复杂网络9讲-加权网络教学教材
软件执行过程的加权复杂网络
关键词 ： 复杂 网络 ； 小世界效应 ； 无标度特性 ； 加权 网络 ； 关键路径
复杂网络 PPT课件
二十一世纪（二十世纪末），系统成为主要的研 究对象，整合成为主要方法；
整合的方法在于了解细部以后，研究“如何组合”的
问题，这导致复杂网络结构的研究； 如：普列高津的耗散结构理论、哈肯的协同学、混沌 和复杂系统理论、系统生物学、…
复杂系统与复杂网络
复杂系统与复杂网络的概念
系统：集合（具体元素）+ 系统的结构是什么？
统失控等一系列不同网络间的连锁反应。
（4）网络分层结构的复杂性
行政管理网络是具有层结构的，多数网络都有节点的
分层结构，只是在许多网络中没有意识到是一种造成 复杂性的重要结构。
对复杂网络的理解
复杂网络是二十一世纪科学研究的思想和理念， 它启发我们用什么观点理解这个世界：整个世界 以及组成世界的任何细部都是由网络及其变化形 成的； 复杂网络也是研究复杂系统的一种技术和方法， 它关注系统中个体相互作用的拓扑结构，是理解 复杂系统性质和功能的基本方法。
复杂网络 Complex Network
为什么研究复杂网络？
二十一世纪涌现的新现象
互联网是怎样“链”接的？ 从一个页面到另一个页面，
平均需要点击多少次鼠标？
美国航空网
城市公共交通网
为什么两者结构差异如此之大？ 这种差异是必然还是偶然的？ 城市交通涌堵的原因是什么？
• 非典发现在广州，为什么却 在北京爆发呢？ • 传染病是怎样扩散和消失的？
互联网 病毒传播网
计算机病毒是怎样传播的？ 为什么“好事不出门，坏事 行千里”呢？……
神经网络
生态网络
社交网络
电力网络
电信网络航空网络Biblioteka Facebook 全球友谊图
关于复杂网络的课程设计
关于复杂网络的课程设计一、课程目标知识目标：1. 学生能够理解复杂网络的定义、特点及其在现实生活中的应用；2. 学生能够掌握复杂网络的基本概念，如度、聚类系数、最短路径等；3. 学生能够了解复杂网络的主要模型及其生成机制；4. 学生能够运用复杂网络的原理分析简单的社会、技术、生物等网络现象。
技能目标：1. 学生能够运用复杂网络分析方法，对给定的网络数据进行处理和分析；2. 学生能够运用相关软件工具绘制复杂网络的图形，并对其进行可视化展示；3. 学生能够运用复杂网络的统计指标，评估网络的结构特征和功能特性。
情感态度价值观目标：1. 学生对复杂网络产生兴趣，认识到其在各个领域的广泛应用和重要意义；2. 学生能够培养批判性思维，对复杂网络相关现象进行理性分析和判断；3. 学生能够树立团队协作意识，通过合作交流，提高解决问题的能力。
课程性质：本课程属于选修课程，旨在拓展学生的知识视野，提高学生的实践能力和创新意识。
学生特点：学生处于高中阶段，具有一定的数学基础和逻辑思维能力，对新鲜事物充满好奇心。
教学要求：结合课本内容，注重理论与实践相结合，关注学生的个体差异，提高学生的动手操作能力和实际问题解决能力。
通过本课程的学习，使学生能够掌握复杂网络的基本概念和方法，为后续相关领域的学习和研究打下基础。
同时，培养学生的团队协作、批判性思维和情感态度价值观，为学生的全面发展奠定基石。
二、教学内容本课程依据课程目标，结合课本第四章“复杂网络”相关内容，进行以下教学安排：1. 复杂网络基本概念：介绍复杂网络的定义、分类及其特点；讲解度、聚类系数、最短路径等基本统计指标。
2. 复杂网络模型：分析 Erdős-Rényi 模型、Barabási-Albert 模型等典型复杂网络模型及其生成机制。
3. 复杂网络的实证分析：以实际社会、技术、生物等网络为例，运用复杂网络分析方法进行实证研究。
4. 复杂网络的算法与应用：讲解复杂网络中的关键算法，如最短路径算法、社区发现算法等，并探讨其在实际应用中的价值。
复杂网络的基础知识
第二章复杂网络的基础知识2.1 网络的概念所谓“网络”（networks），实际上就是节点（node）和连边（edge）的集合。
如果节点对（i，j）与（j，i）对应为同一条边，那么该网络为无向网络（undirected networks），否则为有向网络（directed networks）。
如果给每条边都赋予相应的权值，那么该网络就为加权网络（weighted networks），否则为无权网络（unweighted networks），如图2-1所示。
图2-1 网络类型示例(a) 无权无向网络(b) 加权网络(c) 无权有向网络如果节点按照确定的规则连边，所得到的网络就称为“规则网络”（regular networks），如图2-2所示。
