必修二空间几何体的三视图(附规范标准答案)
人教版必修2《空间几何体的三视图及直观图》知识点 练习 答案
空间几何体的三视图及直观图一、知识点：1．几何体的三视图是指正视图、俯视图、侧视图。
①三视图重点抓俯视图；②画三视图的基本要求：正视图与俯视图长度一样，正视图与侧视图高度一样，俯视图与侧视图宽度一样。
简称为“长对正，高平齐，宽相等”。
2．平面图形的直观图画法：斜二测画法 画图步骤为：①在已知图形中取互相垂直的x 轴和y 轴，交于点O ，画直观图时，把它们画成对应的x '轴和y '轴，交于点O '，且使45='''∠y O x ；②已知图形中平行于x 轴和y 轴的线段，在直观图中画成平行于x '轴或y '轴的线段； ③已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y 轴的线段，在直观图中长度变为原来的一半。
二、范例精讲 ㈠三视图例1．有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位cm ），则该几何体的表面积及体积为（ ）A.24πcm 2，12πcm 3B.15πcm 2，12πcm 3C.24πcm 2，36πcm 3D.以上都不正确 例2.下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是( )①正方体 ②圆锥 ③三棱台 ④正四棱锥 A ．①② B ．①③ C ．①③ D ．②④例3．如右图为一个几何体的三视图，其中俯视图为正三角形，A 1B 1=2， AA 1=4，则该几何体的表面积为（ ）A ．6+3 B.24+3 C.24+23 D.32例4.如图是一个几何体的三视图,该几何体是（ ） A.三棱锥 B.四棱锥 C.四棱台 D.三棱台正视图 侧视图俯视图例5.已知某几何体的三视图及各线段长度如下,则这个几何体的体积是20 20102010A B 1正视图侧视图俯视图三视图练习:1. 如图所示茶杯，其正视图、侧视图及俯视图依次为（ ）2.图（1）为长方体积木块堆成的几何体的三视图，此几何体共由________块木块堆成;图（2）中的三视图表示的实物为_____________。
高中数学立体几何之空间几何体的三视图,含答案
空间几何体的三视图（讲义）知识点睛一、三视图主要类型分为：棱锥类、残缺类、组合类．1.棱锥类特征：俯视图多边形内部或边上有一点呈发散状，并与其他顶点相连，正、侧视图有尖顶．处理步骤：①观察俯视图，结合正、侧视图，判断顶点的位置；②确定线、面位置关系；③根据结构，找数据的对应关系；④计算．2.残缺类特征：有斜线、缺口等．处理步骤：①观察俯视图，结合正、侧视图，判断几何体的类型；②根据图形尝试切割；③根据结构，找数据的对应关系；④计算．3.组合类特征：中间有横线，曲线与直线结合等．处理步骤：①观察特征，从有曲面的图形入手，分离出几何体类型；若没有，根据分割线判断每部分几何体的类型；②确定几何体的位置关系；③根据结构，找数据的对应关系；④计算．二、球经过球面上两点和球心作截面，得到球的一个大圆，大圆上两点之间劣弧的长叫做这两点的球面距离．2．球与多面体的位置关系（1）外接球：多面体的各个顶点都在球面上；（2）内切球：多面体的各个面都与球相切．精讲精练1．某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）2222俯视图正视图 侧视图A．4 B．203C．263D．82．某几何体的三视图如图（单位为m），则该几何体的体积为_____________．俯视图正视图 侧视图1332223．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）4俯视图正视图 侧视图A．28+65B．30+65C．56+ 125D．60+1254．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）A．B．6 C．D．45．一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的表面积为（）俯视图正视图 侧视图A．B．C．D．6．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积是（）33俯视图正视图 侧视图A．26 B．27 C．572D．287．若某多面体的三视图如图所示，则此多面体的体积是（）俯视图正视图 侧视图12--211112-2112--21A ．12B ．23C ．56D ．788．某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）俯视图正视图 侧视图A ．4B ．C ．D ．89．若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）正视图 侧视图俯视图2422A ．8π3B ．3πC ．10π3D ．6π10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）俯视图正视图 侧视图4442222A ．16+8πB ．8+8πC ．16+16πD ．8+16π11．已知某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（ ）俯视图正视图 侧视图211222322A ．5π42+B ．3π42+C ．π42+ D ．4π+12．如图是某简单组合体的三视图，则该组合体的体积为（ ）正视图 侧视图俯视图1212121212 A．π+ B．π2)+C．D．2)+13．若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积等于___________cm 3．俯视图正视图 侧视图335414．如图，O 是半径为1的球心，点A ，B ，C 在球面上，OA ，OB ，OC 两两垂直，E ，F 分别是大圆弧AB ，AC 的中点，则点E ，F 的球面距离是（ ）432415．如图，在半径为3的球面上有A ，B ，C 三点，∠ABC =90°，BA =BC ，球心O 到平面ABC 的距离是2，则B ，C 两点的球面距离是（ ）A ．π3B ．πC ．4π3D ．2π16．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）A ．πa 2B ．73πa 2C ．113πa 2D ．5πa 2回顾与思考________________________________________________________ ________________________________________________________ ________________________________________________________ 【参考答案】1．A2．4 m33．B4．B5．A 6．C7．D8．D9．B10．A 11．A12．B13．5014．B15．B 16．B空间几何体的三视图（随堂测试）1.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）2221 11正视图 侧视图俯视图A．233B．223C．203D．1432.已知底面边长为1的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（）A．2π3B．4πC．2πD．4π3【参考答案】1．A 2．D空间几何体的三视图（作业）例1：已知几何体的三视图如图所示，可得这个几何体的体积为______________．123某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的表面积是（ ）A ．90 cm 2B ．129 cm 2C ．132 cm 2D ．138 cm 2正视图 侧视图俯视图443333364343⑤ 计算1433335243482S =⨯+⨯+⨯+⨯⨯⨯=左，2(464363)108S =⨯⨯+⨯+⨯=右，2248108233138 (cm )S S S S =+-=+-⨯⨯=左右重表． 故选D ．例2： 如图，正四棱锥P -ABCD 的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高PO 为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ）A ．81πB ．16πC1122俯视图正视图 侧视图17．如图是一个空间几何体的三视图，如果直角三角形的直角边长均为1，那么这个几何体的表面积为（ ）A ．13 B．2 C ．16D．2+正视图 侧视图俯视图第1题图 第2题图18．某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）A ．3B ．2CD ．119．已知四棱锥P -ABCD 的三视图如图所示，则四棱锥P -ABCD的四个侧面中的最大面积是_________________．2222433俯视图正视图 侧视图第3题图 第4题图20．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为___________．11112222侧视图俯视图21．一几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为_________．第5题图 第6题图22．一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（ ） AB．(4π+ CD23．一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．200+9πB ．200+18πC ．196+15πD ．140+18π俯视图正视图 侧视图21152632第7题图 第8题图24．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）ABCD122俯视图正视图 侧视图5566俯视图正视图 侧视图6俯视图正视图 侧视图3111125．如图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm ，高为6 cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ）A ．1727B ．59C ．1027D ．13第9题图 第10题图26．某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．82π-B ．8π-C ．π82-D ．π84-27．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是__________．俯视图正视图 侧视图第11题图 第12题图28．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_________．12211俯视图正视图 侧视图俯视图正视图 侧视图111121129．已知三棱柱ABC-A1B1C1的六个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，则球O的半径为（）A．2B．C．132D．30．已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（）A．6B．6C．3D．1231．如图，已知三点A，B，C在球心为O，半径为3的球面上，且几何体OABC 为正四面体，那么A，B两点的球面距离为_________，点O到平面ABC的距离为____________．【参考答案】1．B2．D3．64．5．2454π6．D7．A8．A9．C10．B11．8π12．22 313．C14．A15．π。
高中数学人教A版必修2《空间几何体及三视图》课后练习二(含解析)
（同步复习精讲辅导）北京市-高中数学空间几何体及三视图课后练习二（含解析）新人教A版必修2题1有一个三棱锥和一个四棱锥，棱长都相等，问它们的一个侧面重叠后，还有几个暴露面？题2A．①②③ B．②③ C．②③⑤ D．①⑤题3说出下列图中两个三视图分别表示的几何体．(1) (2)题4已知正三棱锥V－ABC的正视图和俯视图如图所示．求出侧视图的面积．题5已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是（ ）．A ．4cm 3B ．5cm 3C ．6cm 3D ．7cm 3题6 如图是由大小相同的长方体木块堆成的几何体的三视图，则此几何体共由几块木块堆成．题7一个长方体的主视图和左视图如图所示（单位：cm ），则俯视图的面积是_______．题8如图，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为3和4，过直角顶点的侧棱长为22 主视图 2 左视图 44，且垂直于底面，该三棱锥的主视图是（）题9某几何体的三视图如图所示，则它的体积是________．题10某几何体的一条棱长为根号7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为根号6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a+b 的最大值为_______．题11某几何体的正视图和侧视图均为如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是：（）A．（1），（3） B．（2），（4）C．（1），（2），（3）D．（1），（2），（3），（4）题12若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是（）．A．3523cm3 B．3203cm3 C．2243cm3 D．1603cm3课后练习详解题1答案：5个．详解：如图①，三棱锥S—A′B′C′有四个暴露面；如图②，四棱锥V—ABCD有五个暴露面，且它们的侧面都是完全相同的正三角形；如图③，当三棱锥S—A′B′C′的侧面A′B′C′与四棱锥V—ABCD的侧面AVD完全重合后，四点S、A、B、V共面. 同样四点S、D、C、V也共面（证明如下），此时，新几何体共有5个面．证明：如图所示，过V作VS′∥AB，则四边形S′ABV为平行四边形，有∠S′VA=∠VAB=60°，从而ΔS′VA为等边三角形，同理ΔS′VD也是等边三角形，从而ΔS′AD也是等边三角形，得到以ΔVAD为底，以S′与S重合．