即可得到结论．本题考查了扇形面积的计算，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．15.【答案】2【解析】解：∵点D，E分别为AC，BC的中点，∴DE=12AB=4，DE//BC，∵∠C=90°，∠A=30°，∴AC=ABcos30°=4√3，∴AD=DG=4√3，当恰好在AB上时，F、G重合，此时AG=2ADcos30°=6，∵ADcos30°+DE=7>6，∴G并未在E点正下方，由于F再往右运动，G点在BC上方，F就不存在，∴△GDE为直角三角形只能是∠EDG=90°，如图，记DG与AB交于H，∵∠A=30°，DG⊥DE，∴∠AHD=90°，∠ADG=60°，∵翻折对应角相等，∴∠ADF=∠GDF=30°，∠DFH=60°，∴AF=DF，AD，DH=DF⋅sin60°，∵DH=12∴AF=2．故答案为：2．先证明∠DEG≠90°，再讨论当∠EDG=90°时的情况，由翻折得∠ADF=∠GDF=30°，AD，DH=DF⋅sin60°，即得AF=2．∠DFH=60°，再由DH=12本题主要考查了直角三角形的性质、翻折的性质、锐角三角函数，分类讨论画出草图找到∠ADF=∠GDF=30°，∠DFH=60°是本题的关键．16.【答案】解：(1−3a+2)÷(a−1a 2+4a+4)=a+2−3a+2⋅(a+2)2a−1 =a−11⋅a+2a−1=a +2，当a =√5−2时，原式=√5−2+2=√5．【解析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将a 的值代入化简后的式子即可解答本题．本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．17.【答案】800 126°【解析】解：(1)200÷25%=800(人)，故答案为：800；(2)设利用方式B 的有x 人，利用方式C 的有y 人，由题意得，{x +y =800−120−200−40x =120+y，解得，{x =280y =160； 答：选择B 的有280人，选择方式C 的有160人，补全统计图如图所示：(3)360°×280800=126°，故答案为：126°；(4)16×160+200800=7.2(万人)，答：该市16万初中生中喜欢自学(选择选项C 或D)的有7.2万人．(1)从两个统计图中可知，使用方式D 的有200人，占调查人数的25%，可求出调查人数；(2)利用方程组求解，得出使用“方式B ”“方式C ”的人数，进而补全统计图；(3)“扇形B ”所占的百分比为280800，因此相应的圆心角为360°的280800，计算即可；(4)求出“方式C 、方式D ”所占的百分比，用样本估计总体，进行计算即可得出答案． 考查条形统计图、扇形统计图的意义和制作方法，从统计图中获取数量和数量之间的关系是正确解答的关键．18.【答案】4√5 60°【解析】解：(1)连接BD ，∵AB 是直径，故BD ⊥AC ，∵D 为AE⏜的中点，故点D 是AC 的中点， 故AB =BC ，则∠C =∠ACB ，∵∠CDE =∠ACB ，∴∠C =∠CED ，∵点D 是AC 的中点、点O 是AB 的中点，故OD 是△ABC 的中位线，故OD//BC ，而DF 是圆的切线，故D O ⊥DF ，∴DF ⊥CE ，∴点F 是CE 的中点，∴FE =FC ；(2)①过点D 作DH ⊥AB 于点H ，过点O 作OG ⊥BE 于点G ，∵OD//BC ，∴∠GBO =∠DOH ，∵∠DHO=∠OGB=90°，OB=OD，∴△DHO≌△OGB(AAS)，∴DH=OG，OH=BG，BE=3，在Rt△BOG中，BG=12在Rt△ADH中，则AD2=AH2+DH2=DO2−OH2+AH2=64−9+(8−3)2=80，∴AD=4√5，故答案为4√5；②设∠C=α，由(1)知，△ADO和△DCE分别为以点O和点D为顶点、底角均为α的等腰三角形，即∠OAD=∠ODA=∠DEF=∠C=α，在菱形AOED中，连接OD，则∠ODE=α=∠AOD，∴∠OAD=∠ODA=∠AOD=α，即∠C=60°，故答案为60°．(1)证明OD是△ABC的中位线，故OD//BC，则DF⊥CE，即可求解；BE=3，在Rt△ADH中，则(2)①证明△DHO≌△OGB(AAS)，在Rt△BOG中，BG=12AD2=AH2+DH2=DO2−OH2+AH2=64−9+(8−3)2=80，即可求解；②在菱形AOED中，连接OD，则∠ODE=α=∠AOD，则∠OAD=∠ODA=∠AOD=α，即可求解．本题是圆的综合题，主要考查了菱形和等腰三角形的性质、三角形全等、勾股定理等，有一定的综合性，难度适中．19.【答案】解：过点C作CH⊥AB于H，过点E作EG⊥AB于G，如图所示：则四边形CDBH和四边形EFBG都为矩形，∴EG=BF，CH=BD，BG=EF=3，BH=CD=1，设BF=a，BD=b，则EG=a，CH=b，a+b=58.5，b，在Rt△ACH中，AH=CH⋅tan37°=34∴AB =AH +BH =34b +1，在Rt △AEG 中，AG =EG ⋅tan18°=13a ，∴AB =AG +BG =13a +3，∴34b +1=13a +3， ∴{a +b =58.534b +1=13a +3， 解得：{a =100526b =25813， ∴AB =34b +1=34×25813+1=41326≈15.9(米)．【解析】过点C 作CH ⊥AB 于H ，过点E 作EG ⊥AB 于G ，则EG =BF ，CH =BD ，BG =EF =3，BH =CD =1，设BF =a ，BD =b ，则EG =a ，CH =b ，a +b =58.5，在Rt △ACH 中，AH =CH ⋅tan37°=34b ，则AB =AH +BH =34b +1，在Rt △AEG 中，AG =EG ⋅tan18°=13a ，则AB =AG +BG =13a +3，因此34b +1=13a +3，解方程组进而得出答案．本题考查解直角三角形的应用−仰角俯角问题、矩形的判定与性质、解二元一次方程组等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．20.【答案】解：(1)设甲种型号汽车的进价为a 元、乙种型号汽车的进价为b 元， {30a +20b =27514a +25b =191，得{a =6.5b =4， 即甲、乙两种型号汽车每辆的进价分别为6.5万元、4万元；(2)设销售利润为w 元，购进A 种型号的汽车x 辆，则购进B 种型号的汽车(100−x)辆， w =(8.8−6.5)x +(5.8−4)×(100−x)=0.5x +180，∵乙型号汽车的辆数不少于甲型号汽车辆数的2倍，∴100−x ≥2x ，解得，x ≤3313，∵0.5>0，∴w 随着x 的增大而增大，∵x 为整数，∴当x=33时，w取得最大值，此时w=196.5，100−x=67，答：获利最大的购买方案是购买A型汽车33辆，B型汽车67辆，最大利润是196.5万元．【解析】(1)根据题意，可以得到相应的二元一次方程组，然后即可得到甲、乙两种型号汽车每辆的进价；(2)根据题意可以得到利润与购买甲种型号汽车数量的函数关系，再根据乙型号汽车的辆数不少于甲型号汽车辆数的2倍，可以得到购买甲种型号汽车数量的取值范围，然后根据一次函数的性质，即可得到最大利润和此时的购买方案．本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的二元一次方程组，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．21.【答案】解：(1)∵A(0,3)，B(2,0)，F(8,0)，∴OA=3，OB=2，OF=8，∴BF=6，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，∵CF⊥x轴于点F，∴∠CFO=90°，∴∠AOB=∠ABC=∠BFC=90°，∴∠OAB+∠ABO=∠ABO+∠CBF=90°，∴∠OAB=∠CBF，∴△ABO∽△BCF，∴OAOB =BFCF，∴32=6CF，∴CF=4，∴C(8,4)，∵四边形ABCD是矩形，∴AE=CE，∴E(4,72)，∴k=14，∴反比例函数y=kx 的解析式为y=14x；(2)存在，∵点G在反比例函数y=14x上，∴G(8,74)，如图，作点G关于x轴的对称轴于H，∴H(8,−74)，∵四边形ABCD是矩形，∴BE=DE，∵E(4,72)，B(2,0)，∴D(6,7)，连接DH交x轴于P，则此时，DP+GP的值最小，设直线DH的解析式为：y=kx+b，∴{−74=8k+b7=6k+b，∴{k=−358b=1334，∴直线DH的解析式为：y=−358x+1334，当y=0时，x=385，∴P点的坐标(385,0)．【解析】(1)根据已知条件得到OA=3，OB=2，OF=8，求得BF=6，根据矩形的性质得到∠ABC=90°，根据相似三角形的性质得到CF=4，求得C(8,4)，得到E(4,72)，于是得到反比例函数y=kx 的解析式为y=14x；(2)如图，作点G关于x轴的对称轴于H，得到H(8,−74)，根据中点坐标公式得到D(6,7)，连接DH交x轴于P，则此时，DP+GP的值最小，求得直线DH的解析式为：y=−358x+1334，于是得到结论．本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，待定系数法求函数的解析式，轴对称−最短路线问题，正确的理解题意是解题的关键．22.【答案】CF=√2DE45°【解析】解：(1)延长DE交CF的延长线于T．∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAC=∠CAF=45°，AC=√2AD，AD=CD=AB=4，∵EF⊥AC，∴△AEF是等腰直角三角形，∴AF=√2AE，∴AFAE =ACAD，∴△FAC∽△EAD，∴CFDE =AFAE=√2，∠ACF=∠ADE，∴CF=√2DE，∵∠AED=∠CET，∴∠T=∠EAD=45°，故答案为：CF=√2DE，45°；(2)结论成立，理由如下：如图2中，延长DE交CF于T．∵∠EAF=∠DAC=45°，∴∠DAE=∠CAF，∵AFAE =ACAD=√2，∴△AFC∽△AED，∴CFDE =AFAE=√2，∠ACF=∠ADH，∴CF=√2DE，∵∠AHD=∠THC，∴∠CTD=∠DAH=45°；(3)分两种情况：①如图3−1中，过E作EJ⊥AF于J，∵AE=EF=√2，∠AEF=90°，EJ⊥AF，∴AF=√2AE=2，FJ=JA=1，∴EJ=12AF=1，DF=AD+AF=6，∵点E到直线AD的距离为1，∴F，A，D共线，∴CF=√CD2+DF2=√42+62=2√13；②如图3−2中，当点E在直线AD上方时，过E作EJ⊥AF于J，则DF=AD−AF=2，∴CF=√CD2+DF2=√42+22=2√5；综上所述，满足条件的CF的值为2√13或2√5．(1)延长DE交CF的延长线于T，证明△FAC∽△EAD可得结论．(2)成立．如图2中，延长DE 交CF 于T ，证明△FAC∽△EAD 可得结论．(3)分两种情形分别画出图形，过E 作EJ ⊥AF 于J ，先求出DF 的长，再利用勾股定理求解即可．本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，旋转变换的性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形等知识；本题综合性强，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题．23.【答案】解：(1)将点A 、B 的坐标代入抛物线表达式得{b =49a −1+b =0，解得{a =−13b =4， 故抛物线的表达式为y =−13x 2+13x +4①；(2)过点D 作DK ⊥AB 于点K ，∵AD 是∠BAO 的平分线，故KD =OD ，AK =OA ，设KD =OD =x ，则BD =4−x ，BK =AB −AK =√32+42−3=2， 在Rt △BDK 中，BD 2=KD 2+KB 2，即(x −4)2=x 2+4，解得x =32， 故点D 的坐标为(0,32)，由点A 、D 的坐标得，直线AD 的表达式为y =12x +32②， 联立①②并解得{x =52y =114，故点C 的坐标为(52,114)； ①当∠EPC 为直角时，如图2，则P′C//x轴，故点P′、C关于抛物线对称轴对称，故点P′的坐标为(−32,114)；②当∠PCE为直角时，如图2，过点C作CN//y轴交过点P与x轴的平行线于点N，∵以点P，C，E为顶点的三角形与△ADO相似，则∠NCP=∠CPE=∠DAO，∵tan∠DAO=ODAO =12=tan∠NCP，故设NP=t，则CN=2t，故点P的坐标为(52+t,114−2t)，将点P的坐标代入抛物线表达式得：114−2t=−13(52+t)2+13(52+t)+4，解得t=2，故点P的坐标为(92,−54)；综上，点P的坐标为(−32,114)或(92,−54)；(3)过点B作∠ABO的平分线交x轴于点L，过点L作LR⊥AB于点R，则OL =PL ，设OL =PL =x ，则AL =x −3，BR =BO =4，在Rt △ARL 中，AL 2=AR 2+RL 2，即(x −3)2=x 2+1，解得x =43， 则tan∠RBL =RL BR=434=13=tanF ，当点F 在y 轴的右侧时， 过点B 作BG ⊥DF 于点G ，由直线AC 的表达式知，tan∠BDG =12，在△BDF 中，tanF =13，tan∠BDG =12，BD =4−32=52， 则设BG =2x ，则DG =x ，GF =6x ，则BD =√DG 2+BG 2=√5x =52，解得x =√52，则DF =7x =7√52， 设点F 的坐标为(m,12m +32)， 则DF 2=(m −0)2+(12m +32−32)2=(7√52)2，解得m =7，故点F 的坐标为(7,5)； 当点F 在y 轴左侧时，同理可得，点F 的坐标为(−5,−1)， 综上，点F 的坐标为(7,5)或(−5,−1)．【解析】(1)用待定系数法即可求解；(2)当∠EPC 为直角时，则P′C//x 轴，即可求解；当∠PCE 为直角时，利用tan∠DAO =tan∠NCP ，求出点P 的坐标为(52+t,114−2t)，进而求解；(3)当点F在y轴右侧时，求出tan∠RBL=13=tanF，在△BDF中，tanF=13，tan∠BDG=12，BD=4−32=52，求出DF=7x=7√52，进而求解；当点F在y轴左侧时，同理可解．主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．。
2020年河南省中考数学一模试卷 (含解析)