如果节点按照完全随机的方式连边，所得到的网络就称为“随机网络”（random networks）。
如果节点按照某种（自）组织原则的方式连边，将演化成各种不同的网络，称为“复杂网络”（complex networks）。
图2-2 规则网络示例(a) 一维有限规则网络(b) 二维无限规则网络2.2 复杂网络的基本特征量描述复杂网络的基本特征量主要有：平均路径长度（average path length ）、簇系数（clustering efficient ）、度分布（degree distribution ）、介数（betweenness ）等，下面介绍它们的定义。
2.2.1 平均路径长度（average path length ）定义网络中任何两个节点i 和j 之间的距离l ij 为从其中一个节点出发到达另一个节点所要经过的连边的最少数目。
定义网络的直径（diameter ）为网络中任意两个节点之间距离的最大值。
即}{max ,ij ji l D = （2-1） 定义网络的平均路径长度L 为网络中所有节点对之间距离的平均值。
即∑∑-=+=-=111)1(2N i N i j ij lN N L （2-2）其中N 为网络节点数，不考虑节点自身的距离。
(完整版)复杂网络的基础知识
第二章复杂网络的基础知识2。
1 网络的概念所谓“网络”（networks），实际上就是节点（node）和连边（edge）的集合。
如果节点对(i，j）与（j，i）对应为同一条边,那么该网络为无向网络（undirected networks）,否则为有向网络(directed networks）。
如果给每条边都赋予相应的权值，那么该网络就为加权网络（weighted networks)，否则为无权网络（unweighted networks)，如图2-1所示。
图2—1 网络类型示例(a) 无权无向网络 (b）加权网络（c) 无权有向网络如果节点按照确定的规则连边，所得到的网络就称为“规则网络”(regular networks）,如图2-2所示。
如果节点按照完全随机的方式连边,所得到的网络就称为“随机网络”（random networks）。
如果节点按照某种(自）组织原则的方式连边，将演化成各种不同的网络,称为“复杂网络”（complex networks)。
图2—2 规则网络示例(a）一维有限规则网络 (b）二维无限规则网络2.2 复杂网络的基本特征量描述复杂网络的基本特征量主要有：平均路径长度(average path length)、簇系数（clustering efficient ）、度分布（degree distribution ）、介数（betweenness ）等，下面介绍它们的定义。
2。
2.1 平均路径长度（average path length ）定义网络中任何两个节点i 和j 之间的距离l ij 为从其中一个节点出发到达另一个节点所要经过的连边的最少数目。
定义网络的直径（diameter)为网络中任意两个节点之间距离的最大值.即}{max ,ij ji l D = (2—1） 定义网络的平均路径长度L 为网络中所有节点对之间距离的平均值.即 ∑∑-=+=-=111)1(2N i N i j ij lN N L （2-2） 其中N 为网络节点数，不考虑节点自身的距离.网络的平均路径长度L 又称为特征路径长度（characteristic path length)。
《复杂网络基础与应用》课程教学大纲
Complex network is a perspective and method to study complex system. It is a way to understand the nature and function of complex system by focusing on the topological structure of individual interaction in the system. Complex network research has penetrated into life science, engineering, mathematics, finance, humanities and many other disciplines. The scientific understanding of the quantitative and qualitative characteristics of complex network has become an extremely important challenge.