这表明ΔVAB与ΔVSA共面，ΔVCD与ΔVSD共面，故共有5个暴露面．题2答案：D详解: ①正确，正四面体是每个面都是等边三角形的四面体，如正方体ABCDA1B1C1D1中的四面体ACB1D1；②错误，如图所示，底面△ABC为等边三角形，可令AB＝VB＝VC＝BC＝AC，则△VBC为等边三角形，△VAB和△VCA均为等腰三角形，但不能判定其为正三棱锥；③错误，必须是相邻的两个侧面；④错误，如果有两条侧棱和底面垂直，则它们平行，不可能；⑤正确，当两个侧面的公共边垂直于底面时成立；⑥错误，当底面是菱形时，此说法不成立．题3答案：图（1）是正六棱锥；图（2）是两个相同的圆台组成的组合体．题4答案：6．详解：如图．根据三视图间的关系可得BC ＝23， 侧视图中VA ＝42－(23×32×23)2＝12＝23，∴S △VBC ＝12×23×23＝6． 题5答案：选A ．详解:由三视图可知，几何体如图所示，底面为直角梯形ABCD ，且 ,,2cm,4cm,2cm,2cm ADBC AD AB AD BC PA AB ⊥====()2241124332ABCD V S PA ⨯+∴=⋅=⨯⨯=cm 3题6答案：5．详解：由三视图可知：此几何体最少由5块木块堆成，如图所示：故答案为5．题7答案：6cm 2．详解：根据给出的长方体的主视图和左视图可得，俯视图的长方形的长与主视图的长方形的宽相等为3，俯视图的长方形的宽与左视图的长方形的宽相等为2．俯视图是边长分别为3和2的长方形，因而其面积为6cm 2．题8答案：B ．详解：通过观察图形，三棱锥的正（主）视图应为高是4，底面边长为3的直角三角形． 故应选B ．题9答案：8－23π． 详解：分析图中所给的三视图可知，对应空间几何图形，应该是一个棱长为2的正方体中间挖去一个半径为1，高为2的圆锥，则对应体积为：V ＝2×2×2－13π×12×2＝8－23π． 题10 答案：4．详解：根据三视图的平行投影的法则，由题意，、a 、b分别作为三个面的对角线．可得2222222,8a b a b ++=⨯+= ∴4a b +===．题11 答案：B ． 详解：由该几何体的正视图和侧视图均为已知图所示，所以该几何体是由上下两部分组成的，其上面是一个球，而下面可能是①直四棱柱，②直三棱柱，③圆柱．根据长对正，宽相等的原则，底面图形的长和宽应该相等，据此可得出答案． 由该几何体的正视图和侧视图均为已知图所示，所以该几何体是由上下两部分组成的，其上面是一个球，根据长对正，宽相等的原则，底面图形的长和宽应该相等故该几何体的俯视图（1）、（3）皆有可能．（2）中的正视图和侧视图不是轴对称图形，（4）中正三角形的底边和高不相等，不满足要求．题12答案：B详解：该空间几何体为一四棱柱和一四棱台组成的,四棱柱的长宽都为4，高为2, 体积为4×4×2=32四棱台的上下底面分别为边长为4和8的正方形，高为2，所以体积为所以该几何体的体积为32+3224=．3224)8844(2312222=+⨯+⨯⨯3320。
高中数学1.2.1空间几何体的三视图练习新人教版A版必修2【含答案】
空间几何体的三视图1．直线的平行投影可能是（ ）A ．点B ．线段C ．射线D ．曲线2．如图所示，空心圆柱体的正视图是（ ）3．如图，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ）A ．①②B ．①③C ．①④D ．②④4．三棱柱111C B A ABC ，如图所示，以11B BCC 的前面为正前方画出的三视图正确的是（）5．如图所示是一个几何体，则其几何体俯视图是（ ）6．下列物体的正视图和俯视图中有错误的一项是（ ）7．下列各图，是正六棱柱的三视图，其中画法正确的是（ ）8．根据图中的三视图想象物体原形，并分别画出物体的实物图。
10．如图，E 、F 分别是正方体1AC 的面11A ADD 和面11B BCC 的中心，则四边形E BFD 1在该正方体的面上的正投影（投射线垂直于投影面的投影）可能是图中 （把所有可能图形的序号都填上）。
空间几何体的直观图1．利用斜二测画法叙述正确的是（ ）A ．正三角形的直观图是正三角形B ．平行四边形的直观图是平行四边形C ．矩形的直观图是矩形D ．圆的直观图一定是圆2．下列结论正确的是（ ）A ．相等的线段在直观图中仍然相等B ．若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行C ．两个全等三角形的直观图一定也全等D ．两个图形的直观图是全等的三角形，则这两个图形是全等三角形3．直角坐标系中一个平面图形上的一条线段AB 的实际长度为4cm ，若AB//x 轴，则画出直观图后对应的线段=''B A ，若y AB //轴，则画出直观图后对应的线段B A ''= 。
4．水平放置的ABC ∆的斜二测直观图如图所示，已知2,3=''=''C B C A ，则AB 边上的中线的实际长度为 。
四、典例剖析1．已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积是（ ）A ．16B ．64C ．16或64D ．都不对分析：根据直观图的画法，平行于x 轴的线段长度不变，平行于y 轴的线段变为原来的一半，于是长为4的边如果平行于x 轴，则正方形边长为4，面积为16，边长为4的边如果平行于y 轴，则正方形边长为8，面积是64。
2019数学(理)二轮精选讲义专题五 立体几何 第一讲空间几何体的三视图、表面积与体积 含答案
专题五立体几何第一讲空间几何体的三视图、表面积与体积考点一空间几何体的三视图与直观图1．三视图的排列规则俯视图放在正（主)视图的下面,长度与正（主）视图的长度一样，侧（左）视图放在正(主）视图的右面，高度与正（主）视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样．即“长对正、高平齐、宽相等”．2．原图形面积S与其直观图面积S′之间的关系S′＝错误!S。
[对点训练]1．(2018·全国卷Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是(）［解析］两个木构件咬合成长方体时，小长方体（榫头)完全嵌入带卯眼的木构件，易知俯视图可以为A.故选A。
[答案］A2．（2018·河北衡水中学调研）正方体ABCD－A1B1C1D1中,E 为棱BB1的中点(如图),用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为（）[解析］过点A，E，C1的截面为AEC1F，如图，则剩余几何体的左视图为选项C中的图形．故选C。
［答案］C3．（2018·江西南昌二中模拟）一个几何体的三视图如图所示，在该几何体的各个面中,面积最小的面的面积为()A．8 B．4 C．4错误!D．4错误![解析］由三视图可知该几何体的直观图如图所示，由三视图特征可知，P A⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AB⊥AC，P A＝AB ＝AC＝4，DB＝2，则易得S△P AC＝S△ABC＝8，S△CPD＝12，S梯形ABDP ＝12，S△BCD＝错误!×4错误!×2＝4错误!，故选D。
［答案]D4．如图所示，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积为________．[解析]直观图的面积S′＝错误!×（1＋1＋错误!)×错误!＝错误!.故原平面图形的面积S＝错误!＝2＋错误!.[答案]2＋错误![快速审题］（1)看到三视图，想到常见几何体的三视图，进而还原空间几何体．(2）看到平面图形直观图的面积计算，想到斜二侧画法,想到原图形与直观图的面积比为错误!.由三视图还原到直观图的3步骤(1）根据俯视图确定几何体的底面．(2）根据正(主)视图或侧(左)视图确定几何体的侧棱与侧面的特征,调整实线和虚线所对应的棱、面的位置．（3）确定几何体的直观图形状．考点二空间几何体的表面积与体积1．柱体、锥体、台体的侧面积公式（1)S柱侧＝ch(c为底面周长，h为高）；(2)S锥侧＝错误!ch′(c为底面周长,h′为斜高)；(3）S台侧＝错误!（c＋c′）h′（c′,c分别为上下底面的周长，h′为斜高)．2．柱体、锥体、台体的体积公式(1)V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高）；(2)V锥体＝错误!Sh（S为底面面积，h为高）；(3)V台＝错误!(S＋错误!＋S′）h(不要求记忆）．3．球的表面积和体积公式S表＝4πR2(R为球的半径）,V球＝43πR3(R为球的半径）．[对点训练]1．(2018·浙江卷）某几何体的三视图如图所示(单位:cm）,则该几何体的体积(单位:cm3）是（）A．2 B．4 C．6 D．8［解析]由三视图可知该几何体是直四棱柱，其中底面是直角梯形，直角梯形上，下底边的长分别为1 cm，2 cm，高为2 cm,直四棱柱的高为2 cm.故直四棱柱的体积V＝1＋22×2×2＝6 cm3.[答案]C2．（2018·哈尔滨师范大学附中、东北师范大学附中联考）某几何体的三视图如图所示，其中正视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是（)A.错误!＋2B.错误!＋2C.错误!＋3 D。
人教A版2019高中数学必修二学案12空间几何体的三视图和直观图 含答案
空间几何体的三视图和直观图 1.2空间几何体的三视图2.1&12.2 中心投影与平行投影1．，思考并完成以下问题～14预习课本P11[新知初探]1．投影的定义由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影．其中，把光线叫做投影线，把留下物体影子的屏幕叫做投影面．2．中心投影与平行投影平行投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与这个平面图形的形状和] [点睛大小完全相同；而中心投影则不同． 3．三视图[点睛] 三视图中的每种视图都是正投影．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线的平行投影是直线( )(2)圆柱的正视图与侧视图一定相同( )(3)球的正视图、侧视图、俯视图都相同( )答案：(1)× (2)× (3)√2.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是( )A．棱柱 B．棱台D．圆台 C．圆柱解析：选D 先观察俯视图，再结合正视图和侧视图还原空间几何体．由俯视图是圆环可排除A、B，由正视图和侧视图都是等腰梯形可排除C，故选D.3．沿圆柱体上底面直径截去一部分后的物体如图所示，它的俯视图是( )解析：选D 从上面看依然可得到两个半圆的组合图形，注意看得到的棱画实线．中心投影与平行投影[典例] 下列命题中正确的是( )．矩形的平行投影一定是矩形A．B．平行投影与中心投影的投影线均互相平行C．两条相交直线的投影可能平行D．如果一条线段的平行投影仍是一条线段，那么这条线段中点的投影必是这条线段投影的中点[解析] 平行投影因投影线的方向变化而不同，因而平行投影的形状不固定，故A不正确．平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点，故B不正确．无论是平行投影还是中心投影，两条直线的交点都在两条直线的投影上，因而两条相交直线的投影不可能平行，故C不正确．两条线段的平行投影长度的比等于这两条线段长度的比，故D正确．[答案] D[活学活用]OABCDABCDEBBCCF′的中心，点′为面′-′′如图所示，点′的中心，点为正方体BCDOEF在该正方体的面上的正投影可能是________(为′′填出所′的中点，则空间四边形有可能的序号)．ABCDBBCC′上的投影为②，在后侧面解析：在下底面′上的投影为③，在右侧面DDCC′上的投影为①.′答案：①②③由几何体画三视图[典例] 画出如图所示的正四棱锥的三视图．正四棱锥的三视图如图所示．] 解[[活学活用]ABCABC，如图所示，则其三视图为( ) 1．已知三棱柱-111CC可见，为实线，只有A其正视图为矩形，侧视图为三角形，俯视图中棱解析：选A 1符合．2．画出如图所示的物体的三视图．解：三视图如图所示．由三视图还原几何体[典例] 根据如图所示的三视图，画出几何体．[解]由正视图、侧视图可知，该几何体为简单几何体的组合体，结合俯视图为大正方形里有一个小正方形，可知该组合体上面为一个正方体，下面为一个下底面是正方形的倒置的四棱台．如图所示．[活学活用]若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )中所给几中所给几何体的正视图、俯视图不符合要求；D解析：选B 由题意知，A和CB. B.故选何体的侧视图不符合要求；由侧视图可判断该几何体的直观图是视图与计算BDABCD折起，形成三棱锥沿对角线所示，将一边长为1的正方形[典例] 如图1ABDC)，其正视图与俯视图如图2所示，则侧视图的面积为-(2211 C. A. B. D. 2424BDBCDA的中点，由俯] 由正视图可以看出，点在面上的投影为[解析BDCABD的中点，所以其侧视图为如图所示视图可以看出上的投影为点在面21221，于是侧视图的面积为××的等腰直角三角形，直角边为＝. 22224A答案[]]活学活用[的正方形，则该正方体的正视图的面的正方体的俯视图是一个面积为11 已知棱长为) ( 积不可能等于．．．2 B. A．1122－1＋ C.D. 22解析：选C 由正方体的俯视图是面积为1的正方形可知正方体的正视图的面积范围属于[1，2 ]，故选C.层级一学业水平达标ABCABC所在平面平行，则经过中心投影后所得的三角形，选定的投影面与△．已知△1．ABC( 与△)A．全等 B．相似D．以上都不正确C．不相似ABC相B 根据中心投影的概念和性质可知，经过中心投影后所得的三角形与△解析：选似．2．如图是一个物体的三视图，则此三视图所描述的物体的直观图是( )解析：选D 由三视图知D正确．3．一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是( )解析：选B 由直观图可知，该几何体由一个长方体和一个截角三棱柱组成．从上往下看，外层轮廓线是一个矩形，矩形内部有一条线段连接的两个三角形．4．若某几何体的正视图、侧视图、俯视图完全相同，则该几何体的正视图不可能是( )解析：选D 满足选项A的有三棱锥，满足选项B的有球，满足选项C的有正方体，故选D. 5．