2020年河南省中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.−4的相反数是()A. −14B. 14C. −4D. 42. 4.如图所示的几何体的主视图、左视图、俯视图中有两个视图是相同的，则不同的视图是()A. B. C. D.3.下列调查中，适合采用全面调查(普查)方式的是()A. 了解中央电视台“走遍中国栏目的收视率B. 了解某班同学“跳绳”的月考成绩C. 了解全国快递包裹产生包装垃圾的数量D. 了解青海湖斑头雁种群数量4.如图，已知∠1=60°，如果CD//BE，那么∠B的度数为()A. 60°B. 100°C. 110D. 120°5.计算(6×103)×(8×105)的结果是()A. 48×109B. 48×1015C. 4.8×108D. 4.8×1096.已知点A(a,2)与点B(b,3)都在反比例函数y=−6x的图象上，则a与b的大小关系是()A. a<bB. a>bC. a=bD. 不能确定7.关于x的方程x2+2kx−1=0的根的情况描述正确的是()A. k为任何实数，方程都没有实数根B. k为任何实数，方程都有两个不相等的实数根C. k为任何实数，方程都有两个相等的实数根D. k取不同实数，方程的实数根的情况共有三种可能8. 近年来，“快递业”成为我国经济的一匹“黑马”，2017年我国快递业务量为400亿件，2019年快递量将达到600亿件，设快递量平均每年增长率为x ，则下列方程中正确的是( )A. 400(1+x)=600B. 400(1+2x)=600C. 400(1+x)2=600D. 600(1−x)2=4009. 如图，E 是正方形ABCD 的边BC 的延长线上一点，若CE =CA ，AE交CD 于F ，则∠FAC 的度数是( )A. 22.5°B. 30°C. 45°D. 67.5°10. 如图所示，△ABC 中，AB =AC ，∠B =30°，AB ⊥AD ，AD =4cm ，则BC 的长为( )A. 8cmB. 4cmC. 12cmD. 6cm二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）11. 请写出一个小于4的无理数：______.(写出一个正确答案即可) 12. 解不等式组：{4x +6>1−x3(x −1)≤x +5，并把解集在数轴上表示出来．13. 学生甲与学生乙玩一种转盘游戏．如图是两个完全相同的转盘，每个转盘被分成面积相等的四个区域，分别用数字“1”、“2”、“3”、“4”表示．固定指针，同时转动两个转盘，任其自由停止，若两指针所指数字的积为奇数，则甲获胜；若两指针所指数字的积为偶数，则乙获胜；若指针指向扇形的分界线，则都重转一次．在该游戏中乙获胜的概率是______ ．14. 边长为1的正方形ABCD 中，E 为边AD 的中点，连接线段CE 交BD 于点F ，点M 为线段CE 延长线上一点，且∠MAF 为直角，则DM 的长为______ ．15. 如图，△ABC 中，AB =16，BC =10，AM 平分∠BAC ，∠BAM =15°，点D 、E 分别为AM 、AB 上的动点，则BD +DE 的最小值是______．三、解答题（本大题共8小题，共75.0分） 16. 先化简，再求值：(1−1x+2)÷x 2+2x+1x+2，其中x =√3−1．17. 随着2019年全国两会的隆重召开，中学生对时事新闻的关注空前高涨，某校为了解中学生对时事新闻的关注情况，组织全校九年级学生开展“时事新闻大比拼”比赛，随机抽取九年级的25名学生的成绩(满分为100分)整理统计如下：收集数据25名学生的成绩(满分为100分)统计如下(单位：分)：90，74，88，65，98，75，81，44，85，70，55，80，95，88，72，87，60，56，76，66，78，72，82，63，100整理数据按如下分组整理样本数据并补全表格： 成绩x(分) 90≤x ≤100 75≤x <9060≤x <75x <60 人数_____108_____分析数据补充完成下面的统计分析表： 平均数 中位数 方差76______190.88得出结论(1)若全校九年级有1000名学生，请估计全校九年级有多少学生成绩达到90分及以上；(2)若八年级的平均数为76分，中位数为80分，方差为102.5，请你分别从平均数、中位数和方差三个方面做出评价，你认为哪个年级的成绩较好?18.如图，为了测量建筑物AD的高度，小亮从建筑物正前方10米处的点B出发，沿坡度i=1：√3的斜坡BC前进6米到达点C，在点C处放置测角仪，测得建筑物顶部D的仰角为40°，测角仪CE的高为1.3米，A、B、C、D、E在同一平面内，且建筑物和测角仪都与地面垂直求建筑物AD 的高度．(结果精确到0.1米参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，√3≈1.73)19.如图，l1，l2分别表示一种白炽灯和一种节能灯的费用y(费用=灯的售价+电费，单位：元)与照明时间t(ℎ)的函数图象，假设两种灯泡的使用寿命都是2000ℎ，照明效果一样．(1)根据图象分别求出l1，l2的函数表达式；(2)当照明时间是多少小时时，两种灯的费用相等？(3)小亮房间计划照明2500ℎ，他买了一个白炽灯和一个节能灯，请你帮助他设计最省钱的用灯方法(直接给出答案，不必写出解答过程)．20.已知，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，在CD的延长线上取一点P，PG与⊙O相切于点G，连接AG交CD于点F．(Ⅰ)如图①，若∠A=20°，求∠GFP和∠AGP的大小；(Ⅱ)如图②，若E为半径OA的中点，DG//AB，且OA=2√3，求PF的长．21.已知抛物线y=ax2经过点A(−2,−8)．(1)求此抛物线的函数解析式；(2)判断点B(−1,−4)是否在此抛物线上．(3)求出此抛物线上纵坐标为−6的点的坐标．22.如图1，⊙O的直径AB=4cm，点C为线段AB上一动点，过点C作AB的垂线交⊙O于点D，E，连结AD，AE.设AC的长为x cm，△ADE的面积为y cm2．图1 图2小东根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小东的探究过程，请帮助小东完成下面的问题．(1)通过对图1的研究、分析与计算，得到了y与x的几组对应值，如下表：x/cm00.51 1.52 2.53 3.54y/cm200.7 1.7 2.9a 4.8 5.2 4.60请求出表中小东漏填的数a；(2)如图2，建立平面直角坐标系xOy，描出表中各对应值为坐标的点，画出该函数的大致图象；(3)结合画出的函数图象，当△ADE的面积为4cm2时，求出AC的长．23.正方形ABCD中，将边AB所在直线绕点A逆时针旋转一个角度α得到直线AM，过点C作CE⊥AM，垂足为E，连接BE．(1)当0°<α<45°时，设AM交BC于点F，①如图1，若α=35°，则∠BCE=____°；②如图2，用等式表示线段AE，BE，CE之间的数量关系，并证明；(2)当45°<α<90°时(如图3)，请直接用等式表示线段AE，BE，CE之间的数量关系．【答案与解析】1.答案：D解析：解：−4的相反数是：4．故选：D．直接利用相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，进而得出答案．此题主要考查了相反数的定义，正确把握定义是解题关键．2.答案：D解析：试题分析：几何体的左视图和主视图是相同的，则不同的视图是俯视图，俯视图是D选项所给的图形。
开封市2020年数学中考一模试卷(I)卷
开封市2020年数学中考一模试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分） (2017七下·北京期中) 4的算术平方根是（）A . 4B . ±4C . 2D . ±22. （2分） (2018八下·兴义期中) 估计的运算结果是（）A . 6与7之间B . 7与8之间C . 8与9之问D . 9与10之问3. （2分）计算（-2a2）•3a3的结果，正确的是（）A . -6a5B . 6a5C .-2a6D . 2a64. （2分）下列说法中正确的是（）A . 位似图形可以通过平移而相互得到B . 位似图形的对应边平行且相等C . 位似图形的位似中心不只有一个D . 位似中心到对应点的距离之比都相等5. （2分） (2018九上·天台月考) 如图，从一块直径为24 cm的圆形纸片上剪出一个圆心角为90°的扇形ABC ，使点A ， B ， C在圆周上.将剪下的扇形作为一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径是（）A . 12 cmB . 6 cmC . cmD . cm6. （2分）(2017·常德) 将抛物线y=2x2向右平移3个单位，再向下平移5个单位，得到的抛物线的表达式为（）A . y=2（x﹣3）2﹣5B . y=2（x+3）2+5C . y=2（x﹣3）2+5D . y=2（x+3）2﹣57. （2分）已知某几何体的三视图（如图），则此几何体是（）A . 正三棱柱B . 三棱锥C . 圆锥D . 圆柱8. （2分）为了帮助本市一名患“白血病”的高中生，某班15名同学积极捐款，他们捐款数额如下表：捐款的数额（单位：元）5102050100人数（单位：个）24531关于这15名学生所捐款的数额，下列说法正确的是（）A . 众数是100B . 平均数是30C . 极差是20D . 中位数是209. （2分）根据“x的3倍比y的2倍少7”可列方程（）A .B .C .D .10. （2分）如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为E,如果AB=20,CD=16,"那么线段OE的长为（）A . 10B . 8C . 6D . 4二、填空题 (共8题；共12分)11. （1分）如图，沿虚线剪去长方形纸片相邻的两个角，使∠1＝115°，则∠2＝________．12. （1分） 2017年“一带一路”建设取得重大进展，据商务部数据显示，今年前11个月，我国与沿线国家贸易额达9831亿美元，这一数据用科学记数法可表示为________美元.13. （1分） x是怎样的实数时，式子在实数范围内有意义________ 。
2020年河南省中考数学一模试卷(含解析)
2020年河南省中考数学一模试卷一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的）1.下列各数中，最大的数是（ ） A.−12 B.14C.0D.−22.据统计，今年“五一”小长假期间，我市约有26.8万人次游览了植物园和动物园，则数据26.8万用科学记数法表示正确的是（ ） A.268×103 B.26.8×104 C.2.68×105 D.0.268×1063.如图是将正方体切去一个角后形成的几何体，则该几何体的左视图为（ ）A.B.C.D.4.下列计算正确的是（ ） A.a 3+a 3＝a 6 B.(x −3)2＝x 2−9 C.a 3⋅a 3＝a 6 D.√2+√3=√55.下表是某校合唱团成员的年龄分布对于不同的x ，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（ ）C.平均数、方差D.中位数、方差6.若关于x的方程kx2+2x−1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A.k>−1B.k<−1C.k≥−1且k≠0D.k>−1且k≠07.在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，再添加一个条件，仍不能判定四边形ABCD是矩形的是( )A.AB=ADB.OA=OBC.AC=BDD.DC⊥BC8.阿信、小怡两人打算搭乘同一班次电车上学，若此班次电车共有5节车厢，且阿信从任意一节车厢上车的机会相等，小怡从任意一节车厢上车的机会相等，则两人从同一节车厢上车的概率为何（）A.12B.15C.110D.1259.如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，以大于12BC的长为半径作弧，两弧相交于点M、N；②作直线MN交AB于点D，连接CD，若CD＝AD，∠B＝20∘，则下列结论中错误的是（）A.∠CAD＝40∘B.∠ACD＝70∘C.点D为△ABC的外心D.∠ACB＝90∘10.在Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，∠B＝60∘，BC＝2cm，动点E从点A 出发沿AB向点B运动，动点F从点D出发，沿折线D−C−B运动，两点的速度均为1cm/s，到达终点均停止运动，设AE的长为x，△AEF的面积为y，A.B.C.D.二、填空题（每小题3分，共15分） 11.若x =√2−1，则x 2+2x +1＝________．12.已知反比例函数y =m−2x，当x >0时，y 随x 增大而减小，则m 的取值范围是________．13.不等式组{3x −5>15x −a ≤12 有2个整数解，则实数a 的取值范围是________．14.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90∘，∠A ＝30∘，AC =√3，分别以点A ，B 为圆心，AC ，BC 的长为半径画弧，交AB 于点D ，E ，则图中阴影部分的面积是_______．15.如图，在菱形ABCD中，∠A＝60∘，AB＝3，点M为AB边上一点，AM＝2，点N为AD边上的一动点，沿MN将△AMN翻折，点A落在点P处，当点P在菱形的对角线上时，AN的长度为________．三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16.先化简，再求值：x2+4x+4x+1÷(3x+1−x+1)，其中x＝sin30∘+2−1+√4．17.如图，△ABC内接于圆O，且AB＝AC，延长BC到点D，使CD＝CA，连接AD交圆O于点E．（1）求证：△ABE≅△CDE；（2）填空：①当∠ABC的度数为________时，四边形AOCE是菱形．②若AE=√3，AB＝2√2，则DE的长为5√33．18.为更精准地关爱留守学生，某学校将留守学生的各种情形分成四种类型：A．由父母一方照看；B．由爷爷奶奶照看；C．由叔姨等近亲照看；D．直接寄宿学校．某数学小组随机调查了一个班级，发现该班留守学生数量占全班总人数的20%，并将调查结果制成如下两幅不完整的统计图．（1）该班共有________名留守学生，B类型留守学生所在扇形的圆心角的度数为________；（2）将条形统计图补充完整；（3）已知该校共有2400名学生，现学校打算对D类型的留守学生进行手拉手关爱活动，请你估计该校将有多少名留守学生在此关爱活动中受益？19.如图，某小区有甲、乙两座楼房，楼间距BC为50米，在乙楼顶部A点测得甲楼顶部D点的仰角为37∘，在乙楼底部B点测得甲楼顶部D点的仰角为60∘，则甲、乙两楼的高度为多少？（结果精确到1米，sin37∘≈0.60，cos37∘≈0.80，tan37∘≈0.75，√3≈1.73）20.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABO的边AB垂直于x轴，(x<0)的图象经过AO的中点C，交AB于点垂足为点B，反比例函数y=kxD．若点D的坐标为(−4, n)，且AD=3．（1）求反比例函数的表达式；（2）求经过C、D两点的直线的函数解析式；（3）设点E是线段CD上的动点（不与点C、D重合），过点E且平行于y轴的直线l与反比例函数的图象交于点F，求△OEF面积的最大值．21.当今，越来越多的青少年在观看影片《流浪地球》后，更加喜欢同名科幻小说，该小说销量也急剧上升．书店为满足广大顾客需求，订购该科幻小说若干本，每本进价为20元．根据以往经验：当销售单价是25元时，每天的销售量是250本；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10本，书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元．(1)直接写出书店销售该科幻小说时每天的销售量y（本）与销售单价x（元）之间的函数关系式及自变量的取值范围．(2)书店决定每销售1本该科幻小说，就捐赠a(0<a≤6)元给困难职工，每天扣除捐赠后可获得最大利润为1960元，求a的值．22.【问题提出】在△ABC中，AB＝AC≠BC，点D和点A在直线BC的同侧，BD＝BC，∠BAC＝α，∠DBC＝β，且α+β＝120∘，连接AD，求∠ADB的度数．（不必解答）【特例探究】小聪先从特殊问题开始研究，当α＝90∘，β＝30∘时，利用轴对称知识，以AB为对称轴构造△ABD的轴对称图形△ABD′，连接CD′（如图2），然后利用α＝90∘，β＝30∘以及等边三角形等相关知识便可解决这个问题．请结合小聪研究问题的过程和思路，在这种特殊情况下填空：△D′BC的形状是________三角形；∠ADB的度数为________．【问题解决】在原问题中，当∠DBC<∠ABC（如图1）时，请计算∠ADB的度数；【拓展应用】在原问题中，过点A作直线AE⊥BD，交直线BD于E，其他条件不变若BC＝7，AD＝2．请直接写出线段BE的长为________．23.如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A(−1, 0)，点B(3, 0)，与y轴交于点C，且过点D(2, −3)．点P、Q是抛物线y＝ax2+bx+c上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在直线OD下方时，求△POD面积的最大值．（3）直线OQ与线段BC相交于点E，当△OBE与△ABC相似时，求点Q的坐标．2020年河南省中考数学一模试卷一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的）1.下列各数中，最大的数是（ ） A.−12 B.14C.0D.−2【解答】−2<−12<0<14， 则最大的数是14，2.据统计，今年“五一”小长假期间，我市约有26.8万人次游览了植物园和动物园，则数据26.8万用科学记数法表示正确的是（ ） A.268×103 B.26.8×104 C.2.68×105 D.0.268×106【解答】将26.8万用科学记数法表示为：2.68×105．