《复杂网络基础与应用》是计算机科学与网络工程学院各专业的博士研究生的专业课。本课程是一门研究方法类课程，为博士研究生提供研究复杂网络的具体内容、方法和工具，系统介绍复杂网络领域的基本理论框架，涵盖了复杂网络中的基本概念、网络的拓扑结构性质、小世界网络、无标度网络、社团结构、社会网络结构、博弈、传播动力学等关于复杂网络的研究。由于复杂网络研究具有很强的跨学科特色，并且新的问题和研究成果不断涌现，因此本课程重点着眼于复杂网络研究中经典的理论研究，同时介绍一些最新研究进展。旨在通过介绍复杂网络的基础理论及其应用研究，使学生掌握复杂网络的基本理论及其最新的研究进展，掌握一些相应的网络分析方法，基于复杂网络的视角来认识世界，并且能够联系实际来培养学生的系统思维以及创新意识，为博士研究生在复杂网络及其相关研究领域的研究指明方向，并通过阅读文献，了解复杂网络在相关学科的应用，为进一步的科学研究、工程应用提供理论与技术准备。
加权网络的常用统计量
!加权网络的常用统计量
! !节点强度特征 加权网络最突出的特征是连边的强度值是异质 的$ 这种异质性刻画了系统中各成分之间交互作用 是系统各种非线性和自组织行为等复杂统 的差异$ 计特征的重要原因$ 同时$ 权重和拓扑之间的非相关 性也为观察这类系统的组织结构提供了互补视角% 例如$ 细胞网络拓扑的重要性是人所共知的$ 但是$ 细胞网络是由基因& 蛋白质和其它调节细胞行为的 分子之间通过相互作用产生的复杂网络$ 最近研究 发现很 多 重 要 的 信 息 都 蕴 含 于 相 互 作 用 的 强 度
$
而吕琳媛 W L等分析了加权网络中的同步问题 $ + ; ! 和周涛研究了链路预测中弱连接的强作用* % 然而$ 相对于无权网络研究的数量$ 加权网络的
+ ; " 研究成果实际上是凤毛麟角* 尽管我们都知道$ %
的% 节点强度分布 B! 度量了节点强度为 $ 的概 $" 率$ 它和度分布 B! 以及边权分布 B! 一起$ 为 Y" [" 我们观察加权网络提供了多个视角% 比如在有些网 络中$ 节点强度分布 B! 以及边权分布 B! 都呈 $" ["
D 7 5 B 8 + 5 1 3Q 1 1 2 4 1 2 : 4A GL + 2 * 1 + BX + 1 @ A > M 4 E
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复杂网络概述 ppt课件
星形耦合网络：有一个中心点，其余N-1个点都只与这
个中心点连接，其平均路径长度为
Lstar 2
聚类系数为
C
star
2( N 1) 2 N ( N 1)
N 1 1 N
ppt课件
( N ) ( N )
16
随机图
随机图是与规则网络相反的网络，一个典型模型 是 Erdos 和 Renyi 于 40 多年前开始研究的随机图模 型。 假设有大量的纽扣（ N》1 ）散落在地上，并以相 同的概率p给每对纽扣系上一根线。这样就会得到 一个有 N 个节点，约 pN(N-1)/2 条边的 ER 随机图的 实例。
ppt课件 3
3
③ 小世界实验
20世纪60年代美国哈佛大学的社会心理学家Stanley Milgram通过
一些社会调查后给出的推断是：地球上任意两个人之间的平均距
离是6。这就是著名的“六度分离”（six degrees of separation）推断。 为了检验“六度分离”的正确性，小世界实验—Bacon数。美国
ppt课件
9
小世界实验---Erdos数
Erdos从来没有一个固定的职位，从来不定居在一 个地方，也没有结婚，带着一半空的手提箱，穿 梭于学术研讨会，浪迹天涯，颇富传奇色彩。有 人称他为流浪学者(wande ring scholar)。