一个长方体去掉一角，如图所示，关于它的三视图，下列画法正确的是( )由于去掉一角后，出现了一个小三角形的面．正视图中，长方体上底面和解析：选A错；侧视图中的线应是虚右边侧面上的三角形的两边的正投影分别和矩形的两边重合，故B D 错．线，故C错；俯视图中的线应是实线，故的中几何体体何可能是下列视图为一个三角形，则这个几的6．一个几何体正．________(填入所有可能的几何体前的编号) ①三棱锥；②四棱锥；③三棱柱；④四棱柱；⑤圆锥；⑥圆柱．解析：三棱锥、四棱锥和圆锥的正视图都是三角形，当三棱柱的一个侧面平行于水平面，底面对着观测者时其正视图是三角形，四棱柱、圆柱无论怎样放置，其正视图都不可能是三角形．答案：①②③⑤两底面之间(7.若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的高．________和________的距离)和底面边长分别是解析：正三棱柱的高同侧视图的高，侧视图的宽度恰为底面正三角形的4.高，故底面边长为42 答案：CCAACDEFBABCDA的′′′中，′′，8.如图所示，在正方体，-分别是′)(填序号中点，则下列判断正确的是________．ABCDBFDE′内的正投影是正方形；在面①四边形DAADBFDE②四边形′′内的正投影是菱形；在面′AABBAEDDABFD′内的投影是全等的平行四边′内的正投影与在面在面′③四边形′′形．ADBCEBFDABCD，所以正投，内的投影分别是点解析：①四边形，′的四个顶点在面，AGDGDAE，则的中点′影是正方形，即①正确；②设正方体的棱长为2，则＝1，取，连接GAEGDEAEDDAAGDAEDBFD，知四在面′，且′内的正投影是四边形′＝′，由′∥′四边形AGDEAEDEEAGD不是菱形，即②不正5＝，所以四边形，边形′是平行四边形，但＝1′′确．对于③，由②可知两个正投影所得四边形是全等的平行四边形，从而③正确．答案：①③．画出如图所示的三棱柱的三视图．9．解：三棱柱的三视图如图所示：10．如图(1)所示是实物图，图(2)和图(3)是其正视图和俯视图，你认为正确吗？如不正确请改正．解：不正确，正确的正视图和俯视图如图所示：层级二应试能力达标1．以下关于几何体的三视图的论述中，正确的是( ) ．球的三视图总是三个全等的圆A．．正方体的三视图总是三个全等的正方形B ．正四面体的三视图都是正三角形C ．圆台的俯视图是一个圆DDA 正视方向不同，正方体的三视图不一定是三个全等的正方形，B错误；C，解析：选A.显然错误，故选．一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是2)(不可能是该锥体的俯视图，C解析：选C 由几何体的俯视图与侧视图的宽度一样，可知C.故选的等边三角形．若三棱柱3.已知三棱柱的侧棱与底面垂直，且底面是边长为2)( 的正视图(如图所示)的面积为8，则侧视图的面积为4 A．8 B．334D．C．2aaa该三棱柱的侧视图是一个＝8，所以4.解析：选C 设该三棱柱的侧棱长为，则2＝，所以侧视图的面积为，另一边长等于三棱柱底面等边三角形的高，为4矩形，一边长为3C.43.故选一四面体的三视图如图所示，则该四面体四个面中最大的面积4.)是(2 ．BA．23 D．3 BCDA，由三-解析：选D 由四面体的三视图知其直观图为如图所示的正方体中的四面体2.视图知正方体的棱长为1S 22，×2×2所以＝2＝ABD△231S 2×22×3，＝2×2＝ADC△221S，22＝2×2×2＝ABC△2．1S2.×2×2＝＝BCD△2D.23.所以所求的最大面积为故选DBCBABCDACDPA内一-是上底面5.如图所示，在正方体中，点11111111ABCP-．的正视图与侧视图的面积的比值为动点，则三棱锥________ABCP的正视图与侧视图为等底等高的三角形，故它解析：三棱锥-1.们的面积相等，面积比值为1答案：的正方形，则这个正6.已知一正四面体的俯视图如图所示，它是边长为2 cm2.四面体的正视图的面积为______cm DCAABCDB，在此正方体中作出一个解析：构造一个棱长为2 cm 的正方体-1111CDAB2 cm符合题意的正四面体2-2 cm，易得该正四面体的正视图是一个底边长为，高为112.22 cm的等腰三角形，从而可得正视图的面积为2答案：2yx的7．如图，是一个棱柱的三视图，请根据三视图的作图原则列出方程组，求出，值．解：由题意，可知1032? {yxyyxyx，＋6410－4＝，－＝＋.，＝＝解得?33?8．图为长方体木块堆成的几何体的三视图，求组成此几何体的长方体木块共有多少块？解：由正视图可知有两列，由侧视图可知有两排，再结合俯视图可得，几．块．如图所示，其中小长方形中的数字表示13块，上面一层有何体共分两层，下面一层有 )．1＋＝4(块此位置木块的块数，所以长方体木块共有2＋1 1.2.3 空间几何体的直观图18，思考并完成以下问题预习课本P16～[新知初探]1．用斜二测画法画平面图形的直观图的步骤xyO，画直观图时，把它们画成轴和(1)在已知图形中取互相垂直的轴，两轴相交于点xyOxOy′＝45°(或′，且使∠′对应的′′轴和′轴，两轴相交于点135°)，它们确定的平面表示水平面．xyxy′轴的轴的线段，在直观图中分别画成平行于′轴或(2)已知图形中平行于轴或线段．xy轴的线段，长已知图形中平行于轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于(3)度变为原来的一半．2．用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤(1)画底面，这时使用平面图形的斜二测画法即可．zzOx′轴的夹角为90°，并画出高线画(′轴，′轴过点与原图高线相′，且与(2)等，画正棱柱时只需要画侧棱即可)，连线成图．(3)擦去辅助线，被遮线用虚线表示．画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定多边形顶点的位置，借助于(1)] 点睛[平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可． 135°)．(2)用斜二测画法画直观图要掌握水平长不变，垂线长减半，直角画45°(或[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)AAxyA＝用斜二测画法画水平放置的∠轴和时，若∠轴，且∠的两边分别平行于(1)A＝45°( 90°，则在直观图中，∠ )(2)用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中仍平行，且长度不变( )答案：(1)× (2)×2．如图所示为某一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的( )解析：选A 由直观图知，原四边形一组对边平行且不相等，为梯形，且梯形两腰不能与底垂直．ABCABC的面积为________．3.已知△的直观图如图所示，则原△ABCACABACAB＝，，且解析：由题意，易知在△3. 中，＝⊥61S＝×6×3＝9.∴ABC△2答案：9水平放置的平面图形的直观图[典例] 画水平放置的直角梯形的直观图，如图所示．OBCDOBx轴，垂直于中，以底边所在直线为[解] (1)在已知的直角梯形OBODyxyxOy′＝′轴和′的腰′轴，使∠所在直线为轴建立平面直角坐标系．画相应的′45°，如图①②所示．1xOBOByODODDx′轴的平行′轴上截取，过点′(2)在′作′轴上截取′′＝′＝，在2llxCDCDCBC′，如图②′′使得′.′＝.连接线，在上沿′轴正方向取点OBCDOBCD.的直观图．如图③′就是直角梯形′′′所得四边形(3)．][活学活用)．45°的平行四边形的直观图(尺寸自定画一个锐角为yxOxOy′，其中∠′解：(1)画轴．如图①，建立平面直角坐标系′，再建立坐标系yxO′′＝45°.′1DOBOByOxAOAO′＝′＝(2)描点．如图②，在轴上截取′轴上截取′′′＝，在，′2DCCCxDODDD.′∥′，过点′轴，且′作′＝′DABC′′′，′.(3)连线．连接ABCDDBCA的直观′′即为一个锐角为(4)成图．如图③，四边形′′45°的平行四边形图．空间几何体的直观图 2的正三棱台的直观图．] 画出一个上、下底面边长分别为1,2，高为[典例xOyzOxy，使∠(1)[解] 画轴．如图，画轴、轴、轴相交于点xOz＝90°.＝45°，∠ABABOx＝画下底面．以(2)2为线段中点，在，使，轴上取线段3BCCAOCOCABCy为正三棱台的＝.连接在，轴上取线段，使，则△2 下底面的直观图．OyOxOOOOxOyOOz，建′′∥′∥，过点′作，′(3)画上底面．在轴上取′，使′＝2yxOxyO的画′立坐标系′中，类似步骤′′′.在′(2)CAB′法得上底面的直观图△′′.CCAABB′，去掉辅助线，将被遮住的部分(4)′，′，连线成图．连接CBAABC′即为要求画的正三棱台的直观图．′′-画成虚线，则三棱台．[活学活用]如图是一个几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．xyzxOyxOz＝90°.＝45°，∠轴、轴，使∠解：(1)画轴．如图①，画轴、(2)画底面．由三视图知该几何体是一个简单组合体，它的下部是一个正四棱台，上部ABCDzOOOO′等于三视图中，在′，使轴上截取是一个正四棱锥，利用斜二测画法画出底面OOxOxOyOyOxOy′画出上的平行线′相应高度，过′与′作的平行线′，利用′′′，′ABCD′. 底面′′′OzPPO′等于三视图中相应的高度． (3)画正四棱锥顶点．在，使上截取点PAPBPCPDAABBCCDD，整理得到三视图，，′成图．连接(4)，′，′，′′，′，′′表示的几何体的直观图，如图②.直观图的还原与计算ABCD的水平放置边四形的直观图是如]典[例图ABCDABCD)( 的面积是′，则原四边形′′′．2 10 B．14 A．2．14C．28D DBCABCDAADy′′≠′∥′′，解析] ∵′，′′∥′′轴，′[∴原图形是一个直角梯形．DA′，′＝4又1S∴原直角梯形的上、下底及高分别是2,5,8，故其面积为＝228.5)×8＝C[答案]][活学活用CBAABCaABC′的面积′是正三角形，且它的边长为的平面直观图△，那么△′已知△)( 为3322aa B.A.846622aa C.D. 168S23CAB′′△′2aS，，且解析：选D 由于＝＝ABC△S44ABCaaSS. ＝×所以＝＝ABCBAC△′′△′44416△223622层级一学业水平达标OxOyOzOxOy′，，′，轴画成对应的′1．根据斜二测画法的规则画直观图时，把，′OzxOyxOz′的度数分别为( ′′′，则∠′′′)′与∠A．90°，90° B．45°，90°D．45°或135°，90°C．135°，90°xOy′的度数应为45°或根据斜二测画法的规则，∠′135°，∠′解析：选DxOz′指的是画立体图形时的横轴与纵轴的夹角，所以度数为90°.′′xOy′平面上，则圆柱的高应画成( ) 的圆柱的底面画在．若把一个高为210 cm′′z10 cm′轴且大小为．平行于A．z5 cm B．平行于′轴且大小为z10 cm C．与45°且大小为′轴成z5 cmD．与45°且大小为′轴成zz的线段，在直观图中的方向和长度都与原来保持一轴上或在解析：选A 平行于)轴( 致．)1 cm的正方形的直观图，可能是下面的( 3．利用斜二测画法画边长为C 正方形的直观图是平行四边形，且边长不相等，故选C项．解析：选CDAB′中4.如右图所示的水平放置的三角形的直观图，′是△′′CADABCADyAB′′′′边的中点，且′′′，′平行于′轴，那么′，′ACABAD)三条线段对应原图形中线段，( ，中ACAB A．最长的是，最短的是ABAC B．最长的是，最短的是ADAB C．最长的是，最短的是ACAD D．最长的是，最短的是CByABCADBCDAD′的中′轴，所以在△，又因为中，′′′∥⊥解析：选C 因为′是ADACDBCAB.点，所以>是＝中点，所以ABC，有一边在水平线上，用斜二测画法作出的直观图是正三角形．水平放置的△5ABCABC)是′( ′′，则△ B．直角三角形．锐角三角形A C．钝角三角形 D．任意三角形ABCABC′′将△为钝角三角形．′还原，由斜二测画法知，△解析：选CBABCOxOy中，点如图所示，在平面直角坐标系水平放置的正方形6.B′到，则由斜二测画法画出的该正方形的直观图中，顶点的坐标为(4,4)x．′轴的距离为________xEB′轴于点⊥′解析：由斜二测画法画出的直观图如图所示，作ECEBCBEECBB＝＝45°，所以′′，在Rt△′′′中，′，∠′＝22CB2. ＝′′sin 45°＝2×22答案：CBOA′是水平放置的一个平面图形的直观′′7.如图，矩形′xCCOBAO′轴，则原平面图形的面′∥′，3′＝′，6′＝′图，其中积为________．DBCyDO，所以原平面′＝解析：在直观图中，设2′′′与′轴的交点为3′，则易得2.＝26的平行四边形，所以其面积为366×62图形为一边长为6，高为2答案：36CBOA，则在在直观图中，四边形′′2 cm′′为菱形且边长为8.2OABCxOy.，面积为________cm中原四边形)为________(坐标系填形状OABC为矩形，其中解析：由题意，结合斜二测画法可知，四边形2SOCOABCOA．的面积)＝2×4＝＝2 cm，8(cm＝4 cm，所以四边形8答案：矩形．已知几何体的三视图如图所示，用斜二测画法画出它的直观图．9xOzzxOyxy轴，使∠解：(1)画轴．如图①，画＝90°.轴，＝45°，∠轴，OOzOOO′等于三轴上截取画圆台的两底面．利用椭圆模板，画出底面⊙(2)′，使，在OyxOOyOOOx的作′′，′视图中相应的长度，过点的平行线′作′，类似底面⊙的平行线O法作出上底面⊙′.POOPOzOP′(3)画圆锥的顶点．在′′上截取等于三视图中′的长度．，使BABPAPBA，整理得到三视图所表示的几何体的直观图，(4)成图．连接，′，′′，′.如图②CBOA，它是水平放置的一个cm′′′的边长为′如图，正方形10.1平面图形的直观图．请画出原来的平面图形的形状，并求原图形的周长与面积．AOOAxOyx；，在1 轴上取＝cm′′＝解：如图，建立直角坐标系BOOBy；2 cm2′＝′2＝轴上取在．xB的在过点轴的平行线上取CBCB1 cm.′＝′＝CABO，各点，即得到了原图形．连接，，OABC为平行四边形，由作法可知，22BCOBOC＋，＝3 cm＝8＝＋12SOABC.