3.如图是将正方体切去一个角后形成的几何体，则该几何体的左视图为（ ）A.B.C.D.【解答】从左面看所得到的图形是正方形，切去部分的棱能看到，用实线表示， 4.下列计算正确的是（ ） A.a 3+a 3＝a 6 B.(x −3)2＝x 2−9 C.a 3⋅a 3＝a 6 D.√2+√3=√5解：A、a3+a3＝2a3，故此选项错误；B、(x−3)2＝x2−6x+9，故此选项错误；C、a3⋅a3＝a6，正确；D、√2+√3无法计算，故此选项错误．故选C.5.下表是某校合唱团成员的年龄分布对于不同的x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（）A.平均数、中位数B.众数、中位数C.平均数、方差D.中位数、方差【解答】由表可知，年龄为15岁与年龄为16岁的频数和为x+10−x＝10，则总人数为：5+15+10＝30，=14岁，故该组数据的众数为14岁，中位数为：14+142即对于不同的x，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数，6.若关于x的方程kx2+2x−1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A.k>−1B.k<−1C.k≥−1且k≠0D.k>−1且k≠0【解答】∵x的方程kx2+2x−1＝0有两个不相等的实数根，∴k≠0且△＝4−4k×(−1)>0，解得k>−1，∴k的取值范围为k>−1且k≠0．7.在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，再添加一个条件，仍不能判定四边形ABCD是矩形的是( )A.AB=ADB.OA=OBC.AC=BDD.DC⊥BC【解答】解：A，AB=AD，则ABCD是菱形，不能判定是矩形，故本选项错误；的平行四边形是矩形可得ABCD是矩形，故本选项正确；C，AC=BD，根据对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项正确；D，DC⊥BC，则∠BCD=90∘，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可得ABCD是矩形，故本选项正确．故选A．8.阿信、小怡两人打算搭乘同一班次电车上学，若此班次电车共有5节车厢，且阿信从任意一节车厢上车的机会相等，小怡从任意一节车厢上车的机会相等，则两人从同一节车厢上车的概率为何（）A.12B.15C.110D.125【解答】二人上5节车厢的情况数是：5×5＝25，两人在不同车厢的情况数是5×4＝20，则两人从同一节车厢上车的概率是525=15；9.如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，以大于12BC的长为半径作弧，两弧相交于点M、N；②作直线MN交AB于点D，连接CD，若CD＝AD，∠B＝20∘，则下列结论中错误的是（）A.∠CAD＝40∘B.∠ACD＝70∘C.点D为△ABC的外心D.∠ACB＝90∘【解答】∵由题意可知直线MN是线段BC的垂直平分线，∴BD＝CD，∠B＝∠BCD，∵∠B＝20∘，∴∠B＝∠BCD＝20∘，∴∠CDA＝20∘+20∘＝40∘．∵CD＝AD，=70∘，∴∠ACD＝∠CAD=180−402∴A错误，B正确；∵CD＝AD，BD＝CD，∴CD＝AD＝BD，∴点D为△ABC的外心，故C正确；∵∠ACD＝70∘，∠BCD＝20∘，∴∠ACB＝70∘+20∘＝90∘，故D正确．10.在Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，∠B＝60∘，BC＝2cm，动点E从点A 出发沿AB向点B运动，动点F从点D出发，沿折线D−C−B运动，两点的速度均为1cm/s，到达终点均停止运动，设AE的长为x，△AEF的面积为y，则y与x的图象大致为（）A.B.C.D.【解答】在Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，∠B＝60∘，BC＝2cm，∴AD＝DC＝DB＝2，∠CDB＝60∘∵EF 两点的速度均为1cm/s∴当0≤x ≤2时，y =12⋅DE ⋅DF ⋅sin∠CDB =√34x 2当2≤x ≤4时，y =12⋅AE ⋅BF ⋅sin∠B =−√34x 2+√3x由图象可知A 正确二、填空题（每小题3分，共15分） 若x =√2−1，则x 2+2x +1＝________． 【解答】 原式＝(x +1)2，当x =√2−1时，原式＝(√2)2＝2． 已知反比例函数y =m−2x，当x >0时，y 随x 增大而减小，则m 的取值范围是________． 【解答】 此题暂无解答不等式组{3x −5>15x −a ≤12 有2个整数解，则实数a 的取值范围是________．【解答】解不等式3x −5>1，得：x >2， 解不等式5x −a ≤12，得：x ≤a+125，∵不等式组有2个整数解， ∴其整数解为3和4， 则4≤a+125<5，解得：8≤a <13，如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90∘，∠A ＝30∘，AC =√3，分别以点A ，B 为圆心，AC ，BC 的长为半径画弧，交AB 于点D ，E ，则图中阴影部分的面积是________5π12−√32．【解答】∵在Rt△ABC，∠C＝90∘，∠A＝30∘，AC=√3，∴∠B＝60∘，BC＝tan30∘×AC＝1，阴影部分的面积S＝S扇形BCE +S扇形ACD−S△ACB=30π×(√3)2360+60π×12360−1 2×1×√3=5π12−√32，如图，在菱形ABCD中，∠A＝60∘，AB＝3，点M为AB边上一点，AM＝2，点N为AD边上的一动点，沿MN将△AMN翻折，点A落在点P处，当点P在菱形的对角线上时，AN的长度为________．【解答】分两种情况：①当点P在菱形对角线AC上时，如图1所示：：由折叠的性质得：AN＝PN，AM＝PM，∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60∘，∴∠PAM＝∠PAN＝30∘，∴∠AMN＝∠ANM＝90∘−30∘＝60∘，∴AN＝AM＝2；②当点P在菱形对角线BD上时，如图2所示：设AN＝x，由折叠的性质得：PM＝AM＝2，PN＝AN＝x，∠MPN＝∠A＝60∘，∵AB＝3，∴BM＝AB−AM＝1，∵四边形ABCD是菱形，∴∠ADC＝180∘−60∘＝120∘，∠PDN＝∠MBP=12∠ADC＝60∘，∵∠BPN＝∠BPM+60∘＝∠DNP+60∘，∴∠BPM＝∠DNP，∴△PDN∽△MBP，∴DNBP =PDBM=PNPM，即3−xBP=PD1=x2，∴PD=12x，∴3−x3−12x=12x解得：x＝5−√13或x＝5+√13（不合题意舍去），∴AN＝5−√13，综上所述，AN的长为2或5−√13；三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）先化简，再求值：x2+4x+4x+1÷(3x+1−x+1)，其中x＝sin30∘+2−1+√4．【解答】当x＝sin30∘+2−1+√4时，∴x=12+12+2＝3原式=(x+2)2x+1÷4−x2x+1=−x+2 x−2＝−5如图，△ABC内接于圆O，且AB＝AC，延长BC到点D，使CD＝CA，连接AD交圆O于点E．（1）求证：△ABE≅△CDE；（2）填空：①当∠ABC的度数为________时，四边形AOCE是菱形．②若AE=√3，AB＝2√2，则DE的长为5√33．【解答】∵AB＝AC，CD＝CA，∴∠ABC＝∠ACB，AB＝CD，∵四边形ABCE是圆内接四边形，∴∠ECD＝∠BAE，∠CED＝∠ABC，∵∠ABC＝∠ACB＝∠AEB，∴∠CED＝∠AEB，∴△ABE≅△CDE(AAS)；①当∠ABC的度数为60∘时，四边形AOCE是菱形；理由是：连接AO、OC，∵四边形ABCE是圆内接四边形，∴∠ABC+∠AEC＝180∘，∵∠ABC＝60，∴∠AEC＝120∘＝∠AOC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝30∘，∵AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60∘，∵∠ACB＝∠CAD+∠D，∵AC＝CD，∴∠CAD＝∠D＝30∘，∴∠ACE＝180∘−120∘−30∘＝30∘，∴∠OAE＝∠OCE＝60∘，∴四边形AOCE是平行四边形，∵OA＝OC，∴AOCE是菱形；②∵△ABE≅△CDE，∴AE＝CE=√3，AB＝CD＝2√2，∵∠DCE＝∠DAB，∠D＝∠D，∴△DCE∽△DAB，∴DCDA =CEAB，即√2DE+√3=√32√2，解得DE=5√3，3．故答案为：5√33为更精准地关爱留守学生，某学校将留守学生的各种情形分成四种类型：A．由父母一方照看；B．由爷爷奶奶照看；C．由叔姨等近亲照看；D．直接寄宿学校．某数学小组随机调查了一个班级，发现该班留守学生数量占全班总人数的20%，并将调查结果制成如下两幅不完整的统计图．（1）该班共有________名留守学生，B类型留守学生所在扇形的圆心角的度数为________；（2）将条形统计图补充完整；（3）已知该校共有2400名学生，现学校打算对D类型的留守学生进行手拉手关爱活动，请你估计该校将有多少名留守学生在此关爱活动中受益？【解答】2÷20%＝10（人），4×100%×360∘＝144∘，10故答案为：10，144；10−2−4−2＝2（人），如图所示：×20%＝96（人），2400×210答：估计该校将有96名留守学生在此关爱活动中受益．如图，某小区有甲、乙两座楼房，楼间距BC为50米，在乙楼顶部A点测得甲楼顶部D点的仰角为37∘，在乙楼底部B点测得甲楼顶部D点的仰角为60∘，则甲、乙两楼的高度为多少？（结果精确到1米，sin37∘≈0.60，cos37∘≈0.80，tan37∘≈0.75，√3≈1.73）【解答】作AE⊥CD于E．则四边形ABCE是矩形．在Rt△BCD中，CD＝BC⋅tan60∘＝50×√3≈87（米），在Rt△ADE中，∵DE＝AE⋅tan37∘＝50×0.75≈38（米），∴AB＝CE＝CD−DE＝87−38＝49（米）．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABO的边AB垂直于x轴，垂(x<0)的图象经过AO的中点C，交AB于点足为点B，反比例函数y=kxD．若点D的坐标为(−4, n)，且AD=3．（1）求反比例函数的表达式；（2）求经过C、D两点的直线的函数解析式；（3）设点E是线段CD上的动点（不与点C、D重合），过点E且平行于y轴的直线l与反比例函数的图象交于点F，求△OEF面积的最大值．【解答】解：(1)∵AB⊥x轴，点D的坐标为(−4,n)，且AD=3，∴A(−4,n+3)．∵C为AO的中点，∴C(−2,n+32)，由点C,D都在反比例函数的图象上，可得−4n=−2×n+32，解得n=1，∴k=−4n=−4，故反比例函数的解析式为y=−4x．(2)由(1)可得C(−2,2),D(−4,1)，设直线CD的解析式为y=mx+b，将C(−2,2),D(−4,1)分别代入，得{−2m+b=2,−4m+b=1,解得{m=12, b=3,故经过C,D两点的直线的函数解析式为y=12x+3．(3)设E(a,12a+3)，则F(a,−4a)，∴EF=12a+3−(−4a)=12a+3+4a，∴S△OEF=12×(−a)×(12a+3+4a)=−14(a+3)2+14，∵点E在线段CD上，且不与点C,D重合，∴−4<a<−2，故当a=−3时，△OEF的面积最大，为14．当今，越来越多的青少年在观看影片《流浪地球》后，更加喜欢同名科幻小说，该小说销量也急剧上升．书店为满足广大顾客需求，订购该科幻小说若干本，每本进价为20元．根据以往经验：当销售单价是25元时，每天的销售量是250本；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10本，书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元．(1)直接写出书店销售该科幻小说时每天的销售量y（本）与销售单价x（元）之间的函数关系式及自变量的取值范围．(2)书店决定每销售1本该科幻小说，就捐赠a(0<a≤6)元给困难职工，每天扣除捐赠后可获得最大利润为1960元，求a的值．【解答】解：(1)根据题意得，y=250−10(x−25)=−10x+500(30≤x≤38).(2)设每天扣除捐赠后可获得利润为w元，由题意得，w=(x−20−a)(−10x+500)=−10x2+(10a+700)x−500a−10000(30≤x≤38)，对称轴为x=35+12a，且0<a≤6，则35<35+12a≤38，则当x=35+12a时，w取得最大值，∴(35+12a−20−a)[−10(35+12a)+500]=1960，∴a1=2，a2=58（不合题意舍去），∴a=2．【问题提出】在△ABC中，AB＝AC≠BC，点D和点A在直线BC的同侧，BD＝BC，∠BAC＝α，∠DBC＝β，且α+β＝120∘，连接AD，求∠ADB的度数．（不必解答）【特例探究】小聪先从特殊问题开始研究，当α＝90∘，β＝30∘时，利用轴对称知识，以AB为对称轴构造△ABD的轴对称图形△ABD′，连接CD′（如图2），然后利用α＝90∘，β＝30∘以及等边三角形等相关知识便可解决这个问题．请结合小聪研究问题的过程和思路，在这种特殊情况下填空：△D′BC的形状是________三角形；∠ADB的度数为________．【问题解决】在原问题中，当∠DBC<∠ABC（如图1）时，请计算∠ADB的度数；【拓展应用】在原问题中，过点A作直线AE⊥BD，交直线BD于E，其他条件不变若BC＝7，AD＝2．请直接写出线段BE的长为________．【解答】第②情况：当0∘<α<60∘时，如图4中，作∠ABD′＝∠ABD，BD′＝BD，连接CD′，AD′．同理可得：∠ABC=12(180∘−α)＝90∘−12α，∴∠ABD＝∠DBC−∠ABC＝β−(90∘−12α)，同（1）①可证△ABD≅△ABD′，∴∠ABD＝∠ABD′＝β−(90∘−12α)，BD＝BD′，∠ADB＝∠AD′B，∴∠D′BC＝∠ABC−∠ABD′＝90∘−12α−[β−(90∘−12α)]＝180∘−(α+β)，∴D′B＝D′C，∠BD′C＝60∘．同（1）②可证△AD′B≅△AD′C，∴∠AD′B＝∠AD′C，∵∠AD′B+∠AD′C+∠BD′C＝360∘，∴∠ADB＝∠AD′B＝150∘，在Rt△ADE中，∠ADE＝30∘，AD＝2，∴DE=√3，∴BE＝BD+DE＝7+√3，故答案为：7+√3或7−√3．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A(−1, 0)，点B(3, 0)，与y轴交于点C，且过点D(2, −3)．点P、Q是抛物线y＝ax2+bx+c上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在直线OD下方时，求△POD面积的最大值．（3）直线OQ与线段BC相交于点E，当△OBE与△ABC相似时，求点Q的坐标．【解答】函数的表达式为：y＝a(x+1)(x−3)，将点D坐标代入上式并解得：a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2−2x−3…①；设直线PD与y轴交于点G，设点P(m, m2−2m−3)，将点P、D的坐标代入一次函数表达式：y＝sx+t并解得：直线PD的表达式为：y＝mx−3−2m，则OG＝3+2m，S△POD=12×OG(x D−x P)=12(3+2m)(2−m)＝−m2+12m+3，∵−1<0，故S△POD有最大值，当m=14时，其最大值为4916；∵OB＝OC＝3，∴∠OCB＝∠OBC＝45∘，∵∠ABC＝∠OBE，故△OBE与△ABC相似时，分为两种情况：①当∠ACB＝∠BOQ时，AB＝4，BC＝3√2，AC=√10，过点A作AH⊥BC于点H，S△ABC=12×AH×BC=12AB×OC，解得：AH＝2√2，则sin∠ACB=AHAC =√5，则tan∠ACB＝2，则直线OQ的表达式为：y＝−2x…②，联立①②并解得：x=±√3，故点Q1(√3, −2√3)，Q2(−√3, 2√3)，②∠BAC＝∠BOQ时，tan∠BAC=OCOA =31=3＝tan∠BOQ，则点Q(n, −3n)，则直线OQ的表达式为：y＝−3x…③，联立①③并解得：x=−1±√132，故点Q3(−1+√132, 3−3√132)，Q4(−1−√132, 3+3√132)；综上，当△OBE与△ABC相似时，Q的坐标为：(√3, −2√3)或(−1+√132, 3−3√132)或(−√3, 2√3)或(−1−√132, 3+3√132)．。