他效忠的是科学的皇后， 而非一特定的地方。各 地都有热心的数学家提供他舒适的食宿，安排他 的一切，他则对招待他的主人，给出一些挑战性 的数学难题，或给予研究上的指导做为回馈。 他可以和许多不同领域的数学家合作。数学家常 将本身长久解决不了的问题和他讨论，于是很快 地一篇论文便诞生了。
复杂网络基础理论3
7
3.2.2 最近邻耦合网络
1.概念 对于拥有N的节点的网络来讲，通常将每个节点只 与它最近的K个邻居节点连接的网络称为最近邻耦合网 络，这里K是小于等于N－1的整数。若每个节点只与 最近的2个邻居节点相连，这样所有节点相连就构成了 一维链或环，如下图（a）所示。如下图（b）所示的 二维晶格也是一种最近邻耦合网络。一般情况下，一 个具有周期边界条件的最近邻耦合网络包含N个围成一 个环的节点，其中每个节点都与它左右各K／2个邻居 节点相连，这里K是偶数，如下图（c）所示。
3.1 引言 3.2 规则网络 3.3 随机网络 3.4 小世界网络 3.5 无标度网络 3.6 层次网络 3.7 确定性网络 3.8 自相似网络
2
3.1 引言
复杂网络的研究大致可以描述为三个密切相关但 又依次深入的方面： ①大量的真实网络的实证研究，分析真实网络的 统计特性； ②构建符合真实网络统计性质的网络演化模型， 研究网络的形成机制和内在机理； ③研究网络上的动力学行为，如网络的鲁棒性和 同步能力，网络的拥塞及网络上的传播行为等。 本章针对第二个方面，以得知网络模型需如何构 成才会展现这些特定的统计性质。
4
3.2 规则网络
3.2.1 全局耦合网络 3.2.2 最近邻耦合网络 3.2.3 星型耦合网络
5
3.2.1 全局耦合网络
1.概念 全局耦合网络是指任意两个节点之间都有边相连 的网络，也称完全图。对于无向网络来说，节点数为N 的全局耦合网络拥有N（N－1）／2条边，如下图所示 ；而对于有向网络来说，节点数为N的全局耦合网络拥 有N（N－1）条弧。
可以看出，随机网络的平均最短距离随网络规模的增 加呈对数增长，这是典型的小世界效应。因为lnN随N 增长得很慢，所以即使是一个很大规模的网络，它的 平均距离也很小。
复杂网络(度相关性与社团结构)ppt
4.2.3 余平均度
条件概率：网络中随机选取的一个度为k的节点的一个邻居的 度为j的概率，记为 Pc ( j | k ) .它与联合概率 P( j, k )之间具有如下关系：
Pc ( j | k ) Pn (k ) P( j, k ).
如果条件概率与k相关，那么就说明节点度之间具有相关性， 且网络结构具有层次结构；反之，说明网络没有度相关性。考虑到 任一条边与某个节点相连的概率与该节点的度成正比，度不相关网 络的条件概率为
其中，m(质：
（1）对称性，即
P( j, k ) P(k , j ), j, k
k max
（2）归一性，即
（3）余度分布，即
j , k k min
P( j, k ) 1,
k max
P n (k )
j k min
4.2 度相关性与同配性
4.21 高阶度分布的引入
网络的0阶度分布特性：平均度<K>=2M/N
只告诉我们网络中有多少条边，并没有给出这些边是如何安置在网络中。给定网络的节 点数N和边数M，那么任一与该网络具有相同节点数和边数的网络模型也具有相同的平均度。
网络的1阶度分布特性：度分布P(k)=n(k)/N
P( j, k ),
其中kmin和kmax分别为网络中节点的度 的最小值和最大值。
记
Pk P(k ), qk Pn (k ), e jk P( j, k ).
