几何图形旋转变换
几何变换的认识和基本原理
几何变换的认识和基本原理几何变换是指通过对平面上的点、线、面进行位置、形状或尺寸上的改变，从而得到一个新的图形。
在计算机图形学和计算机视觉等领域，几何变换是非常重要的基础知识。
本文将介绍几何变换的认识和基本原理。
一、平移变换平移变换是指将一个图形沿着某个方向平行移动一定的距离。
平移变换可以用以下公式表示：[x', y'] = [x + dx, y + dy]其中，(x, y)是原始图形上的一个点，(dx, dy)是平移的距离，(x', y')是平移后得到的新点的坐标。
二、旋转变换旋转变换是指将一个图形绕着某个中心点按照一定的角度旋转。
旋转变换可以用以下公式表示：[x', y'] = [x*cosθ - y*sinθ, x*sinθ + y*cosθ]其中，(x, y)是原始图形上的一个点，θ是旋转的角度，(x', y')是旋转后得到的新点的坐标。
三、缩放变换缩放变换是指将一个图形按照一定的比例因子放大或缩小。
缩放变换可以用以下公式表示：[x', y'] = [s*x, s*y]其中，(x, y)是原始图形上的一个点，s是缩放的比例因子，(x', y')是缩放后得到的新点的坐标。
四、对称变换对称变换是指将一个图形关于某一直线或某一点进行对称。
对称变换可以分为关于x轴对称、关于y轴对称、关于原点对称等。
不同类型的对称变换具体的公式略有不同，但原理都是将图形上的点映射到其关于对称轴的对称位置。
五、仿射变换仿射变换是指将一个图形通过平移、旋转和缩放等基本变换来进行综合变换。
仿射变换可以用以下矩阵表示：[x', y'] = [a*x + b*y + c, d*x + e*y + f]其中，a、b、c、d、e、f为变换矩阵中的参数，(x, y)是原始图形上的一个点，(x', y')是变换后得到的新点的坐标。
六年级数学技巧解决几何问题的旋转变换
六年级数学技巧解决几何问题的旋转变换在数学学科中，几何是一门需要具备解决问题的技巧的重要领域。
在六年级学生的课程中，掌握几何问题的解决方法对于提高数学能力至关重要。
其中，旋转变换是一种常用的技巧之一。
通过旋转变换，学生可以更好地理解和解决各种几何问题。
本文将详细介绍几个旋转变换的技巧，以帮助六年级学生在数学学习中更加轻松地应对几何问题。
一、旋转变换的基本概念在开始介绍旋转变换的具体技巧之前，我们首先需要了解旋转变换的基本概念。
旋转变换是指将一个图形按照一定角度围绕一个固定点旋转，从而得到一个新的图形。
在旋转变换中，固定点被称为旋转中心，旋转的角度被称为旋转角度。
通过旋转变换，我们可以改变图形的朝向和位置，进而解决几何问题。
二、旋转变换的基本技巧1. 顺时针和逆时针旋转在旋转变换中，有两种基本的旋转方式：顺时针旋转和逆时针旋转。
顺时针旋转是指图形按照顺时针方向绕旋转中心旋转，而逆时针旋转则是指图形按照逆时针方向绕旋转中心旋转。
通过掌握这两种旋转方式，学生可以更加灵活地应对不同的几何问题。
2. 旋转角度的确定在进行旋转变换时，旋转角度的确定是非常关键的。
旋转角度通常以度数表示，可以是正值也可以是负值。
根据题目给出的旋转要求，学生需要准确地确定旋转角度，并按照要求进行旋转变换。
3. 图形特征的保持在进行旋转变换时，保持图形的某些特征是十分重要的。
例如，保持图形的某条边不动，只对其他部分进行旋转变换。
通过保持某些特征，学生可以更好地理解图形的变化规律，并解决与旋转变换相关的几何问题。
三、旋转变换的应用技巧1. 旋转对称图形的性质旋转对称图形是指经过旋转变换后仍然与原图形完全相同的图形。
在解决旋转对称图形相关问题时，学生可以利用该性质来简化问题。
例如，对于一个正方形，它的每一条边都相等且与旋转中心的连线长度相等，利用这些性质，学生可以快速获得其他边的长度等信息。
2. 旋转变换的组合运用在实际的几何问题中，旋转变换可以与其他几何技巧相结合，进一步解决更加复杂的问题。
几何形的旋转方法与例题
几何形的旋转方法与例题几何形的旋转是数学中常见的操作方法，通过围绕旋转中心点旋转图形，可以产生一系列有趣的变化和性质。
本文将介绍几何形的旋转方法，并结合例题进行详细论述。
一、平面上的旋转方法在平面几何中，常见的旋转方法有以下两种：1. 以原点为旋转中心点的旋转：对于平面上的点A(x, y)，经过以原点O(0, 0)为中心点的逆时针旋转θ度后，新的坐标为A'(x', y')。
根据旋转矩阵的定义，可以得到旋转后的坐标计算公式：```x' = x*cosθ - y*sinθy' = x*sinθ + y*cosθ```这种方法适用于旋转点或图形关于原点对称的情况。
2. 以任意点为旋转中心点的旋转：对于平面上的点A(x, y)，经过以点P(a, b)为中心点的逆时针旋转θ度后，新的坐标为A'(x', y')。
根据旋转矩阵的定义，可以得到旋转后的坐标计算公式：```x' = (x-a)*cosθ - (y-b)*sinθ + ay' = (x-a)*sinθ + (y-b)*cosθ + b```这种方法适用于旋转点或图形关于任意点对称的情况。
二、几何形的旋转例题1. 旋转矩形：设矩形ABCD的长为a，宽为b，以点O为中心逆时针旋转α度，求旋转后矩形的长和宽。
解析：以O为中心点旋转，将矩形四个顶点A、B、C、D依次进行旋转，记为A'、B'、C'、D'。
由于矩形维持原始形状，我们只需计算A'、B'的横坐标之差即可求出旋转后的长和宽。
假设A点坐标为(x, y)，经过逆时针旋转α度后的坐标为(x', y')。
则根据旋转公式可得：```x' = x*cosα - y*sinαy' = x*sinα + y*cosα```对于A点有：x' - x = a代入上述公式可得：a*co sα - b*sinα - a = 0解上述方程可以求得旋转后矩形的长。
如何进行平移旋转翻转等几何变换
如何进行平移旋转翻转等几何变换如何进行平移、旋转、翻转等几何变换几何变换是几何学中重要的概念，广泛应用于计算机图形学、游戏开发、计算机辅助设计和工程制图等领域。
通过几何变换，我们可以改变图形的位置、方向和形状，从而达到我们想要的效果。
本文将介绍如何进行平移、旋转和翻转等几何变换，并提供示例说明。
一、平移变换平移变换是指在平面内将图形沿着某个方向移动一定的距离。
平移变换不改变图形的大小和形状，只改变其位置。
对于平面上的一个点(x, y)，平移变换的公式为：新的坐标点 = (x + dx, y + dy)其中，dx和dy分别代表在x轴和y轴上的平移距离。
例如，如果要将一个点(2, 3)沿x轴正方向平移3个单位，沿y轴正方向平移2个单位，则变换后的新坐标为(5, 5)。
平移变换也可以用矩阵进行表示。
平移变换矩阵如下所示：[1 0 dx][0 1 dy][0 0 1]二、旋转变换旋转变换是指将图形绕某个点旋转一定的角度。
通过旋转变换，我们可以改变图形的方向和位置。