2020届河南省开封市一模(12月)数学(文)试题(解析版)
2020届河南省开封市一模（12月）数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}|23A x x x =≤-≥或，B N =，则()R B C A =（ ）A ．{}1,0,1,2-B ．{}1-C ．{}1,0-D ．{}0,1,2【答案】D【解析】根据补集定义先求得R C A ,再根据交集运算即可求解. 【详解】集合{|2A x x =≤-或}3x ≥ 所以{}|23R C A x x =-<< 因为B N =则(){}0,1,2R B C A ⋂= 故选:D 【点睛】本题考查了集合补集与交集的混合运算,属于基础题. 2．复数1a ii++的实部小于虚部，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),0-∞ B ．(),1-∞C ．()0,∞+D ．()1,+∞【答案】A【解析】将复数化简后求得实部与虚部,即可根据实部小于虚部求得实数a 的取值范围. 【详解】根据复数的除法运算,则()()()()()1+1+1+11111222a i i a a i a i a ai i i i +--+-===+++- 所以实部为+12a ,虚部为12a- 由实部小于虚部可知+1122a a-< 解不等式可得0a <即实数a 的取值范围为(),0-∞故选:A 【点睛】本题考查了复数的概念,复数除法运算,属于基础题.3．已知a →,b →为非零向量，则“•0a b >”是“a →与b →夹角为锐角”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据向量数量积的定义式可知，若0a b ⋅>，则a 与b 夹角为锐角或零角，若a 与b 夹角为锐角，则一定有0a b ⋅>，所以“0a b ⋅>”是“a 与b 夹角为锐角”的必要不充分条件，故选B.4．已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边经过点()1,2-，则tan2α=（ ） A ．34-B ．34C ．43-D ．43【答案】D【解析】根据三角函数的定义可求得tan α,结合正切的二倍角公式即可求得tan2α的值. 【详解】因为角α的终边经过点()1,2-由三角函数定义可得2tan 21α-==- 根据正切的二倍角22tan tan21tan ααα=- 代入可得()()2224tan 2312α⨯-==-- 故选:D 【点睛】本题考查了三角函数的定义,正切二倍角公式的应用,属于基础题.5．已知定义在[]5,12m m --上的奇函数()f x ，满足0x >时，()21xf x =-，则()f m 的值为（ ）A ．-15B ．-7C ．3D ．15【答案】A【解析】根据奇函数定义域关于原点中心对称,可求得m 的值.根据奇函数性质,即可求得()f m 的值.【详解】因为奇函数的定义域关于原点中心对称 则5120m m -+-=,解得4m =-因为奇函数()f x 当0x >时,()21xf x =-则()()()4442115f f -=-=--=-故选:A 【点睛】本题考查了奇函数的定义域关于原点对称,奇函数的性质应用,属于基础题.6．某省普通高中学业水平考试成绩按人数所占比例依次由高到低分为A ，B ，C ，D ，E 五个等级，A 等级15%，B 等级30%，C 等级30%，D ，E 等级共25%.其中E等级为不合格，原则上比例不超过5%.该省某校高二年级学生都参加学业水平考试，先从中随机抽取了部分学生的考试成绩进行统计，统计结果如图所示.若该校高二年级共有1000名学生，则估计该年级拿到C 级及以上级别的学生人数有（ ）A ．45人B ．660人C ．880人D ．900人【答案】D【解析】根据A 等级的人数和占比,可计算出样本容量.再根据扇形图可计算出A 、B 、C 等级一共的人数,即可估计该年级拿到C 级及以上级别的学生人数.【详解】由条形图和扇形统计图可知,在抽取的部分学生中A 等级共有10人,占样本容量的20% 所以样本容量为105020%= 则样本中B 等级人数为5046%23⨯=人 由条形图可知样本中C 等级人数为12人所以在样本中C 级及以上级别的学生人数为10231245++=人则该年级拿到C 级及以上级别的学生人数为45100090050⨯=人 故选:D 【点睛】本题考查了条形图与扇形图在统计中的应用,样本与总体的关系,属于基础题.7．国庆阅兵式上举行升旗仪式，在坡度为15︒的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，某同学在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60︒和30°，第一排和最后一排的距离为 ）A ．B ．22米C ．30米D ．35米【答案】C【解析】由正弦与余弦的差角公式求得sin15cos15、的值.设旗杆高为x ,根据观礼台的斜面距离和坡度可求得观礼台的水平长度和垂直高度.表示出PD 的值,再在三角形CDP 中解三角形即可求得旗杆高度.【详解】由正弦与余弦的差角公式可知()62sin15sin 4530sin 45cos30sin 30cos 454-=-=-=()62cos15cos 4530cos 45cos30sin 30sin 454+=-=+=根据题意,设旗杆高度为x ,将各个位置用点标出来如下图所示:则PQ x =,且60PAQ ∠=可得3AQ x =则由15AC CAB =∠=可得cos15106154AB DQ AC ====+sin15106154BC AC ===-则15CD BQ AB AQ x ==+=+ (15PD PQ DQ x =-=--因为30PCD ∠=则满足CD =即(15153x x ⎤+=--⎦解方程可求得30x = 故选:C 【点睛】本题考查了解三角形在实际问题中的应用,正弦与余弦差角公式的用法.建立合适的数学模型是解决此类问题的关键,属于基础题.8．设函数()3ln f x a x bx =+在点()1,1-处的切线经过点()0,1，则实数+a b 的值为（ ） A ．-2 B ．-1 C ．0 D ．1【答案】C【解析】函数过点()1,1-,代入可求得b .根据导数的几何意义,求得导数后将切点的横坐标带入为切线斜率,即可求得a 的值,进而求得+a b 的值. 【详解】因为函数()3ln f x a x bx =+在点()1,1-处的切线经过点()0,1所以()11f =-,代入可得1b =- 因为()2'3af x bx x=+所以经过点()1,1-与点()0,1的斜率为()11201k --==-- 且()'13f a =- 即32a -=-,解得1a = 所以()110a b +=+-= 故选:C 【点睛】本题考查了利用导数求函数切线方程的方法,利用两点间斜率公式表示出斜率,与导函数相等即可,属于基础题.9．已知{}n F 是斐波那契数列，则121F F ==，12n n n F F F --=+（*n N ∈且3n ≥），下图程序框图表示输出斐波那契数列的前n 项的算法，则n =（ ）A ．10B ．18C ．20D ．22【答案】C【解析】根据程序框图的结构,计算出前几项,结合归纳推理即可得解. 【详解】1,1,1i a b ===第一次循环:2,2,3i b a === 第二次循环:3,5,8i b a === 第三次循环:4,13,21i b a ===⋅⋅⋅由以上循环可知,每循环一次,输出斐波那契数列的2项 所以当10i =时,共输出数列的20项 故选:C 【点睛】本题考查了程序框图循环结构的特征,斐波那契数列的特征,归纳推理的应用,属于基础题.10．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，圆O ：2222x y a b +=+与C 在第一象限的交点为M ，若12MF F ∆的面积为ab ，则双曲线C 的离心率为（ ）A ． BC ．2D 【答案】A【解析】根据M 为圆O :2222x y a b +=+与C 在第一象限的交点,结合双曲线中a b c 、、的关系可判断12MF F ∆为直角三角形.由双曲线中焦点三角形的面积公式可得a b 、的等量关系,即可求得离心率.【详解】根据题意画出图形如下图所示:圆O ：2222x y a b +=+,由双曲线中222+=a b c 可知c =,圆心为原点因而12F F 为圆的直径 所以1290F MF ∠=根据双曲线中焦点三角形面积公式12222tan 45tan 2MF F b b S bθ∆===o由题意可得122MF F S b ab ∆==,即b a =由双曲线离心率c e a ==故选:A 【点睛】本题考查了圆与双曲线的综合应用,双曲线焦点三角形的面积公式及离心率求法,属于基础题.11．将函数()sin cos f x a x b x =+的图象向右平移3π个单位长度得到()g x 的图象，若()g x 的对称中心为坐标原点，则关于函数()f x 有下述四个结论： ①()f x 的最小正周期为2π ②若()f x 的最大值为2，则1a = ③()f x 在[],ππ-有两个零点 ④()f x 在区间5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调 其中所有正确结论的标号是（ ） A ．①③④ B ．①②④C ．②④D ．①③【答案】A【解析】根据辅助角公式化简()f x ,根据平移后的图像()g x 关于原点中心对称可求得()f x 解析式.根据正弦函数的图像与性质可依次判断四个选项是否正确.【详解】函数()sin cos f x a x b x =+,由辅助角公式可得()(),tan b f x x aϕϕ=+=将()f x 图像向右平移3π单位长度可得()3g x x πϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 因为()g x 的对称中心为坐标原点,由正弦函数图像与性质可知()g x 过()0,0即03πϕ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,可得,3k k Z p j p =+?则(),tan tan ,333b f x x k k k Z a πππππ⎛⎫⎛⎫=+++==∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对于①()f x 的最小正周期为221T ππ==,所以①正确; 对于②若()f x 的最大值为2,则2ba=⎨=⎪⎩,解得1a =±,所以②错误 对于③,03x k ππ⎛⎫++= ⎪⎝⎭,当[],x ππ∈-时,满足123x k k πππ++=,12,k k Z ∈.解方程可得3x π=-或23x π=,所以③正确; 对于④, (),tan ,33b f x x k k Z a πππ⎛⎫=++=∈ ⎪⎝⎭,则其一个单调递增区间为,232x k k Z ππππ-≤++≤∈,解得5,66k x k k Z ππππ--≤≤-∈,当0k =时满足()f x 在区间5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调,所以④正确.综上可知,正确的为①③④ 故选:A 【点睛】本题考查了正弦函数的图像与性质的综合应用,辅助角公式的用法,三角函数图像平移变换,综合性较强,属于中档题.12．已知正方体的棱长为1，平面α过正方体的一个顶点，且与正方体每条棱所在直线所成的角相等，则该正方体在平面α内的正投影面积是（ ） ABCD【答案】B【解析】根据正方体每条棱所在直线与平面α所成的角相等,可得该平面α的截面.由正方体的棱长及投影形状,即可求出正投影的面积. 【详解】正方体的棱长为1,平面α过正方体的一个顶点,且与正方体每条棱所在直线所成的角相等,可得空间几何体及平面α如下图所示:该正方体在平面α内的正投影如下图所示:则111ABCC D A 即为该正方体在平面α内的正投影面积,该投影是正六边形.因为正方体的棱长为1,则 AC =则由正六边形的性质可知16tan 3026B M =⨯=则112BB B M ==所以111122CB B S CM BB =⨯⨯==则111166ABCC D A CB B S S ===故选:B 【点睛】本题考查了空间中直线与平面的夹角,空间几何体在平面上的投影面积问题,对空间想象能力要求较高,属于难题.二、填空题13．已知向量()2,6a =-，()3,b m =，若a b a b +=-，则m =______. 【答案】1【解析】根据向量加法和减法的坐标运算,先分别求得a b +与a b -,再结合向量的模长公式即可求得m 的值. 【详解】向量()2,6a =-,()3,b m =则()5,6a b m +=-+,()1,6a b m -=---则25a b +=+=()1a b -=-=因为a b a b +=-=化简可得12611237m m -+=+ 解得1m = 故答案为: 1 【点睛】本题考查了向量坐标加法和减法的运算,向量模长的求法,属于基础题. 14．已知点()0,2A ，动点(),P x y 的坐标满足条件0x y x ≥⎧⎨≤⎩，则PA 的最小值是______.【解析】根据不等式组,可得动点(),P x y 的可行域.结合点()0,2A 的位置,由几何关系即可求得PA 的最小值. 【详解】因为动点(),P x y 的坐标满足条件0x y x≥⎧⎨≤⎩ 则动点(),P x y 运动的可行域如下图所示:由图可知,当PA 与y x =垂直时, PA 的值最小min 22sin 452PA ==⨯=故答案为:【点睛】本题考查了不等式表示的可行域,点到可行域距离最小值的求法,属于基础题.15．如图，两个同心圆的半径分别为1和2，点M 在大圆上从点0M 出发逆时针匀速运动，点N 在小圆上从点0N 出发顺时针匀速运动.图中的阴影是运动一秒钟后，OM ，ON 分别扫过的扇形.假设动点M ，N 运动了两秒钟，在OM ，ON 扫过的扇形中任取一点，则该点落在公共区域内的概率是______.【答案】121【解析】根据动点运动的过程,可得2秒钟后重叠部分.分别求出总的面积和重叠部分面积,根据几何概型概率的求法即可求解. 【详解】由题意可知,两秒钟后形成的图形如下图所示:大圆半径为2,小圆半径为1.重叠部分的圆心角为30所以重叠部分的面积为2301==12360S ππ⨯⨯重两部分总的面积为221202150174360360S πππ⨯⨯⨯⨯=+=则点落在公共区域内的概率为4112=7127214S Sππππ=⨯=重 故答案为: 121【点睛】本题考查了几何概型概率的求法,扇形面积公式,属于基础题. 16．若数列{}n a 满足21321111222n n a a a a a a --<-<<-<，则称数列{}n a 为“差半递增”数列.若数列{}n a 为“差半递增”数列，且其通项n a 与前n 项和n S 满足()*221n n S a t n N =+-∈，则实数t 的取值范围是______. 【答案】1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【解析】根据221n n S a t =+-,利用递推公式求得数列{}n a 的通项公式.再根据新定义的意义,代入解不等式即可求得实数t 的取值范围. 【详解】因为()*221n n S a t n N=+-∈所以当2n ≥时, 11221n n S a t --=+- 两式相减可得122n n n a a a -=-,即12nn a a -=,所以数列{}n a 是以公比2q =的等比数列当1n =时,112a t =- 所以()1122n n a t -=-⋅ 则()()122111312212232222n n n n n a a t t t ----⎛⎫-=-⋅--⋅=-⋅ ⎪⎝⎭()()11111312212232222n n n n n a a t t t --+⎛⎫-=-⋅--⋅=-⋅ ⎪⎝⎭由“差半递增”数列的定义可知2133323222n n t t --⎛⎫⎛⎫-⋅<-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化简可得3332322t t ⎛⎫-<- ⎪⎝⎭解不等式可得12t <即实数t 的取值范围为1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭故答案为: 1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查了数列递推公式的简单应用,等比数列通项公式在新定义里的应用,属于中档题.