下式表明网络的二阶度分布特性包含了1阶度分布特性：
k Pk k
k e jk qk . k j k min
同配就是指属性相近的节点倾向于互相连接。这里的属性可 以是度也可以是其他特性，例如社会网络中个体的职业、年龄、种 族、信仰等。 社会网络同质性的两种基本解释： 1、选择，即人们倾向于和相似的人成为朋友； 2、影响，即人们由于成为朋友而相互影响，从而变得更相 为似。
复杂网络基本概念
复杂⽹络基本概念1.复杂⽹络：随机⽹络，⼩世界⽹络和⽆标度⽹络2.⼩世界⽹络的属性：平均路径长度（Average Path Length,APL）⼩于正则⽹络的；⼩世界⽹络具有较低的平均聚类系数（Average Clustering Coefficient,ACC）3.复杂⽹络⾯对的挑战：⾼数据量；物理系统到真实复杂⽹络模型映射过程中的复杂性；⾼计算复杂性4.图信号处理将经典信号处理中的概念和⼯具（如平移，卷积，傅⾥叶变换，滤波器组和⼩波变换）扩展应⽤于任意⽹络中的数据5.加权图，有向图6.图在计算机的存储器中⽤矩阵表⽰，如邻接矩阵，关联矩阵，权重矩阵，度矩阵以及拉普拉斯矩阵等。
7.如果在两个节点之间存在多条边，称该图为多重图（multigraph）;如果存在⾃环，则称该图为伪图（pseudograph）8.包含原始图所有顶点的⼦图称为⽣成⼦图（spanning subgraph）9.图g的补图是指与图G具有同样的顶点集，但边集中的边则由那些在图g中不存在的边组成，也称为反向图（inverse graph）10.图在计算机中以矩阵或者链表的⽅式存储11.权重矩阵：图的权重矩阵包含图中相应边的权重。
权重矩阵是图的拓扑结构的完整表⽰。
所有的其他矩阵（邻接，度，拉普拉斯）都可以通过权重矩阵推导得出。
对于⾮加权图，权重矩阵和邻接矩阵是⼀样的。
12.邻接矩阵：包含图连接的N*N矩阵13.关联矩阵：每⼀⾏对应图中的⼀个顶点，⽽每⼀列对应图中的⼀条边。
14.度矩阵：是⼀个对⾓线矩阵，在对⾓线上包含了顶点的度。
节点的度是所有与该节点相关联的边的权重之和。
⼀些⼤的⽹络通常通过度的频率分布来刻画。
15.拉普拉斯矩阵：L=D-W，D是图的度矩阵，W是图的权重矩阵。
具有正边权重的⽆向图的拉普拉斯矩阵的基本性质:对称性；每⼀⾏之和为0，具有奇异性，det(L)=0；半正定；其特征值是⾮负实数。
16.归⼀化拉普拉斯矩阵：L(norm)=D(-1/2)LD^(-1/2)17.有向拉普拉斯矩阵：L=Din-W; Din是⼊度矩阵18.基本图测度：平均邻居度（AND），平均聚类系数（ACC，局部连通性属性），平均路径长度（APL，全局⽹络属性），平均边长度（AEL），图的直径和体积。
复杂网络的数学模型与分析
复杂网络的数学模型与分析在当今这个高度互联的世界中，复杂网络的概念无处不在。
从互联网的拓扑结构到社交关系的交互模式，从生物体内的基因调控网络到交通运输系统的线路布局，复杂网络以其独特的形式和规律影响着我们生活的方方面面。
为了更好地理解和把握这些复杂系统的行为特征，数学模型和分析方法的引入成为了必然。
首先，让我们来谈谈什么是复杂网络。
简单来说，复杂网络是由大量节点以及节点之间的连接边所构成的系统。
这些节点可以代表各种各样的实体，比如个人、计算机、细胞等，而连接边则表示它们之间的某种关系，如社交联系、网络连接、物质交换等。
与简单的规则网络不同，复杂网络具有许多独特的性质，如小世界特性、无标度特性、社团结构等。
在复杂网络的研究中，数学模型是我们理解和描述其结构和行为的重要工具。
其中，最常见的模型之一是随机图模型。
随机图模型假设节点之间的连接是随机形成的，具有一定的概率。
通过调整这个概率，可以得到不同结构特性的网络。
例如，当概率较低时，网络较为稀疏；当概率较高时，网络则更加密集。
另一个重要的模型是小世界网络模型。
小世界网络具有较短的平均路径长度和较高的聚类系数。
这意味着在这样的网络中，任意两个节点之间的距离相对较短，并且节点的邻居之间往往存在较强的连接。
小世界网络模型能够很好地解释许多现实世界中的现象，如社交网络中信息的快速传播。
无标度网络模型也是复杂网络研究中的关键模型之一。