对于平面上的一个点(x, y)，绕原点旋转θ度后的新坐标计算公式为：新的坐标点= (x * cosθ - y * sinθ, x * sinθ + y * cosθ)其中，θ为旋转角度。
例如，如果要将点(1, 1)绕原点逆时针旋转45度，则变换后的新坐标为(0, √2)。
旋转变换也可以用矩阵进行表示。
旋转变换矩阵如下所示：[cosθ -sinθ 0][sinθ cosθ 0][0 0 1]三、翻转变换翻转变换是指将图形关于某个轴或某个点进行对称翻转。
翻转变换有水平翻转和垂直翻转两种情况。
1. 水平翻转：对于平面上的一个点(x, y)，关于x轴进行水平翻转后的新坐标计算公式为：新的坐标点 = (x, -y)例如，将点(2, 3)关于x轴进行水平翻转，则变换后的新坐标为(2, -3)。
2. 垂直翻转：对于平面上的一个点(x, y)，关于y轴进行垂直翻转后的新坐标计算公式为：新的坐标点 = (-x, y)例如，将点(2, 3)关于y轴进行垂直翻转，则变换后的新坐标为(-2, 3)。
初中数学中考冲刺必备(旋转几个类型题)
初中数学中考冲刺必备几何图形变换主要包括5个模型平移、旋转和翻折是几何变换中的三种基本变换。
所谓几何变换就是根据确定的法则，对给定的图形(或其一部分)施行某种位置变化，然后在新的图形中分析有关图形之间的关系。
一、旋转的定义二、中考常见的几种旋转图形旋转类型题目举例1、正三角形类型在正ΔABC中，P为ΔABC内一点，将ΔABP绕A点按逆时针方向旋转60°，使得AB与AC重合。
经过这样旋转变化，将图（1-1-a）中的PA、PB、PC三条线段集中于图（1-1-b）中的一个ΔP'CP中，此时ΔP'AP也为正三角形。
例1如图（1-1），设P是等边ΔABC内的一点，PA=3， PB=4，PC=5，∠APB的度数是________.2、正方形类型在正方形ABCD中，P为正方形ABCD内一点，将ΔABP绕B点按顺时针方向旋转90°，使得BA与BC重合。
经过旋转变化，将图（2-1-a）中的PA、PB、PC三条线段集中于图（2-1-b）中的ΔCPP'中，此时ΔBPP'为等腰直角三角形。
例2 如图（2-1），P是正方形ABCD内一点，点P到正方形的三个顶点A、B、C的距离分别为PA=1，PB=2，PC=3。
求正方形ABCD面积。
3、等腰直角三角形类型在等腰直角三角形ΔABC中，∠C=90°, P为ΔABC内一点，将ΔAPC绕C点按逆时针方向旋转90°，使得AC与BC重合。
经过这样旋转变化，在图（3-1-b）中的一个ΔP'CP为等腰直角三角形。
例3如图，在ΔABC中，∠ACB =90°，BC=AC，P为ΔABC内一点，且PA=3，PB=1，PC=2。
求∠BPC的度数。
总结：旋转是几何变换中的基本变换，它一般先对给定的图形或其中一部分，通过旋转，改变位置后得新组合，然后在新的图形中分析有关图形之间的关系，进而揭示条件与结论之间的内在联系，找出证题途径。
旋转平移翻折的几何变换与性质
旋转平移翻折的几何变换与性质旋转、平移和翻折是几何中常见的基本变换方式，它们在空间和平面几何中发挥着重要的作用。
本文将介绍旋转平移翻折的几何变换及其性质，推导其数学表达式，并通过具体的实例来说明其应用。
一、旋转变换旋转是指将平面或空间中的图形按照一定角度绕着旋转中心进行旋转的操作。
对于平面上的点(x, y)，其绕原点逆时针旋转θ度后的新坐标可以由以下公式计算得出：x' = x*cosθ - y*sinθy' = x*sinθ + y*cosθ其中，x'和y'分别表示旋转后点的坐标，θ为旋转角度。
二、平移变换平移是指将平面或空间中的图形沿着指定的方向和距离进行移动的操作。
平移变换可以用一个向量来表示。
对于平面上的点(x, y)，其平移(dx, dy)后的新坐标可以由以下公式计算得出：x' = x + dxy' = y + dy其中，(dx, dy)为平移向量，x'和y'分别表示平移后点的坐标。
三、翻折变换翻折是指将平面或空间中的图形沿着指定的轴进行对称的操作。
对于平面上的点(x, y)，其关于直线y=k翻折后的新坐标可以由以下公式计算得出：x' = xy' = 2k - y其中，(x', y')为翻折后点的坐标，k为翻折轴的位置。
以上是旋转、平移和翻折的几何变换的数学表达式。
下面将通过实例说明它们在几何问题中的应用。
实例一：旋转变换假设有一张平面上的三角形ABC，顶点分别为A(1, 2)，B(3, 4)和C(5, 6)。
现在需要将该三角形绕原点顺时针旋转60度，求旋转后各顶点的坐标。
根据旋转变换的公式，旋转角度θ=60°，原点为旋转中心，可以计算得出旋转后的各顶点坐标为：A'(1*cos60° - 2*sin60°, 1*sin60° + 2*cos60°) = (0.5, 2.598)B'(3*cos60° - 4*sin60°, 3*sin60° + 4*cos60°) = (-1.133, 4.330)C'(5*cos60° - 6*sin60°, 5*sin60° + 6*cos60°) = (1.333, 7.464)实例二：平移变换假设有一条直线L，其方程为y = 2x - 1。
空间几何体的平移与旋转变换
空间几何体的平移与旋转变换在数学中，空间几何体的平移与旋转变换是重要的概念和技巧。
通过平移和旋转，我们可以改变几何体在空间中的位置和方向，从而帮助我们进行几何问题的解答和实际应用的分析。
一、平移变换平移变换是指将一个几何体在空间中沿着一定的方向移动一定的距离，而形状、大小和方向不发生改变。
在平面几何中，平移变换常用坐标表示。
而在空间几何中，平移变换涉及到三维空间的坐标系，可以通过矢量表示来描述。
平移变换的数学表达式为：P' = P + d其中，P为原始几何体上的一个点，P'为平移后的点，d是平移的位移向量。
位移向量d可以通过从原始点P到平移后的点P'的矢量表示得到。
平移变换的性质：1. 平移变换保持距离和角度不变，即平移后的两点之间的距离和平移前的两点之间的距离相等，两线段之间的夹角不变。
2. 平移变换对加法封闭，即两次平移可以合并为一次平移。
3. 平移变换不改变几何体的面积和体积。
平移变换广泛应用于建筑设计、机械制造、计算机图形学等领域。
例如在建筑设计中，可以通过平移变换来将物体移动到合适的位置，实现布局的调整。
在机械制造中，平移变换可以用于零件的装配和定位。
在计算机图形学中，平移变换是实现二维和三维图形的基本操作之一。
二、旋转变换旋转变换是指将一个几何体沿着一定轴线进行转动，使得几何体的形状、大小和方向发生改变。
旋转变换可以分为二维旋转和三维旋转。
在三维旋转中，还可以根据旋转轴的不同，分为绕x轴旋转、绕y轴旋转和绕z轴旋转。
旋转变换的数学表达式为：P' = R * P其中，P为原始几何体上的一个点，P'为旋转后的点，R是旋转矩阵，用来描述旋转的角度和轴线。
旋转变换的性质：1. 旋转变换保持距离和角度不变，即旋转后的两点之间的距离和旋转前的两点之间的距离相等，两线段之间的夹角不变。
2. 旋转变换对加法和乘法封闭，即两次旋转可以合并为一次旋转。