三、解答题17．已知等差数列{}n a 满足121n n a n a ++=+. （1）求{}n a 的通项公式；（2）记n S 为{}n a 的前n 项和，求数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 【答案】(1) n a n =. (2) 21n n T n =+ 【解析】（1）根据递推公式121n n a n a ++=+,带入求得首项1a .由递推可得1121n n a n a -+-=+,作差即可得等差数列的公差d ,即可得等差数列的通项公式{}n a（2）先求得等差数列的前n 项和n S ,可得1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式,根据裂项求和即可求得数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 【详解】（1）由已知{}n a 为等差数列,记其公差为d . ①当2n ≥时,1121121n n n n a n a a n a +-+=+⎧⎨+-=+⎩,两式相减可得12d d += 解得1d =②当1n =时,21121a a +=+,所以11a =. 则()111n a n n =+-⨯=. （2）()12n n n S +=()1211211n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭所以111111*********n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦122111n n n ⎛⎫=-=⎪++⎝⎭ 【点睛】本题考查了利用递推公式求数列的通项公式,等差数列的前n 项和公式,裂项求和法的应用,属于基础题.18．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1,0F ，动点Q 到点F 的距离比到y 轴的距离大1个单位长度.（1）求动点Q 的轨迹方程E ；（2）若过点F 的直线l 与曲线E 交于A ，B 两点，且8FA FB ⋅=-，求直线l 的方程.【答案】(1) 24y x = (2) 1y x =-或1y x =-+.【解析】（1）由抛物线定义可知动点的轨迹为抛物线,根据题意可得准线方程,由准线方程可求得抛物线的方程.（2）当斜率不存在时,带入FA FB ⋅检验是否成立；当斜率存在时,设出直线方程,联立抛物线,根据韦达定理可得1212,x x x x +⋅.由向量数量积定义即可得关于k 的方程,解方程即可求得k 的值. 【详解】（1）根据抛物线的定义,知动点Q 的轨迹是以F 为焦点,以1x =-为准线的抛物线 所以动点Q 的轨迹方程E 为：24y x =（2）①当l 的斜率不存在时,可知48FA FB ⋅=-≠-,不符合条件 ②当l 的斜率存在且不为0时,设l ：()1y k x =-,则()214y k x y x⎧=-⎨=⎩,联立可得()2222240k x k x k -++=, 设()11,A x y ,()22,B x y ,则212224k x x k++=,121x x ⋅=. 因为向量FA ,FB 方向相反,所以()()1211FA FB FA FB x x ⋅=-=-++ ()121224148x x x x k ⎛⎫=-+++=-+=- ⎪⎝⎭所以21k =,即1k =±所以直线l 的方程为1y x =-或1y x =-+. 【点睛】本题考查了抛物线的定义及标准方程的求法,直线与抛物线相交时满足条件的直线方程求法,属于基础题.19．底面ABCD 为菱形的直四棱柱，被一平面截取后得到如图所示的几何体.若4DA DH DB ===，3AE CG ==.（1）求证：EG DF ⊥； （2）求三棱锥F BEG -的体积.【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】（1）根据直线与平面垂直的关系,可得EG ⊥平面BDHF ,即可证明EG DF ⊥. （2）根据条件可证明 EA ∥平面BCGF ,即点A 到平面BCGF 的距离等于点E 到平面BCGF 的距离.根据等体积可知F BEG E BGF A BGF V V V ---==,即可求得三棱锥F BEG-的体积. 【详解】（1）证明：连接AC ,由//AE CG 可知四边形AEGC 为平行四边形 所以//EG AC .由题意易知AC BD ⊥,AC BF ⊥ 所以EG BD ⊥,EG BF ⊥, 因为BDBF B =所以EG ⊥平面BDHF 又DF ⊂平面BDHF 所以EG DF ⊥ （2）设ACBD O =,EG HF P =由已知可得平面//ADHE 平面BCGF 所以//EH FG 同理可得//EF HG ,所以四边形EFGH 为平行四边形 所以P 为EG 的中点,O 为AC 的中点 所以//OP AE 且3OP =,4DH = 由平面几何知识,得2BF = 所以142BFG S BF BC ∆=⨯⨯=因为//EA FB ,FB ⊂平面BCGF ,EA ⊄平面BCGF 所以//EA 平面BCGF所以点A 到平面BCGF 的距离等于点E 到平面BCGF 的距离,为所以13F BEG E BGF A BGF BFG V V V S ---∆===⨯3=【点睛】本题考查了直线与平面的垂直证明,利用等体积法求三棱锥的体积.转换顶点时,注意利用线面平行的性质,属于中档题.20．某次高三年级模拟考试中，数学试卷有一道满分10分的选做题，学生可以从A ，B 两道题目中任选一题作答.某校有900名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生解答该选做题的得分情况，作为下一步教学的参考依据，计划从900名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为10的样本，为此将900名考生选做题的成绩按照随机顺序依次编号为001~900.（1）若采用系统抽样法抽样，从编号为001~090的成绩中用简单随机抽样确定的成绩编号为025，求样本中所有成绩编号之和；（2）若采用分层抽样，按照学生选择A 题目或B 题目，将成绩分为两层.已知该校高三学生有540人选做A 题目，有360人选做B 题目，选取的样本中，A 题目的成绩平均数为5，方差为2，B 题目的成绩平均数为5.5，方差为0.25. （i ）用样本估计该校这900名考生选做题得分的平均数与方差；（ii ）本选做题阅卷分值都为整数，且选取的样本中，A 题目成绩的中位数和B 题目成绩的中位数都是5.5.从样本中随机选取两个大于样本平均值的数据做进一步调查，求取到的两个成绩来自不同题目的概率.【答案】(1)4300；(2) （i ）平均数为5.2，方差为1.36.（ii ）35【解析】（1）根据系统抽样的特征,各个编号成等差数列,根据等差数列的首项与公差即可求得前10项的和.（2）根据分层抽样特征可知抽出的样本中A 题目的成绩有6个,B 题目的成绩有4个.求出10名学生的总成绩,即可得10名学生的平均成绩.根据所给A 题目和B 题目的平均数和方差,将方差公式变形,即可求得10名学生的成绩方差.从选取的成绩可知,A 题目中超过平均成绩的有3人,B 题目超过平均值的有2人,根据古典概型概率求法,用列举法把所有情况列举出来,即可得解. 【详解】（1）由题易知,若按照系统抽样的方法,抽出的编号可以组成以25为首项,以90为公差的等差数列,故样本编号之和即为该数列的前10项之和, 所以1010910259043002S ⨯=⨯+⨯=. （2）（i ）由题易知,若按照分层抽样的方法,抽出的样本中A 题目的成绩有6个,按分值降序分别记为1x ,2x ,…,6x ；B 题目的成绩有4个,按分值降序分别记为1y ,2y ,3y ,4y . 记样本的平均数为x ,样本的方差为2s .由题意可知,()()126123410x x x y y y y x ++⋅⋅⋅+++++=56 5.545.210⨯+⨯==()()()()22225.250.2520.250.2i i i i x x x x -=--=--⨯-+⎡⎤⎣⎦,1,2,,6i =⋅⋅⋅()()()()22225.2 5.50.3 5.520.3 5.50.3i i i i y y y y -=-+=-+⨯-+⎡⎤⎣⎦,1,2,,4i =⋅⋅⋅ ()()()()()22222126142 5.2 5.2 5.2 5.2 5.210x x x y y s -+-+⋅⋅⋅+-+-+⋅⋅⋅+-=222600.260.25400.3413.6 1.361010⨯-+⨯+⨯++⨯===所以,估计该校900名考生选做题得分的平均数为5.2,方差为1.36.（ii ）本选做题阅卷分值都为整数,且选取的样本中,A 题目成绩的中位数和B 题目成绩的中位数都是5.5,易知样本中A 题目的成绩大于样本平均值的成绩有3个,分别为1x ,2x ,3x ,B 题目的成绩大于样本平均值的成绩有2个,分别为1y ,2y .从样本中随机选取两个大于样本平均值的数据共有种10方法,为：()12,x x ,()13,x x ,()23,x x ,()12,y y ,()11,x y ,()21,x y ,()31,x y ,()12,x y ,()22,x y ,()32,x y ,其中取到的两个成绩来自不同题目的取法共有6种,为：()11,x y ,()21,x y ,()31,x y ,()12,x y ,()22,x y ,()32,x y ,记“从样本中随机选取两个大于样本平均值的数据,取到的两个成绩来自不同题目”为事件A , 所以()63105P A ==. 【点睛】本题考查了简单随机抽样中的系统抽样与分层抽样的方法与特征,平均数及方差的求法,古典概型概率的求法.方差公式的应用与变形是解决问题的关键,属于中档题.21．已知函数()sin x af x x e=+，a R ∈，e 为自然对数的底数. （1）当1a =时，证明：(],0x ∀∈-∞，()1f x ≥；（2）若函数()f x 在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上存在两个极值点，求实数a 的取值范围.【答案】(1)证明见解析；(2) ()0,1a ∈【解析】（1）将1a =带入解析式,求得导函数,并判断当(],0x ∈-∞时函数的单调性,根据函数单调性求得函数在(],0x ∈-∞时的最小值,即可证明.（2）先求得导函数,讨论在a 的不同取值范围内函数的单调情况,根据函数的单调情况判断其极值的个数,即可求得实数a 的取值范围. 【详解】（1）证明:当1a =时,()1sin x f x x e =+,则()1'cos xf x x e -=+, 当(],0x ∈-∞时,01x e <≤,则11x e -≤-,又因为co s 1x ≤, 所以当(],0x ∈-∞时,()1'cos 0x f x x e-=+≤,仅0x =时,()'0f x =,所以()f x 在(],0-∞上是单调递减,所以()()01f x f =≥,即()1f x ≥. （2）()'cos xa f x x e-=+,因为,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,所以cos 0x >,0x e >, ①当0a ≤时,()'0f x >恒成立,所以()f x 在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增,没有极值点.②当0a >时,()'cos x a f x x e-=+在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增,因为2'02f a e ππ⎛⎫-=-⋅< ⎪⎝⎭,()'01f a =-+.当1a ≥时,,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时,()()''010f x f a ≤=-+≤所以()f x 在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减,没有极值点.当01a <<时,()'010f a =-+>,所以存在0,02x π⎛⎫∈-⎪⎝⎭,使()0'0f x = 当0,2x x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时,()'0f x <,()0,0x x ∈时,()'0f x >所以()f x 在0x x =处取得极小值,0x 为极小值点.综上可知,若函数()f x 在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上存在极值点,则实数()0,1a ∈.本题考查了利用导数判断函数的单调性,并根据单调性求得最值来证明不等式成立.对参数进行分类讨论,讨论在不同范围内函数的单调情况及最值情况.是高考的重点和难点,属于难题.22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为sin x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为ρ=. （1）求曲线1C 的极坐标方程和2C 的直角坐标方程；（2）设P 是曲线1C 上一点，此时参数4πϕ=，将射线OP 绕原点O 逆时针旋转3π交曲线2C 于点Q ，记曲线1C 的上顶点为点T ，求OTQ ∆的面积.【答案】(1) 1C ：()221sin 2ρθ+=，2C ：222x y +=.(2) 【解析】（1）根据参数方程与直角坐标方程的转化,先将1C 的参数方程转化为直角坐标方程.根据极坐标与直角坐标方程的转化,再将直角坐标方程转化为极坐标方程.根据极坐标与直角坐标方程的转化,将2C 的极坐标方程转化为直角坐标方程.（2）根据参数4πϕ=求得P 的极坐标.根据变换过程可得点Q 的极坐标,根据三角形面积为12OTQ Q S OT x ∆=⋅即可求得OTQ ∆的面积. 【详解】 （1）由已知可得1C ：2212x y += 则极坐标方程为()221sin 2ρθ+= 2C ：222x y +=.（2）设点Q 的横坐标为Q x ,则由已知可得12OTQ Q S OT x ∆=⋅且直角坐标P ⎛ ⎝,极坐标P θ⎫⎪⎪⎝⎭,其中sin θ=cos θ=极坐标3Q πθ⎫+⎪⎭,则有3Q x πθ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭所以11212OTQ Q S OT x ∆=⨯⨯=⋅46=-.本题考查了参数方程、直角坐标方程和极坐标方程的转化,利用极坐标方程求三角形的面积,属于中档题.23．已知a ，b ，c 为一个三角形的三边长.证明：（1）3b c a a b c++≥； （2）22a b c >++.【答案】(1)证明见解析；(2) 证明见解析；【解析】（1）根据三项基本不等式,可直接证明不等式成立.（2>同理证明b >c >后,将不等式左右两边分别相加即可证明.【详解】（1）证明:由三项基本不等式可知3b c a a b c ++≥= 不等式得证.（2）证明:由于a ,b ,c 为一个三角形的三边长,则有：2b c a =++>,>a =>,b >c >,相加得：a b c >++,左右两边同加a b c ++得：()22a b c +>++所以22a b c >++不等式得证.【点睛】本题考查了不等式的简单证明,基本不等式在证明不等式中的用法,属于中档题.。
【精校】2020年河南省开封市中考一模数学