在无标度网络中，少数节点拥有大量的连接，而大多数节点的连接数量较少。
这种特性使得无标度网络对随机故障具有较强的鲁棒性，但对于针对关键节点的攻击则非常脆弱。
除了上述模型，还有许多其他的数学模型被用于描述不同类型的复杂网络，如加权网络模型、多层网络模型等。
有了数学模型，接下来就需要进行分析。
网络的拓扑结构分析是一个重要的方面。
通过计算节点的度、平均路径长度、聚类系数等指标，可以定量地描述网络的结构特征。
节点的度是指与该节点相连的边的数量，它反映了节点在网络中的重要性。
基于复杂网络的基金加权网络结构分析
基金 规模快 速增 长 ， 金 的投 资风 格 趋 于 多样 化 ， 基 基金 的种类 也趋 于 多样 化 （ 股票 型 基 金 、 有 混合 型 基金 、 债券 型 基 金 和 指 数 型 基 金 等 ） 而 且 基 金 间 ， 相互 关系错 综复杂 ． 这些 表 明基金 系统 是一个 复杂
联强度网络的基础上 ， 提出ห้องสมุดไป่ตู้种证券市场网络抗毁
性 分析方法 ． 樊瑛 等 研 究 了 Ｎ Ｓ Ｙ Ｅ中股票 与基金 股东 的投 资关 系 的结 构 特征 ， 构建 二 分 网 ， 现该 发
网络 具有 “ 世 界 效应 ” 无 标 度 特 征 ． 多数 研 小 和 但 究 主要集 中在指数 股 票 网络 ， 少有将 其用 到基金 很 市场 Ｊ随着 中 国金 融 市 场 的不 断 完 善 和发 展 ， ．
相关 性也 呈 现 无标 度 特 征 ． 辉 煌 等 在 构 建 关 陈
１ 基 金 加 权 网络 的构 建
本 文 以 中 国基金 市 场 中的股 票 型基 金 为研究 对 象 ， 基金 做为 网络 的基金 节 点 ， 金 持有 的股 把 基 票 为股票 节 点来 构 建 二 分 网 Ｊ 如果 某 基 金 持有 ．
第２ ９卷 第 １期
２ １ 年 ０ 月 ０１ １
佳 木 斯 大 学 学 报 （ 自 然 科 学 版 ）
Ｊｕｎ ｌ ｆ ｉ ｓ Ｕ ｉ ｒ ｔ Ｎ ｔｒｌ ｃｅｃ ｄ ｉｎ ｏｒａ ｏ ａ ｉ ｎｖ ｓｙ（ ａ ａ Ｓ ｉ ｅＥ ｉｏ ） Ｊ ｍｕ ｅｉ ｕ ｎ ｔ
Ｖｏ ． ９ Ｎｏ． １２ １
摘
要 ： 为 了探 讨 中国基金 市场的 网络 结构 ， 先通过 二分 网的单顶 点 网络 构 建 了基金 无 向加 权
加权网络
10k
Random Real Inverse
100k
Betweenness
1k 100 10 1
Betweenness
Random Real Inverse
10k
Inverse Random Real
1 10 100 1k 10k
1k 1 10 100 1000
(c) Rank of link
(d) Rank of Vertex
wjk
d
i j k
w w
ij
jk
取最小值即为最短路径的距离
度分布
1000
Degree
800 600
Degree
400 200 0 0 100 200 300 400 500
Rank
点介数
logarithm multiplicative
1400
Unweighted
Betweenness of Vertex
Vertex Weight
1000
0.1
1
10
100
Rank of Vertex
Rank of Vertex
单位权
1 0.1
multiplicative
40 35 30
logarithm
Weight per Degree
1E-3 1E-4 1E-5 1E-6 1E-7 1E-8 1 10 100
Weight per Degree
加权、有向网络的静态统计性质
In－Out度和权的分布，度权的相关性，单位权
网络的演化性质
偏好性的实证检验
网络上思想的传播及效率分析
科学家的类聚分析
复杂网络基础理论(ppt)
IP
朋
地
友
址 网
关系
网
数理统计基础
概率论基础 数理统计基础 统计假设及检验 一元线性回归分析
图论的基本概念
图的基本概念 图的路和连通性 图的基本运算 树与生成树 图的矩阵表示
复杂网络的研究内容和意义
研究的主要内容包括：网络的几何性质，网络 的形成机制，网络演化的统计规律，网络上的模 型性质，网络的结构稳定性，网络的演化动力学 机制等。