的周长为(3＋1)×2＝8 cm，面积为2 cm∴平行四边形2＝1×22＝应试能力达标层级二．已知一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面15001∶尺寸一样，长方体的长、宽、高分别为20 m,5 m,10 m，四棱锥的高为8 m．如果按)的比例画出它的直观图，那么在直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为(4 cm,1 cm,2 cm,1.6 cm ．A4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cm ．B4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm ．C4 cm,0.5 cm,1 cm,0.8 cm．D4 cm,1 cm,2 cm解析：选C 由比例尺可知，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm.和1.6 cm，再结合直观图，图形的尺寸应为yAB边平行于2.用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图所示，2ABCDADBCx，则原平面图的面积为，平行于2 cm轴．已知四边形2轴，DCAB)′的面积为′( ′′形．4 cmA．22 2 cm4B．C．DBADABC′为直角梯形，上、′′依题意，可知∠解析：选C ′＝45°，22 88 cm 2 cmD则原平面图形BADACADBCB′，且长度为梯形′，′相等，高为′，且长度分别与′下底边分别为′，2ABCD.22倍，所以原平面图形的面积为的高的8 cm的等腰梯13．一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为)形，则该平面图形的面积等于(212 1A.＋＋B．2222．2＋．C21＋D的直角梯形．计算得面积22，高为平面图形是上底长为1，下底长为1＋D 解析：选2＋为2.ABCBC′＝4的斜二测直观图如图所示，已知′4.水平放置的△，ACBCyABCAB)( 边上的中线的长度为中′轴，则△′∥′，3′＝′．7373 A.B. 255C．D. 2BCACACBCABC＝＝⊥3，即△，解析：选A 由斜二测画法规则知为直角三角形，其中73ABAB A. .边上的中线长度为故选＝73，8，所以22.________ cm5．有一个长为5 cm，宽为4 cm的矩形，则其直观图的面积为2S，由平面图形的面积与直观图的面积间的关＝5×4＝20(cm)解析：该矩形的面积为22SS)52(cm系，可得直观图的面积为．＝′＝42答案：5BAOBAOB′如图所示，△6.的直观图，点′′表示水平放置的△′OBAOBAOOxAx上的′2′轴垂直，且在′＝′轴上，，则△′′与的边 ________．高为OBOAOBOBhB的长度相等，，由直观图中边解析：设△′与原图形中边的边′上的高为11OBBhAOBOOBSShAO上的的边＝4＝22××2.′′×故△′及′，则＝22，得×直观图原图222.高为424答案：BDACACABC，求其水平放上的高cm＝7.如图所示，△12 中，12 ＝cm，边置的直观图的面积．yyOOxx′＝45°，作′，使∠′解：法一：画′′轴，′轴，两轴交于1BDACABCACBD′＝，△的直观图如图所示，则＝′′＝，＝12 cm6 cm′212SCABDB＝，所以′′的高为 cm′＝3故△′′2CAB′′△′2212×32＝)182(cm，2.2×即水平放置的直观图的面积为182 cm112BDABCAC，由平面图＝的面积为法二：△·)×12×12＝72(cm222ABC2形的面积与直观图的面积间的关系，可得△的水平放置的直观图的面积是×72＝1842 (cm．)8．已知某几何体的三视图如下，请画出它的直观图(单位：cm)．解：画法：xyzOxOyxOz＝建系：如图①，画轴，，使∠轴，＝45°，∠轴，三轴相交于点(1)90°. xOByOAOBOA′为邻边，以轴上取线段和′＝(2)画底：在轴上取线段2 ＝8 cm，在cm OBBA′.′作平行四边形zOCCxy轴的平行线，并在平行线上分，过定点：在(3)分别作轴上取线段轴，＝4cm CDCCCDCCCDDC′.′和′为邻边作平行四边形别截取4 cm＝，2 cm.′＝以ACBDBD′，并加以整理(′′，去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚，′成图：连接(4)线)，就得到该几何体的直观图(如图②)．。
高中数学 必修二 空间几何体及三视图课后练习一(含解析)新人教A版必修2
高中数学空间几何体及三视图课后练习一（含解析）题1如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是( )．A．该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体B．该几何体有12条棱、6个顶点C．该几何体有8个面，并且各面均为三角形D．该几何体有9个面，其中有1个为四边形，另外8个为三角形题2如下图所示，将装有水的长方体水槽固定底面一边后将水槽倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是( )．A．棱柱 B．棱台 C．棱柱与棱锥组合体D．不能确定题3已知四棱锥P－ABCD水平放置如图所示，且底面ABCD是正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，PA ＝AB．试画出该几何体的三视图．题4cm．若正三棱锥（底面是正三角形）的主视图与俯视图如下，则左视图的面积为2题5一个三棱柱的底面是正三角形，三视图如图所示，求这个三棱柱的表面积和体积．题6如图所示为长方体木块堆成的几何体的三视图，此几何体共由几块木块堆成．题7长方体的主视图、俯视图如图所示，则其左视图面积为（）A．3 B．4 C．12 D．16题8某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是（）．A．三棱锥B．四棱锥C．四棱台D．三棱台题9某个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图是完全相同的图形，则这个几何体的体积为多少？题10某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是（）(A) 8 (B) (C)10 (D)题11一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的_______(填入所有可能的几何体前的编号)①三棱锥②四棱锥③三棱柱④四棱柱⑤圆锥⑥圆柱题12如图是一个倒置的四棱柱的两种摆放，试分别画出其三视图，并比较它们的异同．课后练习详解题1答案：D ．详解：四个选项中C 、D 矛盾，所以答案从这两个里选一个，又根据图形几何体有8个面． 题2答案：A ．详解：当固定AB 或CD 中的一边时，可形成以左右侧面为底面的棱柱；当固定AD 或BC 中的一边时，可形成以前后侧面为底面的棱柱．题3答案：见详解．详解：该几何体的三视图如下：注意侧视图的直角顶点位置．题4 答案：342cm ． 详解:三棱锥的左视图肯定还是三角形，需求三角形的底边长和高．根据俯视图知左视图的是边长为的三角形，又由主视图知，，1324S ∴==2cm ． 题5答案：这个三棱柱的表面积为（48+83）cm 2,体积为163cm 3.详解：由三视图易知，该三棱柱的形状如图所示：由左视图可得三棱柱的高为4cm,正三角形ABC和正三角形A′B′C′的高为23cm.∴正三角形ABC的边长为|AB|=sin601×42sin60°2).∴该三棱柱的表面积为S=3×4×4+2×21×42sin60°×3).体积为V=S底·|AA′|=2故这个三棱柱的表面积为2,体积为cm3.题6答案：4．详解:画出三视图复原的几何体，即可判断长方体的木块个数．由直视图知，由4块木块组成．故答案为：4．题7答案：A．详解：根据物体的主视图与俯视图可以得出，物体的长与高以及长与宽，进而得出左视图面积=宽×高．由主视图易得高为1，由俯视图易得宽为3．则左视图面积=1×3=3．题8答案：B．详解：由所给三视图可以判定对应的几何体是四棱锥．题9cm3详解：几何体是正四棱锥，底面是对角线长为2cm，则112232V=⨯⨯⨯= 3题10答案：C．详解：由三视图还原几何体如下图，该四面体四个面的面积中最大的是∆PAC，面积为10，选C．题11答案：①②③⑤．题12详解：如图：。
三视图(含答案)
立体几何三视图1. 如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是()A. 17πB. 18πC. 20πD. 28π2. 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A. 20πB. 24πC. 28πD. 32π3. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为( )A. 90πB. 63πC. 42πD. 36π4. 一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. 13+23πB. 13+ 23π C. 13+ 26π D. 1+ 26π5.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（）A. 32B. 23C. 22D. 26.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A. πB. 2πC. 4πD. 8π7.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A.8 cm3B. 12 cm3C. 32cm33D. 40cm338.已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的体积为（）A. 13B. 16C. 83D. 439.如图为某几何体的三视图，根据三视图可以判断这个几何体为（）A. 圆锥B. 三棱锥C. 三棱柱D. 三棱台10.堑堵，我国古代数学名词，其三视图如图所示．《九章算术》中有如下问题：“今有堑堵，下广二丈，袤一十八丈六尺，高二丈五尺，问积几何？”意思是说：“今有堑堵，底面宽为2丈，长为18丈6尺，高为2丈5尺，问它的体积是多少？”（注：一丈=十尺）．答案是（）A. 25500立方尺B. 34300立方尺C. 46500立方尺D. 48100立方尺11.若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是（）cm3A. πB. 2πC. 3πD. 4π12.某棱柱的三视图如图示，则该棱柱的体积为（）A. 3B. 4C. 6D. 1213. 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ ）A. 8−2π3B. 64−16π3C. 8−π3D. 64−12π3答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题考查三视图求解几何体的体积与表面积，考查计算能力以及空间想象能力．判断三视图复原的几何体的形状，利用体积求出几何体的半径，然后求解几何体的表面积．【解答】解：由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉其中后的几何体，如图：可得：=，R=2．它的表面积是：×4π•22+=17π．故选A．2.【答案】C【解析】解：由三视图知，空间几何体是一个组合体，上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是2，∴在轴截面中圆锥的母线长是=4，∴圆锥的侧面积是π×2×4=8π，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是4，∴圆柱表现出来的表面积是π×22+2π×2×4=20π∴空间组合体的表面积是28π，故选：C．空间几何体是一个组合体，上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是2，在轴截面中圆锥的母线长使用勾股定理做出的，写出表面积，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是4，做出圆柱的表面积，注意不包括重合的平面．本题考查由三视图求表面积，本题的图形结构比较简单，易错点可能是两个几何体重叠的部分忘记去掉，求表面积就有这样的弊端．3.【答案】B【解析】【分析】由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半，即可求出几何体的体积．本题考查了体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【解答】由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半，V=π•32×10-•π•32×6=63π，故选：B．4.【答案】C【解析】【分析】本题考查的知识点是由三视图求体积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键.由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球，下部是一个四棱锥，进而可得答案.【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球，下部是一个四棱锥，半球的直径为棱锥的底面对角线，由棱锥的底底面棱长为1，可得.故，故半球的体积为：，棱锥的底面面积为：1，高为1，故棱锥的体积，故组合体的体积为：.故选C.5.【答案】B【解析】解：由三视图可得直观图，再四棱锥P-ABCD中，最长的棱为PA，即PA===2，故选：B．根据三视图可得物体的直观图，结合图形可得最长的棱为PA，根据勾股定理求出即可．本题考查了三视图的问题，关键画出物体的直观图，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：由三视图可知，该几何体为一圆柱通过轴截面的一半圆柱，底面半径直径为2，高为2．