第八章 第二节 平面图形上各点的速度

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小结速度分析的瞬心法解题步骤 总结平面运动速度分析三种方法(P182): (1)基点法: 基本方法。 可以求解图形上一点的速度或图形的角速度 (2)速度投影定理: 比较简单， 但只能求速度，不能求平面运动刚体的角速度 (3)瞬心法: 既简单直观(比基点法)， 又全面(比速度投影定理)
二、速度瞬心法(取速度瞬心为基点的速度分析方法) ［速度］瞬心(瞬时速度中心): 某一瞬时，刚体上速度等于零的一点vI =0 1．定理:一般情况下，在每一瞬时，平面图形上都唯一地存在 一个速度瞬心。 ［证明］ 见P177 2．平面图形内各点的速度及其分布
基点:速度瞬心 I vM = vI + vMI = vMI 任一瞬时，平面图形上任一点的速度 等于该点随图形绕瞬心转动的速度。 vM =MIw 方向垂直于MI
vA R r w wO r r v B BIw 2rw 2 ( R r )wO
vC CIw 2rw 2( R r )wO
v D DIw 2rw 2 ( R r )wO
wO
O I
I
A
w
B
例(P180例8-6) 曲柄滑块机构，曲柄OA的w=常量，杆长OA=r， AB=l，试求j=0、j=90°以及任一瞬时t时，连杆AB的角速度 和滑块B的速度。 wAB I j wt v A rw IA l cosy / cos j IB l cosy r cos j tanj vA A
速度合成定理:平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点 随图形绕基点转动速度的矢量和。
2. 速度投影定理(速度合成定理的推论) 定理:同一瞬时，平面图形上任意两点的速度在这两点连线上 的投影相等。 vB [证明] vB = vA + vBA vBA vA 投影到AB连线上 (vB )AB = (vA )AB + (vBA)AB (vB )AB = (vA )AB
例(P175例8-2) 曲柄滑块机构，OA=r，AB= 试求j=60o时vB、wAB 。 vA
3 r， w=常量。
A
w
O
j
wAB
vB
vA
30o
vB
vA 2 3rw cos 30 3 3 rw 3
解 (1)运动分析 (2)速度分析 (机构连接点A、B) vA = rw (3)平面运动刚体(杆AB)， 基点法 B (以A为基点分析B点)， vB = vA + vBA vBA 作速度平行四边形
(3)平面运动刚体(杆AB)， 基点法(以A为基点分析B点)， vB = vA + vBA 作速度平行四边形 vBA = vA tan 30º
3 rw 3
O
30° O1
w1
w AB
v BA v BA 3rw AB b 3b
vA 2 3rw vB cos 30 3
vB 2 3rw w1 O1 B 3d
3．确定速度瞬心位置的方法 (l)平面图形沿固定表面作纯滚动，图形与固定面的接触点I (2) 垂线法(已知图形内任意两点的速度方向，但不平行 ——速度瞬心I 的位置在两点速度的垂线上。)
w
I w
vB
B
I A
vA
(3)比例法(已知两点的速度相互平行，且速度的方向垂直于 两点的连线AB——速度瞬心I 必定在连线AB与速度矢vA和vB 端点连线的交点上。)
例(P180例8-6) 曲柄滑块机构，曲柄OA的w=常量，杆长OA=r， AB=l，试求j=0、j=90°以及任一瞬时t时，连杆AB的角速度 和滑块B的速度。 vA wAB j=0时
wAB
I
w
O
vA A
vB 0
r
A
w AB
l vB
v A rw B IA l
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(I)
j=90°时
l
w r
O
j
vA vB
A B
vA
A I B vB
w
w
I
(4)瞬时平动 某一瞬时，图形上A，B两点的速度 vA=vB vA vB
A B
vA vB
A B
瞬时平动(图形的速度瞬心在无限远处) 注意: (1)w=0，图形上各点的速度大小相等，方向相同， vA=vB 速度分布与平动时相似。 (2)瞬时平动与平动区别 平 动: 任一瞬时w=0，a=0， aA=aB 瞬时平动: 某一瞬时w=0 ，但a ≠ 0， aA ≠ aB
r sinj l siny
2 2 2 cosy 1 sin2 y l r sin j / l
w r
O
j
l
y
vB B
w AB
解 (1)运动分析 (2)速度分析(机构连接点) (3)作速度瞬心