间的距离dij和从节点vj到vi之间的距离dji是不同的。距离dij 定义为从节点vi出发沿着同一方向到达节点vj所要经历的弧的 最少数目，而它的倒数1／dij称为从节点vi到节点vj的效率， 记为εij。
有向连通简单网络的平均距离L
因为效率可以用来描述非连通网络，所以可以定义有向网 络的效率LC为
介数
介数 节点的介数Bi定义为
式中，Njl表示从节点vj到vl的最短路径条数，Njl（i）表示 从节点vj到vl的最短路径经过节点vi的条数。 边的介数Bij定义为
式中，Nlm表示从节点vl到vm的最短路径条数，Nlm（eij ）表示从节点vl到vm的最短路径经过边eij（方向相同）的 条数。
加权网络的静态特征
核度 一个图的k－核是指反复去掉度值小于k的节点及其连线后
，所剩余的子图，该子图的节点数就是该核的大小。 节点核度的最大值叫做网络的核度。 节点的核度可以说明节点在核中的深度，核度的最大值自然
就对应着网络结构中最中心的位置。
度中心性
度中心性分为节点度中心性和网络度中心性。 节点vi的度中心性CD（vi）定义为
网络G的度中心性CD定义为
介数中心性
介数中心性分为节点介数中心性和网络介数中心性。 节点vi的介数中心性CB（vi）定义为
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在无权网络中：
定义节点i的近邻平均度 k nn,i ，得到度为 k 的所有节点的近邻平均度 显然 Knn（k） 是 k 的函数。那么度相关性可以通过函数 Knn（k）
的单调性得到：
如果 Knn（k） 是无单调性，那么该网络没有度相关性。 如果 Knn（k）是增函数，那么该网络是同向匹配网络。（度大的节点倾
我们可以根据不同的作用关系做三个网络:合作网络,引文网络,致谢网络. 但即便对于同一个网络比如引文网络,引文次数不同所代表的相互作用 关系不同。(无权网中能表现相互作用的强度吗?)
这时必须考虑赋边权,表示相联系的强度.
另外,我们希望在同一个网络中研究这三个层次的相互作用,还应该考虑 加权的方式.
当系统中包含同一属性的不同层次的关系的时候,必须仔细研究加权方 式.
加权的方式:
根据相关的物理量(例如:电阻网络边上的权值代表电 阻值,邮递员问题中的距离)
根据相互作用的某种属性(例如:科学家通过文献相互 作用,把引文的次数作为权重)
边权按照意义划分: 相异权: 权值越大,两点之间的距离越大,关系越疏
远.(例:邮递员问题中的距离) 相似权: 权值越大,两点之间的距离越小,关系越亲
此外还发现给定两端度值的边的权重平均值和两个端点的 度值的关系为 ij ~ (kik j ) ，其中 0.5。除了全局流量 分布的非均匀性外，计算边权差异性 Yi 还可以观察到在 单个代谢物的层面上边权分布的非均匀性。在此网络上对 出度和入度相同的顶点计算边权差异性，发现它们都服从
Watts-Strogatz 定义的聚类系数:
aij a jk aki
C (i) j,k
aij aki
j ,k
加权网的聚类系数：
wij w jk wki
C
w H
j,k
m ax ij
wij
wij wik
j,k
一些加权网络的实证结果
• 1.生物网络
Almaas等人将酵母中的新陈代谢反应看作加权网络进行 研究，把从代谢物i到j的流量看作边权 ，观察到流量具有 高度非均匀性，在理想的培养下条件下，边权的分布符合 幂律分布 p()(0 ) 其中 0 0.0003 ， 1.5
Barat 定义：
CBw
1 si (ki 1)
j,k
wij
2
w
jk
aij
a
jk
aki
分母上为单位权乘以最大可能的三角形的数目，分子上是实际三角形数
目乘以与i相连的边的权重的平均值
Onnela 定义：
Cow (i)
1 ki (ki 1)
1
(wij wjk wki ) 3
j,k
wij
其中 wij 为网络中经最大权重标准化后的数值
密.(例:科学家合作网中,把次数作为权重,得到相似 权) 注意: 在计算两点间的距离和聚类系数时,边权的意 义不同,计算方式也不同.