体积V==π．故选：A．由三视图可知，该几何体为底面半径直径为2，高为2的圆柱的一半，求出体积即可．本题的考点是由三视图求几何体的体积，需要由三视图判断空间几何体的结构特征，并根据三视图求出每个几何体中几何元素的长度，代入对应的体积公式分别求解，考查了空间想象能力．7.【答案】C【解析】解：由已知中的三视图可得，该几何体是一个正方体与一个正四棱锥的组合体，且正方体的棱长为2，正四棱锥的高为2；所以该组合体的体积为V=V 正方体+V 正四棱锥=23+×22×2=cm 3．故选：C ．根据已知中的三视图可分析出该几何体是一个正方体与一个正四棱锥的组合体，结合图中数据，即可求出体积．本题考查了由三视图求体积的应用问题，是基础题目．8.【答案】D【解析】 解：由三视图和题意知，三棱锥的底面是等腰直角三角形，底边和底边上的高分别为、，三棱锥的高是2，∴几何体的体积V==，故选：D ．由三视图和题意知，三棱锥的底面边长和三棱锥的高，由锥体的体积公式求出几何体的体积．本题考查由三视图求几何体的体积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．9.【答案】C【解析】解：该几何体的正视图为矩形，俯视图亦为矩形，侧视图是一个三角形，则可得出该几何体为三棱柱（横放着的）如图．故选C ．如图：该几何体的正视图与俯视图均为矩形，侧视图为三角形，易得出该几何体的形状．本题考查简单几何体的三视图，考查视图能力，是基础题．10.【答案】C【解析】解：由已知，堑堵形状为棱柱，底面是直角三角形，其体积为立方尺．故选C．由三视图得到几何体为横放的三棱柱，底面为直角三角形，利用棱柱的体积公式可求．本题主要考查空间几何体的体积．关键是正确还原几何体．11.【答案】B【解析】解：由三视图可知：此几何体为圆锥的一半，圆锥的底面半径为2，高为3，圆锥的体积为V圆锥=.此几何体的体积为.故选：B．由三视图可知：此几何体为圆锥的一半，即可得出．本题考查了由三视图恢复原几何体的体积计算，属于基础题．12.【答案】C【解析】解：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个以俯视图为底面四棱柱，棱柱的底面面积S=×（2+4）×2=6，棱柱的高为1，故棱柱的体积V=6．故选：C．由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个以俯视图为底面四棱柱，进而可得答案．本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．13.【答案】B【解析】解：由题意，几何体的直观图是正方体挖去一个圆锥，体积为=64-，故选B．由题意，几何体的直观图是正方体挖去一个圆锥，即可求出体积．本题考查的知识点是由三视图求体积，其中由已知中的三视图判断出几何体的形状，及棱长，高等几何量是解答的关键．。
人教新课标版数学高一A版必修2例题与探究 1.2空间几何体的三视图
典题精讲例1图1-2-5是一个零件的三视图,试画出这个零件的实物图.图1-2-5路解析:三视图所表示的几何体为:由长为34 mm、高和宽都为17 mm的长方体与直径为34 mm、宽度为17 mm的半圆柱组成几何体后,又从圆柱轴心切去半径为17 mm的圆柱,其实物直观图如图1-2-6所示.答案:所绘制图形如图所示:图1-2-6绿色通道:一是要看所给的三视图是由哪些简单几何体组成的,二是可以把绘制后的实物图的三视图与原图作比较,即可看出是不是画得正确.黑色陷阱:所画的实物图残缺,主要是缺乏空间想象力和对原来实物图画出三视图时的基本制图不熟悉. 变式训练1根据图1-2-7中物体的三视图,画出物体的形状.图1-2-7答案:如图1-2-8所示.图1-2-8例2画出图1-2-9几何体的三视图:(阴影面为视角正面)图1-2-9思路解析:仔细观察实物模型,想象从三个角度各看到了什么,进而准确地画出几何体的三视图.答案:如图1-2-10.图1-2-10绿色通道:画物体的三视图时可以想象自己就站在物体的正前方、正上方、正左方,观察它是由哪些基本几何体组合而成的,它的外轮廓线是什么,然后再去画图.有条件的还可以观察实物模型,也可以自己把模型做出来,这是一个从模型到图形的过程,从具体到抽象再到具体的过程,是提高空间想象能力的有效做法.变式训练2画出图1-2-11所示几何体的三视图.图1-2-11答案:如图1-2-12所示.图1-2-12例3如图1-2-13,直角梯形ABCD绕底边AD所在直线EF旋转,在旋转前,非直角的腰的端点A可以在DE上选定.当点A选在射线DE上的不同位置时,形成的几何体大小、形状不同,分别画出它的三视图并比较其异同点.图1-2-13思路解析:本题关键在于要对A选在射线DE上的不同位置分别讨论,看旋转后的几何体可由哪些简单几何体构成.答案:(1)当点A在图1-2-14射线DE的位置时,绕EF旋转一周所得几何体为底面半径为CD 的圆柱和圆锥拼成,其三视图如图1-2-15:图1-2-14图1-2-15(2)当点A在图1-2-16射线DE的位置,即B到EF所作垂线的垂足时,旋转后几何体为圆柱,其三视图如图1-2-17:图1-2-16图1-2-17(3)当点A位于如图1-2-18所示位置时,其旋转所得几何体为圆柱中挖去同底的圆锥,其三视图如图1-2-19.图1-2-18图1-2-19(4)当点A位于点D时,如图1-2-20,此时旋转体为圆柱中挖去一个同底等高的圆锥,其三视图如图1-2-21.图1-2-20图1-2-21绿色通道:本题充分考查了空间想象力.由轴截面想到旋转体,由旋转所得组合体画出三视图,综合性很强,同时也显示了旋转体的三视图特点,即正视图与侧视图完全相同,并且俯视图为圆.故旋转体的三视图可简化为“二视图”.变式训练3图1-2-22是从某一种型号的滚筒洗衣机抽象出来的几何体(单位:cm),试画出它的三视图.图1-2-22思路解析:这个几何体是由一个长方体和一个圆柱体构成的.答案:三视图如图1-2-23所示:图1-2-23例4如图1-2-24所示,梯形ABCD 中,AB ∥CD,AB=4 cm,CD=2 cm,∠DAB=30°,AD=3 cm,试画出它的直观图.思路解析:本题考查利用斜二测画法画空间图形的直观图.在画图时,要注意作法和直角坐标系中所作的不同.在斜二测画法中,要有一些平行于原坐标轴的线段才好按部就班地作图,所以先在原坐标系中过Ｄ作出该点在x 轴的垂足,则对应地可以作出线段ＤＥ的直观图,进而作出整个梯形的直观图.图1-2-24答案:第一步:在梯形ABCD 中,以边AB 所在的直线为x 轴,点A 为原点,建立平面直角坐标系xOy,画出对应的x′轴,y′轴,使∠x′A′y′=45°.第二步:过D 点作DE ⊥x 轴,垂足为E,在x′轴上取A′B′=AB=4 cm,A′E′=AE=323 cm≈2.598 cm;过E′作E′D′∥y′轴,使E′D′=21ED,再过点D′作D′C′∥x′轴,且使D′C′=CD=2 cm. 第三步:连结A′D′、B′C′、C′D′,并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线,则四边形A′B′C′D′就是所求作的直观图(如图1-2-25所示).图1-2-25绿色通道:1.在画水平放置的平面图形的直观图时,选取适当的直角坐标系是关键,一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上,便于画点.2.原图中的共线点,在直观图中仍是共线点;原图中的共点线,在直观图中仍是共点线;原图中的平行线,在直观图中仍是平行线.3.本题中,关键在于点D′位置的确定,这里我们采用作垂线的方法,先找到垂足E′,再去确定D′的位置.黑色陷阱:没有遵守斜二测画法作图的步骤进行作图,特别容易出现平行于y 轴的线段在直观图中长度没有变为原来的一半的错误.变式训练4画出长为3 cm,宽为2 cm,高为3 cm 的长方体的直观图.答案:如图1-2-26所示.图1-2-26问题探究问题旋转体的三视图有哪些特征？是否存在着正视图、俯视图、侧视图完全相同的几何体？导思:要画出旋转体的三视图,一要明确常见旋转体的定义,即分别以矩形的一边、直角三角形的一条直角边、直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体分别叫作圆柱、圆锥、圆台;二要明确三视图的规则要求.探究:旋转体是平面图形绕轴旋转而构成的几何体,这就决定了旋转体的三视图具有共同特征:当旋转轴为竖直方向时,旋转体的正视图与侧视图相同,即旋转体的轴截面,而俯视图都是圆面或圆环面.存在三视图中正视图、侧视图、俯视图完全相同的几何体.如正方体、球等(如图1-2-27).图1-2-27。
2019-2020学年高中数学北师大版必修2一课三测：1.3 三视图 含解析
§3三视图填一填1。
三视图的概念三视图包括主视图（又称正视图）、俯视图，侧视图（通常选择左侧视图,简称左视图)．2．三视图的画法规则(1)主、俯视图反映物体的长度—-“长对正”．(2)主、左视图反映物体的高度-—“高平齐"．（3)俯、左视图反映物体的宽度-—“宽相等”．3．由基本几何体形成的组合体的两种基本形式(1）将基本几何体拼接．(2)从基本几何体中切掉或挖掉部分.判一判1。
任何一个几何体都可画出三视图．（√）2．主视图和左视图都是矩形的几何体一定是长方体．（×)3．主视图的高就是看到的几何体的高．（×)4．画三视图时应保证光线与投射面垂直．（√)5．同一个物体的主视图可能不同．（√)6．画三视图时,被遮住的部分可不画．(×)7．圆柱的三视图都是矩形．（×）8．三视图可以是全等的三角形．（√）想一想1.提示：常见几何体正视图侧视图俯视图长方体矩形矩形矩形正方体正方形正方形正方形圆柱矩形矩形圆圆锥等腰三角形等腰三角形圆圆台等腰梯形等腰梯形两个同心的圆球圆圆圆2.画组合体三视图的“四个步骤”是什么?提示：（1)析：分析组合体的组成形式；(2)分：把组合体分解成简单几何体；(3）画：画分解后的简单几何体的三视图；（4)拼：将各个三视图拼合成组合体的三视图．3．画三视图时要注意避免出现哪些问题？提示：(1)没有确定主视方向直接画图；（2)三个视图摆放位置混乱；（3）未遵循长、宽、高的画图原则；（4）看不见的边界轮廓线未画成虚线．4．由三视图还原几何体的步骤是什么？提示：思考感悟:练一练1。
以下说法正确的是( )A．任何物体的三视图都与物体摆放位置有关B．任何物体的三视图都与物体摆放位置无关C．有的物体的三视图与物体的摆放位置无关D．正方体的三视图一定是三个全等的正方形答案：C2．有一个几何体的三视图如图所示，这个几何体应是一个________．答案:四棱台3．水平放置的下列几何体，主视图是长方形的是________．(填序号)答案：①③④4．一个圆柱的三视图中，一定没有的图形是（)A．矩形B．圆C．三角形D．正方形答案:C5．根据如图所示的俯视图，找出对应的物体．（1）对应________；(2)对应________；(3）对应________；(4）对应________；(5)对应________．答案：(1)（D) （2）(A) （3)（E) （4)（C)(5)（B）知识点一简单几何体的三视图1。
高中数学必修2考点知识专题训练3---空间几何体的三视图(含答案解析)
ൌ
ை ை
ൌ
.
答案:
9.画出如图所示的几何体的三视图.
解:该几何体的三视图如图所示.
3/8
10.如图是一个几何体的三视图,想象该几何体的结构特征,画出该几何体的形状.
解:由于俯视图中有一个圆和一个四边形,则该几何体是由旋转体和多面体拼接成的组合 体;结合侧视图和正视图,可知该几何体的上面是一个圆柱,下面是一个长方体.该几何体 的形状如图所示.
高中数学必修 2 考点知识专题训练
空间几何体的三视图
课时过关·能力提升
一、基础巩固
1.下列视图不属于三视图的是( )
A.正视图
B.侧视图
C.后视图
D.俯视图
答案:C
2.如果一个空间几何体的正视图与侧视图均为全等的等腰三角形,俯视图为一个圆及其
圆心,那么这个棱柱
C.圆锥
D.圆柱
8.若线段
AB
平行于投影面,O
是线段
AB
上一点,且
ை ை
ൌ
,
点ܣᇱ,
ܱᇱ,
ܤᇱ分别是
'ܱ'ܣ ܣ, ܱ, ܤ在投影面上的投影点, 则 ܱ' 'ܤൌ __________________.
解析:由题意知 AB∥A'B',OO'∥AA',OO'∥BB',
则有
'ை' ை''
答案:D 4.在下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是( )
1/8
A.①②
B.①③
C.①④
D.②④
解析:①正方体,三个视图均相同;②圆锥,正视图和侧视图相同;③三棱台,三个视图各不 相同;④四棱锥,正视图和侧视图相同.
高二数学空间几何体的三视图与直观图试题答案及解析
高二数学空间几何体的三视图与直观图试题答案及解析1.如图示，在四棱锥A－BHCD中，AH⊥面BHCD，此棱锥的三视图如下：（1）求二面角B－AC－D的余弦弦值；（2）在线段AC上是否存在一点E，使ED与面BCD成45°角？若存在，确定E的位置；若不存在，说明理由。
【答案】（1）（2）不存在【解析】(1)观察三视图，得到边长以及线面关系，取AC的中点M，过M作MN∥CD交AD于N，则是所求二面角的平面角，（2）假设存在，把“ED与面BCD成45°角”作为条件，进行计算.试题解析：（1）由AH⊥面BHCD及三视图知：AH=BH=HC=1，，取AC的中点M，过M作MN∥CD交AD于N，则是所求二面角的平面角，，，；（2）假设在线段AC上存在点E合题意，令E在HC上的射影为F，设（），则，矛盾。