3. 旋转变换不改变几何体的面积和体积。
旋转翻转与平移的变换知识点总结
旋转翻转与平移的变换知识点总结几何变换是数学中一个重要且常见的概念，对于图形的旋转翻转与平移等操作，能够使得图形在平面内发生变化。
本文将对旋转翻转与平移的变换知识点进行总结，以便更好地理解和应用这些概念。
一、旋转变换旋转变换是指将图形按照一定的角度围绕某一点旋转。
在平面几何中，旋转变换包括顺时针旋转和逆时针旋转两种方式。
1. 顺时针旋转：顺时针旋转是将图形按照顺时针方向进行旋转，一般以正角度表示。
例如，将一个图形按照顺时针旋转90度，就是将原始图形的每个点绕着旋转中心点顺时针旋转90度。
2. 逆时针旋转：逆时针旋转是将图形按照逆时针方向进行旋转，一般以负角度表示。
与顺时针旋转类似，逆时针旋转也是将原始图形的每个点绕着旋转中心点逆时针旋转一定角度。
旋转变换可以用矩阵表示，其中旋转角度为θ，旋转矩阵为：cosθ -sinθsinθ cosθ二、翻转变换翻转变换是指将图形按照某一轴进行对称，常见的有水平翻转和垂直翻转两种方式。
1. 水平翻转：水平翻转是将图形按照水平轴进行对称，即以水平轴为对称轴，上下颠倒图形。
例如，将一个图形按照水平轴进行翻转，原先在上部的图形点转移到下部。
2. 垂直翻转：垂直翻转是将图形按照垂直轴进行对称，即以垂直轴为对称轴，左右颠倒图形。
例如，将一个图形按照垂直轴进行翻转，原先在左侧的图形点转移到右侧。
翻转变换可以用矩阵表示，其中水平翻转可用矩阵表示为：-1 00 1垂直翻转可用矩阵表示为：1 00 -1三、平移变换平移变换是指将图形沿着平面平行移动一段距离。
平移变换可以将图形从一个位置移动到另一个位置，而不改变图形的大小和形状。
平移变换通常用向量表示，其中平移向量为：(dx, dy)。
图形的每个点都将根据平移向量的数值进行水平和垂直方向上的移动。
四、综合应用旋转翻转与平移的变换在实际生活中有广泛的应用，尤其是在计算机图形学和计算机视觉领域。
在计算机图形学中，通过对图像进行旋转、翻转和平移等变换，可以实现图像的缩放、旋转和平移操作。
旋转、平移和镜像变换
旋转、平移和镜像变换旋转、平移和镜像变换是几种常见的图形变换方法，在计算机图形学、几何学以及艺术设计等领域都有广泛应用。
通过这些变换，我们可以改变图形的位置、形状和方向，从而达到我们想要的效果。
1. 旋转变换旋转变换是将一个图形按照某个点为中心点进行旋转，使得图形围绕这个中心点旋转一定角度。
旋转变换可以分为顺时针旋转和逆时针旋转两种。
旋转变换的公式为：x' = x*cosθ - y*sinθy' = x*sinθ + y*cosθ其中，(x, y)表示原始的点的坐标，(x', y')表示旋转后的点的坐标，θ表示旋转的角度。
2. 平移变换平移变换是将一个图形沿着平移向量的方向进行移动，使得图形整体平移一定距离。
平移变换是保持图形形状和方向不变的基本变换之一。
平移变换的公式为：x' = x + dxy' = y + dy其中，(x, y)表示原始的点的坐标，(x', y')表示平移后的点的坐标，(dx, dy)表示平移向量。
3. 镜像变换镜像变换是将一个图形按照某个镜像轴进行对称，使得图形在镜像轴两侧呈镜像关系。
镜像变换可以分为水平镜像和垂直镜像两种。
水平镜像变换的公式为：x' = xy' = y垂直镜像变换的公式为：x' = -xy' = y其中，(x, y)表示原始的点的坐标，(x', y')表示镜像后的点的坐标。
通过组合使用旋转、平移和镜像变换，我们可以实现更加复杂的变换效果。
例如，可以先将一个图形进行平移，然后再进行旋转和镜像变换，从而得到一个整体上更加生动和有趣的图形。
总结：旋转、平移和镜像变换是图形变换中常用的几种方法。
它们可以灵活地改变图形的位置、形状和方向，为计算机图形学、几何学和艺术设计等领域提供了丰富的工具和技术。
熟练掌握这些变换方法，对于创作和处理图形具有重要意义。
几何形的旋转与相似
几何形的旋转与相似几何形的旋转与相似是几何学中的基本概念，它们在许多数学问题和实际应用中都起着重要的作用。
本文将介绍几何形的旋转和相似的定义、性质以及常见的应用。
1. 旋转旋转是指围绕某一点进行旋转操作，使得原有的图形按照一定的角度和方向进行移动。
我们可以通过几何运算的方式来描述旋转变换。
设有一点O为旋转中心，角度为θ，若点P相对于点O的旋转变换后的位置为P'，则P'可以通过以下公式计算得到：x' = x * cosθ - y * sinθy' = x * sinθ + y * cosθ其中(x, y)为点P的坐标，(x', y')为点P'的坐标。
旋转变换可以将图形绕某一中心进行旋转，保持图形的形状和大小不变。
在实际应用中，旋转变换常被用于计算机图像处理、航空航天等领域。
2. 相似相似是指两个图形在形状上相似，但大小可以不同。
具体而言，若两个图形的对应角度相等，则称它们为相似图形。
对于平面图形，我们可以通过比较它们的对应边长的比值来判断是否相似。
设有两个相似图形A和B，分别具有对应边长a和b，若它们的对应边长比值为k，则可以得到以下公式：k = a / b根据相似的定义，我们可以推导出相似图形之间的性质。
例如，相似三角形的对应角度相等，对应边长成比例，面积成比例等。
相似性是几何形变换中的重要概念，它在图像压缩、模型放大缩小等领域有着广泛的应用。
3. 应用案例几何形的旋转与相似在实际应用中有着广泛的应用。
以下是其中一些常见的应用案例：3.1 建筑设计在建筑设计中，旋转和相似变换被广泛运用于建筑物的设计和布局。
设计师可以利用旋转变换来调整建筑物的方向、空间布局等，以实现更好的设计效果。
同时，相似变换也被用于模型的缩放和变形，帮助设计师更好地进行建筑规划。
3.2 机器人技术在机器人技术中，旋转变换被用于控制和定位机器人的运动。
通过旋转变换，机器人可以精确地调整自身的方向和位置，实现更准确的目标定位和路径规划。
平面几何变换
平面几何变换平面几何变换是指在平面上对图形进行形状、大小和位置的改变，常用的变换包括平移、旋转、缩放和翻转等。
这些变换在数学、计算机图形学和计算机视觉等领域具有广泛的应用。
本文将介绍这些常见的平面几何变换及其应用。
一、平移变换平移变换是指将图形沿着水平和垂直方向保持形状和大小不变地移动。
平移变换可以通过将图形上的点按照固定的平移量进行移动来实现。
例如，将一个点的横坐标增加10个单位，纵坐标增加5个单位，即可实现对该点的平移变换。
平移变换常用于动画制作、图像处理和机器人运动控制等领域。
二、旋转变换旋转变换是指围绕一个中心点将图形按照一定角度进行旋转。
旋转变换可以通过将图形上的点绕着中心点按照一定角度旋转来实现。
旋转变换常用于计算机图形学、计算机游戏和机器人路径规划等领域。
例如，在计算机游戏中，可以通过对角色进行旋转变换来改变其朝向和视角。
三、缩放变换缩放变换是指按照一定比例对图形进行放大或缩小。
缩放变换可以通过将图形上的点按照一定比例进行坐标变换来实现。