2.加权网络上的统计量
权相关性 最短路径 集聚系数
权相关性
1.基本概念：
点权：无权网中节点度的自然推广
点权 Si wij ，即与节点i i关联的边权之和。（ 其中Ni 是节点i
结论2：差异性 Yi与度 k的关系
如果与顶点i关联的边的权重值差别不大，则 Yi 与
1 ki
成正比。
Yi
[ wij Sij ]2 w ki
ki
wij 2 1
w 2 ki2
ki
如果权值相差较大，那么只有一条边的权重起主要作用，则
Yi 1
2.相关性分析 加权网络需要进行 度相关性分析 点权相关性分析 权与度相关性分析
Petter Holme 分析加权网络的聚类系数，指出它应该满足以下几条要求：
1. C w [0,1]
2.加权网退化为无权网时，聚类系数应与Watts-Strogatz定义的聚类系数的计 算结果一致。
3.权值为0表示该边不存在。
4.包含节点i的三角形中三条边对 C w (i) 的贡献应与边的权重成正比。
时，具有较大权重的边倾向于连接具有较大度值的点
当
kw nn,i
knn,i
时，具有较大权重的边倾向于连接具有较小度值的点
所以，对于相互作用强度（权重）给定的边，
kw nn,i
表明它与具有不同度值的顶
点之间的亲和力。
• 最短路径
1.加权网络中两点之间的距离与权重的关系：
距离是权重的某种函数，这时需要看权重是相似权还是相异权。
无权网：边数最少的路径
最短路径
加权网：因为距离不满足三角不等式，所以两边距离之和不一定大于第三边.
边数最少的路径
最短路径
网络的其他全局统计量，如介数，可以在加权最短路径的基础上进行计算
集聚系数
节点i的聚类系数 Ci 反映了该节点邻点的联系的程度。 Ci 越大，说明 该点的邻接点之间的联系越紧密。
加权网络中的聚类系数有多种定义方式;
向于与度大的节点相连）
如果 Knn（k） 是减函数，那么该网络是负向匹配网络。
knn (k)
k nn,i
1
1
knn,i
ki
kj
jNi
ki
aij k j
jV
在加权网络中：
定义节点的加权平均近邻度
kw nn,i
1 Si
aij wij k j
jN j
考虑权与度的相关性
当
kw nn,i
knn,i
相异权：定义两点之间的距离 lij wij
相似权：令
lij
1 wij
假设顶点i和k分别通过两条权重分别为
wij
间的距离。
和 wjk 的边相连，现求i与k之
对于相异权： lik wij w jk
对于相似权：lik
1 1 1
wij
w jk
2.最短路径：两点之间所有连通的路径中距离之和最小的一条或几条路径。
第八讲 加权网络
2010.11.13 李凯凯
主要内容: • 8.1 加权网络的统计性质 • 8.2 加权网络的演化模型 • 8.3 权重对网络结构性质的影响
8.1加权网络的统计性质
1. 加权网络的加权的必要性与方式 2. 加权网络上的统计量
1. 网络加权的必要性与赋权方式
网络加权的必要性:
例:为研究某一新思想的在一个学术领域的产生传播,研究科学家之间通 过文献相互作用的网络。相互作用分为三个层次:合作,引文,致谢 (无权 网中能体现相互作用的三个层次吗?) 。
的近邻集合）
jNi
单权位重权分：布的Ui 差 Sk异ii, 性顶：点Yi连接jN的i[ wS平iij ]均2 表权示重与. i相连的边权分布的离散程度。
拥有相同点权与单位权的两个节点相比，差异性越大，离散程度越大。
点强度分布P（s）与度分布的作用类似，主要是考察节点具有点强度s的 概率。
边权分布P（w）代表一条边具有权重w的概率。