2020年河南省开封市中考一模数学一、选择题：每小题3分，共30分.1.下列四个数中，最小的数是( )A.0B.1C.1 2 -D.﹣1解析：∵﹣1＜12-＜0＜1，∴四个数中，最小的数是﹣1.答案：D.2. 2020年春节期间，开封市旅游接待总量达230.82万人次，同比增长34.5%，旅游综合收入13.91亿元，同比增长43.2%，取得了2020年全市旅游产业发展开门红，13.91亿元用科学记数法应表示为( )A.1.391×1010B.13.91×108C.1.391×109D.13.91×109解析：将13.91亿用科学记数法表示为：1.391×109.答案：C.3.下列四个几何体中，主视图与左视图相同的几何体有( )A.1个B.2个C.3个D.4个解析：①正方体的主视图与左视图都是正方形；②球的主视图与左视图都是圆；③圆锥主视图与左视图都是三角形；④圆柱的主视图和左视图都是长方形.答案：D.4.下列运算正确的是( )A.(a﹣2)2=a2﹣4B.a2·a4=a8C.a3+a2=2a5D.(﹣ab2)3=﹣a3b6解析：∵(a﹣2)2=a2﹣4a+4，故选项A错误，∵a2·a4=a6，故选项B错误；∵a3+a2不能合并，故选项C错误，∵(﹣ab2)3=﹣a3b6，故选项D正确.答案：D.5.下列说法不正确的是( )A.在选举中，人们通常最关心的数据是众数B.数据3，5，4，1，﹣2的中位数是3C.一组数据1，1，0，2，4的平均数为2D.甲、乙两人数学成绩的平均分都是95，方差分别是2.5和10.5，要选择一人参加数学竞赛，选甲比较稳定解析：A、在选举中，人们通常最关心的是众数，正确，不符合题意；B、数据3，5，4，1，﹣2的中位数是3，正确，不符合题意；C、一组数据1，1，0，2，4的平均数为1.6，错误，符合题意；D、甲、乙两人数学成绩的平均分都是95，方差分别是2.5和10.5，要选择一人参加数学竞赛，选甲比较稳定，正确，不符合题意，答案：C.6.关于x的不等式组120xx-⎧⎨-⎩＜≤，其解集在数轴上表示正确的是( )A.B.C.D.解析：由﹣x＜1得x＞﹣1，又x﹣2≤0，得x≤2，则不等式组的解集为﹣1＜x≤2.在数轴上表示，7.一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的2个红球和2个白球，两个人依次从袋子中随机摸出一个小球不放回，则第一个人摸到红球且第二个人摸到白球的概率是( )A.1 3B.1 2C.1 4D.1 6则41123p==.答案：A.8.如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是BC边的中点，分别以B、C为圆心，大于线段BC长度一半的长为半径画弧，两弧在直线BC上方的交点为P，直线PD交AC于点E，连接BE，则下列结论：①ED⊥BC；②∠A=∠EBA；③EB平分∠AED；④ED=12AB中，一定正确的是( )A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④解析：根据作图过程可知：PB=CP，∵D为BC的中点，∴PD垂直平分BC，∴①ED⊥BC正确；∵∠ABC=90°，∴E 为AC 的中点， ∴EC=EA ， ∵EB=EC ，∴②∠A=∠EBA 正确；③EB 平分∠AED 错误；④ED=12AB 正确， 故正确的有①②④， 答案：B.9.如图，△OAC 和△BAD 都是等腰直角三角形，∠ACO=∠ADB=90°，反比例函数6y x=在第一象限的图象经过点B ，则△OAC 与△BAD 的面积之差S △OAC ﹣S △BAD 为( )A.36B.12C.6D.3解析：设△OAC 和△BAD 的直角边长分别为a 、b ， 则点B 的坐标为(a+b ，a ﹣b).∵点B 在反比例函数6y x =的第一象限图象上， ∴(a+b)×(a ﹣b)=a 2﹣b 2=6.∴()22221111222263OAC BAD S S a b a b ∆∆===⨯=﹣﹣﹣.答案：D.10.如图，已知正方形ABCD 的边长为4，E 是BC 边上的一个动点，AE ⊥EF ，EF 交DC 于点F ，设BE=x ，FC=y ，则当点E 从点B 运动到点C 时，y 关于x 的函数图象是( )A.B.C.D.解析：∵AE ⊥EF ，∴∠AEB+∠FCE=90°∵四边形ABCD 是正方形，∴∠B=∠C=90° AB=BC=4， ∴∠BAE+∠AEB=90°，∴∠BAE=∠FCE ， ∴△ABE ∽△ECF ，∴AB BEEC FC=， ∵BE=x ，FC=y ，∴EC=4﹣x ，则有44x x y=-， 整理后得214y x x =+ 配方后得到()22114y x =+﹣﹣ 从而得到图象为抛物线，开口朝下，顶点坐标为(2，1). 答案：C.二、填空题：每题3分，共15分.11.()20131π⎛⎫+⎝ ⎪⎭﹣﹣=____.解析：原式=﹣2+9+1=8.答案：8.12.如图，在△ABC 中，83BC EC =，DE ∥AC ，则DE ：AC=____.解析：∵83BC EC =， ∴58BE BC =， ∵DE ∥AC ，∴△BDE ∽△BAC ， ∴58DE BE AC BC ==， 答案：5：8.13.若关于x 的一元二次方程(k ﹣1)x 2+4x+1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是____.解析：∵关于x 的一元二次方程(k ﹣1)x 2+4x+1=0有两个不相等的实数根，∴()2104410k k -≠⎧⎪⎨∆=--⎪⎩＞， 解得：k ＜5且k ≠1. 答案：k ＜5且k ≠1.14.如图，在Rt △AOB 中，∠AOB=90°，OA=3，OB=2，将Rt △AOB 绕点O 顺时针旋转90°后得Rt △FOE ，将线段EF 绕点E 逆时针旋转90°后得线段ED ，分别以O ，E 为圆心，OA 、ED 长为半径画弧AF 和弧DF ，连接AD ，则图中阴影部分面积是____.解析：作DH ⊥AE 于H ，∵∠AOB=90°，OA=3，OB=2，∴AB==由旋转的性质可知，OE=OB=2，DHE≌△BOA，∴DH=OB=2，阴影部分面积=△ADE的面积+△EOF的面积+扇形AOF的面积﹣扇形DEF的面积=22903903 5223360361122ππ⨯⨯⨯+⨯⨯+-⨯=8﹣π，答案：8﹣π.15.在矩形ABCD中，AD=8，AB=6，点E为射线DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，使点D 落在点F处，若△CEF为直角三角形时，DE的长为____.解析：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠B=90°，CD=AB=6，∴10AC===，当△CEF为直角三角形时，有两种情况：①当点F落在矩形内部时，F落在AC上，如图1所示.由折叠的性质得：EF=DE，AF=AD=8，设DE=x，则EF=x，CE=6﹣x，∴CE=6﹣x，在Rt△CEF中，由勾股定理得：∵EF2+CF2=CE2，∴x2+22=(6﹣x)2，解得83x =， ∴83DE =；②当点F 落在AB 边上时，如图2所示.此时ADEF 为正方形， ∴DE=AD=8.③当点F 落在AB边上时，易知BF==，设DE=EF=x ，在Rt △EFC 中，()(22268x x =+﹣﹣，∴323x -=，∴DE =， 综上所述，BE 的长为83或8或323-.答案：83或8.三、解答题：本题共8小题，共75分.16.先化简，再求值：22122121x x x x xx x x ---⎛⎫-÷ ⎪+++⎝⎭，其中x 满足x 2﹣x ﹣1=0. 解析：先通分，计算括号里的，再把除法转化成乘法进行约分计算.最后根据化简的结果，可由x 2﹣x ﹣1=0，求出x+1=x 2，再把x 2=x+1的值代入计算即可.答案：原式=()()()()()()()()()22211211211121121x x x x x x x x x x x x x x x x x -+--++-+⨯=⨯=+-+-，∵x 2﹣x ﹣1=0，∴x 2=x+1，将x 2=x+1代入化简后的式子得：21111x x x x ++==+.17.我市某食品厂“端午节”期间，为了解市民对肉馅粽、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽(以下分别用A、B、C、D表示)四种不同口味粽子的喜爱情况，对某居民区进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图(尚不完整).请根据以上信息回答：(1)本次参加抽样调查的居民有多少人？(2)将不完整的条形图补充完整.(3)若居民区有6000人，请估计爱吃C粽的人数？解析：(1)根据喜欢B粽的人数是60人，所占的比例是10%，据此即可求得调查的总人数；(2)利用总人数减去其它组的人数即可求得喜欢C种粽子的人数，从而补全直方图；(3)利用总人数6000乘以对应的百分比即可求得.答案：(1)本次参加抽样调查的居民数是60÷10%=600(人)；(2)C组的人数是：600﹣180﹣60﹣240=120(人).A类型百分比为180100%30% 600⨯=，C类型百分比为120100%20% 600⨯=，(3)估计爱吃C粽的人数是：6000×120600=1200(人).答：爱吃C粽的人数是1200人.18.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，以边上AC上一点O为圆心，OA为半径作⊙O，⊙O恰好经过边BC的中点D，并与边AC相交于另一点F.(1)求证：BD是⊙O的切线；(2)若BC=E是半圆AGF上一动点，连接AE、AD、DE.填空：①当AE的长度是____时，四边形ABDE是菱形；②当AE的长度是____时，△ADE是直角三角形.解析：(1)连接OD，如图，利用斜边上的中线性质得DB=DA=DC，则可判断△ABD为等边三角形得到∠DAB=∠ADB=60°，∠DAC=∠C=30°，然后计算出∠ODB=90°，从而根据切线的判定定理可判定BD是⊙O的切线；OD==，(2)解：①利用△ABD为等边三角形得到AB=BD=AD=CD=，则可计算出13当DE∥AB时，DE⊥AC，先证明△ADE为等边三角形，再证明四边形ABDE为菱形，然后利用弧长公式计算此时AE的长度；②讨论：当∠ADE=90°时，AE为直径，利用弧长公式可计算出此时AE的长度；当∠DAE=90°时，DE为直径，利用圆周角定理得到∠AOE=2∠ADE=60°，然后利用弧长公式可计算出此时AE的长度.答案：(1)证明：连接OD，如图，∵∠BAC=90°，点D为BC的中点，∴DB=DA=DC，∵∠B=60°，∴△ABD为等边三角形，∴∠DAB=∠ADB=60°，∠DAC=∠C=30°，而OA=OD，∴∠ODA=∠OAD=30°，∴∠ODB=60°+30°=90°，∴OD⊥BC，∴BD是⊙O的切线；(2)解：①∵△ABD为等边三角形，∴，CD=1，在Rt△ODC中，OD=3当DE∥AB时，DE⊥AC，∴AD=AE，∵∠ADE=∠BAD=60°，∴△ADE为等边三角形，∴AD=AE=DE，∠ADE=60°，∴∠AOE=2∠ADE=120°，∴AB=BD=DE=AE，∴四边形ABDE为菱形，此时AE的长度=12012 1803ππ⋅⋅=；②当∠ADE=90°时，AE为直径，点E与点F重合，此时AE的长度=1801180ππ⋅⋅=；当∠DAE=90°时，DE为直径，∠AOE=2∠ADE=60°，此时AE的长度=6011 1803ππ⋅⋅=，所以当AE的长度为13π或π时，△ADE是直角三角形.故答案为23π；13π或π.19.如图，某飞机于空中探测某座山的高度，在点A处飞机的飞行高度是AF=3800米，从飞机上观测山顶目标C的俯角是45°，飞机继续以相同的高度飞行300米到B处，此时观测目标C的俯角是50°，求这座山的高度CD.(参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20).解析：设EC=x，则在RT△BCE中，可表示出BE，在Rt△ACE中，可表示出AE，继而根据AB+BE=AE，可得出方程，解出即可得出答案.答案：设EC=x，在Rt△BCE中，tanEC EBCBE∠=，则5tan6ECBE xEBC==∠，在Rt△ACE中，tanEC EACAE∠=，则tan ECE x EAC==∠，∵AB+BE=AE ，∴300+56x =x ，解得：x=1800，这座山的高度CD=DE ﹣EC=3800﹣1800=2000(米). 答：这座山的高度是2000米.20.如图，一次函数y=kx+2的图象与反比例函数my x=的图象交于点P ，P 在第一象限，PA ⊥x 轴于点A ，PB ⊥y 轴于点B ，一次函数的图象分别交x 轴、y 轴于点C 、D ，且S △PBD =4，12OC OA =. (1)求一次函数与反比例函数的解析式；(2)根据图象直接写出当x ＞0时，一次函数的值大于反比例函数值的x 的取值范围.解析：(1)由一次函数y=kx+2可知OD=2，由AP ∥OB 得13OD OC PA AC ==， 可得AP=6，由S △PBD =4可得BP=2，把P(2，6)分别代入y=kx+2与my x=可得一次函数解析式为：y=2x+2反比例函数解析式为：12y x=；(2)当x ＞0时，一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围由图象能直接看出x ＞2. 答案：(1)由一次函数y=kx+2可知D(0，2)， ∴OD=2，∵PA ⊥x 轴于点A ， ∵AP ∥OB ， ∴OD OC PA AC =， ∵12OC OA =. ∴13OD OC PA AC ==， ∴PA=6，∴BD=6﹣2=4，∴由124PBDS BP BD∆=⋅=，可得BP=2，∴P(2，6)，把P(2，6)分别代入y=kx+2与myx=可得一次函数解析式为：y=2x+2，反比例函数解析式为：12yx =；(2)由图可得x＞2.21.某电器超市销售每台进价分别为200元、170元的A、B两种型号的电风扇，下表是近两(进价、售价均保持不变，利润=销售收入﹣进货成本)(1)求A、B两种型号的电风扇的销售单价；(2)若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？(3)在(2)的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润为1400元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由.解析：(1)设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，根据3台A型号5台B型号的电扇收入1800元，4台A型号10台B型号的电扇收入3100元，列方程组求解；(2)设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇(30﹣a)台，根据金额不多余5400元，列不等式求解；(3)设利润为1400元，列方程求出a的值为20，不符合(2)的条件，可知不能实现目标. 答案：(1)设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，依题意得：351800 4103100 x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得：250210 xy=⎧⎨=⎩，答：A、B两种型号电风扇的销售单价分别为250元、210元；(2)设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇(30﹣a)台. 依题意得：200a+170(30﹣a)≤5400，解得：a≤10.答：超市最多采购A种型号电风扇10台时，采购金额不多于5400元；(3)依题意有：(250﹣200)a+(210﹣170)(30﹣a)=1400，解得：a=20，∵a≤10，∴在(2)的条件下超市不能实现利润1400元的目标.22.如图所示，平行四边形ABCD 中，∠B=60°，将一块含60°的直角三角板如图放置在平行四边形ABCD 所在平面内旋转，且60°角的顶点始终与点C 重合，角的两边所在的两直线分别交线段AB 、AD 于点E 、F(不包括线段的端点). (1)问题发现：如图1，若平行四边形ABCD 为菱形，试猜想线段AE 、AF 、AC 之间的数量关系____，请证明你的猜想. (2)类比探究：如图2，若AB ：AD=1：2，过点C 作CH ⊥AD 于点H ，求AE ：FH 的比值； (3)拓展延伸：如图3，若AB ：AD=1：4，请直接写出(AE+4AF)：AC 的比值为____.解析：(1)①先证明△ABC ，△ACD 都是等边三角形，再证明∠BCE=∠ACF 即可解决问题.②根据①的结论得到BE=AF ，由此即可证明.(2)设DH=x ，由题意，CD=2x ，x ，由△ACE ∽△HCF ，得AE ACFH CH=由此即可证明. (3)如图3中，作CN ⊥AD 于N ，CM ⊥BA 于M ，CM 与AD 交于点H.