缩放变换常用于地图显示、图像处理和工程设计等领域。
例如，在图像处理中，可以通过对图像进行缩放变换来改变其大小和清晰度。
四、翻转变换翻转变换是指将图形按照水平或垂直方向进行翻转。
翻转变换可以通过将图形上的点按照一定规律进行坐标变换来实现。
翻转变换常用于镜像对称的图案设计、计算机视觉和人脸识别等领域。
例如，在人脸识别中，可以通过对人脸图像进行水平翻转来改善识别准确度。
五、应用场景平面几何变换在各个领域都有着广泛的应用。
在地图显示中，可以通过平移、旋转和缩放变换来实现地图的平移、旋转和缩放操作，以满足用户的需求。
在计算机游戏中，可以通过平移、旋转和缩放变换来实现游戏角色的移动、旋转和缩放效果，增加游戏的可玩性。
在工程设计中，可以通过平面几何变换来进行图纸的布局和尺寸调整，提高设计效率和精度。
在计算机视觉中，可以通过平面几何变换来实现图像的校正、配准和纠正畸变等操作，提高图像处理和分析的准确性。
几何变换和对称性
几何变换和对称性几何变换是指平面或者空间中的图形，通过旋转、平移、缩放以及翻转等操作而得到的新图形。
几何变换是数学中一个重要的概念，它在几何学、物理学和计算机图形学等领域中有着广泛的应用。
一、平移变换平移变换是将图形按照指定的方向和距离进行移动，图形的大小和形状保持不变。
在平面几何中，平移变换可以通过将图形上的每个点同时按照相同的向量平移来实现。
例如，将一个正方形沿着x轴正方向平移3个单位，则每个点的坐标都分别增加3。
二、旋转变换旋转变换是将图形按照指定的中心点和角度进行旋转，图形的大小和结构保持不变。
在平面几何中，旋转变换可以通过将图形上的每个点绕着中心点按照逆时针方向旋转指定角度来实现。
例如，将一个正方形绕着原点逆时针旋转45度，则每个点的新坐标可以通过对原坐标进行矩阵运算得到。
三、缩放变换缩放变换是将图形按照指定的比例因子进行放大或者缩小，图形的形状改变，但是结构保持不变。
在平面几何中，缩放变换可以通过将图形上的每个点的坐标分别乘上指定的比例因子来实现。
例如，将一个正方形按照x方向放大2倍、y方向缩小一半，则每个点的新坐标可以通过对原坐标进行相应的运算得到。
四、翻转变换翻转变换是将图形按照指定的轴线或者中心点进行镜像翻转，图形的结构和形状发生改变。
在平面几何中，翻转变换可以通过将图形上的每个点按照指定线段进行镜像翻转来实现。
例如，将一个正方形以x轴为轴线进行翻转，则每个点的新坐标可以通过对原坐标进行相应的运算得到。
五、对称性的应用对称性在几何变换中起着重要的作用。
对称性是指图形存在某种操作，使得通过该操作得到的新图形与原图形完全相同。
在几何学中，有三种常见的对称性，即点对称、轴对称和中心对称。
点对称是指图形在某一个点上对称，即通过这个点将图形翻转180度后，得到的新图形与原图形完全相同。
例如，一个圆的任意两个点之间都存在着点对称关系。
轴对称是指图形相对于一条直线对称，即通过这条直线将图形翻转180度后，得到的新图形与原图形完全相同。
解析几何旋转变换公式
解析几何旋转变换公式解析几何这门学问里，旋转变换公式可是个相当重要的家伙！咱们今天就来好好说道说道。
记得我以前教过一个学生，叫小李。
这孩子吧，脑子挺灵，就是一碰到旋转变换公式就犯迷糊。
有一次做作业，碰到一道要用旋转变换公式解决的题，他愣是在那苦思冥想了半天，最后写出来的答案还是错得离谱。
我问他：“小李啊，你到底是咋想的？”他挠挠头说：“老师，我觉得这公式太复杂了，绕来绕去的，我都被绕晕了。
”其实啊，旋转变换公式没那么可怕。
咱们先来说说平面直角坐标系中的旋转变换。
假设点 P(x, y) 绕原点逆时针旋转θ 角度得到点 P'(x', y')，那么这其中的公式就是x' = x * cosθ - y * sinθ，y' = x * sinθ + y * cosθ 。
咱们来仔细瞅瞅这公式。
你看，cosθ 和sinθ 就像是两个小助手，帮助我们完成点的旋转。
比如说，当θ = 90° 时，cos90° = 0，sin90° = 1，这时候 x' = -y，y' = x，这不就是把点逆时针旋转了 90 度嘛！再比如说，在一个具体的图形中，有个三角形 ABC，A 点坐标是(1, 0)，B 点坐标是(0, 1)，C 点坐标是(-1, 0)。
现在要把这个三角形绕原点逆时针旋转 45°，那咱们就可以用这旋转变换公式来算算新的顶点坐标啦。
经过一番计算，A 点新坐标变成了(√2/2, √2/2)，B 点新坐标变成了(-√2/2, √2/2)，C 点新坐标变成了(-√2/2, -√2/2)。
你瞧，通过公式，咱们就能清晰地看到图形旋转后的样子。
回到开头提到的小李同学，后来我给他仔仔细细地讲解了几遍，还让他自己动手多做了几道题，慢慢地，他也不再害怕这旋转变换公式了，做题的准确率也提高了不少。
在实际生活中，旋转变换公式也有不少用处呢。
比如说设计一个旋转的摩天轮，工程师就得用这公式来确定座舱的位置变化；再比如在计算机图形学中，要让一个图像旋转，也得靠这公式帮忙。
几何旋转与平移：旋转和平移图形
几何旋转与平移：旋转和平移图形几何旋转和平移是平面几何中的两个重要概念，它们在图形的变换和构造中扮演着重要的角色。
旋转和平移可以改变图形的位置、角度和大小，帮助我们更好地理解几何形状的特性。
本文将重点讨论几何旋转和平移的原理、应用以及它们之间的关系。
一、旋转图形旋转是指将一个图形按照一定的轴心和旋转角度进行旋转变换，使图形在平面上绕轴心旋转一周。
在旋转过程中，图形的各个点相对于轴心的角度保持不变，但位置会发生变化。
旋转可以分为顺时针旋转和逆时针旋转，旋转角度可以是正数也可以是负数。
旋转常用的记法是“Rθ”，其中R表示旋转操作，θ表示旋转的角度。
例如，将点A(x, y)绕原点逆时针旋转α度后得到点A'(x', y')，我们可以表示为：A' = Rα(A)。
旋转对图形的特性有着重要影响。
通过旋转，我们可以观察到图形的对称性、轴对称性和旋转对称性。
旋转对于解决几何问题、构造等方面具有广泛的应用。
同时，旋转还在计算机图形学、物体模拟等领域中扮演着重要角色。
二、平移图形平移是指将一个图形沿着平面上的直线方向进行移动，使得图形中的所有点保持相对位置不变。
在平移过程中，图形的形状、角度和大小都保持不变，只是位置发生了变化。
平移可以是沿水平方向或竖直方向进行，也可以是沿其他方向进行。
平移常用的记法是“T(a, b)”，其中T表示平移操作，(a, b)表示平移的位移向量。
例如，将点A(x, y)沿着向量(a, b)进行平移后得到点A'(x+a, y+b)，我们可以表示为：A' = T(a, b)(A)。
平移是几何中的一项基本操作，它对于图形的移动、构造和变换起着至关重要的作用。
通过平移，我们可以观察到图形的平行性、共线性和等距性质。
平移在建筑设计、地图绘制、仿射变换等领域中得到广泛应用。
三、旋转与平移的关系旋转和平移是两种不同的几何变换，它们之间存在一定的联系。