所以，不存在（注：本题也可用向量法）【考点】二面角，线面角.2.某几何体是由直三棱柱与圆锥的组合体，其直观图和三视图如图所示，正视图为正方形，其中俯视图中椭圆的离心率为A．B．C．D．【答案】C【解析】设正视图正方形的边长为m，根据正视图与俯视图的长相等，得到俯视图中椭圆的短轴长2b=m，俯视图的宽就是圆锥底面圆的直径，得到俯视图中椭圆的长轴长2a=，则椭圆的焦距，根据离心率公式得，；故选：C．【考点】１．三视图；２．椭圆的性质．3.如图，某四棱锥的三视图如图所示，则最长的一条侧棱长度为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由三视图知：四棱锥的一条侧棱与底面垂直，且高为1，如图：SA⊥平面ABCD，AD=CD=SA=1，AB=2，∴最长的侧棱为SB=;故选：C．【考点】三视图4.如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的体积是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体为直三棱锥，底面为等腰直角三角形，把三棱锥补成长方体，三棱锥和长方体具有相同的外接球，，因此，.【考点】球的体积.5.如图是多面体和它的三视图．(1)若点是线段上的一点，且,求证：;(2)求二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】(1)利用已知的线面垂直关系建立空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键.(2)证明线面垂直，需证线线垂直，只需要证明直线的方向向量垂直；（3)把向量夹角的余弦值转化为两平面法向量夹角的余弦值;(4）空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化.同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备.试题解析：解：(1)由题意知AA1，AB，AC两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，A1(0，0，2)，B(－2，0，0)，C(0，－2，0)，C1(－1，－1，2)，则＝(－1，1，2)，＝(－1，－1，0)，＝(0，－2，－2)．(1分)设E(x，y，z)，则＝(x，y＋2，z)，＝(－1－x，－1－y，2－z)．(3分)＝2，得E(=设平面C1A1C的法向量为m＝(x，y，z)，则由，得，取x＝1，则y＝－1，z＝1.故m＝(1，－1，1)，=，BE⊥平面A1CC1.(6分)(2)由（1）知，平面C1A1C的法向量为m＝(1，－1，1)而平面A1CA的一个法向量为n＝(1，0，0)，则cos〈m，n〉＝＝＝，故二面角的余弦值.(12分)【考点】利用空间向量证明垂直和夹角问题.6.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A．2B．1C．D．【答案】C【解析】由三视图可知该几何体是一个四棱锥，其底面是一个对角线为2的正方形，高为1，故其底面面积S=×2×=2,则V=•Sh=,故选C.【考点】由三视图求面积、体积．7.右图是某几何体的三视图，其中正视图是正方形，侧视图是矩形，俯视图是半径为2的半圆，则该几何体的表面积等于（）A．B．24πC．D．12π【答案】A【解析】由题意可得，直观图为底面直径为4，高为4的圆柱的一半，所以该几何体的表面积是正方形面积+圆柱侧面积的一半+圆的面积，即，故选A．【考点】由三视图求表面积．8.某几何体的三视图如图所示，其中正视图为正三角形，则该几何体的体积为 .【答案】【解析】由空间几何体的三视图可知，该几何体为平放的三棱柱，上下底面为边长是2的正三角形，高为3，所以.【考点】空间几何体的三视图、表面积和体积的计算.9.下图是一几何体的直观图、主视图、俯视图、左视图．（1）若F为PD的中点，求证：AF⊥面PCD；（2）证明：BD∥面PEC;（3）求该几何体的体积．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）【解析】由三视图可知底面是边长为4的正方形，，，∥，且。
【精品】高中数学 必修2 空间几何体的三视图和直观图_讲义 知识点讲解+巩固练习(含答案) 基础
空间几何体的三视图和直观图【学习目标】1.了解平行投影与中心投影，了解在平行投影下画空间图形与在中心投影下画空间图形两种方法的各自特点，了解空间图形的不同表现形式；2. 能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱的简易组合体）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图．【要点梳理】【高清课堂：空间几何体的三视图与直观图 395059中心投影与平行投影】要点一、中心投影与平行投影1．投影、投影线和投影面由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影．其中的光线叫做投影线，留下物体影子的屏幕叫做投影面．2．中心投影我们把光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影．中心投影的投影线交于一点，它的实质是一个点光源把一个物体射到一个平面上，这个物体的影子就是它在这个平面上的中心投影．3．中心投影的性质（1）中心投影的投影线交于一点；（2）点光源距离物体越近，投影形成的影子越大．4．平行投影我们把在一束平行光线照射下形成的投影叫做平行投影．投影线正对着投影面时，叫做正投影，否则叫做斜投影．5．平行投影的性质（1）平行投影的投影线互相平行．（2）在平行投影之下，与投影面平行的平面图形留下的影子与这个平面图形的形状和大小完全相同．6．中心投影与平行投影的区别与联系（1）平行投影包括斜二测画法和三视图．中心投影后的图形与原图形相比虽然改变较多，但直观性强，看起来与人的视觉效果一致，最像原来的物体．（2）画实际效果图时，一般用中心投影法，画立体几何中的图形时，一般用平行投影法．要点二、空间几何体的三视图【高清课堂：空间几何体的三视图与直观图 395059 三视图】1．三视图的概念把一个空间几何体投影到一个平面上，可以获得一个平面图形，但是只有一个平面图形很难把握几何体的全貌，因此我们需要从多个角度进行投影，这样才能较好地把握几何体的形状和大小．通常，我们总是选择三种投影．（1）光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图叫做几何体的正视图；（2）光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图叫做几何体的侧视图；（3）光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图叫做几何体的俯视图．几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图．2．三视图的画法规则画三视图时，以正视图为准，俯视图在正视图的正下方，侧视图在正视图的正右方，正、俯、侧三个视图之间必须互相对齐，不能错位．正视图反映物体的长度和高度，俯视图反映物体的长度和宽度，侧视图反映物体的宽度和高度，由此，每两个视图之间有一定的对应关系，根据这种对应关系得到三视图的画法规则：（1）正、俯视图都反映物体的长度——“长对正”；（2）正、侧视图都反映物体的高度——“高平齐”；（3）俯、侧视图都反映物体的宽度——“宽相等”．【高清课堂：空间几何体的三视图与直观图 395059 斜二测画法及典型例题1】要点三、斜二测画法在立体几何中，空间几何体的直观图通常是在平行投影下画出的空间图形．要画空间几何体的直观图，首先要学会水平放置的平面图形的直观图画法．对于平面多边形，我们常用斜二测画法画它们的直观图，斜二测画法是一种特殊的平行投影画法．斜二测画法的步骤：（1）在已知图形中取互相垂直的z轴和y轴，两轴相交于点O．画直观图时，把它们画成对应的x＇轴与y＇轴，两轴交于点O＇，且使∠x＇O＇y＇=45°（或135°），它们确定的平面表示水平面．（2）已知图形中，平行于x轴、y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x＇轴、y＇轴的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同．（3）已知图形中，平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半．画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了平面图形的直观图．要点诠释：用斜二测画法画图的关键是在原图中找到决定图形位置与形状的点并在直观图中画出．一般情况下，这些点的位置都要通过其所在的平行于x、y轴的线段来确定，当原图中无需线段时，需要作辅助线段．要点四、立体图形的直观图（1）用斜二测画法画空间几何体的步骤①在已知图形中，取互相垂直的x轴和y轴，再取z轴，使∠xOz=90°，且∠yOz=90°；②画直观图时，把它们画成对应的轴x′，y′，z′，使∠x′O′y′=45°（或135°），∠x′O′z′=90°，x′O′y′所确定的平面表示水平平面；③已知图形中平行于x轴，y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴，y′轴或z′轴的线段；④在已知平面图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y 轴的线段，长度变为原来的一半；⑤擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间几何体的直观图．（2）斜二测画法保留了原图形中的三个性质①平行性不变，即在原图中平行的线在直观图中仍然平行；②共点性不变，即在原图中相交的直线仍然相交；③平行于x，z轴的长度不变．（3）画立体图形与画水平放置的平面图形相比多了一个z轴，其直观图中对应于z轴的是z＇轴，平面x＇O＇y＇表示水平平面，平面y＇O＇z＇和x＇O＇z＇表示直立平面．平行于z轴（或在：轴上）的线段，其平行性和长度都不变．（4）三视图与直观图的联系与区别三视图与直观图都是用平面图形来刻画空间图形的位置特征与度量特征，二者有以下区别：①三视图从细节上刻画了空间几何体的结构，由三视图可以得到一个精确的几何体，如零件、建筑图纸等都是三视图．②直观图是对空间几何体的整体刻画，可视性高，立体感强，由此可以想象实物的形状．要点五、已知三视图画直观图三视图和直观图是空间几何体的两种不同的表现形式．直观图是在某一定点观察到的图形，三视图是投射线从不同位置将物体按正投影向投影面投射所得到的图形，对于同一个物体，两者可以相互转换．由三视图画直观图，一般可分为两步：第一步：想象空间几何体的形状．三视图是按照正投影的规律，使平行光线分别从物体的正面、侧面和上面投射到投影面后得到的投影图，包括正视图、侧视图和俯视图．正视图反映出物体的长和高，侧视图反映出物体高和宽，所以正视图和侧视图可以确定几何体的基本形状，如柱体、锥体或台体等．俯视图反映出物体的长和宽．对于简单几何体来说，当俯视图是圆形时，该几何体是旋转体；当俯视图是多边形时，该几何体是多面体．第二步：利用斜二测画法画出直观图．当几何体的形状确定后，用斜二测画法画出相应物体的直观图．注意用实线表示看得见的部分，用虚线表示看不见的部分．画完直观图后还应注意检验．【典型例题】类型一、平行投影与中心投影例1．下列命题中正确的是（）A．矩形的平行投影一定是矩形B．梯形的平行投影一定是梯形C．两条相交直线的投影可能平行D．一条线段的平行投影如果仍是一条线段，那么这条线段中点的投影必是这条线段投影的中心【答案】D【解析】平行投影因投影线的方向变化而不同，因而平行投影改变几何图形的形状，因而A、B不正确．两条直线的交点无论是平行投影还是中心投影仍是同一个点，这个点在两条直线的投影上，因而两条直线的投影不可能平行，故C错．两条线段平行投影的比等于这两条线段的比，因而D正确．【总结升华】空间图形经过中心投影后，直线变成直线，但平行线可能变成了相交的直线，如照片中由近到远，物体之间的距离越来越近，最后相交于一点．中心投影后的图形与原图形相比虽然改变较多，但直观性强，看起来与人的视觉效果一致，最像原来的物体，所以在绘画时，经常使用这种方法．例2．一图形的投影是一条线段，这个图形不可能是．①线段②直线③圆④梯形⑤长方体【答案】②⑤【解析】线段、圆、梯形都是平面图形，且在有限范围内，投影都可能为线段；长方体是三维空间图形，其投影不可能是线段；直线的投影，只能是直线或点．举一反三：【变式1】有下列说法：①从投影的角度看，三视图和斜二测画法画出的直观图都是平行投影下画出来的空间图形；②平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点；③空间图形经过中心投影后，直线变成直线，但平行线可能变成了相交的直线；④空间几何体在平行投影与中心投影下有不同的表现形式．其中正确的命题有（）．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D类型二、空间几何体的三视图例3．螺栓是棱柱和圆柱构成的组合体，如下图，画出它的三视图．【解析】该物体是由一个正六棱柱和一个圆柱组合而成的．正视图反映正六棱柱的三个侧面和圆柱侧面，侧视图反映正六棱柱的两个侧面和圆柱侧面，俯视图反映该物体正投影后是一个正六边形和一个圆（中心重合）．它的三视图如下图．【总结升华】（1）对于简单空间几何体的组合体，一定要认真观察，先认识它的基本结构，然后再画它的三视图．（2）在绘制三视图时，应注意：若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，分界线和可见轮廓线都用实线画出．（3）画简单组合体的三视图应注意两个问题：首先，确定正视、侧视、俯视的方向，同一物体放置的位置不同，所画的三视图就可能不同；其次，简单组合体是由哪几个简单几何体构成的，并注意它们的构成方式，特别是它们的交线位置．例4．如下图（1）所示的是一个奖杯的三视图，画出它的立体图形．【解析】从奖杯的三视图可以看出，奖杯的底座是一个正棱台．它的上底面是边长为60 mm的正方形，下底面是边长为100 mm的正方形，高为20 mm．底座的上面是一个底面对角线长为40 mm，高72 mm的正四棱柱，它的底面对角线分别与棱台的底面的两边平行，底面的中心在棱台上、下底面中心的连线上，奖杯的最上部是在正四棱柱上底面的中心放了一个直径为28 mm 的球根据以上分析，画出奖杯的立体图形，如上图所示．【总结升华】由三视图还原成实物图是由实物图画三视图的逆向思维，其关键仍然是抓住“长对正、高平齐、宽相等”的基本特征，想象视图中每部分对应的实物部分的形状，特别要注意几何体中与投影面垂直或平行的线及面的位置．根据三视图想象空间几何体，是培养空间想象能力的重要方式，这需要根据几何体的正视图、侧视图、俯视图的几何特点，想象整个几何体的几何特征，从而判断三视图所描述的几何体．通常是根据俯视图判断是多面体还是旋转体，再结合正视图和侧视图确定具体的几何结构特征，最终确定是简单几何体还是简单组合体．举一反三：【变式1】 右图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题，其中真命题的个数是（ ）．