先证明△CFN ∽△CEM ，得出CN FN CM EM =，由AB·CM=AD·CN ，AD ：AD=1：4，推出CM=4CN ，得出14CN FN CM EM ==，设CN=a ，FN=b ，则CM=4a ，EM=4b ，再求出AC ，AE+4AF ，即可解决问题. 答案：(1)AE+AF=AC ，理由如下：∵四边形ABCD 是平行四边形，∠BAD=120°， ∴∠D=∠B=60°，∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD=AB ，∴△ABC ，△ACD 都是等边三角形，∴∠B=∠CAD=60°，∠ACB=60°，BC=AC ， ∵∠ECF=60°，∴∠BCE+∠ACE=∠ACF+∠ACE=60°， ∴∠BCE=∠ACF ，在△BCE和△ACF中，B CAFBC ACBCE ACF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△BCE≌△ACF(ASA). ∴BE=AF，∴AE+AF=AE+BE=AB=AC；故答案为：AE+AF=AC.(2)设DH=x，由题意，CD=2x，x，∴AD=2AB=4x，∴AH=AD﹣DH=3x，∵CH⊥AD，∴AC==，∴AC2+CD2=AD2，∴∠ACD=90°，∴∠BAC=∠ACD=90°，∴∠CAD=30°，∴∠ACH=60°，∵∠ECF=60°，∴∠HCF=∠ACE，∴△ACE∽△HCF，∴AE：FH=AC：CH=2：1.(3)如图3中，作CN⊥AD于N，CM⊥BA于M，CM与AD交于点H.∵∠ECF+∠EAF=180°，∴∠AEC+∠AFC=180°，∵∠AFC+∠CFN=180°，∴∠CFN=∠AEC，∵∠M=∠CNF=90°，∴△CFN∽△CEM，∴CN FN CM EM=，∵AB·CM=AD·CN ，AB ：AD=1：4， ∴CM=4CN ，∴14CN FN CM EM ==， 设CN=a ，FN=b ，则CM=4a ，EM=4b ， ∵∠MAH=60°，∠M=90°， ∴∠AHM=∠CHN=30°，∴HC=2a ，HM=2a ，HN=a ，∴33AM HM a ==，23AH AM a ==，∴AC ==， AE+4AF=(EM ﹣AM)+4(AH+HN ﹣FN)=EM ﹣AM+4AH+4HN ﹣4FN=4AH+4HN ﹣AM=3a ，∴26334132393aAE AF AC a ==+；23.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x 2+bx+c(a ≠0)经过A 、B 、C 三点，点A 、C 的坐标分别是(0，4)、(﹣1，0). (1)求此抛物线的解析式；(2)点P 是第一象限内抛物线上的一动点，当△ABP 的面积最大时，求出此时P 的坐标及面积的最大值；(3)若G 为抛物线上的一动点，F 为x 轴上的一动点，点D 坐标为(1，4)，点E 坐标为(1，0)，当D 、E 、F 、G 构成平行四边形时，请直接写出点G 的坐标.解析：(1)根据待定系数法，可得函数解析式；(2)根据平行于y 轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得PE 的长，根据三角形的面积公式，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；(3)根据平行四边形的性质，可得FG=4，根据自变量与函数值得对应关系，可得答案.答案：(1)将A ，C 点坐标代入函数解析式，得104b c c --+=⎧⎨=⎩， 解得34b c =⎧⎨=⎩， 抛物线的解析式为y=﹣x 2+3x+4；(2)作PE ⊥x 轴交AB 于E 点，如图1，当y=0时，﹣x 2+3x+4=0，解得x 1=﹣1(不符合题意，舍)，x 2=4，即B 点坐标为(4，0)， AB 的解析式为y=kx+b ，将A ，B 点坐标代入函数解析式，得 y=﹣x+4.设P 点坐标为(m ，﹣m 2+3m+4)，E(m ，﹣m+4)，PE=﹣m 2+3m+4﹣(﹣m+4)=﹣m 2+4m ， S △ABP =12AB•x B =12(﹣m 2+4m)×4=﹣2(m ﹣2)2+8， 当m=2时，S △ABP 有最大值，最大值是8，m=2，﹣m 2+3m+4=﹣4+6+4=6，即P 点坐标为(2，6)； (3)如图2，由四边形DEFG 是平行四边形，E ，F 在x 轴上，得 GF=DE=4，当y=4时，﹣x 2+3x+4=4，解得x 1=0，x 2=3，即D 点坐标为(0，4)或(3，4). 当D 、E 、F 、G 构成平行四边形时，点G 的坐标(0，4)或(3，4).考试高分秘诀是什么？试试这四个方法，特别是中考和高考生谁都想在考试中取得优异的成绩，但要想取得优异的成绩，除了要掌握好相关的知识定理和方法技巧之外，更要学会一些考试技巧。
2020年开封市九年级一模数学试卷及答案解析
A
C B
E
G
D
F 人 3人人
任 任 任任任
任 人 5人人
4. 某电子科技公司招聘本科毕业生,小林同学的心理测试、笔试、面试得分分别为 80 分、90
分 、 70 分 . 若 依 次 按 照 2 : 3 : 5 的 比 例 确 定 成 绩 , 则 小 林 同 学 的 最 终 成 绩 为
【】
（A）80 分
（D）任
6.
下
列
运
算
正
确
的
是
【】
（A） 5a 2a 3
（B） a 3 a 4 a12
（C）
a2b
ab
2
3
46
（D）
a2
a
3 6
7. 如图所示是数学活动课上制作的两个转盘,甲转盘被均分为三部分,上面分别写着 9 , 8 , 5 三个数字,乙转盘被均分为四部分,上面分别写着 1 , 6 , 9 , 8 四个数字.同时转动两个转盘,停止
109 纳米,则用科学记数法表示这种冠状病毒 【】
（A）1.25 10 6 米 （C）1.25 10 8 米
（B）1
米
.25 10 7
（D）
米
1.25 10
9
3. 如图所示, ABC 45 , EDF 60 ,若要使直线 BC // EG ,则可使直线 EG 绕点 D 逆时针
旋转 （A）15
（B） 25
C
D E
A
B
F
三、解答题（共 75 分） 3
16.（8 分）先化简,再求值: 1
G 人 15 人 人
a1 ,其中
a 2 a2 4a 4
5 2. a
17.（9 分）“停课不停学,学习不延期!”,某市教育局为了解初中学生疫情期间在家学习时对一 些学习方式的喜好情况,通过微信采用电子问卷的方式随机调查了部分学生（电子调查表如 图所示）,并根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图,其中选择选项 A 与选项 C 的人数之 和等于选择选项 B 的人数.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2018年河南省开封市中考数学一模试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）计算（﹣1）2018的结果是（）A．2017 B．﹣2018 C．﹣1 D．12．（3分）2018年春节期间共有7.68亿人选择使用微信红包传递新年祝福，收发红包总人数同比去年增加约10%，7.68亿用科学记数法可以表示为（）A．7.68×109B．7.68×108C．0.768×109D．0.768×10103．（3分）如图是由7个小正方体组合而成的几何体，它的俯视图是（）A．B．C．D．4．（3分）分式方程=1的解为（）A．x=﹣1 B．x= C．x=1 D．x=25．（3分）一组从小到大排列的数据：a，3，4，4，6（a为正整数），唯一的众数是4，则该组数据的平均数是（）A．3.6 B．3.8 C．3.6或3.8 D．4.26．（3分）关于抛物线y=x2﹣2x+1，下列说法错误的是（）A．开口向上B．与x轴有一个交点C．对称轴是直线x=1 D．当x＞1时，y随x的增大而减小7．（3分）如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB交AD于点M，若OM=3，BC=10，则OB的长为（）A．5 B．4 C．D．8．（3分）一个不透明的口袋中装有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机摸出一个小球后不放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球标号之和等于6的概率为（）A．B．C．D．9．（3分）如图，已知矩形ABCD的顶点A，D分别落在x轴、y轴上，OD=2OA=6，AD：AB=3：1，则点C的坐标是（）A．（2，7） B．（3，7） C．（3，8） D．（4，8）10．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，在以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立的平面直角坐标系中，将△ABC绕点B顺时针旋转，使点A旋转至y轴的正半轴上的A′处，若AO=OB=2，则阴影部分面积为（）A．πB．π﹣1 C． +1 D．二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）计算：|﹣7+3|=．12．（3分）不等式组的最小整数解是．13．（3分）已知点（m﹣1，y1），（m﹣3，y2）是反比例函数y=（m＜0）图象上的两点，则y1y2（填“＞”或“=”或“＜”）14．（3分）如图，点A的坐标为（0，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等腰直角△ABC，使∠BAC=90°，设点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，则y与x 的解析式是．15．（3分）矩形纸片ABCD，AB=9，BC=6，在矩形边上有一点P，且DP=3．将矩形纸片折叠，使点B与点P重合，折痕所在直线交矩形两边于点E，F，则EF长为．三、解答题（本题共共8小题，满分75分）16．（8分）先化简÷（﹣x+1），然后从﹣＜x＜的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值．17．（9分）随着科技的迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种），在全校范围内随机调查了部分学生，将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：（1）这次统计共抽查了名学生；在扇形统计图中，表示“QQ”的扇形圆心角的度数为；（2）将条形统计图补充完整；（3）该校共有2500名学生，请估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的学生有多少名？（4）某天甲、乙两名同学都想从“微信”、“QQ”、“电话”三种沟通方式中选一种方式与对方联系，请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两名同学恰好选择同一种沟通方式的概率．18．（9分）如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径OD⊥AB，与AC交于点E，与过点C的⊙O切线交于点D．（1）若AC=6，BC=3，求OE的长．（2）试判断∠A与∠CDE的数量关系，并说明理由．大型客机首飞成功，激发了同学们对航空科技的兴趣，如图是某校19．（9分）“C919”航模兴趣小组获得的一张数据不完整的航模飞机机翼图纸，图中AB∥CD，AM∥BN∥ED，AE⊥DE，请根据图中数据，求出线段BE和CD的长．（sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，结果保留小数点后一位）20．（9分）如图，函数y=的图象与双曲线y=（k≠0，x＞0）相交于点A（3，m）和点B．（1）求双曲线的解析式及点B的坐标；（2）若点P在y轴上，连接PA，PB，求当PA+PB的值最小时点P的坐标．21．（10分）某宾馆准备购进一批换气扇，从电器商场了解到：一台A型换气扇和三台B型换气扇共需275元；三台A型换气扇和二台B型换气扇共需300元．（1）求一台A型换气扇和一台B型换气扇的售价各是多少元；（2）若该宾馆准备同时购进这两种型号的换气扇共80台，并且A型换气扇的数量不多于B型换气扇数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．22．（10分）【问题提出】如图①，已知△ABC是等腰三角形，点E在线段AB上，点D在直线BC上，且ED=EC，将△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF连接EF试证明：AB=DB+AF【类比探究】（1）如图②，如果点E在线段AB的延长线上，其他条件不变，线段AB，DB，AF之间又有怎样的数量关系？请说明理由（2）如果点E在线段BA的延长线上，其他条件不变，请在图③的基础上将图形补充完整，并写出AB，DB，AF之间的数量关系，不必说明理由．23．（11分）如图1，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB=4，矩形OBDC的边CD=1，延长DC交抛物线于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点P是直线EO上方抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线EO于点G，作PH⊥EO，垂足为H．设PH的长为l，点P的横坐标为m，求l与m的函数关系式（不必写出m的取值范围），并求出l的最大值；（3）如果点N是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点M，使得以M，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．2018年河南省开封市中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）计算（﹣1）2018的结果是（）A．2017 B．﹣2018 C．﹣1 D．1【解答】解：（﹣1）2018=1．故选：D．2．（3分）2018年春节期间共有7.68亿人选择使用微信红包传递新年祝福，收发红包总人数同比去年增加约10%，7.68亿用科学记数法可以表示为（）A．7.68×109B．7.68×108C．0.768×109D．0.768×1010【解答】解：7.68亿用科学记数法可以表示为7.68×108．故选：B．3．（3分）如图是由7个小正方体组合而成的几何体，它的俯视图是（）A．B．C．D．【解答】解：从上边看，故选：D．来源:Z§xx§]4．（3分）分式方程=1的解为（）2020年最新A．x=﹣1 B．x= C．x=1 D．x=2【解答】解：去分母得：2x﹣1=x﹣2，解得：x=﹣1，经检验x=﹣1是分式方程的解，则分式方程的解为x=﹣1．故选：A．5．（3分）一组从小到大排列的数据：a，3，4，4，6（a为正整数），唯一的众数是4，则该组数据的平均数是（）A．3.6 B．3.8 C．3.6或3.8 D．4.2【解答】解：∵数据：a，3，4，4，6（a为正整数），唯一的众数是4，∴a=1或2，当a=1时，平均数为=3.6；当a=2时，平均数为=3.8；故选：C．来源学科网ZXXK]6．（3分）关于抛物线y=x2﹣2x+1，下列说法错误的是（）A．开口向上B．与x轴有一个交点C．对称轴是直线x=1 D．当x＞1时，y随x的增大而减小【解答】解：∵y=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，∴抛物线开口向上，对称轴为x=1，当x＞1时，y随x的增大而增大，∴A、C正确，D不正确；令y=0可得（x﹣1）2=0，该方程有两个相等的实数根，∴抛物线与x轴有一个交点，∴B正确；故选：D．7．（3分）如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB交AD于点M，若OM=3，BC=10，则OB的长为（）A．5 B．4 C．D．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=90°，∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB，∴OM是△ADC的中位线，∵OM=3，∴DC=6，∵AD=BC=10，∴AC==2，∴BO=AC=，故选：D．8．（3分）一个不透明的口袋中装有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机摸出一个小球后不放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球标号之和等于6的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：画树状图得：∵共有12种等可能的结果，两次摸出的小球标号之和等于6的有2种情况，∴两次摸出的小球标号之和等于6的概率==．故选：A．9．（3分）如图，已知矩形ABCD的顶点A，D分别落在x轴、y轴上，OD=2OA=6，AD：AB=3：1，则点C的坐标是（）A．（2，7） B．（3，7） C．（3，8） D．（4，8）【解答】解：过C作CE⊥y轴于E，∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB，∠ADC=90°，∴∠ADO+∠CDE=∠CDE+∠DCE=90°，∴∠DCE=∠ADO，∴△CDE∽△ADO，∴，∵OD=2OA=6，AD：AB=3：1，∴OA=3，CD：AD=，∴CE=OD=2，DE=OA=1，∴OE=7，∴C（2，7），故选：A．10．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，在以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立的平面直角坐标系中，将△ABC绕点B顺时针旋转，使点A旋转至y轴的正半轴上的A′处，若AO=OB=2，则阴影部分面积为（）A．πB．π﹣1 C． +1 D．来源学。