在平面几何中，我们可以通过组合旋转和平移来进行更复杂的图形变换。
平移旋转和翻折的变换规律
平移旋转和翻折的变换规律平移、旋转和翻折是几种常见的几何变换规律，它们在数学、物理、工程和计算机图形等领域中都有广泛的应用。
通过对物体进行平移、旋转或翻折，可以改变其位置、形状和方向，从而实现对几何结构的转换和处理。
本文将深入探讨平移、旋转和翻折的变换规律，帮助读者更好地理解和运用这些重要的几何概念。
一、平移变换平移变换是指将一个几何图形沿着某个方向移动一定的距离，而不改变其形状和方向。
平移变换可以通过向量表示，假设有一个向量(a, b)，表示平面上的平移向量，那么对于平面上的点P(x, y)，经过平移变换后的点P'的坐标可以表示为P' = P + (a, b)。
具体来说，对于二维平面上的图形，其每个点的坐标都分别增加平移向量的分量，从而实现整体平移的效果。
在三维空间中，平移变换同样可以通过向量表示，假设有一个向量(a, b, c)，表示三维空间中的平移向量，那么对于空间中的点P(x, y, z)，经过平移变换后的点P'的坐标可以表示为P' = P + (a, b, c)。
与二维平移类似，三维空间中的图形的每个点的坐标都分别增加平移向量的分量，实现整体平移的效果。
二、旋转变换旋转变换是指将一个几何图形绕着某个点或轴心旋转一定的角度，而不改变其位置和形状。
旋转变换可以通过矩阵表示，假设有一个旋转矩阵R，对于二维平面上的点P(x, y)，经过旋转变换后的点P'的坐标可以表示为P' = R * P。
具体来说，旋转矩阵可以根据旋转角度和旋转中心点的位置进行计算，从而实现对二维平面上的图形进行旋转变换。
在三维空间中，旋转变换同样可以通过矩阵表示，假设有一个旋转矩阵R，对于空间中的点P(x, y, z)，经过旋转变换后的点P'的坐标可以表示为P' = R * P。
与二维旋转类似，三维空间中的旋转矩阵可以根据旋转角度和旋转轴心的位置进行计算，实现对空间中的图形进行旋转变换。
旋转变换和放缩变换
旋转变换和放缩变换旋转变换和放缩变换是计算机图形学中常用的几何变换方法，可以通过改变图形的位置、角度和尺寸来实现图形的变形效果。
本文将深入探讨旋转变换和放缩变换的原理和应用。
一、旋转变换旋转变换是指改变一个图形的角度或方向，使其相对于原始位置发生旋转。
在计算机图形学中，旋转变换通常使用矩阵变换的方式来实现。
具体来说，我们可以通过以下公式进行旋转变换：[x′ y′ 1] = [x y 1] ⨀[cosθ -sinθ 0sinθ cosθ 00 0 1]其中[x y 1]表示原始点的坐标，[x′ y′ 1]表示旋转后的点的坐标，θ表示旋转角度，⨀表示矩阵相乘。
二、放缩变换放缩变换也被称为缩放变换或伸缩变换，是指改变一个图形的尺寸，使其相对于原始大小发生放大或缩小。
放缩变换也可以使用矩阵变换的方式来实现。
具体来说，我们可以通过以下公式进行放缩变换：[x′ y′ 1] = [x y 1] ⨀ [Sx 0 00 Sy 00 0 1]其中[x y 1]表示原始点的坐标，[x′ y′ 1]表示放缩后的点的坐标，Sx和Sy分别表示在x轴和y轴方向上的放缩比例。
三、旋转变换和放缩变换的应用1. 图形变形旋转变换和放缩变换可以应用于各种图形的变形效果，例如将一个矩形图形旋转一定角度，或者将一个圆形图形缩放到指定尺寸。
通过调整旋转角度和放缩比例，我们可以实现各种各样的图形变形效果，从而满足不同的设计需求。
2. 图像处理旋转变换和放缩变换在图像处理领域也有广泛的应用。
例如，在图像拼接中，我们可以通过旋转和放缩变换将多个图像拼接成一个全景图像；在图像缩放中，我们可以通过放缩变换改变图像的尺寸，使其适应不同的显示设备。
3. 三维建模在三维建模中，旋转变换和放缩变换是非常重要的操作。
通过旋转变换，我们可以改变三维模型的角度和方向，使其呈现出不同的视角；通过放缩变换，我们可以改变三维模型的大小，使其适应不同的场景需求。
旋转变换和放缩变换在三维建模软件中扮演着重要的角色，帮助设计师实现复杂的模型效果。
几何图形的旋转和平移变换
几何图形的旋转和平移变换几何图形的旋转和平移变换是几何学中重要的概念和技巧。
旋转变换是指将一个图形绕着一个固定点旋转一定角度，而平移变换是指将一个图形沿着一个固定向量方向平行移动一段距离。
这两种变换可以用来改变图形的位置、形状和方向，为几何学的研究和实际应用提供了基础。
1. 旋转变换旋转变换是将一个图形绕着一个固定点旋转一定角度。
在平面几何中，旋转变换通常以原点为中心进行，而在三维几何中，旋转可以以任意点为中心。
旋转变换可以用一个角度来描述，通常以度数或弧度表示。
以顺时针方向为正向，逆时针方向为负向。
当我们进行旋转变换时，可以通过确定旋转中心和旋转角度来确定图形在平面上的位置和方向。
2. 平移变换平移变换是将一个图形沿着一个向量方向平行移动一段距离。
平移变换可以用两个参数来描述，即平移的横向和纵向距离。
平移变换不改变图形的形状和方向，只改变其位置。
通过平移变换，我们可以将图形从一个位置移动到另一个位置，或者在平面上进行相对位置的调整。
3. 旋转和平移的组合变换旋转和平移变换常常被组合使用，以实现更复杂的图形变换。
在进行组合变换时，应先进行旋转变换，然后再进行平移变换。
组合变换可以通过矩阵运算来实现。
旋转变换可以用旋转矩阵来表示，平移变换可以用平移矩阵来表示。
将旋转矩阵和平移矩阵相乘，即可得到组合变换的矩阵表示。
4. 应用举例几何图形的旋转和平移变换在实际应用中有广泛的应用。
以下是一些典型的应用举例：4.1 地图制作在地图制作过程中，经常需要进行旋转和平移变换。
例如，将真实地图上的各种要素转换为平面上的投影图时，就需要进行坐标系的旋转和平移变换，以保证图上各个物体的位置和方位准确。
4.2 计算机图形学在计算机图形学中，旋转和平移变换是基本的图形操作。
通过对图形进行旋转和平移变换，可以实现三维模型的展示、动画效果的制作等功能。
4.3 机器人运动规划在机器人运动规划中，旋转和平移变换用于描述机器人的运动轨迹。
小专题(四)：平面直角坐标系中图形旋转的变换规则
小专题(四)：平面直角坐标系中图形旋转的变换规则1. 引言平面直角坐标系中，图形的旋转是一种常见的几何变换。
本文介绍了图形旋转的变换规则。
2. 图形旋转的基本概念图形旋转是指将一个图形绕一个中心点旋转一定角度后得到新的图形。
旋转的中心点可以位于坐标原点或任意其他点。
3. 旋转变换的规则根据旋转变换的规则，对于同一图形的旋转变换，可以得到以下规律：- 旋转360度（或2π弧度）等于恢复原状，即旋转后的图形与原图形完全相同。
- 旋转180度（或π弧度）等于将图形沿旋转中心点对称。
- 旋转90度（或π/2弧度）等于将图形逆时针旋转90度。
- 旋转270度（或3π/2弧度）等于将图形顺时针旋转90度。
4. 旋转的计算方法为了进行图形的旋转变换，可以利用旋转矩阵进行计算。
旋转矩阵是一个二维的矩阵，在平面直角坐标系中描述了图形的旋转变换。