①存在三棱柱．其正（主）视图、俯视图如右图 ②存在四棱柱，其正（主）视图、俯视图如右图 ③存在圆柱，其正（主）视图、俯视图如右图A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】A【变式2】若某几何体的三视图如下图所示，则这个几何体的直观图可以是（ ）【答案】B类型三、空间几何体的直观图例5．画出水平放置的等边三角形的直观图.【解析】画法，如图： (1)在三角形ABC 中，取AB 所在直线为x 轴，AB 边的高所在直线为y 轴；画出相应的x '轴和y ' 轴，两轴交于点O '，且使45x O y '''∠=o ；(2)以O '为中点，在x '轴上取A B AB ''=，在y '轴上取12O C OC ''=； (3)连接A C ''、B C ''，并擦去辅助线x '轴和y ' 轴，便获得正△ABC 的直观图△A B C '''.【总结升华】斜二测画法的作图技巧：1.在已知图中建立直角坐标系，理论上在任何位置建立坐标系都行，但实际作图时，一般建立特殊的直角坐标系，尽量运用原有直线为坐标轴或图形的对称轴为坐标轴，以线段的中点或图形的对称点为原点；2.在原图中平行于x 轴和y 轴的线段在直观图中仍然平行于x '轴和y '轴，原图中不与坐标轴平行的线段可以先画出线段的端点再连线，画端点时利用与坐标轴平行的线段；3.画立体图形的直观图，在画轴时，要再画一条与平面x O y '''垂直的z '轴，平行于z '轴的线段长度保持不变.举一反三：【变式1】 已知正角形ABC 的边长为a ，那么△ABC 的平面直观图△A ＇B ＇C ＇的面积为（ ）A ．234aB ．238aC ．268aD ．2616a 【答案】D【解析】先根据题意，画出直观图，然后根据直观图△A ＇B ＇C ＇的边长及夹角求解．如上图（1）、（2）所示的实际图形和直观图．由图（2）可知，A ＇B ＇=AB=a ，13''24O C OC a ==，在图（2）中作C ＇D ＇⊥A ＇B ＇于D ＇，则26''''28C D O C a ==． ∴2'''1166''''22816A B C S A B C D a a a ∆=⋅=⨯⨯=． 【总结升华】求直观图的面积的关键是依据斜二测画法，求出相应的直观图的底边和高，也就是原来实际图形中的高线在直观图中变为与水平直线成45°角且长度为原来的一半的线段，以此为依据求出相应的高线即可．反过来，由一个平面图形的直观图来确定原平面图形的面积，也是依据这个规则来确定的．例6．画出底面为边长为1.2 cm 的正方形，侧棱均相等且高为1.5 cm 的四棱锥的直观图．【解析】（1）画轴．画x 轴、y 轴、z 轴，∠xOy=45°（或135°），∠xOz=90°，如下图（1）．（2）画底面．以O 为中心在xOy 平面内，画出正方形的直观图ABCD ，使AB=1.2 cm ，EF ＇=0.6 cm ．（3）画顶点，在Oz 轴上截取OP ，使OP=1.5 cm ．（4）成图．顺次连接以、PB 、PC 、PD ，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得四棱锥的直观图，如下图（2）．【总结升华】 本题主要考查空间几何体的直观图的画法．解题的关键是先利用几何体图形的对称性建系，再利用斜二测画法的规则及步骤画出直观图．建系后观察哪些线段分别与x 、y 、z 轴平行或重合，找到对应顶点即可．【巩固练习】1．下列实例中，不是中心投影的是（）．A．工程图纸 B．小孔成像 C．相片 D．人的视觉2．下列种说法：①相等的角在直观图中对应的角仍然相等；②相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等；③平行的线段在直观图中对应的线段仍然平行；④线段的中点在直观图中仍然是线段的中点．其中，说法正确的有（）．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．一个几何体的某一方向的视图是圆，则它不可能是( ).A．球体 B．圆锥 C．圆柱 D．长方体4．一个建筑物的正视图、侧视图、俯视图如下图所示，则组成这个建筑物的组合体是（）．A．圆柱和圆锥B．立方体和圆锥C．正四棱柱和圆锥D．正方形和圆5．以正方形相邻两边为坐标轴建立直角坐标系，在这一坐标系下用斜二测画法画出的正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积是（）．A．16 B．64 C．16或64 D．以上都不对6．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正(主)视图与侧(左)视图分别如下图所示，则该几何体的俯视图为7．平行投影与中心投影之间的区别是________________．8．一个三角形在其直观图中对应一个边长为1的正三角形，原三角形的面积为________．9．正视图为一个三角形的几何体可以是____________________．(写出三种)10．用斜二测画法作出两边边长分别为3cm和4cm的矩形的直观图．11．用斜二测画法画正六棱柱的直观图，使其底面边长为3cm，侧棱长为6cm．12．根据三视图（如下图），画出物体的直观图．【答案与解析】1．【答案】A【解析】由中心投影的特点可知，B、C、D均是中心投影．2．【答案】B【解析】由直观图的画法可知③、④正确．3．【答案】D【解析】4．【答案】C【解析】由三视图可知，组合体上部分是圆锥，下部分为正四棱柱．5．【答案】C6．【答案】C【解析】正视图中小长方形在左上方，对应俯视图应该在左侧，排除B、D，侧视图中小长方形在右上方，对应俯视图应该在下方，排除A，故选C．7．【答案】平行投影的投影线互相平行，而中心投影的投影线相交于一点．8．【答案】6 2【解析】如右图，由底边长A＇B＇=1，3'2C O=，那么原来的高线为6262⨯=，则原三角形的面积16162S=⨯⨯=．9．【答案】三棱锥、三棱柱、圆锥【解析】由三棱锥、三棱柱（侧放）、圆锥的特征可知这三种几何体的正视图均是三角形．10．【解析】采用斜二测画法，即在已知图形所在的空间中取水平平面，作'x轴、'y轴，使'''045x o y∠=，然后依据平行投影的有关性质逐一作图（如右图）．（1）在已知ABCD中取AB，AD所在边为x轴与y轴，相交于点O（O与A重合），画对应的x＇轴、y＇轴，使∠x＇O＇y＇=45°．（2）在x＇轴上取A＇，B＇，使A＇B＇=AB=4，在y＇轴上取D＇，使A＇D＇=12AD=32，过D＇作D＇C＇平行x＇的直线，且等于A＇B＇长．（3）连C＇B＇，所得四边形A＇B＇C＇D＇就是矩形ABCD的直观图．11．【解析】先作底面正六边形的直观图，再沿平行于z轴方向平移即可得．作法：（1）画轴：画z＇，y＇，z＇轴，使∠x＇O＇y＇=45°（或135°），∠x＇O＇z＇=90°．（2）画底面：按x＇轴，y＇轴画正六边形的直观图ABCDEF．（3）画侧棱：过A，B，C，D，E，F各点分别作z＇轴的平行线，并在这些平行线上分别截取AA＇，BB＇，CC＇，DD＇，EE＇，FF＇．（4）成图：顺次连结A＇，B＇，C＇，D＇，E＇，F＇，加以整理（去掉辅助线，改被遮挡的部分为虚线），图略．12．【解析】（1）画轴．建立空间直角坐标系，使∠xOy=45°，∠xOz=90°，如右图．（2）画圆柱的两底面和圆台的上底面．画出底面圆O，在z轴上截取O＇，使OO＇等于三视图中相应高度．过O＇作Ox的平行线O＇x＇，Oy的平行线O＇y＇，利用O＇x＇与O＇y＇画出底面圆O＇（与画圆O一样），在z轴上截取O″，使O＇O″与三视图中O＇O″等高．过O″作Ox的平行线O″x″，Oy的平行线O″y″，作圆O″．（3）成图．连接AA＇，A＇A″，B″B＇，B＇B，整理得到三视图所表示的立体图的直观图，如右图所示．。
2019-2020年北师大版数学必修二：第1章+§3+3.1+3.2+三视图及答案
§3三视图3．1简单组合体的三视图3．2由三视图还原成实物图1．组合体(1)定义：由基本几何体生成的几何体叫作组合体．(2)基本形式：有两种，一种是将基本几何体拼接成组合体；另一种是从基本几何体中切掉或挖掉部分构成组合体．2．三视图(1)三视图的特点：①空间几何体的三视图是指主视图、左视图、俯视图．②三视图的主视图、俯视图、左视图分别是从正前方、正上方、正左侧观察同一个几何体，所画出的空间几何体的平面图形．③三视图的排列规则是俯视图放在主视图的下方，长度与主视图一样，左视图放在主视图的右面，高度与主视图一样，宽度与俯视图的宽度一样．(2)绘制三视图时的注意事项：①首先，确定主视、俯视、左视的方向，同一物体放置的位置不同，所画三视图可能不同．②其次，简单组合体是由哪几个基本几何体生成的，并注意它们的生成方式，特别是它们的交线位置．③分界线和可见轮廓线都用实线画出；不可见轮廓线都用虚线画出．思考：三视图分别反映物体的哪些位置关系(上下、左右、前后)？哪些数量关系(长、宽)?提示：主视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；左视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度．1．下列四个几何体中，每个几何体的三视图中有且仅有两个视图相同的是()A．①②B．①③C．①④D．②④[答案] D2．一个圆柱的三视图中一定没有的图形是()A．圆B．矩形C．三角形D．正方形C[直立圆柱的主视图、左视图都是矩形，也可以是正方形，俯视图是圆．] 3．下列说法正确的是()A．任何物体的三视图都与物体的摆放位置有关B．任何物体的三视图都与物体的摆放位置无关C．有的物体的三视图与物体的摆放位置无关D．正方体的三视图一定是三个全等的正方形[答案] C4．有一个几何体的三视图如图所示，这个几何体应是一个________．[答案]四棱台【例1】画出如图所示的空间几何体的三视图．(阴影面为主视面，尺寸不作严格要求)[解]三视图如下．1．在画三视图时，先要想象几何体的后面、右面、下面各有一个屏幕，一组平行光线分别从前面、左面、上面垂直照射，我们画的是影子的轮廓，再验证几何体的轮廓线，能看到的画实线，不能看到的画虚线．2．作三视图时，要遵循三视图的排列规则，即“长对正，高平齐，宽相等”．3．画完三视图草图后，要再对照实物图验证其正确性．1．沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的左视图为()B[依题意，左视图中棱的方向是从左上角到右下角，故选B.]【例2】如图是将球放在圆筒上形成的组合体，画出它的三视图．[解]它的三视图如图所示：1．画组合体的三视图的步骤：(1)分析组合体的组成形式；(2)把组合体分解成简单几何体；(3)画分解后的简单几何体的三视图；(4)将各个三视图拼合成组合体的三视图．2．画三视图时要注意的问题：(1)先画主体部分，后画次要部分；(2)几个视图要配合着画，一般是先画主视图，再确定左视图和俯视图；(3)组合体的各部分之间要画出分界线．2．一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是()B[由直观图可知，该几何体由一个长方体和一个截角三棱柱组成．从上往下看，外层轮廓线是一个矩形，矩形内部有一条线段连接的两个三角形．]1．根据如图所给出的物体的三视图，请说出它们的名称．提示：从观察三视图的特征入手，联想简单几何体三视图，从而确定几何体的名称，所以①是圆锥，②是三棱柱．2．如图是某一几何体的三视图，你能想象几何体的结构特征，并画出几何体的直观图吗？提示：由几何体的三视图可知，几何体是一个倒立的三棱台，即上底面面积大，下底面面积小，直观图如图．【例3】根据三视图想象物体原形，并画出物体的实物草图．[思路探究]观察三视图时可将该几何体分解为上下两部分进行判断，易知该物体是由一个圆柱和一个长方体组合而成的．[解]由俯视图并结合其他两个视图可以看出，这个物体是由一个圆柱和一个长方体组合而成，它的实物草图如图所示．1．例3中，若将俯视图改为如图所示的图形，试画出实物图．[解]由三视图可知，该几何体上方是一个直三棱柱，下方是长方体，其草图如图．2．例3中，若将主视图、俯视图改为如图所示的图形，试画出其实物图．[解]由三视图可知，该几何体下方是一个圆柱，上方是一个三棱柱，其草图如图．由三视图还原空间几何体的策略：(1)通过主视图和左视图确定是柱体、锥体还是台体.若主视图和左视图为矩形，则原几何体为柱体；若主视图和左视图为等腰三角形，则原几何体为锥体；若主视图和左视图为等腰梯形，则原几何体为台体.(2)通过俯视图确定是多面体还是旋转体.若俯视图为多边形，则原几何体为多面体；若俯视图为圆，则原几何体为旋转体.1．三视图的主视图、左视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线，画几何体三视图的要求是主视图、俯视图长对正，主视图、左视图高平齐，俯视图、左视图宽相等，前后对应，画出的三视图要检验是否符合“长对正、高平齐、宽相等”的基本特征．2．画组合体的三视图的步骤特别提醒：画几何体的三视图时，能看见的轮廓线和棱用实线表示，看不见的轮廓线和棱用虚线表示．1．思考辨析(1)画三视图时应保证光线与投射面垂直．()(2)同一个物体的主视图可能不同．()(3)画三视图时，被遮住的部分可不画．()(4)圆柱的三视图都是矩形．()[解析](3)×，被遮挡部分画成虚线．(4)×，其三视图中有一个是圆形．[答案](1)√(2)√(3)×(4)×2．如图，该几何体的上半部分为正三棱柱，下半部分为圆柱，其俯视图是()C[因为俯视图是从上往下看的，所以图中的几何体的俯视图是一个圆，且圆内有一个内接正三角形．]3．三视图如图所示的几何体是________．4．画出如图所示几何体的三视图．[解]三视图如图所示：。
高中数学人教版必修2作业1-2-12空间几何体的三视图2