rw cos j vA l cosy IA rw sinj ( l cosy r cos j ) v B IBw AB l cosy
一、速度基点法和速度投影定理 1．速度基点法
vB vBA ve = vA
第二节 平面图形上各点的速度
(牵连运动为平动)
大小: vBA =ABw
vr = vBA
w
A
B
vA
vA
va = ve + vr vB = vA + vBA ——基点法(速度合成法) 注意: ①A、B两点在同一刚体上。 ②如取点B为基点，则vA = vB + vAB
解 (1)运动分析 (2)速度分析 (机构连接点A、B、C) v B lw 2 v A 3 lw 1
(3)杆AC
vCx v A 3lw1
B 30° A vA C
O2 vB w2 vCx
q
w1
O1
vCy
vC
杆BC vCy cos 30 vCx sin30 v B cos 30
vBA = vA tan 30º
w AB
v BA w AB 3
例 (P175例8-3) 火车以速度vO沿水平直线轨道行驶，设车轮的 半径为r，在轨道上滚动而无滑动。试求轮缘上A、B两点的速 度。 vA 解 先求车轮的角速度 vO A vBO vC=0 车轮纯滚 vAO vB 基点:轮心O，分析C点 vC = vO+ vCO B vO vO vC= vO - vCO = vO - rw =0 w O q w = vO / r vCO
w
A
B vA
注意: 1. 物理意义:反映了刚体上任意两点间的距离保持不变的特性。 因此:定理适用于刚体作任何运动(具有普遍性)。 2. 不能求平面运动的w 3. 投影轴必须是两点连线。
例(P174例8-1)四连杆机构，OA=r，AB=b，O1B=d，w=常量。 vB 试求图示位置wAB、w1。 vBA 解 (1)运动分析 vA A B (2)速度分析 vA wAB (机构连接点A、B) vA = r w w
M
v
M
I
w
图形上各点的速度分布如图所示 强调指出: ① 某一瞬时，刚体有且仅有一个速度瞬心 (唯一性和存在性) ② 瞬心可在刚体内，也可在刚体外 (刚体的延伸部分) ③ 不同的瞬时有不同的速度瞬心 (瞬心的位置随时间而改变) aI ≠ 0
M vM
I
w
平面图形的运动可看成为绕速度瞬心的瞬时转动。 (速度在某瞬时的分布情况，与定轴转动时相类似)
例(P179例8-5) 行星轮系，大齿轮Ⅰ固定不动，半径为R；行星 齿轮Ⅱ在轮I上作无滑动的滚动，半径为r；系杆OA的角速度为 wO 。试求轮Ⅱ的角速度以及其上B、C、D三点的速度。 vC 解 (1)运动分析 vD D (2)速度分析(机构连接点) vA II C vB v A OAwO ( R r )wO (3)行星轮Ⅱ纯滚， 速度瞬心为I。 v A AIw rw
y
vB B
vA
A r l vB
v B v A rw
O 解 (1)运动分析 (2)速度分析(机构连接点) (3)作速度瞬心
w
w AB 0
B
例8-7 平面连杆滑块机构中，O2C=100mm；图示瞬时，A、B、 O2和O1、C分别在两水平线上，此时，vA=80mm/s。试求该瞬 时杆O1B及杆O2C的角速度。 vC (4)确定杆BC速度瞬心 C 160 vB O1 w BC BI 115.5 wO1B wO2C 1.39rad/s A vA 45° 30° O2 vC CIw BC 157.7 1.39 B 219mm/s vB vC 解 (1)运动分析 wBC I 2.19rad/s w O2 C (2)速度分析(机构连接点) O2 C (3)确定杆AB速度瞬心 v 80 vA w O1 B B w AB 0.8rad/s 0.8rad/s w AB O1 B O1 A 100 100 v B O1 Bw AB 0.8 160mm/s sin 30
vCy v B vCx tan 30 l (w1 w 2 )
2 2 2 vC vCx vCy l 4w12 2w1w 2 w 2
w1 w 2 q arctan 3w1
小结速度分析的基点法解题步骤: (l)分析各物体的运动； (2)速度分析(机构连接点)； (3)对平面运动刚体，选定基点A，分析另一点B， 应用基点法vB = vA + vBA ，作速度平行四边形； (4)利用几何关系，求解未知量。 (5)如果需要再研究另一个作平面运动的物体， 可按上述步骤继续进行。
C
vO
基点:轮心O，分析A点 vA = vO + vAO vA= vO+ vAO = 2vO
基点:轮心O，分析B点 vB = vO + vBO
vB＝ 2vOsin(q/2)
例(P176例8-4) 双摇杆机构，O1A= 3l， O2B=l，图示瞬时 杆O1A铅直，杆AC、O2B水平。已知w1、 w2，试求vC。