旋转矩阵的公式如下：R = | cosθ -sinθ || sinθ cosθ |其中，θ表示旋转的角度。
5. 应用举例以矩形图形为例，假设原始矩形的坐标为A(x₁, y₁), B(x₂,y₁), C(x₂, y₂), D(x₁, y₂)。
若要将该矩形逆时针旋转90度得到新的矩形A'(x₁', y₁'), B'(x₂', y₁'), C'(x₂', y₂'), D'(x₁', y₂')，可以通过旋转矩阵计算得出新的坐标。
新的坐标计算公式如下：x₁' = x₁ * cos90 - y₁ * sin90y₁' = x₁ * sin90 + y₁ * cos90x₂' = x₂ * cos90 - y₁ * sin90y₂' = x₂ * sin90 + y₁ * cos906. 结论图形在平面直角坐标系中的旋转变换遵循一定的规则和计算方法。
通过理解和应用这些规则和计算方法，我们可以对图形进行准确的旋转变换。
学习几何变换理解平移旋转和翻转
学习几何变换理解平移旋转和翻转学习几何变换理解平移、旋转和翻转几何变换是数学中一个重要的概念，用于描述平面或空间中图形的形状改变。
其中，平移、旋转和翻转是最基本且常见的几何变换方式。
通过学习几何变换，我们能够更好地理解和描述图形的运动和变化。
本文将详细介绍平移、旋转和翻转的概念、性质和应用。
一、平移平移是指保持图形形状不变，只改变其位置的变换方式。
平移可以用一个向量来表示，这个向量的大小和方向表示了图形在平移过程中的移动距离和方向。
平移的特点：1. 平移不改变图形的大小和形状，只改变了它们的位置。
2. 平移保持了图形的对称性和平行性质，相似三角形和相似多边形的比例关系也得以保持。
3. 平移是可逆的，即可以通过反方向平移将图形恢复到原来的位置。
平移的应用：1. 地图上的位置标记：在地图上标注城市、河流等位置时，通过平移操作可以方便地调整它们的位置。
2. 计算机图形学：平移是计算机图形学中常用的操作，用于实现图像的平移和移动。
二、旋转旋转是指围绕某一点或轴将图形旋转一定角度的变换方式。
在平面几何中，旋转可以绕一个点或绕一个线进行。
旋转可以通过一个旋转角度和旋转中心来描述。
旋转的特点：1. 旋转保持图形的大小和形状不变，只改变其方向。
2. 旋转是可逆的，即可以通过反方向旋转将图形恢复到原来的方向。
3. 旋转中心对旋转结果有很大的影响，不同的旋转中心会产生不同的旋转效果。
旋转的应用：1. 家具摆放：在家具摆放过程中，通过旋转操作可以调整家具的方向，以适应房间的布局。
2. 地球自转：地球绕自身的轴进行自转，形成昼夜交替的现象。
三、翻转翻转是指将图形按照某一轴进行对称翻转的变换方式。
在平面几何中，常见的翻转轴有垂直翻转轴和水平翻转轴。
在三维空间中，还可以进行其他方式的翻转。
翻转的特点：1. 翻转保持图形的大小和形状不变，同时改变其方向。
2. 翻转是可逆的，即可以通过反方向翻转将图形恢复到原来的方向。
3. 翻转轴对翻转结果有很大的影响，不同的翻转轴会产生不同的翻转效果。
空间几何体的位似与旋转变换
空间几何体的位似与旋转变换空间几何体的位似与旋转变换是数学中非常重要的概念和方法。
位似（Similarity）指的是两个几何体在形状上相似，但尺寸可能不同；旋转变换则是指通过旋转操作将一个几何体转移到另一个位置。
一、位似变换位似变换是指在保持几何体形状不变的前提下，通过缩放操作改变几何体的尺寸。
具体可以分为等比例变换和非等比例变换两种形式。
在等比例变换中，几何体的尺寸在各个维度上按相同的比例进行缩放。
例如，一个正方体按比例放大一倍，那么它的底面积和体积都会增大两倍，但各个边的比例关系保持不变。
而在非等比例变换中，几何体的尺寸在各个维度上按不同的比例进行缩放。
例如，一个矩形在长和宽方向上分别按不同的比例进行缩放，那么它的形状会发生改变，但相似性仍然存在。
二、旋转变换旋转变换是指通过绕特定轴进行旋转操作，改变几何体在空间中的方向和位置。
旋转变换通常使用欧拉角或四元数来表示。
在旋转变换中，几何体可以绕着特定轴进行旋转，如绕X轴、Y轴或Z轴旋转。
旋转操作会改变几何体的朝向和位置，但形状和尺寸保持不变。
例如，一个立方体绕X轴旋转90度，那么它的一个面将变为上方，但它的边长和体积仍然保持不变。
三、应用举例位似与旋转变换在几何学、计算机图形学、物理学等领域有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用举例：1. 三维建模和动画：在计算机图形学中，位似与旋转变换被广泛用于进行三维建模和动画设计。
通过位似变换可以调整几何体的大小，而通过旋转变换可以改变几何体的方向和位置，从而实现物体的形变和动画效果。
2. 物理模拟：在物理学中，位似与旋转变换通常用于模拟刚体的运动。
通过位似变换可以调整刚体的大小，而通过旋转变换可以模拟刚体的旋转运动，从而精确地描述物体在三维空间中的位置和运动状态。
3. 结构工程：在结构工程中，位似与旋转变换用于分析和设计建筑物、桥梁等结构体。
通过位似变换可以对结构体进行缩放，从而便于进行尺寸调整和结构设计；通过旋转变换可以模拟结构体所受的力和形变，从而分析结构体的稳定性和安全性。
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几何图形旋转变换1.已知：在ABC ∆中，AC BC >，动点D 绕ABC ∆的顶点A 逆时针旋转，且BC AD =，连结DC ．过AB 、DC 的中点E 、F 作直线，直线EF 与直线AD 、BC 分别相交于点M 、N ．（1）如图1，当点D 旋转到BC 的延长线上时，点N 恰好与点F 重合，取AC 的中点H ，连结HE 、HF ，根据三角形中位线定理和平行线的性质，可得结论BNE AMF ∠=∠（不需证明）． （2）当点D 旋转到图2或图3中的位置时，AMF ∠与BNE ∠有何数量关系？请分别写出猜想，并任选一种情况证明．图2图3图1AD2、已知：在四边形ABCD中，A D∥BC，∠BAC=∠D，点E、F分别在BC、CD上，且∠AEF=∠ACD,试探究AE与EF之间的数量关系。