科。
网Z。
X。
X。
K]【解答】解：∵∠ACB=90°，OA=OB=2，∴AC=BC=AB=2，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AB=2OA=4，∵△ABC绕点B顺时针旋转点A在A′处，∴BA′=AB=4，∴BA′=2OB，∴∠OA′B=30°，，∴∠A′BA=60°即旋转角为60°，S阴影=S扇形BAA′+S△A′BC′﹣S△ABC﹣S扇形BCC′=S扇形ABA′﹣S扇形CBC′=﹣=π，故选：D．二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）计算：|﹣7+3|=4．【解答】解：原式=|﹣4|=4．故答案为：412．（3分）不等式组的最小整数解是x=﹣3．【解答】解：由①得，x＞﹣，由②得，x＜，所以不等式的解集为﹣＜x＜，在数轴上表示为：由图可知，不等式组的最小整数解是x=﹣3．13．（3分）已知点（m﹣1，y1），（m﹣3，y2）是反比例函数y=（m＜0）图象上的两点，则y1＞y2（填“＞”或“=”或“＜”）【解答】解：∵在反比例函数y=（m＜0）中，k=m＜0，∴该反比例函数在第二象限内y随x的增大而增大，∵m﹣3＜m﹣1＜0，∴y1＞y2．故答案为：＞．14．（3分）如图，点A的坐标为（0，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等腰直角△ABC，使∠BAC=90°，设点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，则y与x 的解析式是y=x+1．【解答】解：作AD∥x轴，作CD⊥AD于点D，如右图所示，由已知可得，OB=x，OA=1，∠AOB=90°，∠BAC=90°，AB=AC，点C的纵坐标是y，∵AD∥x轴，∴∠DAO+∠AOD=180°，∴∠DAO=90°，∴∠OAB+∠BAD=∠BAD+∠DAC=90°，∴∠OAB=∠DAC，在△OAB和△DAC中，，∴△OAB≌△DAC（AAS），∴OB=CD，∴CD=x，∵点C到x轴的距离为y，点D到x轴的距离等于点A到x的距离1，∴y=x+1，故答案为：y=x+115．（3分）矩形纸片ABCD，AB=9，BC=6，在矩形边上有一点P，且DP=3．将矩形纸片折叠，使点B与点P重合，折痕所在直线交矩形两边于点E，F，则EF长为6或2．【解答】解：如图1，当点P在CD上时，∵PD=3，CD=AB=9，∴CP=6，∵EF垂直平分PB，∴四边形PFBE是正方形，EF过点C，∴EF=6，如图2，当点P在AD上时，过E作EQ⊥AB于Q，∵PD=3，AD=6，∴AP=3，2020年最新∴PB===3，∵EF垂直平分PB，∴∠1=∠2，∵∠A=∠EQF，∴△ABP∽△EFQ，∴，∴，∴EF=2，综上所述：EF长为6或2．故答案为：6或2．三、解答题（本题共共8小题，满分75分）16．（8分）先化简÷（﹣x+1），然后从﹣＜x＜的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值．【解答】解：÷（﹣x+1）====，∵﹣＜x＜且x+1≠0，x﹣1≠0，x≠0，x是整数，∴x=﹣2时，原式=﹣．17．（9分）随着科技的迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种），在全校范围内随机调查了部分学生，将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：（1）这次统计共抽查了100名学生；在扇形统计图中，表示“QQ”的扇形圆心角的度数为108°；（2）将条形统计图补充完整；（3）该校共有2500名学生，请估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的学生有多少名？（4）某天甲、乙两名同学都想从“微信”、“QQ”、“电话”三种沟通方式中选一种方式与对方联系，请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两名同学恰好选择同一种沟通方式的概率．【解答】解：（1）喜欢用电话沟通的人数为20，所占百分比为20%，∴此次共抽查了：20÷20%=100人，喜欢用QQ沟通所占比例为：=，∴QQ”的扇形圆心角的度数为：360°×=108，故答案为：100、108°；（2）喜欢用短信的人数为：100×5%=5人喜欢用微信的人数为：100﹣20﹣5﹣30﹣5=40补充图形，如图所示：（3）喜欢用微信沟通所占百分比为：×100%=40%∴该校共有2500名学生，请估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的学生有：2500×40%=1000人；（4）画出树状图，如图所示所有情况共有9种情况，其中甲、乙两名同学恰好选择同一种沟通方式的共有3种情况，故甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率为=．18．（9分）如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径OD⊥AB，与AC交于点E，与过点C的⊙O切线交于点D．（1）若AC=6，BC=3，求OE的长．（2）试判断∠A与∠CDE的数量关系，并说明理由．【解答】解：（1）∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=，∴OA=AB=，∵OD⊥AB，∴∠AOE=∠ACB=90°，又∵∠A=∠A，∴△AOE∽△ACB，∴，即，解得：OE=；（2）∠CDE=2∠A，理由如下：连接OC，如图所示：∵OA=OC，∴∠1=∠A，∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，∴∠OCD=90°，∴∠2+∠CDE=90°，∵OD⊥AB，∴∠2+∠3=90°，∴∠3=∠CDE，∵∠3=∠A+∠1=2∠A，∴∠CDE=2∠A．大型客机首飞成功，激发了同学们对航空科技的兴趣，如图是某校19．（9分）“C919”航模兴趣小组获得的一张数据不完整的航模飞机机翼图纸，图中AB∥CD，AM∥BN∥≈0.60，cos37°≈0.80，ED，AE⊥DE，请根据图中数据，求出线段BE和CD的长．（sin37°tan37°≈0.75，结果保留小数点后一位）【解答】解：∵BN∥ED，∴∠NBD=∠BDE=37°，∵AE⊥DE，∴∠E=90°，∴BE=DE?tan∠BDE≈18.75（cm），如图，过C作AE的垂线，垂足为F，∵∠FCA=∠CAM=45°，∴AF=FC=25cm，∵CD∥AE，∴四边形CDEF为矩形，∴CD=EF，∵AE=AB+EB=35.75（cm），∴CD=EF=AE﹣AF≈10.8（cm），答：线段BE的长约等于18.8cm，线段CD的长约等于10.8cm．20．（9分）如图，函数y=的图象与双曲线y=（k≠0，x＞0）相交于点A（3，m）和点B．（1）求双曲线的解析式及点B的坐标；（2）若点P在y轴上，连接PA，PB，求当PA+PB的值最小时点P的坐标．【解答】解：（1）把A（3，m）代入y=2x，可得m=2×3=6，∴A（3，6），把A（3，6）代入y=，可得k=3×6=18，∴双曲线的解析式为y=；当x＞3时，解方程组，可得或（舍去），∴点B的坐标为（6，3）；（2）如图所示，作点A关于y轴的对称点A'（﹣3，6），连接A'P，则A'P=AP，∴PA+PB=A'P+BP≥A'B，∴当A'，P，B三点共线时，PA+PB的最小值等于A'B的长，设A'B的解析式为y=ax+b，把A'（﹣3，6），B（6，3）代入，可得，解得，∴A'B的解析式为y=﹣x+5，令x=0，则y=5，∴点P的坐标为（0，5）．21．（10分）某宾馆准备购进一批换气扇，从电器商场了解到：一台A型换气扇和三台B型换气扇共需275元；三台A型换气扇和二台B型换气扇共需300元．（1）求一台A型换气扇和一台B型换气扇的售价各是多少元；（2）若该宾馆准备同时购进这两种型号的换气扇共80台，并且A型换气扇的数量不多于B型换气扇数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．【解答】解：（1）设一台A型换气扇x元，一台B型换气扇的售价为y元，根据题意得：，解得，答：一台A型换气扇50元，一台B型换气扇的售价为75元；（2）设购进A型换气扇z台，总费用为w元，则有z≤3（80﹣z），解得：z≤60，∵z为换气扇的台数，∴z≤60且z为正整数，w=50z+75（80﹣z）=﹣25z+6000，∵﹣25＜0，∴w随着z的增大而减小，∴当z=60时，w最大=25×60+6000=4500，此时80﹣z=80﹣60=20，答：最省钱的方案是购进60台A型换气扇，20台B型换气扇．22．（10分）【问题提出】如图①，已知△ABC是等腰三角形，点E在线段AB上，点D在直线BC上，且ED=EC，将△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF连接EF试证明：AB=DB+AF【类比探究】（1）如图②，如果点E在线段AB的延长线上，其他条件不变，线段AB，DB，AF之间又有怎样的数量关系？请说明理由（2）如果点E在线段BA的延长线上，其他条件不变，请在图③的基础上将图形补充完整，并写出AB，DB，AF之间的数量关系，不必说明理由．【解答】证明：ED=EC=CF，∵△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF，∴∠ECF=60°，∠BCA=60°，BE=AF，EC=CF，∴△CEF是等边三角形，∴EF=EC，∠CEF=60°，又∵ED=EC，∴ED=EF，∵△ABC是等腰三角形，∠BCA=60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠CAF=∠CBA=60°，∴∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°，∠DBE=120°，∠EAF=∠DBE，∵∠CAF=∠CEF=60°，∴A、E、C、F四点共圆，∴∠AEF=∠ACF，又∵ED=EC，∴∠D=∠BCE，∠BCE=∠ACF，∴∠D=∠AEF，在△EDB和△FEA中，（AAS）∴△EDB≌△FEA，∴DB=AE，BE=AF，∵AB=AE+BE，∴AB=DB+AF．（1）AB=BD﹣AF；延长EF、CA交于点G，∵△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF，∴∠ECF=60°，BE=AF，EC=CF，∴△CEF是等边三角形，∴EF=EC，又∵ED=EC，∴ED=EF，∠EFC=∠BAC=60°，∵∠EFC=∠FGC+∠FCG，∠BAC=∠FGC+∠FEA，∴∠FCG=∠FEA，又∵∠FCG=∠ECD，∠D=∠ECD，∴∠D=∠FEA，由旋转的性质，可得∠CBE=∠CAF=120°，∴∠DBE=∠FAE=60°，在△EDB和△F EA中，（AAS）∴△EDB≌△FEA，∴BD=AE，EB=AF，∴BD=FA+AB，即AB=BD﹣AF．（2）如图③，，ED=EC=CF，∵△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF，∴∠ECF=60°，BE=AF，EC=CF，BC=AC，∴△CEF是等边三角形，∴EF=EC，又∵ED=EC，∴ED=EF，来源:Z|xx|]∵AB=AC，BC=AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，又∵∠CBE=∠CAF，∴∠CAF=60°，∴∠EAF=180°﹣∠CAF﹣∠BAC=180°﹣60°﹣60°=60°∴∠DBE=∠EAF；∵ED=EC，∴∠ECD=∠EDC，∴∠BDE=∠ECD+∠DEC=∠EDC+∠DEC，又∵∠EDC=∠EBC+∠BED，∴∠BDE=∠EBC+∠BED+∠DEC=60°+∠BEC，∵∠AEF=∠CEF+∠BEC=60°+∠BEC，∴∠BDE=∠AEF，在△EDB和△FEA中，（AAS）∴△EDB≌△FEA，∴BD=AE，EB=AF，∵BE=AB+AE，∴AF=AB+BD，即AB，DB，AF之间的数量关系是：AF=AB+BD．23．（11分）如图1，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB=4，矩形OBDC的边CD=1，延长DC交抛物线于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点P是直线EO上方抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线EO于点G，作PH⊥EO，垂足为H．设PH的长为l，点P的横坐标为m，求l与m 的函数关系式（不必写出m的取值范围），并求出l的最大值；（3）如果点N是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点M，使得以M，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵矩形OBDC的边CD=1，∴OB=1，∵AB=4，∴OA=3，∴A（﹣3，0），B（1，0），把A、B两点坐标代入抛物线解析式可得，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣x+2；（2）在y=﹣x2﹣x+2中，令y=2可得2=﹣x2﹣x+2，解得x=0或x=﹣2，∴E（﹣2，2），∴直线OE解析式为y=﹣x，由题意可得P（m，﹣m2﹣m+2），∵PG∥y轴，∴G（m，﹣m），∵P在直线OE的上方，∴PG=﹣m2﹣m+2﹣（﹣m）=﹣m2﹣m+2=﹣（m+）2+，∵直线OE解析式为y=﹣x，∴∠PGH=∠COE=45°，∴l=PG= [﹣（m+）2+]=﹣（m+）2+，∴当m=﹣时，l有最大值，最大值为；（3）①当AC为平行四边形的边时，则有MN∥AC，且MN=AC，如图，过M作对称轴的垂线，垂足为F，设AC交对称轴于点L，则∠ALF=∠ACO=∠FNM，在△MFN和△AOC中来源学科网∴△MFN≌△AOC（AAS），∴MF=AO=3，∴点M到对称轴的距离为3，又y=﹣x2﹣x+2，∴抛物线对称轴为x=﹣1，设M点坐标为（x，y），则|x+1|=3，解得x=2或x=﹣4，当x=2时，y=﹣，当x=﹣4时，y=﹣，∴M点坐标为（2，﹣）或（﹣4，﹣）；②当AC为对角线时，设AC的中点为K，∵A（﹣3，0），C（0，2），∴K（﹣，1），∵点N在对称轴上，∴点N的横坐标为﹣1，设M点横坐标为x，∴根据中点坐标公式：x+（﹣1）=2×（﹣）=﹣3，解得x=﹣2，此时y=2，∴M（﹣2，2）；综上可知点M的坐标为（2，﹣）或（﹣4，﹣）或（﹣2，2）．。