1.2.1、2 空间几何体的三视图基础巩固一、选择题1．下列投影是平行投影的是()A．俯视图B．路灯底下一个变长的身影C．将书法家的真迹用电灯光投影到墙壁上D．以一只白炽灯为光源的皮影[答案] A[解析]三视图是由平行投影形成的，而B、C、D中由电灯发出的光得到的投影是中心投影．2．对几何体的三视图，下列说法正确的是()A．正视图反映物体的长和宽B．俯视图反映物体的长和高C．侧视图反映物体的高和宽D．正视图反映物体的高和宽[答案] C3．某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是()A．圆柱B．圆锥C．四面体D．三棱柱[答案] A4．小周过生日，公司为她预订的生日蛋糕(示意图)如下图所示，则它的正视图应该是() [答案] B[解析]A为俯视图，注意到封闭的线段情形，正视图应该是B．5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是()A．棱柱B．棱台C．圆柱D．圆台[答案] D[分析]利用三视图逐个排除错误选项即可．[解析]由俯视图可排除A，B，由正视图可排除C，故选D．6．若一个几何体的三视图如下图所示，则这个几何体是()A．三棱锥B．四棱锥C．三棱柱D．四棱柱[答案] B[解析]由俯视图可知底面为四边形，由正视图和侧视图知侧面为三角形，故几何体为四棱锥．二、填空题7．一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的________(填入所有可能的几何体前的编号)．①三棱锥；②四棱锥；③三棱柱；④四棱柱；⑤圆锥；⑥圆柱．[答案]①②③⑤[解析]三棱锥、四棱锥和圆锥的正视图都是三角形，当三棱柱的一个侧面平行于水平面，底面对着观测者时其正视图是三角形，四棱柱、圆柱无论怎样放置，其正视图都不可能是三角形．8．下图中三视图表示的几何体是________.[答案]四棱柱三、解答题9．如图，四棱锥的底面是正方形，顶点在底面上的射影是底面正方形的中心，试画出其三视图．[解析]所给四棱锥的三视图如下图．[点评](1)画三视图时，务必做到正视图与侧视图的高度一致(即所谓的高平齐)、正视图与俯视图的长度一致(即所谓的“长对正”)、侧视图与俯视图的宽度一致(即所谓的“宽相等”)．(2)习惯上将侧视图放在正视图的右侧，将俯视图放在正视图的下方．[拓展提高](1)三视图中各种数据的对应关系：①正视图中AB的长对应原四棱锥底面多边形的左右方向的长度，AC、BC的长则不对应侧棱的长，它们对应四棱锥的顶点到底面左、右两边的距离．②侧视图中，EF的长度对应原四棱锥底面的前后长度，GE、GF的长度则是四棱锥顶点与底面前后两边的距离．③俯视图中HIJK的大小与四棱锥底面的大小形状完全一致，而OK，OI，OJ，OH 的大小，则为四棱锥的顶点在底面上的投影到底面各顶点的距离．(2)误区警示：正视图、侧视图中三角形的腰长有的学生会误认为是棱锥的侧棱长，实则不然．弄清一些数据的对应关系，是后面进行相关计算的前提．10．依所给实物图的形状，画出所给组合体的三视图．[解析]图中所给几何体是一个圆柱和一个正六棱柱的组合体，在中心以中心轴为轴线挖去一个小圆柱，故其三视图如下：能力提升一、选择题1．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是()A．①②B．①③C．①④D．②④[答案] D[解析]①正方体，三视图均相同；②圆锥，正视图和侧视图相同；③三棱台，三视图各不相同；④圆台，正视图和侧视图相同．[点评]熟悉常见几何体的三视图特征，对于画几何体的直观图是基本的要求．下图是最基本的常见几何体的三视图.几何体直观图形正视图侧视图俯视图正方体长方体圆柱圆锥圆台球[答案] C[分析]本题是组合体的三视图问题，由几何体的正视图和侧视图均如左图所示知，几何体下面为圆柱或直四棱柱，上面是圆柱或直四棱柱或底面是直角三角形的直三棱柱．[解析]A，B，D都可能是该几何体的俯视图，C不可能是该几何体的俯视图，因为它的正视图上面应为如右图所示的矩形．3．如图所示，画出四面体AB1CD1三视图中的正视图，以面AA1D1D为投影面，则得到的正视图可以为()[答案] A[分析]依次确定四面体AB1CD1的每一条棱在面AA1D1D上的投影即可．[解析]显然AB1，AC，B1D1，CD1分别投影得到正视图的外轮廓，B1C为可见实线，AD1为不可见虚线．故A正确．4．若某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是()A．三棱锥B．四棱锥C．四棱台D．三棱台[答案] B[解析]根据三视图的特征可以断定是四棱锥，由正视图和侧视图可知，该四棱锥底面中，必定有一组对边平行，另一组对边不平行．二、填空题5．下列图形：①三角形；②直线；③平行四边形；④四面体；⑤球．其中投影不可能是线段的是________.[答案]②④⑤[解析]三角形的投影是线段或三角形；直线的投影是点或直线；平行四边形的投影是线段或平行四边形；四面体的投影是三角形或四边形；球的投影是圆．6．已知某一几何体的正视图与侧视图如图所示，则下列图形中，可以是该几何体的俯视图的图形有________.[答案]①②③④三、解答题7．说出下列三视图表示的几何体：[解析]8．根据下列图中所给出的一个物体的三视图，试画出它的形状．[答案]所对应的空间几何体的图形为：。
2018版人教A版高中数学必修二同步学习讲义：1-2空间几何体的三视图和直视图1-2-1~1-2-2含答案精品
的面上的正投影可能是图中的 ________． (要求把所有可能的序号都填上 )
答案 ②③ 解析 其中 ② 可以是四边形 BFD 1E 在正方体的面 ABCD 或面 D 1DCC 1 上的正投影． ③ 可以是 四边形 BFD 1E 在正方体的面 BCC1B1 上的正投影． 四边形 BFD 1E 在正方体任何一个面上的正 投影都不是 ①④ . 类型二 三视图的画法与识别
命题角度 1 三视图的识别
例 2 一个长方体截去两个三棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的三视图为
()
答案 C
解析 从该几何体可以看出，正视图是一个矩形内有一斜向上的对角线；俯视图是一个矩形
内有一斜向下的对角线，没有斜向上的对角线，故排除
B 、D 项；侧视图是一个矩形内有一
斜向下的对角线，且都是实线，因为没有看不到的轮廓线，所以排除
A ．全等
B．相似
C ．不相似 答案 B 解析 根据题意画出图形如图．
D ．以上都不对
由图易得 AB ＝ OB ＝ BC ＝ OC ＝ AC ，则 △ ABC∽△ A′ B′ C′ . A′B′ OB′ B′C′ OC′ A′ C′
(2)如图， E， F 分别是正方体的面 ADD 1A1、面 BCC1B1 的中心，则四边形 BFD 1E 在该正方体
(2)
引申探究 例 3(2)中的组合体改为如下图形，画出其三视图．
解 图中几何体实际为组合体，下部是三个正方体，上部是一个圆柱，按正方体和圆柱的三 视图画法画出该组合体的三视图，如图所示．
反思与感悟 画三视图的注意事项： (1)务必做到长对正，宽相等，高平齐． (2)三视图的安排方法是正视图与侧视图在同一水平位置，且正视图在左，侧视图在右，俯视 图在正视图的正下方． (3)若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的 画法． 跟踪训练 3 如图是同一个圆柱的不同放置，阴影面为正面，分别画出它们的三视图．
高中数学(人教B版必修2)教师用书：第1章 1.1.5 三视图 Word版含答案
1.1.5 三视图1.能画出简单空间图形的三视图.(重点)2.能识别三视图所表示的立体模型.(重点)3.利用三视图的画法及其特征作组合体的三视图.(难点)4.三视图、直观图、原空间几何体形状之间的相互转化.(难点)教材整理三视图阅读教材P21～P23“例1”以上内容，完成下列问题.1.正投影的定义和性质(1)定义：在物体的平行投影中，如果投射线与投射面垂直，则称这样的平行投影为正投影.(2)性质①垂直于投射面的直线或线段的正投影是点；②垂直于投射面的平面图形的正投影是直线或直线的一部分.2.三视图的分类及画法(1)分类图1164(2)三视图的画法规则①主、俯视图都反映物体的长度——“长对正”；②主、左视图都反映物体的高度——“高平齐”；③俯、左视图都反映物体的宽度——“宽相等”.(3)三视图的排列顺序：先画主视图，左视图在主视图的右边，俯视图在主视图的下边.如果一个几何体的主视图和左视图都是长方形，那么这个几何体不可能是( )A.长方体B.圆柱C.三棱柱D.正三棱锥【解析】长方体和圆柱的主视图和左视图可能是长方形，当三棱柱为直棱柱时，其主视图和左视图可能都是长方形.【答案】 D(1) (2) (3)图1165【精彩点拨】确定正前方→画主视图→画左视图→画俯视图【自主解答】三视图如图①②③所示.1.务必做到长对正，宽相等，高平齐.2.三视图的安排方法是主视图与左视图在同一水平位置，且主视图在左，左视图在右，俯视图在主视图的正下方.3.若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法.1.画出如图1166所示几何体的三视图.图1166【解】图为正六棱柱，主视图和左视图都是矩形，主视图中有两条竖线，左视图中有一条竖线，俯视图是正六边形..【导学号：45722021】图1167【精彩点拨】欲画出该几何体的三视图，先弄清它是由什么简单几何体按什么方式构成的，然后确定主视、左视、俯视的方向，最后按三视图的画法规则画出它的三视图.【自主解答】该物体是由一个正六棱柱和一个圆柱组合而成的，主视图反映正六棱柱的三个侧面和圆柱的侧面，左视图反映正六棱柱的两个侧面和圆柱的侧面，俯视图反映该物体投影后是一个正六边形和一个圆(中心重合)，故它的三视图如图.画组合体的三视图的“四个步骤”1.析：分析组合体的组成形式.2.分：把组合体分解成简单几何体.3.画：画分解后的简单几何体的三视图.4.拼：将各个三视图拼合成组合体的三视图.2.画出如图1168所示的几何体的三视图.图1168【解】探究1该几何体是什么吗？并试着画出图形.图1169【提示】由三视图可知，该几何体为正四棱锥，如图所示.探究2 如何结合三视图还原几何体？【提示】根据三视图还原几何体，要仔细分析和认真观察三视图并进行充分的想象，然后结合三视图的形状，从不同的角度去还原.看图和想图是两个重要的步骤，“想”于“看”中，形状分析的看图方法是解决此类问题的常用方法.根据三视图(如图1170所示)想象物体原形，指出其结构特征，并画出物体的实物草图.图1170【精彩点拨】由主视图、左视图确定几何体为锥体，再结合俯视图确定其是四棱锥，由俯视图可知其底面形状，再结合主视图、左视图所给信息画直观图.【自主解答】由俯视图知，该几何体的底面是一直角梯形；再由主视图和左视图知，该几何体是一四棱锥，且有一侧棱与底面垂直，所以该几何体如图所示.由三视图还原几何体时，一般先由俯视图确定底面，由主视图与左视图确定几何体的高及位置，同时想象视图中每一部分对应实物部分的形状.3.如图1171是一个物体的三视图，则此三视图所描述的物体是下列哪个几何体？( )图1171【解析】由俯视图可知该几何体为旋转体，由主视图、左视图可知该几何体由圆锥、圆柱组合而成.【答案】 D1.下列哪个几何体的三视图可能全是一样的平面图形( )A.长方体B.圆柱C.正四棱锥D.正方体【答案】 D2.已知某物体的三视图如图1172所示，那么这个物体的形状是( )图1172A.长方体B.圆柱C.正方体D.圆锥【解析】俯视图是圆，所以为旋转体，可排除A、C，又主、左视图为矩形，所以不是圆锥，排除D.故选B.【答案】 B3.水平放置的下列几何体，主视图是长方形的是______(填序号).①②③④图1173【解析】①③④的主视图为长方形，②的主视图为等腰三角形.【答案】①③④4.一物体及其主视图如图1174：①②③④图1174则它的左视图与俯视图分别是图形中的________.【解析】左视图是矩形中间有条实线，应选③；俯视图为矩形中间有两条实线，且为上下方向，应选②.【答案】③②5.如图1175所示的三视图表示的几何体是什么？画出物体的形状.【导学号：45722022】图1175【解】该三视图表示的是一个四棱台，如图.。
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3.当图形中的直线或线段不平行于投影线时，平行投影都具有下述性质： ①直线或线段的平行投影仍是直线或线段；
②平行直线的平行投影是平行或重合的直线；③平行于投影面的线段，它的投影与这条线段平行且等长； ④与投影面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等； ⑤在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比.
跟踪训练1已知△ABC，选定的投影面与△ABC所在平面平行，则经过中心投影后所得的
△A′B′C′与△BC( )
A.全等B.相似
D.以上都不对
答案B
解析 本题主要考查对中心投影的理解.根据题意画出图形，如图所示
题型二 画空间几何体的三视图
例2如图是按不同方式放置的同一个圆柱，阴影面为正面，画出其三视图
知识点二 三视图的概念及特征
1.定义：光线从几何体的前面向后面正投影， 得到投影图， 这种投影图叫做几何体的正视图； 光线从几何体的左面向右面正投影， 得到投影图， 这种投影图叫做几何体的侧视图； 光线从 几何体的上面向下面正投影，得到投影图，这种投影图叫做几何体的俯视图.几何体的正视
图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图，三视图是正投影.
空间几何体的三视图
[学习目标]1.了解中心投影和平行投影.2.能画出简单空间图形的三视图.3.能识别三视图所 表示的立体模型.
知识点一 投影的概念及分类
1.投影的定义 由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影 其中，我们把光线叫做投影线，把留下物体影子的屏幕叫做投影面.
A.0 B.1 C.2 D.3
答案B
解析 由平行投影和中心投影的定义可知 ① 正确；空间图形经过中心投影后， 直线可能变成 直线，也可能变成一个点， 如当投影中心在直线上时， 投影为点； 平行线有可能变成相交线， 如照片中由近到远物体之间的距离越来越近， 最后相交于一点， ② 不正确； 两条相交直线的 平行投影是两条相交直线或一条直线， ③ 不正确.
解 三视图分别如图所示
跟踪训练2螺栓是棱柱和圆柱构成的组合体，如图，画出它的三视图
柱侧面， 侧视图反映正六棱柱的两个侧面和圆柱侧面， 俯视图反映该物体投影后是一个正六 边形和一个圆（中心重合）.
三视图如图所示.
2.基本特征：一个几何体的侧视图和正视图高度一样，俯视图与正视图长度一样，侧视图与 俯视图宽度一样.
思考 画三视图时一定要求光线与投影面垂直吗？答 是.由画三视图的规则要求可知光线与投影面垂直
题型一 中心投影与平行投影
例1下列说法中：
①平行投影的投影线互相平行， 中心投影的投影线相交于一点； ②空间图形经过中心投影后， 直线还是直线， 但平行线可能变成了相交的直线； ③两条相交直线的平行投影是两条相交直 线.其中正确的个数为( )