（1）如图1，若AB=BC=AC,则AE与EF之间的数量关系为______________; （2）如图2，若AB=BC，你在（1）中的得到的结论是否发生变化？写出你的猜想，并加以证明；（3）如图3，若AB=KBC，你在（1）中的得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明.L3．如图1，ABC △的边BC 在直线l 上，AC BC ⊥，且A C B C =；EFP △的边FP 也在直线l 上，边EF 与边AC 重合，且EF FP =．（1）在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB 与AP 所满足的数量关系和位置关系；（2）将EFP △沿直线l 向左平移到图2的位置时，EP 交AC 于点Q ，连结AP ，BQ ．猜想并写出BQ 与AP 所满足图1的数量关系和位置关系，请证明你的猜想； （3）将EFP △沿直线l 向左平移到图3的位置时，EP 的延长 线交AC 的延长线于点Q ，连结AP ，BQ ．你认为（2）中所猜想的BQ 与AP 的数量关系和位置关系还成立吗？若成立， 图2给出证明；若不成立，请说明理由．L4．（1）如图1，四边形ABCD 中，CB AB =，︒=∠60ABC ，︒=∠120ADC ，请你 猜想线段DA 、DC 之和与线段BD 的数量关系，并证明你的结论； （2）如图2，四边形ABCD 中，BC AB =，︒=∠60ABC ，若点P 为四边形ABCD 内一点，且︒=∠120APD ，请你猜想线段PA 、PD 、PC 之和与线段BD的数量关系，并证明你的结论．图2图１5. 在ABCD中，过点C作CE⊥CD交AD于点E,将线段EC绕点E逆时针旋转90得到线段EF(如图1)（1）在图1中画图探究：①当P为射线CD上任意一点（P1不与C重合）时，连结EP1绕点E逆时针旋转90得到线段EC1.判断直线FC1与直线CD的位置关系，并加以证明；②当P2为线段DC的延长线上任意一点时，连结EP2,将线段EP2绕点E逆时针旋转90得到线段EC2.判断直线C1C2与直线CD的位置关系，画出图形并直接写出你的结论.（2）若AD=6,tanB=43,AE=1,在①的条件下，设CP1=x，S11P FC=y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.6.△ABC是等边三角形，P为平面内一个动点，BP=BA，若0°＜∠PBC＜180°，且∠PBC的平分线上一点D满足DB=DA，(1)当BP和BA重合时(如图1)，∠BPD= °(2)当BP在∠ABC内部时(如图2)，求∠BPD(3)当BP在∠ABC外部时，请直接写出∠BPD，并画出相应的图形7．我们知道：将一条线段AB 分割成大小两条线段AC 、CB ，若小线段CB 与大线段AC 的长度之比等于大线段AC 与线段AB 的长度之比，即...49896180339887.0215=-==AB AC AC CB 这种分割称为黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点.（1） 类似地我们可以定义，顶角为︒36的等腰三角形叫黄金三角形，其底与腰之比为黄金数，底角平分线与腰的交点为腰的黄金分割点.如图24-1，在ABC ∆中，︒=∠36A ，,AC AB =ACB ∠的角平分线CD 交腰AB 于点D ，请你说明D为腰AB 的黄金分割点的理由.(2) 若腰和上底相等,对角线和下底相等的等腰梯形叫作黄金梯形,其对角线的交点为对角线的黄金分割点. 如图24-2,AD ‖BC ,DC AD AB ==,BC BD AC ==,试说明O 为AC 的黄金分割点.(3)如图24-3,在ABC Rt ∆中,︒=∠90ACB ,CD 为斜边AB 上的高，ACB B A ∠∠∠、、的对边分别为c b a 、、.若D 是AB 的黄金分割点，那么c b a 、、之间的数量关系是什么？并证明你的结论.24-1 图24-2 图24-3图图图321A B CDEQPGPQ EDCBAP QEDC BA F 8．在矩形ABCD 中，点E 是AD 边上一点，连结BE ，且BE ＝2AE ， BD 是∠EBC 的平分线．点P 从点E 出发沿射线ED 运动，过点P 作PQ ∥BD 交直线BE 于点Q ．（1）当点P 在线段ED 上时（如图①），求证：BE PD PQ +； （2）当点P 在线段ED 的延长线上时（如图②），请你猜想3BE PD PQ、、三者之间的数量关系（直接写出结果，不需说明理由）；（3）当点P 运动到线段ED 的中点时（如图③），连结QC ，过点P 作PF ⊥QC ，垂足为F ，PF 交BD 于点G ．若BC ＝12，求线段PG 的长．9.如图，点D 在AC 上，点E 在BC 上，且DE ∥AB ，将△CDE 绕点C 按顺时针方向旋转得到△E D C ''（使E BC '∠＜180°），连接D A '、E B '，设直线E B '与AC 交于点O.（1）如图①，当AC=BC 时，D A ':E B '的值为 ；（2）如图②，当AC=5，BC=4时，求D A ':E B '的值； （3）在（2）的条件下，若∠ACB=60°，且E 为BC 的中点，求△OAB 面积的最小值.图① 图②10.将边长OA=8，OC=10的矩形OABC 放在平面直角坐标系中，顶点O 为原点，顶点C 、A 分别在x 轴和y 轴上.在OA 、OC 边上选取适当的点E 、F ，连接EF ，将△EOF 沿EF 折叠，使点O 落在AB 边上的点D 处．图① 图② 图③ （1）如图①，当点F 与点C 重合时，OE 的长度为 ；（2）如图②，当点F 与点C 不重合时，过点D 作D G ∥y 轴交EF 于点T ，交OC 于点G .求证：EO=DT ；（3）在（2）的条件下，设()T x y ，，写出y 与x 之间的函数关系式为 ，自变量x 的取值范围是 ；（4）如图③，将矩形OABC 变为平行四边形，放在平面直角坐标系中，且OC=10，OC 边上的高等于8，点F 与点C 不重合，过点D 作D G ∥y 轴交EF 于点T ，交OC 于点G ，求出这时()T x y ，的坐标y 与x 之间的函数关系式（不求自变量x 的取值范围）．FEDCBA11.(1)如图25-1，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＝∠D ＝90°，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF=12∠BAD.求证:EF ＝BE ＋FD;(2) 如图25-2在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B+∠D ＝180°，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF=12∠BAD, (1)中的结论是否仍然成立？ 不用证明.(3) 如图25-3在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B+∠ADC ＝180°，E 、F 分别是边BC 、CD 延长线上的点，且∠EAF=12∠BAD, (1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明.12. 如图，将一三角板放在边长为1的正方形ABCD 上，并使它的直角顶点P 在对角线AC 上滑动，直角的一边始终经过点B,另一边与射线DC相交于Q .探究：设A 、P 两点间的距离为x .(1)当点Q 在边CD 上时，线段PQ 与PB 之间有怎样的 数量关系？试证明你的猜想；(2)当点Q 在边CD 上时，设四边形PBCQ 的面积为y ， 求y 与x 之间的函数关系，并写出函数自变量x 的 取值范围；(3)当点P 在线段AC 上滑动时，△PCQ 是否可能成为等腰三角形？如果可能,指出所有能使△PCQ 成为等腰三角形的点Q 的位置.并求出相应的x 值，如果不可能，试说明理由.(答题卡上有备用图可供使用)QPDCB A13．两个全等的三角形ABC和DEF重叠在一起，△ABC的面积为3，且AB CB=．固定△ABC不动，将△DEF进行如下操作：（1）如图①，△DEF沿线段AB向右平移（即D点在线段AB内移动），连结DC、CF、FB，四边形CDBF的形状在不断的变化，但它的面积不变化，请求出其面积；（2）如图②，当D点B向右平移到B点时，试判断CE与BF的位置关系，并说明理由；（3）在（２）的条件下，若15AEC∠=︒，求AB的长．A EDA E14.如图24－1，正方形ABCD 和正方形QMNP ， M 是正方形ABCD 的对称中心，MN 交AB 于F ，QM 交AD 于E ．（1）猜想：ME 与MF 的数量关系（2）如图24－2，若将原题中的“正方形”改为“菱形”，且∠M =∠B ，其它条件不变，探索线段ME 与线段MF 的数量关系，并加以证明．（3）如图24－3，若将原题中的“正方形”改为“矩形”，且AB:BC=1:2，其它条件不变，探索线段ME 与线段MF 的数量关系，并说明理由．（4）如图24－4，若将原题中的“正方形”改为平行四边形，且∠M =∠B ，AB:BC = m ，其它条件不变，求出ME ：MF 的值。
（直接写出答案）ND15．如图1，在△ABC 中，∠ACB 为锐角．点D 为射线BC 上一动点，连接AD ，以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF ． 解答下列问题：（1）如果AB=AC ，∠BAC=90º．①当点D 在线段BC 上时（与点B 不重合），如图2，线段CF 、BD 之间的位置关系为 ，数量关系为 ．②当点D 在线段BC 的延长线上时，如图3，①中的 结论是否仍然成立，为什么？（2）①如果AB=AC ，∠BAC≠90º，点D 在射线BC 上运动．在图4中同样作出正方形ADEF ，你发现（1）问中的结论是否成立？不用说明理由； ②如果∠BAC=90º，AB≠AC ，点D 在射线BC 上运动．在图5中同样作出正方形ADEF ，你发现（1）问中的结论是否成立？不用说明理由；（3）要使（1）问中CF ⊥BC 一个．．条件，（点C 、F 重合除外）？画出相应图形（画图不写作法），并说明理由；ABCDEF图1图2FEBAF EDCB A图3（4）在（3）问的条件下，设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P，设AC＝22，BC=23，求线段CP长的最大值．解：16．如图，已知等边三角形ABC中，点D、E、F分别为边AB、AC、BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时，△DMN也随之整体移动）．（1）如图1，当点M在点B左侧时，请你连结EN，并判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？请写出结论，并说明理由；（2）如图2，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF 的数量关系是否仍然成立? 若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，若点M在点C右侧时，请你判断（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立? 若成立,请直接写出结论；若不成立，请说明理由．NMDCBA（第23题图1） （第23题图2） 22．我们给出如下定义：如果四边形中一对顶点到另一对顶点所连对角线的距离相等，则把这对顶点叫做这个 四边形的一对等高点.例如：如图1,平行四边形ABCD中，可证点A 、C 到BD 的距离相等，所以点A 、C 是 平行四边形ABCD 的一对等高点，同理可知点B 、D也是平行四边形ABCD 的一对等高点. 图1（1）如图2，已知平行四边形ABCD , 请你在图2中画出一个只有一对等高点的四边形ABCE （要求：画出必要的辅助线）；（2）已知P 是四边形ABCD 对角线BD 上任意一点（不与B 、D 点重合），请分别探究图3、图4中S 1, S 2, S 3, S 4四者之间的等量关系(S 1, S 2, S 3, S 4分别表示△ABP ,△CBP , △CDP , △ADP 的面积)：① 如图3，当四边形ABCD 只有一对等高点A 、C 时，你得到的一个结论是 ；② 如图4，当四边形ABCD 没有等高点时，你得到的一个结论S 2S 1S 4S 3S 4S 3S 2ABCPDABCPDS 1图2 图3 图424．在课外小组活动时，小慧拿来一道题（原问题）和小东、小明交流.原问题：如图1，已知△ABC, ∠ACB=90︒, ∠ABC=45︒，分别以AB、BC为边向外作△ABD与△BCE, 且DA=DB, EB=EC，∠ADB=∠BEC=90︒，连接DE交AB于点F. 探究线段DF与EF的数量关系.小慧同学的思路是：过点D作DG⊥AB于G,构造全等三角形，通过推理使问题得解.小东同学说:我做过一道类似的题目,不同的是∠ABC=30︒,∠ADB=∠BEC=60︒.小明同学经过合情推理，提出一个猜想，我们可以把问题推广到一般情况.请你参考小慧同学的思路，探究并解决这三位同学提出的问题：（1）写出原问题中DF与EF的数量关系；（2）如图2，若∠ABC=30︒，∠ADB=∠BEC=60︒，原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明； （3）如图3，若∠ADB =∠BEC =2∠ABC , 原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明.图 1 图 2图325．（本题满分8分）请阅读下列材料：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．即如右图1,若弦AB 、CD 交于点P 则PA ·PB=PC ·PD .BADFDACEFBEFBAD已知⊙O 的半径为2，P 是⊙O 内一点，且OP=1，过点P 任作一弦AC ，过A 、C 两点分别作⊙O 的切线m 和n ，作PQ ⊥m 于点Q ，PR ⊥n 于点R.（如图2） (1)若AC 恰经过圆心O ,请你在图3中画出符合题意的图形，并计算：PRPQ 11+的值；(2)若OP ⊥AC, 请你在图4中画出符合题意的图形，并计算：PRPQ 11+的值； (3)若AC 是过点P 的任一弦（图2）, 请你结合(1)(2)的结论, 猜想：PR PQ 11+的值，并给出证明．（图3）（图4）m。